REKENEN WORDT WISKUNDE

Transcriptie

1 REKENEN WORDT WISKUNDE Tine Wijnants Actieonderzoek Bachelor Secundair Onderwijs, KHLim Waarom haken sommige leerlingen af tijdens de lessen wiskunde? Wat maakt het Secundair Onderwijs zo anders dan het Lager Onderwijs? Als studente regentaat wiskunde had ik de kans om de lessen wiskunde voor het Lager Onderwijs te volgen en ontdekte ik een wereld vol didactiek, waarvan ik mij afvroeg op welke manier die toepasbaar was in het secundair onderwijs. In het begin van het Secundair Onderwijs wordt, afhankelijk van de richting meer of minder, een deel van de leerstof herhaald. (BSO meer, ASO minder) Vermits je als leerkracht Secundair Onderwijs weinig zicht hebt op de werkwijze van de lagere school, en hoe ver de leerlingen geraakt zijn met de leerstof, komt het herhalen van deze leerstof grotendeels neer op het herhalen van de technieken die leerlingen kunnen gebruiken. Bij het aanleren en inoefenen van technieken, komt er weinig begrijpen en inzicht te pas. Voor de leerlingen wordt er heel abstract gewerkt en voor de leerkrachten is het abstracte vaak zo evident geworden dat het soms moeilijk is om af te dalen in niveau. Dit zou een reden kunnen zijn dat leerlingen niet graag wiskunde doen en het gevoel krijgen dat ze het niet kunnen. Vanuit de didactiek die ik zelf in de lessen didactiek wiskunde voor de lagere school ontdekte, ben ik verschillende leerstofonderdelen anders gaan bekijken. Kan ik deze op een andere manier aanbrengen? Zodoende heb ik geprobeerd om verschillende didactische principes uit het Lager Onderwijs toe te passen in het Secundair Onderwijs. Vanuit het leren kennen van de voorkennis van de leerlingen en de didactiek die in de lagere school gebruikt wordt, kon ik meer differentiëren, maar vooral de leerlingen ook inzicht geven in de kracht van wiskunde i.p.v. hen technieken aan te leren. 1. Vertrekken vanuit concrete ervaringen In een derde jaar TSO merkte ik tijdens de les dat leerlingen het moeilijk hadden met de stelling van Pythagoras. Ze kregen geen inzicht in de formule en konden niet vatten van welke zijden de kwadraten opgeteld moesten worden om gelijk te zijn aan het kwadraat van de overgebleven zijde. In de wiskundedidactiek van het Lager Onderwijs wordt de leerstof op 3 niveaus van denken aangebracht, namelijk op concreet, schematisch en abstract niveau (CSA-model). Ik ben met deze leerlingen concreet aan de slag gegaan.

2 Een werkwijze die ik hierbij gebruikte, is het afwisselen van wezenlijke en niet-wezenlijke kenmerken. Wat is noodzakelijk voor de stelling van Pythagoras en welke elementen kan je afwisselen. Je kan bijvoorbeeld driehoeken geven met verschillende grootte, maar ze moeten allemaal rechthoekig zijn. De leerlingen kregen elk 3 verschillende driehoeken, waarvan 2 rechthoekige en 1 scherphoekige of stomphoekige driehoek. De lengtes van de zijden waren natuurlijke getallen, wat het werk gemakkelijker maakt. Tegen elk van de zijden past een vierkant, met oppervlakte die gelijk is aan zijde x zijde. Deze vierkanten zijn telkens in een andere kleur geprint en opgedeeld in vakjes van 1 cm op 1 cm. De leerlingen kregen de opdracht om de oppervlaktes van de verschillende vierkanten te vergelijken. Rechthoekige driehoeken De leerlingen zijn gestart met de rechthoekige driehoeken. Welke som van 2 oppervlaktes is gelijk aan een derde oppervlakte? Welk is het grootste vierkant? De leerlingen moesten de verschillende vierkanten verknippen (in cm²) en zo aantonen dat bepaalde oppervlaktes even groot zijn. Leerlingen vonden door het handelen dat ze de som van de oppervlaktes van de 2 kleinste vierkanten moesten maken om de oppervlakte van het grootste vierkant te vinden. En ontdekten zo dat je de som van de kwadraten van de 2 kortste zijden moet nemen om het kwadraat van de langste zijde, de schuine zijde, te vinden. Bij de tweede driehoek zag ik dat sommige leerlingen het effectieve handelen niet meer nodig hadden, ze konden de oppervlaktes vergelijken door de vakjes (cm²) te tellen.

3 Niet-rechthoekige driehoeken Wanneer de leerlingen op dezelfde manier te werk gingen met niet-rechthoekige driehoeken, hebben ze niet alleen ervaren wat de stelling van Pythagoras is, maar ook de beperkingen ervan. Ze geldt namelijk niet voor niet-rechthoekige driehoeken. Het feit dat een driehoek rechthoekig is, is wezenlijk of nodig opdat de stelling zou gelden. 2. Progressieve complicering In de les over toepassing van Pythagoras kwamen volgende oefeningen aan bod. Bereken bij onderstaande driehoeken telkens de onbekende zijde. Bij het maken van deze oefeningen hadden de leerlingen problemen met bepalen van welke soort oefening ze voor zich hadden en de gepaste strategie te bedenken om ze aan te pakken. In sommige oefeningen moet je op zoek naar de lengte van de schuine zijde (SZ) (type 1), in andere gaat het om de lengte van één van de rechthoekszijden (type 2). In mijn handboek stonden de oefeningen door elkaar. Ik paste een werkwijze toe uit de didactiek van de lagere school. Daar wordt gewerkt volgens het principe van progressieve complicering. Je werkt van gemakkelijk naar moeilijk, met telkens 1 kleine moeilijkheid erbij. 3 In een eerste fase ben ik met de leerlingen gemakkelijke oefeningen, met gemakkelijke getallen, van het eerste type gaan maken. Telkens liet ik de leerlingen de onbekende zijde in kleur aanduiden. Bij het oplossen van de oefening verwees ik naar de algemene formule a² + b² = c² en liet ik de leerlingen a, b en c vervangen door de gegevens op de tekening. 4 x² = 3² + 4² x² = x² = 25 x = 5

4 Op deze manier slaagden leerlingen erin op een systematische manier de lengte van de onbekende zijde te berekenen. Voor de leerlingen van het TSO was dit een systematische werkwijze die structuur bood. In een tweede fase schakelden we dan over op naar opgaven van het tweede type, waar ik de oefeningen volgens hetzelfde patroon opbouwde. Bij de leerlingen was de omvorming van de formule het belangrijkste inzicht, waarvoor een basis algebra nodig is. Voor sommigen blijft dit moeilijk. Voor deze leerlingen is het belangrijk dat je kan afdalen van niveau. Hierbij heb ik een abstracte redenering ondersteund door een schematische voorstelling en heb ik terug verwezen naar de oppervlaktes van de verschillende vierkanten. We weten al dat c² = a² + b² Wat moet je doen om de oppervlakte van het donkergrijze vierkant (b²) te berekenen? Je neemt de oppervlakte van het grote vierkant (c²) en trekt hier de oppervlakte van het lichtgrijze vierkant vanaf (a²). In de formule wordt dit dan: c² - a² = b² Met deze formule konden de leerlingen terug de lengte van de onbekende zijde berekenen. In een derde fase konden de leerlingen de verschillende types van oefeningen door mekaar oplossen. 3. Voordelen van wiskunde ontdekken Voor de eerste les van congruente driehoeken in het tweede jaar Latijn, heb ik de leerlingen concreet aan het werk gezet. Ik vreesde dat deze leerlingen de aanpak belachelijk zouden vinden, aangezien de meerderheid van deze klasgroep snel inzicht heeft op abstract niveau. Ik wou hen op deze manier de kracht van wiskunde aantonen. De leerlingen hadden de achtergrondkennis van congruente figuren en we werkten deze les in de richting van de congruentiekenmerken van driehoeken. Congruente driehoeken zijn driehoeken waarvan de overeenkomstige zijden even lang zijn en de overeenkomstige hoeken even groot. Ik gaf de leerlingen een blad met verschillende driehoeken erop. De leerlingen kregen de opdracht de congruente driehoeken aan te duiden. Met een geodriehoek moesten ze de verschillende hoeken en zijden van de driehoeken beginnen meten. Ik hoorde al snel Pffff! Kan dat niet sneller of op een andere manier? Daar moeten we toch iets voor kunnen bedenken!. Ik merkte duidelijk hoe de vraag naar een gemakkelijke methode bij de leerlingen rees. Ik heb de groep onderverdeeld en ze zijn zelf op zoek gegaan naar de verschillende congruentiekenmerken. De leerlingen leerden op deze manier zelf de kracht van wiskunde kennen en gingen zelf op zoek naar gemakkelijkere en abstractere oplossingsstrategieën.

5 Met de ervaringen die ik in de enkele voorbeelden hierboven aanhaal, heb ik kunnen ervaren dat de verschillende didactische principes en werkwijzen uit het Lager Onderwijs, maar ook het inzicht in de beginsituatie kunnen bijdragen tot een sterk opgebouwde les in het Secundair Onderwijs. Ook al ken je die principes, het is geen goed idee om ze gedachteloos in te zetten. Het is belangrijk om een evenwicht te vinden: wanneer hebben de leerlingen het nodig om concreet te werken, wanneer zijn ze al ver genoeg geëvolueerd om abstract de denkwijze op te bouwen, maar ook welke leerstof leent zich ertoe en welke niet. Zelfs bij volwassenen kan dit werken! Bibliografie Bosmans, A., Detrez, C., Gombeir, D. (1998). Jongeren aanspreken op hun leerkracht. Leuven: Acco. de Boer, E. (reds.). (1996) Handboek zelfstandig leren (pp ). Loenen aan de Vecht: Edumedia. Van Emelen, E. (2008) Didactiek wiskunde Bachelor Leerkracht Lager Onderwijs. Hasselt: Katholieke Hogeschool Limburg Campus Hemelrijk. Deckers, M., Aerts, R. (2005) Kinderen rekenen. Mechelen: Wolters Plantyn.

6