data ingeven Karakteristieken Data visualiseren Betrouwbaarheidsintervallen Toetsen van hypothesen

Transcriptie

1 Het verhaal va de Statistiek met de TI-84 Statistiek steekproef gegeves verwerke modellere Betrouwbaarheidsitervalle Toetse va hypothese 17 oktober 2018 kasrekeig kaswette kasverdelige Beschrijvede statistiek Kasverdelige Beschrijvede statistiek Data igeve Betrouwbaarheidsitervalle & toetse va hypothese Karakteristieke Regressie Data visualisere probleemstellig Op ee fruitveilig wordt va ee aselecte bak appels elke appel gewoge. De resultate vid je i volgede tabel (gewicht i gram): data igeve

2 karakteristieke 1 xi i = 1 steekproefgemiddelde x= karakteristieke stadaardafwijkig v/e steekproef 2 ( x ) 2 i x 2 1 s = 1 s= s i= 1 data visualisere data visualisere boxplot& histogram modellere v/d gegeves a.d.h. v/e ormale verdelig Beschrijvede statistiek Kasverdelige discrete kasverdelige voorbeeld: experimet: gooie met twee dobbelstee stochast of kasvariabele X: aatal geworpe oge x i p i= P(X = x i) 2 1/36 3 2/36 4 3/36 5 4/36 6 5/36 7 6/36 8 5/36 9 4/ / / /36 2

3 discretekasverdelige discrete kasverdelige variatie& stadaardafwijkig σ ( µ ) ( µ ) xi pi µ X E X ( E[ X] ) Var( X) = = E X = x p X X i X i = = = 2 p = i 1 verwachtigswaarde of gemiddelde E[ X] µ X xipi = = discretekasverdelige ee ure bevat 5 rode, 4 gele, 2 blauwe e 1 groee bal op het eide va ee kwisprogrammamag de wiaar ee bal uit de ure trekke, trekt hij ee rode bal, krijgt hij 600 euro, bij ee gele bal 1200 euro, bij ee blauwe bal 3000 euro e bij de groee bal 9900 euro. discrete kasverdelige stochast of kasvariabele X: het gewoe bedrag x i p i = P(X = x i ) 600 5/ / / /12 verwachtigswaarde of gemiddelde E[ X] = µ = x p = 1975, X i i Beroulli experimete I ee vaas zitte 4 rode e 1 gele kikker. We trekke willekeurig éé kikker uit de vaas. Wat is de kas dat de kikker geel is? Discretekasverdelige De biomiale verdelig X = het aatal keer succes P(geel) = p = succes P(rood) = q = 1 p = mislukkig x i p i = P(X = x i ) 0 (rood) q = 4/5 1 (geel) p = 1/5 De geometrische verdelig De egatief-biomiale verdelig µ = 0. q+ 1. p= p σ = ( 0 p) 2 q+ ( 1 p) 2 p = pq = p( 1 p) De hypergeometrische verdelig De Poisso-verdelig 3

4 de biomiale verdelig I ee vaas zitte 4 rode e 1 gele kikker. We trekke willekeurig éé kikker uit de vaas, otere welke kleur de kikker heeft e legge deze da terug. Dit doe we vijfmaal a elkaar. Wat is de kas dat we 5 maal, 4 maal, 3 maal, 2 maal, slechts éémaalof gee ekele keer ee gele kikker trokke? X = het aatal getrokke gele kikkers i i i ( = ) = ( = ) = P X x P X i C p q i de biomiale verdelig I ee vaas zitte 4 rode e 1 gele kikker. We trekke willekeurig éé kikker uit de vaas, otere welke kleur de kikker heeft e legge deze da terug. Dit doe we vijfmaal a elkaar. Wat is de kas dat we 5 maal, 4 maal, 3 maal, 2 maal, slechts éémaalof gee ekele keer ee gele kikker trokke? i i i ( = ) = ( = ) = P X x P X i C p q i µ =. µ = p bi be σ =. σ = bi be pq de biomiale verdelig Ee bakker verkoopt taartjes waarbij i 1 op de 5 gebakjes ee koffieboo i het gebakje zit. Als Thomas 24 taartjes bij deze bakker koopt, wat is de kas dat er i 4 taartjes of meer ee koffieboo zit? I hoeveel taartjes heeft Thomas ee koffieboo met ee zekerheid va 90% of hoger? Hoeveel taartjes moet Thomas kope om meer da 90% kas te hebbe dat er i mistes 4 taartjes ee koffieboo zit? de biomiale verdelig Ee bakker verkoopt taartjes waarbij i 1 op de 5 gebakjes ee koffieboo i het gebakje zit. Als Thomas 24 taartjes bij deze bakker koopt, wat is de kas dat er i 4 taartjes of meer ee koffieboo zit? 1 X ~ B = 24, p= 5 1 P( X = 4) = biompdf 24,,4 5 1 P( X 4) = biomcdf 24,,4 5 1 P( X 4) = 1 P( X < 4) = 1 P( X 3) = 1 biomcdf 24,,3 5 de biomiale verdelig Ee bakker verkoopt taartjes waarbij i 1 op de 5 gebakjes ee koffieboo i het gebakje zit. de biomiale verdelig I hoeveel taartjes heeft Thomas ee koffieboo met ee zekerheid va 90% of hoger? Als Thomas 24 taartjes bij deze bakker koopt, wat is de kas dat er i 4 taartjes of meer ee koffieboo zit? Hierbij is area de kas dat je mider da het berekede aatal hebt. Atwoord : de kas dat er i 4 taartjes of meer ee koffieboo zit is 73,6 %. Atwoord : Thomas heeft 10% (of mider) kas dat er mider da 2 taartjes ee koffieboo bevatte. Hij heeft dus meer da 90% kas dat er i mistes 2 taartjes ee koffieboo zit. 4

5 de biomiale verdelig Hoeveel taartjes moet Thomas kope om meer da 90% kas te hebbe dat er i mistes 4 taartjes ee koffieboo zit? 1 P( X 4) = 1 P( X 3) = 1 biomcdf,,3 90% 5 de geometrische verdelig Als we ee reeks oafhakelijke Beroulli-pogigedoe met succeskas p, kue we ee vast aatal () beschouwe, zodat we maar moete afwachte hoe vaak we succes zulle hebbe. Dit leidt tot de biomiale verdelig. Gaa we echter et zolag door tot we succes hebbe, da moete we maar afwachte hoeveel experimete we moete doe. Dat aatal N is ee stochastische variabele met als verdelig de geometrische verdelig. k ( = ) = ( ) 1 P N k 1 p. p Atwoord: Thomas moet mistes 32 taartjes kope om meer da 90% kas te hebbe dat er i mistes 4 taartjes ee boo zit. de geometrische verdelig Ee dobbelstee worp et zolag geworpe tot dat er ee eerste maal 1 wordt geworpe. de geometrische verdelig Hoe groot is de kas dat dit bij de 4de worp gebeurt? Hoe groot is de kas dat dit bij de 4de worp gebeurt? Hoe groot is de kas dat dit bij de eerste vier worpe gebeurt? 1 N ~ Geo p= 6 1 P( N = 4) = geometpdf, P( N 4) = geometcdf, 4 6 Atwoord: 9,6 % de geometrische verdelig Hoe groot is de kas dat dit bij de eerste vier worpe gebeurt? de egatief-biomiale verdelig Als we ee reeks oafhakelijke Beroulli-pogigedoe met succeskas p, kue we ee vast aatal () beschouwe, zodat we maar moete afwachte hoe vaak we succes zulle hebbe. Dit leidt tot de biomiale verdelig. Gaa we echter et zolag door tot we voor de m-de keer succes hebbe, da moete we maar afwachte hoeveel experimete we moete doe. Dat aatal N is ee stochastische variabele met als verdelig de egatief-biomiale verdelig. Atwoord: 51,8 % De geometrische verdelig is ee speciaal geval va de egatiefbiomiale verdelig met parameter m = 1. k 1 P N k p p m 1 m ( = ) =.( 1 ) k m 5

6 de egatief-biomiale verdelig Op de kermis heb je bij ee bepaald spelletje (ileg 2 euro) éé kas op drie om ee pluche welpje te wie. Je wil u zolag blijve spele totdat je twee welpjes hebt gewoe voor je tweelig Stefa e Klaasje. de egatief-biomiale verdelig Wat is de kas dat je bij het derde spelletje je tweede pluche welpje hebt? Wat is de kas dat je bij het derde spelletje je tweede pluche welpje hebt? Wat is de kas dat je met ee briefje va 10 euro toekomt om de twee pluche welpjes te bekome? 1 N ~ NeBi p =, m= 2 3 k k 2 2 k 2 ( = ) = = ( k ) P N k De kas om bij het derde spelletje de tweede pluche welp te wie, bedraagt 14,8 % de egatief-biomiale verdelig Wat is de kas dat je met ee briefje va 10 euro toekomt om de twee pluche welpjes te bekome? de hypergeometrische verdelig Als we ee serie trekkige doe uit ee eidige populatie met N elemete da hebbe we te make met ee hypergeometrische verdelig. De populatie is verdeeld i M elemete die ee bepaald kemerk vertoe e N-M, de rest, die dat kemerk iet bezitte. De kas om bij het tweede, het derde, het vierde of het vijfde spelletje de tweede pluche welp te wie, bedraagt 53,9 % Uit de populatie wordt ee steekproef va elemete geome, zoder terugleggig. Vervolges zij we geïteresseerd i het aatal elemete X dat uit de deelverzamelig met M elemete afkomstig is. M N M k k P( X = k) = N de hypergeometrische verdelig I ee speelgoedmad ligge 30 pakjes. I 20 pakjes zit ee pluche hodje e i de adere 10 ee bal. Vijf kidere moge u lukraak ee pakje trekke. Wat is de kas dat er twee pluche hodjes worde getrokke. de hypergeometrische verdelig I ee vaas zitte 70 rode e 50 groee bolle. Je eemt 3 bolle uit de vaas. Bereke de kas op 3 rode bolle K (a) K met terugleggig va de getrokke bol. (b) K zoder terugleggig va de getrokke bol P( X = 2) = = 0,16= 16%

7 de hypergeometrische verdelig K met terugleggig va de getrokke bol. 70 X ~ B = 3, p= ( ) C p q P X = 3 = = 19,85% 3 de hypergeometrische verdelig K zoder terugleggig va de getrokke bol. X ~ Hypergeometrisch C C P X = 3 = = 19,50% ( ) C120 de Poisso-verdelig De Poisso verdelig is et zoals de biomiale verdelig ee discrete kasverdelig. Het grote verschil met de biomialeverdelig is dat er bij de Poissoverdelig gee sprake is va ee vast aatal pogige. Bij de Poissoverdelig gaat het om het aatal kere succes X i ee bepaald tijdsiterval of specifieke plaats. Ee voorbeeld hierva is het aatal, dagelijkse ogelukke op ee specifiek stuk selweg. e. P( X = k) = k! λ k λ de Poisso-verdelig Het aatal telefoogesprekke dat biekomt op ee cetrale is Poisso-verdeeld met ee gemiddelde va 2 per miuut. Hoe groot is de kas dat er juist 3 gesprekke i ee miuut biekome? Hoe groot is de kas dat er meer da 3 gesprekke i ee miuut biekome? X ~ P( λ= 2) ( = 3) = poissopdf( 2,3) ( 3) = poissocdf( 2,3) P X P X de Poisso-verdelig Hoe groot is de kas dat er juist 3 gesprekke i ee miuut biekome? de Poisso-verdelig Hoe groot is de kas dat er meer da 3 gesprekke i ee miuut biekome? Atwoord: 18,0 % Atwoord: 14,3 % 7

8 de Poisso-verdelig De bezoekers va ee vogelreservaat kue aa de igag va het park ee verrekijker hure. Ee bezoek duurt aderhalf uur. Er zij gemiddeld 7,5 bezoekers per uur die ee verrekijker hure. Dit aatal is Poissoverdeeld. Het park beschikt echter slechts over 5 verrekijkers. Het vogelreservaat opet om 10 uur s ochteds. Wat is de kas dat ee bezoeker die om 10u40 toekomt, gee verrekijker meer ka hure? Over hoeveel verrekijkers moet het park mistes beschikke om te miste 90% zekerheid te hebbe dat alle bezoekers die voor 10u20 toekome og ee verrekijker kue hure? de Poisso-verdelig Het vogelreservaat opet om 10 uur s ochteds. Wat is de kas dat ee bezoeker die om 10u40 toekomt, gee verrekijker meer ka hure? λ = 7,5/ uur= 7,5/ 60mi = 5/ 40 mi ( > 5) = 1 P( X 5) P X Atwoord: 38,4 % λ = 7,5/uur = 7,5/60mi= 5/40mi = 2,5/20mi de Poisso-verdelig Over hoeveel verrekijkers moet het park mistes beschikke om te miste 90% zekerheid te hebbe dat alle bezoekers die voor 10u20 toekome og ee verrekijker kue hure? λ = 7,5/ uur= 7,5/ 60mi= 2,5/ 20mi P( X k) 0,9 cotiue kasverdelige 0 x< 0 1 x 6 0 x 1 1 f( x) = 1< x< x 5 x x> 8 Atwoord: 5 verrekijkers cotiue kasverdelige Y1 = X *( X 0adX 1 ) + *( X > 1adX < 5 ) + X * ( X 5ad X 8) cotiue kasverdelige + 8 f ( x) dx= f( x) dx= 1 0 8

9 cotiue kasverdelige verwachtigswaarde of gemiddelde + 32 E[ X] = µ X = x. f( x) dx= x. f ( x) dx= cotiue kasverdelige variatie& stadaardafwijkig σ X = E ( X µ ) X = ( x µ ). f ( x) dx=... = x. f ( x) dx µ cotiue kasverdelige cumulatieve verdeligsfuctie ( ) ( ) F( x) = P X x = f( t) dt P a< x< b = F( b) F( a) x cotiue kasverdelige cumulatieve verdeligsfuctie 6 ( 3< < 6 ) = ( ) = ( 6) ( 3) P X f x dx F F 3 Cotiue kasverdelige De ormale verdelig De t-verdelig of studetverdelig De chi-kwadraatverdelig De F-verdelig of verdelig v. Fisher De expoetiële verdelig de ormale verdelig Ee machie vult pakke met suiker. De massa suiker die door de machie afgeleverd wordt, is ormaal verdeeld met µ = 1015 gram e σ= 10 gram. Hoeveel % va de afgeleverde pakke bevat mider da 1 kg? Bove welke gewichtsgres ligt 10 % va de pakke suiker? Stel dat het mogelijk is om de afstellig va het vulapparaat (d.w.z. de gemiddelde hoeveelheid µ) te veradere zoder dat de stadaarddeviatie veradert. Hoe moet het gemiddelde gekoze worde opdat slecht 1% va de pakke suiker ee massa heeft beede de 1 kg. 9

10 de ormale verdelig Het vulgewicht va de pakjes suiker kue we grafisch voorstelle door de ormale verdelig N(µ = 1015 ; σ= 10). de ormale verdelig Hoeveel % va de afgeleverde pakke bevat mider da 1 kg? P(X < 1000) =? Atwoord: 6,68 % de ormale verdelig Bove welke gewichtsgres ligt 10 % va de pakke suiker? P(X >? ) = 10 % de ormale verdelig Stel dat het mogelijk is om de afstellig va het vulapparaat (d.w.z. de gemiddelde hoeveelheid µ) te veradere zoder dat de stadaarddeviatie veradert. Hoe moet het gemiddelde gekoze worde opdat slecht 1% va de pakke suiker ee massa heeft beede de 1 kg. Bepaal µ zodat P(X < 1000 ) = 1 % Atwoord: 1027,8 gram P( X 1000) = 0, µ ' P Z = 0, µ ' P Z =Φ( 2,33) µ ' = 2,33 10 µ ' = 1023,3 de ormale verdelig Stel dat het mogelijk is om de afstellig va het vulapparaat (d.w.z. de gemiddelde hoeveelheid µ) te veradere zoder dat de stadaarddeviatie veradert. Hoe moet het gemiddelde gekoze worde opdat slecht 1% va de pakke suiker ee massa heeft beede de 1 kg. Bepaal µ zodat P(X < 1000 ) = 1 % poisso groot p klei hypergeometrische groot biomiale groot groot cotiuïteitscorrectie ormale 10

11 de t-verdelig + 1 Γ 2 1 f( x) =. 2 ( + 1 )/2 Γ. π x de chi-kwadraatverdelig x f( x) =. x exp Γ 2 ( ) P X a = b a gegeve b = tcdf( -1 E 99, a, ) ( ) P X a = b b = X 2 cdf( -1 E 99, a, ) b gegeve a = ivt(b, ) de F-verdelig f m/2 m+ m Γ x 2 = m Γ m Γ 1+ x 2 2 m/2 1 ( x). ( m+ ) m, /2 ( ) P X a = b de expoetiële verdelig ( λ) λ ( λ ) λ f x, =.exp x x 0 ; > 0 P( X a) = b= 1 exp( λa) b = Fcdf( -1 E 99, a, m, ) Geerere va steekproeve & kassimulaties geerere v/e steekproef uit ee ormale verdelig Geereer met je TI-84 ee steekproef va 60 waaremige uit ee ormaal verdeelde populatie X ~ N(µ = 80, σ= 7). Bereke vervolges het gemiddelde e de stadaardafwijkig va deze steekproef. Ga via ee ormal probabilityplot a dat deze gegeves ee steekproef zij uit ee ormaal verdeelde populatie. Hoeveel % va de gegeves hebbe theoretisch ee waarde groter da 87? Hoeveel % va de gegeves hebbe op basis va de getrokke steekproef ee waarde groter da 87? 11

12 geerere v/e steekproef uit ee ormale verdelig Ee steekproef va 60 waaremige geerere met de TI-84 uit ee ormaal verdeelde populatie X ~N(µ = 80, σ = 7). geerere v/e steekproef uit ee ormale verdelig Bereke vervolges het gemiddelde e de stadaardafwijkig va deze steekproef. MATH PROB 6:radNorm( 80, 7, 60 ) STO> 2d [L1] Eter STAT CALC 1:1-Var Stats geerere v/e steekproef uit ee ormale verdelig Ga via ee ormal probabilityplot a dat deze gegeves ee steekproef zij uit ee ormaal verdeelde populatie. geerere v/e steekproef uit ee ormale verdelig Hoeveel % va de gegeves hebbe theoretisch ee waarde groter da 87? Hoeveel % va de gegeves hebbe op basis va de getrokke steekproef ee waarde groter da 87? 2d [StatPlot] K selecteer zesde grafiek type K ZOOM 9:ZoomStat theoretisch : 15,87 % steekproef : 15,36 % geerere v/e steekproef uit ee biomiale verdelig Geereer met je TI-84 ee steekproef va 80 waaremige uit ee biomiaalverdeelde populatie X ~Bi( = 7, p = 0,4). geerere v/e steekproef uit ee biomiale verdelig Ee steekproef va 80 waaremige geerere met de TI-84 uit ee biomiaalverdeelde populatie X ~Bi( = 7, p = 0.4). Bereke vervolges het gemiddelde e de stadaardafwijkig va deze steekproef. Hoeveel % va de gegeves hebbe theoretisch ee waarde kleier of gelijk aa 2? Hoeveel % va de gegeves hebbe op basis va de getrokke steekproef ee waarde kleier of gelijk aa 2? MATH PROB 7:radBi( 7, 0.4, 80 ) STO> 2d [L1] Eter 12

13 geerere v/e steekproef uit ee biomiale verdelig Bereke vervolges het gemiddelde e de stadaardafwijkig va deze steekproef. geerere v/e steekproef uit ee biomiale verdelig Hoeveel % va de gegeves hebbe theoretisch ee waarde kleier of gelijk aa 2? Hoeveel % va de gegeves hebbe op basis va de getrokke steekproef ee waarde kleier of gelijk aa 2? STAT CALC 1:1-Var Stats Theoretisch : µ = p= 7.0, 4= 2,8 ; σ = p( 1 p) = 1,296 theoretisch : 42,0 % steekproef : 51,3 % kruis of mut We wille ee mutstuk 500 keer opgooie e telle hoeveel keer we kruis hebbe. We gebruike de volgede code: kruis = 1 e mut = 0. Als je u wilt telle hoeveel keer kruis gegooid wordt, moet je allee maar de som va alle door de rekemachie gegeereerde getalle make. gooie met éé dobbelstee We kue de rekemachie late telle hoeveel zesse er gegooid worde met ee dobbelstee (600 worpe). Je ka de resultate va de simulatie opslaa i ee lijst 1. Math PROB 5: radit(1,6,600) Sto> 2d L1 Eter Math PROB 5: radit(0,1,500) Eter 2d [List] Math 5: sum( 2d [As] ) Eter gooie met twee dobbelstee Ee gokker wil de kas kee dat de som va de oge va twee geworpe dobbelstee groter da of gelijk aa 10 is, door het experimet gooie va twee dobbelstee 400 maal te herhale. lottogetalle geerere Met de istructie raditnorepka je aselect ee aatal getalle zoder herhalig trekke uit ee reeks gehele getalle. Het aatal oge op de eerste dobbelstee slaa we op als lijst L1, het aatal oge op de tweede dobbelstee als lijst L2. Als we u beide lijste optelle, da krijge we ee lijst L3 die bij elke worp de som va het aatal oge geeft va beide dobbelstee. 13

14 kikkers trekke uit ee zak Activeer via APPS de applicatie Prob Sim waarmee je kasexperimete ka simulere. Kies hier de optie 3:PickMarbles. Via SET (F3) ka je u de istellige aapasse. Beschrijvede statistiek Kasverdelige Betrouwbaarheidsitervalle & toetse va hypothese Betrouwbaarheidsitervalle voor µ met bekede σ voor µ met obekede σ voor de populatieproportie p betrouwbaarheidsitervalle voor µ met bekede σ Ee machie vult pakjes koffie. De ihoud va de pakjes zij ormaal verdeeld met stadaardafwijkig σ= 16 gram. De kwaliteitscotroleur eemt ee steekproef va 1000 pakjes e zet deze op ee weegschaal. Deze hebbe ee totale massa va 509,5 kg. Geef ee 99% betrouwbaarheidsiterval voor de gemiddelde massa va éé pakje koffie. formule: σ x z, x+ z α /2 α /2 σ atwoord: [508,2 gram ; 510,8 gram] betrouwbaarheidsitervalle voor µ met bekede σ Ee machie vult pakjes koffie. De ihoud va de pakjes zij ormaal verdeeld met stadaardafwijkig σ= 16 gram. De kwaliteitscotroleur eemt ee steekproef va 1000 pakjes e zet deze op ee weegschaal. Deze hebbe ee totale massa va 509,5 kg. Geef ee 99% betrouwbaarheidsiterval voor de gemiddelde massa va éé pakje koffie. Stat Tests 7:ZIterval betrouwbaarheidsitervalle voor µ met obekede σ De breukspaig va katoedrade (d.w.z. het gewicht waarbij de draad breekt) is ormaal verdeeld. Ee reeks va 14 metige geeft ee gemiddelde breukspaig va 6,74 kg e ee stadaardafwijkig va 1,12 kg. Bepaal ee 95% betrouwbaarheidsiterval voor de gemiddelde breukspaig va de hele populatie katoedrade. formule: s x t, x+ t 1, α /2 1, α /2 s atwoord: [6,09 kg ; 7,39 kg] 14

15 betrouwbaarheidsitervalle voor µ met obekede σ De breukspaig va katoedrade (d.w.z. het gewicht waarbij de draad breekt) is ormaal verdeeld. Ee reeks va 14 metige geeft ee gemiddelde breukspaig va 6,74 kg e ee stadaardafwijkig va 1,12 kg. Bepaal ee 95% betrouwbaarheidsiterval voor de gemiddelde breukspaig va de hele populatie katoedrade. Stat Tests 8:TIterval betrouwbaarheidsitervalle voor µ met obekede σ De dikte va ee reeks houte plate is ormaal verdeeld. Hieroder staat ee reeks va 16 metige (i mm). Bepaal ee 98% betrouwbaarheidsiterval voor de gemiddelde dikte va deze reeks houte plate. 23,1 20,2 24,7 27,8 27,6 29,2 17,4 23,3 27,3 20,7 21,9 18,9 18,5 21,1 21,7 17,6 betrouwbaarheidsitervalle voor p Bij ee cotrole va ee steekproef va 400 lampe vod me er 45 slechte. Vid op grod hierva ee 95% betrouwbaarheidsiterval voor het percetage (= de proportie) slechte lampe i de hele populatie. formule: ( ) ( ) p 1 p p 1 p p zα /2, p+ zα /2 betrouwbaarheidsitervalle voor p Bij ee cotrole va ee steekproef va 400 lampe vod me er 45 slechte. Vid op grod hierva ee 95% betrouwbaarheidsiterval voor het percetage (= de proportie) slechte lampe i de hele populatie. Stat Tests A:1-PropZIt atwoord: [8,2 % ; 14,3 %] Toetse va hypothese voor µ met bekede σ voor µ met obekede σ voor p voor twee µ s met bekede σ s voor twee σ s voor twee µ s met obekede σ s voor twee p s de X²-toets toetse va hypothese voor µ met bekede σ I ee fabriek worde asse vervaardigd waarbij de gemiddelde diameter igesteld wordt op 7,6 mm. De diameters va de geproduceerde asse zij ormaal verdeeld met stadaardafwijkig 0,4 mm. Ter cotrole eemt me ee steekproef va 50 asse e me vidt als gemiddelde ee waarde va 7,4 mm. Idie de diameters te veel afwijke, wordt het productieproces stopgezet. Ga a, met α = 1%, of het productieproces wordt stopgezet. 15

16 toetse va hypothese voor µ met bekede σ (1) gegeve istellig machies : cotrole va 50 asse : (2) formulere va de hypothese H 0 : µ = 7,6 H 1 : µ 7,6 ( = σ = ) X ~ N µ 7,6mm; 0, 4mm x=7,4mm Dit is ee tweezijdige toets va het gemiddelde toetse va hypothese voor µ met bekede σ (3) foute H 0 aavaarde H 0 verwerpe H 0 is waar 1 α α H 1 is waar β 1 β α= P(H 0 verwerpe H 0 waar) fout va de eerste soort, sigificatieiveau (α = 1%) β = P(H 0 aavaarde H 1 waar) fout va de tweede soort, doorlatigsfout toetse va hypothese voor µ met bekede σ (4) toetsigsgrootheid X = gemiddelde diameter va 50 asse 0,4 X ~ N µ = 7,6 ; σ = = 0, toetse va hypothese voor µ met bekede σ (5) methode 1 : kritieke greze Verwerp H idie x< k of x> k σ met k = µ z e k = µ + z 1 0 α/2 2 0 α/2 bepale va de greswaarde va het aavaardigsgebied bij α = 1% σ atwoord: 7,4 < 7,454 ; H 0 wordt verworpe, het productieproces wordt stopgezet. toetse va hypothese voor µ met bekede σ toetse va hypothese voor µ met bekede σ (6) methode 2 : p-waarde ( 7,4) p= P X Verwerp H 0 idie p-waarde < α (tweezijdig) Stat Tests 1: Z-Test (7) methode 3 : betrouwbaarheidsiterval σ verwerp H iet als µ x z, x+ z 0 0 α/2 α/2 Stat Tests 7: ZIterval σ atwoord: p-waarde= 0,0004 < 0,010 H 0 wordt verworpe atwoord: 7,6 ligt iet i het iterval [7,25 ; 7,55] dus H 0 verwerpe 16

17 toetse va hypothese voor µ met obekede σ De ihoud va potjes speculaaspasta is ormaal verdeeld. De machie die deze potjes vult is zodaig igesteld dat de gemiddelde ihoud 376 gram zou moete bedrage. De kwaliteitsmaager haalde deze amiddag 18 potjes va de lopede bad e woog deze a. De resultate (i gram) staa i volgede tabel: Is de bewerig dat deze potjes speculaaspasta gemiddeld 376 gram bevatte correct op het 10% sigificatieiveau? (toets tweezijdig) toetse va hypothese voor µ met obekede σ (1) formulere va de hypothese H 0 : µ = 376 H 1 : µ 376 Dit is ee tweezijdige toets va het gemiddelde (2) toetsigsgrootheid X = gemiddelde ihoud v/e potje speculaaspasta X ~ N µ = 376 ; σ = σ 18 toetse va hypothese voor µ met obekede σ (3) methode 1 : kritieke greze toetse va hypothese voor µ met obekede σ (3) methode 1 : kritieke greze Verwerp H idie x< k of x> k s met k = µ t e k = µ + t 1 0 1, α/ , α/2 s Verwerp H idie x< k of x> k s met k = µ t e k = µ + t 1 0 1, α/ , α/2 s bepale va het gemiddelde e de stadaardafwijkig va de steekproef: bepale va de kritieke greze bij α = 10% x= 374,9 s= 5,26 atwoord: 373,84 < 374,9 < 378,16 de ulhypothese wordt iet verworpe toetse va hypothese voor µ met obekede σ toetse va hypothese voor µ met obekede σ (4) methode 2 : p-waarde Verwerp H 0 idie p-waarde < α Stat Tests 2: T-Test (5) methode 3 : betrouwbaarheidsiterval s verwerp H iet als x t, x+ t 0 µ 0 1, α/2 1, α/2 Stat Tests 8: TIterval s atwoord: p-waarde= 0,4067 > 0,1. H 0 iet verwerpe atwoord: 376 ligt i het iterval [372,8 ; 377,1] dus H 0 iet verwerpe 17

18 toetse va hypothese voor p Ee mutstuk wordt 160 keer geworpe e we verkrijge 101 keer mut. Is dit ormaal? Toets tweezijdig. (α = 5%). (1) formulere va de hypothese H 0 : p = 0,5 H 1 : p 0,5 Dit is ee tweezijdige toets va fracties (2) toetsigsgrootheid X = aatal kere mut i de steekproef toetse va hypothese voor p (3) methode 1 : kritieke greze Verwerp H idie p < k of p > k ( 1 ) ( 1 ) p0 p0 p0 p0 met k1= p0 zα/2 e k2 = p0 + zα/2 ( ) 0,5 1 0,5 k2 = 0,5+ 1,96 = 0, p= = 0,6313 > k2 H0 wordt verworpe 160 X ~ B( = 160, p = 0,5) toetse va hypothese voor p (3b) methode 1 : kritieke greze X beadere door de ormale ( ) met µ = p= 80, σ = p 1 p = 6,32 toetse va hypothese voor p (4) methode 2 : p-waarde Verwerp H 0 idie p-waarde < α Stat Tests 5: 1-PropZTest bepale va de greswaarde va het aavaardigsgebied bij α = 5% atwoord: 101 > 92,4 de ulhypothese wordt verworpe atwoord: p-waarde= 0,0009 < 0,05. H 0 wordt verworpe toetse va hypothese voor p (5) methode 3 : betrouwbaarheidsiterval ( ) ( ) p 1 p p 1 p Verwerp H 0 iet idie p0 p zα/2, p+ z α/2 Stat Tests A: 1-PropZIt toetse va hypothese voor twee µ met bekede σ s Doze speculaasijs worde automatisch gevuld door twee machies. Om de gemiddelde ihoud te mete wordt va beide ee steekproef geome e leverde volgede resultate. machie A : = 72 x= 2,48l σ = 0,08l machie B : m= 54 y= 2,55l σ = 0,05l x y Moge we op basis va deze gegeves besluite dat beide machies iet dezelfde gemiddelde ihoud levere? (betrouwbaarheidsiveau 95%). atwoord: 0,5 ligt iet i het iterval [0,56 ; 0,71] dus H 0 verwerpe 18

19 toetse va hypothese voor twee µ met bekede σ s (1) formulere va de hypothese H 0 : µ A = µ B toetse va hypothese voor twee µ met bekede σ s (3) methode va ee betrouwbaarheidsiterval H 1 : µ A µ B (2) methode va de p-waarde atwoord: b.i. [-0,093 ; -0,047], omdat 0 iet tot dit iterval behoort mag je besluite dat µ A µ B. atwoord: p-waardezeer klei (ogelijke variaties) dus H 0 verwerpe of beide machies levere iderdaad ee adere gemiddelde ihoud. toetse va twee σ s toetse va twee σ s I ee bedrijf staa twee machies e me heeft de idruk dat machie 2 mider precies werkt da machie 1. Om dit te oderzoeke eemt me uit de productie va machie 1 ee staal va omvag 13 e me vidt s 1 ² = 5,29, uit ee staal va 10 exemplare va machie 2 vod me s 2 ² = 7,84. Vormt dit op ee sigificatieiveau va 5% voldoede bewijs dat machie 2 mider precies werkt da machie1? Je mag ormaliteit veroderstelle. (1) formulere va de hypothese H 0 : σ 1 = σ 2 H 1 : σ 1 < σ 2 (2) methode va de p-waarde atwoord: p-waarde= 0,258 > 0,05 we verwerpe H 0 iet toetse voor twee µ met obekede σ s Ee bepaalde stadsschool beweert dat de leerlige die zij aatrekt gemiddeld over ee hoger IQ beschikke da de leerlige uit de adere stadsschole uit de buurt. Ee oderzoeker west deze bewerig a te gaa e meet via ee oafhakelijke test het IQ va alle laatstejaarsstudete uit deze school (A) e va ee adere abij gelege school (B). De resultate zij als volgt: toetse voor twee µ met obekede σ s (1) formulere va de hypothese H 0 : µ A = µ B H 1 : µ A > µ B (2) methode va de p-waarde school A : = 58 x= 104,6 s = 13,4 school B : m= 66 y= 102,3 s = 14,1 x y Moge we op basis va deze gegeves besluite dat de uitspraak va school A waar is? (Het IQ is ee variabele die ormaal verdeeld is). (sigificatieiveau 5%). atwoord: p-waarde= 0,178 dus H 0 wordt iet verworpe of de leerlige va de ee school hebbe gee sigificat hoger IQ da de leerlige va de adere school 19

20 toetse voor twee µ met obekede σ s (3) methode va ee betrouwbaarheidsiterval toetse voor twee populatieproporties Bij equêtes i Vlaadere (1284 odervraagde) e Nederlad (923 odervraagde) stelde we vast dat 948 Vlamige e 607 Nederladers regelmatig aar het Tv-ieuws kijke. Moge we hieruit besluite dat Vlamige meer aar het jouraal kijke da Nederladers? Costrueer ee 95% b.i. voor p v - p. atwoord: b.i. (eezijdig α = 5% C-Level0,90) [-1,8 ; 6,4], omdat 0 > -1,8 mag je besluite dat µ A =µ B. toetse voor twee populatieproporties (1) formulere va de hypothese H 0 : p v = p N toetse voor twee populatieproporties (3) methode va ee betrouwbaarheidsiterval H 1 : p V > p N (2) methode va de p-waarde atwoord: b.i. [0,04 ; 0,12], omdat 0 < 0,04 mag je besluite dat p V > p N. atwoord: p-waarde = 0,00002 < 0,025 dus H 0 verwerpe, m.a.w. je mag besluite dat Vlamige meer aar het jouraal kijke da Nederladers de X²-toets (aapassigstoets) Iemad krijgt ee dobbelstee i hade die er iet erg symmetrisch uitziet. Zou de dobbelstee wel zuiver zij? Hij gooit er 120 keer mee e verwacht elk va de ogeaatalle ogeveer 20 keer te gooie. De resultate va de test vid je i volgede tabel: aatal oge aatal worpe de X²-toets (aapassigstoets) (1) formulere va de hypothese H 0 : de dobbelstee is zuiver H 1 : de dobbelstee is iet zuiver (2) uitvoere va de test Lijst 1 : de waargeome aatalle Lijst 2 : de te verwachte aatalle 20

21 de X²-toets (aapassigstoets) (3) Stat Tests X² GOF-Test(GOF = Goodess-of-Fit) de X²-toets (homogeiteitstoets) We vrage os af of bij de verkiezig va de volgede burgemeester i ee zekere gemeete de leeftijd va de kiezers ee ivloed heeft op hu voorkeurskadidaat? Er worde 400 kiezers odervraagd. Het resultaat va de equête staat i volgede tabel: < 25 j tusse 25j e 40j > 40 j totaal A B C D totaal atwoord: p-waarde= 0,347 e dus voldoede groot. H 0 wordt iet verworpe, we moge veroderstelle dat de dobbelstee zuiver is de X²-toets (homogeiteitstoets) (1) formulere va de hypothese H 0 : leeftijd e voorkeur zij oafhakelijk H 1 : de voorkeur is afhakelijk va de leeftijd de X²-toets (homogeiteitstoets) (2) uitvoere va de test Idie de keuze va de kadidaat oafhakelijk zou zij va de leeftijd va de kiezer zou de theoretische verdelig er als volgt moete uitzie: < 25 j tusse 25j e 40j > 40 j totaal A 19,0 23,6 26,4 69 B 21,7 27,1 30,2 79 C 44,0 54,8 61,2 160 D 25,3 31,5 35,2 92 totaal Matrix A : de waargeome aatalle Matrix B : de te verwachte aatalle de X²-toets (homogeiteitstoets) (3) Stat Tests X² -Test ANOVA (variatieaalyse) I ee stad zij vier pizzeria s. We oderzoeke of alle pizzeria s op de middag (gemiddeld) eveveel pizza s verkope. Daarom telle we het aatal verkochte pizza s op de middag gedurede 6 opeevolgede dage. dag 1 dag 2 dag 3 dag 4 dag 5 dag 6 Pizzeria DO Pizzeria RE Pizzeria SI Pizzeria LA atwoord: p-waarde= 0,938 e dus voldoede groot. H 0 wordt iet verworpe, we moge veroderstelle dat de voorkeur iet afhagt va de leeftijd. 21

22 ANOVA (variatieaalyse) (1) formulere va de hypothese ANOVA (variatieaalyse) (3) Stat Tests ANOVA H 0 : µ 1 = µ 2 = µ 3 = µ 4 H 1 : (µ 1 = µ 2 = µ 3 = µ 4 ) (2) uitvoere va de test Lijst 1 : de aatalle va pizzeria DO Lijst 2 : de aatalle va pizzeria RE Lijst 3 : de aatalle va pizzeria SI Lijst 4 : de aatalle va pizzeria LA atwoord: zeer kleie p-waarde, H 0 wordt verworpe, we veroderstelle dat de middagverkoop va pizza s bij de verschillede pizzeria s iet overal gemiddeld hetzelfde is. Beschrijvede statistiek Kasverdelige Betrouwbaarheidsitervalle & toetse va hypothese Regressie Regressie Lieaire regressie Kwadratische regressie Expoetiële regressie Logistische groei Siusoïdale regressie Lieaire regressie Aa ee aatal leerlige is gevraagd hoeveel tijd (i ure) ze besteed hebbe aa ee groepswerk geschiedeis. Verder is voor deze leerlige het aatal pute (op 100) vastgesteld dat ze voor dit groepswerk hebbe gekrege. De resultate ware als volgt: Lieaire regressie Plaats de oafhakelijke variabele X, i dit geval het aatal gepresteerde ure, i lijst L 1 e de afhakelijke variabele Y, i dit geval het aatal behaalde pute, i lijst L 2. I II III IV V VI VII # ure X # pute Y Wat is het gemiddeld aatal ure dat me presteerde aa het groepswerk? Wat was de gemiddelde score? Bereke de lieaire regressie va Y op X. Wat zij de te verwachte pute voor ee groep die 12 uur gespedeerd heeft aa het groepswerk? Bereke de covariatie e de correlatiecoëfficiët. 22

23 Lieaire regressie Plaats de oafhakelijke variabele X, i dit geval het aatal gepresteerde ure, i lijst L 1 e de afhakelijke variabele Y, i dit geval het aatal behaalde pute, i lijst L 2. Lieaire regressie STAT CALC 4:LiReg(ax + b) Lieaire regressie STAT Tests LiRegTTest 23