TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Dit tentamen bestaat uit 4 open vragen, en kort-antwoord vragen. De uitwerkingen van de open vragen dienen volledig, duidelijk geformuleerd en overzichtelijk opgeschreven te worden. Bij ieder onderdeel van een open vraag dient U uw antwoord dus goed te beargumenteren. De kort-antwoord vragen staan op een apart vel. Hierop moeten alléén de antwoorden in het aangegeven kader worden ingevuld. Bij een kort-antwoord vraag is een nadere uitwerking dus niet nodig. Het vel met kort-antwoord vragen dient U aan het einde van het tentamen in het in te leveren tentamenwerk te leggen. Vermeld op elk vel dat U inlevert uw naam, identiteitsnummer en studierichting. Bij dit tentamen mag U alleen gebruik maken van schrijf- en tekengerei, alsmede van een eenvoudige niet-grafische en niet-programmeerbare rekenmachine. Het gebruik van enig ander hulpmiddel is niet toegestaan. Voor de opgaven kunnen de volgende aantallen punten worden behaald: Opgave a: punten Opgave a: 4 punten Opgave 4: 8 punten Opgave b: 3 punten Opgave b: 3 punten Opgave c: 3 punten Opgave c: 3 punten Opgave 5a: punten Opgave d: punten Opgave 5b: punten Opgave e: punten Opgave 3a: 3 punten Opgave 5c: punten Opgave 3b: punten Opgave 3c: punten Opgave 6a: punten Opgave 3d: 3 punten Opgave 6b: punten Uw tentamenresultaat voor deel B wordt bepaald door het totaal der behaalde punten door vijf te delen, en tot op één cijfer achter de decimale punt af te ronden. Het eindcijfer voor Lineaire Algebra voor W wordt bepaald door de formule 0.4 (resultaat deel A) + 0.6 (resultaat deel B) + huiswerkbonus, waarna afronding plaats vindt naar het dichtstbijzijnde gehele getal tussen en 0. Daarbij wordt als resultaat voor deel A het hoogste punt genomen voor deeltentamen A, behaald op respectievelijk november 007 en 0 januari 008. LET OP: Indien U aan de huiswerkregeling hebt deelgenomen, wordt U verzocht om de naam van de student-assistent, die wekelijks uw huiswerk heeft gecorrigeerd, bovenaan het eerste blad van uw uitwerkingen te vermelden.
Open vragen. In de vectorruimte IR 3 zijn de volgende vectoren gegeven: 0 v =, v =, v 3 = 0. 0 (a) Laat zien dat T = {v, v, v 3 } een basis is van IR 3. 0 0 Zij E = 0,, 0 de standaardbasis van IR3. 0 0 (b) Bepaal de overgangsmatrix P T E. Beschouw vervolgens de basis S = {w, w, w 3 } van IR 3, met 0 w =, w =, w 3 = 0. 0 (c) Bepaal de overgangsmatrix P T S. Van de vector v IR 3 zijn de coördinaten t.o.v. basis S gegeven door [v] S =. (d) Bepaal de vector v. (e) Bepaal de coördinaten [v] T van de vector v t.o.v. basis T. z.o.z. 3
. Zij V de lineaire deelruimte van IR 4, opgespannen door de vectoren v = en v = 7 3. (a) Bepaal door Gram-Schmidt orthogonalisatie een orthonormale basis van V. Beschouw nu de vector v 3 = 3 0. (b) Bepaal de orthogonale projectie van v 3 op V. Zij W de deelruimte van IR 4, opgespannen door v, v en v 3. (c) Bepaal een orthogonale basis van W. ( ) 5 3 3. Gegeven is de matrix A =. 9 (a) Bepaal alle eigenwaarden van A. (b) Bepaal bij iedere eigenwaarde van A de bijbehorende eigenvectoren. (c) Geef de eigenwaarde-decompositie van A, d.w.z. bepaal een diagonaalmatrix Λ en een inverteerbare matrix S zó dat A = SΛS. (d) Bepaal e At. 4. Bepaal de oplossing y(t) van het volgende beginwaardeprobleem: y + 7y + 0y = 5t 3, met y(0) = en y (0) =. zie volgende pagina 4
DIT VEL DIENT U IN TE LEVEREN Naam en voorletters:..................................................................... Identiteitsnummer:....................................................................... Studierichting:........................................................................... Kort-antwoord vragen 5. Een 3 3 matrix A heeft de eigenwaarden, 0, en 4. De matrix B wordt gedefinieerd door B = A 4A + I. (a) Geef de rang van A (b) Bepaal de eigenwaarden van B. (c) Bepaal voor iedere eigenwaarde van B de geometrische multipliciteit. 6. Zij A een symmetrische 3 3 matrix met de volgende eigenschappen: Het spoor van A is gelijk aan 3. x N (3A 4I) = y 3x y + z = 0. z (a) Geef alle eigenwaarden van A en hun algebraïsche multipliciteit. (b) Bepaal een orthogonale basis van IR 3, bestaande uit eigenvectoren van A. 5