I. Meetkunde in de basisschool. Vernieuwde inzichten.

Transcriptie

1 m r VLAKKE FIGUREN Inhoud: I. Meetkunde in de basisschool. Vernieuwde inzichten. 1. Vroeger 2. Tegenwoordig 3. Bedenking II. Meetkunde in de (eerste) en tweede graad. III. Hoe werken met de figurenset 2de graad? IV. Mogelijke combinaties met de figuren van deze set.

2 Te snel abstraheren resulteert in moeilijkheden... Veelzijdig aanschouwingsmaterieel is geen luxe. I. Meetkunde in de basisschool. Vernieuwde inzichten. De hele vemieuwing beschrijven is hier overbodig. Exemplarisch tonen we de grote vemieuwing aan en dan vooral in verband met de leerstof Iste en 2de graad. I. 1. Vroeger: I. 1,1 Het vierkant en de rechthoek worden vanaf het eerste leerjaar herkend en zelfs bestudeerd. In de progressieve leerplannen werd reeds een stille wenk gegeven om eerst de rechthoek en slechts daarna het vierkant te bestuderen. I. 1,2 In een degelijk handboek lezen we: "Een trapezium heeft ten hoogste een paar evenwijdige zijden". In een ander, bijna even degelijk handboek lezen we: "Een vierhoek waarvan slechts 2 zijden evenwijdig zijn, is een trapezium". Bedenk dat in deze boeken eerst het parallellogram bestu deerd wordt en daarna het trapezium Tegenwoordig: I. 2,1 De meer logische opeenvolging van de leerstofpunten staat in de nieuwe leerplannen. De studie van die leerplannen is een strikte noodzaak, omdat hier radicaal een andere weg aangewezen wordt. I. 2,2 In verband met de studie van de verschillende meetkundige figuren wordt op basis van bepaalde criteria gerubriceerd. In plaats van met het vierkant te starten, komt deze figuur als eindpunt van de rubricering van de vierhoeken. I. 2,3 De volgorde van de studie van de vierhoeken, al wordt het tegenwoordig niet zozeer een les over een bepaalde vierhoek, ligt vast in de werkwijze van rubriceren en de opbouw van de synthese als bekroning: (veelhoek) -> vierhoek -»trapezium -» parallellogram -> rechthoek en ruit -»vierkant.

3 I. 2,4 Er komen enkel nieuwe facetten aan bod, die in het kader van vernieuwde wiskunde niet uit de weg te gaan zijn o.a. kennismaking met spiegelingen om een as, verzamelingentaal en relaties en meetkunde, hetbegriphoek Bedenking: Meetkunde wordt thans wel eens omschreven als een wetenschap die bepaalde verzamelingen bestudeert. Kan dit in de basisschool abstract gebeuren? Is hand-elen of mani- (main)-puleren niet de grote voorwaarde opdat eens het niveau van abstractie zou bereikt worden? II. Meetkunde in de (eerste) en tweede graad. Het leerplan duidt de leerstofpunten aan, zodat een overdruk daarvan overbodig is. II. 1 De meetkunde bestudeert vormen en figuren. Het begrip punt is een grondbegrip van de meetkunde. (En eigenlijk niet voor te stellen, dus hoge graad abstractie.) Een ander grondbegrip is het begrip recht (en halfrechte en lijnstuk). Ook het vlak is een grondbegrip in de meetkunde (en dat vlak moeten we ons "onbegrensd" voorstellen). Punt, rechte, vlak... drie grondbegrippen die onmiddellijk een hoge graad van abstractie vragen. Wordt dit abstractieniveau door onze kinderen bereikt? Hier is een groeiproces... naar abstractie toe... de enige weg. II. 2 Het vlak als een oneindige verzameling punten ervaren. Elke rechte is een oneindige, echte deelverzameling van het vlak. Door 2 verschillende punten van een vlak gaat juist een rechte. Figuren laten ervaren als deelverzamelingen van het vlak. Deze leerstofpunten vergen minder abstractievermogen, omdat we naar aanschouwing grijpen om ze didactisch aan te brengen. Toch mogen we onze leerlingen nook aan aanschouwing vastklinken. II. 3 Om de leerlingen niet aan aanschouwing vast te spijkeren, werden de figuren (in feite zijn het lichamen) zo ontworpen dat ze in alle standen op het magnetisch bord (of op een metalen kast) kunnen geplaatst worden. Het probleem dat leerlingen een rechthoek of een parallellogram slechts een bepaalde stand herkennen, is onbestaande. Door velerlei manipulaties wordt dit probleem zelfs voorkomen.

4 Omwille van de "zuivere wiskunde" kan bezwaar geopperd worden tegen het hanteren van deze lichamen als figuren. Daarom werd de plastiek zo dun mogelijk genomen. Ook werden de kleur en de formaten zo gekozen dat ook de leerlingen achteraan nog een duidelijk beeld hebben; bovendien is het mogelijk abstractie te maken van de dikte van de materie. Dezelfde abstractie wordt al vroeger gevergd voor het begrip punt en vlak. II. 4 Het rubriceren van de vlakke figuren verloopt steeds via een vast schema. De eerste criteria worden wel gebruikt, maar zullen verder in de meetkunde praktisch niet meer gehanteerd worden. 1. Vlakke figuren met of zonder hoekpunten. 2. Vlakke figuren waarvan alle opeenvolgende hoekpunten door rechten verbonden zijn = veelhoeken. 3. Rubriceren volgens het aantal zijden van de veelhoeken o.a. driehoeken, vierhoeken, vijfhoeken Vierhoeken met ten minste een paar evenwijdige zijden = de trapezia. 5. Vierhoeken met twee paar evenwijdige zijden = de parallellogrammen. 6. Parallellogrammen met gelijke zijden = de ruiten (Ook juist: een vierhoek met vier gelijke zijden is een ruit). 7. Parallellogrammen met rechte hoeken = de rechthoeken (Ook juist: een vierhoek met vier gelijke hoeken is een rechthoek). 8. Parallellogrammen met vier gelijke zijden en met vier gelijke hoeken zijn vierkanten. (Ook juist: een vierhoek met vier gelijke hoeken en vier gelijke zijden is een vierkant). Noot: voor 6, 7 en 8 wordt verkozen van het begrip parallellogram te vertrekken, omdat daardoor duidelijker de logische, tevens de didactische weg aangetoond wordt. III. Hoe werken met de figurenset 2de graad, III. 1 Inventaris van de set. 25 figuren, met afmetingen varierend van 8 tot 25 cm. Overzicht van de figuren: (De volgorde heeft geen verband met de didactiek.) 1. Trapezium: de evenwijdige zijden meten 20 en 16 cm. 2. Parallellogram: zijden 20 en 16 cm. 3. Rechthoek: afmetingen 24 en 8 cm. 4. Rechthoek: afmetingen 16 en 8 cm.

5 5. Vierkant: zijde 16 cm. 6. Trapezium: de evenwijdige zijden meten 28 en 16 cm. (gelijkbenig - been: 12 cm.). 7. Vierhoek met een rechte hoek: zijden 27 cm; 9,5 cm; 16 cm; 16 cm. (de twee aangrenzende zijden zijn gelijk) 8. Trapezium: de evenwijdige zijden meten 20 cm en 8 cm. 9. Driehoek: zijden 16 cm; 20 cm; 20 cm. (gelijkbenig) lo.driehoek: zijden 28 cm; 20 cm; 16 cm. (stomphoekig) 11.Driehoek: zijden 16 cm; 16 cm; 16 cm. (gelijkzijdig) 12.Driehoek: schuine zijde 16 cm. (rechthoekig) 13.Driehoek: zijden 24 cm; 20 cm; 16 cm. (ongelijkzijdig, scherphoekig) 14.Zeshoek: zijden 16 cm; 16 cm; 7 cm; 8 cm; 20 cm; 6 cm. 15.Vierhoek: vliegerfiguur: zijden 20 cm; 6 cm. 16.Vijfhoek: (concaaf) 20 cm; 20 cm; 16 cm; 16 cm; 9,5 cm. 17.Driehoek: rechthoekszijden 16 en 20 cm. 18.Zeshoek: zijde 10 cm. (regelmatige) 19.Ruit: diagonalen 24 cm en 16 cm. 20.Driehoek: zie figuur Achthoek:zijde ± 7,6 cm. (regelm. achthoek; diameter van omgeschreven cirkel: 20 cm) 22.Schijf: diameter 20 cm 23.Sector van de schijf: straal 16 cm (geen veelhoek). 24.Vlakke figuur, te omschrijven als vierpuntige ster... (figuur met hoekpunten, zonder zijden). 25.Vlakke figuur met vier hoekpunten en slechts 2 (rechte) zijden die dan nog evenwijdig zijn (alleen rechten zijn evenwijdig, dus gebogen grenslijnen zijn hier niet evenwijdig). III. 2 Aansluitende vaststellingen en wenken De maten werden gekozen opdat vele combinaties zouden mogelijk zijn. Zo verruimen d aanschouwingsmogelijkheden met deze set. Met figuren 17 en 20 wordt een rechthoek gemaakt Bij het zoeken van de oppervlakte kan hiermee ontdekt worden, dat de oppervlakte van de driehoek de helft is van die van de rechthoek. De driehoeken kunnen op elkaar gelegd (en gehangen) worden. De vele combinaties worden beschreven in hoofdstuk IV Het is niet noodzakelijk steeds alle figuren te gebruiken. De leerkracht bepaalt tijdens de lesvoorbereiding de keuze. efficient lesgeven is weren wat overbodig is.

6 Plastiek kan gereinigd worden, kan ook vuil worden. Zorg voor nette figuren. Voor de opvoeding net zo belangrijk als zuivere begrippen. De bijhorende doos zorgt voor een gemakkelijke opberging en degelijke bescherming van de figuren Deze set, in hoofdzaak gericht op de tweede graad, kan reeds in de eerste graad nuttig gebruikt worden. In het vijfde leerjaar zullen heel wat figuren van deze set nog eens aan bod komen De figuren worden gemeten... de diagonalen (eventueel de zwaartelijnen) worden erop getekend. Zorg voor een viltstift, waarvan de lijnen gemakkelijk uit te wissen zijn. IV. Mogelijke combinaties met de figuren van deze set. (Zo bekomt u niet 25 figuren maar een veelvoud daarvan!) IV. 1 Combinaties per 2 figuren (bijeenschuiven) figuren 4 en 5 nieuwe rechthoek figuren 3 en 4 nieuwe rechthoek figuren 17 en 20 twee driehoeken tot rechthoek figuren 2 en 11 gelijkbenig trapezium figuren 7 en 16 trapezium figuren 11 en 12 rechthoekig trapezium figuren 13 en 20 figuren 12 en 20 figuren 3 en 12 telkens een (onregelmatige) vierhoek figuren 5 en 20 figuren 10 en 20 figuren 5 en 9 figuren 8 en 9 telkens een (onregelmatige) vijfhoek figuren 10 en 15 figuren 4 en 11 figuren 3 en 8 telkens een (onregelmatige) zeshoek figuren 8 en 19 figuren 10 en 14 figuren 20 en 14 telkens een (onregelmatige) zevenhoek figuren 13 en 14 figuren 14 en 15 telkens een (onregelmatige) achthoek figuren 7 en 18 figuren 14 en 21 een (onregelmatige) twaalfhoek

7 IV. 1 Combinaties per 3 figuren (bijeenschuiven) figuren 3, 4 en 5 figuren 7, 16 en 13 figuren 7, 8 en 16 figuren 10, 13 en 17 figuren 4, 5 en 13 figuren 4, 5 en 9 figuren 7, 9 en 16 figuren 3, 8 en 12 figuren 2, 7 en 16 figuren 8, 10 en 13 figuren 15, 17 en 20 figuren 3, 8 en 9 figuren 16, 17 en 20 figuren 6, 8 en 19 figuren 7, 8 en 13 figuren 9, 6 en 20 figuren 9, 14 en 20 figuren 7, 14 en 16 figuren 14, 17 en 20 nieuw vierkant onregelmatige vierhoek telkens een (onregelmatige) vijfhoek telkens een (onregelmatige) zeshoek telkens een (onregelmatige) zevenhoek telkens een (onregelmatige) achthoek IV. 3 Combinaties per vier, per vijf figuren... Overdrijven is ook hier uit den boze. Toch zijn er nog vele mogelijkheden, die hier niet opgesomd worden. Zelfs bij het combineren per twee en drie figuren zijn nog meer mogelijkhedenb.v. 9 en 23; 14 en 25; 11 en 23; 11 en 25; 11,25 en 23. Enz.