0 Voorkennis: Differentiëren en rekenregels lazije 0 V-a h ( ) 0 f () t 6 t + t 0 t + t n () t t t 7 t 6t e k ( p) p p + 0 0p 7 p g ( ) + 08 V-a f( ) ( + ) 6 f ( ) 6 h ( ) ( + 9) 8 gt () tt ( + t ) t + 6t h ( ) 8 g () t t+ 6 t t+ 8t kt () ( t+ )( t ) t k () t t V-a lazije f De helling in een pnt van e grafiek van f is f Ds f 0 Hierit volgt: 0 ; ( ) 0 ; 0 of 0 De oplossingen zijn: 0 of of. V-a f ( ) + 8+ Bereken voor welke gel f ( ) 0. Ds + 8 + 0 ; ( 6 7) 0; ( + )( 7) 0 ; + 0 of 7 0 ; of 7. Plot e grafiek van f. Je vin een minimm -6 voor en een maimm 890 voor 7. Het hellingsgetal van e raaklijn in (7) is f () 96. Algemene vergelijking van een lijn is y a+. De vergelijking van e raaklijn is y 96 +. De lijn gaat oor (7) s gel: 7 96 + ;. De vergelijking wor an y 96. V-a f ( ) 6 70+ Voor e iterste waaren gel: f ( ) 0. Ds moet je oplossen: 6 70+ 0. Met e a-formle kn je eze vergelijking oplossen. 70 + 6 9 of 70 6 07 Met een plot vin je at e grafiek een minimm heeft voor 9. Het maimm is f ( 07 ) 0 en het minimm is f ( 9) 9. Het pnt is ( f ( )) ( 9). Het hellingsgetal van e raaklijn is f ( ) 88. De vergelijking van e raaklijn wor y 88 +. Invllen van ( 9 ) in e vergelijking geeft 9 88 + s 9. De vergelijking van e raaklijn is y 88+ 9. Moerne wiskne 9e eitie itwerkingen havo B eel
V-6a f( ) f( ). f( ) e f( ) f( ) f f( ). Mahtsfnties ifferentiëren lazije a Je knt met het ifferentieqotiënt e helling enaeren. Neem 0 00. Voor krijg je f( 00 ) f( ) 0 999 0 00 Voor krijg je f( 00 ) f( ) 0 0 0 00 Voor krijg je f( 00 ) f( ) 0 0 00 Je knt ook gerik maken van je rekenmahine. TI: nderiv of Casio: Derivative. f( ). Met e regel krijg je f ( ). f () ; f ( ) 0 en f () 0. 9 De itkomsten van opraht a stemmen hiermee goe overeen. a a Op e manier van opraht a krijg je: helling 9880 076 0070 00 g ( ) Met e regel krijg je g 6 6 6 g 6 6 6 0 7 6 6 0 07 8 6 0 0 6 De tael komt goe overeen met ie it opraht a.. Met e regel krijg je h 07 0 07 07. Maak een tael van e ifferentieqotiënten en een tael van e itkomsten van h voor iverse waaren van. De itkomsten stemmen goe overeen s e fntie it opraht a kan e afgeleie fntie zijn. Moerne wiskne 9e eitie itwerkingen havo B eel 0
a 06 Met e rekenmahine krijg je: 6 7 8 9 0 helling 0 0 08868 0 06 00 08898 07678 06667 08 h ( ) h ( ) h ( ) lazije a g ( ) 7 s 8 g ( ) 7 7 7 8 p ( ) + + s p( ) h ( ) 7 7 7 s h ( ) 7 k ( ) 7 7 7 s k ( ) 7 7 7 6a f( ) + 6 + 7 s f ( ) 6 7 gt () t + t t + t s g t t + () t t + t 8 hp ( ) p p 8 s h ( p) 7 p p k ( ) 9 s + 9 k ( ) 76 76 + 9 9 M 0 9698 7a 9698g 0 g g Voor e iterste waare gel M g 0 ofwel 9698 0 0 g Ds 9698. Hierit volgt: g 0 0 9698 en g 9698 78. 0 g Met een plot kn je zien at e fntie voor eze waare van g maimaal is. 067 De hoogste oprengst is 9 7 8 7 8 8 067 Voor g 6 is e oprengst 96 6 77 De gevolgen voor e melkprotie vallen erg mee. De oprengst is iets lager maar je het miner preparaat noig.. Kettingfnties lazije 8a Op tijstip t 0 zit er V( 0) 00 liter water in het reservoir. De waterhoogte is an h( 00) 00 000 6 m. Als h 80 an ereken je V met e vergelijking V 80. Ds V 80 600 en V 600 60. Met e vergelijking 00 t + 00 60 erekenen je t. Ds 0 0t 60 ofwel t 60 6000 en t 6000 6 8. 00 Ds na ongeveer 6 seonen staat het water 80 m hoog. Moerne wiskne 9e eitie itwerkingen havo B eel
Uit e vergelijking 00 t + 00 000 kn je erekenen hoelang het vllen rt. De oplossing is t 600 (klopt met e grafiek). e De gemiele vlsnelhei is V 000 00 6 liter/se. t 600 De gemiele vlsnelhei van t 0 tot t 00 is V V( 00) V( 0) 00 00 liter/se t 00 00 Over e perioe t 00 tot t 600 is eze V V( 600) V( 00) 000 900 liter/se t 00 00 De gemiele toename van e waterhoogte is h( 000) h( 00) 00 6 0 09 00 m/liter V 600 600 9a De gemiele stijgsnelhei kn je erekenen oor e gemiele vlsnelhei V t te vermenigvligen met e gemiele toename h van e waterhoogte. V In formle taal: h V h t t V De gemiele stijgsnelhei is 6 0 09 0 m/se De gemiele stijgsnelhei van t 0 tot t 00 is hv ( ( 00) hv ( ( 0) h( 00) h( 00) 0 000 0 07 m/se. t 00 00 00 De gemiele stijgsnelhei van t 00 tot t 600 is hv ( ( 600) hv ( ( 00) h( 000) h( 900) 0000 70 0 8 m/se t 00 00 00 De gemiele stijgsnelhei is over e eerste 00 seonen kleiner an ie over e laatste 00 seonen. Door V in e formle h V te vervangen oor 00 t + 00 krijg je een formle ie alleen nog van t afhangt namelijk h 00 ( t + 00) e De gemiele stijgsnelhei van t 0 tot t 00 is h( 00) h( 0) 00 00 0 000 0 07 m/se t 00 00 00 De gemiele stijgsnelhei van t 00 tot t 600 is h( 600) h( 00) 000 900 t 00 00 lazije 0a st () 07 ( t + 6) estaat it e shakels t+ 6 en y 07 k( p) estaat it e shakels p + en y p + a f( ) ( + ) 8 + + 8 + 7 f( ) ( 8) + 6 + f( ) is samengestel it + 0 +0 en y g ( ) + 0 is samengestel it en y +0 0000 70 0 8 m/se 00 Moerne wiskne 9e eitie itwerkingen havo B eel 07
08 Door een vershiving van 0 naar links van e grafiek van a ( )krijg je e grafiek van f( ). Door een vershiving van 0 omhoog van e grafiek van a ( ) krijg je e grafiek van g ( ). a f( ) ( ) 6 6 + g ( ) ( ) 6+ 6 + De grafieken zijn evenwijige rehte lijnen. e h ( ) sin Je krijgt n j ( ). Deze fntie is niet gelijk aan h ( ). sin. De kettingregel lazije 6 a Op t 0 is V en op t 0 is V 0. De gemiele vlsnelhei over eze perioe is V 0 7 7 liter/se. t 0 0 0 Als V an is h 9 en als V 0 an is h 6. De gemiele hoogte veranering is an h 6 9 7 0 09 m/liter. V 0 7 Op t 0 is h 9 en op t 0 is h 6. e a De gemiele stijgsnelhei is h 6 9 7 07 m/se. t 0 0 0 V h t 7 t V 0 09 0 697 Teken e raaklijn in het pnt (0 60) van e ovenste grafiek. Bereken e helling van eze raaklijn. Je vin an V t 6 liter/se. V V( 0) V( 0) 0 0 0 liter/se. t 0 0 0 h( 0) h( 0) 9 006 m/liter. V 0 0 00 V h t 0 t V 006 8 m/liter. V V( 0 00) V( 0) 0 0000 0 0 0 liter/se. t 0. 00 0 0 00 h( 0 0000) h( 0) 0006 0 08 m/liter. V 0 0000 0 0 0000 V h t 0 t V 00 0 08 6 m/liter. V t h V V en h V h t V t ( t + 0) V Op t 0 is h + 0 ( 00 0) 6 m/liter. Moerne wiskne 9e eitie itwerkingen havo B eel
a en y en y f ( ) ( ) lazije 7 6a t + 8 en y 6 t en y 0 h () t 6t 9t( t + 8) 0 0 en y en y f ( ) en y en y w ( ) ( ) t + 7 t en y t + 7 en y g () t ( t + 7) ( t + 7)( t + 7t) e en y 6 en y 6 f q en y q en y p ( q) ( q) 7a + en y g ( ) f( ) 7 f( ) ( + ) g ( ) f ( ) 7 ( + ) en y f ( ) ( + ) 7 8a 9 en y + en y + + 07 07 7 en y + en y + + 07 0 7 7 p ( ) ( 9) f ( ) ( + ) + 0 0 + ( + ) t + t en y t + en y w () t ( t + ) 6t ( t + t) 9a Ale: f( ) ( + ) 9 + 0 + en f ( ) 8 + 0 Mirjam: + en y en y Kettingregel: f ( ) 6 ( + ) 8 + 0. Ds Ale en Mirjam krijgen ezelfe afgeleie. 7 Moerne wiskne 9e eitie itwerkingen havo B eel 09
0. Afgeleien van wortelfnties lazije 8 0a g ( ) g 0 6 a f() t t t t 8t f () t 0t 0t t 0t t t a f( ) f ( ) gt () ( t+ ) t ( t+ ) t t + t g () t t + t t + t + t t pq ( ) q q p q q ( ) q qq q q h ( ) + + + e f h ( ) 0 + 0 + 0 + k( p) p p p p p k p p ( ) p p p p p q ( ) q ( ) 7 7 a en y Voor het ranpnt gel f( ) 0 s 0 en De oörinaten zijn ( 0). en y f ( ) In e omgeving van het ranpnt wor e noemer van f ijna 0. De helling van e raaklijn wor stees groter want f neemt an toe. In het ranpnt zelf is e raaklijn vertiaal. a + en y + en y g ( ) ( + ) + + + + Moerne wiskne 9e eitie itwerkingen havo B eel
Voor het minimm gel g ( ) + 0 + g ( ) 0 als e teller + 0 en e noemer ongelijk is aan 0. Ds + 0 ;. De iterste waare is g( ). De itkomst is geen reëel getal s er is geen iterste waare voor s ook geen minimm. Dit etekent niet at er geen iterste waaren zijn. Ze knnen ook ij e ranpnten optreen. De ranpnten kn je vinen met g ( ) 0 s als + 0 met als itkomsten of 0. Het minimm van g is voor eie gevallen 0. De noemer van g wor in e omgeving van e ranpnten ijna 0. Dit etekent at g (en s e helling van e raaklijn) aar heel groot is. In e ranpnten estaat g' niet. De raaklijn is aar vertiaal. lazije 9 a Voor e ranpnten gel at f( ) 9 0 s 9 0; 9. Het ranpnt is (9 0). 9 en. ( ) De fntie heeft e vorm f( ) ( ) s f ( ) ( ) 9 Er is geen horizontale raaklijn want f ( ) is voor geen enkele waare van gelijk aan 0. gt () 0 als t + 7t 0. Dan tt ( + 7) 0 en t 0 of t 7 De ranpnten zijn ( 7 0 ) en ( 0 0 ). t + 7 t en () t t + 7. Met e regel krijg je g () t t + 7 t () t + 7t Voor een horizontale raaklijn gel g () t 0. Ds t + 7 0 ; t alleen estaat g( ) ~ niet. Er is s geen horizontale raaklijn. h ( ) 0 als 0; 6 ; 6 6 8 Het ranpnt is ( 6 0) ( 80 ; ). en 6. Dan is h ( ) 6 h ( ) 0 als 6 0 s als 0 maar h( 0) estaat niet. Er is s geen horizontale raaklijn. k( p) 0 als 0 s als p. Het ranpnt is ( ) p 0. p en ( ) p p p p ( ) k ( p) ( ) ( ) ( ) p p p p k ( p) is voor geen enkel waare van p gelijk aan 0 s er is geen horizontale raaklijn. 6 De oppervlakte neemt per seone onstant toe met m² s is het veran tssen e oppervlakte en e tij lineair met als hellingsgetal. O t maar ook gel O π R. Ds π R t ; R t ; R t t 9 t. π π π 9 t en 9 R 9. Als t toeneemt an neemt ook e noemer toe. 9t Dit etekent at R kleiner wor ij een toename van t. De straal neemt s stees langzamer toe. Moerne wiskne 9e eitie itwerkingen havo B eel
7a 6 + 0 en 6 g ( ) 6. De grafiek heeft een horizontale raaklijn als 6 0 s 6+ 0 als. De iterste waare is g( ). Een plot geeft at e iterste waare een minimm is. g ( ) 0 s 6+ 0 0. Deze vergelijking heeft geen oplossing van e isriminant is kleiner an 0.. Gemenge oprahten lazije 0 08 8a en 0 0 ( ) ( ) g ( ) ( ) s g ( ) 0 8 ( ) ( ) 0 g ( ) 0 als 0 ; 0 0 0 8 ; 0 8 9 Met een plot kn je zien at er voor 9 een maimm is. De grootte van het maimm is g( 9 ). De helling van e raaklijn in ( ) is g () 0. De vergelijking van e raaklijn wor y 0 +. Invllen van e oörinaten van ( ) geeft 0 + ; 6 De vergelijking is y 0 + 6 Uit een plot van g ( )kn je afleien at e raaklijnen in e ranpnten vertiaal zijn. 9a De grafiek estaat it twee takken als g ( ) 0 twee oplossingen heeft s als + + 0 twee oplossingen heeft. Hiertoe moet e isriminant groter zijn an 0. Ds D a > 0 en <. Er is preies één oplossing als D 0 s als 0 ;. + + en + g ( ) + e oplossing van g ( ) 0 is. Deze oplossing is + + onafhankelijk van. Ds voor > heeft e fntie g een minimm voor ezelfe waare van namelijk. Opmerking: Hoewel g ( ) voor niet estaat heeft g ( ) aar ook een minimm voor. 0a Na seone is e allon 6 meter hoog na seonen is e allon meter hoog en na seonen is hij 8 meter hoog. H 6t Op 6 meter hoogte is e rk 0 6 0 09 0 milliar op meter is hij 0 0 09 0 86 milliar en op 8 meter hoogte 0 8 0 09 0 9. Een ijpassene formle is p 0 0 09 H. p 0 0 09H 0 0 09 6t 0 0 7t. e De lhtrk aalt met 07 milliar per seone. Moerne wiskne 9e eitie itwerkingen havo B eel
lazije a Met e stelling van pythagoras ereken je e lengte oor het os. CH + 9 8 km. De kosten zijn an 8 6 ero. Langs e weg is e afstan 7 km. De kosten zijn an 7000 0 0000 ero. De aanleg oor het os is goekoper. PH + 6 km en CP km. De kosten woren an 6 + 000 0 900 ero. 0 PQ CQ s 0 000 PH + 000 + 000 000 en CP 000. De aanlegkosten zijn A ( ) 0( 000 )+ + 000 000 00 000 0+ + 000 000 ero. e A ( ) 0 + 0 + + 000 000 + 000 000 Met e rekenmahine vin je at voor 667 gel at A ( ) 0. Je knt e itkomst ook eat erekenen: 0 + 0 + 000 000 ; ; + 000 000 ; + 000 000 0 f + 000 000 ( ) ; 9 000 000 ; 6 000 000 000 000 6 ; 6 6 9 9 6 000 000 8000 666 9 het antwoor klopt. g Als QP 667 an is PH 667 + 000 en CP 000 667 De lengte van e totale leiing is + 667 meter. De kosten hiervoor zijn 0 + 000 ero. ICT Kettingfnties lazije I-a Oner e knop itkomst en helling vin je voor t een volme van V 90. Vl in V 90 en je vin H 0. In e tij-hoogte grafiek is het pnt met t en H 0 een pnt van eze grafiek. Vl in t 0 en je krijgt H 7 60 en voor t krijg je H 9 0. e De variaelen zijn vershillen met vershillene eenheen. I-a t V 97 0 H 06 t 0 V 000 H 7 8 De itkomsten komen reelijk overeen. Moerne wiskne 9e eitie itwerkingen havo B eel
Door e formle voor V in te vllen in ie voor H. H in m 0 9 8 7 6 0 6 7 8 9 0 De gestippele lijn is e grafiek ie ij e formle hoort. Deze geeft een goe enaering van e meetgegevens. lazije 6 7 8 9 t in agen I-a - y. De grafiek is ezelfe als ie van vraag a. Het omein is ] en [. De eis is at > 0; in e grafiek van e eerste shakel zie je at it gel voor het omein. I-a Je krijgt f( ) sin De fntie f( ) estaat niet als 0 s als sin 0. Ds als als waaren alle veelvoen van π heeft. Als sin maimaal is (s ij e toppen) an is minimaal. sin Ds ij e alen van grafiek van f. I-a De shakels zijn sin en y. De grafiek van h heeft e vorm van een golf en e fntie is als gevolg van e tweee shakel altij positief of 0. De shakels zijn en y. De shakel heeft voor 0 een minimm s e fntie k heeft voor 0 een maimm. De nlpnten van e shakel zorgen ervoor at k aar niet estaat. De grafiek van k heeft an twee vertiale asymptoten. Als e waare van toeneemt (of afneemt) an neemt toe (of af) en naert y tot 0. Ds heeft e grafiek van k e -as als horizontale asymptoot. I-6a De kettingfntie is y ( ) + + De kettingfntie is y ( ) De grafieken zijn evenwijige lijnen. Dit komt oorat het prot van e rihtingsoëffiiënten van e lijnen van e shakels gelijk is. Moerne wiskne 9e eitie itwerkingen havo B eel
I-7 F en G want ( ) ( ) 6 F en H want en s ook G en H. F en I want ( ) mits > 0 en s ook G en I (voor alle ) H en I want ICT De kettingregel lazije I-8a Klik e tton itkomst en helling. Vl in t en je krijgt V 97 0 en V 7 00 Het volme is na agen 970 liter en e vlsnelhei is an 7 m³/ag. Vl in V 97 0 en je krijgt H 06 en H 0 006 De hoogte van het water is na agen 06 m en e neemt an toe met 0006 m per ag. H V H 7 00 0 006 0 m/ag. V Invllen van t geeft H 0 en komt overeen met het prot (afgezien van afroningen). H V H V lazije I-9a De shakels zijn en y 0. y Voor een pnt R op e grafiek van K gel R ( y ) Seleteer U en vl in (ehorene ij pnt P). Je vin e helling in P is. Seleteer Y en vl in (ehorene ij pnt Q). Je vin e helling in Q is. Seleteer K en vl in (ehorene ij pnt R). Je vin e helling in R is. De helling van K is het prot van e hellingen van U en Y. en y k ( ) ( ) ( )( ) I-0a t + 8 en y en y 6 t en y 0 en y 0 0 h () t 6t 9t( t + 8) f ( ) P Q Moerne wiskne 9e eitie itwerkingen havo B eel
6 en y en y w ( ) ( ) t + 7 t en y t + 7 en y g () t ( t + 7) ( t + 7)( t + 7t) e en y 6 en y 6 k ( ) 6 0( ) f q en y q en y p ( q) ( q) I-a en y en y k ( ) ( ) + ( ). k ( ) 0 als + 0 s als De iterste waare is an k( ) Het minimm van is voor (kn je erekenen met ). y heeft an een maimm gelijk aan. ( ) I-a Alle grafieken gaan oor het pnt (0 8). Voor a 0 krijg je e lijn y 8 Voor a 0 is e -as een horizontale raaklijn. Voor a p en apzijn e grafieken gespiegel in e y as. Het pnt (0 8) want f( 0) ( 0. + ) 8. De grafiek van f is niet alen als gel: f ( ) 0 voor alle. a + en y a en y s f ( ) a aa ( + ). N is ( a + ) altij positief s f ( ) 0 als a 0 ofwel a 0. Moerne wiskne 9e eitie itwerkingen havo B eel
Test jezelf lazije 8 T-a f ( ) + + g ( ) + + ; g ( ) 0 0 f( ) ( 60 ) 6 0 6 0 6 0 ; f ( ) 6 0 g ( ) ( + )( ) + + g ( ) + + T-a en y Verwisseling geeft en y 6 Je krijgt an e fntie g ( ) ( ) h ( ) ( 6 ) + 9 k ( ) 6 ( + 9) 6 7 0 T-a en y + en y 0 9 Ds f ( ) 0 0( ) p en y 9 9 p en y Ds g ( p) p 6p( p ) p en y en y Ds ( h ) ( ) ( ) ( ) en y en y Ds k ( ) ( ) ( )( ) e t9 en y + en y 0 Ds m () t 0 0 ( t9) f 7 en y en y Ds q ( ) 6 ( 7) T-a en y en y Ds f ( ) ( ) Voor e ranpnten gel f( ) 0 s 0; 0; ( ) 0; 0 of De ranpnten zijn ( 00 ) en ( 0 ) Voor wor zowel e teller als e noemer van f ( ) gelijk aan 0. De afgeleie fntie estaat s niet voor. Je knt ook zien at niet tot het omein van f( )ehoort. Moerne wiskne 9e eitie itwerkingen havo B eel 7
8 lazije 9 T-a L 6 m s O 6 7 m². V 0 6 6 m³ en G 0 6 kg. V 0 7 m³ en G 0 7 88 kg. G 0 V 0 0 L 0 00L e Invllen in e formle voor G geeft 00 L 80 ; L 80 000 ; L 000 87 00 O 87 0 7 m². T-6a De grafieken heeft rie toppen. Voor 0 en en y en y Ds f ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) f ( ) 0 s ( )( ) 0; 0 of of De antwooren kloppen met ie it opraht. T-7a De afstan tot e mr is 6 6 meter. De afstan op tijstip t 0 is meter. Na t seonen komt er 00 t meter ij. De afstan na t seonen wor an + 00 t De lengte van e stt lijft 6 meter. Voor e hoogte gel an h 6 h ( + 00 t) e Als 6 s als + 00 t 6 ; 00 t ; t 00 f De raaklijn is in het pnt (000) vertiaal en s estaat h ( 00 ) niet. T-8a f( ) is geen kettingfntie omat je geen shakels knt eenken waarit hij is opgeow. Het eerste eel is wel een kettingfntie. De shakels zijn an ( ) en y ( ). Ds f'( ) y'( ) '( ) ( ) Simpeler is: f( ) f'( ). t Nee. De afgeleie van ht () kn je alleen met e efinitieformle enaeren. t+ 0 00 t t 0 00 t ht ( + 0 00) ht ( ) Je krijgt an: h'( t) 0 00 0 00 0 00 t 0 00 t ( ) 0 00099 0 00 0 00 t Moerne wiskne 9e eitie itwerkingen havo B eel