a Gelijkvormigheid ladzijde QR is een vergroting van dus de driehoeken en QR zijn gelijkvormig Q Vergrotingsfator: 7 e twee driehoeken zijn een vergroting van elkaar; alle zijden zijn dus met 7 7 7 dezelfde fator vergroot Omdat Q is R 5 en is 7 7 QR a e lijnen en lopen evenwijdig aan elkaar aaruit volgt: (F-hoeken) en (F-hoeken) Ook is us de overeenkomstige hoeken van zijn even groot als de hoeken van waaruit volgt dat Verhoudingstael: 9 Hieruit volgt: 9 9 9 8 9 9 9 9 8 a ladzijde riehoek maar ook r zijn dus twee manieren om de lengte van te vinden Manier : geruik 8 n dus: 8 8 8 8 Manier : geruik n dus: en is Met de tael van manier van a: 8 8 8 8 Met de tael van manier van a: 8 8 r geldt en dus 8 8 Zo dat : 8 8 8 8 8 8 8 Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen havo deel
Met de tael van het vooreeld: M 8 5 5 M M 5 Met ythagoras: M M + + 5 M 5 7 Omdat F M geldt de verhoudingstael: 5a F 8 F F M M 7 M Hieruit volgt: F 8 8 8 F M 7 7 M 7 5 x x Hieruit volgt: x x 5 n dus is 5 5 50 x ( x) x + 50 Hershrijven tot 5x 50 geeft x 0 5 5 : 5 dus de verhouding tussen de overeenkomstige zijden van en is 5 us de verhouding tussen zijde en zijde is 5 In andere woorden: voor elk stuk van lengte van is er een stuk van lengte 5 van In nog andere woorden: v oor elk stuk van 5 hoort 5 ij en ij ls je de in stukjes van 5 verdeelt en vermenigvuldigt met 5 dan krijg je de gezohte lengte: x 5 0 5 Uit F volgt: 5 0 F F F us geldt 5 0 8 5 5 n is + 0 + 8 8 Omdat F is F 8 Verder invullen van de tael geeft: 5 0 8 F F F 8 an volgt: 0 0 0 0 8 8 a ( 0 ) ( 08 ) en G( 08 ) H F G 8 Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen havo deel 5
Zijaanziht voor het afknotten: H is de lijn waar de piramide is afgeknot unt K ligt reht onder punt en punt L is de top van de niet afgeknotte piramide In het vooraanziht geldt K L it geeft als verhoudingstael: L L L K K K e verhouding tussen de zijden van eide driehoeken is an volgt: L L K 8 K e oorspronkelijke piramide was hoog d Om F op shaal te kunnen tekenen moeten je de lengte van de zijde of de zijde F weten ereken in driehoek K de lengte van K + K + 8 0 en dus 0 e F want F (Z-hoeken) F F (Z-hoeken) en F (overstaande hoeken) f F F F Stel x dan geldt F F x Uit de tael volgt dat de verhouding tussen de zijden van eide driehoeken is an volgt: x F F x it geeft: x ( F x) x+ F Hershrijf tot x F en dus is x F Met ythagoras vind je F + F + en dus F us x F 77 osinusregel ladzijde 7a 80 80 0 90 50 tanα tanα 8 tan 0 7 osα osα 8 os0 Uit sinα en osα volgt (sin ) (os ) α α + + + Volgens ythagoras geldt: + elen door geeft: + Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen havo deel L H F K
omineer de resultaten van en tot sin α+ os α (sin α) + (os α) + 8a sin( ) sin( ) sin( 80 ) 985 os os os 80 7 5 7 ythagoras: + + 985 7 9 en dus 5 9a In geldt sinα sinα In geldt osα osα n dus is osα ls je in de formule + de ij a gevonden formules met a invult krijg je: a ( sin α) + ( os α) sin α+ os α osα + Omdat os α+ sin α geldt: a sin α+ os α os α+ (sin α+ os α) osα+ + osα ladzijde 5 a e osinusregel: a 9 + 5 5 9 os 9 0 us a 9 osinusregel: QR 5 + 5 os 5 95 95 us QR 77 osinusregel KM KL + LM KL LM os L us is KL LM os L KL + LM KM n is os L KL + LM KM 5 + 8 00 KL LM 58 L os 00 58 Nogmaals de osinusregel: KL KM + ML KM ML os M Hershrijven: os M KM + ML KL + 8 5 KM ML 8 us M os ( 0 089) 95 08 a e shaal is : 50 000 dus elke kilometer krijgt in de 00 tekening lengte 00 m m 50 000 us W krijgt lengte 75 55 m en K krijgt lengte 7 9 m osinusregel: WK W + K K os 0 089 75 + 7 75 7 os 55 us WK 5 km r is afgerond op deimalen omdat het tweede getal ahter de komma de tientallen meters aangeeft : 50 000 Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen havo deel W K 7
8 a osinusregel a + a os γ hershrijven: os γ a + + 5 5 0 a 5 us γ os 0 90 en rehthoekige driehoek ls γ 90 dan geldt os γ0 e osinusregel versimpelt dan tot a + a 0 a + de stelling van ythagoras! a In geldt sinα sinα In geldt osα osα Ook is + en dus osα In + voor en de ij a gevonden formules samen met a invullen geeft: a ( sin α) + ( os α ) a ( sin α) + ( os α ) a sin α+ os α osα + (sin α + os α) osα+ + osα it is de osinusregel! Hoek tussen twee lijnen ladzijde a is een rehthoekige driehoek dus + + 5 5 5 en dus 5 8 Omdat een rehthoek is geldt is een rehthoekige driehoek dus + + 5 5 en dus 5 5 Omdat een rehthoek is geldt 8 In geldt + + 8 0 en dus en zijn evenwijdig dus (Z-hoeken) en (Z-hoeken) us de driehoeken zijn gelijkvormig Uit opdraht a volgt S + S en S + S 5 Stel S x en S y Omdat S S geldt: S 8 S x S 5 y S 5 S x S y Uit x x 8 volgt 5x 8 ( x) 8x + 80 5 80 us is 5x 80 en is S x 7 5 Uit de verhoudingstael volgt ook : 5 y 8 y 5 it geeft: 8y 5 ( 5 y) 5y + 5 5 us is 5y 5 en is S y 55 5 Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen havo deel
5a a d osinusregel: S + S S S os( S) Hershrijven tot: S S os( S) S + S os( ) + + S S S 7 55 8 05 S S 7 55 us S os ( 05 ) e S S (overstaande hoeken) Ook is S S (overstaande hoeken) Omdat S+ S 80 S 80 S 7 en is S 7 eide lijnen liggen in het vlak F Omdat tan( ) is tan tan 5 eide lijnen liggen in het vlak G e drie zijden van G zijn allen even lang dus G is een gelijkzijdige driehoek en elke hoek is 0 eide lijnen liggen in het vlak H d Gegeven is H Met ythagoras krijg je + 7 en dus 7 89 e is een rehthoekige driehoek dus tan 89 tan tan 5 8 is een gelijkenige driehoek dus geldt 5 8 en 80 58 70 eide lijnen liggen in vlak F tan F F dus F tan ( ) 5 F ligt in het midden van dus eide lijnen liggen in het vlak Met ythagoras volgt + + 0 dus 0 7 is gelijkenig en dus 0 7 osinusregel: + os( ) os( ) + os( ) + + S 7 7 7 7 us S os 0 00 5 F 0 00 Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen havo deel H 9
7a 8a e lijnen en liggen in het vlak Met ythagoras volgt F + F + dus 5 Omdat gelijkenig is is 5 osinusregel: + os os + en dus is e lijnen en F liggen in vlak F Met ythagoras volgt F + F + dus F 5 ij opdraht is erekend dat 0 7 Omdat F gelijkenig is is F 0 7 osinusregel: F + F F os F os F + F F F ladzijde 7 en F 78 e lijnen en H lopen zijn evenwijdig aan elkaar Lijn H snijdt deze lijnen daarom onder dezelfde hoek (Z-hoeken) tan 8 8 tan ( ) 5 en H liggen niet in eenzelfde vlak dus zijn het kruisende lijnen d en H lopen evenwijdig aan elkaar e hoek waaronder en elkaar snijden is daarom gelijk aan de hoek waaronder en H elkaar kruisen e Net als in opdraht d is de hoek waaronder en H elkaar kruisen gelijk aan de hoek waaronder en elkaar snijden tan tan ( ) 7 us 5 7 9 en dus kruisen de lijnen en H elkaar ook onder 9 lle gevraagde hoeken liggen in het vlak GH ythagoras: G + G + 89 en Q delen G in drie gelijke stukken dus Q QG 89 8 Met ehulp van de tekening is te zien dat: tan GHQ GQ 8 tan 07 GHQ 0 7 5 GH tan GH G 89 tan GH 0 5 8 HG ereken eerst GH want HQ GH GHQ tan GH 8 tan 09 GH 0 9 GH us HQ GH GHQ 5 8 ythagoras: H + H + 7 89 ; + + 8 ; H HG + G + ( 8 ) 8 5 H HG GH 90 7 d e lijnen liggen niet in één vlak dus ze kruisen elkaar Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen havo deel H G Q
e Je kunt HF erekenen HF is een gelijkzijdige driehoek dus HF 0 us kruisen HF en G elkaar ook onder 0 9a Het grondvlak is een regelmatig zeshoek dus zijn alle hoeken 0 F is gelijkenig F F us F ( 80 0 ) 0 F F 0 0 90 osinusregel: 0a F + F F os F + os0 8 ythagoras: F F + 8 + F Op analoge wijze kun je de andere diagonalen erekenen eide lijnen liggen in het vlak T Merk op dat de diagonalen elkaar middendoor snijden in S e hoek tussen en T is T tan T ST T tan 59 0 S dus de lijnen snijden elkaar onder een hoek van 59 0 ythagoras: T S + ST + 7 d T en T liggen eiden in vlak T de hoek tussen eiden is T T is een gelijkenige driehoek want T T osinusregel: T + T T T os T os T T + T T T + 0 87 T os 0 87 9 8 e T en T liggen eiden in vlak T de hoek tussen eiden is T T TS tan 9 f T en T liggen eiden in vlak T de hoek tussen eiden is T erst erekenen met de osinusregel: + os + os 0 8 Nu de osinusregel in T : T + T T T os T os T T + T T T e dakgoten liggen 5 meter oven de grond en de nok 9 meter dus de nok ligt meter oven de dakgoten F is meter het hele dak is meter us Q heeft een lengte van ( ) meter en vooraanziht van het dak is: F Q ythagoras: F Q + (hoogte) + 5 dus F 5m ythagoras: F F + 5 + dus F 58 m ythagoras: F FQ + Q dus FQ F Q 5 m 0 F T S + 8 0 09 T os 0 09 5 9 Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen havo deel
F d Uit de symmetrie van het dak volgt F m en m osinusregel: + os d e Loodreht ladzijde 8 ls de geodriehoek een hoek van 90 maakt met het tafellad e geodriehoek staat loodreht op het tafelvlak Ja de geodriehoek staat loodreht op de randen van de tafel ij het zijaanziht waarij je de geodriehoek alleen als een lijnstuk ziet lle lijnen die loodreht staan op het lijnstuk waarmee de geodriehoek het tafellad raakt a en G maken een hoek van 90 a en ; en alsmede en F snijden elkaar onder 90 en F kruisen elkaar loodreht d maakt met elke lijn in vlak GF een hoek van 90 d e os + ladzijde 9 + 0 70 os 0 70 9 staat loodreht op en staat loodreht op G e lijnen en G snijden elkaar dus staat loodreht op twee snijdende lijnen in vlak G en daarmee loodreht op vlak G zelf snijdt lijn loodreht en kruist lijn F loodreht e lijnen en F snijden elkaar dus staat loodreht op twee snijdende lijnen in vlak F en daarmee loodreht op vlak F zelf Lijn F ligt in vlak F maar F en GF staan niet loodreht op elkaar us GF staat niet loodreht op elke lijn in vlak F en daarmee niet loodreht op vlak F zelf MN loopt evenwijdig aan G Lijn HF staat loodreht op G en daarmee ook loodreht op elke lijn die evenwijdig loopt aan G dus loodreht op MN Nee lijn HF ligt in vlak HF en staat dus niet loodreht op vlak HF Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen havo deel
a T is een gelijkzijdige driehoek met zijde zie de linkertekening T is een gelijkenige driehoek met twee zijden van en zijde + + 7 89 T T ; punt M is het midden van T dus M TM en ook is M M us M TM Hieruit volgt dat M MT maar ook is M+ MT 80 us M MT 80 90 M staat loodreht op T Ook T is een gelijkzijdige driehoek us staat ook M loodreht op T d Zowel M als M liggen in vlak M en ze snijden elkaar dus M is het loodvlak van T dat door punt gaat e 5a U T S M S ligt op de lijn en ligt dus in vlak M lle lijnen in M snijden T loodreht dus de lijn vanuit S naar T die door vlak M gaat snijdt T loodreht it is de lijn SM maakt een hoek van 90 met en de lengte van is ls we de lengte van weten dan kunnen je erekenen Lijn ligt in het vlak en staat loodreht op T T In driehoek T geldt T T Omdat T + geldt 8 8 In driehoek is en omdat T staat ook loodreht op en is 90 an is tan 5 8 T Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen havo deel
a staat loodreht op het vlak T dus is driehoek T een rehthoekige driehoek met T + 8 en an is T T + + T F n geldt T F T F 0 5 Vanwege de symmetrie in het vlak T geldt F F 5 5 osinusregel: F + F F F os F dus os F F + F F F 5 5 + 5 5 7 0 59 F 5 5 5 5 enk een assenstelsel langs en F in het vlakdeel GF met als oorsprong F M G S K Het hellingsgetal van K is dan en het hellingsgetal van M is dan Omdat snijden K en M elkaar loodreht M staat loodreht op K Ook kruisen en K elkaar loodreht us staat K loodreht twee snijdende lijnen in het vlak M en daarmee is M een loodvlak van K erekenen eerst de lengtes van de zijden van M : M G + GM + 5 M MF + F + + + ( ) 7 en + + ( ) 9 Omdat M + M 5 + 7 9 is M 90 Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen havo deel
5 Hoek tussen lijn en vlak ladzijde 0 7a tan tan 5 is groter dan it komt omdat langer is dan maar de paal dezelfde lengte houdt moet daarom een grotere helling heen dan en dus is groter dan 8a 9a e lijn tan T T T tan 9 staat loodreht op omdat eiden diagonalen zijn van een vierkant ligt in vlak T Tevens wordt loodreht gekruist door T Lijn T ligt in vlak T en snijdt us staat loodreht op twee elkaar snijdende lijnen van vlak T en staat dus loodreht op T zelf d Noem het snijpunt van lijn met punt Q e projetie van T op T is dan QT T Q e e hoek tussen rie T en vlak T is TQ an is T + T + 5 en Q + Hieruit volgt sin TQ Q TQ sin T 5 ladzijde 5 e projetie van is K; de projetie van F is KL; de projetie van is K; de projetie van is L F staat loodreht op het vlak e loodrehte projetie van F op is punt e loodrehte projetie van F op het vlak KL is L e hoek tussen F en L is FL F + + 8 89 en FL dus sin FL FL FL sin 9 F 89 89 Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen havo deel 5
d 0a d e f Noem het punt halverwege punt de loodrehte projetie van op het vlak is e hoek tussen en is In geldt In geldt + 8 + 8 tan 8 8 Voorvlak: F; linkervlak: H; ahtervlak: G; rehtervlak: G; ovenvlak: G; grondvlak: e hoeken in een kuus zijn alleen afhankelijk van de verhouding van de rien e verhoudingen tussen de rien van een kuus zijn altijd hetzelfde ongeaht de grootte van de kuus n daarmee zijn de hoeken ook altijd hetzelfde e loodrehte projetie van G op GF is G e hoek tussen G en G is G G + 5 an is tan G G tan 5 5 G 5 e ij opdraht a gevonden projeties zijn allen even groot evenals de rien van de kuus e hoek tussen G en de projeties is daarmee ook even groot Laat S het midden zijn van HF en T het midden van dan is ST de projetie van G op HF Merk op dat ST evenwijdig loopt aan G de hoek tussen G en ST is dus gelijk aan de hoek tussen G en G zijnde G Zijde G 5 tan G 5 5 G tan 55 G e loodrehte projetie van Q op vlak F is lijn Hieronder is vlakdeel H getekend het snijpunt van Q en is punt en punt R ligt halverwege Q R H Je gaat erekenen door eerst en Q RQ te erekenen tan 5 en RQ tan us 80 RQ 7 a e loodrehte projetie van R op is R e hoek tussen R en R is R Merk op dat een regelmatig viervlak is dus alle zijvlakken zijn gelijk Hieruit volgt dat R R R Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen havo deel
a Omdat het midden is van R is Ook is R R us R en R heen paarsgewijs gelijke zijden en dus is ook R R n ook is R+ R 80 dus is R 80 90 riehoek R is dus een rehthoekig driehoek ythagoras: R R us sin R R sin 5 R Noem het midden van punt S e loodrehte projetie van Q op vlak is QS e hoek tussen Q en QS is QS Merk op dat QS en gelijkvormig zijn met vergrotingsfator us QS Omdat een gelijkzijdige driehoek is is QS 0 Noem net als ij opdraht het midden van punt S e loodrehte projetie van op is S e hoek tussen en S is S e loodrehte projetie van op is S e hoek tussen en S is S Omdat alle zijden uit gelijke driehoeken estaan Q geldt dat S S dus S is een gelijkenig driehoek S S e loodrehte projetie van F op is e hoek tussen F en is F tan F F F tan 8 Omdat evenwijdig is aan is F de gevraagde hoek ereken eerst met ythagoras de zijden van F 5 ; 0 ; osinusregel: os 0 5 09 5 us en kruisen elkaar onder Hoek tussen twee vlakken ladzijde 90 en zijaanziht dat loodreht staat op F us zie je F als één punt d is groter dan 90 lk een wordt op een vlakdeel gezet ls de zwaaihaak op deze wijze wordt neergezet staan de eide enen van de zwaaihaak loodreht op de snijlijn van de eide vlakdelen e hoek die ze enen van de zwaaihaak dan maken is de hoek tussen de eide vlakken Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen havo deel R S 7
5a d a d e 8 ladzijde e snijlijn van T met het grondvlak is Het vlak T staat loodreht op T en dus is T een standvlak an is T een standhoek r geldt dat tan T T T tan ( ) 8 dus de hoek tussen de vlakken T en het grondvlak is ongeveer 8 e snijlijn van T met het grondvlak is Trek vanuit een lijn loodreht op en noem het snijpunt van deze lijn met punt S T S Het vlak ST staat loodreht op en dus is ST een standvlak an is ST een standhoek In driehoek geldt S en ook is + 8 us 8 S S 80 5 tan ST S 5 ST us de hoek tussen de vlakken T en het grondvlak is ongeveer e snijlijn van T en T is lijn T Het vlak staat loodreht op T en dus is een standvlak an is een standhoek r geldt dat tan tan 5 8 8 lk vlak dat door de lijn T gaat (met andere woorden: elk vlak waar de lijn T geheel in ligt) staat loodreht op vlak lle rien van de piramide zijn even lang dus T is een gelijkzijdige driehoek an is S een hoogtelijn in deze driehoek en dus staat S loodreht op T Met een analoge redenering vind je dat S loodreht staat op T S en S snijden elkaar en liggen eide in vlak S dus T staat loodreht op S e vlakken T en T Het vlak S is het standvlak en S is de standhoek Om S met de osinusregel moet je eerst de lengtes van S en S erekenen + 8 ; S S S 8 8 osinusregel: S + S S S os S os S S + S 8 + 8 8 S os ( ) 9 S S 8 8 Lijn T staat loodreht op vlak S en vlak T gaat door lijn T dus vlak T staat loodreht op vlak S 90 want staat loodreht op het vlak T dus kruist of snijdt elke lijn in dat vlak loodreht Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen havo deel 8
7a Het ovenvlak is 5 gedraaid ten opzihte van het grondvlak Het ovenvlak en het grondvlak zijn vierkanten met zijden van m Het vierkant van het ovenvlak is 5 gedraaid ten opzihte van het grondvlak Je krijgt dan als ovenaanziht (waarij elk hokje m is): e gelijkzijdige driehoeken heen zijden van m en hoogtelijn heeft dan lengte 7 7 m d Twee tegenoverliggende hoekpunten in het ovenvlak zijn + 98 m van elkaar verwijderd e onderzijde van de doorsnede heeft lengte m e zijden van de doorsnede zijn de ij opdraht erekende hoogtelijnen Je krijgt als mogelijke doorsnede: e f F Met de doorsnede die hieroven staat kun je de hoogte erekenen e ovenkant van de doorsnede is m reed de onderkant m an geldt F 7 7 9 m us de hoogte F F 7 ( 7 7) 8 m Geruiken weer de doorsnede voor de erekening van de hoek e lijn door loodreht de doorsnede is een snijlijn van een zijvlak met het grondvlak Het zijvlak waarvan de hoogtelijn is staat loodreht op deze lijn dus het zijvlak waarin ligt is een standvlak is een standhoek In is 7 os ( ) 8 us is de gezohte sherpe hoek 7 Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen havo deel 9
8a 0 7 Gemengde opdrahten ladzijde 5 R 5 Q e hoek tussen het noordoosten en het zuiden is 5 dus QR 5 osinusregel: QR R + QR R QR os QR + 5 5 os 5 57 us is QR km osinusregel: R Q + RQ Q QR os QR Q + QR R + 5 7 5 us os QR Q QR n dus RQ 80 QR QR 7 9 0 89 QR 7 9a e vloeistofspiegel van een laag water is altijd vlak én van de randen van de vloeistofspiegel is de rand waarover de vaas wordt leeggegoten Omdat de vaas een alk is vormt een vlak dat die rand evat altijd een rehthoek ls de vaas reht overeind staat (en dus nog helemaal vol is) dan x 0 ls de vaas op zijn zijde ligt (dus geheel gekanteld is en leeg is) dan x 90 us 0 x 90 e vaas is een alk met rien van dm en dm In de middelste figuur vormt de vloeistofspiegel een diagonaal van het zijaanziht us tanx x tan Omdat de vloeistofspiegel evenwijdig loopt met het oppervlak is x gelijk aan de draaihoek (Z-hoeken) 0a ekijk de hoek tussen en K dit is K e hoeken die de andere opstaande rien maken zijn hetzelfde en K liggen eiden in vlak dit vlakdeel teken je K Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen havo deel
d e Hierij is het punt reht onder K dus ligt in het midden van an geldt in K: tan K K K 5 K eze hoeken zijn gelijk aan de hoeken die KL KM en LM maken met F en F Omdat K L en M de middens zijn geldt: KM // F KL // F en ML // K e hoeken die de rien van het ovenvlak maken met de rien van het ondervlak zijn of 0 of 0 Het ondervlak en ovenvlak lopen evenwijdig dus de hoek die vlak LM maakt met het ovenvlak is gelijk aan de hoek die LM maakt met het ondervlak (in feite Z-hoeken in ) e snijlijn van LM met het ovenvlak is LM Vlak F staat loodreht op LM dus dit is het standvlak e standhoek is dan LF tan LF FL LF tan 5 F us het ovenvlak en LF snijden elkaar onder 5 Het grondvlak en LF snijden elkaar onder 5 KL loopt evenwijdig met M dus de hoek waaronder KL en M elkaar kruisen is gelijk aan de hoek waaronder M en M elkaar snijden it is MF MF LF 5 dus KL en M snijden elkaar onder 5 e lijnen M en L liggen eiden in vlak LM en zijn niet evenwijdig dus ze snijden elkaar Noem de hoek waaronder ze elkaar snijden α het snijpunt noem je Q Om α vinden erekenen je eerst L en M omdat geldt: α 80 L M Om L te vinden kijk je naar L ereken je alle zijden van deze driehoek en geruik de osinusregel en in L is L + 5 L ligt in de rehthoekige driehoek L us is L + L + 5 osinusregel: L + L L os L os L + L L + 5 L 5 L os 70 5 Uit de symmetrie volgt dat Q een gelijkenige driehoek is dus M L 70 5 us α 80 L M 80 705 9 ladzijde 5 a Het aantal meter uis vind je door het aantal stukken uis te tellen: 8 stukken dus 8 meter Ja QG en zijn evenwijdig F is evenwijdig aan T en SH d FQ Q 90 want de driehoeken Q en FQ zijn ongruent e hoek tussen F en FG is gelijk aan de hoek tussen F en FG eze lijnen snijden elkaar in FG lke driehoek estaande uit drie stukken uis heeft drie gelijke zijden is dus een gelijkzijdige driehoek en heeft dan hoeken van 0 an is FG FQ + QFG 0 0 en dus is FG 0 Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen havo deel M L F
e erst de hoek die de lijn T met het grondvlak maakt eze lijn ligt in de gelijkenige TR en daarvan is zijde R en de zijden RT T T an geldt TR os 5 7 an de hoek die de lijn T met het grondvlak maakt eze lijn ligt in de gelijkenige T In is + + en is T T an is T is een gelijkenige rehthoekige driehoek en dus is T 5 Het kind dat vanaf reht omhoog klimt gaat dus over een lijn die 5 7 5 9 7 steiler is a M is een rehthoekige driehoek met zijdem 0 Hieruit volgt: sin xm sin x en M os xm os x (Rekenmahine op radialen) us sin( π ) 5 en M os( π ) 8 e omtrek is ( + ) + ( M + M + ) + M 5+ 8 x ( ) + M 0sinx+ 0 os x ls 0 x π dan heeft x ( ) etekenis ls x namelijk iets groter is dan π dan is os( x ) < 0 it zou etekenen dat de oven- en onderkant van de rehthoek een negatieve lengte heen en dat kan niet d e (x) 50 5 0 5 0 5 0 5 5 0 0 0 0 08 ls de omtrek maximaal is dan is de afgeleide gelijk aan nul ( x) 0osx 0sin x 0 sin x tan x 0 os x 0 x tan ( ) 0 Voor x 0 is x ( ) maximaal ( 0 ) 0sin 0 + 0 os 0 7 Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen havo deel x
Test jezelf ladzijde 8 T-a Omdat 8 an geldt de verhoudingstael: 8 Hieruit volgt: 8 en dus 8 F F Met ehulp van de verhoudingstael van opdraht a ereken je eerst : 8 5 Noem F x dan is F 99 x en geldt de verhoudingstael: F 5 F x F F 5 F 99 x F e verhouding tussen eide driehoeken is 5 5 us moet gelden: F x F 99 x x ( 99 x) x + 99 us is x 99 en is x 99 7 T-a osinusregel: + os os + + 8 59 0 970 0 8 e piloot vloog op met een hoek γ ten opzihte van het noorden ij punt aangekomen moet hij met hoek δ van het noorden af draaien om een hoek van 7 ten opzihte van het noorden te krijgen us γ 7 δ an moet δ 80 osinusregel: + os os + + 59 8 59 0 us δ 80 9 7 en γ 7 δ 7 9 7 5 0 9 T-a en ovenaanziht van dit ojet estaat uit een gelijkzijdige driehoek met zijden waarij de middens van de zijdens met elkaar zijn veronden e middens van de zijden vormen QR lle uizen van driehoek QR heen lengte Q ligt evenwijdig aan dus de hoek waaronder en Q elkaar kruisen is gelijk aan de hoek waaronder en elkaar snijden en snijden elkaar in is een gelijkzijdige driehoek dus 0 Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen havo deel R F Q 7
d e Q en snijden elkaar in Q en liggen eiden in vlak Q dus teken je dit vlakdeel Trek vanuit en Q loodlijnen it geeft de punten K en L op Q ligt in het midden oven dus K L ( ) an is os K K os 75 5 K K L oor de symmetrie van de figuur geldt ook LQ Q 75 5 Vanwege de symmetrie van Q geldt ook: Q Q ovendien zijn de hoeken van een vierhoek samen 0 Hieruit volgt 0 Q+ Q + 755 dus Q ( 0 755 ) 5 Q en snijden elkaar onder 755 Noem het punt waar en Q elkaar snijden punt M dan snijden de lijnen met M en Q liggen eiden in het vlak Q ij opdraht d van deze opgave he je gevonden dat M 75 5 en Q M 75 5 us M 80 M M 9 T-a ls een rie loodreht op een vlak staat dan moeten alle lijnen in het vlak loodreht op de rie staan T ligt in vlak T maar staat niet loodreht op Immers: de hoek tussen eiden is T 0 want T is een gelijkzijdige driehoek us er is een lijn in het vlak T die niet loodreht op staat en dus staat vlak T niet loodreht op ls T loodreht staat op het vlak S dan geldt S 90 Omdat T een gelijkzijdige driehoek is moet S het midden zijn van T T staat loodreht op het vlak S us alle lijnen in het vlak S snijden of kruisen T loodreht ligt in het vlak S en kruist T dus onder een hoek van 90 T-5a ladzijde 9 Laat Q het snijpunt van vlak V met zijn H Q V F G Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen havo deel Q
d e T-a e loodrehte projetie van de lijn H op V is de lijn door QG e hoek tussen H en vlak V is daarom gelijk aan de hoek tussen de lijnen H en QG Omdat H evenwijdig loopt aan G is deze hoek ook gelijk aan de hoek tussen G en QG tan QG QG tan 5 G us de hoek tussen H en vlak V is 5 e loodrehte projetie van de lijn H op V is H G eveneens de lijn QG e hoek tussen H en vlak V is daarom gelijk aan de hoek tussen de lijnen H en QG Noem het snijpunt van H en QG punt S dan moet je SG erekenen H en QG liggen eiden in vlak HG S Uit opdraht a is ekend dat QG 5 Geruik dat GH een rehthoekige driehoek is dan is tan GH Q GH tan 5 G us SG 80 QG GH 80 SG GS 80 5 5 89 us de lijn H en het vlak V snijden elkaar onder 89 H is de projetie van HF op H H Q F G e projetie van HF op H is H dus de hoek tussen HF en HH is de hoek tussen HF en H an is HF HG + FG + 5 en tan HF F HF 0 HF 5 e vlakken T en H snijden elkaar in lijn en vlak waarin je de hoek tussen T en H op ware grootte kunt zien moet loodreht staan op Kies hiervoor HG met de projeties van vlak T (lijn S) en vlak H (lijn H) waarij S het midden van GH is e hoek tussen eide vlakken is de hoek tussen H en S is HS tan HS HS HS H eide vlakken snijden elkaar onder H Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen havo deel F S G Q G 5
T-7a e vlakken T en T snijden elkaar in een lijn die evenwijdig loopt aan F en door T gaat en vlak waarin je de hoek tussen T en T op ware grootte kunt zien moet loodreht staan op deze lijn en vlak dat hieraan voldoet is GF In het vlakdeel GF zijn de projeties van T (lijn Q) en T (lijn Q) te zien waarij Q het midden van FG is tan QF F QF tan ( ) QF oor de symmetrie van het vierkant geldt ook QG tan ( ) us is Q 80 QG QF 5 eide vlakken snijden elkaar dus onder 5 Kies een snijlijn tussen twee vlakken en kies vervolgens een vlak loodreht op deze lijn lle rien zijn m dus dit vlak is een regelmatig ahthoek: elke stompe hoek is even groot Verdelen in driehoeken geeft zes driehoeken met totaal 80 80 en dus is elke stompe hoek 80 5 8 Kies een snijlijn tussen een vierkant en een driehoek en vervolgens een vlak loodreht op deze lijn Je krijgt dan de eerste figuur hiernaast Nu zijn ehter niet alle zijden even lang r zijn twee zijden van m twee zijden van + m en vier zijden van 8 m Met ehulp van opdraht a ereken je de hoogte van de lantaarn lle zijden in de tekening zijn m en alle shuine zijden staan onder een hoek van 5 e hoogte van een shuine zijde is sin( 5 ) e hoogte van de lantaarn wordt daarmee + + In de tekening is en is 8 an is sin 5 7 8 n dus is (stompe) hoek tussen een driehoekig en een vierkant vlakdeel 90 + 5 7 7 Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen havo deel F
T-8a Teken een aanziht van de eide vlakken in de rihting van de snijlijn an krijg je de volgende figuur waarij de vette lijnen de vlakken zijn en de dunne lijnen de loodlijnen e letters zijn alleen om onderstaande uitleg te verduidelijken Merk op dat het snijpunt van de projeties van de loodlijnen is en de projetie van de snijlijn van de vlakken en e derde hoek van is gelijk aan de derde hoek van dus us de hoek waaronder de vlakken elkaar snijden is gelijk aan de hoek waaronder de loodlijnen elkaar snijden ls een lijn twee vlakken V en W loodreht snijdt dan staan V en W evenwijdig Nee dit klopt niet ls de twee lijnen in het vlak evenwijdig zijn dan ligt een loodreht snijdende lijn ook in dat vlak Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen havo deel 7