3de Bachelor EIT - de Bachelor Fysica Academiejaar 014-015 1ste semester 7 januari 015 Aanvullingen van de Wiskunde 1. Gegeven is een lineaire partiële differentiaalvergelijking van orde 1: a 1 (x 1,, x n, y) y x 1 + + a n (x 1,, x n, y) y x n = b(x 1,, x n, y). Laat zien dat men deze tot een homogene lineaire pdv kan herleiden.. Zij V een oneindigdimensionale Euclidische ruimte, en ( e 1, e, ) een orthonormale rij in V. Bewijs de ongelijkheid van Bessel. Geef de definitie van een orthonormale basis van V, en toon aan dat een orthonormale rij een orthonormale basis is als en slechts als de gelijkheid van Parceval geldt voor elke vector x V. 3. Onderstel dat f een periodieke continue functie is met periode. Toon aan dat, als f stuksgewijs continu is, dat dan de Fourierreeks van f uniform convergeert naar f. 4. Neem f P[0, ]. Toon aan dat er voor elke ε > 0 een continu differentieerbare functie g P[0, ] bestaat zodat f g < ε. Tijd: 1 uur 30 minuten; Vraag 1 en 4: 10 punten; vragen en 3: 15 punten. Dit examen telt mee voor 50 % van het totaal.
3de Bachelor EIT / Fysica Academiejaar 014-015 1ste zittijd 7 januari 015 Oefeningen Aanvullingen van de Wiskunde 1. Bepaal van de partiële differentiaalvergelijking: met p = z x yp xq + x y = 0 z en q =, het integraaloppervlak dat gaat door de kromme k met vergelijking: y { z = 1 x + y =.. Beschouw de functie f(x) = sin(x) + cos(x). a) Bepaal dan de veelterm V (x) van tweede graad die de functie f(x) = sin(x) + cos(x) het beste benadert over [ 1, 1] in kleinste kwadraten. b) Stel dat je niet tevreden bent met je benadering, en je de veelterm V 3 (x) van derde graad wilt berekenen, die f(x) volgens de -norm nog beter modelleert. Hoe pak je dit aan? Bespreek het nut van orthogonale veeltermen in dit geval. 3. We kunnen de partële differentiaalvergelijking van Laplace binnen een halfcirkelvormige plaat 0 < θ, 0 < r < in poolcoördinaten schrijven als u r + 1 u r r + 1 u r θ = 0 (1) Bereken u(r,θ) met behulp van scheiding van de veranderlijken, als je weet dat de rand onderaan geïsoleerd is u u (r,) = θ θ (r,0) = 0 de temperatuur op de bovenrand gegeven wordt door f (θ) = een temperatuur altijd begrensd is u(r,θ) < { 100 C 0 < θ 0 C < θ Hint: een differentiaalvergelijking van Euler a x y (x) + a 1 xy (x) + a 0 y = 0 kan omgevormd worden tot een differentiaalvergelijking met constante coëfficiënten, gebruikmakend van de substitutie x = e t. / 0 1 0 Tijd: uur 30 minuten; Vraag 1 en : 8 punten; vragen 3: 14 punten. Totaal: 30 punten. Dit examen telt mee voor 50 % van het totaal.
Oplossingen 1. Differentiaalvergelijking: Homogene vergelijking: Geassocieerd stelsel: Eerste integralen: dx y = dy x yp xq + x y = 0. y Ψ x x Ψ y (x y ) Ψ z = 0. dx y = dy x = dz y x. x + y = c 1 methode der multiplicatoren: µ = y, µ 1 = x, µ = 1. µy + µ 1 ( x) + µ (y x ) = y x y + x = 0. µ dx + µ 1 dy + µ dz = y dx + x dy dz = d(xy z) xy z = c. of a b = c d a b = c d = ae be = cf df = ae + cf be + df y dx y dxy = dz = x dy y dx + x dy = = dz x y x y x }{{ } xy = z + c Verband tussen c 1 en c : x + y = c 1 xy z = c xy = 1 + c z = 1 x + y = (x + y) = x + y + xy = 4 c 1 + (1 + c ) = 4
c 1 + c =. Oplossing: x + y + (xy z) = z = (x + y).. Maak gebruik van de Legendre polynomen. In de cursus staat beschreven hoe deze berekend kunnen worden. n L n L n = n+1 0 1 1 x 3 3 3x 1 5x 3 3x 5 7 a) We kunnen de coëfficiënten bepalen door gebruik te maken van het inwendig product: f(x) = n=0 a nφ n (x) a n = <f(x),φn(x)> <φ n(x),φ n(x)>. Merk op dat de term in de noemer gegeven is in de laatste kolom van de bovenstaande tabel. Dit werd in de oefeningen bewezen. a 0 = < f(x), φ 0(x) > < φ 0 (x), φ 0 (x) > 1 ( < f(x), φ 0 (x) >= sin(x) a 0 = 0 ) + cos(x) 1 dx = sin(x) 1 = 0 a 1 = < f(x), φ 1(x) > < φ 1 (x), φ 1 (x) > 1 ( ) < f(x), φ 1 (x) >= sin(x) + cos(x) x dx a 1 = / /3 = cos(x) = 3 x 1 1 cos(x) dx = 0
a = < f(x), φ (x) > < φ (x), φ (x) > 1 ( ) ( < f(x), φ (x) >= sin(x) 3x 1 + cos(x) = 3 sin(x) x = 3 cos(x) a = 6 / /5 1 x 1 + = 15 3 1 1 x sin(x) dx 1 sin(x) 3 cos(x) dx = 6 + 0 De beste tweedegraads veelterm om f(x) te benaderen is dus f(x) a 0 + a 1 x + a 3x 1 = 0 + 3 x 15 3x 1 = 15 + 3 x 45 x ) dx dx 1 1 1 x b) Het nut van orthogonale veeltermen is dat we de extra term onafhankelijk van alle vorige kunnen berekenen. Stel dat je als basis de monomen 1, x, x,... gebruikt: f(x) a 0 + a 1 x + a x +... Dan moet je, indien je de graad wilt verhogen, alle voorgaande coëfficiënten ook opnieuw uitrekenen. Bij een orthogonale basis staan de componenten loodrecht op elkaar. Een nieuwe term heeft dus geen impact op de vorige, en we moeten dus slechts één extra coëfficiënt berekenen. Hiervoor kan je het inwendig product weer gebruiken. a n = < f(x), φ n(x) > < φ n (x), φ n (x) > 3
3. a) Randvoorwaardeprobleem: modelvergelijking met u r + 1 u r r + 1 u r θ = 0 0 r, 0 θ u u (r,0) = θ θ (r,) = 0 0 r u(,θ) = f (θ) 0 θ u(r,θ) < r 0 b) Scheiden van veranderlijken: u(r,θ) = R(r)T (θ) met r R(r)T (θ) + rṙ(r)t (θ) + R(r) T (θ) = 0 R(r) T (0) = R(r) T () = 0 0 r R()T (θ) = f (θ) 0 θ R(r)T (θ) < r 0 0 r, 0 θ We kunnen de partiële differentiaalvergelijking nu groeperen volgens r en θ (r R(r) + rṙ(r) ) T (θ) = R(r) T (θ) r R(r) + rṙ(r) R(r) = T (θ) T (θ) = λ De linker- en rechtertermen kunnen alleen aan elkaar gelijk zijn voor alle r en θ als ze gelijk zijn aan een constante λ. We bekomen zo twee deelproblemen: r R(r) + rṙ(r) = λr(r) lim T (θ) = λt (θ) c) Het Sturm-Liouville probleem: T (θ) We beschouwen T (θ) = λt (θ) T (0) = T () = 0 R(r) < r 0 T (0) = T () = 0 en zoeken voor de verschillende mogelijkheden van λ de eigenwaarden en bijhorende eigenfuncties. λ = 0 T (θ) = 0 T (θ) = Aθ + B T (0) = 0, T () = 0 A = 0 T (θ) = B is een niet-triviale oplossing λ = 0 is een eigenwaarde, met bijhorende eigenfunctie T 0 (θ) = 1 λ < 0 Karakteristieke vgl: D = λ D = ± λ R T (θ) = A cosh( λx) + B sinh( λx) T (θ) = A λ sinh( λx) + B λ cosh( λx) T (0) = 0 = B λ B = 0 T () = 0 = A λ sinh( λ) A = 0 We vinden alleen de triviale oplossing λ < 0 is geen eigenwaarde. 4
λ > 0 Karakteristieke vgl: D = λ D = ±i λ C T (θ) = A cos( λx) + B sin( λx) T (θ) = A λ sin( λx) + B λ cos( λx) T (0) = 0 = B λ B = 0 T () = 0 = A λ sin( λ) sin( λ) = 0 λ = n λ n = n is een eigenwaarde, met bijhorende eigenfunctie T 0 (θ) = cos(nθ) d) Het overblijvend probleem: R(r) We vullen de gevonden eigenwaarden λ n in, in de differentiaalvergelijking van r. r R(r) + rṙ(r) = λr(r) lim R(r) < r 0 Hiervoor zetten we eerst de differentiaalvergelijking van Euler om naar één met constante coëfficiënten, door gebruik te maken van de tip r = e t t = ln r. dr dr = dr dt dt dr = 1 r r dr dr = dr dt dr dt d R dr r d R dr = d dr ( 1 r = d R dt ) dr = 1 dt r dr dt d R dt dt dr 1 dr r dt = 1 ( d R r dt dr ) dt Als we dit substitueren in het Sturm-Liouville probleem voor R(r), dan vinden we ( d R dt dr ) + dr λr = 0 dt dt () d R λr = 0 dt (3) De karakteristieke vergelijking wordt dan D λ = 0, waaruit volgt dat D = ± λ, dus R(t) = Ae λt + Be λt R(r) = Ar λ + Br λ Voor λ 0 = 0 vinden we de constante eigenfunctie R 0 (r) = A 0. Voor λ n = n > 0 bekomen we (rekening houdend met de begrensde temperatuur, ook voor r 0) R n (r) = A n r n e) De totale oplossing: u(r,θ) = R(r)T (θ) u(r,θ) = A 0 + A n r n cos(nθ) n=1 5
De onbekende coëfficiënten bepalen we via de overblijvende randvoorwaarde u(,θ) = f (θ), en de orthogonaliteit van de eigenfuncties over [0, ]: 0 0 f (θ) dθ A 0 = 1 dθ = 100 dθ 1 dθ = 50 0 0 A n = 1 f (θ) cos(nθ) dθ 0 n 0 cos(nθ) dθ A n = 00()n (n 1) n 1.5 1 0.5 = 00 sin n n n 0.5 0.5 0 0.5 1 1.5 6