Meetkunde 1 Ruimtemeetkunde

Meetkunde 1 Ruimtemeetkunde M1 Ruimtelijke situties voorstellen in een vlk 180 M2 De pirmide, de kegel en de ol 18 M Het volume vn een pirmide, een kegel en een ol 190 179

M1 1 Titel Ruimtelijke situties voorstellen in een vlk 54 B Teken het vluhtpunt (of vluhtpunten) ij de ntuurlijke perspetieven. P P1 P2 55 V* Onderstnde tekening stelt een huisje in ntuurlijk perspetief voor. Teken in de lngste gevel twee rmen en in de ndere gevel een deur en een rm eroven. 5 B Welk soort perspetief wordt geruikt in deze vlkke voorstellingen? isometrish perspetief ntuurlijk perspetief of ntuurperspetief......... 57 B Welk soort perspetief of nziht herken je in deze vlkke voorstellingen? ntuurlijk perspetief of ntuurperspetief ntuurperspetief isometrish perspetief vlièreperspetief......... 180 M1 Ruimtelijke situties voorstellen in een vlk

d e f isometrish perspetief voornziht ntuurperspetief......... 58 B Geef de nm vn de voorstellingswijze. d e f g kenmerken De fmetingen lijven ehouden, mr hoekgrootten lijven niet ehouden. De fmetingen lijven ehouden en lle hoekgrootten lijven ehouden. De evenwijdigheid lijft soms ehouden. De hoekgrootten wijzigen lleml. Rehthoeken worden voorgesteld door trpeziums. Alle vierknten lijven vierknten. Rehthoeken worden prllellogrmmen. perspetief isometrish perspetief nzihten ntuurlijk perspetief isometrish perspetief ntuurlijk perspetief nzihten isometrish perspetief 59 B Kun je ij volgende tekeningen ij de ngeduide mten de werkelijke lengte flezen? Indien j, geef de werkelijke lengte. Indien neen, verklr wrom niet. h h h d l l h 2, m 1, m d,2 m l 2, m h 1,1 m 1,1 m Neen in een ntuurperspetief lijven......... 570 B Vn welk perspetief wordt in de volgende grp geruik gemkt? Denk je dt de studenten hun jo kunnen ehouden? de lengten niet ltijd ehouden. Twee studenten doen een vkntiejo ij de Belgishe Spoorwegen. De ploegs wil ze even testen en neemt ze mee nr een stuk spoorlijn die uiten geruik is. Smen gn ze midden tussen de rils stn en de ploegs zegt: Mnnen, kijk goed in de verte, wt stellen jullie vst? Smen turen ze nr de verre horizon tot wr de rils in één punt smen lijken te komen. Zegt de ploegs: Mnnen, jullie egrijpen dt dit een heel gevrlijke toestnd is. G onmiddellijk nr het punt wr de rils smen komen en herstel de situtie. De twee studenten gn op stp. Vele kilometers en uren lter heen ze het gevrlijke punt nog steeds niet ereikt. Plots drit één vn eiden zih om, shrikt en roept: 'Verdorie, dt kn toh niet, we zijn te ver, we zijn dt punt voorij!' ntuurlijk perspetief...................... Ruimtelijke situties voorstellen in een vlk M1 181

571 V* Teken de figuur in vlièreperspetief. 572 B De eerste kuus is in vlièreperspetief getekend, de tweede in isometrish perspetief met ls ovenvlk MNOP. O Geef de werkelijke onderlinge ligging vn onderstnde rehten. Kies de meest pssende oplossing uit:,,, kruist N P F G E H K M B C J L A D kruist EH... GC // EA... GC kruist AD... EF d FC... FD /// kruist e FH... AB f FB... AB // g NM... KL kruist h PL... JK I kruist i OM... NJ kruist j OI... PL k MI... IL l NK... OK /// 57 B In de volgende kuus zijn de punten M, N, K, L de respetievelijke middens vn de rien [EH], [FG], [EF] en [HG]. Zet een kruisje in de pssende kolom(men) zodt je wre uitsprken krijgt over de werkelijkheid. E A K B F M N H D L G C d e f g h i j Δ ABC Δ CDL Δ EKA Δ LDH Δ BGD Δ KGH Δ AEM Δ NGL Δ KLE Δ FGB rehthoekig gelijkenig gelijkzijdig 182 M1 Ruimtelijke situties voorstellen in een vlk

574 B De volgende ruimtefiguren zijn opgeouwd uit even grote kuussen. Bij welk(e) nziht(en) zie je de grijs gekleurde kuus niet? d e f d e 575 V* Op de voorstelling vn de kuus zijn drie rehten getekend. Welke rehte stt op deze tekening loodreht op de rehte? Wrom is dit misleidend? 57 V* De tuinpden worden voorgesteld door lijnstukken. rehterzijnziht voornziht rehterzijnziht Welk lijnstuk is op deze tekening het lngste lijnstuk: lijnstuk AB of lijnstuk AC? Wrom is dit misleidend? linkerzijnziht hternziht voornziht ovennziht linkerzijnziht De kuus is getekend in isometrish perspetief. De rehte is evenwijdig met de opstnde rie en de rehte is evenwijdig met de rie vn het grondvlk. In werkelijkheid :. Als je de kuus wegneemt: De lijnstukken zijn even lng.. We.......... zien............. de......... lijnstukken................................ in...... de......... tekening.......................... in...... ntuurperspetief................................... De......... lijnstukken................................ stellen.................... rnden..................... vn............................. de........ wegen..................... voor................ De......... weg.............. AC......... is...... lnger................... in....... het.................... ntuurperspetief,..................................................... wnt................ de......... wegen.................... komen..................... eide........ in hetzelfde punt toe mr de weg AC vertrekt meer voorn, dus verder f vn A in de ontet. voornziht, ovennziht. ondernziht............................................................... rehterzijnziht linkerzijnziht f Ruimtelijke situties voorstellen in een vlk M1 18

577 V* Een onmogelijke onstrutie vn Jos De Mey. Deze tekening kn onmogelijk in de werkelijkheid. Wt is fout?........................ Wrom kn dit getekend worden?................ De wtervl vn Esher. Bovenn zie je een muur en stn de zuilen nst elkr, mr ls je ondern kijkt zie je dt 1 zuil voor de ndere stt, de fluitspeler zit tussen de zuilen. Omdt een tekening mr 2 dimensies heeft, er is geen diepte. Beshrijf wt je ziet......... Begin links ovenn: je ziet het wter nr eneden vllen; dr rengt het een rd in eweging. Drn stroomt........ het weg in een gemetselde fvoergeul. Volg de loop vn het........................ wter en het loopt onmiskenr telkens lger en het verwijdert zih vn ons. Plots lijkt het verste en lgste punt identiek te zijn met het hoogste punt dihtij......... Weetje Murits Cornelis Esher (1898 1972) is een Nederlndse kunstenr die vk speelde met wiskundige prinipes. Hij ws nohtns geen ijster goede student. Toh getuigen zijn werken vn een geweldig ruimtelijk en wiskundig inziht. 578 V* Dit shilderij uit de Middeleeuwen vn Jn Vn Eyk voldoet niet n lle regels vn het perspetieftekenen. Je kunt dit ntonen ls je enkele vluhtpunten tekent. Wt klopt niet? De vluhtpunten komen niet smen op de horizon..................................... Jn vn Eyk (. 190-1441) Vlms kunstshilder Huwelijk vn Arnofini (144) 184 M1 Ruimtelijke situties voorstellen in een vlk

579 V** Deze prent toont een ioon (De heilige Drievuldigheid (rond 1410)) vn de grootste Russishe ioonshilder Andrey Roeljov (10-140). Wr ligt hier het verdwijnpunt? Het verdwijnpunt ligt hier voor het shilderij. Het verdwijnpunt is hier de toeshouwer......................... 580 V* Bekijk het shilderij De vrijrief vn René Mgritte. Wt is hier fout? De vrouw en het prd zijn deels onzihtr door de omen. Mr........ je ziet de verkeerde delen. Er zijn meerdere fouten. Bv. de stm vn de........ dunnere oom nst de prdrijdster is: hter het prd getekend........ op de grond mr is voor het prd en de prdrijdster getekend........ ter hoogte vn de flnk vn het prd. Bv. de lege ruimte tussen de........ omen kn in de werkelijkheid het prd niet onzihtr mken......... Weetje René Mgritte (1898 197) ws een vn de elngrijkste surrelisten vn de vorige eeuw en een vn de ekendste Belgishe shilders tot op heden. In het Mgritte Museum in Brussel kn je tl vn zijn werken ewonderen. 581 V* Hiernst zie je Terr suterrne vn Roger Sheprd. Welk perspetief wordt hier geruikt? Het ntuurlijk perspetief. Welke feelding is het grootst? Ze zijn eide even groot. Meet de monsters. Wrom is dit misleidend? Een voorwerp dt zih verderf evindt, neem je kleiner wr en wordt kleiner getekend in een ntuurlijk perspetief. Door de htergrond en het perspetief wordt gesuggereerd dt het grote monster zih hter in de tunnel evindt en dus verder weg is, wrdoor ons rein hem interpreteert ls groter dn het monster op de voorgrond. Zelfs de uitdrukking vn de monsters lijkt nders te zijn door de situtie wr ze zih in evinden. Het lijkt wel of het kleine monster ompleet in pniek is Ruimtelijke situties voorstellen in een vlk M1 185

M2 De pirmide, de kegel en de ol 582 B Vul het shem in. de nm vn de pirmide driezijdige pirmide vierzijdige pirmide zeszijdige pirmide het ntl grensvlkken 4 5 7 het ntl opstnde grensvlkken 4 het ntl rien 8 12 het ntl opstnde rien 4 de vorm vn de opstnde grensvlkken driehoek driehoek (gelijkenige) driehoek het ntl hoekpunten 4 5 7 58 B Vul in (geef het orrete ntl of geef de meest pssende enming). vierhoek vijfhoek driehoeken 24 Hoeveel grensvlkken heeft een vijfzijdige pirmide?................... Welke vorm heeft het grondvlk vn een vierzijdige pirmide?................... Welke vorm heeft het grondvlk vn een vijfzijdige pirmide?................... d Welke vorm heen de opstnde grensvlkken vn een htzijdige pirmide?................... e Hoeveel rien heeft een twlfzijdige pirmide?................... f Hoeveel hoekpunten heeft een pirmide met 10 rien?................... g Hoeveel opstnde grensvlkken heeft een pirmide met 12 rien?................... 18 M2 De pirmide, de kegel en de ol

584 V* Shrijf in wiskundetl (n is een ntuurlijk getl groter dn 2). d ntl zijden grondvlk 4 5 n ntl grensvlkken ntl hoekpunten ntl rien ntl opstnde grensvlkken Een n zijdige pirmide heeft...... grensvlkken. Een n-zijdige pirmide heeft....... hoekpunten. Een n-zijdige pirmide heeft....... rien. 4 4 n + 1 n + 1 2n n Een n-zijdige pirmide heeft....... opstnde grensvlkken. 5 5 8 4 10 5 7 7 12 n + 1 n + 1 2n n 585 V** Shrijf in wiskundetl (n is een ntuurlijk getl groter dn 2). (n 1) 2(n 1) 2 + 1 Een pirmide met n grensvlkken is een... - zijdige pirmide. Een pirmide met n hoekpunten heeft................................................. rien. n Een pirmide met n rien heeft.............................................................. grensvlkken. 58 V** In de vlkke meetkunde is een regelmtige veelhoek een veelhoek wrvn lle zijden even lng zijn en lle hoeken even groot. In de ruimtemeetkunde is een regelmtig veelvlk een veelvlk wrvn lle grensvlkken regelmtige veelhoeken zijn en wrij in elk hoekpunt evenveel zijvlkken smenkomen. Er estn slehts 5 regelmtige veelvlkken. Vul de tel n. Nm Antl grensvlkken Antl hoekpunten Antl rien tetrëder of regelmtig 4... vlk 4 4 kuus of regelmtig... vlk 8 12 otëder of regelmtig 8... vlk 8 12 De pirmide, de kegel en de ol M2 187

dodeëder of regelmtig 12... vlk 12 20 0 iosëder of regelmtig 20... vlk 20 12 0 In elk regelmtig veelvlk estt er een vernd tussen het ntl grensvlkken, het ntl hoekpunten en het ntl rien. Noteer dit vernd. Antl grensvlkken... ntl hoekpunten... 587 B Welke ontwikkelingen stellen een pirmide voor?, e, g.................................. + ntl rien + 2 d Weetje Regelmtige veelvlkken worden ook wel eens Pltonishe veelvlkken genoemd, nr Plto de grote Griekse filosoof (428-48 voor Christus). Deze veelvlkken stonden symool voor het vuur (regelmtig viervlk); de rde (kuus); de luht (regelmtig htvlk); het universum (regelmtig twlfvlk) en het wter (regelmtig twintigvlk). e f g 588 B Welke vn onderstnde figuren zijn voorstellingen vn een kegel? d e f, d en f... 188 M2 De pirmide, de kegel en de ol

589 B Wrom is de rde geen ol? De strl vn de rde is niet overl even lng. De fstnd vn het middelpunt vn de rde tot de evenr is groter (ongeveer 21 km) dn de fstnd vn het middelpunt vn de rde tot de polen......................................................................................................................................................................................... 590 B Vn een ruimtelihm krijg je het voornziht en het ovennziht. Omirkel de nm vn de ruimtelihmen die ij het voornziht en het ovennziht kunnen horen. VAZ BAZ VAZ BAZ VAZ BAZ kuus pirmide lk kegel ilinder ol prism kuus pirmide lk kegel ilinder ol prism kuus pirmide lk kegel ilinder ol prism d e f VAZ BAZ VAZ BAZ VAZ BAZ kuus pirmide lk kegel ilinder ol prism kuus pirmide lk kegel ilinder ol prism 591 B Vn 2 ruimtelihmen krijg je de ovennzihten. Omirkel de voornzihten die ij deze ovennzihten kunnen horen. kuus pirmide lk kegel ilinder ol prism geen oplossing De pirmide, de kegel en de ol M2 189

M Het volume vn een pirmide, een kegel en een ol (uitreiding) 592 U(B) Vul de tel n. Noteer je erekeningen onder de tel. nm vn de ruimtefiguur hoogte oppervlkte grondvlk Ahtzijdig pirmide 9 m 2 m² Vierzijdige pirmide met een vierknt ls grondvlk 0,0 m en een zijde vn het grondvlk is 4 dm 1 dm2 Kegel, de strl vn het grondvlk is 1,2 m m 4,529 m2 d Kegel, de dimeter vn het grondvlk is 40 m 24 m 1 257 m2 e Bol, de strl is 5 m / / f Bol, de dimeter is 7,4 dm / / S h G ( 2 m2 9 m ) 9 m z2 4 dm 4 dm 1 dm2 S h G 1 dm dm 2 dm r2 ( 1,2 m)2 4,521 m2 S h G 4,52 9 m2 m V 4,52 m r2 d (20 m)2. S... G.......... 1.... 25,4.................... m2........................... V..... S h G.......................................................... 125,4 m2 24 m. V............................................................... V 10 05,12 m 4 r 4 (5 m) V 52, m volume 9 m 2 dm 4,52 m 10 05 m 52,0 m 212,17 dm e 4 r 4 (,7 dm) V 212,07 dm f 59 U (B) Bereken volgende volumes. Het dk vn een huis is een pirmide. Bereken het volume vn de zolder. l 12 m 8 m 9 m2 2 m S h G 9 m2 2 m 4 m Het volume vn de zolder is 4 m Antwoord:......................................... 12 m 8 m 190 M Het volume vn een pirmide, een kegel en een ol (uitreiding)

De nieuwste ijshoorntjes heen een dimeter vn m en een hoogte vn 10 m. Bereken het volume vn een hoorntje. r2. (m)2 28,2 m2 h 28,2 m2 10 m.......................................... V 94,2 m.......................................................... Het volume vn een hoorntje is 94,2 m Antwoord:...... De strl vn een sketl is 12,5 m. Bereken het volume vn de l. Rond f tot op 1 m³. 4 r 4 (12,5 m) V 8 181 m....................................................................................... Het volume vn de l is 8 181 m. Antwoord:...... 594 U(V*) Bereken de hoogte en de oppervlkte vn het grondvlk ij de ruimtefiguren. Vul de tel n. Noteer je erekeningen onder de tel. d nm vn de ruimtefiguur hoogte vn de ruimtefiguur oppervlkte vn het grondvlk volume Zeszijdige pirmide 9 m 540 m³ 0 dm Driezijdige pirmide 1,920 dm² 8,4 dm³ 18 m Kegel 78,5 m² 471 m³ Kegel 20 m 22,08 l S h G 540 m S 9 m G 540 m 9 m 180 m2........................................................................................................................................................ 180 m2 9,12 dm2 S h G 78,5 m2 h 471 m 471 m h 78,5 m2 h 18 m.............................................................................................................................................................................................. S h G 1,920 dm2 h 8,4 dm 8,4 dm h 1,920 dm2 h 0 dm.............................................................................................................................................................................................. S h G 22,08 dm S 2 dm G 22,08 dm 2 dm 9,12 dm2 d.................................................................................................................................................................................................................................... Het volume vn een pirmide, een kegel en een ol (uitreiding) M 191

595 U(V*) Een ekende frisdrnkfriknt heeft voor zijn nieuwe drnk een kegelvormig gls ontworpen voor kleuters. Er kn miml 15 l in. De dimeter vn het grondvlk vn de kegel edrgt 8 m. Rond f tot op 1 m. Hoe hoog is het gls? 15 l 150 ml 150 m r2 (4 m)2 1 m2 50,27 m2 S h G 150 m 50,27 m2 h h 150 m 50,27 m2 h 8,952 m 9m Het gls is 9 m hoog................................................................ Antwoord:.................................................. 59 U(V*) Een mteker heeft de vorm vn een fgeknotte kegel. Bereken het volume vn de mteker. Volume vn de volledige kegel................... r2................... (7,5 m)2.................. 17,715 m2 V volledige kegel S h G 17,715 m2 0 m V volledige kegel V volledige kegel 1 77,15 m........................................................................ Volume vn het onderste deel, het verdwenen deel.................. r2.................. (2,5 m)2.................. 19,5 m2 V verdwenen gedeelte S h G 19,5 m2 10 m V verdwenen gedeelte V verdwenen gedeelte 5,44 m.................. Weetje Een fgeknotte kegel is een kegel die ontstt door een kegel te snijden met een vlk evenwijdig n het grondvlk................................................................................................................... Volume vn de mteker...................................... V mteker V hele kegel V verdwenen gedeelte...................................... V mteker 1 77,15 m 5,44 m 1 701,71 m...................................... Antwoord: Het volume vn de mteker is 1 701,71 m 192 M Het volume vn een pirmide, een kegel en een ol (uitreiding)

1, m 1,2 m 0,5 m 0,8 m 2,4 m 1 m 0,5 m 0, m 1,8 m 1, m 1,2 m 1,2 m 1,4 m 19 Het volume vn een pirmide, een kegel en een ol (uitreiding) M 597 U(V*) Op de dierenoerderij heen de dieren leuke huisjes. Bereken het volume vn het kippenhok. 598 U(V*) Bereken het volume vn de kooi vn de dwergppegien................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................. Je verdeelt het huisje in drie delen en je erekent de drie volumes. Deel 1 is een lk: V deel 1 l h V deel 1 1,4 m 0,8 m 1, m V deel 1 1,792 m Deel 2 is een lk: V deel 2 l h V deel 2 1 m 0,8 m 1,1 m V deel 2 0,88 m Deel is een pirmide met ls grondvlk een rehthoek. Je erekent eerst de oppervlkte vn deze rehthoek. l 1,4 m 0,8 m Je verdeelt de kooi in 4 figuren. Figuur 1 is een ilinder. Je erekent eerst de oppervlkte vn de irkel. r2 (1,2m)2 4,529 m2 1, m 1,2 m 0,5 m 0,8 m 2,4 m 1 m fig 1 fig 2 fig 0,5 m 0, m 1,8 m 1, m 1,2 m 1,2 m 1,4 m fig 1 fig 2 fig fig 5 fig 4 1,12 m2 V deel h V deel 1,12 m2 1,2 m V deel 0,448 m V kippenverlijf V deel 1 + V deel 2 + V deel V kippenverlijf 1,792 m + 0,88 m + 0,448 m V kippenverlijf,12 m V figuur 1 h V figuur 1 4,529 m2. 1, m V figuur 1 7,28 m Figuur 2 is een fgeknotte kegel met hetzelfde grondvlk ls figuur 1. V kegel h V kegel 4,521 m2 1,8 m V kegel 2,712 m V verdwenen deel h V verdwenen deel (0,5 m)2 0, m 0,157 m V figuur2 V kegel V verdwenen deel 2,712 m 0,157 m 2,555 m Figuur is een ilinder. Je erekent eerst de oppervlkte vn de irkelshijf r2 ( 0,52) m2 0,785 m2 V figuur h V figuur 0,785 m2 1,4 m V figuur 1,099 m Figuur 4 is een kegel met hetzelfde grondvlk ls figuur V figuur 4 h V figuur 4 0,785 m2 1,2 m V figuur 4 0,14 m V kooi V figuur 1 + V figuur 2 + V figuur + V figuur 4 V kooi 7,28 m + 2,555 m + 1,099 m + 0,14 m V kooi 11,20 m

599 U(V*) Het tomium is een stlen onstrutie die estt uit 9 ollen met elk een dimeter vn 18 meter. Bereken het volume vn één ol. 4 r 4 (9 m) 05,28 m............................................................................................................... In het Minimundus in Klgenfurt (Oostenrijk) werd het tomium ngeouwd op shl 1/25. Wt is het volume vn één ol op shl? 4 r 4 ( 9 m ) 0,195 m 25....................................................................................................... Hoeveel keer is het volume vn het model in Minimundus kleiner dn het tomium in Brussel? 05, m : 0,195 m 15 25............................. (15 25 25).......................................................... 00 U(B) In Lummen heen de leerlingen tijdens de lessen WW ruisllen gemkt met een dimeter vn 2 m. Leerlingen vn Beringen heen eveneens ruisllen gemkt mr met een dimeter vn m. Bereken de volumes vn eide ruisllen. Rond f tot op 2 deimlen. Shool Lummen Shool Beringen............................ V ruisl Lummen 4 r V ruisl Beringen 4 r V ruisl Lummen 4 (1 m) V ruisl Beringen 4 ( m) V ruisl Lummen 4,19 m V ruisl Beringen 11,10 m Hoe verhouden de strlen vn eide ruisllen zih tot elkr?........................................................ De strl vn de ruisl vn Beringen is keer groter......................................................... Hoe verhouden de volumes zih t.o.v. elkr? Het volume vn de ruisl vn Beringen is 27 keer groter......................................................... 01 U(V*) Tom perst sinsppels. 0 % vn het volume vn een sinsppel is sp. Een gemiddelde sinsppel heeft een omtrek vn 27,5 m. Hoeveel sinsppels heeft hij nodig om 1 liter sp te ekomen? Rond je eindresultt zinvol f. Stp 1: Berekening vn volume vn één sinsppel... O 2 r... 27,5 m 2 r 27,5 m r r 4,8 m 2...... 194 M Het volume vn een pirmide, een kegel en een ol (uitreiding)

4 r 4 (4,8 m) 51,19 m......... Stp 2: Berekening vn de hoeveelheid sp vn één sinsppel 0 % vn 51,19 m 0 51,80 m 105, m 100 Stp : Berekening vn het ntl sinsppels dt nodig is om 1 liter sp te......... ekomen... 1 l 1 dm 1000 m... 1000 : 105, 9,49 10...... Tom heeft 10 sinsppels nodig. Antwoord:............... 02 U(V*) Het klsseresturnt Hof vn Goossens kiest voor kwliteit. De hefkok Peter Cleve heeft kleine soepowls lten ontwerpen. De kommetjes heen de vorm vn een hlve ol met een innendimeter vn 9 m. Wt is het volume vn 1 soepowl? Rond je resultt f tot op 1 m.. V..... ( 4..................... r ) : 2. V..... 2...................... r 2 (4,5 m) 190,852 m 191 m2 Het volume vn 1 soepowl is 191m............................. Antwoord:...... Mr Cleve mkt 8 liter soep. Hoeveel klnten kunnen vn deze soep eten ls je weet dt de owls voor 85 % gevuld worden? 85 % vn 191 m 85 191 m 12,5 m 100 8 liter 8000 m.......................................................... 8000 : 12,5 49,27 49............................. Antwoord:...... 0 U(B) Nik koopt een kegelvormige rieten mnd. Hij wil de mnd tot de rnd vullen en hij heeft een zk met tien liter potgrond gekoht. Is dit voldoende? r2................................... (12,5 m)2 49 klnten kunnen vn deze soep eten.................................... 490,874 m2 S h G...................................................................... Het volume vn een pirmide, een kegel en een ol (uitreiding) M 195

490,874 m2 50 m 8181 m.......................................................................... 8181 m 8,181 l 8,2 l..................................... Antwoord:.. 10........ liter............ potgrond............................. is..... voldoende....................... 04 U(V*) Hoeveel olletjes ijs kun je sheppen uit een doos vn 2,5 liter. De dimeter vn de olvormige ijslepel is 4,5 m. Rond zinvol f. V 1olletje 4 r V 1olletje 4 (2,25 m) V 1olletje 47,712 9 48 m............................................................................................................... 2,5 liter 2,5 dm 2 500 m..................................... 2500 m : 48 m 52,08 52..................................... Je kunt ongeveer 52 olletjes sheppen. Antwoord:.............. 05 U(V**) Op een gedenksteen ij het grf vn Arhimedes is een figuur geeiteld die hiernst geshetst is. Ze illustreert een stelling vn Arhimedes: Als de dimeter vn een ol, de dimeter vn het grondvlk vn een ilinder, de dimeter vn het grondvlk vn een kegel, de hoogte vn die ilinder, de hoogte vn die kegel llen even lng zijn, dn verhouden de volumes vn kegel, ol en ilinder zih zols de getllen 1,2,. Wt etekent dit? Tip: ereken eerst het volume vn de kegel, drn het volume vn de ol en tenslotte het volume vn de ilinder. V kegel S h G r2...................................................... De hoogte is het duel vn de strl: h 2r V kegel r2 2 r 2 r V ol 4 r 2 2 r................................................................................. Vergelijk het volume vn de ol met het volume vn de kegel. V kegel 2 r en V ol 2 2 r dus het volume vn de ol is het duel vn het volume vn de kegel...................................................... V ilinder h........................... Nu is: r2........................... de hoogte is het duel vn de strl: h 2r........................... Dus V ilinder r2 2 r 2 r 19 M Het volume vn een pirmide, een kegel en een ol (uitreiding)

12 m Vergelijk het volume vn de kegel met het volume vn de ilinder. V kegel 2 r en V ilinder 2 r Het volume vn de ilinder is het drievoud vn het...................................................... volume vn de kegel met dezelfde hoogte............................ 0 U(V**) Bereken het volume vn de vogelkooi. V onderste deel V ilinder.......................... V ilinder h.......................... V ilinder r2 h.......................... V ilinder (21 m)2 58 m.......................... V ilinder 80 55,5 m.......................... 80 55, m2 V hlve ol 2 (21 m) V hlve ol 19 9,19 m V vogelkooi 80 55, m + 19 9, m V vogelkooi 99 751,85 m.......................... 58 m V ovenste deel V hlve ol.......................... 2 V hlve ol 1 2 4 r r.................................................... 42 m 07 U(V**) Bij de uitreiking vn De gouden tennisl krijgt de winnr een gouden tennisl wrvn de omtrek 21,98 m is. De dikte vn de lg goud is 1,5 m. Wt is de mss vn de tennisl ls je weet dt 1 dm³ goud 19, kg weegt. De mss vn de luht in de tennisl is verwrloosr. Berekening vn de strl vn de tennisl O 2 r 21,98 m 2 r 2 r 21,98 m 21,98 m r 2..................................... r,5 m.......................................................................... Berekening mss goud met verhoudingstel..................................... Volume (in m ) 1000 14,08 Mss (in kg) 19, 2,819..................................... De mss vn de tennisl is 2,819 kg. Antwoord:....... 08 U(V***) Een regelmtige zeszijdige pirmide heeft een hoogte vn 12 m. De lengte vn 1 rie vn het grondvlk is m en de fstnd vn een rie tot het middelpunt vn de (omgeshreven) irkel is 2,4 m. Bereken het volume vn de pirmide Tip: ereken eerst de oppervlkte vn het grondvlk. Verdeel de zeshoek in even grote driehoeken één driehoek h 2 m 2,4 m één driehoek 2 één driehoek, m2................................................................................ regelmtige zeshoek één driehoek.................... V hele tennisl 4 r V hele tennisl 4 (,5 m) V hele tennisl 179,59 m V luht 4 r V luht 4 (2 m) V luht,51 m V goud V hele tennisl V luht V goud 179,59 m,51 m 14,08 m D E C T F M A 2,4 m m B Weetje Het lijnstuk MV wordt in de vlkke meetkunde het pothem vn de koorde AB genoemd. Het volume vn een pirmide, een kegel en een ol (uitreiding) M 197

2,7 m regelmtige zeshoek, m2.................... regelmtige zeshoek 21, m2.................... E F.................... V pirmide S h G 21, m2 12 m V pirmide V pirmide 8,4 m................................................................................ Het volume vn de pirmide is 8,4 m Antwoord:............................................................. Vinent en Esr doen in het lo een eperiment. Ze willen weten wt er geeurt met het volume vn een vloeistof ls ze n deze vloeistof ijslokjes in de vorm vn htzijdige pirmides toevoegen. Hiernst zie je de fmetingen vn de ijslokjes. Hoeveel milliliters neemt het volume vn de vloeistof toe ls ze ijslokjes toevoegen? Bereken eerst de oppervlkte vn het grondvlk vn de ijslokjes. Je erekent eerst de oppervlkte vn het grondvlk, dus vn de regelmtige hthoek. Hiervoor verdeel je de hthoek in 8 driehoekjes. ( 2,4 m 1,2 m ) 2 8 11,52 m2 V één ijslokje S h G........................................................................................................................ 11,52 m2 2,7 m V één ijslokje V één ijslokje 10,8 m........................................ V zes ijslokjes 10,8 m.................... V zes ijslokjes 2,208 m........................................ Het volume stijgt 2 ml Antwoord:............................................................. D C M M 2,4 m 1,2 m 1,2 m 2,4 m m B 2,4 m V Weetje Een regelmtige pirmide is een pirmide met ls grondvlk een regelmtige veelhoek. De hoogtelijn uit de top gt door het middelpunt vn het grondvlk ( middelpunt vn de omgeshreven irkel die door de hoekpunten vn het grondvlk gt. A 198 M Het volume vn een pirmide, een kegel en een ol (uitreiding)