oldriehoeksmeting Peter ueken Hogere Zeevrtschool Noordksteel Oost 6-2030 Antwerpen Opertioneel Niveu Nutische Opleiding U (HZS) oldriehoeken 2017-2018 1 / 16
Goniometrische getllen b b o α A sin α = b ob, cosec α = 1 sin α = ob b cos α = o ob, sec α = 1 cos α = ob o tg α = sin α cos α = b o, cotg α = 1 tg α = cos α sin α = o b U (HZS) oldriehoeken 2017-2018 2 / 16
Goniometrische getllen Definitie vn goniometrische getllen kn nu verlgemeend worden voor stompe hoeken (teken bijvoegen) cotgα sinα 90 cos α α 180 sinus positief cosinus negtief tngens negtief cotngens negtief sinus negtief cosinus negtief tngens positief cotngens positief sinus positief cosinus positief tngens positief cotngens positief sinus negtief cosinus positief tngens negtief cotngens negtief 0 = 360 tgα 270 U (HZS) oldriehoeken 2017-2018 3 / 16
Rechthoekige driehoek AC in het vlk A, grootte vn hoek, C = 90,b,c lengte vn zijde Som vn de hoeken A + = 90 Goniometrische getllen c A C b sin A = cos = c cos A = sin = b c tg A = b, tg = b Pythgors c 2 = 2 + b 2 U (HZS) oldriehoeken 2017-2018 4 / 16
Willekeurige driehoek AC in het vlk A, en C grootte vn hoek,b,c lengte vn zijde Som vn de hoeken c C b A Sinusregel A + + C = 180 sin A Cosinusregel = sin b = sin C c 2 b 2 c 2 = b 2 + c 2 2bc cos A = c 2 + 2 2c cos = 2 + b 2 2b cos C U (HZS) oldriehoeken 2017-2018 5 / 16
Oplossen vn willekeurige boldriehoeken c C A b c A b C U (HZS) oldriehoeken 2017-2018 6 / 16
Eerste en Tweede cosinusregel Eerste cosinusregel cos = cos b cos c + sin b sin c cos A cos b = cos c cos + sin c sin cos cos c = cos cos b + sin sin b cos C Tweede cosinusregel cos A = cos cos C + sin sin C cos cos = cos C cos A + sin C sin A cos b cos C = cos A cos + sin A sin cos c U (HZS) oldriehoeken 2017-2018 7 / 16
Sinusregel Sinusregel sin A sin = sin sin b = sin C sin c U (HZS) oldriehoeken 2017-2018 8 / 16
Cotngensregel Cotngensregel cotg sin b = cos b cos C + sin C cotg A cotg b sin c = cos c cos A + sin A cotg cotg c sin = cos cos + sin cotg C cotg b sin = cos cos C + sin C cotg cotg c sin b = cos b cos A + sin A cotg C cotg sin c = cos c cos + sin cotg A U (HZS) oldriehoeken 2017-2018 9 / 16
Eerste gevl: drie zijden, b en c gegeven A, en C berekenen Eerste cosinusregel cos = cos b cos c + sin b sin ccos A cos b = cos c cos + sin c sin cos cos c = cos cos b + sin sin bcos C U (HZS) oldriehoeken 2017-2018 10 / 16
Tweede gevl: twee zijden en ingesloten hoek, b en C gegeven c, A en berekenen Eerste cosinusregel cos c = cos cos b + sin sin b cos C Cotngensregel cotg sin b = cos b cos C + sin Ccotg A cotg b sin = cos cos C + sin Ccotg U (HZS) oldriehoeken 2017-2018 11 / 16
Prktische opmerkingen Opgve steeds in grden minuten tienden, bv. b = 69 15, 3 Oplossing steeds in dezelfde nottie geven (fgerond), bv. c = 50 15 43 = 50 15, 7 Exmen: fwijking vn 1 tiende minuut. Nooit berekende gegevens recycleren in ltere berekeningen! (rekenfouten, fronding) Steeds formules gebruiken die slechts één niet-gegeven wrde bevtten Lees de hndleiding vn je rekenmchine, en leer de mchine gebruiken! Geen vrgen over rekenmchines op exmen! U (HZS) oldriehoeken 2017-2018 12 / 16
Regel vn Neper Regel vn Neper Anliggende elementen Elements djcents π 2 c Overstnde elementen Elements opposes C π 2 b cosinus vn een element uit dit schem = product vn de sinussen vn de overstnde elementen = product vn de cotngensen vn de nliggende elementen U (HZS) oldriehoeken 2017-2018 13 / 16
Regel vn Neper Regel vn Neper cos = sin(90 b) sin(90 c) cos(90 b) = sin sin cos(90 c) = sin C sin cos = sin C sin(90 b) cos C = sin sin(90 c) π /2 c π /2 b C cos = cotg cotg C cos(90 b) = cotg C cotg(90 c) cos(90 c) = cotg cotg(90 b) cos = cotg cotg(90 c) cos C = cotg cotg(90 b) U (HZS) oldriehoeken 2017-2018 14 / 16
Opmerkingen π /2 c π /2 b C cos = cos b cos c, cos = sin C cos b, cos C = sin cos c Indien we één zijde vn 90 hebben (cos = 0), is er zeker een tweede zijde vn 90, en is er (nst A) ook een tweede hoek ( of C) vn 90 estt een dergelijke driehoek? Indien er geen zijden vn 90 zijn, dn is het ntl stompe zijden even (twee of geen enkele) U (HZS) oldriehoeken 2017-2018 15 / 16
Opmerkingen π /2 c C π /2 b cos = sin C cos b, cos C = sin cos c Rechthoekszijde (b, c) en overstnde hoek (, C) zijn beide scherp, stomp of recht (zelfde soort). U (HZS) oldriehoeken 2017-2018 16 / 16