De Poisso-verdelig = 1,5 4b ( ) P = = Doele Geschiedeis Diagostische toets 4.5 De Poisso-verdelig, ee ileidig 4.5.1 De Poisso-verdelig 4.5.2 De tabel va de Poisso-verdelig 4.5.3 De verwachtigswaarde e de variatie va de Poisso-verdelig 4.5.4 De beaderig va de biomiale verdelig door de Poisso-verdelig 4.5.5 De beaderig va de Poisso-verdelig door de ormale verdelig Eidtoets Bijlage 1 Bewijs va de formule voor de Poisso-verdelig 2 Tabel Poisso-verdelig voor eelvoudige -waarde 3 Het bewijs voor E() = e Var() = 4 De som va oafhaelije Poisso-verdeelde asvariabele 5 De Poisso-verdelig met Excel 6 De Poisso-verdelig met de TI-83 Uitwerige va de opgave e! Doele Na het bestudere va dit hoofdstu u je: Ee Poisso-verdelig heree. De verschille aageve met ee biomiale verdelig. Kasvraagstue oplosse met de Poisso-verdelig. Kasvraagstue die op te losse zij met de biomiale verdelig beadere met de Poisso-verdelig. Kasvraagstue die op te losse zij met de Poisso-verdelig beadere met de ormale verdelig. Geschiedeis Siméo Poisso (1781-1840) was ee Frase wisudige, gebore i de gemeete Pithiviers i het departemet Loiret. Hij leefde dus i de periode va de Frase revolutie 1789 1799 e te tijde va adere grote Frase wisudige als Legedre, Laplace e Fourier. Op jeugdige leeftijd werd hij door zij vader aar Fotaiebleau gestuurd om zich bij zij oom, die chirurg was, te wijde aa de geeesude. Maar omdat zij eerste patiët eele ure a ee door hem uitgevoerde operatie stierf, wilde hij iets meer met geeesude te mae hebbe. Omdat hij eige aaleg i wisude blee te hebbe, werd hij aar de plaatselije École Cetrale gestuurd, * Siméo Deis Poisso Pithiviers i het departemet Loiret
2 Statistie voor techici waar hij zich verder bewaamde i de wisude. Als 17-jarige start hij aa de École Polytechique i Parijs. Bie twee jaar wist hij zich door publicatie va twee wisudige documete toegag te verschaffe tot het weteschappelije wereldje met oder adere Laplace, Legedre, bij wie hij colleges volgde, e Fourier. Naast zij aadacht voor het weteschappelije wer hij publiceerde meer da 300 teste over het brede gebied va de zuivere e toegepaste wisude had hij veel iteresse i het lesgeve. Hij blo hieri zo uit dat zij medestudete a ee erg moeilij college va éé va zij collega s vaa aar zij amer gige, om hem het college og ees uit te late legge e toe te lichte. I 1806 volgde hij Fourier, die aar Greoble vertro, op als hoogleraar aa de École Polytechique. Naast het hoogleraarschap aa de École Polytechique was hij astrooom aa het Bureau des Logitudes, hoogleraar aa de Faculté des Scieces i de ratioale mechaica' (professeur de mécaique ratioelle), oderzoeer aa de militaire school (École Militaire) i Sait-Cyr, oderzoeer aa de École Polytechique, raadsma va de uiversiteit, e meetudige bij het Bureau des Logitudes als opvolger va Laplace i 1827. Oo i de statistie heeft hij zij spore verdied. De Poisso-verdelig is door hem i 1837 i slechts éé pagia va zij statistisch wer Recherches sur la probabilité des jugemets e matières crimielles et matière civile beschreve. Hij lee zich terauwerood bewust va de grote pratische bruibaarheid va deze asverdelig. Ladislaus Josephowitsch vo Bortiewicz was de eerste die i 1898 de belagrijheid va de verdelig oderede. Hij paste haar toe i zij studie aar het aatal Pruisische soldate dat i de jare 1875 tot e met 1894 de dood vod door ee lap met ee paardehoef, beschreve i zij boe Das Gesetz der leie Zahle. Laplace, 1749-1827 Legedre, 1752-1833 Fourier, 1768-1830 Siméo Deis Poisso, 1781 1840 Frase Revolutie, 1789-1799 Diagostische toets 1. Voor het aatal patiëte dat per dag i ee zieehuis bieomt tusse 10:00 uur e 10:30 uur eme we als asmodel ee Poisso-verdelig met parameter. I 10 aselect geoze dage blije i totaal 90 patiëte tusse de hiervoor geoemde tijdstippe bie te ome. a. Geef ee schattig va het gemiddelde aatal per dag. b. Bepaal de as dat er per dag precies 6 patiëte bieome tusse 10:00 uur e 10:30 uur. Laat m het aatal patiëte zij dat per dag tusse 10:30 uur e 11:00 uur bieomt met parameter m. Uit ee steeproef is geblee dat m = 5,6. c. Bepaal de as dat er op ee willeeurige dag tusse 10:00 uur e 11.00 uur mider da 16 patiëte bieome. d. Geef ee schattig va Var( + m). 2. Het aatal uurwere dat per werdag bij ee juwelier verocht wordt, a als ee Poisso-verdelig beschouwd worde. Het aatal werdage per wee is gelij aa vijf. Het gemiddeld aatal uurwere dat verocht wordt bedraagt 4. Ele maadag wordt de voorraad va deze juwelier aagevuld tot 20 uurwere. a. Hoe groot is de as dat de juwelier te weiig voorraad heeft?
4.5 De Poisso-verdelig 3 b. Hoe groot moet de voorraad zij om deze as mider te late zij da 13%? 3. I ee productiebedrijf heeft me gedurede ee jaar per werdag bijgehoude hoeveel storige er per dag aa ee machie optrede. De tweede olom i de hieravolgede tabel geeft de waargeome aatalle ere aa met 0, 1, 2, 3, 4 respectievelij meer da 5 storige per dag aa. Het totaal aatal storige is 333. Hier is sprae va ee zeer groot aatal uitvoerige va ee asexperimet (productiehadelige met ee machie) met ee zeer leie as op succes (storig). waargeome aatal aatal storige per dag storige per dag 0 133 1 122 2 54 3 20 4 4 5 0 totaal 333 het verwachte aatal storige per dag De verwachtig is da oo dat de waargeome aatalle storige goed beader ue worde met ee Poisso-verdelig a. Beree het gemiddelde aatal storige per dag i éé cijfer auweurig achter de omma. b. Beree i olom drie het verwachte aatal ere met 0, 1, 2, 3, 4 respectievelij meer da 5 storige per dag. c. Wat vid je va de mate waari de Poisso-verdelig de waargeome aatalle storige beadert? 4.5 De Poisso-verdelig, ee ileidig I hoofdstu 4 wordt het oderwerp asreeig behadeld. Kasreeig gebruie we bij het bestudere va uitomste waarbij toeval ee belagrije rol speelt. Bij die uitomste a de as uitgereed worde. Deze uitomste vorme same met hu bijbehorede ase ee asverdelig. Met ee asverdelig wordt ee asmodel vastgelegd. Er wordt oderscheid gemaat i discrete e cotiue asmodelle. I deze aavullig va geoemd hoofdstu, e wel op paragraaf 4.4, wordt óg ee discrete asverdelig besproe die gebruit wordt voor allerlei pratische toepassige e die i de techie bijvoorbeeld bij productieprocesse va toepassig is. Voorbeeld 1 Dodelije bedrijfsogevalle: recete otwielige 1 Wim va de Berg I 2005 zij 74 persoe overlede als gevolg va ee dodelij bedrijfsogeval. Dit is het laagste aatal i de afgelope tie jaar. Het aatal persoe dat jaarlijs door ee bedrijfsogeval overlijdt, schommelde i de periode 1996-2005 tusse 74 e 126. Bija alle slachtoffers zij mae. Het aatal 55-plussers oder he is relatief hoog. Beeld rae is de meest vooromede oorzaa va 1 Vrij bewert aar ee oderwerp op de website http://www.cbs.l/nr/rdolyres/102e1ad3-e129-467d- 8CB5-6D078F2CC3C1/0/20064b15p58art.pdf
4 Statistie voor techici ee dodelij ogeval, gevolgd door valle. Ruim ee wart va de slachtoffers (26) werte i de bouwijverheid; per hoderdduized werede valle de meeste slachtoffers echter i de agrarische sector. a. Beree de as op 2 dodelije bedrijfsogevalle i de bouwijverheid i ee bepaalde wee va het jaar 2005. b. Beree de as op meer da 1 dodelij bedrijfsogeval i de bouwijverheid i ee bepaalde wee va het jaar 2005. We gaa deze situatie ees ader beije. Als we het aatal dodelije bedrijfsogevalle i de bouwijverheid per twee wee bijhoude, da zal i werelijheid het aatal dodelije bedrijfsogevalle per twee wee gemiddeld 1 persoo zij. Mer op dat er wee ue zij dat er iet éé dodelij bedrijfsogeval te bespeure valt, terwijl er oo wee ue voorome met 1, 2, 3 e zelfs meer dodelije bedrijfsogevalle. Het gemiddelde aatal dodelije bedrijfsogevalle is 1. We verdele u de twee wee i 14 24 = 336 gelije itervalle va éé uur. Stel u dat als er ee dodelij bedrijfsogeval plaatsvidt dit i precies éé uur gebeurt. Laat het aatal dodelije bedrijfsogevalle i de bouwijverheid zij dat i ee tijdsiterval va precies éé uur plaatsvidt. Dat beteet dus dat er i twee wee 336 Beroulli experimete zij, met de as dat er i ee zo tijdsiterval va éé uur ee dodelij bedrijfsogeval i 1 de bouwijverheid plaatsvidt 336 0, 0030 bedraagt. De as dat er gee dodelij bedrijfsogeval i dat tijdsiterval gebeurt, is da gelij aa 1 0,0030 = 0,9970. Omdat de experimete oafhaelij zij va elaar e el experimet eezelfde as op succes P ( = ) = heeft va 0,0030 is het aatal ere dat er ee p ( 1 p) bedrijfsogeval per uur plaatsvidt dus biomiaal verdeeld met p = 0,0030. Volges deze biomiale verdelig met = 336 e p = 0,0030 vide we voor de ase = 0, 1, 2 3 e 3: 336 0 336 P ( = 0) = 0, 0030 0,9970 0,3644 0 = 336 1 335 P ( = 1) = 0, 0030 0,9970 = 0,3684 1 336 2 334 P ( = 2) = 0, 0030 0, 9970 0,1857 2 = 336 3 333 P ( = 3) = 0, 0030 0, 9970 = 0, 0622 3 Repetitie: Gegeve ee Beroulli experimet met succesas p. De asvariabele is het totale aatal successe i oafhaelije uitvoerige va dat Beroulli experimet. Da hebbe we geleerd dat de asvariabele biomiaal verdeel is met
4.5 De Poisso-verdelig 5 Verdele we u ee etmaal i miute da zij er 14 24 60 = 20.160 gelije itervalle va éé miuut. Stel dat als er ee dodelij bedrijfsogeval plaatsvidt dit i precies éé miuut gebeurt. Laat het aatal dodelije bedrijfsogevalle i de bouwijverheid zij dat i ee tijdsiterval va precies éé miuut plaatsvidt. Dat beteet dus dat er i twee wee 20.160 Beroulli experimete zij, met de as dat er i ee zo tijdsiterval va éé miuut ee 1 dodelij bedrijfsogeval i de bouwijverheid plaatsvidt 20.160 0, 00005 bedraagt. De as dat er gee dodelij bedrijfsogeval i dat tijdsiterval gebeurt, is da gelij aa 1 0,00005 = 0,99995. Omdat de experimete oafhaelij zij va elaar e el experimet eezelfde as op succes heeft va 0,00005 is het aatal ere dat er ee bedrijfsogeval per miuut plaatsvidt dus biomiaal verdeeld met p = 0,00005. Volges deze biomiale verdelig met = 20.160 e p = 0,00005 vide we voor de ase = 0, 1, 2 3 e 3: 20160 0 20160 P ( = 0) = 0, 00005 0, 99995 = 0,3649 0 20160 1 20159 P ( = 1) = 0, 00005 0, 99995 = 0,3679 0 20160 2 20158 P ( = 2) = 0, 00005 0,99995 0,1854 0 = 20160 3 20157 P ( = 3) = 0, 00005 0,99995 = 0, 0623 0 Dit levert vier ase op die verschilled zij va de vorige vier. Wat u? Uit het voorgaade blijt echter dat er ee verdelig te bedee is die het limietgeval va de biomiale verdelig is waarbij het aatal asexperimete aar oeidig gaat, wisudig geoteerd met, e de as op succes p aar 0 gaat, geoteerd als p 0 zodat P ( = ) = lim p ( 1 p) = e!. Voor ee bewijs raadpleeg bijlage 1., p 0 Mer op dat de Poisso-verdelig ee model is voor het optrede va zeldzame gebeurteisse. Daarmee wordt het volgede bedoeld. Als het om gebeurteisse i de tijd gaat, da bedoele we met zeldzame gebeurteis dat de tijd die de gebeurteis duurt ort is i vergelijig met de hoeveelheid tijd tusse twee opeevolgede gebeurteisse. I voorgaad voorbeeld over het aatal dodelije bedrijfsogevalle i de bouwijverheid da gebeurt zo ogelu i ee fractie va ee secode e dus erg lei i vergelijig met de tijd die verloopt tusse twee dodelije bedrijfsogevalle. 4.5.1 De Poisso-verdelig Als de stochastische variabele het totale aatal successe aageeft i ee zeer groot aatal oafhaelije uitvoerige va ee asexperimet met ee zeer leie succesas p da is de as op successe P( = ) gelij aa e 2!, met = 0, 1, 2,,. 2 Voor het bewijs va de formule wordt verweze aar de bijlage
6 Statistie voor techici De verzamelig uitomste met de bijbehorede ase P( = ) vormt de asverdelig die de Poisso-verdelig heet. Kemere: 1. Het experimet bestaat uit het telle va het telle va het aatal eer dat ee zeere gebeurteis vooromt gedurede ee gegeve tijdsiterval of ee legte-eeheid of ee volume-eeheid (of gewicht, afstad of eige adere meeteeheid). 2. de as dat ee gebeurteis vooromt i ee gegeve tijds-, oppervlate- of volumeeeheid is voor ele eeheid gelij 3. het aatal gebeurteisse dat vooromt i ee tijds-, oppervlate- of volume-eeheid is oafhaelij va het aatal dat vooromt i adere eehede. 4. het gemiddelde aatal gebeurteisse i ele meeteeheid wordt aagegeve met de Griese letter. I voorgaade formule is e het grodtal va de atuurlije logaritme met e 2,71828. Mer op dat uit de formule va de asfuctie f() = P( = ) blijt dat de ase i de Poissoverdelig odubbelziig zij vastgelegd door de waarde va. Je hoeft dus iet het aatal asexperimete e de succesas p te wete. Ee Poisso-verdelig vidt haar toepassig i situaties waar het gaat om het aatal voorvalle per tijdseeheid zoals het aatal storige per uur, het aatal vereersogevalle per jaar, het aatal late dat zich meldt aa het loet, het aatal bradmeldige per maad, het aatal telefoogespree per dag, het aatal tie op de geigerteller per miuut bij metig va radioactiviteit, het aatal auto s dat per miuut ee bepaald put va ee selweg passeert. Maar oo het aatal voorvalle per oppervlate-eeheid of per ihoudseeheid: het aatal weeffoute per m 2, het aatal paardebloeme per are weilad, het aatal voltreffers tijdes bombardemete op Lode i de tweede wereldoorlog, het aatal bacterië i ee liter water, het aatal molecule va stof X i ee liter verotreiigde vloeistof We gaa u ee atwoord geve op de vrage a e b uit de ileidig. a. Beree de as op 2 dodelije bedrijfsogevalle i de bouwijverheid i ee bepaalde wee va het jaar 2005. De stochastische variabele is het aatal dodelije bedrijfsogevalle i 2005 i de bouwijverheid i ee wee. Deze is Poisso verdeeld met = 26 1 52 = 2. Gevraagd 1 wordt P ( 2 ) 1 2 1 2 2 = = 2 = e 0,0758 = 7,58%. Het aatal experimete is iet 2! belagrij, wel de waarde va. b. Beree de as op meer da 1 dodelij bedrijfsogeval i de bouwijverheid i ee bepaalde wee va het jaar 2005. Het gevraagde is hier P > 1 = 1 = 1 P 1 = 1 = 1 P = 0 = 1 P = 1 = 1 = ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 11 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 1 e e = 1 0,6065... 0,30326... 0, 0902 = 9,02%. 0! 1! Deze waarde ue oo met behulp va de tabelle i bijlage 2 gevode worde. Nog ee voorbeeld:
4.5 De Poisso-verdelig 7 Voorbeeld 2 Ee receptioiste va ee bedrijf otvagt gemiddeld per uur twitig telefootjes. Wat is de as dat ze i ee wartier mider da vijf telefootjes otvagt. Uitwerig Het aatal telefootjes dat de receptioiste i ee wartier otvagt mag als Poisso verdeeld beschouwd worde met = 5. Gevraagd wordt 0 1 4 5 5 5 5 5 5 P ( < 5 = 5) = P ( = 0) + P ( = 1 ) +... + P ( = 4 ) = e + e +... + e 0,4405 0! 1! 4! Met de tabel uit bijlage 2 vide we de uitomst direct. 4.5.2 De tabel va de Poisso-verdelig Met de formule voor de Poisso-verdelig is de tabel voor verschillede - e -waarde te mae. Deze is i bijlage 2 terug te vide, éé voor de eelvoudige -waarde e éé voorde cumulatieve waarde va. Het opzoee va P ( 3 2) = = gaat als volgt. Raadpleeg de tabel met de verdelig voor eelvoudige waarde va, zie de hier avolgede tabel. 0,3000 0,2500 0,2000 0,1500 0,1000 0,0500 0,0000 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 P ( = 3 = 2) = 2 2 e 3 3! 0,1 8 0 4 = = 0,1 = 0,2 = 0,3 = 0,4 = 0,5 = 0,6 0 0,9048 0,8187 0,7408 0,6703 0,6065 0,5488 1 0,0905 0,1637 0,2222 0,2681 0,3033 0,3293 2 0,0045 0,0164 0,0333 0,0536 0,0758 0,0988 3 0,0002 0,0011 0,0033 0,0072 0,0126 0,0198 4 0,0000 0,0001 0,0003 0,0007 0,0016 0,0030 5 0,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0,0002 0,0004 = = 0,7 = 0,8 = 0,9 = 1,0 = 1,5 = 2 0 0,4966 0,4493 0,4066 0,3679 0,2231 0,1353 1 0,3476 0,3595 0,3659 0,3679 0,3347 0,2707 2 0,1217 0,1438 0,1647 0,1839 0,2510 0,2707 3 0,0284 0,0383 0,0494 0,0613 0,1255 0,1804 4 0,0050 0,0077 0,0111 0,0153 0,0471 0,0902 5 0,0007 0,0012 0,0020 0,0031 0,0141 0,0361 6 0,0001 0,0002 0,0003 0,0005 0,0035 0,0120 7 0,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0,0008 0,0034 8 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0,0009 9 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0002 Zo zoe je P ( 3 2) = = op! Zoe op = 2 e hetzelfde deel va de tabel = 3. Op het ruisput va beide waarde vid P = 3 = 2 = 0,1804. je ( )
8 Statistie voor techici Voor de uitomst va P ( 3 2) = raadpleeg je de tabel met de verdelig voor cumulatieve waarde va. I de hieravolgede figuur staat ee deel va de tabel die aageeft hoe je de bijbehorede waarde vidt: 0,8571. = = 0,9 = 1,0 = 1,5 = 2,0 = 2,5 = 3,0 = 3,5 = 4,0 0 0,4066 0,3679 0,2231 0,1353 0,0821 0,0498 0,0302 0,0183 1 0,7725 0,7358 0,5578 0,4060 0,2873 0,1991 0,1359 0,0916 2 0,9371 0,9197 0,8088 0,6767 0,5438 0,4232 0,3208 0,2381 3 0,9865 0,9810 0,9344 0,8571 0,7576 0,6472 0,5366 0,4335 4 0,9977 0,9963 0,9814 0,9473 0,8912 0,8153 0,7254 0,6288 5 0,9997 0,9994 0,9955 0,9834 0,9580 0,9161 0,8576 0,7851 6 1,0000 0,9999 0,9991 0,9955 0,9858 0,9665 0,9347 0,8893 7 1,0000 1,0000 0,9998 0,9989 0,9958 0,9881 0,9733 0,9489 8 1,0000 1,0000 1,0000 0,9998 0,9989 0,9962 0,9901 0,9786 9 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9997 0,9989 0,9967 0,9919 10 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9997 0,9990 0,9972 11 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9997 0,9991 12 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9997 13 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 14 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 Zo zoe je P ( 3 2) = op! De as a oo bereed worde met de tabel va de verdelig voor eelvoudige waarde va : P 3 = 2 = P = 0 + P = 1 +... + P = 3 = 0,1353 + 0, 2707 +... + 0,1804 = 0,8571. ( ) ( ) ( ) ( ) Oo a de as bereed worde door toepassig va de formule P ( ) e = =.! 0 1 3 2 2 2 2 2 2 P ( 3 = 2 ) = e + e +... + e 0,8571 0! 1! 3! Opgave 1. Het aatal computerstorige va éé computer per wee is ee stochastische variabele die ee Poisso-verdelig volgt. Het gemiddeld aatal storige per wee is gelij aa 3. Wat is de as dat deze computer gedurede twee wee gee eele storig vertoot? 2. Het aatal ogevalle per dag op ee bepaald wegva is Poisso verdeeld met ee gemiddelde va 2 per maad. a. Beree de as dat er precies 4 ogevalle plaatsvide i ee maad. b. Beree de as dat er meer da 2 ogevalle plaatsvide i ee maad. c. Beree de as dat er mider da 3 ogevalle plaatsvide i ee periode va twee made. 3. I ee productiebedrijf worde metale plate bewert, waarbij foute ue optrede. Geblee is dat bij dit bewerigsproces éé fout optreedt per m 2. Wat is de as dat ee bewerte plaat va 1,5 bij 2 m maximaal éé fout heeft.
4.5 De Poisso-verdelig 9 4.5.3 De verwachtigswaarde e de variatie va de Poisso verdelig We hebbe al gezie dat de Poisso-verdelig de plezierige eigeschap heeft dat je iet precies hoeft te wete hoe groot het aatal experimete is e hoe groot de succesas is. Daaraast heeft de Poisso-verdelig og twee opvallede eigeschappe: Als Poisso verdeeld is met parameter, da is de verwachtigswaarde va ee Poisso-verdelig is gelij aa, E() = e de variatie is eveees gelij aa, Var() =. Voor de stadaardafwijig geldt da σ = Opmerig: Omdat de verwachtigswaarde, het theoretische gemiddelde, bij de Poissoverdelig gelij is wordt i de literatuur het symbool vaa vervage door het symbool µ. Voor ee bewijs va de formules voor E() e Var() verwijze we je aar bijlage 3. I opgave 1 e 3 is zoder dat we het wete gebrui gemaat va ee belagrije eigeschap va asvariabele die Poisso verdeeld zij e wel de volgede eigeschap: Als e l twee oderlig oafhaelije asvariabele zij die Poisso verdeeld zij met parameters 1 e 2 da is de som va de beide asvariabele s = + l weer ee Poisso verdeelde asvariabele met parameter s = 1 + 2 ; bewijs, zie bijlage 4. I opgave 1 was het aatal computerstorige va éé computer per wee met parameter = 3. Het gevraagde had betreig op het aatal storige i twee wee dus s = 1 + 2 met parameter s = 6. I opgave 3 was sprae va = het aatal foute per m 2 met parameter = 1. Het gevraagde had betreig op ee plaat va 1,5 bij 2 m. Deze plaat is opgebouwd uit 12 plate va ¼ m 2 met el ee gemiddelde va ¼ fout. Da s = 1 + 2 + + 11 + 12 met parameter s = 3. I het u volgede voorbeeld omt ee adere situatie aa de orde waari eveees gebrui gemaat wordt va de hiervoor geoemde eigeschap. Voorbeeld 3 Twee persoe gebruie ee lasapparaat va hetzelfde mer e va hetzelfde type. Beide persoe moete statisch belaste costructies lasse. Bidigsfoute zij da iet toegestaa. Uit ervarig gebaseerd op de techie va ultrasoo oderzoe is geblee dat persoo A gemiddeld 0,05 foute per uur maat terwijl persoo B 0,1 foute per uur maat. Als beide persoe gedurede acht werure aa ee costructie were, bepaal da de as dat ze same meer da 2 foute gedurede die acht uur mae. Aalyse: A = het aatal lasfoute dat persoo A per uur maat ~ Poisso ( = 0,1) verdeeld; B = het aatal lasfoute dat persoo B per uur maat ~ Poisso ( = 0,2) verdeeld; A+B = het aatal lasfoute dat beide persoe same i 8 uur mae ~ Poisso ( = 8 (0,05 + 0,1) = 1,4) verdeeld. Gevraagd: P( A+B > 2)
10 Statistie voor techici Oplossig: P( A+B > 2) = 1 P( A+B 1) = 1 0,5918 = 0,4082. Opgave 4. Op het bedrijfsterrei va ee bedrijf staa drie fabriee aageduid met A, B e C. I alle drie fabriee staat ee volledig geautomatiseerde productiestraat. I fabrie A treedt per 4 uur gemiddeld 1 storig op i de productiestraat, terwijl dat i fabrie B e C gemiddeld respectievelij 2 e 3 storige zij. a. Hoe groot is de as dat op ee dag (= 8 werure) meer da 3 storige optrede i fabrie A? b. Hoe groot is de as dat i fabrie A e B same precies 8 storige optrede gedurede ee werdag? Beree deze as op twee maiere e wel: b1. door alle mogelije combiaties te bepale die same 8 storige oplevere e daarva de ase te bepale; b2. door gebrui te mae va de hiervoor geoemde eigeschap voor de som va oafhaelije Poisso verdeelde asvariabele. c. Hoe groot is de as op temiste 8 storige i fabrie A, B e C same op ee dag? 4.5.4 De beaderig va de biomiale verdelig door de Poissoverdelig I het begi va deze paragraaf is al opgemert dat de Poisso-verdelig gezie a worde als ee biomiale verdelig met zeer grote steeproefomvag e zeer leie succesas p. Zoder bewijs melde we hier dat zeer grote steeproefomvag beteet 20 e zeer leie succesas beteet p < 5. Omdat de grafisch reeapparate e de softwarepaette voldoede rachtig zij, hoeft er mider va beaderige gebrui gemaat te worde. Ee goede rede echter om ee discrete asverdelig te beadere met ee adere discrete asverdelig is het reewer. Het a ee aazielije besparig aa reewer geve e toch ee redelij auweurig resultaat oplevere. Opgave 5. Het zaa i eletroische apparatuur veroopt TV toestelle va ee bepaald type. Het aatal dat me dagelijs veroopt mag als ee Poisso-verdelig beschouwd worde met parameter 1,8. Op maadagmiddag vidt de bevoorradig plaats terwijl de zaa op zodag sluit. Hoeveel toestelle moet me steeds op maadag i voorraad brege om de omede wee met 95% zeerheid direct te ue levere? 4.5.5 De beaderig va de Poisso-verdelig door de ormale verdelig We lope hier vast vooruit op de theorie va hoofdstu 5, de ormale verdelig, ee asverdelig die behoort tot de verzamelig va cotiue verdelige. Op basis va ee belagrije stellig, de cetrale limietstellig, a ee discrete verdelig, i dit geval de Poisso-verdelig, beaderd worde door de ormale verdelig, zoals opgemert ee cotiue verdelig. De voorwaarde die hiervoor geldt is: µ 10.
4.5 De Poisso-verdelig 11 Schematisch ue we de verschillede beaderige va de ee verdelig door de adere als volgt weergeve: Hypergeometrische verdelig < p < 0,10 0,10 Biomiale Poisso N 20 verdelig verdelig 20 p 5 (1 p) 5 Normale verdelig µ 10 Eidtoets 1. De telefoooproepe die i ee telefoocetrale aaome gedurede éé miuut volge ee Poisso-verdelig met parameter = 6. Beree i vier cijfers auweurig achter de omma de as dat i éé miuut: a. Gee oproepe aaome. b. Precies 6 oproepe aaome. c. Mistes 7 oproepe aaome. 2. I ee zeer gebied trede aardbevige bij beaderig op volges ee Poisso-verdelig met ee gemiddelde va 2 aardbevige per maad. a. Beree i vier cijfers auweurig achter de omma de as dat er de omede twee maade mistes drie aardbevige optrede. b. Wat is de as i vier cijfers auweurig achter de omma dat de eerstvolgede aardbevig mistes drie maade op zich laat wachte? c. Beree de as i vier cijfers auweurig achter de omma dat er de eerstomede 4 maade gee eele aardbevig plaatsvidt. 3. I ee bedrijf worde aa ee lopede bad bierflesjes gevuld. Daarbij gaat er zo u e da wel ees iets mis e valt er ee flesje va de bad. Me heeft geaalyseerd dat er gemiddeld 3 flesjes per dag va de bad valle. a. Bede ee geschit model waarmee het aatal flesjes beschreve dat per dag va de bad valt beschreve a worde. b. Beree i het geval va vraag a de as dat er op zeere dag gee flesje va de bad valt. c. We wete dat er per dag 10.000 flesse over de bad gaa. Bede i dit geval ee geschit model voor het aatal gevalle flesse per dag e beree op basis va dit model de variatie e het verwachtigswaarde va het aatal gevalle flesjes op ee dag. d. Beader door gebrui te mae va de cetrale limietstellig zo goed mogelij de as dat er i ee maad met 20 werdage maximaal 60 flesse va de bad valle.
12 Statistie voor techici Bijlage 1 Bewijs va de formule voor de Poisso-verdelig Gegeve de biomiale verdelig met oafhaelije uitvoerige va ee asexperimet met twee mogelije uitomste aagegeve met succes e gee succes, waarva de as op succes gelij is aa p e de as op gee succes gelij is aa (1 p). De as op eer succes is da gelij aa P ( = ) = p ( 1 p), met = 0, 1, 2,,. formule 1 Als het aatal asexperimete zeer groot wordt e de as op succes p erg lei e p, de verwachtigswaarde of het theoretische gemiddelde va de biomiale verdelig, is gelij aa, da geldt: lim p ( 1 p ) e =!., p 0 Het bewijs verloopt als volgt. Omdat p = is p te schrijve als p = e is formule 1 te 1 = 1! ( 1 ) e 1 = =! ( )! ( 1 ) schrijve als p ( p) ( 1 ) ( 1 ) ( )!! = = 1 1! ( )!!! zit i de factor * Poisso formule! Omdat ee vast geheel getal is, geldt voor factor * ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ). formule 2 factore ( )( ) ( )! 1 2... + 1...2 1 1 2... + 1 = =! 1...2 1 1 = 1 1 2 + 1 1 2 1 1 2 1 =... = 1 1 1...1 + = 1 1... 1 Als da gaat factor * aar 1. Oo de factor 1 Voor de factor lim 1 gaat aar 1 voor. geldt het volgede. I de wisude is aagetood dat lim 1+ = e met e 2,71828; e is het getal va Euler, die ee ei was i het bewere va oeidige somme, producte e breue; va hem wordt wel gezegd dat hij reede zoals adere ademhaalde. Dus lim 1 = lim 1+ = e. lim p 1 p = e, p 0 Ui t het voorgaade blijt ( )!
4.5 De Poisso-verdelig 13 Bijlage 2 Tabel Poisso-verdelig voor eelvoudige -waarde: P( = ) =!. e 0,3000 0,2500 0,2000 0,1500 0,1000 0,0500 0,0000 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 P ( = 3 = 2) = 2 2 e 3 3! 0,1804 = = 0,1 = 0,2 = 0,3 = 0,4 = 0,5 = 0,6 0 0,9048 0,8187 0,7408 0,6703 0,6065 0,5488 1 0,0905 0,1637 0,2222 0,2681 0,3033 0,3293 2 0,0045 0,0164 0,0333 0,0536 0,0758 0,0988 3 0,0002 0,0011 0,0033 0,0072 0,0126 0,0198 4 0,0000 0,0001 0,0003 0,0007 0,0016 0,0030 5 0,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0,0002 0,0004 = = 0,7 = 0,8 = 0,9 = 1,0 = 1,5 = 2 0 0,4966 0,4493 0,4066 0,3679 0,2231 0,1353 1 0,3476 0,3595 0,3659 0,3679 0,3347 0,2707 2 0,1217 0,1438 0,1647 0,1839 0,2510 0,2707 3 0,0284 0,0383 0,0494 0,0613 0,1255 0,1804 4 0,0050 0,0077 0,0111 0,0153 0,0471 0,0902 5 0,0007 0,0012 0,0020 0,0031 0,0141 0,0361 6 0,0001 0,0002 0,0003 0,0005 0,0035 0,0120 7 0,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0,0008 0,0034 8 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0,0009 9 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0002 = = 3 = 4 = 5 = 6 = 7 = 8 0 0,0498 0,0183 0,0067 0,0025 0,0009 0,0003 1 0,1494 0,0733 0,0337 0,0149 0,0064 0,0027 2 0,2240 0,1465 0,0842 0,0446 0,0223 0,0107 3 0,2240 0,1954 0,1404 0,0892 0,0521 0,0286 4 0,1680 0,1954 0,1755 0,1339 0,0912 0,0573 5 0,1008 0,1563 0,1755 0,1606 0,1277 0,0916 6 0,0504 0,1042 0,1462 0,1606 0,1490 0,1221 7 0,0216 0,0595 0,1044 0,1377 0,1490 0,1396 8 0,0081 0,0298 0,0653 0,1033 0,1304 0,1396 9 0,0027 0,0132 0,0363 0,0688 0,1014 0,1241 10 0,0008 0,0053 0,0181 0,0413 0,0710 0,0993 11 0,0002 0,0019 0,0082 0,0225 0,0452 0,0722 12 0,0001 0,0006 0,0034 0,0113 0,0263 0,0481 13 0,0000 0,0002 0,0013 0,0052 0,0142 0,0296 14 0,0000 0,0001 0,0005 0,0022 0,0071 0,0169 15 0,0000 0,0000 0,0002 0,0009 0,0033 0,0090 16 0,0000 0,0000 0,0000 0,0003 0,0014 0,0045 17 0,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0,0006 0,0021 18 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0002 0,0009 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0,0007 19
14 Statistie voor techici Tabel Poisso-verdelig voor cumulatieve -waarde: P( ) = e = 0!. 0,2 0,15 0,1 0,05 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 ( ) P 6 = 5 = 0,7622 = = 0,1 = 0,2 = 0,3 = 0,4 = 0,5 = 0,6 = 0,7 = 0,8 0 0,9048 0,8187 0,7408 0,6703 0,6065 0,5488 0,4966 0,4493 1 0,9953 0,9825 0,9631 0,9384 0,9098 0,8781 0,8442 0,8088 2 0,9998 0,9989 0,9964 0,9921 0,9856 0,9769 0,9659 0,9526 3 1,0000 0,9999 0,9997 0,9992 0,9982 0,9966 0,9942 0,9909 4 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9998 0,9996 0,9992 0,9986 5 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9998 6 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 = = 0,9 = 1,0 = 1,5 = 2,0 = 2,5 = 3,0 = 3,5 = 4,0 0 0,4066 0,3679 0,2231 0,1353 0,0821 0,0498 0,0302 0,0183 1 0,7725 0,7358 0,5578 0,4060 0,2873 0,1991 0,1359 0,0916 2 0,9371 0,9197 0,8088 0,6767 0,5438 0,4232 0,3208 0,2381 3 0,9865 0,9810 0,9344 0,8571 0,7576 0,6472 0,5366 0,4335 4 0,9977 0,9963 0,9814 0,9473 0,8912 0,8153 0,7254 0,6288 5 0,9997 0,9994 0,9955 0,9834 0,9580 0,9161 0,8576 0,7851 6 1,0000 0,9999 0,9991 0,9955 0,9858 0,9665 0,9347 0,8893 7 1,0000 0,9998 0,9989 0,9958 0,9881 0,9733 0,9489 8 1,0000 0,9998 0,9989 0,9962 0,9901 0,9786 9 1,0000 0,9997 0,9989 0,9967 0,9919 10 0,9999 0,9997 0,9990 0,9972 11 1,0000 0,9999 0,9997 0,9991 12 1,0000 0,9999 0,9997 13 1,0000 0,9999 14 1,0000 = = 5,0 = 5,5 = 6,0 = 6,5 = 7,0 = 8,0 = 9,0 = 10,0 0 0,0067 0,0041 0,0025 0,0015 0,0009 0,0003 0,0001 0,0000 1 0,0404 0,0266 0,0174 0,0113 0,0073 0,0030 0,0012 0,0005 2 0,1247 0,0884 0,0620 0,0430 0,0296 0,0138 0,0062 0,0028 3 0,2650 0,2017 0,1512 0,1118 0,0818 0,0424 0,0212 0,0103 4 0,4405 0,3575 0,2851 0,2237 0,1730 0,0996 0,0550 0,0293 5 0,6160 0,5289 0,4457 0,3690 0,3007 0,1912 0,1157 0,0671 6 0,7622 0,6860 0,6063 0,5265 0,4497 0,3134 0,2068 0,1301 7 0,8666 0,8095 0,7440 0,6728 0,5987 0,4530 0,3239 0,2202 8 0,9319 0,8944 0,8472 0,7916 0,7291 0,5925 0,4557 0,3328 9 0,9682 0,9462 0,9161 0,8774 0,8305 0,7166 0,5874 0,4579 10 0,9863 0,9747 0,9574 0,9332 0,9015 0,8159 0,7060 0,5830 11 0,9945 0,9890 0,9799 0,9661 0,9467 0,8881 0,8030 0,6968 12 0,9980 0,9955 0,9912 0,9840 0,9730 0,9362 0,8758 0,7916 13 0,9993 0,9983 0,9964 0,9929 0,9872 0,9658 0,9261 0,8645 14 0,9998 0,9994 0,9986 0,9970 0,9943 0,9827 0,9585 0,9165 15 0,9999 0,9998 0,9995 0,9988 0,9976 0,9918 0,9780 0,9513 16 1,0000 0,9999 0,9998 0,9996 0,9990 0,9963 0,9889 0,9730 17 1,0000 0,9999 0,9998 0,9996 0,9984 0,9947 0,9857 18 1,0000 0,9999 0,9999 0,9993 0,9976 0,9928 19 1,0000 1,0000 0,9997 0,9989 0,9965 20 0,9999 0,9996 0,9984 21 1,0000 0,9998 0,9993 22 0,9999 0,9997 23 1,0000 0,9999 24 1,0000 25
4.5 De Poisso-verdelig 15 Bijlage 3 Het bewijs voor E() = e Var() = E() = E ( ) = P ( = ) = e! = 0 = 0 = e = e 1! 1! = e ( ) ( ) = 0 = 1 = 1 1 ( ) 1! Met reesotwielig, ee oderwerp uit de wisude waarbij ee fuctie beaderd wordt door de som va ee aatal terme, heeft me aagetood dat ( ) E = e e =. Var() = ( ) 2 2 We wete Var ( ) E ( ) E ( ) Uit voorgaade volgt E ( ) ( ) ( ) =. ( ) 2 2 2 2 2 E P e = 0 = 0 =. Verder geldt: = = =! 2 = e = e 1! 1! ( ) ( ) = 0 = 1 1 1 = e = e + 1! 1! ( ) = 1 = 1 = 1 ( 1) ( ) = ( 1 1) ( ) 1 1 = e ( 1) + e 1 = 1 ( 1 )! = 1 ( 1 )! 1 = e + e e 1! 2 = e + 1 2! = 1 ( 1) ( )( ) = e 2 2 2 2 = e + = e e + = + = 2 ( 2 )! = e ( ) 2 Dus ( ) ( ) ( ) = 2 2 2 Var = E E = + =. 1 = e 1 1! ( ), zodat
16 Statistie voor techici Bijlage 4 De som va oafhaelije Poisso-verdeelde asvariabele Gegeve zij de oafhaelije Poisso verdeelde asvariabele e l met respectievelij de parameters 1 e 2. Laat s de som zij va beide asvariabele met s = + l. Da is s opieuw Poisso verdeeld met parameter 1 + 2. Bewijs: Voor ele willeeurige gaa we P ( s ) da uit alle mogelije combiaties va e l. Dus =, l = 0; = 1, l = 1;...; = 1, l = 1; = 0, l =. Da = bepale. De uitomste va s bestaa ( ) ( ; 0) ( 1; 1 )... ( 1; 1) ( 0; ) P s = = P = l = + P = l = + + P = l = + P = l = = i= 0 ( = ; = ) P i l i ( ) ( ) = P = i P l = i =. Vawege de oafhaelijheid va e l is dit te schrijve als: i= 0 - i i 1! 1 1 2 2 1 2 i i e e = e e 1 2 i= 0 = 0 i! i!! ( - i)! i! i ( ) ( ) 1 2 + e e! i= 0 i! 1 2 i i 1 2 = ( 1 + 2 ). Dit is precies P ( s = = 1 + 2 ) Opmerig: er is ee wisudige formule die beed staat als het biomium va Newto, die luidt ( ) x + y = x y i= 0 i i i :
4.5 De Poisso-verdelig 17 Bijlage 5 De Poisso-verdelig met Excel 1. Bepaal P( ) = 2 = 5 = 0,0842 We gaa erva uit dat i cel B2 e B3 de getalle 2 respectievelij 5 zij igevuld voor achtereevolges het aatal gustige gebeurteisse e de verwachtigswaarde. Kies fuctie ivoege f x e vervolges uit de optie Statistisch de fuctie POISSON. De afbeeldige hiera geve aa wat je vervolges moet ivulle. Uit de eerste afbeeldig blijt dat gebrui is gemaat va de celverwijzige B2 e B3 voor X e het gemiddelde. I plaats daarva u je oo i de ivoervajes 2 respectievelij 5 ivulle. Da vidt de bereeig echter iet plaats met de ihoud va de celle, maar met de harde getalle 2 e 5.
18 Statistie voor techici 2. Bepaal P( ) 2 = 5 = 0,1247 Dit gaat op vrijwel dezelfde maier:
4.5 De Poisso-verdelig 19 Bijlage 6 De Poisso-verdelig met de TI-83 Om P( = ) te bepale met de TI-83 gebrui je het commado poissopdf (, ) (=poisso cumulative probality desity fuctio) oder <2ND> <DISTR>. Voorbeeld: P( = 5 = 2,6). Dru op <2ND> <DISTR>; ies B:poissopdf; dru op <ENTER>; er verschijt poissopdf(; type i 2.6, 5 e ) e dru op <ENTER); uitomst.0735. POISSONPDF(2.6, 5).0735393591 Om P( ) te bepale met de TI-83 gebrui je het commado poissocdf (, ) (=poisso probability desity fuctio) oder <2ND> <DISTR>. Voorbeeld: P( 5 = 2,6). Dru op <2ND> <DISTR>; ies C:poissocdf; dru op <ENTER>; er verschijt poissocdf(; type i 2.6, 5 e ) e dru op <ENTER); uitomst.9510. Dit zie je i het scherm va je TI-83 i het geval va poissopdf POISSONCDF(2.6, 5).9509628481 Dit zie je i het scherm va je TI-83 i het geval va poissocdf
20 Statistie voor techici Uitwerige va de opgave Diagostische toets Opgave 1 a. = het aatal patiëte dat per dag i ee zieehuis bieomt tusse 10:00 e 10:30 90 uur. De bijbehorede parameter = =. 10 9 b. Gevraagd: P( = 6 = 9) = 0,0911. c. m = het aatal patiëte dat per dag i dat zieehuis bieomt tusse 10:30 e 11:00 uur, met m = 5,6. Gevraagd P(s < 16 s = 9 + 5,6) = 0,6090, met s = het aatal patiëte dat per dag i dat zieehuis bieomt tusse 10:00 e 11:00 uur. d. Var( + m). = 9 + 5,6 = 14,6. Opgave 2 a. = het aatal uurwere dat per werdag verocht wordt ~ Poisso ( = 4) verdeeld. Het probleem a als volgt vertaald worde: P( 5 > 20) = 1 P( 5 20) = 1 0,5591 = 0,4409. Hierbij is 5 = het aatal uurwere dat per 5 dage verocht wordt ~ Poisso ( = 5 4 = 20) verdeeld. b. We oeme de voorraad g. Da moet gelde P( 5 > g ) < 0,1300. We mae ee tabel g P ( 5 > g ) 21 0,356302 22 0,279389 23 0,212507 24 0,156773 25 0,112185 Uit de tabel blijt dat g gelij moet zij aa 25. Opgave 3 a. Het gemiddeld aatal storige is gelij aa (133 0 + 122 1 + 54 2 + 20 3 + 4 4 + 0 5) / 333 = 0,9. b. aatal storige per dag waargeome aatal storige per dag het verwachte aatal storige per dag 0 133 135,4 1 122 121,8 2 54 54,8 3 20 16,4 4 4 3,7 5 0 0,8 totaal 333 333,0 c. De waargeome aatalle storige worde goed beaderd door ee Poisso-verdelig.