REKENEN IN WILLEKEURIGE DRIEHOEKEN

Transcriptie

1 REKENEN IN WILLEKEURIGE DRIEHOEKEN Auteur: Wouter Veldhuiz, Almde College, Silvolde, Klas: VWO 4,5,6 Wiskunde-B HAVO 4, 5 Wiskunde-B Onderwerp: sinus- cosinusregel ontdekk toepass Aantal less: drie opvolgde less (van 50 minut) Leerdoel: de leerling kan: - Sinusregel toepass - Cosinusregel toepass - van e willekeurige driehoek hoek zijd berek als er drie willekeurige items zijn gegev. - e efficiënte keuze mak in voorgaande doel vanuit e overzicht van mogelijke situaties method. Past bij: Iedere schoolmethode bij de introductie van het onderwerp (co)sinusregel Omschrijving: Hoek zijd berek in rechthoekige driehoek. Hoek zijd berek in willekeurige driehoek door e loodlijn te tek. Het zelf ontdekk bewijz van de sinus- cosinusregel. Deze toepass. GEBRUIK IN DE KLAS Voorknis leerling: Nauwkeurig tek van e driehoek met geodriehoek, passer liniaal. Hoeksom van e driehoek Het kunn toepass van goniometrische verhouding in e rechthoekige driehoek. Stelling van Pythagoras. De merkwaardige product. sin 2 a+cos 2 a=1. Voorbereiding doct: Zorg dat de leerling hun passer bij zich hebb. De antwoord in e documt aan de leerling kbaar mak (naderhand). Hoe uit te voer? Werk in groepjes van drie, met klassgesprekk na opgave 5 ( kort) 8 (langer) 10 Wat hierna? De sinus- cosinusregel toepass in ruimtefigur. Mogelijkhed tot differtiatie: Leerling die meer oefing nodig hebb opgav uit het boek lat mak.

2 Als er met homoge groepjes gewerkt wordt, kunn groepjes bolleboz word uitgedaagd met e versie waarbij 6 b c zijn vervang door: Druk de lgte van uit in En formuleer e algeme regel voor de samhang van lgtes a, b c, de hoek En analoog bij opgave 10: vind e algeme regel waarmee je a kunt berek als de lgt van bekd zijn. Tips: Les1: 1 t/m 4. Les2: 5 t/m 8. Les3: 9 t/m 11. Vrag hints om leerling te help: Wanneer kun je dit wel? Maak rechthoekige driehoek? Hoe is dat het handigste? Bij opgave 5 9 is probleemaanpak vereist, ook zijn er meer minder handige manier. Laat dit gebeur, maar laat ze ook weer niet al te lang modder bespreek verschillde aanpakk. Cruciaal bij opgave 5 6 is de rol van de hoogtelijn. Bij hulp bij probleemaanpak kan de algeme vraag kun je hulplijn tek? gesteld word. Vraag naar het plan/kernidee achter het vind van de sinusregel: Als we de voetpunt van de hoogtelijn uit A, B, C op a, b c de X, Y Z noem, is AX de spil bij het vind van b in het eerste deel van de sinusregel BY de spil bij het vind van c het tweede deel van de sinusregel. Stimuleer bij opgave 5 9 de leerling om pas hun rekmachine erbij te pakk, nadat er e formule gemaakt is waarin alle nog e sinus of e cosinus uitgerekd moet word. Dit helpt (hier, maar ook in het algeme) bij het doorzi van verband, veralgemiser, het jezelf controler. Zo ook: vraag naar het plan achter het vind van de cosinusregel.

3 DRIEHOEKEN: TEKENEN EN REKENEN 1 INLEIDING E van de bouwst van de meetkunde is de driehoek. E driehoek heeft drie hoek drie zijd (sam zes items). De driehoek kunn in verschillde categorieën word onderverdeeld. ONDERSCHEID QUA ZIJDEN -gelijkzijdige driehoek -gelijkbige driehoek -willekeurige driehoek a Noteer het onderscheid van deze drie. ONDERSCHEID QUA HOEKEN -stomphoekige driehoek -rechthoekige driehoek -scherphoekige driehoek b Noteer het onderscheid van deze drie. 2 ONDERBOUW In de onderbouw heb je bereking gemaakt bij vooral rechthoekige driehoek. Van de volgde driehoek zijn steeds e rechte hoek nog twee items gegev. Berek steeds de lgte van de overige zijde(n) in één decimaal nauwkeurig de grootte van de overige hoek() in grad nauwkeurig. Je mag niet met e gevond antwoord verder rek. a b c d. VERVOLG We gaan ons blikveld verruim. Scherphoekige stomphoekige driehoek kom in het vizier. Lat we eerst gaan tek.

4 3 TEKENEN Van de volgde driehoek zijn steeds drie items gegev. De zijdelgt zijn in Tek de driehoek nauwkeurig (indi mogelijk). a (hoek-hoek-zijde) b (hoek-zijde-hoek) c (zijde-zijde-hoek) d (zijde-zijde-hoek) e (zijde-hoek-zijde) f (zijde-zijde-zijde) g (zijde-zijde-zijde) h (zijde-zijde-zijde) 4 a Leg de aanduiding bij opdracht 3 uit. b Vergelijk met de leerling in je groepje of je dezelfde driehoek hebt getekd. Ik hoop dat je inziet dat tek belangrijk is. Je gaat met de knis die je al hebt zijd hoek berek van driehoek uit opdracht 3. (Je mag wel met e gevond antwoord verder rek.) 5 BEREKENEN Berek steeds de grootte van de overige hoek in grad nauwkeurig de lgte van de overige zijd in één decimaal nauwkeurig.. a b

5 6 ALGEMENER Gegev is (niet uit opdracht 3) Stel dat de lgte van bekd zijn. a Druk de lgte van uit in b Laat met het resultaat van a zi dat. c Verklaar dat ook geldt. De sinusregel: is hiermee bewez. 7 OEFENINGEN MET DE SINUSREGEL Berek steeds de lgte van de overige zijde(n) in één decimaal nauwkeurig de grootte van de overige hoek() in grad nauwkeurig. a b c d Vergelijk de antwoord van 7b 7c met de teking van 3c 3d geef commtaar. 8 DE SINUSREGEL NIET TOEPASBAAR Als je van overige driehoek uit opdracht 3 de lgte van de overige zijde(n) /of de grootte van de overige hoek() wilt berek lukt dat niet met de sinusregel. Verklaar! 9 EN TOCH Je gaat de uitdaging aan. Berek van uit opdracht 3 de lgte in één decimaal in grad nauwkeurig.

6 10 ALGEMENER (2) Gegev is (niet uit opdracht 3) Stel dat de lgt van bekd zijn. is de loodlijn op Druk de lgt van uit in bewijs dat geldt:. Dit is de cosinusregel. 11 ALS ALLEEN DE LENGTEN VAN DE ZIJDEN BEKEND ZIJN Je gaat de volgde uitdaging aan. Berek van uit opdracht 3 de drie hoek in grad nauwkeurig. 12 OVERZICHT Maak e overzicht van het rek in willekeurige driehoek met 3 gegevs, wanneer gebruik je welke regel?