ECHNISCHE UNIVERSIEI EINDHOVEN FAC. BIOMEDISCHE ECHNOLOGIE Schriftelijk tentamen Signaal en Systeemanalyse (8E8) gehouden op maandag 3 oktober van 9:-: (4 opgaven) - Je mag bij dit tentamen gebruik maken van het boek Signal & Systems van Girod et al - De opgaven worden nagekeken door verschillende correctoren. Daarom moet je bij elke nieuwe opgave op een nieuw uitslagenblad beginnen (dus niet alleen op een nieuwe pagina!). - Opgave is multiple choice maar bevat mogelijk valkuilen. Let dus op en lees goed (is trouwens ook een goeie tip voor de andere opgaven)! - Motiveer en beredeneer de antwoorden op vragen -4. De argumentatie is vaak belangrijker dan de uitkomst! opgave. ( pt) kies het juiste antwoord; motiveer kort je antwoord s s + 3s+ 4 i. het gaat hier over een derde orde systeem ii. het gaat hier over een tweede orde systeem iii. het gaat hier over een eerste orde systeem iv. dit kan nooit de overdracht van een LI systeem zijn a) de overdrachtsfunctie van een systeem is H( s) 3 De hoogste orde in de noemer is 3 en de term in de teller kan vwg de constante in de noemer nooit weggestreept worden: dus is dit een 3 e orde systeem s + 5s+ 4 i. het gaat hier over een derde orde systeem ii. het gaat hier over een tweede orde systeem iii. het gaat hier over een eerste orde systeem iv. dit kan nooit de overdracht van een LI systeem zijn b) de overdrachtsfunctie van een systeem is H( s) De hoogste orde in de noemer is ; teller is een constante : dus is dit een e orde systeem
s + s + 5s+ 4 i. het gaat hier over een derde orde systeem ii. het gaat hier over een tweede orde systeem iii. het gaat hier over een eerste orde systeem iv. dit kan nooit de overdracht van een LI systeem zijn c) de overdrachtsfunctie van een systeem is H( s) De hoogste orde in de noemer is weliswaar maar ontbinden in factoren levert dat de noemer gelijk is aan (s+4)(s+). Daarmee kun je de teller en één van de factoren in de noemer wegstrepen. Daarmee blijft er een e orde systeem over. s + s+ s + 5s+ 4 i. het gaat hier over een derde orde systeem ii. het gaat hier over een tweede orde systeem iii. het gaat hier over een eerste orde systeem iv. dit kan nooit de overdracht van een LI systeem zijn d) de overdrachtsfunctie van een systeem is H( s) De hoogste orde in de noemer is (en gelijk aan de noemer onder c). Ontbinden in factoren van de teller levert nou een complex getal op dus nou kunnen er geen factoren weggestreept worden. Dus hebben we nou te maken met een e orde systeem. s + 7s+ s + 4s+ 3 i. het gaat hier over een derde orde systeem ii. het gaat hier over een tweede orde systeem iii. het gaat hier over een eerste orde systeem iv. dit kan nooit de overdracht van een LI systeem zijn e) de overdrachtsfunctie van een systeem is H ( s) de noemer is gelijk aan (s+3)(s+4); de teller is gelijk aan (s+3)(s+); dus valt de (s+3) term weg; dan houden we dus een e orde systeem over.
opgave. (.7 pt) We beschouwen een tijdcontinu LI-systeem met ingang x(t) en uitgang y(t), dat wordt gerepresenteerd door de overdrachtsfunctie H( s) s s + s+. a) (.4) Bepaal de polen en nulpunten van H( s) en teken de pole-zero plot. één nulpunt op s; twee polen p, ± j b) (.6) Bepaal de differentiaalvergelijking (D.E.) van dit systeem. Y s H s s Y s + sy s + Y s sx s X s Vermenigvuldigen met s in het Laplace domein is differentiëren in het tijddomein dus y+ y + y x is de D.E.: a ; a ; a dus zijn de D.E. coefficënten: b ; b ; b 3
c) (.4) eken een blokschema van het systeem met niet meer dan integratoren. DFII algemeen ( e orde systeem): x(t) /a z b y(t) -a z b -a z b in het huidige geval is: a ; a ; a b ; b ; b dus wordt DFII: x(t) y(t) - z - z Alternatief is DFIII: algemene schema is 4
x(t) b /a y(t) z b -a z b -a in het huidige geval is: x(t) a ; a ; a b ; b ; b y(t) dus wordt DFIII: z - z - d) (.7) Bepaal de impulsreponsie h(t) van het systeem. Deimpulsresponsie is de inverse Laplace getransformeerde van H(s). We hebben hier te maken met twee complexe polen die elkaars complex geconjugeerden zijn; laten we die voor het gemak even a en a* noemen. Nu zijn er twee manieren om de impulsresponsie te bepalen: breuksplitsen of direct gebruik maken van de tabel B. uit het boek. I Breuksplitsen levert (bedenk dat de coefficienten in de tellers van de gesplitste breuken elkaar complex geconjugeerden zijn: 5
H(s) s A + jb A jb + s j s j s j s j ( + + )( + ) + + + ( ) ( ) A + jb s + j + A jb s + + j s As + A + B s A ; A + B A ; B Dus kan H(s) geschreven worden als ( j) + ( + j) s+ + j s+ j erugtransformeren levert dan het product van de stapfunctie met de som van twee t jα jα complexe e-machten die je beide kan schrijven in de vorm e ( e e ) 6 ± waarbij de imaginaire termen elke keer tegen elkaar wegvallen. Uiteindelijk vinden we dan ε t cos sin ht e t t t Dit is een erg omslachtige manier waar je gemakkelijk vergissingen kan maken met tekens! II s + a + ω s + as + a + ω ; dit moet Herschrijf de noemer van H(s) in de vorm ( ) gelijk zijn aan de noemer van H(s), s + s+ voor alle s. Gelijkstellen van de a a coefficiënten levert dan ω a + ω Dan kan de de overdrachtsfunctie H(s) geschreven worden als s s+ s+ (.) ( s+ ) + ( s+ ) + ( s+ ) + ( s+ ) + s+ a De eerste breuk aan de rechterkant van van (.) is van de vorm met s+ a + ω a ; ω en terugtransformatie daarvan (zie tabel B. uit boek) levert op: at t h t e cos ω t ε t e cos t ε t ; de laatste term in (.) is van de vorm terugtransformeren levert at t h t e sin ωt ε t e sin t ε t de gehele impulsresponsie wordt dan t ht e cos( t) sin( t) ε t ω + + ( s a) ω met a ; ω. Dit
e) (.6) Bepaal de amplituderesponsie H( jω ). Welke waarden heeft H( jω ) bij de frequenties ω,,,,, respectievelijk? Welk type filter is dit? jω ω ω H( jω) H( jω) ω + jω + 4ω ω + dus ( ω ) 4 4 ; / ;. ; / ; ( ω) H H 5 H 5 H 5 H j ; Dit is een banddoorlaat filter voor frequenties rond ω ω 7
opgave 3. (.7 pt) b x(t) z (t) a z (t) c y(t) a) Bepaal van bovenstaand systeem de overdrachtsfunctie H( s ) en laat zien dat voor de differentiaalvergelijking (D.E.) geldt: yt cyt abyt xt. bedenk weer dat integreren in het tijddomein gelijk staat met vermenigvuldigen met s in het Laplace domein. Dan geldt met Laplace: ab Y( s) X( s) + cy( s) + Y( s) s Y( s) sx( s) + csy( s) + aby( s) s s Y( s) s ( s cs ab) Y ( s) sx ( s) H ( s) X s s cs ab Hieruit volgt gelijk de D.E. b) Bepaal het toestandsmodel { A,B,C, D} bij de toestandsvector Algemeen ziet het toestandsmodel er als volgt uit: z a a z bx z az + az + bx + z a a z bx z az + az + bx z y ( c c) + dx y cz + cz+ dx z z z. z 8
In dit geval blijkt uit het schema: (bedenk dat elke toestandsvariabele de uitgang van een integrator is en de ingang van diezelfde integrator dus de e afgeleide van die toestandsvariabele is.) z cz+ bz+ x { A,B,C,D c b z az } ( ) ( ) a,,, y z Laat nu a; b-; c-3 c) Bepaal nu weer de polen en nulpunten van dit systeem. s s H( s) s + 3s+ s+ s+ dus één nulpunt op s en twee polen op s en s d) Het blokschema hierboven is niet directe vorm II of directe vorm III. i) Waarom niet? Omdat bij DFII de integratoren allemaal direct met elkaar in één lijn gekoppeld zijn Bij DFIII staan er tussen elke twee integratoren maximaal één opteller. De vermenigvuldiger tussen de twee integratoren gooit dus roet in het eten ii) Gebruik de D.E. die in a) is afgeleid om een nieuw blokschema in DF II te schetsen. de algemene vorm van een e orde D.E. is: ayt + ayt + ayt bxt + bxt + bxt uit de D.E. blijkt dan: a ; a 3; a ; b ; b ; b dan wordt het schema 9
x(t) -3 y(t) - e) Bepaal de stapresponsie y( td.w.z. ) de responsie op het signaal xt ε ( t). X( s) Y( s) H( s) X( s) s s s Breuksplitsen levert Y s ( + )( + ) A A + s+ s+ met A A t t erugtransformeren levert dan yt ( e e ) ε ( t)
opgave 4. (pt.6) In deze opgave zijn ω en positieve (reëele) constanten. Laat geen integralen (of convolutie-operaties) in de antwoorden staan, maar reken deze uit. { } a) (pt) Bepaal het spectrum X ( jω ) F x ( t) van het signaal x ( t) gegeven door: πt sin < t < x ( t) elders (Maak een tekening.). Wat is X ( jω ) voor ω en hoe volgt deze waarde uit het signaal x t? Het spectrum uitrekenen kan op verschillende manieren maar hier doen we het op de veilige manier nml gebruik de definitie van de voorwaartse Fourier-transformatie. jα jα Bedenk eerst dat sin( α ) ( e e ) ; verder lopen de integratiegrenzen in dit j π geval van tot. Laat verder ω (is positief omdat positief is). Dan is jωt jωt t x ( t) ( e e ) rect (4.) j
Dan wordt de Fourier getransformeerde van x ( t ): X j t e dt e e dt e e dt sin( ) j ω t jω t j ω t jω t j ω ω ω t j j j( ω ω) t j( ω+ ω) t j( ω ω) t j( ω+ ω) t e dt e dt. e. e j j j j( ω ω) j j( ω + ω) e e e e.. ω ω ω + ω j ω ω j ω ω j ω+ ω j ω+ ω ( ) jsin ω ω jsin ω + ω (( ω ω) ) si ( ω ω) + + ω ω ω + ω j si j Waarbij we in de laatste stap gebruikt hebben gemaakt van het gegeven dat de sinc functie even is dwz si(a)si(-a); π Invullen ω geeft dan π π X( jω) j si ω + j si ω Een alternatieve (kortere) manier is om gebruik te maken van de regels van modulatie: jωt t jωt t bedenk hiervoor dat x ( t) e rect e rect dit is de som van j j twee gemoduleerde rect-functies (zie appendix B.4). Uit appendix B.3 blijkt dat de t Fourier getransformeerde van een rect gelijk is aan si ω. Met de regel van modulatie uit appendix B.4 krijg je dan het zelfde antwoord. π π Voor ω is X( jω ) gelijk aan j si j si dit is logisch omdat uit de t jωt definitie van Fourier volgt: F sin ( ωt).rect sin( ωt) e dt met ω jt wordt dit sin( ωt) e dt sin( ωt) dt. Uit de tekening hierboven blijkt dat dit niets anders is dan -{oppervlakte onder de curve van tot }+{oppervlakte onder de curve van tot } Omdat sin(x) een oneven functie is, wordt dit nul. t t
{ } b) (.8pt) Bepaal het spectrum X ( jω ) F x ( t) sinc-functie van dezelfde frequentie: x( t) sin ( ωt).si ( ωt) eken X van het product van een sinus en een. jω en geef aan hoe dit spectrum eenvoudiger kan worden geschreven. Geef vervolgens een eenvoudiger schrijfwijze voor het tijdsignaal x ( t ) Hier moet je gebruik maken van de eigenschappen uit abel B.4 dat vermenigvuldiging in het tijd domein overeenkomt met convolutie in het frequentie domein en uit tabel B.3 π ω haal je verder: F ( si( ωt) ) rect (omdat ω positief). ω ω F sin ω t jπ δ ω+ ω δ ω ω Verder weten uit B.4: ( ) ( ( ) ( ) ) dan is dus π ω X( jω) { jπ( δ( ω+ ω) δ( ω ω) )}* rect π ω ω Bedenk nu dat de convolutie een lineaire operatie is dwz Af t + Bg t *x t Af t *x t + Bg t *x t ; dan wordt (4.): ( ) (4.) jπ ω jπ ω δ( ω+ ω) * rect δ( ω ω) * rect ω ω ω ω Met de zeef-eigenschap van de δ functie leidt dit onmiddellijk tot jπ ω+ ω jπ ω ω rect rect (4.3) ω ω ω ω jπ De eerste term is een rechthoek functie met amplitude ω rond ω ω en met breedte ω. De tweede term is ook een rechthoek functie met breedte ω maar nu rond ω ω en jπ amplitude. De totale term tussen de grote haken kan dan geschreven worden als ω één grote rechthoek functie met breedte 4ω maar die van teken omklapt bij ω. De jπ amplitude van die rechthoek is puur imaginair: ± ω 3
jπ ω Dus kan (4.) geschreven worden als: rect.sign( ω) ω 4ω Met de definitie van de inverse Fouriertransformatie kunnen we dan schrijven jπ ω j ω jωt x ( t) F rect.sign( ω) rect.sign( ω). e dω ω 4ω 4ω 4ω ω jωt jωt jωt j j j sign ( ω). e dω e dω e dω 4ω 4ω + 4ω ω ω ω ω ω jωt jωt j t jωt ω ( ) e e e e 4ω t 4ω t 4ω t 4ω t ω ω ω + ω t 4ω t ω t ( jωt jωt e e ) ( cos( ωt) ) ω 4
c) (.8pt) Bepaal de convolutie x3( t) sin ( ωt) *si ( ωt) (sinc van frequentie ω ). Laat geen imaginaire eenheid j in het antwoord staan: x 3 t is reëel. π ω We weten weer: F ( si( ωt )) rect en ω 4ω F sin ω t jπ δ ω+ ω δ ω ω dus ( ( )) ( ) ( ) ω ( ) π X ( jω) rect jπ δ( ω+ ω ) δ( ω ω ) ω 4ω 3 π ω ω δ( ω+ ω) rect δ( ω ω) rect ω ω ω j 4 4 erugtransformeren geeft jπ ω jωt jπ ω jωt x3( t) δ( ω ω) rect e dω δ( ω ω) rect e dω 4ω + 4ω 4ω 4ω ω Gebruik de zeef-eigenschap van δ ( t) en bedenk dat rect voor ω ± ω ; dan 4ω krijgen we: jπ jωt jωt jπ π x3( t) ( e e ). jsin( ωt) sin( ωt) 4ω 4ω ω Dit was de laatste opgave van dit tentamen 5