BEPALING VAN DE SCHEURWEERSTANDS- KROMME VAN FE-SWNb BU VERSCHILLENDE TEMPERATUREN. R. BHOLANATH. Afstudeerverslag door: R.

Transcriptie

1 BEPALING VAN DE SCHEURWEERSTANDS- KROMME VAN FE-SWNb BU VERSCHILLENDE TEMPERATUREN. R. BHOLANATH Afstudeerverslag door: R. Bholanath Faculteit der Scheikundige Technologie en der Materiaalkunde Technische Universiteit Delft. Delft, augustus 1992.

2 INHOUDSOPGAVE INHOUDSOPGAVE SAMENVATTING 1 INLEIDING 2 DE J-INTEGRAAL EN DE GEMODIFICEERDE J-INTEGRAAL DE J-INTEGRAAL GELDIGHEID VAN DE J-INTEGRAAL g 23 J BEPAALD SCHEURTIP VELD J BEPAALD SCHEURGROEI NA J BEPAALD SCHEURGROEI u 26 DE GEMODIFICEERDE J-INTEGRAAL, J^ UITDRUKKING VOOR J EN J^ 26 3 TEST METHODES DOEL VAN HET ONDERZOEK blz. iii l^i^bumebhmbn.bb-rm^b VAN RESULTATEN 32 1 BEREKENING tn iinitmrncaamu. V 31 3".2'.2 GELDIGHEID J WAARDE DE KEY CURVE METHODE INLEIDING 35 f3 2.1 SCHEURGROEI BEPALING VAN SENB PROEFSTAVEN BEPALING VAN DE J- INTEGRAAL 3 4 EEN NIEUWE METHODE VOOR HET BEREKENEN VAN DE J, KROMME VOOR ZACHT STAAL INLEIDING BASISTHEORIE 4 MATERIAAL. PROEFSTUK VOORBEREIDING EN TEST APPARATUUR 45 PROEFSTUK VOORBEREIDING KEY CURVE PRUbVtiN w. 4.3 TESTAPPARATUUR

3 ii 5 RESULTATEN öü 5.1 MULTIPLE SPECIMEN PROEVEN BIJ KAMERTEMPERATUUR MULTIPLE SPECIMEN PROEVEN BIJ - 40 C MULTIPLE SPECIMEN PROEVEN BIJ - 70 C DISCUSSIE EN CONCLUSIE VAN DE MULTIPLE SPECIMEN METHODE KAMERTEMPERATUUR LAGE TEMPERATUUR DE KEY CURVE TEST RESULTATEN DISCUSSIE EN CONCLUSIE KEY CURVE METHODE RESULTATEN NIEUWE METHODE DISCUSSIE EN CONCLUSIE NIEUWE METHODE 79 6 AANBEVELINGEN VOOR VERDER ONDERZOEK 80 LITERATUURLIJST 81 FIGUREN

4 SAMENVATTING Voor de bepaling van de JR kromme van drie-puntsbuig oftewel SENB (Single Edge Notched Bend) proefstukken is door de ASTM (American Society For Testing and Materials) een standaard procedure voorgeschreven. In deze norm zijn er een aantal voorwaarden opgenomen waaraan een proefstuk moet voldoen voor het bepalen van een geldige JR kromme. Eén zo een voorwaarde is de afmeting van het proefstuk. Met het huidige onderzoek willen wij nagaan of de ondergrens gesteld door de ASTM, voor wat betreft de afmetingen van het proefstuk voor het staalsoort FE-510Nb niet te kritisch is. Aan de hand van proefstukken van drie verschillende afmetingen zal bij 20 C, -40 C en -70 C gekeken worden of dit klopt en zal daar waar het nodig is met behulp van een gemodificeerde formule, J^^, gekeken worden of deze resultaten toch nog geldig gemaakt kunnen worden. Hierbij zal gebruik worden gemaakt van twee veel gebruikte JR bepalingsmethoden n.1. de "multiple specimen" methode en de "key curve" methode. Tenslotte zal de geldigheid van een nieuwe methode voor het bepalen van de JR kromme voor dit materiaal worden gecontroleerd en vergeleken met de standaard methode. SUMMARY For the calculation of the J resistance curve, JR, of SENB (Single Edge Notched Bend) specimens, which are under a three-point load, the ASTM (American Society For Testing and Materials) gives a standard procedure. In this procedure there are several conditions which must be satisfied. One of these conditions is the size of the specimen. In the current work we want to check if these conditions are to severe for steel FE-510Nb. This will be done by testing three specimen sizes at 20 C, -40 C and -70 C. Where needed a modification formula, J^, will be used to modify the JR curve. Two most used methods, the multiple specimen and the key curve method, will be used to calculate the JR curves. At last the validity of a new method will be checked for this material.

5 1 INLEIDING, ^,., w.nmme van drie-puntsbuig oftewel SENB (Single Edge C~rreidTgf ^307 is de «van bepalen van een ye uiy» U R. willpn wü naaaan of de ondergrens verschillende afmetingen f 2 C -40 C en 70 O ge ^^^^^^^^ de proeven gegeven. Tonder onderscheid door elkaar in dit werkstuk worden gebruikt.

6 2 DE J-INTEGRAAL EN DE GEMODIFICEE^MiJJi!lGgAAL 2.1 DE J - INTEGRAAL De J-integraal was het eerst geïntroduceerd door Rice [1] «nif gebaseerd o^^^ een energie balans benaderingsmethode. De J-integraal is afgeleid in [1] en wordt in zijn universele vorm gegeven door: 8u. j = ƒ Wdy- { T, - ^ d (1 = 1,2) (2.1) waarin: T = contour van de scherpe scheurtip, x,y = plaats coördinaten, T = tractie vector langs r, u = verplaatsingsvector, W = de rek-energie = ƒ o^j de^j O De J-integraal van een gesloten contour is onafhankelijk van de gevolgde weg en is altijd gelijk aan nul [3], zie figuur 2.1. Afwijking van ^B^e waarde door de inteq aal wordt veroorzaakt door de spanningstoestand aan de scheurtip, dus de J rntegraal kan als maat voor de spanningstoestand aan de scheurtip gebruikt worden Het blijkt dat de J-integraal waarde de lokale-spanningen en -rekken in de omgevfng van de scheurtip van een twee dimensionale lichaam goed kan weerge ven.... Een.es,o.o co,o. ABCDEF VOO,.en «c.a».^

7 We beschouwen een oneindige plaat met een éénheidsdikte die een door de diktescheur a heeft en die op het oneindige belast is met een uniforme spanning o. De totale energie van het gescheurde lichaam U wordt gegeven door de volgende uitdrukking: (2.2) 3 waarin: U = elastische energie van het belaste ongescheurde lichaam, = verandering van de elastische energie ten gevolge van de scheur, = verandering van de elastische oppervlakte-energie ten gevolge van het ontstaan van de scheurflanken, F = arbeid verricht door de uitwendige krachten. Deze vergelijking (2.2) is geldig voor metalen met zowel lineaire als niet-lineaire elastische gedrag. Figuur 2.2 geeft een schematische weergave van de totale energie als functie van de scheurlengte a. Instabiliteit zal optreden als geldt: du da ^ O (2.3) en omdat een constante is moet gelden: d da ( F (2.4) A INSTABILITY du/da O >- O QC UU Z LU _J < O CRACK LENGTH, a Fig. 2.2: Totale energie tegen scheuruitbreiding.

8 4 De J-integraal wordt nu gedefinieerd als: (2.5) Voor de potentiële energie U geldt: (2.6) Differentiëren van formule (2.6) naar a geeft: da da (2.7) In formule (2.7) geeft: - df/da de energie die door de uitwendige kracht F geleverd wordt voor een scheuruitbreiding da, - dug/da de toename van de elastische energie ten gevolge van de uitwendige arbeid df/da, - du /da de verandering in opgeslagen energie. Uit formule (2.5) en (2.7) volgt: da (2.8) Voor het geval van constante verplaatsing, zie figuur 2.3a, kunnen we voor Up van een gescheurde lichaam met scheurlengte a schrijven: ia) = Jp(a) dv - F + (2.9) P(a l- Aa) I p - v(a) v(a + Aa) Fig, 2.3: Een niet lineaire elastische gescheurde lichaam onder constante verplaatsing (a) en onder constante belasting.

9 Als de scheur met een hoeveelheid Aa groeit kunnen we schrijven: V Up{a+Aa) = fpia+aa) da - F + (2.10) O Merk op dat F constant blijft in het geval van constante verplaatsing. De verandering in potentiële energie AUp t.g.v. de scheuruitbreiding Aa is: V V V Ac/p = ƒ P(a+Aa) dv - f P (a) dv = Ap dv (2.11) O 0 0 oftewel: V dup = fdpdv (2.12) O Uit (2.8) en (2.12) volgt: ^ = - f l B \ dv dv (2.13) da J \ daj^ Voor het constante belastingsgeval, zie figuur 2.3b, kan Up voor een lichaam met een scheurlengte a geschreven worden als: V Upia) = ƒ P(a) dv - F,(a) = ƒ P(a) dv - PV = - ƒv{a) dp (2.14) Up- O Als de scheur met een hoeveelheid Aa groeit kunnen we schrijven: O üp(a+aa) = ƒ P dv - P ' {v+av) =-ƒ v{a+aa) dp (2.15) O O De verandering in potentiële energie AUp tengevolge van de scheuruitbreiding Aa is P p p AUp = - ƒ v(a+aa) dp - ( - ƒ v{a) dp ) = - ƒ Av dp (2.16) O 0 0 oftewel: dup = - j dv dp (2.17)

10 Uit (2.13) en (2.17) volgt: p j = - f i m dv= f i p ] dp (2.18) 6 Rice et al. bewezen samen met vergelijking (2.18) dat voor een diep gescheurde buig proefstaaf geldt (zie figuur 2.4): J=, ^ / [ M de, (2.19) B{W - a) { Met: M = het buigend moment = gedeelte van de hoekverdraaiing t.g.v. scheurgroei. Fig. 2.4: Een diep gesciieurde slaaf onder buiging. De bepaling van het M-G^ diagram uit een proefstuk is nogal omslachtig, daarom wordt vergelijking (2.19) meestal geschreven in de vorm: (2.20) oftewel: j ^ (2.21) Bb Waarin: U, = oppervlak onder het P-v diagram tengevolge van scheurgroei.

11 7 Bij het belasten van een proefstuk wordt de totale verplaatsing gemeten. V = v" + V (2.22) waarin: v, = de totale verplaatsing v^,. = niet scheurende gedeelte van de verplaatsing Vc = scheurende gedeelte van de verplaatsing Omdat bij het meten van de verplaatsing de contributie van de twee invloeden heel moeilijk uit elkaar zijn te houden en verder geldt dat «U kunnen we zonder een al te grote fout te maken schrijven: J = 7-Ut Bh!3) De J-integraal bij scheurinitiatie, Jj, kan men nu bepalen door enkele proefstukken te belasten tot een kleine scheuruitbreiding. Door de J waarden tegen de scheurgroei Aa uit te zetten en te extrapoleren naar Aa = O kan J, bepaald worden, zie figuur 2.5. De Ji waarde kan nu als karakteristiek voor het desbetreffende materiaal gebruikt worden. 0.6 T T 293 K J (MN/m) /< SPECIMEN TYPE O S.E.N.D. O CT. 0.2 ü - 25 mm W= 50 mm a/w =' CRACK EXTENSION Aa (.nm) Fig. 2.5: J-Aa diagram van een slaaisoort bij Iwee temperaturen.

12 8 2.2 GELDIGHEID VAN DE J-iNTEGRAAL In principe is de J-integraal metliode alleen geldig in het elastisch gebied, lineairen nietlineair-elastisch gedrag. Een belangrijk gevolg van de geldigheid voor nietlineair elastisch gedrag is dat onder bepaalde voonwaarden dit nietlineair elastisch gedrag gebruikt kan worden als benadering voor plastisch materiaal gedrag. Belangrijk is op te merken dat elastisch gedrag omkeerbaar is en plastisch gedrag onomkeerbaar dat wil zeggen dat in het elastisch gebied alle vervormingsenergie weer vrij komt bij ontlasten terwijl de vervormingsenergie in het plastisch gebied al tijdens het belasten in plastische vervormingen en warmte wordt omgezet en niet terug gewonnen kan worden. De nietlineaire benadering van het plastisch gedrag gaat daarom slechts op zolang de belasting monotoon stijgend is in het hele lichaam [2]. Bij scheurgroei is hiervan in het algemeen geen sprake meer omdat in de pas gevormde scheurflanken de spanningen vanaf a^^ (soms hoger, C-Oyg in geval van plane strain) tot nul dalen. De J-integraal is daarom toepasbaar tot op het moment van eerste scheuruitbreiding. Na dit moment kan de J-integraal niet zonder meer als breukparameter gebruikt worden. 2.3 J BEPAALT SCHEURTIP VELD Voor verstevigende materialen wordt de spanning-rek relatie in het elastisch plastisch gebied gegeven door de Ramberg-Osgood vergelijking. e ( \ / O + a.«^oj E en (2.24) waarin: = referentie rek e = rek = referentie spanning = E G = spanning [N/mm 2] a = evenredigheidsconstante n = verstevigingsfaktor E = elasticiteitsmodulus [N/mm 2] In vergelijking (2.24) geeft het eerste rechter term de elastische rek en het tweede term de plastische rek aan. Voor materialen die een plastische verstevigingsgedrag vertonen, is bewezen door Hutchinson [8] en Rice en Rosengren [9] dat de spannings-rek verdeling in de omgeving van de stationaire scheurtip van een oneindig lichaam gegeven wordt door de volgende analytische vergelijking:

13 9 0,y = ÖQ a EJ OQ l r 1 n+i ö,j{q,n) (2.25) a Of a EJ OQ l r n n+1 i,j{e,n) (2.26) met r en 0 poolcoördinaten en met dy,{,n) en êij(0,n) bekende functies van 0 en n. getabelleerd in SHIH (1983, [28]) voor plane strain en plane stress situaties. Voor gegeven materiaal eigenschappen (a,n,ao,eo) en plaats (r,0) geeft vergelijking (2.25) en (2.26) aan dat de spanningen en de rekken eenduidig door J bepaald worden. J beschrijft dus de amplitude van de spanning en rek singulariteit van de scheurtip, de zogenaamde HRR-singulariteit (Hutchinson-Rice-Rosengren singulariteit) [9], zie figuur 2.6. blunted crack fig. 2.6: Verschillende zones rond om een stationaire scheurtip. Uit eindige elementen elastisch-plastisch analyse blijkt dat voor een proportionele belasting, de plastische gedragstheorie benaderd kan worden door de vervormingsgedragstheorie. Turner [12] en Bakker [10]. De pad onafhankelijkheid en het

14 scheurtip veld beschrijvende eigenschappen van J kan in de praktijk daarom gebruikt worden om het elastisch-plastisch materiaal gedrag te beschrijven. In een klein gebiedje rond de scheurtip, de zogenaamde proces zone (Engels process zone), gaat dit echter niet op. De proces zone is een gebied met grote vervormingen, waar de belasting niet proportioneel zal zijn en waarin holten kunnen ontstaan die uit eindelijk tot scheuruitbreiding kunnen leiden, zie figuur 2.6. De grootte van deze zone is relatief klein en is volgens Rice gelijk aan 1,9 5 met 5, de CTOD (Crack Tip Opening Displacement), zie figuur 2.6. De grootte van de proces zone moet beperkt blijven in verhouding tot het omringende HRR veld, omdat anders de HRR oplossing niet meer geldig zal zijn en daarmee ook de geldigheid van de J-integraal in het geding komt. De EPFM (Elastic-Plastic Fracture Mechanic) test methoden, aangaande de J-integraai schrijven daarom een minimale afmeting van de proefstaaf voor, die afhankelijk van de materiaal eigenschappen en van de vorm van het proefstuk is. In ons geval is dus alleen de grootte van het ligament b en de dikte B van het driepunts-buig proefstuk (SENB) van belang, zie figuur RA S/W = 4 fig. 2.7: SENB proefstaaf. Uit het voorgaande is duidelijk dat de grootte van de proces zone en het HRR veld enigsinds bekend moeten zijn. De minimale afmeting R van het HRR veld moet zijn [8] en [11]: /?.3ö, (2-27) Numerieke analyse [8] voor het ingesloten plastische proces zone gebiedje 'contained plastic zone', zie figuur 2.6 geeft aan dat vergelijking (2.25) en (2.26) een goede benadering voor de berekende spanningen en rekken geven, tot een afstand van de scheurtip van ongeveer: R = (0,2-0,25) rp (2-28) met rp = grootte plastische zone.

15 11 Onder deze voonwaarde geldt vergelijking (2.27) altijd. Verschillende numerieke studies, waarbij de berekende en HRR benaderde plane strain scheurtip velden werden vergeleken geven aan dat: R. 0,07 b (2-29) met b = ligament = (W - a). Volgens Turner (1984) [12] bestaat er een relatie tussen J en 5,: ö = -J- (2.30) m GQ met m = dwars-rek verhindering, 'constraint', factor met een grootte tussen 1 en 5. Vergelijking (2.27). (2.28). (2.29) en (2.30) geven met een gemiddelde m van 2 aan dat voor buiging geldt: b^20 ^ (2.31) Vergelijking (2.31) wordt over het algemeen geschreven als: p = _A_ > 1 (2.32) Brengen we de rek-versteviging in rekening dan kan vervangen worden door a,: a = y ^ (2.33) 2 met: Gy = de 0,2% rekgrens [N/mm^] a^,3 = de treksterkte [N/mm^] a, = gemiddelde van de rekgrens en de treksterkte [N/mm^] De ASTM E standaard test methode voor J,, bepaling schrijft voor: b>25-^ (2.34) Om vlakke rek condities te bereiken moet de dikte B van het proefstuk volgens bovenstaande norm ook gelijk zijn aan: B>25 ^ (2.35) Verschillende schrijvers stellen dat B groter dan b moet zijn als b aan vergelijking

16 (2.34) voldoet. Bij kleinere dikten wordt het gebruik van side grooves aanbevolen J BEPAALT SCHEURGROEI Voor J waarden boven (dit is de J waarde bij scheurinitiatie) zal in de proces zone aan de scheurtip de vorming, groei en aaneensmelting van holten leiden tot scheurgroei. Aangenomen kan worden dat een groeiende scheurtip elastisch ontlaste materiaal achter zich laat, zie figuur 2.8. In hoofdstuk 2.1 was al vermeld dat de J-integraal in principe alleen geldig is tot de eerste scheurinitiatie. De aanwezigheid van elastisch ontlastte materiaal is daarom in tegenspraak met de oorspronkelijke theorie van de J-integraal. ploslic zone claslic zone fig. 2.8: Verschillende zones rondom een groeiende scheurscheur. Onder bepaalde voorwaarden is het echter mogelijk de criteria uit het vorige hoofdstuk aan te passen of uit te breiden, in het geval van scheuruitbreiding. Voor verstevigende metalen zijn deze voorwaarden als eerste bepaald door Paris [14] en later door andere onderzoekers uitgebreid. -De eerste voona/aarde voor J bepaalt scheurgroei gedrag is dat van vergelijking (2.32), die eist dat de proces zone rondom de nu verplaatsende scheurtip klein blijft in verhouding tot de grootte van het HRR veld. -Een tweede voorwaarde is dat de scheurgroei Aa ingesloten blijft in het HRR veld. Met de afmeting R van het HRR veld zijnde een fractie van de grootte

17 13 van de plastische zone, kan deze voorwaarde geschreven worden als: a = 4^ < 1 (2.36) -Een derde voorwaarde waaraan voldaan moet worden is dat een proportionele belasting in het gebied rondom de bewegende scheurtip moet heersen, zie figuur 2.8. Dit wil zeggen dat een gelijktijdige toename van de J-integraal en de scheurlengte a met dj en da respectievelijk, moet resulteren in een toename van de rek die evenredig is van dj alleen: ^ > (2.37) J r De poolcoördinaat r is begrensd door de grootte van het HRR veld R, die op zijn beurt niet groter kan zijn dan de breedte van het ligament b. Uit (2.36) en (2.37) volgt: r< R< b (2.38) (O = ^ > 1 (2.39) J da Als aan alle drie voorwaarden zijn voldaan dan zal het HRR veld de tip van de groeiende scheur blijven beheersen. We mogen daarom aannemen dat geldt: 1) Het gehele breuk gedrag, van scheurgroei en stabiele scheurgroei tot instabiliteit kan door één enkele relatie tussen J en Aa beschreven worden, de zogenaamde JR kromme. 2) De JR kromme is onafhankelijk van de mate van de rek toestand, waardoor het mogelijk is dezelfde JR uit zowel kleine als grote proefstukken te bepalen, als dezelfde door de dikte spanningstoestand heerst in beide gevallen (vlakke rekof vlakke spanningstoestand). 3) De JR kromme is onafhankelijk van de geometrie, met het belangrijke gevolg dat een JR kromme bepaalt uit een kleine en simpele proefstuk gebruikt kan worden om het breukgedrag van een veel groter component of structuur te voorspellen. 4) De berekende J-integraal waarde zal onafhankelijk van de gekozen integratiepad blijven in een eindige elementen scheurgroei analyse die gebruik maakt van de incremented plasticiteitstheorie, als de integratie pad voldoende ver van de scheurtip proces zone ligt. 2.5 NA J BEPAALT SCHEURGROEI Als niet aan de voorwaarden voor J-gecontroleerd scheurgroei zoals beschreven in het vorige hoofdstuk wordt voldaan, zal J geen materiaal eigenschap meer zijn,

18 met als gevolg dat geometrie effecten (zoals de afmetingen van het proefstuk en de belastingssoort) in rekening moeten worden gebracht bij scheuruitbreiding. Figuur 2.9 geeft een schematische weergave van de geldige en de niet geldige J - integraal waarden. Uit het figuur blijkt dat kleine gezijgroefde buigproefstaven over het algemeen een te lage JR kromme opleveren, waardoor een veilige schatting van het breukgedrag wordt verkregen. Dit kan soms leiden tot een onnodige of ongeaccepteerd onderschatting van de breuk veiligheid van het materiaal. 14 j (lorg* spacimtns) fig. 2.9: Kwalitative vorm van geldige en ongeldige J krommen voor buig en trekproefstaven. Door verschillende onderzoekers zijn daarom diverse methoden bedacht om de scheurgroei na het J-gecontroleerd gebied te beschrijven. Eén van deze methoden is de gemodificeerde J-integraal methode, voorgesteld door Ernst [29] en gebaseerd op een eerdere werk van Rice et al. [13]. 2.6 DE GEMODIFICEERDE J-INTEGRAAL. J, De gemodificeerde J-integraal methode, voorgesteld door Ernst [29] en gebaseerd op een eerdere werk van Rice et al. [13] is een methode die nauw verwant is aan definities van G en J. Hierdoor is het een aantrekkelijke methode om het scheurgroei gedrag van metalen voorbij de J-gecontroleerde gebied te beschrijven. In een uitbreiding van zijn eerdere werk [30], voerde Rice et al.[13] een analyse van de spannings- en deformatie-velden aan de tip van een scheur die groeide onder een vlakke rek toestand in een elastisch-perfect-plastisch materiaal uit. Er bleken elastische ontlastte wiggen, zie figuur uit 2.8, aan de tip van een groeiende scheur voor te komen. De scheuropening verplaatsing 5 op een afstand rvan de groeiende scheurtip wordt door integratie van de scheurtip snelheidsverdeling

19 gegeven door: 15 ö = r ^ : ^. p ^ r l n - ^ (2.40) Oy aa E r waarin: Jx = een op J kijl<ende parameter, gedefinieerd in [29] als R = lengte parameter, gerelateerd aan de maximale afmeting van de plastische zone. Gy = 0,2% rekgrens E = elasticiteits-modulus r = afstand vanaf de bewegende scheurtip tot het punt waar 5 wordt gemeten, a = materiaal constante met de grootte van ongeveer 0,65. p = materiaal constante met de grootte van ongeveer 5,08. e = grondtal natuurlijke logaritme = 2,718. Gebaseerd op het bovenstaande analyse door Rice et al. herintroduceerde Ernst [29] de parameter. Deze gemodificeerde J parameter is gedefinieerd als: JM = J D - ] (-^)A, da (2.41) waarin: Jp = plastische gedeelte van Ap = plastische gedeelte van de totale verplaatsing ao = begin scheurlengte a = eind scheurlengte Jp = J-integraal (gecorrigeerd voor scheurgroei). We kunnen JQ splitsen in een elastische en een plastische gedeelte. JD = ^o^^p = G ^Jp (2-42) Vergelijking (2.41) wordt samen met (2.42): =,.. a / f ( ^ ].A, (2.43) waarin: J^ = totale J-integraai (gecorrigeerd voor scheurgroei) G = elastische gedeelte van de J-integraal. De tweede gelijkheid van vergelijking (2.43) volgt uit de energie gerelateerde definitie van J [4]. Eén van de aantrekkelijke eigenschappen van J^ is zijn gemakkelijke experimentele bepaling, omdat dezelfde variabelen zoals nodig voor het bepalen van de J-integraal hier ook gebruikt worden. Sinds de introductie door Ernst, hebben verschillende onderzoekers J^^ krommen voor diverse materialen.

20 geometries en afmetingen bepaald [4,29,31,32]. Voor proefstukken die een vergelijkbare door-de-dikte spanningstoestand liebben, levert reëvaluatie van de J waarde met in alle gevallen in een behoorlijke reductie van de geometrie- en afmeting gevoeligheid. Figuur 2.10 geeft een voorbeeld gegeven door McCabe [31]. Uit de figuur blijkt dat de breuk weerstand van proefstukken, die tot een factor 20 met elkaar in afmeting verschillen gecorreleerd kunnen worden door J^, in plaats van J te gebruiken, zelfs als de J-gecontroleerde scheurgroei voorwaarden grof worden overschreden door de kleine proefstaven aoo e E 2 X 600 / y A 508, 204»C M.A. w W(mm) ''o 'M OA/Ö * ^ A A t Aa (mm) 30 fig.2.10; Jp en J data voor drie verschillende 20% gezijgroefde CT proefstaven. Ernst beschreef in een latere werk de fysische principe van J^ [33]. Een samenvatting van dat werk gegeven door Steenkamp [4] en Rijsbergen [5] zal hier gegeven worden. We nemen aan dat de voorwaarden voor het vervormingstheorie materiaalgedrag worden geschonden als irreversibele processen zoals scheurgroei en elastische ontlasting van plastisch gedeformeerde materiaal plaatsvinden. Daarom moet bij het onderzoeken van J-gecontroleerd scheurgroei gedrag deze effecten als eerste worden bekeken. Een voorbeeld van het vervormings-theorie gedrag wordt in termen van globale proefstuk gedrag gegeven in figuur 2.11

21 17 p De figuur geeft een P-A diagram van twee gesclieurde proefstukken die dezelfde geometrie hebben maar met verschillende begin scheurlengten. Proefstuk 1 heeft een constante scheurlengte a,, terwijl proefstuk 2 begint met een beginscheurlengte ao die tijdens de belasting geleidelijk aangroeit tot a^. Als de scheur van proefstuk 2 van ao tot a, is gegroeid dan wordt er een globale vervormingstheorie gedrag waargenomen, ofschoon proefstuk 2 een onomkeerbare scheuruitbreiding heeft ondergaan. Met andere woorden, als alleen punt A van het P-A diagram bekend is dan is het onmogelijk te zeggen of dit punt bereikt is door gebruik te maken van proefstuk 1 of van proefstuk 2. Als de volledige P-A diagram van de twee proefstukken worden vergeleken dan zullen er natuurlijk verschillen zijn en het is zelfs mogelijk de scheurlengte met behulp van deze verschillen te berekenen. Deze methode de zogenaamde key curve methode zal elders in dit verslag behandeld worden. Uit het bovenstaande blijkt dat irreversibele processen, zoals scheurgroei en elastisch ontlasting van plastisch vervormde materiaal geen invloed hebben op het globale materiaal gedrag. Lokaal hebben deze onomkeerbare processen een heel grote invloed op de vorm van de scheurtip, zie figuur 2.12 In deze figuur wordt schematisch de profiel van een scheurgroei toename Aa onder het vervormingstheorie gedrag vergeleken met één onder werkelijke (incrementeleof vloei-theorie) condities. In het eerste geval zal de grootte van de 5O,HRR uit de HRR oplossingen volgen, terwijl de werkelijke waarde van 5o,act beïnvloedt zal worden door de ontlasting van de pasgevormde scheurflanken. Het verschil tussen Soact en 5oHRR wordt veroorzaakt door het proces die achter de scheurtip plaatsvindt, en niet door de HRR oplossingen beschreven kan worden. Uit de vergelijking voor 's voor een groeiende scheur (vergelijking 2.40), waarin J^, gesubstitueerd wordt door J, bewijst Ernst dat direct gerelateerd is aan 5o,aot en dus tot het onomkeerbare proces die plaatsvindt in het proefstuk.

22 18 Shorp crock Oo «O Blunted crock at initiation Detormotion theory : 'o.hrr Acluol behaviour : 'S - tastic unloading Aa.2.12; Scheurtip vorm voor deformatie theorie- en werkelijl< gedrag. fig Evalueren we vergelijking (2.40) voor r = Aa en nemen we verder aan dat de tweede rechter term klein is voor de meeste praktische gevallen ( zie Rice et al. 1980) dan volgt dat: M (2.44) Dit suggereert dat een lineaire relatie bestaat tussen SQ en J^,, onafhankelijk van de grootte van de scheuruitbreiding. Er moet hier worden opgemerkt dat vergelijking (2.40) en dus ook (2.44), alleen voor niet-verstevigende materialen toepasbaar zijn. Uit experimentele onderzoeken verricht aan verstevigende materialen door Schwalbe & Hellman (1984) [34] over dit onderwerp bleek dat er in werkelijkheid ook een lineaire relatie bestaat zoals gegeven in vergelijking (2.44). Dit heeft tot gevolg dat de bovenstaande analyse voor praktische doeleinden gebruikt kan worden UITDRUKKINGEN VOOR J EN J> In dit verslag worden JR krommen experimenteel bepaald door gebruik te maken van driepunts-buigstaven (SENB) met een S/W verhouding van 4, zie figuur 2.7 Verschillende schrijvers hebben hun bijdrage geleverd aan het totstandkoming van de uitdrukking voor J en J^ [5]. Steenkamp [4] geeft in zijn dissertatie verslag een

23 uitgebreide overzicint hiervan. Relevante delen ervan zullen in dit verslag gebruikt worden. Als een proefstuk belast wordt met een kracht P (per dikte eenheid) dan is het altijd mogelijk het resulterende belastingslijn verplaatsing A in een elastische deel Ag en een plastische deel Ap te splitsen (figuur 2.13). (2.45) 19 6 Ac Ap A Ac Ap fig. 2.13: Splitsing van de werkelijke verplaatsing in een elastisch deel en een plastisch deel voor zowel een stationaire scheur als een groeiende scheur. De elastische verplaatsing is gerelateerd aan de belasting volgens de proefstuk compliantie C^: A, = P C(-J) (2.46) met C3 = som van de compliantie van het ongescheurde proefstuk en van de scheur in het proefstuk. Als het plastische gebied geconcentreerd is in het ligament, d.w.z er geen plastische deformatie ver van de scheurtip is, dan bestaat er een dimensieloze relatie tussen P, A en de proefstuk geometrie [Rice et al.(1973). Ernst & Paris (1980)]. b{b] " Ap a L 5 materiaaleigenschappen [W W^W W, (2.47) waarin: P = belasting 3 = geheel getal a = scheurlengte b = ligament W = breedte proefstuk L = lengte proefstuk B = dikte proefstuk. Deze vergelijking geldt voor ieder twee-dimensionale configuratie en voor ieder monotoon spannings-rek gedrag. Voor gegeven geometrie en materiaaleigenschap-

24 20 pen blijven alleen de variabelen P, Ap en a over, wat (2.47) reduceert tot: b[bj A a p [w'w) (2.48) Omdat de afmetingen van het proefstuk gewoonlijk in verhouding zijn met de hoogte W kunnen we door met W te normaliseren proefstukken met dezelfde geometrie maar met verschillende afmetingen met elkaar vergelijken, rn its de spanningssituatie voor alle proefstukken dezelfde is. Nu is de afhankelijkheid van aan van functie F te verwaarlozen t.o.v de andere componenten als B juist gekozen wordt. Ernst & Paris (1980) en Paris et al. (1980) vinden voor buigstaven B = 1. Vergelijking (2.48) wordt dus: Buiging: p = è1f w [w'w) De efficiëntie van vergelijking (2.49) kan verder verhoogd worden door de variabelen van F te scheiden. (2.49) P - È l J ^ w waarin g(aaa/) een bekende functie is, voor SENB proefstaven gelijk aan 1. [wj W (2.50) De J-integraal zoals voorgesteld door Rice (1968) wordt gegeven door: {[dalp { [da, da (2.51) Door de totale belastingslijn verplaatsing te splitsen in een elastisch en plastische deel kunnen we voor de J-integraal schrijven: J = = G + Jp. ^2.52) Waarin voor het elastisch deel geschreven kan worden: 'BA, da dp=- ^ J [da, da. = G = ^ (2.53) met: K = de spanningsintensiteitsfactor E' = E voor plane stress E' = E / (1-1)2) voor plane strain en voor het plastische deel:

25 21 ƒ dp = da. (2.54) Gebruiken we de uitdrukking zoals gegeven in vergelijking (2.49), samen met de veronderstelling dat da = - db dan kunnen we schrijven: da, 2bp ^ b^ ( df ' 2P ^ b^ ( df \ [dajw, (2.55) Substitueren we (2.55), in (2.54) dan krijgen we voor buiging (Ernst & Paris (1980)):. X = ^)VdA,-^ f f-^l da, P bi ' i [dalwl ' (2.56) Uit vergelijking (2.49) en (2.50) volgt met g' = dg / d(a/w) voor buigstaven: buiging-. f^] - H ^ - ^^M^ [dajw)^^ da/w g (2.57) Substitueren van (2.57) in (2.56)levert: Jp-^fPdA,. (2.58) met:, =. (-^ = 2 - = m. (2.59) Uit bovenstaande analyse blijkt dat voor de buig-geometrie de ri factor een unieke functie is van a, onafhankelijk van Ap. Bovenstaande analyse kan ook voor Jg worden uitgevoerd, vergelijk vergelijking (2.53) en (2.54). Voor de totale J-integraal kan dus geschreven worden: J ~- ^ ]P da,. ^ ƒ P da, = ^. np ^ (2.60) ^ O ^ O b b Door geometrische aannamen in acht te nemen geven Merkle & Corten (1974) en Clarke & Landes (1979), ondersteunt door experimentele bewijzen door Landes et el., voor ri:

26 22 Tie = Tip = n = 2 :4,^0.5 ;-^,==4 w w (2.61) J kan nu dus geschreven worden als: fl J (2.62) Door J naar de onafhankelijke variabelen a en A te differentiëren krijgen we voor SENB proefstaven: dj = - n b^ ^ da. ^ PdL (2.63) b met: j - dr) {dalw) (2.64) Door Y te definiëren (Ernst et al. 1981) als: Y = Y (-1) - ^ ^A (2.65) volgt uit vergelijking (2.63): PdA J w«^ = ^ 1 -Y-da (2.66) Integratie van vergelijking (2.66) geeft: J= f ipda - f y^da { b i b (2.67) waarin ö, ri en Y berekend kunnen worden door de actuele waarden van de scheurlengte a.' Na scheurinitiatie zal de tweede term een correctie voor scheurgroei op J geven, terwijl de eerste term ook beïnvloed wordt door de momentele waarde van n en b te gebruiken in plaats van de initiële waarde. Voor een kleine hoeveelheid scheurgroei Aa «b is het verschil tussen de gecorrigeerde en met gecorrigeerde J waarde klein.. In praktische gevallen, als er een P-A diagram aanwezig is, kan J in (gecorrigeerd voor scheurgroei) herhaalde vorm benaderd worden door (Ernst et al.(1981)):

27 23 D./+1 1 a,) (2.68) waarin Jp = integraal, gecorrigeerd voor scheurgroei en A^^^.^ de oppervlakte van het P-A diagram voorstelt tussen twee lijnen van constante verplaatsing A, en A,^,. Uit vergelijking (2.61) en (2.65) geldt voor SENB proefstaven: Y = 1. (2.69) Vergelijking (2.68) kan hiermee geschreven worden als: {PM - Pl) (AM - A,) 1 (a a I f (2.70) Vergelijking (2.70) is de standaard formule gebruikt in de ASTM E813 test methode voor het bepalen van de J-integraal gecorrigeerd voor scheurgroei. Rijsbergen [5] geeft in zijn afstudeerverslag een formule die volgens hem een veel nauwkeurigere benadering dan vergelijking (2.70) geeft. In figuur 2.14 geven b,., en bi twee P-A krommen met constante scheurlengte weer. De eigenlijke krommen gaan door punten q., en Ci. Bekijken we het punt Ci. dan is de J-integraal in dit punt gelijk aan J^j., bij een belasting van Pi.^ en een verplaatsing Aj.,. In het punt B, kan de J-integraai geschreven worden als (ongecorrigeerd voor scheurgroei): Pc, Pc,, (A/ - A,.,) (2.71) fig. 2.14: Schema voor herhaald J formule bepaling.

28 24 Voor de J-integraal gecorrigeerd voor scheurgroei, punt C,, kunnen we schrijven (belasting en verplaatsing A,): J ~J -J- (1-0,5 (1.0.5 ^^^L::^) (2.72) waarin: P = de totale belasting. De grootte van de scheurgroei (a, - aj., of b,., - b,) kan berekend worden met een single specimen methode, zoals de key-curve methode, of in geval van multiple specimen methode op de onderstaande wijze. Na het beproeven moet ieder proefstuk gedurende 10 minuten bij 300 C in een oven gelegd worden. Door hierna het proefstuk bij lage temperatuur bros te breken kan de uiteindelijke stabiele scheuruitbreiding bepaald worden. Wanneer deze eind scheuruitbreiding Aa^i^d in een grafiek uitgezet wordt tegen de corresponderende eind verplaatsingen A^^^, dan blijkt er een bij benadering lineaire verband tussen deze waarden te bestaan, zie figuur fig. 2.15: Scfiema voor Aa, benadering. Door lineaire regressie kan de best passende lijn door de datapunten bepaald worden: A, = A/ + C^'Aa, ; A, ^ A, - a, = ab (2.73)

29 25 Voor A, > A n kan dus op elk moment de scheurlengte a, bepaald worden met: 'eind (2.74) waarin: = eind verplaatsing ^elnd Aaeind = eind scheuruitbreiding Ain = verplaatsing bij scheurinitiatie bepaald met behulp van lineaire regressie Ca = helling van de regressielijn ao = begin scheurlengte Door gebruik te maken van de definitie van zoals gegeven in vergelijking (2.43), kan J,^ in herhaalde vorm geschreven worden als: (2.75) waarin J, afhankelijk van de gebruikte methode (standaard methode gecorrigeerd voor scheurgroei of de gecorrigeerde methode van Rijsbergen) bepaald wordt met behulp van vergelijking (2.70) of (2.72) en met vergelijking (2.53). Voor plane strain spanningssituatie met E' = E / (1 - v^) geldt: Voor SENB proefstaven I) (fl Bf,y w f i - ) (2.76) waarin volgens ASTM E-813 geldt: f i - ) (>-^)[ (^). 2,7(^)1 2(1 ^ 2(^)) (1 - ^) 2 (2.77)

30 26 3 TEST METHODES 3.1 DOEL VAN HET ONDERZOEK Het doel * van dit onderzoek is het bepalen van de JR kromme van Fe510Nb met behulp van driepunts-buig proefstukken van verschillende afmetingen bij kamertemperatuur, -40 C en -70 C met behulp van drie verschillende methoden. Deze drie methoden zijn, de standaard multiple specimen methode gecombineert met een gemodificeerde J-integraal theorie, de key-curve en een nieuwe methode. Het is echter de bedoeling dat alleen de geldigheid van de nieuwe methoden, voor dit materiaal gecontroleerd worden. * Noot: Het hoofddoel van dit onderzoek is het bepalen van het verloop van de volledige JR kromme en niet de bepaling van de J, waarde. 32 EEN KORTE BESCHRIJVING VAN DE STANDAARD MULTIPLE SPECIMEN METHODE VOOR HET BEPALEN VAN DE J-INTEGRAAL Het doel van deze methode is het bepalen van de J-integraal van een proefstuk bij scheurinitiatie van langzame stabiele scheurgroei, de J,, waarde. Over het algemeen worden buigproefstaven met diepe beginscheuren voorzien van een vermoeiingsscheurtip aanbevolen voor beproeving. De multiple specimen methode houdt in dat meerdere proefstaven tot verschillende verplaatsings-niveaus worden belast waarna de scheuruitbreiding wordt gemeten, zie figuur 3.1. De belastingssnelheid moet laag zijn en verder wordt aangenomen dat de invloed van het milieu verwaarloosbaar klein is. Bij het belasten wordt de kracht tegen belastingslijn verplaatsing digitaal of grafisch opgenomen. Hieruit wordt de J- integraal bepaald en uitgezet tegen de werkelijke scheurgroei Aa. Tenminste 4 datapunten moeten in een gespecificeerde scheurgroei gebied liggen. Deze punten geven de scheurweerstand van het materiaal weer. De J tegen scheurgroei gedrag wordt hierna benaderd door een best passende machtsfunctie bepaald met de kleinste kwadraten methode met de vorm: InJ = Inq + InAflp (3-1) waarin 01, 02 constanten zijn. In het diagram moet een blunting lijn bepaald uit materiaaleigenschappen en een 0,2mm lijn evenwijdig aan de blunting lijn worden getekend worden.

31 27 Voor de blunting lijn geldt: ^ = 2ooAa (3.2) waarin: CTQ = effectieve trekspanning = Vz (ay + 0^,3) Gy = 0,2% rekgrens G, = treksterkte stable crack growth Aa Fig. 3.1: Principe van de multiple specimen J-integraal methode. De waarde wordt bepaald uit het snijpunt van de 0,2mm blunting lijn en de machtslijn zie figuur 3.2.

32 Fig. 3.2: Definitie geidiglieid data punten BEREKENING EN INTERPRETATIE VAN RESULTATEN De J-integraal waarden worden bepaald uit de belasting tegen belastingslijn verplaatsing diagram. Voor de J-integraal geldt: (3.3) waarin: Je = elastische component van J Jp = plastische component van J. Op ieder punt P,, V op het P-v diagram kan J bepaald worden volgens: (3.4) waarin volgens ASTME 399 geldt: met: Voor SENB proefstaven K^,^ = P,S /1/2 (3.5)

33 29 ^ w' 1,99-0(1 - ^)[2.15-3,93(^). 2,7(^)2] 2(1-2(^)) (1 - ^) 2 (3.6) en: (3.7) waarin: Ap = oppervlakte A zoals gegeven in figuur 3.3 bo = W - ao S = buigoverspanning = 4 W = netto proefstuk breedte bij gezijggroefde proefstukken 1-1=2 voor SENB proefstukken. Als de belasting-ontlastingslijn (unloading line in figuur 3.3) voor het bepalen van de Ap(i) niet is opgenomen dan kan het berekend worden uit de compliantie. Voor SENB proefstaven: 1 C,=- EB. W-a, ,98^H478(-^) (-^)3.1 J39{^f (3.8) waann: fl = fl - (^ - ^/v)' (3.9) * B De eind scheurgroei Aa wordt bepaald volgens de negenpunts-meetmethode, zie figuur 3.4: Aa = I. ^^!-^.j:aa,l (3-10) 8 2 /=2

34 30 LOAD LINL DISPLACtlMENT Fig. 3.3: Definitie data spreidingsgebied. / 2 3 1, Fig. 3.4: Schematiscli breukoppeiviak van een SENB proefstuk met daarin de 9 punten voor de scfieurlengtemeting.

35 GELDIGHEID J,. WAARDE Wil de bepaalde waarde geldig zijn dan moet het aan enkele voorwaarden voldoen namelijk: - Tenminste één J-A ap punt moet liggen tussen de 0,15 mm lijn evenwijdig aan de blunting lijn en de 0,5 mm lijn parallel aan de blunting lijn zie figuur Tenminste één J-Aap punt moet liggen tussen de 1 mm lijn parallel aan de blunting lijn en de 1,5 mm lijn evenwijdig aan de blunting lijn, zie figuur 3.5. Geldige datapunten zijn gegeven in figuur 3.5 met tenminste één punt in zone A en één punt in zone B. De andere J-Aap punten mogen overal in het gebied tussen A en B liggen. CRACK EXTtNSIOlM (niiiil Fig. 3.5: Definilio cjala spreidingsggbicd. - Voor de maximale J waarde moet gelden: J = (3.11) "max De minimale waarde van de scheurgroei Aap^i^ wordt bepaald door het snijpunt van de machtslijn en de 0,15 mm blunting lijn. - De maximale waarde van de scheurgroei Aap^^^ wordt bepaald door het snijpunt van de machtslijn en de 1,5 mm blunting lijn zie figuur Voor de proefstuk afmeting moet gelden:

36 32 b fl = 25 ^ (3.12) - De helling van de machtslijn dj/da bij Aaj, moet kleiner zijn dan - Geen enkele proefstuk moet brosse breuk gedrag vertonen bij de toegepaste temperatuur. - Geen enkele van de scheuruitbreidingen gemeten met de negenpunts-meetmethode moet meer dan 7% van elkaar verschillen. - Geen enkele van de twee scheuruitbreidingen (a, en ag) aan het oppervlakte moet meer dan ± 0,02 W verschillen van die van het midden ag. Als aan al deze voorwaarden is voldaan dan kan de machtslijn functie bepaald worden en is de J waarde bepaald door het snijpunt van de machtslijn en de 0,2 mm lijn evenwijdig aan de blunting lijn, de geldige 4 waarde. JMAX CIIACK IXUNSIUN Iniinl Fig. 3.6: Definitie data geldigiieidsgebied.

37 3.3 DE KEY-CURVE METHODE INLEIDING De key-curve methode, geïntroduceerd door Ernst en Paris (1980), is één van de meest gebruikte enkel proefstuk methoden (single specimen methode) voor het bepalen van de J-integraal. Deze methode is gebaseerd op de mogelijkheid dat het P-A (belasting tegen belastingslijn verplaatsing) diagram van twee-dimensionale gescheurde lichamen genormaliseerd kan worden. Uit het werk van Ernst en Paris volgt dat de grootte van de actuele scheur, en dus de hoeveelheid scheurgroei Aa, op ieder punt van de P-A kromme van het scheurende proefstuk berekend kan worden, als de P-A kromme van een proefstuk met een constante scheurlengte (niet scheurende proefstuk) geconstrueerd kan worden, zodanig dat het de proefresultaten in het gewenste punt snijdt. In figuur 3.7 is een opgenomen P-A diagram gegeven met verschillende curves die elk een andere constante scheurlengte a, hebben. Als een kromme met een constante scheurlengte, bv. a = a, = constant, de opgenomen P-A kromme van het scheurende proefstaaf snijdt, bv. in het punt A, dan zal de scheurlengte van het scheurende proefstaaf in het punt A, a, zijn en de scheuruitbreiding gelijk aan Aa, = a, - a^. Voor ieder punt van het P-A diagram van het scheurende proefstaaf kan men op deze wijze de scheurlengte en dus de scheuruitbreiding bepalen. increasing crack length A 3.7: De key curve methode: P-A diagrammen met constante scheurlengte scheurende proefstaaf.

38 Deze procedure om voor ieder punt een P-A kromme met constante sctieurlengte te construeren is nogal omslachtig. Dit kan worden omzeild door de invoering van de H'/H functie. In hoofdstuk zal worden bewezen dat deze H'/H functie uit het P-A diagram van alleen één proefstuk met een constante scheurlengte bepaald kan worden. ML = il'/a\ = E voor buiging (3.13) 34 Verder wordt bewezen dat de scheurgroei da = a,^, - a, tussen twee punten A en B (figuur 3.7) bepaald kan worden door:, _B_ ''z^' _ wdp^ (3.14) y] w[ H P da j met P, dp, da uit de actuele P-A kromme. Sommeren van de incrementele scheuruitbreidingen da tot een bepaald punt levert de totale scheuruitbreiding Aa van dat punt op. Het P-A diagram van een proefstuk met constante scheurlengte, nodig voor het bepalen van de H'/H functie kan op de volgende manieren bepaald worden. -Experimenteel, door beproeven van stomp gekerfde proefstukken met constante scheurlengte (blunt notched), die alleen bij heel hoge verplaatsingen t.o.v. W scheurinitiatie vertoont. -Numeriek, door eindige elementen methode of door het gebruik van de EPRI handboek (Elastic-Plastic Handbook Solutions- Kumar et al. (1981)). Dit handboek bevat getabelleerde resultaten van eindige elementen berekeningen voor materialen die voldoen aan de Ramberg-Osgood spannings-rek relatie. Voor verdere informatie zie Steenkamp [4]. Uit het bovenstaande blijkt direct dat de key-curve methode geen gecompliceerde test apparatuur vereist, omdat er alleen één P-A diagram nodig is. Het vereist achteraf echter wel een behoorlijk hoeveelheid rekenwerk om de calibratie kromme H'/H uit de test resultaten te bepalen.

39 THEORIE Als een proefstuk belast wordt met een kracht P (per dikte eenheid) dan is het altijd mogelijk de resulterende belastingslijn verplaatsing A in een elastische deel Ag en een plastische deel Ap te splitsen (figuur 3.8). A = A + A (3.15) A, Ar fig. 3.8: Splitsing van de werkelijke verplaatsing in een elastiscfi deel en een piastischi deel voor zowel een stationaire scheur ais een groeiende scheur. De elastische verplaatsing is gerelateerd aan de belasting volgens de proefstuk compliantie C^: p c(^) ff' (3.16) met Cg = som van de compliantie van het ongescheurde proefstuk en van de scheur in het proefstuk. Als het plastische gebied geconcentreerd is in het ligament, d.w.z er geen plastische deformatie ver van de scheurtip is, dan bestaat er een dimensieloze relatie tussen P, A en de proefstuk geometrie [Rice et al.(1973), Ernst & Paris (1980)]: / A \ P I ^ a. S B (3.17)

40 36 waarin: P = belasting B = geheel getal a = scheurlengte b = ligament W = breedte proefstuk S = lengte proefstuk B = dikte proefstuk Deze vergelijking geldt voor ieder twee-dimensionale configuratie en voor ieder monotoon spannings-rek gedrag. Voor gegeven geometrie en materiaaleigenschappen blijven alleen de variabelen P, Ap en a over, wat (3.17) reduceert tot: le^ = (3.18) b[bj [w'w) Omdat de afmetingen van het proefstuk gewoonlijk in verhouding zijn met de hoogte W, kunnen we door met W te normaliseren proefstukken met dezelfde geometrie maar met verschillende afmetingen met elkaar vergelijken, mits de spanningssituatie voor alle proefstaven hetzelfde is. Nu is de afhankelijkheid van a/\n van functie F te verwaarlozen t.o.v de andere componenten als B juist gekozen wordt. Ernst & Paris (1980) en Paris et al. (1980) vinden voor buigstaven 3=1. Vergelijking (3.18) wordt dus: (3.19) De efficiëntie van vergelijking (3.19) kan verder verhoogd worden door de variabelen van F te scheiden. (3.20) Waarin g(a/w) een bekende functie is: e" " ^' (3.21) met a = O voor SENB proefstukken. Er kan worden bewezen dat deze scheiding geldig is. De controle van scheiding van variabelen kan door middel van enkele proeven of met eindige elementen berekeningen worden uitgevoerd. Experimentele F-functies kan men over een groot Ap / W gebied bepalen door gekerfde proefstaven met constante scheurlengte te belasten, waarbij de scheur alleen bij heel grote verplaatsingen (in verhouding tot de proefstuk breedte W) zal gaan groeien. Als de afwijkingen van F van a/w verwaarloosbaar klein zijn, dan zullen de krommen dicht bij elkaar liggen of zelfs over elkaar vallen. Er is in vele praktische gevallen gebleken dat de afhankelijkheid van F van a/w specifiek bekend is of zelfs verwaarloosbaar klein is, waardoor de schei-

41 ding van variabelen een correcte stap blijkt te zijn. We zagen dat (vergelijking (3.21)) dat g(a/w) voor de SENB proefstaaf geometrie bekend is, dus kunnen we de g-functie in de H functie disconteren. P = bh{^) of p = b H[^) (3.22) 37 Voor het bepalen van de grootte van de scheurgroei moeten we vergelijking (3.20) differentiëren naar de onafhankelijke variabelen a en A SCHEURGROEI BEPALING VAN SENB PROEFSTAVEN Differentiëren van (3.20) naar a en A geeft voor SENB proefstukken: dp = ' - ^ g H. ^ Hg' da + g H' da (3.23) met g' = dg (3.24) H / - dh (3.25) Na herschrijven kan de incrementele scheurgroei da geschreven worden (Ernst et al. (1981))als: da = \ --^-^1 da = f- ( -EÉl\ da r\w\h P da) y\w \ P [da]^ P da) (3.26) met r, ^SL - ' ^ 9 P [daj^ (3.27) Uit (3.26) volgt direct: - = (3.28) Voor SENB proefstukken met SA/V = 4 en aa/v > 0,5 geldt (Merkle & Corten (1974) en Clarke en Landes (1978)): 11, = lip = Tl = 2 ; -f ^ 0,5 ; I = 4 (3.29)

42 Uit (3.27) volgt dat g' = O en g = constante. Voor het bepalen van de hoeveelheid scheurgroei is het nodig om H'/H te weten, omdat Tl bekend is en P en üp/da uit het P-A diagram bepaald kunnen worden. De H'/H functie kan afgeleid worden uit een P-A curve van een proefstuk met constante scheurlengte. H (en ook H') is een functie van A/W en niet van a/w. Het P-A diagram van één proefstuk is voldoende om de incrementele scheurgroei da volgens vergelijking (3.26) te bepalen. Het is gebruikelijk geworden deze P-A kromme de 'Key Curve' te noemen (Joyce et al. (1980)) BEPALING VAN DE J-INTEGRAAL De J-integraal zoals voorgesteld door Rice (1968) wordt gegeven door: J = h ^ \ dp= - da (3.30) Door de totale belastingslijn verplaatsing te splitsen in een elastische en een plastische deel kunnen we voor de J-integraal schrijven. J = + Jp = G + (3.31) Waarin voor het elastische deel geschreven kan worden: = r [ ^ ] dp = - f m da^ = G- ^, (3.32) J [ da )p J \daj, E ' met K = de spanningsintensiteitsfactor E' = E voor plane stress E' = E / (1 - \)2) voor plane strain en voor het plastische deel: j p - ï { ^ ] dp-- \ m dap Gebruiken we de uitdrukking zoals gegeven in vergelijking (3.19), samen met de veronderstelling dat da = - db dan kunnen we schrijven: (3.34) Substitueren we (3.34) in (3.33) dan krijgen we (Ernst & Paris (1980)):

43 Uit vergelijking (3.19) en (3.20) volgt met g' = dg / d(a/w) voor buigstaven:, I df \ ^ = ^ ƒ/ dg ^ = ^^.a- P W g' (3.36) [da/wjj, \da/w]^^ da/w g Substitueren van (3.36) in (3.35) geeft: b in O '7 V met:.ui^in.: -_ (I) = 2 - i ^ ' = - ( f (3. 38, Uit bovenstaande analyse blijkt dat voor de buig-geometrie de t) factor een unieke functie is van a, onafhankelijk van Ap. Door geometrische aannamen in acht te nemen geven Merkle & Corten (1974) en Clarke & Landes (1979), ondersteunt door experimentele bewijzen door Landes et el., voor ri: SENB: Tl, = tip = Tl =2 ; ^ 0,5 ; = 4 (3.29) Evenals de procedure voor da, kan J ook gedifferentieerd worden naar de onafhankelijke variabelen a en A. Voor SENB proefstukken geldt: dj Tl ,r-t W T) JL b"- ƒ PdAy da + Jl b PdA (3.39) met: Tl / _ (3.40) Door Y te definiëren (Ernst et al. 1981) als:

44 40 volgt uit vergelijking (3.33) en (3.41): dj= - y^da (3.42) Jb Jo Integratie van vergelijking (3.42) geeft: A a j = [ ^PdA - f Y-^da (3.43) waarin ö, r en Y berekend kan worden door de actuele waarden van de scheurlengte a. Na scheurinitiatie zal de tweede term een correctie voor scheurgroei op J geven, terwijl de eerste term ook beïnvloed wordt door de momentele waarde van T] en b te gebruiken in plaats van de initiële waarde. Voor een kleine hoeveelheid scheurgroei Aa «b is het verschil tussen de gecorrigeerde en niet gecorrigeerde J waarde klein of venwaarloosbaar klein. Gebruiken we vergelijking (3.29) voor TI, dan volgt uit vergelijking (3.41) dat voor SENB proefstukken Y benaderd kan worden door: Y = 1 (3.44) In praktische gevallen, als er een P-A diagram aanwezig is, kan J in herhaalde vorm benaderd worden door (Ernst et al.(1981)). (3.45) waarin AÜ^, de oppervlakte van het P-A diagram voorstelt tussen twee lijnen van constante verplaatsing A, en Aj^,. De scheurgroei da = a,^, - a-, kan experimenteel of analytisch bepaald worden met de bekende H'/H functies (zie ).

45 EEN NIEUWE METHODE VOOR HET BEREKENEN VAN DE J KROMME VOOR ZACHT STAAL INLEIDING De meest gebruikelijke effectieve methode om een JR te bepalen is de "multiple specimen" methode. Deze methode vergt zoals de naam al zegt verschillende proefstaven en is in bepaalde gevallen daarom ook langdradig. In gevallen waar er een tekort is aan proefstaven en men snel tot een resultaat wil komen kan deze methode niet toegepast worden. In dit hoofdstuk zullen we een nieuwe methode bespreken voor het bepalen van de JR kromme. Bij deze methode heeft men alleen één tot twee proefstaven nodig. De spreiding van de data punten is hier ook kleiner BASIS THEORIE We gaan uit van een driepunts-buig proefstaaf met een begin scheurlengte a^. We belasten deze staaf totdat de scheur gegroeid is tot a,. De scheurgroei Aa = a, - a kan worden bepaald door de proefstaaf bros te breken. In figuur 3.9 geeft OOP, de kracht - verplaatsing (P-A) diagram van de proefstaaf. De kromme OCPQ is de P-A curve van een proefstaaf waarbij de scheurtip alleen blunting vertoont (vanaf nu stomp gekerfde proefstaaf genoemd), met een scheurlengte van ao. De stippellijn OP, geeft de P-A curve van de stomp gekerfde proefstaaf met een scheur-lengte van a,. In punt C begint de scheur te groeien en in punt P, is de scheurlengte gegroeid tot a,. Uit de figuur blijkt dat als de beginscheurlengte van de beide proefstaven hetzelfde is, ze tot punt C dezelfde curve volgen. Na punt C gaan de twee curven uit elkaar. Dit komt doordat in punt C de scheurgroei begint. Volgens WEI et al.[33] kan de plastische verplaatsing Ap van een driepunts-buig staaf gegeven worden door: (3.46) waarin: Ap = plastische verplaatsing K = constante P = kracht [N] P, = kracht bij scheurlengte a, n = 1/m = verstevigingscoëfficiënt Vergelijking (3.46) kan herschreven worden als: