1. Meetniveaus en Notatie

Transcriptie

1 1. Meetiveaus e Notatie Meetiveaus Oderzoek wordt gedaa met het verzamele va iformatie over éé of meer variabele. Ee variabele wordt gemete ee va de volgede 4 meetiveaus (va laag aar hoog) : Er wordt oderscheid gemaakt tusse kwalitatieve e kwatitatieve variabele. Kwalitatieve variabele: de uitkomst va ee variabele valt i categorieë Nomiaal wederzijds uitsluitede categorieë waar gee volgorde is aa te geve bijvoorbeeld: geslacht Ma/Vrouw, huisdier (Kat/hod/cavia) je kut bij ee omiale variabele bepale of deze i ee categorie () of iet ( ) valt Ordiaal er is ee duidelijke volgorde tusse de categorieë bijvoorbeeld: legtemaat S/M/L/L, arbeidsmotivatie laag/gemiddeld/hoog je kut bij ee ordiale variabele bepale of deze i ee categorie () of iet ( ) valt. Daaraast ka je bepale of ee uitkomst groter > (of gelijk aa ) of kleier < (of gelijk aa ) Kwatitatieve variabele: uitkomst va ee variabele is umeriek Iterval ee variabele wordt op ee atuurlijke itervalschaal gemete bijvoorbeeld: temperatuur (grade Celsius) je ka bepale of de variabele gelijk is (, ), groter/kleier (of gelijk aa) (>,, <, ), je kut de variabele bij elkaar optelle (+) e aftrekke (-) Ratio ee variabele met ee absoluut ulput bijvoorbeeld: prijs (euro), afstad (meters) je ka bepale of de variabele gelijk is (, ), groter/kleier (of gelijk aa) (>,, <, ), je kut de uitkomste bij elkaar optelle (+) e aftrekke (-), dele (/) e vermeigvuldige (x) Steekproef e Populatie: betekeis va de symbole Iferetiële statistiek is het gebruik make va iformatie uit ee steekproef om ee hypothese over de populatie te toetse. De populatie is de totale groep elemete (bijvoorbeeld persoe, auto s, diamate, etc) wat je oderzoekt. Maatstave worde met Griekse symbole weergegeve. We oeme deze parameters μ (-mu): gemiddelde σ (-sigma): populatie stadaard-deviatie; σ² populatie variatie N (hoofdletter): aatal elemete i de populatie Om uitsprake over de populatie te toetse wordt ee steekproef geome uit de populatie die represetatief is e a-select gekoze. Om aa te geve of het gemiddelde, stadaarddeviatie, etc, is gebaseerd op de steekproef, worde de volgede symbole gebruikt: x i éé uitkomst va ee variabele : gemiddelde s stadaarddeviatie; V of s²: variatie (kleie letter): steekproefgrootte 1

2 . Maatstave/kegetalle Beschrijvede statistiek is het beschrijve va iformatie met maatstave. (1) Locatiemaatstave: zwaarteput va de gegeves gemiddelde µ, (variabele is iterval of ratio) tel alle uitkomste bij elkaar op e deel door hu aatal (N). N x + x + + x 1 1 N µ x i populatie N N i 1 x steekproef x + x + + x 1 x i i 1 1 Als je bij ieder getal i ee reeks ee costate (c) optelt, da wordt het gemiddelde 1 xieuw ( xi + c) x oud + c i 1 Als je ieder getal i ee reeks vermeigvuldigt met costate (a), da wordt het gemiddelde Mediaa (variabele is ordiaal, iterval of ratio) va ee reeks va uitkomste va laag aar hoog is de mediaa het middelste getal, bij oeve aatal: , de mediaa is 4. bij eve aatal: , de mediaa is 3,5 de mediaa wordt iet beïvloed door extreme uitkomste Modus (alle meetiveaus) De uitkomst met de hoogste frequetie , de modus is 3. Midrage (variabele is iterval of ratio) Gemiddelde va kleiste e grootste waaremigsuitkomst ax , de midrage is x mi + x max () Spreidigsmaatstave: spreidig va uitkomste Variatiebreedte (kwatitatieve variabele) verschil tusse grootste e kleiste waaremig , de variatiebreedte is variatiebreedte xmax xmi Variatie σ², s² (kwatitatieve variabele) Geeft de gemiddelde gekwadrateerde afstad va waaremigsuitkomst x i tot het

3 gemiddelde. N 1 N i 1 populatie: σ ( x i µ ) 1 1 steekproef: s ( xi x ) i 1 Stadaarddeviatie σ, s (kwatitatieve variabele) Geeft de gemiddelde afstad va waaremigsuitkomst x i tot het gemiddelde μ. De stadaarddeviatie wordt verkrege door de wortel te eme va de variatie. De variatie e stadaardafwijkig zij ooit egatief σ populatie steekproef 1 N x i N i 1 s ( µ ) 1 1 ( xi x) i 1 voorbeeld: uit ee steekproef zij de volgede waaremigsuitkomste x i: x ( 5) + (4 5) + (4 5) + (6 5) + (9 5) 8 s xi x s i i 1 ( ) ( x x) 7 i de populatievariatie is ook te berekee met de volgede formule: σ 1 N N i 1 ( x µ ) i N 1 x ( ) i µ N i 1 uit ee populatie zij de volgede waaremigsuitkomste i: σ² ( (² + 4² + 4² + 6² + 9²)/ 5) 5² 5,6 Variatiecoëfficiët De stadaarddeviatie gedeeld door het gemiddelde. De CV wordt gebruikt om databestade te vergelijke. populatie steekproef σ CV µ cv s x ( 1% ) ( 1% ) bij de waaremigsuitkomste ( ) is de CV 7 1% 5,9% 5 3

4 Lieaire trasformaties va maatstave Va ee variabele x i heeft ee gemiddelde e stadaarddeviatie. Als er ee lieair verbad bestaat tusse de uitkomst va x i e y i : ( ) yi axi + b i 1,,..., N a (richtigscoëfficiët) als x met éé eeheid toeeemt, da eemt y met a toe b costate Da worde het gemiddelde e stadaarddeviatie/variatie voor yi als volgt bereked: µ σ Y Y aµ populatie aσ + b ( σ a σ ) Y y ax + b s Y a s steekproef ( s a s ) Y voorbeeld: om de coditie va het zeewater i de gate te houde, is i het afgelope jaar 15 keer de temperatuur gemete. De gemiddelde temperatuur was 18 grade met ee stadaarddeviatie va. Ee Australisch weerstatio wil het gemiddelde e variatie i Fahreheit wete. De omrekeigsformule luidt: Y 1, Het gemiddelde e stadaarddeviatie i Fahreheit: y ax + b 1, ,4 s ² 1,8² ² 1,96 s a s Y ( s a s ) Y 4

5 3. Grafieke e Tabelle va ee Frequetieverdelig Frequetieverdelig: overzicht aatalle (frequeties) per klasseverdelig i tabel relatieve frequetie:,5 procetuele frequetie: 5% Histogram: geeft verdelig va frequeties per klasse grafisch weer Histogram met gelijke klassebreedtes Bij ee histogram met gelijke klassebreedtes is de verhoudig tusse de hoogte va de stave, de klassefrequeties e de oppervlakte gelijk aa elkaar. De frequetieverdelig va ee steekproef zou er als volgt uit kue zie: Berekeige totaal aatal frequeties: tel de frequeties va iedere klasse bij elkaar op modus: eem het klassemidde va de klasse met hoogste frequetie 18 gemiddelde: bepaal alle klassemiddes e vermeigvuldig deze met de bijbehorede frequeties e deel door het totaal aatal frequeties. ( ) ( ) ,4 variatie: bepaal eerst het gemiddelde. Kwadrateer voor iedere klassemidde het verschil met dit gemiddelde e tel deze getalle bij elkaar op. Bij ee populatie, deel dit door het aatal frequeties (N), e bij ee steekproef door het aatal frequeties mi 1 ( 1). (1 (16 18,4)² + 3 (165 18,4)² ( 18,4)² ) ,651 stadaarddeviatie: bepaal eerst de variatie. Neem hierva de wortel. 69,651 8,346 histogram met ogelijke klassebreedtes Omdat iet alle klasse dezelfde klassebreedte (b j) hebbe, zou het plotte va de frequeties bij ee histogram met ogelijke klassebreedtes betekee dat de klasse met ee grotere klassebreedte ee te grote oppervlakte hebbe te opzichte va de smallere klasse. Vadaar worde op de y-as iet de frequeties weergegeve, maar de frequetiedichtheid (fdh) fdh frequetie aatal skb 5

6 De frequetiedichtheid wordt bereked met behulp va de stadaard-klassebreedte (skb). Soms is de skb gegeve i de tekst, of het moet bereked worde. I het algemee geldt: klassebreedte (b j) x fdh totaal frequeties x skb oppervlakte va ee klasse (O j). Om het totaal aatal frequeties, gemiddelde, variatie e mediaa va ee histogram te bepale, is het hadig om ee frequetietabel va het histogram op te stelle. Dit kost weliswaar tijd, uiteidelijk geeft het ee overzichtelijk beeld e heb je mider kas om foute te make. De frequetietabel bij het bovestaade histogram: klasse-midde frequetie x jf j (x j µ x) (x j µ x)² (x j µ x)² f j (x j) (f j) totaal Berekeige Modus. eem het gemiddelde va de klasse() met hoogste fdh (15) Variatiebreedte. eem het verschil tusse bovegres boveste klasse e odergres oderste klasse Totaal aatal frequeties. tel per klasse op: (klasse-breedte / skb) x fdh (5 5 1) + (5 5 6) (15 5 3) + (15 5 1) 3 Stadaard klassebreedte. tel per klasse op (klassebreedte x fdh) e deel door het totaal 6

7 aatal frequeties (5 1 3) + (5 6 3) (15 1 3) 5 Gemiddelde: stel ee frequetietabel op e deel de som va x jf j door het totaal aatal frequeties Mediaa. bepaal het totale aatal frequeties e deel deze door. I welke klasse valt deze? Bepaal voor dit getal de waarde op de x-as d.m.v. iterpolatie. De mediaa ligt dus bij de 15de waaremig. Dat ligt dus i de klasse x 5. Er ligge 13 frequeties <. Tel er dus /5 deel va 5 bij op. Variatie: stel ee frequetietabel op. Neem het totaal va ((x j µ x)² f j) e deel dat door het totaal aatal frequeties stadaard-deviatie: eem de wortel va de variatie Frequetiepolygoo Ee frequetiepolygoo lijkt erg op ee histogram. Bij ee histogram zij de frequeties weergegeve met stave, bij ee frequetie polygoo worde de frequeties weergegeve met ee lij. Aa beide zijde wordt ee dekbeeldige klasse toegevoegd met frequetie gelijk aa ul Ee cumulatieve frequetiepolygoo plot de cumulatieve frequeties. De cumulatieve frequeties worde bereked door voor per klassegres het totaal aatal waaremige op te telle dat kleier is. Berekeige aatal frequeties dat oder ee waarde ligt 7

8 bijvoorbeeld: er zij 1 waarde kleier da 8, 5 kleier da 14 mediaa: lees de waarde af bij 5% op de Y-as, of bepaal de frequetie die erbij hoort. 5% va 3 is 15 1 modus: de klasse waar de lij het steilst loopt (7 (6 x 8) e 13 (1 x 14) gemiddelde: bepaal de frequeties voor iedere klasse e vermeigvuldig ze met de klassemiddes. Deel dit door het totaal , Totale frequetie 3. Gemiddelde 18, Rekee met kase otatie Kase worde gedefiieerd met P(kas op ee gebeurteis). De kas op ee uitkomst va x wordt als volgt geoteerd: P( x) waarbij de uitkomst is dit je oderzoekt, e x het totaal aatal mogelijke uitkomste bevat. Bijvoorbeeld bij het ee gooie va 1 dobbelstee zij er 6 mogelijke uitkomste. P( 4) P(de kas op het gooie va 4) 1/6 P(1 4) P(de kas op het gooie va 4 of mider) 4/6 /3 Als ee kasverschijsel (kop of mut) iet umeriek is, moet deze eerst umeriek gemaakt worde (kop, mut1). Omogelijke kas heeft ee p-waarde va : P( ) Ee zekere gebeurteis heeft p-waarde va 1: P(Z) 1 De mogelijke uitkomste va ee kas, oftewel de steekproefruimte wordt met ( e ) weergegeve: bij ee dobbelstee geldt: P( ) P(A B) de kas dat A of B voorkomt P(A B) de kas dat A e B same voorkome (ezelsbruggetje: lijkt op [~e]) regels met betrekkig tot kase 1. Kase ligge tusse e 1: P() 1. Complemet-regel: de kas dat A iet voorkomt is gelijk aa 1 de kas dat A wel voorkomt: P(A ) 1 P(A) 3. Algemee som-regel: bij het optelle va de kas A e B, moet je corrigere voor de dubbeltellig. De formule is: P(A of B) P(A) + P(B) P(A e B) P(A B) P(A) + P(B) P(A B) voorbeeld: bij P( uitkomst va ee worp met ee dobbelstee): A: P( > 3 oge) e B: P( oeve) da is de kas dat A e B voorkome bij het gooie va éé dobbelstee: 8

9 P(A B) P(A) + P(B) P(A B) P(A B) P(4 5 6) + P(1 3 5) P(5) P( ) kas 1/ + 1/ 1/6 5/6 De somregel geldt ook voor meer gebeurteisse. Bijvoorbeeld bij het optelle va 3 gebeurteisse geldt: P(A of B of C) P(A) + P(B) + P(C) P(A e B) P(A e C) P(B e C) + P(A e B e C) 4. Somregel voor uitsluitede gebeurteisse Als A e B uitsluitede gebeurteisse zij (A B ), da is P(A of B) P(A) + P(B) 5. Coditioele kase P(A B) P(A B) / P (A) Voorbeeld: bij A: P(worp met dobbelstee meer da 3 oge) B: P(worp met dobbelstee oeve) P(A B) De kas op ee worp va meer da 3 oge, als de worp oeve is P(A B) P(5) P(1 3 5) P(5) 1/6 1/ 1/3 6. Algemee productregel Voor het vermeigvuldige va kase moet eerst worde bepaald of de twee kase (bijv. A e B) statisch afhakelijk zij. A e B zij statistisch oafhakelijk als de kas dat A optreedt P(A) gee ivloed heeft op de kas dat B optreedt P(B). A e B zij statistisch oafhakelijk als P(A)P(A B). A e B zij statistisch oafhakelijk: productregel: P(A B) P(A) P(B) A e B zij statistisch afhakelijk: productregel: P(A B) P(A) P(A B) 7. Regel va Bayes De regel va Bayes passe we toe als er coditioele kase beked zij. De kas op gebeurteis P(A) beïvloedt de kas op P(B). De kas op A é B wordt da P(A B) P(A) P(B A) de kas va A e B de kas op A de kas dat B voorkomt, oder de coditie A Dit is makkelijk te aalysere met ee kasboom. De eerste twee takke va de kasboom zij P(A) e P(A ). Bij P(A) zij er twee mogelijkhede: P(B A) e P(B A). Zo zij bij P(A ) twee mogelijkhede: P(B A ) e P(B A ) Alle kase bij elkaar opgeteld 1. Voorbeeld Reee gooit met ee zuivere mut e daara met ee zuivere dobbelstee. Hij ka ee sleutelhager wie als hij kop gooit, e i ieder geval 3 oge met de dobbelstee. Als hij mut gooit, da ka hij wie door 6 oge met de dobbelstee te gooie. Wat is de kas dat Reee de sleutelhager wit? Bepaal: A P(kop) 1/,5 B P( aatal oge met de dobbelstee) 9

10 Er zij codities voor Reee om de sleutelhager te wie: hij gooit kop P(B A) P(x ) /3 hij gooit mut P(B A ) P(x 6) 1/6 Alle mogelijke uitkomste i de kasboom zij: P(A B) P(kop, drie oge of meer) P(A) P(B A) P(kop) P( ) 1/ /3 1/3 (Reee wit) P(A B') P(kop, mider da 3 oge) P(A) + P(B A) P(kop) P(1 ) 1/ 1/3 1/6 (Reee wit iet) P(A' B) P(mut, 6 oge) P(A ) P(B A ) P(mut) P(6) 1/ 1/6 1/1 (Reee wit) P(A' B') P(mut, iet 6 oge) P(A ) P(B A ) P(mut) P( ) 1/ 5/6 5/1 (Reee wit iet) De totale kas dat Reee de sleutelhager wit is de totale kas op succes va B P(B)P(A B) + P(A B) 1/3 + 1/1 5/1 De totale kas dat Reee iet wit: P(B') P(A B') + P(A' B') 1/6 + 5/1 7/1 Je ka daaraast cotrolere of je de kase goed hebt uitgereked door de totale kas op het succes va A P(kop) te berekee A P(A)P(A B) + P(A B ) 1/3 + 1/6 3/6 1/ (e je hebt 1/ kas op kop) 5. Verdelige I ee experimet ka de kasverdelig al beked zij. Door te wete met welke verdelig je te make hebt, zij de kase per uitkomst seller te berekee. Discrete vs. cotiue kasvariabele Bij ee discrete variabele heeft x heeft ee eidig aatal uitkomste (of aftelbaar oeidig), zoals ee dobbelstee (6 uitkomste) of mut ( uitkomste). Ee cotiue verdelig heeft ee oeidig aatal uitkomste, zoals bij de berekig va de gemiddelde leeftijd va ee groep. Hierbij wordt gebruik gemaakt va o.a. de stadaard-ormale verdelig e de T- verdelig. Discrete kasverdelige Theorema va Chebyshev Het theorema va Chebyshev laat de betekeis va stadaarddeviatie (σ) zie als spreidigsmaatstaf. De verdelig is symmetrisch. De formule P( µ > kσ) < 1/k² (k>1) De strepe i - µ betekee: het absolute (positieve) verschil tusse - µ Voorbeeld 1 : Bij ee populatie is beked µ 1 e σ. Wat is de kas dat ee willekeurig idividu hogere score heeft da 14 of lager da 6? Eerst i µ bepale Ivulle µ > 14 1 e µ > 6 1 dus P( µ > 4) da moet we kσ gelijk stelle aa 4: kσ 4, σ k 1

11 ivulle va k geeft P( 14 1 > σ) < 1/(²) ¼. De kas is dus kleier da ¼. Voorbeeld : Bij ee populatie is beked µ 1 e σ. Wat is de kas dat ee willekeurig idividu hogere score heeft da 14? Omdat u allee ee rechter-overschrijdigskas wordt gevraagd (>14), is de kas ½ va de tweezijdige kas (<6 e >14) (zie voorbeeld 1). k blijft hetzelfde. ½ P( 14 1 > σ) < ½ 1/(²) 1/8. De kas is dus kleier da 1/8. Uiforme verdelig: de uitkomste zij gelijkmatig (uiform) verdeeld. Bijvoorbeeld bij ee mut, er is ee eve grote kas om kop of mut te gooie. E bij ee dobbelstee is er ee eve grote kas om 1,,3,4,5 of 6 te gooie. P( xi ) 1 k ( i 1,,..., k) aatal mogelijke uitkomste k de eerste uitkomst x 1 a de totaal mogelijke uitkomste x k b De kase zij voor de verschillede uitkomste gelijk, e te berekee met de volgede formule: 1 P( xi ) ( i 1,,..., k) b a + 1 Gemiddelde verwachte waarde: Variatie: ( b a + ) 1 σ 1 1 µ a + b Voorbeeld 1: uitkomst va ee dobbelstee x 1 a 1 b 6 De kas per uitkomst is gelijk voor elk aatal oge: P( x k) voor x 1,,3...,6 1/ (6 1 +1) 1/6 De verwachte waarde is de gemiddelde uitkomst als je de dobbelstee herhaaldelijk gooit: µ x (1+6) 3.5 σx² ( ( )² 1) Voorbeeld : Bij ee (zuivere) mut geldt bijvoorbeeld ( mut ) 1, ( kop ) bij 4 keer gooie is (hoogstes keer mut) heeft de uitkomste (x), 1 e. P( ) 1 P( 3) P( 4) 1 P(MMMK) P(MMKM) P(MKMM) P(KMMM) P(MMMM) 1 4,5 4,5 4,6875 De Biomiale Verdelig (oafhakelijke kase) Als de experimete oafhakelijk va elkaar worde uitgevoerd, is er, aders da bij coditioele kase (zie Bayes), ee margiale kasverdelig. Er is: - kas op Succes: p (tusse e 1) costat over experimete hee; - kas op Mislukkig: (1 - p) 11

12 - het experimet wordt maal uitgevoerd ~bi(,p) Verwachte (gemiddelde) waarde: E() p Variatie: p(1-p) Voor de ormale verdelig geldt dus: ~ (µ p, σ p(1-p)) Voorbeeld: Er wordt met 3 keer met ee dobbelstee gegooid. Wat is de kas dat Ja éé keer 5 oge of meer oge gooit? De kase zij oafhakelijk va elkaar: als hij de eerste keer 5 of meer gooit, heeft dit gee ivloed op de tweede keer. De kas op succes p P(5 of meer oge) 1/3 De kas op mislukkig 1 1/3 /3 3 1, we wille wete of Ja éé keer 5 oge of meer oge gooit uitkomst bi(3, 1/3) eem voor P( 1 3, p 1/3),44444 * * Bij GR: STAT DIST BINM Bpd Biomial P.D [variable, x 1, Numerair 3, p,333333] Poisso verdelig Ee Poisso verdelig is va toepassig waeer er ee aatal oderlig oafhakelijke gebeurteisse plaatsvide bie ee (tijds)iterval. ~Poisso(λ) λ x e λ P( x) ( x,1,,...) x! Met de formule hierbove zij de kase te berekee of ze zij op te zoeke i tabel 1.. het aatal successe per iterval λ het gemiddeld aatal successe per iterval aarmate λ groter wordt, wordt de kasverdelig meer symmetrisch. λ variatie gemiddelde λ stadaard deviatie Voor de ormale verdelig geldt dus: ~ (µ λ, σ λ) Als biomiale verdelig Poisso wordt beaderd, da moet λ de waarde p krijge. Als 1 e Poisso zij verdeeld e oafhakelijk da geldt: Y 1 + ~ Poisso(λ 1 + λ ) Je ka allee de kase berekee die kleier (of gelijk aa) aa zij, dus i de vorm P( < x λ) kase berekee met ee Poisso-verdeelde kasvariabele: 1. bepaal λ het verwachte aatal successe i het te berekee iterval. 1

13 1b. idie (1) e () oafhakelijk zij verdeeld, herschrijf i P(λ 1 + λ ) λ. bepaal : Welke waarde (i dit iterval) wille we wete? Is het, < of >? b. idie P( x λ), herschrijf deze i 1 P( < x λ) of idie P( > x λ), herschrijf deze i 1 P( x λ) 3. Kijk i tabel 1. voor de bijbehorede kas Voorbeeld: Patrick, Gose e Eduard zitte op de cursus kleiduive schiete. Het aatal kleiduive dat per uur wordt geraakt is Poisso verdeeld, e is per persoo. De cursus duurt 1,5 uur. Bereke: a) De kas dat Eduard iets raakt, dus i aderhalf uur: 1. verwachte aatal successe per uur 3 per aderhalf uur λ 3. Eduard raakt iets:. 3. Zoek op i tabel 1.4: P( λ 3),498 b) De kas dat ze met z' drieë i ee half uur meer da 6 kleiduive rake: 1. verwachte aatal successe per uur per persoo 1 per half uur per persoo. 1b. De kase zij oafhakelijk dus P(λ 1 + λ + λ 3) P( ) 3 λ b. Je wil meer da wete: P( > 6 λ 18) 1 P( 6 λ 3) 3. Zoek op i tabel 1.4: 1 P( 6 λ 3) 1,54,9496 Cotiue Kasverdelige De stadaard-ormale verdelig De stadaard-ormale verdelig is ee cotiue kasverdelig. Cotiue kasverdelige kue, aders da ee discrete kasverdelig, iedere waarde aaeme. De waarde va x varieert rod ee gemiddelde Notatie: Z ~ (,1) met adere woorde: de stadaardormale verdelig heeft gemiddelde e stadaarddeviatie 1. Vorm De ormale verdelig is symmetrisch, dat wil zegge dat de verdelig va uitkomste die kleier e groter zij da het gemiddelde µ gelijkmatig zij verdeeld. Gevolg: de kase op rechter- overschrijdigskase (Z > ) zij gelijk aa de liker overschrijdigskase (Z < ). Daarom heb je uiteidelijk ee tabel 1.3 met ekel de rechtseezijdige overschrijdigskase. Voor de likseezijdige overschrijdigskase moet 13

14 je hierva de egatieve waarde eme. Likseezijdig e rechtseezijdig waarde bij Z~(,1) Bij likseezijdig toetse is de uitkomst lager da het gemiddelde µ (x i < µ). Bij rechtseezijdig toetse oderzoek je ee waarde die hoger da µ ligt (x i < µ). De rechtseezijdige (e likeezijdige) overschrijdigskas va Z µ, is p,5, omdat precies de helft va de uitkomst hoger e lager ligt. Hoe groter Z (bij rechtseezijdige overschrijdigskase), hoe kleier p is. Dat is i de tabel terug te vide dat liksbove,5 staat bij Z,. Als je iedere rij va liks aar rechts afloopt, zie je dat de p waarde steeds verder daalt, uiteidelijk aar,. Z-trasformatie Als is gegeve dat ee variabele stadaardormaal verdeeld is, da verhoude de kase zich als beschreve i de Z-tabel 1.3. De Z-waarde heeft ee gemiddelde va e stadaardafwijkig va 1, maar i veel tetameopgave wijkt dit af. Daarom moet dit aar ee z-waarde worde omgezet: Voor éé uitkomst () e stadaardafwijkig, moet eerst ee Z-waarde worde bereked voordat de kase kue worde opgezocht. Dit met de volgede formule: Z µ σ Bij meer da éé observatie, dus bij steekproefgrootte, wordt de Z-waarde bereked met het gemiddelde ( ), de stadaardafwijkig e observaties: µ Z σ ~ (,1) bij de stadaard-ormale verdelig, ka d.m.v. z-trasformatie het volgede worde bereked: kase, oftewel de p-waarde uitkomst x i, bij gegeve kas(e) stadaarddeviatie e gemiddelde, bij ee gegeve uitkomst/kase Voorbeeld 1: de legte va ee populatie is stadaard ormaal verdeeld. Wat is de kas dat mese kleier da 15 cm bij µ 16 e σ 8? P(Z < ((15 16) / 8) P(Z < -1,5) de likseezijdige overschijdigskas die bij Z < -1,5 hoort, is gelijk aa rechtseezijdige overschrijdigskas Z > 1,5 (vawege symmetrie) Zoek op bij Z 1,5 p,156 let op: P(Z > 1,5) zoek je op door horizotaal bij,5 te kijke, e bij 1, verticaal. Voorbeeld : wat is de kas dat mese groter zij da 15 cm e kleier da 168 cm bij µ 16 e σ 8? Deze kas is gelijk aa 1 (legte 15) (legte 168). 14

15 Bij de kas dat x < 15, hoort ee Z-waarde va 1,5, e ee kas va p,156 Bij de kas dat x > 168, hoort ee Z-waarde va (168 16)/8 1 P(Z > 1),1578 Uitkomst: 1,156,1578,7366 Uitkomst obeked: Voor welke x geldt P( < x) p? Je kut ook bij gegeve kase de Z-waarde opzoeke e da weer de bijbehorede waarde (x i) va de variabele die je oderzoekt uitrekee, mbv de formule x i µ + Z p σ (als x i kleier is da µ) x i µ Z p σ (als x i groter is da µ) e bij steekproefgrootte x i µ ± Z p (σ ) voorbeeld: welke legte heeft ee kas (p) kleier da,35 bij µ 16 e σ 8? Maak ee plaatje. Ligt,35 hoger of lager da,5? Lager, dus aa de liker kat va µ, dus Z <. Welke kas hoort bij p,35? Zie de tabel: zoek de p-waarde,35 op. Daar hoort Z,35,385 (opzoeke i tabel 1.1) x i µ Z p σ x 16 (,385 8) 156,9 stadaardafwijkig σ e gemiddelde µ obeked Als de stadaardafwijkig e het gemiddelde obeked zij, moet je eerst de Z-waarde uitrekee va gegeve kase e uitkomste. Om σ te berekee, stel je ee vergelijkig op (met dezelfde formule als uitkomst obeked): x 1 µ +/ Z 1 σ x µ +/ Z σ. Daara vul je σ i éé va de formules i om µ uit te rekee. voorbeeld: Koos weet dat 15,87% va de peuters lager zij da 8cm.,8% is lager da 87,5cm. Wat is de gemiddelde legte? Maak ee plaatje: P( > 8),1587 P(Z > (8 µ) / σ) P( > 87,5),8 P(Z > (87,5 µ) / σ) Welke waarde va Z hoort bij p,1587? Z ,. Welke waarde va Z hoort bij p,8? Z.8, vul deze waarde va Z e de uitkomste i de formule i: 8 µ 1σ e 87,5 µ σ De vergelijkig oplosse voor de stadaardafwijkig: 87,5 8 σ 7,5 Daarop éé va de twee vergelijkige ivulle: 8 µ 7,5 µ 7,5cm twee belagrijke eigeschappe va Stadaard-ormale verdelig 15

16 optel-eigeschap: als twee ormaal verdeelde variabele ~ (µ,σ) e Y~(µ,σ) oafhakelijk zij verdeeld, kue de µ s e σ s worde opgeteld. µ σ T T + Y ~ (µ µ + µ, σ σ²+σ²) Y ~ (µ µ µ, σ σ²+σ²) lieaire trasformatie: als ee ormaal verdeelde variabele ~ (µ,σ) getrasformeerd wordt door Y a + b, da geldt r Y ~ (µ aµ + b, σ a σ) Chi-square verdelig (asymmetrisch, allee maar positieve waarde) De Chi-square verdelig is i feite ee (getrasformeerde) gekwadrateerde stadaardormale verdelig Z ~ (,1). Waarbij Y Z² Y ~ χ² (1) (bij 1 variabele) Het aatal vrijheidsgrade wordt bepaald door het aatal oafhakelijke variabele. χ² (r) r aatal oafhakelijke variabele Verwachte gemiddelde µ r Stadaarddeviatie σ r De t-verdelig (symmetrisch, s is obeked) Deze verdelig heeft ee aatal vrijheidsgrade (degrees of freedom) e wordt gebruikt om gemiddelde va steekproeve te oderzoeke i plaats va populatie (σ is obeked). Verwachte gemiddelde: De variatie: (zoals bij stadaard ormale verdelig) ( r ) met het aatal vrijheidsgrade(r) Hoe meer vrijheidsgrade, hoe dichter de t-verdelig dus tege ee Z-verdelig komt te ligge. Gevolg: de t-waarde i de t-tabel bij aatal vrijheidsgrade zij gelijk aa z- waarde. 6. Put-schatte We spreke over put-schatte waeer va éé uitkomst (met steekproefgrootte ) wille wete wat de kas is dat dit voorkomt. Vaak zij er al gegeves beked uit de populatie. Schatte va populatie parameters wordt gedaa aa de had va steekproefgegeves. Gemiddelde m met de putschattig va het steekproefgemiddelde x geschat populatievariatie s² met de putschattig va de variatie S² Populatieproportie p met de putschattig va steekproefproportie p s 16

17 Toetsgrootheid e verdelig kieze Voor toetse, moet eerste worde bepaald met welke toetsgrootheid we te make hebbe. Voor het putschatte moet de volgede formules worde gehateerd: Bij ormale-verdelig of σ beked gebruike we de Z-toets. µ Z σ Bij ee steekproef e σ is obeked gebruike we ee T-toets. T µ S Bij populatie-proportie gebruike we altijd de Z-toets Z p p p s ( 1 p ) Bij variatie gebruike we de χ² V ( 1) σ S Kase opzoeke bij de verschillede toetsgroothede De uitkomst va toets ka worde opgezocht i de tabelle achteri. De z-tabel zet de z-waarde af tegeover p-waarde, dus daarva zij specifieke kase uit te rekee (met z-trasformatie, zie 'ormale verdelig'). De t-tabel e χ² -tabel bestaa uit kritieke waarde met veel voorkomede kase p,5 ;,5 ;,1;,95;,975 etcetera. Dit wordt vooramelijk gebruikt om hypothese te toetse, dat zal verderop aa bod kome. Het putschatte is i feite stap 7 va stappeschema, omdat da voor ee idividuele steekproef ee Z, T of χ²-waarde wordt uitgereked. Cetrale Limiet stellig (CLS) Als x iet ormaal verdeeld is maar willekeurig verdeeld (aselect, met terugleggig), da is het steekproefgemiddelde bij beaderig ormaal verdeeld als de steekproef groot geoeg is. De vuistregel is dat 3. Bij percetages geldt dat steekproefgrootte () maal de kas op succes groter of gelijk is aa 5: p Betrouwbaarheidsitervalle schatte Putschattig variëre per steekproef. Daardoor geve gee iformatie over de mogelijke afwijkige. Het is het ook mogelijk om ee iterval te schatte. Met ee gegeve kas (bijvoorbeeld 95%) geeft dit iterval weer welke waarde dit omsluit. Algemee berekeig va ee betrouwbaarheidsiterval De greze va ee betrouwbaarheidsiterval zij te berekee door. Let op: geldt iet voor toetse va variaties (χ²). Liker greswaarde: G L : gemiddelde waarde (µ,p) Margi of Error Rechter greswaarde: G R : gemiddelde waarde (µ,p) + Margi of Error 17

18 de margi of error is de helft va ee betrouwbaarheidsiterval. Het is dus de afstad va µ,σ²,p tot aa de liker of rechter gres: Gemiddelde waarde (µ,σ²,p) +/- (toetsgrootheid bij α/ stadaardfout) De margi of Error wordt bepaald door de toetsgrootheid (Z,T,χ²) bij α/ stadaardfout Let op dat bij T e χ²-verdelige rekeig moet worde gehoude met het aatal vrijheidsgrade. α (sigificatie iveau) is de kas dat ee waarde buite het betrouwbaarheidsiterval valt. Betrouwbaarheidsitervalle zij altijd tweezijdig. Aa beide kate i de verdelig ligt da dus α/. Bij ee 95% BI geldt α/,5 e bij 99% BI geldt α/,5. Stadaardfout de stadaardfout ( stadaardafwijkig!) is het gedeelte waardoor gedeeld moet worde i de formule. B.I. voor gemiddelde met s beked (let op: CLS: 3; variabele is ormaal verdeeld) gemiddelde met σ beked, gebruik de Z-toets De stadaardfout: σ/ Margi of Error: Z α/ σ/ µ Z σ ~ (,1) µ De twee greze worde dus bepaald door G R: µ + Margi of Error µ + Z α/ σ/ G L : µ Margi of Error µ Z α/ σ/ Het betrouwbaarheidsiterval is dus Het 95(,44) % betrouwbaarheidsiterval wordt geoteerd als: P ( µ σ µ + σ ), 9544 Voorbeeld: Wat is het 9% betrouwbaarheidsiterval va ee ormaal verdeelde populatie met µ 75, σ,5 e N 4? Normaal verdeeld, dus Z toets. α (1,9)/,5 Z α/ Z.5 1,96 x ± z Formule: µ +/- Z α/ σ/ G L 75-1,96 (,5 / 4) x G R 75-1,96 (,5 / 4) α σ 18

19 dus P(747,55 x 75,45),9 B.I. voor Populatiegemiddelde met s obeked (variabele is ormaal verdeeld) gebruik de T-toets De stadaardfout: S x Margi of Error: t -1,α/ S x µ T ~ t 1 S ( ) µ De twee greze worde dus bepaald door G R: x + Margi of Error µ + t α/ S x G L : x Margi of Error µ t α/ S x Het betrouwbaarheidsiterval is dus x ± t Voorbeeld: Ee steekproef oder 45 tapdasers heeft ee gemiddelde va 45,78, e ee stadaarddeviatie va 4,8. Ligt 44 i het 95% betrouwbaarheidsiterval? gemiddelde met σ obeked α (1,9544)/,5 t α/,45 t.5,45,141 1, α Formule: µ +/- t α/,45 σ/ G L 45,78,141 (4,8 / 45) x G R 45,78,141 (4,8 / 45) dus P(44,34 x 47,),95 44 ligt dus iet i het 95% betrouwbaarheidsiterval. s 19

20 B.I. voor Populatieproportie De steekproefproportie wordt gedefiieerd het gedeelte dat i ee categorie valt p s / ps p gebruik de Z-toets Z ~ (,1) p 1 p de stadaardfout: p(1-p)/ Margi of Error: Z α/ p(1-p)/ ( ) µ De greze worde dus bepaald door G R: x + Margi of Error p s + Z α/ p(1-p)/ G L : p s Margi of Error p s Z α/ p(1-p)/ ps ( 1 ps ) Het betrouwbaarheidsiterval is dus ps ± zα Voorbeeld: de proportie cafés die aa het rookverbod voldoe bedraagt,4. Het totale 86,64% betrouwbaarheidsiterval voor p heeft ee totale breedte va,3. Wat is de steekproef omvag? α (1,8664)/,668 Z.668 1,5 De margi of error is de helft va ee betrouwbaarheidsiterval, heeft breedte,3/,15 De margi of error: Z α/ p(1-p)/ 1,5 (,4,6 /),15 (,4 /),1 4.

21 B.I. voor populatievariatie (iet symmetrisch) populatie is ormaal verdeeld Gebruik de χ²-toets De stadaardfout σ² S V σ ( 1) ~ χ ( 1) Omdat de χ² verdelig, i vergelijkig met de Z e T toets, iet symmetrisch is, worde de liker e rechtergres va dit iterval als volgt bereked: ( ) ( ) 1 s 1 s, χ 1, α χ 1,1 α Voorbeeld: om de variatie va ee ormaal verdeelde populatie te schatte wordt ee stadaarddeviatie va 6 gevode met N15. Bepaal het 99% BI va de variatie. α,5 S² 36 G L (15 1) 36 / χ² 14,,5 54/ 31,319 16,9 G R (15 1) 36 / χ² 14,,995 54/ 4,75 13, Hypothese toetse Vaak is het oderzoeke va ee grote populatie omogelijk of oweselijk. Daarom wordt ee gedeelte va de populatie oderzocht met ee (a-selecte) steekproef uit deze populatie. Met behulp va statistiek kue we da met behulp va de uitkomste uit ee steekproef, uitsprake over ee populatie doe (iferetiele statistiek). Hadhaaf of verwerp H? Bij oderzoek worde eerst twee va elkaar uitsluitede stellige opgesteld. De eerste, de ulhypothese (H ), ofwel werkhypothese, is de opvattig dit getoetst wordt. I deze hypothese staat altijd ee teke, dus of of. Deze opvattig wordt getoetst met de alteratieve hypothese (H 1 ), ofwel oderzoekshypothese. Dit is de hypothese waar bewijs voor moet worde gevode. Als H 1 waar blijkt te zij, da kue we de ulhypothese verwerpe (falsificatie). Fout eerste e tweede soort I de statistiek kue we ooit met 1% zekerheid bepale of H waar is. Dat komt omdat we te make hebbe met steekproefvariatie, waardoor de steekproef iet altijd hetzelfde 1

22 resultaat zal geve e soms verworpe of gehadhaafd wordt terwijl dit iet had moete gebeure. Deze kase kue we ook berekee (mits we voldoede iformatie over de steekproef hebbe). We gebruike het sigificatieiveau α als maat om te zegge: als de kas dat H waar is kleier is da het sigificatie iveau α, da verwerpe we H. Da bestaat er og altijd de kas α dat H toch waar blijkt te zij. Dat is de fout va de eerste soort. Er is ook ee kas dat we H hadhave, terwijl dit iet had hoeve gebeure. Dit is de kas op de fout va de tweede soort. Hiervoor moet je ee specifieke waarde hebbe, op basis waarva H ojuist is. H : H oterecht hadhave fout de soort β P(H hadhave H 1 waar) H 1: H oterecht verwerpe fout 1 ste soort α P(H verwerpe H waar) De macht va de toets: terecht verwerpe H : 1 β Berekee fout tweede soort Bepaal de origiele ulhypothese H e de alteratieve hypothese H 1 waaroder H verworpe zou worde. Bepaal va de ulhypothese de α. Is het ee tweezijdige toets, eem da α/. bepaal G L of de G R va het acceptatie-gebied Bepaal va deze greswaarde de kas dat het oder de alteratieve hypothese H waar is P(H is waar H 1) P(Z > of < G L of R µ 1 / σ/ ) Gebruik hierbij de Z-tabel om de p-waarde op te zoeke. Voorbeeld: va ee populatie wordt H : µ 6 getoetst met α,5. De σ 5. De grootte va de steekproef bedraagt 3. Bereke de kas op de fout va de tweede soort bij µ 56. Het is ee tweezijdige toets. Omdat bij H : µ 6, de alteratieve hypothese H 1 : µ < 6, moet de liker greswaarde bepaald worde oder H : µ 6. G L : µ Z α/ σ/ G L : 6 - Z,5 5 / 3 6-1,96 5 / 3 58,11. Wat beteket deze greswaarde? Als je ee steekproefgemiddelde vidt lager da 58,11, da wordt H verworpe. Als je ee steekproefgemiddelde vidt, hoger da 58,11, da blijft H gehadhaafd. Wat is de kas dat H gehadhaafd blijft, terwijl het echte gemiddelde µ 56? Dat is de rechtseezijdig overschrijdigskas va 58,11 oder H1 : µ 56: P( > 58,11 H 1 : µ 56) Dit gaat door middel va put-schatte: Vul i: P(Z > 58,11-56 / (5/ 3)) P(Z >,4) zoek op,78 β. a bij likseezijdig e rechtseezijdig toetse Bij likseezijdig toetse (vaak <, ) of rechtseezijdig (vaak >, ) toetse wordt de kritieke waarde opgezocht met α. Bij tweezijdig toetse (vaak, ) moet je de α dele door.

23 7-stappeschema Wat moet je per stap doe? Gebruik dit als hulpmiddel bij de 7-stappeschema s per toets gegeve. Stap 1: Nul- (H ) e alteratieve hypothese (H 1) opstelle Wat is de maat die we gaa oderzoeke? Gemiddelde, proportie, variatie. Wordt er ee specifieke waarde gegeve om te toetse? Bepaal,, voor H e <,>, voor H 1. Stap. Toetsgrootheid kieze Bij iedere maatstaf (µ met σ beked, µ met σ obeked, σ², p) hoort ee toets met de juiste verdelig, Z-toets, T-toets of chi-square. Dit is de toets die we gebruike bij het putschatte. Stap 3. Bepaal de verdelig va de toets ~. Dit is afhakelijk va de toets die gekoze is bij stap. Bij sommige toetse moet het aatal vrijheidsgrade worde bepaald. Stap 4. Bepaal het ituïtief verwerpiggebied Kijk aar H 1. Vertaal H 1 aar de waarde voor de steekproef. Word bij H1 ee specifieke waarde getoetst? Verwacht je ee grotere (is de toets rechtszijdig >>) of kleiere waarde (de toets is likszijdig <<) om H te verwerpe? Verwacht je ee grotere e kleiere waarde, da is het tweezijdig << >>) Kijk da bij stap welke toets je moet gebruike e 'vertaal' dit aar ee verwachte waarde voor Z,T, of Chi-square. Bij de Z-toets e T-toets toets groter e/of kleier da. Chi-square is altijd groter da (Y>>) Stap 5: Sigificatie iveau a? Als het sigificatie iveau iet gegeve is i de tekst e bereked moet worde, zoek da bij de geobserveerde Z-waarde va bij stap 7 de p-waarde op. Stap 6: Opzoeke kritieke waarde. Hierbij moet je eve de stappe tot 5 doorlope:. Welke toets is gekoze bij stap? 3. Bepaal idie va toepassig het aatal vrijheidsgrade 4. Liks- e/of rechtszijdige toets? De T e Z verdelige hebbe als gemiddelde, dus moet de likszijdige gres egatief gemaakt worde. 5. α? Let erop dat je bij ee tweezijdige toets de α deelt door. Stap 7: Vergelijk het steekproefresultaat met de kritieke waarde vul de toets bij stap i met de beschikbare gegeves e bereke de toetswaarde. Dit is de geobserveerde waarde va het steekproefresultaat. Dit gaat volges het putschatte eerder beschreve. Vergelijk de waarde met de kritieke waarde. Bij stap 4 ka je zie of je ee lagere e/of hogere waarde zoekt (liks e/of rechtzijdig toetst). Maak je coclusie tot H hadhave of verwerpe. 3

24 Stappeschema s per toets Gemiddelde met s beked 1: Nul- e alteratieve hypothese opstelle H : µ,, µ x H 1 : µ, <, > µ x µ x de waarde die getoetst wordt. Toetsgrootheid kieze µ Z Als iet gegeve is, da 1 3. De verdelig va de toets Z ~ (,1) 4. Het ituïtief verwerpiggebied << µ x, Z << e/of >> µ x, Z >> 5: Sigificatie iveau α... 6: Opzoeke kritieke waarde -z α... of +z α... of ±z α/... 7: Vergelijk het steekproefresultaat µ Z Zwaargeome... σ vergelijk met de kritieke waarde bij stap 6. Cocludeer: H hadhave of verwerpe? voorbeeld: berekee va het sigificatieiveau met het stappeschema. Va ee ormale verdelig is beked σ 5 e N 4. De toets H : µ 45 e H 1 : µ 45 wordt uitgevoerd. Idie 51 et og blijft gehadhaafd, wat is da het sigificatie-iveau? 1: Nul- e alteratieve hypothese opstelle H : µ 45 H 1 : µ 45 σ. Toetsgrootheid kieze Z σ µ 3. De verdelig va de toets Z ~ (,1) 4. Het ituïtief verwerpiggebied << 45, Z << e/of >> µ x, Z >> 45 5: Sigificatie iveau α? 6: Opzoeke kritieke waarde ±z α/? (tweezijdige toets) 7: Vergelijk het steekproefresultaat µ Z Z waargeome Z waargeome / (5/ 4) σ,4 dus ±z α/,4 welke p-waarde hoort bij z,4?,73 α α,

25 Gemiddelde met s obeked 1: Nul- e alteratieve hypothese opstelle H : µ,, µ x H 1 : µ, <, > µ x µ x de waarde die getoetst wordt. Toetsgrootheid kieze µ T S 3. De verdelig va de toets T ~ t(-1) -1 vrijheidsgrade 4. Het ituïtief verwerpiggebied << µ x, T << e/of >> µ x, T >> 5: Sigificatie iveau α... 6: Opzoeke kritieke waarde -t 1,α... of +t 1,α... of ±t 1,α/... 7: Vergelijk het steekproefresultaat T waargeome µ T... S vergelijk met de kritieke waarde bij stap 6. Cocludeer: H hadhave of verwerpe? Voorbeeld: Me is geïteresseerd i het aatal toeschouwers bij voetbalclub Swiffer. Uit de laatste 1 wedstrijde kwam ee gemiddelde va 615 bezoekers e ee stadaarddeviatie va 18,4. Toets of het gemiddelde gelijk is aa 6 bezoekers met ee sigificatieiveau va 5%. 1: Nul- e alteratieve hypothese opstelle H : µ 6 H 1 : µ 6. Toetsgrootheid kieze µ T S 3. De verdelig va de toets T ~ t(-1) t(1-1) t(9) 4. Het ituïtief verwerpiggebied << 6, T << >> 6, T >> 5: Sigificatie iveau α,5 6: Opzoeke kritieke waarde -t 9,.5 -,6, +t 9,.5,6 (tweezijdig) 7: Vergelijk het steekproefresultaat T waargeome µ T S (18,4 9) 4,151 >,6, Verwerp H, het gemiddeld aatal bezoekers is iet gelijk aa 6 met α,5. 5

26 Proportie 1: Nul- e alteratieve hypothese opstelle H : p,, p s H 1 : p, <, > p s met p s /. Toetsgrootheid kieze Z p p p s ( 1 p ) 3. De verdelig va de toets Z ~ (,1) 4. Het ituïtief verwerpiggebied p s << p, Z << e/of p s >> p, Z >> 5: Sigificatie iveau α... 6: Opzoeke kritieke waarde -z α... of +z α... of ±z α/... 7: Vergelijk het steekproefresultaat Z waargeome Z ps p p ( 1 p )... vergelijk met de kritieke waarde bij stap 6. Cocludeer: H hadhave of verwerpe? voorbeeld: Uit ee steekproef oder 1 studete is proportie studete met auto,3. Neem aa dat de trekkigsverdelig va de steekproefproportie ormaal verdeeld is. Er wordt og ee steekproef va 1 studete getrokke oder dezelfde populatie studete. Als wordt getoetst of meer da 38 mese ee auto hebbe met α,1, wordt H da verworpe of gehadhaafd? p 38/1,38 uit de steekproef is beked ps,3 1: Nul- e alteratieve hypothese opstelle H : p,38 H 1 : p >,38. Toetsgrootheid kieze Z p p p s ( 1 p ) 3. De verdelig va de toets Z ~ (,1) 4. Het ituïtief verwerpiggebied p s <<,35, Z << 5: Sigificatie iveau α,1 6: Opzoeke kritieke waarde -z,1 -,35 7: Vergelijk het steekproefresultaat Z waargeome Z ps p p ( 1 p ) (,3 -,38) ( ((,38,6) 1)) -1,648 hadhaaf H op α,1 6

27 Variatie 1: Nul- e alteratieve hypothese opstelle H : σ²,, S² x H 1 : σ², <, > S² x. Toetsgrootheid kieze 3. De verdelig va de toets V ~ χ² (-1) 4. Het ituïtief verwerpiggebied rechtseezijdig S² x >> G, v >> g likseezijdig S² x<< G, v << g 5: Sigificatie iveau α... 6: Opzoeke kritieke waarde bereke de greswaarde va stap 4: rechtseezijdig: g χ² -1,α likseezijdig: g χ² -1,1 α 7: Vergelijk het steekproefresultaat ( 1)( s ( ) ) waargeome v waargeome σ vergelijk met de kritieke waarde bij stap 6. Cocludeer: H hadhave of verwerpe? voorbeeld: De variatie va ee ormaal verdeelde populatie is mistes gelijk aa 1. Om te toetse of de variatie kleier is da 1, worde 5 elemete uit de populatie getrokke. De steekproefvariatie uit deze steekproef is gelijk aa 8,87. Hateer ee sigificatieiveau va 5%. 1: Nul- e alteratieve hypothese opstelle H : σ² 1 H 1 : σ² < 1. Toetsgrootheid kieze ( 1) S 3. De verdelig va de toets V ~ χ² (-1) χ² (5-1) χ² (4) 4. Het ituïtief verwerpiggebied likseezijdig S² x<< G, v << g 5: Sigificatie iveau α,5 6: Opzoeke kritieke waarde g 4 likseezijdig: V V σ ( 1) σ S 7: Vergelijk het steekproefresultaat g χ² -1,1-α χ² 4,.95 13,848 ( )( ) 1 s ( ) waargeome v waargeome σ ((5-1) 8,87) / 1 1,88 > 13,848 stap 4: idie v << g, verwerp H maar v > g, dus hadhaaf H : de variatie is mistes 1 met α,5. 7

28 9. Bayesiaase Beslissigstheorie Om ecoomische beslissige te make waar ee kasverdelig beked is, wordt ee beste alterief vastgesteld. Dit wordt gedaa door het expected moetary value (EMV) te berekee. Het beste alteratief is vaak die met de hoogste verwachte waarde va de ettowist. Het berekee va de EMV 1. Bepaal eerst welke alteratieve er zij.. Welke gebeurteisse bij 1. zij aa welke kase verbode? 3. Maak ee pay-off tabel voor iedere gebeurteis bij de keuzemogelijkhede kope 4. De berekeig va de expected moetary value (EMV) Berekeig va de verwachte waarde va perfecte iformatie (EVPI) Als de EMV is bereked, ka ook de verwachte waarde va perfecte iformatie worde bereked met behulp va de volgede formule: EVPI E(wist bij zekerheid ) - EMV max Wist 'bij zekerheid' beteket dat je altijd kiest voor het alteratief met de hoogste EMV. voorbeeldvraag Shoarma Lam Bladage gaat voor 1 euro shoarma ikope. De kwaliteit va de shoarma verschilt oderlig. Lam Bladage verkoopt allee verse shoarma voor keer de ikoopsprijs e streeft aar maximale wist. Er is 8% kas dat hij ee goede partij ikoopt: va ee goede partij is de kas dat de shoarma vers is 9%. Er is % kas dat hij ee slechte partij ikoopt: va ee slechte partij is de kas dat de shoarma vers is 15%. 1. Bepaal eerst welke alteratieve er zij. Shoarma kope of iet kope.. Welke gebeurteisse zij aa welke kase verbode? de kas dat hij ee goede partij koopt P(E 1),8 de kas dat hij ee slechte partij koopt P(E ), 3. Maak ee pay-off tabel voor iedere gebeurteis bij de keuzemogelijkhede kope Bladage ka allee verse shoarma doorverkope. E 1: wat is de verwachte wist bij goede partij x,9-1 8 E : wat is de verwachte wist bij slechte partij x, iet kope E 1: wist bij goede partij E : wist bij slechte partij iet-kope wel-kope goede partij 8 slechte partij

29 4. De berekeig va de expected moetary value (EMV) Ga voor ieder alteratief a wat de wist is. EMV bij shoarma kope,8 x 8 +, x EMV bij iet ikope. 5. Berekeig va de verwachte waarde va perfecte iformatie (EVPI) Wat is de ettowist als Bladage va te vore ka wete of de partij slecht is? Da zou hij gee slechte partij ikope. De verwachte wist bij perfecte iformatie: E(wist 'bij zekerheid'),8 x 8 + x Om de waarde va perfecte iformatie te berekee, moet je het vergelijke met de EMV zoder iformatie. De verwachte wist zoder iformatie is 5. Met perfecte iformatie is deze 64. De verwachte waarde va perfecte iformatie is: E(wist 'bij zekerheid) - EMV EMV met extra steekproefiformatie Door ee steekproeftrekkig te doe, ka op basis hierva beslissige worde gemaakt om de wist te maximalisere. Deze gegeves vorme da coditioele kase. Deze kase worde aageduid met ee uitkomst va S i (de steekproef). Om de ivloed va de gebeurteisse E i (E 1,E,etc) te berekee, moete hierva de coditioele kase worde herbereked: P(E 1) P(E 1 S i) P(E ) P(E S i)...etc P(E i) P(E i S i) Om dit te berekee, moet eerst de ivloed va de steekproef worde bereked, m.b.v. de volgede formule: P(S i) P(E 1 S i) + P(E S i) P(E i S i) Daara moete deze kase worde igevuld i de formule: P ( ) ( E1 S1) P( E1 ) P( S1 E1 ) P E1 S1 P( S1 ) P( S1) voor alle mogelijke gebeurteisse E i. Same moet dit gelijk zij aa 1. voorbeeld extra steekproefiformatie: voorbeeldvraag Shoarma Extra iformatie: vooraf mag Bladage de shoarma proeve. Da ka hij de volgede dag met 7% zekerheid bepale of de shoarma vers is. Wat is da de EMV u? 1. welke alteratieve zij er? Shoarma kope of iet kope.. Welke gebeurteisse bij 1. zij aa welke kase verbode? De kase op verse shoarma bij ee goede e slechte partij veradere. P(E 1) (,8) P(E 1 vers) P(E ) (,) P(E vers) Bladage ka allee de shoarma verkope als het vers is. De ieuwe kase voor het aatreffe va vers of bedorve vlees: Uit de steekproef bij éé keer proeve: 9

30 P(S vers) P(E 1 vers) + P(E vers) P(E 1) x P(vers E 1) + P(E ) x P(vers E ),8 x,7 +, x,15,59 P(S bedorve) P(E 1 bedorve) + P(E bedorve) P(E 1) x P(bedorve E 1) + P(E ) x P(bedorve E ),8 x,3 +, x,85,41 (cotrole:,59 +,41 1) u de formule ivulle: P(E 1 S) P(E 1) x P(S E 1) P(E 1 vers) P(kas dat Ladage verse shoarma aatreft bij goede partij) P(E1) x P(vers E1) / P(vers),8 x,7 /,59,9491 P(E vers) P(kas dat Ladage verse shoarma aatreft bij slechte partij) P(E ) x P(vers E ) / P(vers), x,15 /,59,58 3. Maak ee pay-off tabel voor iedere gebeurteis bij de keuzemogelijkhede kope iet-kope wel-kope goede partij 8 slechte partij De berekeig va de expected moetary value (EMV) Door de ieuwe kase wordt de EMV:,9491 x 8 +,58 x -7 73,7. De verwachte waarde va de steekproefiformatie is: E(wist 'bij steekproef') - EMV 73,7-5 3,7. Deze uitkomst ka worde geïterpreteerd als de stijgig va de wist door de extra iformatie uit de steekproef. Doordat Bladage de shoarma ka proeve, ka hij de kwaliteit va de shoarma beter ischatte. 3

31 1. Oefevrage voor het tetame met uitwerkige maatstave/kegetalle berekee 1) Va de metro i Parijs is aa reizigers gevraagd hoe vaak me gemiddeld overstapt per dag. Daarva is het volgede beked: Aatal keer overstappe Aatal reizigers De gemiddelde reistijd per lij is 15 miute. 1a) Bereke de gemiddelde reistijd per reiziger 1b) Hoe vaak stapt ee gemiddelde reiziger over? 1c) Wat is de gemiddelde reistijd va reizigers die meer da keer overstappe? uitwerkig 1a) I miute: ( )/ 5,15 ( 5 mi e 7,5 sec.) 1b) (1/) 1 + (75/) + (15/) 3 + (1/) 4,5 +,75 +,5 +, 1,675 1c) ( )/5 175/5 51 ) Kees heeft va ee reeks getalle ee mediaa, variatiebreedte e variatiecoëfficiët bereked. De uitkomste zij: 5, 6 e,. Idie alle getalle worde gedeeld door e 1 wordt opgeteld, bereke de ieuwe: a) Mediaa b) Variatiebreedte c) Is het ieuwe variatiecoefficiet gelijk aa,1? uitwerkig a) de mediaa is va ee reeks getalle het middelste getal. Dit zal dus hetzelfde getal zij, maar da dus gedeeld door e 1 bij opgeteld: (5/) b) de variatiebreedte is het verschil tusse de grootste e kleiste waaremig. Beide getalle worde gedeeld door, daarom zal de variatiebreedte maal zo klei worde, dus 3. De variatiebreedte veradert iet door de optellig va 1. c) De variatiecoëfficiët is de stadaarddeviatie gedeeld door het gemiddelde. Als alle getalle door gedeeld worde, zal de stadaarddeviatie ook maal zo klei zij. Het gemiddelde zal iet allee maal zo klei zij, maar zal ook 1 hoger zij. Daarom zal het ieuwe variatiecoëfficiët dus iet maal zo klei zij (,1), maar kleier. 3) I de oderstaade frequetietabel is weergegeve hoe lag klate gemiddeld wachte voor de kassa va de Aldri, ee supermarktkete uit Noorwege. Miute Frequetie -< < 4 -< < <

32 Neem aa dat de wachttijde bie de klasse gelijkmatig verdeeld zij. 3a) Wat is de modale wachttijd? 3b) Wat is de variatiebreedte? 3c) Wat is de gemiddelde wachttijd? 3d) Teke het cumulatieve frequetiepolygoo. uitwerkige 3a) de modale wachttijd ligt i de klasse 1-< miute, is dus 1,5 miuut. 3b) de variatiebreedte is het verschil tusse de kleiste e grootste waaremig, dat is dus de bovegres va de hoogste klasse mi de odergres va de laagste klasse 1. 3c) De gemiddelde wachttijd is: (, , ,5 3)/11 1,89 3d) Rekee met kase 4) Gora gooit keer ee (zuivere) dobbelstee 4a) Wat is de kas dat de som va de oge precies 1 bedraagt? 4b) Wat is de kas dat de som va de oge mider da 1 bedraagt? 4c) Wat is de kas dat het aatal oge va de eerste worp gelijk is aa dat va de tweede worp? 4d) Wat is de kas dat het aatal oge va de eerste worp groter is da dat va de tweede worp? 4e) Wat is de verwachte som va het aatal oge? uitwerkig 4a) Er zij twee uitkomste: dobbelstee 1 (1) e dobbelstee (). De uitkomste zij oafhakelijk, m.a.w. de eerste worp heeft gee ivloed op de uitkomst va de tweede worp. Er zij drie uitkomste waarbij de som precies 1 bedraagt: P(1 + 1) P(1 4 e 6) + P(1 5 e 5) + P(1 6 e 4) 3

33 P(1 + 1) 1/6 1/6 + 1/6 1/6 + 1/6 1/6 P(1 + 1) 1/36 + 1/36 + 1/36 3/36 1/1 4b) Volges de complemetregel is de kas gelijk aa P(1 + < 1) 1 P(1 + 1) P(1 + 11) P(1 + 1) P(1 + < 1) 1 1/1 (zie a) P(1 5 e 6) P(1 6 e 5) P(1 6 e 6) 1 1/1 1/6 1/6 + 1/6 1/6 + 1/6 1/6 1 1/1 3/36 1 /1 5/6 4c) P(1 ) P(1 1 e 1) + P(1 e ) + + P(1 6 e 6) P(1 ) 1/36 + 1/36 +1/36 +1/36 +1/36 +1/36 6/36 1/6 4d) De eerste worp is groter da de tweede, kleier, of de worpe zij gelijk. Er zij dus i totaal 3 mogelijkhede die optelle tot 1: P(1>) + P(1<) + P(1) 1 Va c) is beked: P(1>) + P(1<) + 1/6 1 P(1>) + P(1<) 5/6 De kas dat de eerste worp groter is da de tweede is gelijk aa de kas dat de eerste worp kleier is da de tweede: P(1 > ) P(1 < ) P(1>) ½ 5/6 5/1. 4e) zie bij uiforme verdelig : de verwachte waarde is gelijk aa (a + b) /. Bij ee dobbelstee geldt a 1 e b 6. Eé dobbelstee heeft dus de verwachte waarde va 7/ 3,5. Bij twee dobbelstee geldt dus ee verwachte waarde va 3,5 7. Verdelige 5) De gemiddelde verkoop va 3 ijsjes heeft ee gemiddelde verkoopprijs va 1,5 e ee stadaarddeviatie va ee 5 cet. De prijze zij symmetrisch verdeeld. Bereke volges het theorema va Chebyshev 5a) De kas dat ee willekeurig ijsje duurder is da 1,5? 5b) Wat is de kas willekeurig ijsje duurder is da euro e goedkoper da 1 euro? 5c) Wat is de kas dat ee willekeurig ijsje goedkoper is da 75 eurocet? 5d) Is er ee ijsje duurder da,5 euro? uitwerkige 5a) Het theorema va Chebychev gebruikt ee symmetrische verdelig. Daarom zal de helft va de ijsjes duurder zij da de gemiddelde verkoopprijs (1,5) e de adere helft goedkoper: kleier da ½. 5b) Met de formule: ( - µ > kσ) < 1/k² Eerst - µ bepale - µ > 1,5 e - µ > 1 1,5 geeft - µ >,5 kσ stelle we gelijk aa,5 k(,5),5 k. De kas is dus < 1/k² is kleier da 1/² ¼. 5c) Kleier da 75 eurocet, dat is ee eezijdige kas, aders da bij b), waarbij staartkase worde gevraagd e tweezijdig is. Uiteidelijk is de kas dus de helft va de tweezijdige kas die wordt bereked met het theorema: Eerst - µ bepale - µ >,75 1,5 geeft P - µ >,75 kσ stelle we gelijk aa,75 k(,5),75 k 3. De kas is dus < 1/k² is kleier da 1/3² 1/9. Omdat het dus de helft va deze kas is, is het atwoord: de kas is kleier da 1/

34 5d) Ook u hebbe we weer met ee eezijdige kas te make, dus moete we de uitkomst va het theorema uiteidelijk dele door. Eerst - µ bepale - µ >,5 1,5 geeft P - µ > 1 kσ stelle we gelijk aa 1 k(,5),75 k 4. De kas is dus < 1/k² kleier da 1/4² 1/16. Uiteidelijk is dat dus de helft: kleier da 1/3. Is er ee ijsje duurder da,5? Er zij 3 ijsjes, < 1/3 deel daarva is duurder da,5 dat zij dus mider da 3 1/3 3/3,9375 ijsjes. Aagezie ijsjes allee maar hele getalle kue zij, zij er dus gee ijsjes i de partij va 3 ijsjes duurder da,5 volges dit theorema. 6) Has e Simo spele 9 keer mikado. Has heeft al vaak gespeeld e is ee stuk bedreveer i het spel da Simo. Neem aa dat de door Has te wie partije beschouwd ka worde als ee biomiaal verdeelde kasvariabele met ee verwachtig va 8,1. 6a) Is de kas dat Has 8 partije wit kleier da dat hij 9 partije wit? p.49 6b) Als Has de eerste 5 partije wit, wat is de kas dat hij alle 9 partije wit? 6c) Als a 4 partije voor de overige 5 partije de kas op wist voor Has daalt aar,7, wat is de kas dat hij daarva temiste 4 wit? uitwerkig 6a) Eerste moet p worde bepaald: de kas op succes. Dat is i het geval dat Has wit e de verwachtig daarva is 8,1. Dat is bereked met p, e 9 p 8,1/9,9. Voor de kas dat Has 8 partije wit geldt: ~ bi( 9, p,9) P( 8 bi( 9, p,9)),9 9 P( 9 bi( 9, p,9)),9 9 De kase dat hij 8 partije wit is dus iet groter da dat hij 9 partije wit. 6b) Bij de biomiale verdelig blijft de kas op succes, de kas dat Has ee partij wit, hetzelfde (,9). Als hij de eerste 6 partije gewoe heeft, e je wil de kas berekee dat hij alle 9 partije wit, is dat gelijk aa de kas dat hij 3 () va de 3() overige partije wit: P( 3 bi( 3, p,9)),79. 6c) Er start dus weer ee ieuw biomiaal proces met 4, p,7 e 5: P( 4 bi( 5, p,7)) P( 4 bi( 5, p,7)) + P( 5 bi( 5, p,7)),3615 +,1687,58. 7) Ee Belg, Nederlader e Luxemburger zij op zoek aar spelde i ee hooiberg. Neem aa dat het aatal gevode spelde Poisso verdeeld is met ee gemiddelde va 1 per 8 uur. Als iemad i 1 uur gee speld gevode heeft, krijgt hij als troost 1 euro. 7a) Wat is de kas dat de Belg i 1 uur gee speld vidt? 7b) Wat is de kas dat i 4 uur iemad og ee speld heeft gevode? 7c) Wat is de kas dat i 8 uur, 5 spelde worde gevode? 7d) Wat is het verwachte (totaal)bedrag dat de drie same verdiee? 34

35 uitwerkige 7a) Bepaal eerst heeft gemiddeld aatal successe per 1 uur (λ): 1,5 spelde. We wille de kas wete dat de Belg gee speld vidt: P( λ 1,5),31. 7b) Hoeveel spelde verwacht je dat de drie same i 4 uur vide? Per persoo is dat,5 spelde, dus met z drieë same P(λ1 + λ + λ3) P(λ 1,5). De kas dat iemad ee speld vidt: P( λ 1,5),31. 7c) Je verwacht i 8 uur dat er per persoo 1 speld wordt gevode, voor de drie same verwacht je dus dat λ 3 spelde worde gevode. De kas dat 5 spelde worde gevode: 5 P( 5 λ 3),18. 7d) Als ee persoo gee speld i 1 uur vidt, dat krijgt hij/zij 1 euro. De kas dat iemad gee speld vidt is (zie a),31. Het verwachte bedrag dat ee va de drie wit is dus 1,31,31 euro. Het totaalbedrag is dus 3,31 66,93 euro. 8) Tijdes de otkopig va het programma wie iet va de 3 wordt uiteidelijk uit de doeke gedaa over werkelijke idetiteit va 3 voetbalsupporters, persoo A, B e C. I deze afleverig moet ee kadidaat uitvide wie gee Feyeoord-fa is. Ee va de 3 persoe is ee fervet FC Groige-fa. Bij de kadidaat die met het spel meedoet schort het u juist aa iteresse voor de Nederladse (voetbal)cultuur e de kas dat hij de juiste supporter aawijst is aselect. Hij gokt op persoo A. Om het spel wat spaeder te make krijgt de kadidaat u twee maal de keuze. ls zij keuze gevalle op de Groige fa, zal aselect ee va de Feyeoord fas opstaa e weglope. Da wordt og ee keer gevraagd of hij zij keuze wil herzie. Als de kadidaat zij keuze heeft gemaakt op de Feyeoord fa, da zal de adere Feyeoord fa weglope e zal hem de keuze ook opieuw worde voorgelegd. 8a) Wat is de kas dat hij ee Feyeoord fa kiest? 8b) Wat is de kas dat persoo B wegloopt? 8c) Wat is kas dat de kadidaat de Groige supporter persoo C is, als is gegeve dat persoo B is weggelope. uitwerkig 8a) De kas dat de kadidaat goed kiest is aselect, de drie supporters hebbe eveveel kas om gekoze te worde 1/3. De kas dat hij ee Feyeoord fa kiest is dus /3. 8b) Bij deze vraag heb je te make met coditioele kase. De gebeurteis: persoo B loopt weg. De keuze is gevalle voor persoo A. Nu zij er drie mogelijkhede: Als persoo A de Groiger is (1/3), is de kas dat persoo B wegloopt ½. Is persoo B de Groiger (kas 1/3), da zal persoo B iet weglope (kas ). Is persoo C de Groiger (kas 1/3), da is de kas dat persoo B wegloopt 1. I symbole: P(persoo B loopt weg) P(persoo B loopt weg A is Groiger) + P(persoo B loopt weg B is Groiger) + P(persoo B loopt weg C is Groiger) 1/3 ½ + 1/3 + 1/3 1 1/. 8c) De kadidaat heeft voor persoo A gekoze. Zie de regel va Bayes: P(persoo B loopt weg C is Groiger) ( P(persoo B loopt weg e C is Groiger) P(persoo C is de Groiger) ) / P(persoo B is weggelope) (1 1/3) / ½ /3 9) Ee uiform verdeelde kasvariabele ka de waarde a, a+1, a++, b aaeme. Bepaal va de volgede stellige of ze juist of ojuist zij. 35

36 9a) De verwachtig va is gelijk aa (b a)/ 9b) De variatie va is gelijk aa (b a + 1)/1 9c) De kas dat P( > a + 1) is gelijk aa (b a 1)/(b a + 1) Uitwerkig: 9a)De verwachtig is (b+a)/ (zie uiforme verdelig). 9b) De variatie is gelijk aa [(b a + 1)² 1] 9c) Je gebruikt de complemetregel: de kas dat P( > a + 1) is gelijk aa de 1 de kas dat P( a + 1) 1 P( a) P( a + 1). Bij ee uiforme verdelig is de kas op iedere uitkomst gelijk (vlg. dobbelstee). De kas P( a) of P( a + 1) is 1/(b a + 1). Ivulle geeft: 1 (1/(b a + 1)) (1/(b a + 1)) 1 (/(b a + 1)) (b a 1)/(b a + 1) hulpje: als je iet i staat bet om deze algebraïsche vergelijkig op te losse, cotroleer de stellig met de rekemachie door voor b e a getalle toe te kee 1) I de wielerrode de Tour de Frace va 4 staa 9 bergetappes op het programma. De Herballife-ploeg oder leidig va Kimberly Leary heeft vawege goede voorbereidige ee kas va,4 om te wie voor elk va deze etappes, ogeacht de resultate va de adere etappes. 1a) Wat is het verwachte aatal te wie etappes e de stadaarddeviatie? 1b) Is de kas dat de Herballife-ploeg 4 etappes wit groter da dat de ploeg 3 etappes wit? 1c) Als de Herballife-ploeg va de eerste 5 bergetappes er 1 heeft gewoe, wat is da de kas dat de Herballife-ploeg temiste 4 va de 9 etappes wit? Uitwerkige De etappes worde oafhakelijk va elkaar gerede, we hebbe te make met ee Biomiale kasverdelig. 1a) De verwachte (gemiddelde) waarde is gelijk aa p 9,4 3,6 De stadaarddeviatie is gelijk aa: [p(1-p)] [3,6(,6)],16 1,469 1b) 3, p,4 e 9 geeft P( 3 bi(9,,4) ),58 4, p,4 e 9 geeft P( 4 bi(9,,4) ),58 De kas dat de ploeg 3 etappes wit is dus gelijk aa de kas dat het 4 etappes wit. 1c) Om deze vraag te beatwoorde, is het belagrijk om wete dat de kas op het wie va ee etappe gee ivloed heeft op de kas om ee adere etappe te wie. Als ze va de 5 bergetappes 1 heeft gewoe, moet de Herballife ploeg om er temiste 4 te wie, uit de overige 4 etappes er miimaal 3 wie: P( 3 bi(4,,4) ) P( 3 bi(4,,4) ) + P( 4 bi(4,,4) ),1536 +,56, a) Oscar, Fjodor, Jea-Paul e Thomas zitte op ee koude dag i ee après-ski bar te drike. Ze hebbe alle vier ee cosumptie besteld, ieder va he ee adere. Als de barjuffrouw de drakjes komt brege, is ze vergete wie wat heeft besteld. Zij zet aselect voor ieder de drakjes eer. 11a) Wat is de kas dat Jea-Paul de door hem bestelde cosumptie voor zich heeft? 11b) Wat is de kas dat Thomas zij bestelde drakje krijgt, gegeve dat Oscar het juiste drakje krijgt. 11c) Wat is de kas dat de barjuffrouw voor ieder het juiste drakje eerzet? uitwerkig 36

37 11a) Alle vier hebbe dezelfde kas om het juiste drakje te krijge. Er zij 4 drakjes, dus ¼. 11b) De kas dat Oscar zij drakje heeft gekrege is 1/4. Zij og 3 drakjes over. Eé daarva is voor Thomas, hij heeft dus de kas 1/3 om zij drakje da te krijge. De kas is dus uiteidelijk: ¼ 1/3 1/1. 11c) Voor het eerste drakje heeft zij ¼ kas om het goed eer te zette, de tweede 1/3, etc ¼ 1/3 ½ 1 1/4. 1) Ee machie die appelsap i flesse giet is afgesteld op 75 ml per fles. De ihoud va de flesse zij ormaal verdeeld met ee gemiddelde dat gelijk is aa het afgestelde gewicht e ee stadaarddeviatie va,5 ml. Ee fles stroomt over als er meer da 8 ml appelsap i wordt gegote. 1a) Wat is de kas dat ee fles meer da 78 ml appelsap bevat? 1b) Wat is de kas dat va 9 willekeurige flesse, flesse overstrome? 1c) Wat is de kas dat va 9 willekeurige flesse, mistes flesse overstrome? 1d) Wat is de kas dat va flesse meer da 155 ml bevat? uitwerkig De ormale verdelig moet hier worde gebruikt, waarbij ee z-waarde bereked moet worde om daara de kase op te zoeke i de tabel. 1a) P( > 78) P(Z > (78 75) /,5 ) P(Z > 3/,5) P(Z > 1,) zoek op p,1151 1b) De kas dat éé fles iet overstroomt is gelijk aa P( > 8) P(Z > (8 (75 /,5)) P(Z > ),8 Gebruik dit als p om de biomiale kas te berekee, met 9 e. P( bi(9;,8),159 1c) Ook dit moet als biomiaal verdeelde kasvariabele worde beschouwd met p,8 (zie vraag b). De kas dat mistes flesse overstrome is gelijk aa 1 P( ) P( 1) 1 P( bi(9;,8) ) P(1 bi(9;,8) ) 1,8155,176,1683 1d) Da moet het betekee dat ee fles (gemiddeld) meer da 155/ 76,5 ml bevat. Deze kas is gelijk aa P(Z > (76,5 75) /,5) P(Z > 1,5 /,5) P(Z >,5), ) Gedurede de eerste 1 werkdage va september heeft Jos de beroepsvisser de volgede aatalle vis gevage: 5, 45, 5, 3, 3, 43, 51, 6, 5, 41, 38, 46. Op basis hierva ka ee gemiddeld aatal gevage visse (μ x) worde opgesteld. Neem aa dat de aatalle gevage vis per dag ormaal verdeeld is met ee obekede stadaarddeviatie (σ x) e dat de aatalle gevage vis per dag oderlig oafhakelijk zij. 13a) Wat is de geschatte stadaardfout va het steekproefgemiddelde? 13b) Bepaal de liker- e rechtergres va het 95%-betrouwbaarheidsiterval voor het gemiddelde. 13c) Idie de stadaarddeviatie i de populatie (σ x) beked is, e gelijk is aa 1, wat zij da de greze va het 95,44%-betrouwbaarheidsiterval? 37

38 13a) De geschatte stadaardfout va het steekproefgemiddelde (s x/ ) gebruik je de gegeves va de steekproef om (σ x/ ) te schatte. Om s x te berekee, gebruik de volgede formule: s 1 1 ( xi x) i 1 Om het steekproefgemiddelde ( ) te berekee, tel alle getalle bij elkaar op e deel door 1: ( )/1 54/1 45. ivulle va s x geeft: s x [ (1/(1-1)) ( (5 45)² + (45 45)² + + (46 45)² ) ] 88. Ivulle i s x/ geeft 88/ 1,78 13b) Het steekproefgemiddelde is 45. Dat ligt dus i het midde va het betrouwbaarheidsiterval. Om de margi of error te berekee, moet gebruik worde gemaakt va juiste formule. Bij ee steekproef wordt iet met de ormale verdelig (de Z-toets met ~(,1)), maar met ee t-toets gewerkt met -1 vrijheidsgrade: ± t -1,α/ s x/ Ivulle: 45, 1 11, α/ (1,95)/,5/,5 (je deelt door omdat het betrouwbaarheidsiterval tweezijdig is. 45 ± t 11,.5 88/ 1 45 ±,1 88/ 1 45 ± 5,96 De greze va het 95%-betrouwbaarheidsiterval zij dus (39,4 ; 5,96). 13c) Nu is de σ x beked, de stadaarddeviatie va de populatie is 1. Da moet je dus de z- verdelig gebruike: ± z α/ s x/ Ivulle: 45, α/ (1,9544)/,456/,8 (je deelt door omdat het betrouwbaarheidsiterval tweezijdig is. 45 ± z.8 1/ 1 45 ± 1/ 1 45 ± 5,774 14) Nico Stoom wil ee schattig make va de proportie cafés (p) die zich aa het igestelde rookverbod houde. Hij trekt aselect e met terugleggig ee steekproef va cafés i Nederlad. Hij bezoekt de cafés e stelt a afloop vast va de proportie cafés i de steekproef (p s) die zich aa het rookverbod houdt,,6 bedraagt. Neem aa dat de trekkigsverdelig va ps ee ormale verdelig is e dat de stadaardfout va p s op de gebruikelijke maier wordt geschat. Het 86,64%-betrouwbaarheidsiterval voor p heeft ee totale breedte va,3. 14a) Hoe groot is de steekproefomvag? 14b) Hoeveel bedraagt de geschatte stadaardfout va de steekproefproportie? (mocht je a) iet kue berekee, gebruik steekproefgrootte ) 14c) Welk percetage va het totaal aatal cafés valt bie de (asymmetrische) iterval schattig,51 < p <,89? (gebruik de atwoorde va a e b) uitwerkig 14a) De formule voor het betrouwbaarheidsiterval is 38

39 p ± z s α p ( 1 p ) s s Gegeve is dat het 86,64%-BI ee totale breedte heeft va,3. De afstad tot ps is dus,15 (m.a.w. de margi of error). Dit is i de formule gelijk aa z α/ ps(1 ps)/. Ivulle z α/ α/,1336 /,668 z,668 1,5. ps,6 Dit leidt tot de volgede vergelijkig: 1,5 [,6(1,6)/],15 oplosse geeft 1,5 (,4/),15 (,4/),1,4/,1 4. De steekproefomvag is dus gelijk aa 4. 14b) de stadaardfout va de populatieproportie is gelijk aa p(1 p)/ (bij de formule va porportie, het gedeelte oder de streep). Je schat de proportie op basis va de steekproef p s. Bij de steekproefproportie is de stadaardfout dus gelijk aa p s(1 p s)/ Ivulle va,6 geeft,6(,4)/ Va de vorige opgave: 4 geeft ee stadaardfout va,4/4,1. 14c) Om te bepale hoeveel tusse de greze,51 e,89 ligt, moet eerst voor beide proporties de z-waarde worde bereked d.m.v. putschatte. Het gemiddelde is,6. De formule va z is Z (ps p) / stadaardfout Vul voor p de gemiddelde proportie i,,6, e voor ps de greze va het iterval. De stadaardfout is,1: (,51.6) /,1 -.9 /,1 -,9 z (likergres). (,89,6) /,1,9 /,1,9 z rechtergres. Met het opzoeke i de tabel is de p waarde te berekee. Deze p waarde geeft dus weer wat iet i het gebied ligt (het zij rechtseezijdige overschrijdigskase): P(Z < -,9) P(Z >,9),1841 P(Z >,9),19 Het gebied is dus (complemetregel) 1,1841,19,814. I percetage is dat 81,4%. 15) Om de variatie σ² x va ee ormaal verdeelde kasvariabele te schatte wordt ee aselecte steekproef va 16 elemete getrokke. De stadaarddeviatie S x i de steekproef bedraagt,9. Bepaal ee 95%-betrouwbaarheidsiterval voor σ²x. uitwerkig 15) De liker- e rechtergres voor betrouwbaarheidsitervalle voor de populatievariatie σ² x worde geschat met de gegeves uit de steekproef e als volgt bereked: ( 1) S² x / χ² - 1,α/ e (-1) S² x / χ² -1,1-α/. I de tekst staa de volgede waardes: 1 15; α,5 (vawege het 95% B.I.). Daarmee moete de volgede waardes i tabel 1.3 opgezocht: χ² 16,,5 8,845 e χ² 16,,975 6,98. Verder is S² x,9²,81, ivulle geeft: 39

40 15,9² / 8,845,41 (likergres) e 15,9² / 6,98 1,759 (rechtergres). Met 95% kas ligt de populatievariatie tusse deze waardes. Toetse va hypothese 16) De hypothese H : µ x wordt getoetst. Als toetsigsgrootheid wordt het steekproefgemiddelde gebruikt. De trekkigsverdelig va dit steekproefgemiddelde is ee ormale verdelig. Neem aa dat de stadaarddeviatie i de populatie beked is. Uit ee OC-curve blijkt dat de kas op acceptatie bij ee populatiegemiddelde va,,9 bedraagt. Bij ee populatiegemiddelde va 3 is dit,5. Zie de OC-curve hieroder: 16a) wat is de kas op ee fout va de eerste soort? 16b) hoe luidt het acceptatiegebied va het steekproefgemiddelde? 16c) idie het populatiegemiddelde 3 bedraagt, wat is de macht va de toets? uitwerkige 16a) De kas op ee fout va de eerste soort is gedefiieerd als de kas op het te orechte verwerpe va H. De ulhypothese is waar als het populatiegemiddelde i werkelijkheid gelijk is aa. De kas op acceptatie bij ee populatiegemiddelde va is,9. De kas om het te orechte te verwerpe is dus gelijk aa,1. 16b) Vawege de vorm is te zie dat de kas op acceptatie daalt aarmate het populatiegemiddelde stijgt. Is het populatiegemiddelde kleier da, da is de kas op acceptatie zelfs groter. Dat beteket dat de toets eezijdig is, H 1: µ x >. Dit beteket echter iet dat het acceptatiegebied e kleier is. Er is amelijk og steeds kas dat bij ee groter steekproefgemiddelde da, de hypothese H : µ x gehadhaafd blijft (dit moet worde aagetood met ee kas kleier da bijvoorbeeld 5%, e steekproeve zij oderhevig aa steekproefvariatie). Uit de OC-curve blijkt dat de kas dat de ulhypothese waar bij ee steekproefgemiddelde va 3,,5 is. Vawege de symmetrie va de ormale verdelig (de kas is,5), ka worde gecocludeerd dat acceptatiegebied bij ee steekproefgemiddelde 3 is. 16c) De macht va de toets wordt gedefiieerd als het terecht verwerpe va de ulhypothese. De kas dat H oterecht wordt gehadhaafd (fout tweede soort) is,5. De macht va de toets is ook wel 1 fout tweede soort 1,5,5. 17) De gemiddelde leeftijd va ee ormaal verdeelde populatie studete die aar college gaat wordt oderzocht. De te toetse hypothese is of de gemiddelde leeftijd va deze groep studete gelijk is aa (H : µ x ) of iet (H 1: µ x ). Uit de populatie wordt aselect ee steekproef va 6 elemete getrokke. Het steekproefgemiddelde blijkt gelijk te zij aa 19,5 4

41 terwijl de stadaarddeviatie gelijk is aa,767. Oderzoek of de ulhypothese gehadhaafd blijft met ee sigificatie va 1%. 17) I deze opgave wordt gee iformatie gegeve over de σ va de populatie, er is allee iformatie uit de steekproef. Gebruik dus het stappeschema va toetse va gemiddelde met σ obeked. Ivulle geeft 1. H : µ x H 1: µ x. µ T S 3. t ~ t( 1) t(6 1) t(5) 6 elemete leidt tot 5 vrijheidsgrade 4. T<< T>> m.a.w. de toets is tweezijdig, e wordt verworpe als de gevode T waarde uit te steekproef, die bij stap 7 zal worde bereked verder va ligt da de kritieke waarde opgezocht bij stap α,1 6. ±t -1,α/ geeft als likergres -t 5,,1/ -t 5,,5 -,15 (zoek op i tabel 1.) e t 5,,1/ t 5,,5,15 als rechtergres. Bij ee tweezijdige T-toets zij er twee greze. Vawege de symmetrische verdelig zij dit de positieve e egatieve waarde die voorkome uit het aatal vrijheidsgrade (stap 3) e het sigificatieiveau (stap 5). Let op dat bij ee tweezijdige toets het sigificatieiveau door wordt gedeeld. 7. Ivulle va de formule bij stap geeft (19,5 )/(,767/ 6) -1,597. Dit ligt i het acceptatiegebied [-,15;,15]. De ulhypothese blijft gehadhaafd met ee sigificatieiveau va 1% de gemiddelde leeftijd va de studete dit aar college gaa is gelijk aa. 41

42 18. Edwi beweert dat 6% va de vrouwelijke studete ee kuffelbeer heeft. Beschouw zij meig als ulhypothese met de proportie va,6. Aselect e met terugleggig wordt ee steekproef va 96 vrouwelijke studete odervraagd. Hieri blijke 48 ee kuffelbeer te bezitte. Als toetsgrootheid wordt deze proportie p s gebruikt. Neem aa dat de trekkigsverdelig va p s ee ormale verdelig is. 16a) oderzoek of de alteratieve hypothese H 1: p,6 wordt geaccepteerd als sigificatieiveau va 3,58% wordt gekoze. 16b) oderzoek of de alteratieve hypothese H 1: p <,6 wordt geaccepteerd als sigificatieiveau va 3,59% wordt gekoze. 16c) oderzoek of de steekproef moet worde uitgebreid als de alteratieve hypothese luidt H 1: p,5, als sigificatieiveau 3,59% wordt gehateerd e de macht va de toets temiste 96,41% moet bedrage. uitwerkig 16a) Het stappeschema is als volgt 1. H : p,6 H 1: p,6. µ Z σ 3. Z~(,1) 4. Z<< Z>> (tweezijdige toets omdat z symmetrisch is e de alteratieve hypothese,6 er wordt dus verworpe als het percetage lager of hoger ligt) 5. α 3,58 6. ±Z,358/ ±Z,179 -,1 (likergres) e,1 (rechtergres) 7. De proportie uit de steekproef p s is 48/96,5. Ivulle va p s de formule bij stap : (,5,6) / ( [(,6,4)/96 ]) -,. Dit ligt i het acceptatiegebied [-,1 ;,1], de ulhypothese wordt dus geaccepteerd met ee sigificatieiveau va 3,58%. 4

43 16b) Het stappeschema is zoals bij a), met het verschil dat er eezijdig wordt getoetst e het sigificatieiveau iet door twee wordt gedeeld: 1. H : p,6 H 1: p <,6. Z p p p s ( 1 p ) 3. Z~(,1) 4. Z<< (eezijdige toets omdat allee wordt oderzocht of de proportie lager is) 5. α 3, Z,359-1,8 (allee de likergres) 7. De (geobserveerde) waarde va Z uit de steekproef blijft hetzelfde: p s is 48/96,5 Z,5,6 / ( [(,6,4)/96 ]) -,. Dit is kleier da de likergres -1,8 (ligt verder va ul vadaa, e ligt dus iet i het acceptatiegebied de ulhypothese wordt verworpe met ee sigificatieiveau va 3,59%. 16c) Je wilt de hypothese H : p,6 toetse tegeover H 1: p,5. Dit wordt praktisch hetzelfde bereked als de fout va de tweede soort: de kas op het hadhave va H terwijl H 1 waar is. Het is makkelijk als je er ee tekeig bij maakt: Waeer hadhaaf je H? Je moet dus eerst de greswaarde aa de likerkat berekee die bij H : p,6 hoort, wat p,5 is kleier da p,6. Vadaar is dit ee (liks)eezijdige toets.,6 Z,359 [(,6,4)/96],6 1,8,5,6,9,51. Dit is dus de likergres. Je hadhaaft H : p,6 als je ee proportie oder de 96 studetes vidt dat,51 of hoger is. Je verwerpt H : p,6 als je ee proportie vidt die lager da,51 is. Wat is u de fout va de tweede soort? Dat is de kas dat H 1 waar is, terwijl H gehadhaafd blijft. Met adere woorde: wat is de kas dat je ee waarde oder de,51 vidt bij ee proportie va,5? I symbole: P(p s <.51 H 1: p,5)? 43