Actualisering leerplan wiskunde Eerste graad A-stroom. Deel 2 Meetkunde

Transcriptie

1 Actualisering leerplan wiskunde Eerste graad A-stroom Deel 2 Meetkunde Sessie 6 Begeleiding wiskunde Leerplancommissie wiskunde VVKSO Stuurgroep Hilde De Maesschalck, Maggy Van Hoof, Philip Bogaert, Michel Bogaerts, Geert Delaleeuw, Luc Gheysens, Andre Van der Spiegel, Johan Waterschoot Schooljaar

2

3 Actualisering leerplan eerste graad - Deel Wiskunde en taal 3 Sessie 6: Meetkunde (vervolg) 1 Meetkunde in de eerste graad A-stroom 1.1 Congruentie & transformaties (vervolg op sessie ) Congruentie In de basisschool hebben de leerlingen al kennis gemaakt met figuren die gelijk zijn van vorm en grootte. Dat begrip wordt in de eerste graad vertaald in congruentie. Merk op dat het begrip gelijk van vorm vertaald wordt als gelijkvormigheid van figuren. Dat laatste begrip komt slechts aan bod op een intuïtief niveau van herkennen. Gelijkvormigheid lijkt even gemakkelijk te verwerven voor de leerlingen als congruentie. Het is onder meer gebrek aan lestijden, waardoor de verdiepende studie van gelijkvormigheid maar in de tweede graad aan bod komt. Ook in het verleden kwam bij de opbouw van de meetkundevorming eerst congruentie aan bod. Dit heeft er wellicht mee te maken dat het vaststellen (meten) van gelijkheid van lengte van lijnstukken en gelijkheid van hoekgrootte voor de leerlingen gemakkelijker uitvoerbaar is, dan het werken met gelijke verhoudingen bij gelijkvormigheid. Vermits beide begrippen in het tweede jaar aan bod komen en in de eerste plaats op het intuïtief beheersingsniveau van herkennen, kunnen ze gelijktijdig aangebracht worden. Dit kan weer vanuit de ruime sortering in patronen en vlakke figuren, die in het eerste jaar aan bod kwam, en die terug kan opgenomen worden in het begin van het tweede jaar. Dit past dus weer in het kader van een verbetering van de mathematisering van onze omgeving en onze ervaringen. Voorbeelden voor deze sorteringfase zijn te vinden in patronen in de natuur, in kunst, in versieringen Bij sessie 5 zijn hiervan al voorbeelden gegeven. Hier nog enkele patronen in ingelegde vloeren en in cadeaupapier. Merk op dat congruentie ook kan aangegeven worden bij andere figuren dan driehoeken.

4 4 Actualisering leerplan eerste graad - Deel Wiskunde en taal Congruentie van driehoeken is dan gemakkelijk beschrijfbaar. Het gaat om zes voorwaarden: de zijden twee aan twee met gelijke lengte en de hoeken twee aan twee met gelijke hoekgrootte. De zes voorwaarden zijn echter niet onafhankelijk. Bijvoorbeeld: de eigenschap van de hoekensom in een driehoek laat toe de derde hoek te bepalen als twee hoeken gegeven zijn. Wiskundig voortdenkend op die afhankelijkheid van de voorwaarden, betekent dat we trachten met zo weinig mogelijk voorwaarden te werken. Dat kunnen leerlingen zelf ervaren door opdrachten waarbij ze een driehoek moeten tekenen die aan bepaalde voorwaarden voldoet. De leerlingen ervaren al snel dat één voorwaarde (uiteraard) en twee voorwaarden onvoldoende bepalend zijn. Vanaf welbepaalde combinaties van drie voorwaarden kan de driehoek ondubbelzinnig getekend worden. Uiteraard zal verwoorden in elke situatie bijdragen tot een beter inzicht Transformaties Verschuivingen, spiegelingen, draaiingen zijn nieuwe begrippen voor de leerlingen. Men kan ervoor opteren ze afzonderlijk aan te brengen. Ze kunnen echter ook al deel uitmaken van de sorteringfase van het onderzoeken van figuren en patronen op congruente figuren. Leerlingen zien meestal snel dat in dergelijke patronen verschuivingen en draaiingen een rol spelen. Met hun basiskennis van symmetrie uit de basisschool lukt dat meestal ook voor spiegelingen, inzicht dat soms intrinsiek wat moeilijker ligt. Voorbeelden

5 Actualisering leerplan eerste graad - Deel Wiskunde en taal 5 Zoals aangegeven in de verschillende figuren kan men de transformaties illustreren door middel van pijlen. Merk op dat de leerlingen het begrip transformatie zelf niet kennen. Het is ook niet de bedoeling hierop verder in te gaan, zeker niet in de modale leerlingengroepen. De moeilijkheid is dat leerlingen vanuit de sortering wel inzien dat figuren getransformeerd worden in figuren. Dat de ballast van het hele vlak mee wordt getransformeerd en weer afgebeeld op het gehele vlak, ontgaat vele leerlingen. Deze abstractie is op dit ogenblik van de vorming nog niet nodig. Het hoeft dus niet aangeboden te worden aan de leerlingen. Meteen is het duidelijk dat op dit leerniveau transformaties, en in het bijzonder ook spiegelingen, verschuivingen en draaiingen, niet meer gekoppeld worden aan structurele elementen uit de algebra of de functieleer. Eventueel kan men het begrip transformatie als uitbreidingsleerstof uitwerken. Maar het valt te verwachten dat leerlingen, op het ogenblik dat ze deze kennis effectief nodig hebben, die niet meer zullen koppelen aan wat ze hier gezien hebben Uitleggen Wat door de leerlingen geleerd wordt in verband met congruentie van figuren en transformaties blijft op een relatief beperkt beheersingsniveau van herkennen, verwoorden, uitvoeren. Begrippen en eigenschappen die onderzocht en geformuleerd werden, blijven als basiskennis over. Deze basiskennis kan nu echter wel gebruikt worden om allerlei nieuwe eigenschappen te onderbouwen. Congruentie en transformaties kunnen op deze wijze functioneren als motoren van bewijsvoering. Zo kunnen een aantal eigenschappen in verband met vlakke figuren die tevoren als intuïtief aanvaard werden, nu aangetoond worden. Zoals al vertrouwd is er vaak een keuze mogelijk tussen gebruik van congruentie of van een spiegeling, een verschuiving of een draaiing. Daarbij blijkt dat leerlingen het vaak moeilijker hebben met het verwoorden en neerschrijven van de redenering met transformaties dan die met congruentie van driehoeken. Voorbeelden - Eigenschappen over de diagonalen van vierhoeken. Bijv. De diagonalen van een parallellogram delen elkaar middendoor. De diagonalen van een rechthoek zijn even lang. - De eigenschappen van de middelloodlijn van een lijnstuk en van de bissectrice van een hoek en hun omgekeerde. - Eigenschappen over de symmetrie in driehoeken en vierhoeken. Bijv. In een gelijkbenige driehoek is de hoogtelijn uit de tophoek een symmetrieas.

6 6 Actualisering leerplan eerste graad - Deel Wiskunde en taal 1.2 Leerplan Tweede leerjaar - leerplan a Doelstellingen van het leerplan 1 B In het vlak figuren herkennen die het beeld zijn van een gegeven figuur door een verschuiving, een spiegeling of een draaiing. 2 B Het beeld van een vlakke figuur bepalen door een verschuiving, een spiegeling of een draaiing. 3 B De eigenschappen van een verschuiving, een spiegeling en een draaiing verwoorden. 4 B Congruente figuren herkennen. 5 B De congruentiekenmerken van driehoeken formuleren en illustreren door tekening. 6 B Gelijke hoeken construeren met behulp van een passer en de werkwijze verklaren met congruentiekenmerken. 7 B Gelijkvormige figuren herkennen. 8 B Het verband leggen tussen gelijkvormigheid van figuren en het begrip schaal. 13 B Het kenmerk van de middelloodlijn van een lijnstuk verwoorden. 14 B De eigenschap van de middelloodlijn van een lijnstuk bewijzen. 15 U De omgekeerde van de eigenschap van doelstelling 14 bewijzen. 16 B Het kenmerk van de bissectrices van een paar snijdende rechten verwoorden. 17 B De eigenschap van de bissectrices van een paar snijdende rechten bewijzen. 18 U De omgekeerde van de eigenschap van doelstelling 17 bewijzen. 19 B De middelloodlijn van een lijnstuk en de bissectrice van een hoek construeren met behulp van de passer. 20 B Eigenschap van de basishoeken van een gelijkbenige driehoek verwoorden en bewijzen. 21 U Omgekeerde van de eigenschap van doelstelling 20 bewijzen. 22 B Eigenschappen in verband met zijden, hoeken en diagonalen van een parallellogram, een rechthoek, een ruit en een vierkant verwoorden en bewijzen. 25 B Symmetrieassen en symmetriemiddelpunten in vlakke figuren bepalen Actualisering van het leerplan A Doelstellingen transformaties 1 B In het vlak figuren herkennen die het beeld zijn van door een verschuiving, een spiegeling of een draaiing. een gegeven figuur 2 B Het beeld van een vlakke figuur bepalen door een verschuiving, een spiegeling of een draaiing.

7 Actualisering leerplan eerste graad - Deel Wiskunde en taal 7 3 B De eigenschappen van een verschuiving, een spiegeling en een draaiing verwoorden. Begrippen als spiegeling, verschuiving, draaiing zijn nieuw voor de leerlingen. In de basisschool werd wel aandacht besteed aan het herkennen van spiegelbeelden, maar dan in een reële context en met als hoofddoel het herkennen van symmetrie in figuren. Merk de beheersingsniveaus uit de doelstellingen op: herkennen, bepalen, verwoorden. Het bewijzen of verklaren van eigenschappen van transformaties wordt niet vernoemd. Figuren herkennen die het beeld zijn van betekent alleszins dat men uitgaat van een gegeven figuur, een gegeven situatie, waarbij leerlingen twee figuren onderling associëren met elkaar als zijnde de ene het beeld van de andere door een van de genoemde transformaties. Of dat ze zien hoe die figuur beeld is van zichzelf door de transformatie. Zoals al aangegeven kan men hier terugvallen op de aanvangsfase van meetkunde in het eerste en/of het tweede leerjaar. Die aanbeveling was dat leerlingen eerst een aantal situaties observeren en analyseren. Dat biedt voldoende materiaal om de meetkunde uit te bouwen en de bijzondere studie ervan te motiveren. Het terug opnemen en nauwkeuriger onderzoeken van enkele realistische voorbeelden laat toe op korte tijd de verschillende transformaties te ontdekken en de kenmerken ervan te formuleren. Een aantal applets bieden de mogelijkheid transformaties te simuleren (zie bijlage 11 websites). In deze fase is het zinvol de leerlingen niet alleen te confronteren met de traditionele spiegeling, verschuiving en draaiing. Andere voorbeelden die aan bod kunnen komen zijn glijspiegelingen en uitrekkingen of inkrimpingen. Voorbeelden

8 8 Actualisering leerplan eerste graad - Deel Wiskunde en taal In het tweede jaar van de A-stroom hoort hier wel de vraag naar een verantwoording, een verklaring. We aanvaarden niet zomaar klakkeloos wat we menen te zien. We zoeken naar argumenten, die onderbouwen wat we beweren: waarom is het zo? Dergelijke verklaringen zoeken of natrekken zijn een voorbereiding op het bewijzen in andere situaties (zijn de afstanden tot de spiegelas gelijk, staan de rechten die overeenkomstige punten verbinden loodrecht op de spiegelas, zijn de lijnstukken die overeenkomstige punten verbinden evenwijdig en even lang?). Leerlingen leren hierdoor argumenten herkennen (cf. gereedschapskist) en formuleren. Een mogelijke tussenstap is dat leerlingen deze elementen op de figuur moeten aanbrengen (bijv. duid gelijke lijnstukken aan, duid evenwijdige lijnstukken aan.). Let wel, het gevraagde beheersingsniveau is herkennen. Dat betekent dat een formele definitie niet hoeft aan bod te komen. (Zoals hiervoor al gesteld is het probleem wellicht de algemeenheid van het afbeelden van alle punten van het vlak.) Bij de verklaringen zal relatief intuïtief moeten gewerkt worden. In feite gaat het om het verwoorden van een aantal basisvoorwaarden, zonder een al te formele vorm. Spiegeling, verschuiving en draaiing worden zo in feite beschouwd als basis begrippen. Merk ook op dat het begrip transformatie zelf nog niet gebruikt werd. Het is beter te investeren in een ruim gebruik van de transformaties, dan wel in het formeel formuleren van de definities ervan. Dat laatste kan als uitbreiding aan bod komen.

9 Actualisering leerplan eerste graad - Deel Wiskunde en taal 9 Beheersingsniveau Uitbreiding Een verschuiving, een spiegeling, een draaiing definiëren als transformatie van het vlak. Uit voorgaande sortering houden we drie belangrijke transformaties over: de verschuiving, de spiegeling, de draaiing. Voor de gemakkelijkheid bij de formulering is het ook zinvol de puntspiegeling als specifieke draaiing te vermelden. In de voorgaande werkwijze wordt meestal een figuur gegeven en een of meerdere beeldfiguren. Leerlingen moeten dan de transformatie bepalen die de ene afbeeldt op de andere. Ook omgekeerd kan gewerkt worden door bij een aantal figuren een of meerdere transformaties te geven en leerlingen te laten bepalen welke figuur het beeld is van een gegeven figuur door die transformatie(s). Het beheersingsniveau (herkennen), dat ook in de overeenkomstige eindterm wordt gebruikt, laat weinig ruimte toe naar herformulering en begrenzing. In feite is doelstelling 1 een elementaire doelstelling. Bij de draaiing kan men de draaihoek eenvoudig houden. Slechts de complexiteit van de aangeboden situaties (bijv. verschillende vlakke figuren door elkaar getekend, de spiegelas gaat door de figuur, een puntspiegeling met centrum in de figuur of op de rand van de figuur) kan het bereiken van deze doelstelling enigszins bemoeilijken. Merk ook op dat de doelstellingen geen melding maken van samenstellen van verschillende transformaties. Dat komt aan bod in de tweede graad. In de aanvangsfase is het symbolisch noteren van de transformaties voor vele leerlingen een probleem. De moeilijkheid is, dat men probeert in de notatie de nodige informatie te stoppen, die de transformatie volledig bepaalt: t AB is de verschuiving bepaald door het georiënteerde lijnstuk AB ; is de spiegeling t.o.v. de rechte a; is de draaiing om s a r (O,30 ) O over een georiënteerde hoek van 30. Daarbij is het zinvol van die informatie inderdaad in de notatie op te nemen, maar dan weer lastig als dit veelvuldig moet geschreven worden. Men kan dit vermijden door met letters t, s of r te werken (eventueel aangevuld met indices) en eenmaal heel duidelijk aan te geven welke de karakteristieken van die transformatie zijn. Dat kan dan in een zin (t is de verschuiving bepaald door het georiënteerde lijnstuk AB ) of symbolisch afgekort (t = t AB ). Bij doelstelling 2 gaat het om het bepalen van het beeld van een vlakke figuur door een verschuiving, een spiegeling of een draaiing. Hier gaat het om het zelf uitvoeren van de transformaties, dus het uittekenen ervan. Leerlingen moeten zeker een aantal eenvoudige situaties eigenhandig kunnen uitvoeren. Het zelf uitvoeren versterkt het inzicht. Dat geldt ook voor het uitvoeren van dergelijke transformaties met behulp van een meetkundig tekenprogramma. Bij het uitvoeren van een opdracht met ICT moeten de juiste instructies ingegeven worden (bijv. bij spiegel punt A ten opzichte van as b aanklikken van spiegeling, punt, rechte). Dit vereist een inzicht in de (teken)procedure. Het inzichtelijk werken wordt dus behouden, het uitvoeren kan dan overgenomen worden door de computer. Dit biedt een mogelijkheid om ook eens een complexere figuur te transformeren. Wat betreft moeilijkheidsgraad, kan de doelstelling beperkt worden door een beperking te leggen op de figuur waarop de transformatie wordt uitgevoerd. Eenvoudige figuren zijn een punt, een lijnstuk een driehoek. Beheersingsniveau Elementair Het beeld van een punt, een lijnstuk of een driehoek bepalen door een verschuiving, een spiegeling of een draaiing. Het leerplan vermeldt, dat voor een snelle uitvoering van de tekenopdrachten bij transformatie kan gekozen worden voor het werken met ruitjespapier. Dat wil concreet bijvoorbeeld zeggen: - de hoekpunten van de gegeven figuur zijn roosterpunten;

10 10 Actualisering leerplan eerste graad - Deel Wiskunde en taal - het georiënteerde lijnstuk dat de verschuiving bepaald is door roosterpunten gegeven; - de spiegelas van de spiegeling valt samen met de rasterlijnen, met diagonalen van ruitjes; - het centrum van de puntspiegeling is een roosterpunt. Daarbij moet wel aandacht besteed worden aan het telkens opnieuw bevragen van wat men aan het uitvoeren is (bijv. bij de spiegeling, loodrechte stand, gelijke afstand). Men kan beter enkele oefeningen degelijk maken (d.w.z. met voldoende verklaringen ), dan wel een reeks figuren waarbij figuren worden na getekend. Beheersingsniveau Elementair Het beeld van een veelhoek bepalen door een verschuiving, een spiegeling of een puntspiegeling, waarbij de ruitjes als hulp kunnen gebruikt worden. Het tekenen van het beeld van een verschuiving, een spiegeling of een draaiing kan uiteraard ook uitgevoerd worden zonder ruitjes. Dit is de basisdoelstelling. Wel moet men er zich bewust van zijn dat bijv. het telkens tekenen van de loodlijnen op de spiegelas of het overbrengen van de draaihoek een omslachtige en tijdrovende bezigheid is. Veel eerder zal men tijd besteden aan het maken van zinvolle redeneeroefeningen. (Zie bijlagen 1 en 3). Situaties waarbij alle constructies uit te voeren zijn (dus geen ruitjes), met een complexe figuur of waarbij de onderlinge ligging van figuur en spiegelas bijkomende moeilijkheden genereert, zijn te beschouwen als uitbreiding. Dus ook hier geldt de slogan: beter eerst vlotheid in de tekenvaardigheid dan complexiteit. Het aangegeven beheersingsniveau van doelstelling 3 is verwoorden. Dit sluit zeker het niveau herkennen van de eigenschap in. Waar mogelijk zal een verklaring gegeven worden (we aanvaarden zomaar niet wat gezegd wordt), maar het niveau formeel bewijzen wordt niet gevraagd. Een verklaring geven betekent hier dan het plausibel maken van de eigenschap tegen de intuïtieve verwoording die aan de begrippen verschuiving, gegeven is. Dat zal gebeuren door onderzoekjes van situaties (bijvoorbeeld met gebruik van ICT). Men presenteert een aantal heldere situaties, de leerling wordt met vraagjes naar besluiten geleid. Voorbeeld - Spiegel een parallellogram. - Welke figuur is het beeld? - Controleer dat met de zijden van de gespiegelde figuur. - Meet de zijden van gegeven figuur en die van de nieuwe figuur. Kan je hieruit een eigenschap afleiden over spiegeling en de lengte van zijden. - Meet de hoeken van de gegeven figuur en die van de gespiegelde figuur. Kan je hieruit een eigenschap afleiden over spiegeling en hoekgrootte. Merk op dat een aantal van deze situaties al aan bod zal gekomen zijn bij de fase van sorteren van de transformaties en die van het tekenen van het beeld van een figuur door die transformaties. Met andere woorden een groot deel van het daar uitgetekend materiaal kan hier als voorbereidend gebruikt worden. Men moet dan niet opnieuw de constructies laten uitvoeren en zodat tijd kan gewonnen worden. Het gaat meer om het telkens verwoorden van wat men heeft vastgesteld. Merk op dat men met een meetkundig tekenprogramma figuren snel kan veranderen (het handje). Men kan zo snel controleren of eigenschappen veralgemeend kunnen worden. De eigenschappen die hier bedoeld worden zijn - het behoud van lengte en hoekgrootte, - het behoud van de collineariteit (het op een rechte liggen) - het behoud van de evenwijdigheid van rechten - het behoud van de loodrechte stand van rechten.

11 Actualisering leerplan eerste graad - Deel Wiskunde en taal 11 Niet al deze eigenschappen moeten als een theoretisch onderdeel aangeboden worden. Een aantal kan zeker aan bod komen als oefeningen op onderzoeken (bijv. met ICT) en leren formuleren van de gevonden resultaten. Zoals al elders gezegd kan dan de autoriteit van de leerkracht ingeroepen worden voor het vastleggen ervan als eigenschap, en dus het eventueel opnemen van de eigenschap in de gereedschapskist. De essentie van het leerproces hier ligt dus in onderzoeken en in verwoorden. Men zal er echter over waken dat de leerlingen niet de indruk krijgen, dat elke situatie die ze onderzoeken, leidt tot een eigenschap. Een voorbeeld wordt gegeven door de cirkelspiegeling, waarbij een rechte niet noodzakelijk op een rechte wordt afgebeeld. (Zie bijlage 6.) Bij het werken met figuren en het bewijzen van eigenschappen in dat deel zullen de hier gevonden eigenschappen uiteraard wel moeten kunnen functioneren in verklaringen. (Zie bijlagen 3 en 4.) B Doelstellingen congruentie 4 B Congruente figuren herkennen. 5 B De congruentiekenmerken van driehoeken formuleren en illustreren door tekening. 6 B Gelijke hoeken construeren met behulp van een passer en de werkwijze verklaren met congruentiekenmerken. Ook voor het deel congruentie zijn de beheersingsniveaus herkennen, verwoorden en illustreren. Hier worden geen echte bewijzen verwacht van bijv. de congruentiekenmerken. Die worden aanvaard als correct, nadat ze op figuren plausibel gemaakt zijn. De leerlingen moeten zelf kunnen tekenen en verwoorden. De didactische aanpak in meerdere handboeken biedt al dergelijke goede leermomenten. Voorbeelden - Teken een driehoek waarvan de lengten van de drie zijden gegeven zijn (bijv. als gegeven lijnstukken). - Teken een driehoek waarvan een lijnstuk en een aanliggende hoek en een overstaande hoek gegeven zijn. Driehoek ABE Zijde [AB] meet 5 cm. Â meet 30. Ê meet 45. Belangrijk is hen, niet alleen te confronteren met situaties die leiden naar een kenmerk. Ook tegenvoorbeelden van niet correcte situaties zijn vormend, omdat ze leerlingen doen inzien, dat niet elk opgezet onderzoekje tot een effectieve eigenschap leidt. Voorbeelden - Teken een driehoek waarvan de lengten van de drie zijden gegeven zijn - Teken een driehoek waarvan de drie hoeken gegeven zijn. Driehoek AEI

12 12 Actualisering leerplan eerste graad - Deel Wiskunde en taal  meet 50. Ê meet 60. Î meet 70. Dergelijke onderzoekjes en het telkens verwoorden van de stappen die men daarbij zet, kan later gebruikt worden als opstap naar effectieve bewijzen: situaties waar leerlingen al wel de achtergrondkennis hebben en wel in staat zijn om de bewijzen uit te schrijven. Het leerplan voorziet niet in het formuleren van afzonderlijke congruentiekenmerken voor rechthoekige driehoeken. Die zijn terug te brengen tot de andere kenmerken (willekeurige driehoek) waarbij de rechte hoek een van de gegevens is. Uiteraard kunnen deze kenmerken als oefeningen onderzocht worden C Doelstellingen gelijkvormigheid 7 B Gelijkvormige figuren herkennen. 8 B Het verband leggen tussen gelijkvormigheid van figuren en het begrip schaal. Voor alle leerlingen blijft de studie van gelijkvormigheid beperkt tot het herkennen van gelijkvormige figuren. In de basisschool hebben leerlingen al kennis gemaakt met herkennen van figuren van gelijke vorm. Schijnbaar gaat het om dezelfde leerinhoud. Toch kan het herhalen van deze inhouden in het secundair onderwijs een meerwaarde bieden, precies door het verklaren van die gelijkvormigheid, dus in het onderbouwen van de bewering met argumenten dat die gelijkheid van vorm bestaat. Wel heeft men nog geen criteria om dit vast te stellen. Het verband tussen gelijkvormigheid en schaal is voor vele leerlingen moeilijk. Schaal is een lineair begrip. Dat betekent het werkt in een dimensie. Het werkt op de lengte. Wat leerlingen vaak zien op figuren is twee dimensies (of eventueel drie). Dat schept verwarring: een figuur wordt (in oppervlakte) vier keer groter, de lengte echter met factor twee. Bij statistische voorstellingen wordt hier soms misbruik van gemaakt om een groter effect te bekomen. Deze passen in een synthese tussen de leerplanonderdelen schaal, gelijkvormigheid en gebruik van diagrammen. (Zie ook artikel over lineariteitsillusie in bijlage 5.) D Doelstellingen merkwaardige lijnen 13 B Het kenmerk van de middelloodlijn van een lijnstuk verwoorden. 14 B De eigenschap van de middelloodlijn van een lijnstuk bewijzen. 15 U De omgekeerde van de eigenschap van doelstelling 14 bewijzen. 16 B Het kenmerk van de bissectrices van een paar snijdende rechten verwoorden. 17 B De eigenschap van de bissectrices van een paar snijdende rechten bewijzen. 18 U De omgekeerde van de eigenschap van doelstelling 17 bewijzen. 19 B De middelloodlijn van een lijnstuk en de bissectrice van een hoek construeren met behulp van de passer. De begrippen middelloodlijn van een lijnstuk en bissectrice van een hoek werden al in het eerste jaar aangebracht. Ook het tekenen van deze lijnen met behulp van de geodriehoek werd al aangeleerd. De eindtermen vermelden ook de constructie van deze merk-

13 Actualisering leerplan eerste graad - Deel Wiskunde en taal 13 waardige lijnen. Daarvoor is de kenmerkende eigenschap de basis. Deze eigenschappen kunnen aangetoond worden met congruentie of met behulp van de eigenschappen van de spiegeling E Doelstellingen eigenschappen verwoorden en bewijzen 20 B Eigenschap van de basishoeken van een gelijkbenige driehoek verwoorden en bewijzen. 21 U Omgekeerde van de eigenschap van doelstelling 20 bewijzen. 22 B Eigenschappen in verband met zijden, hoeken en diagonalen van een parallellogram, een rechthoek, een ruit en een vierkant verwoorden en bewijzen. De leerlingen moeten uit de eerste graad een aantal meetkundige eigenschappen overhouden, die vlot kunnen toegepast worden bij het onderzoeken van meetkundige situaties, het verklaren van eigenschappen, het oplossen van meetkundige problemen. Een vlotte en soepele verwoording en een duidelijke visuele ondersteuning zullen het gebruik van die eigenschappen verhogen. Deze toolkit (gereedschapskist zie bijlage 3 bij sessie 5) vormt een duidelijk hanteerbaar kader, waarop de leerlingen kunnen terugvallen als ze meetkundige situaties onderzoeken. Zo n lijst kan geleidelijk en samen met de leerlingen worden opgebouwd (bijv. nadat een eigenschap ontdekt en onderzocht is, kan ze al of niet toegevoegd worden aan de lijst). Deze eigenschappen moeten niet noodzakelijk allemaal a priori gememoriseerd worden. Het veelvuldig teruggrijpen naar deze lijst zal er voor zorgen dat leerlingen deze eigenschap wel kennen op niveau toepassing. Het overzicht moet dus voortdurend beschikbaar zijn. Dat kan bijvoorbeeld in de vorm van een vademecum. - Eigenschappen over de gelijkheid van lengten van de zijden hoeken van driehoeken en vierhoeken. en de grootte van de - De driehoeksongelijkheid tussen de zijden van een driehoek. - In elke driehoek is de lengte van elke zijde korter is dan de som van de lengten van twee andere. - Eigenschappen over de diagonalen van vierhoeken. - Eigenschappen over de hoeken bij een snijlijn van evenwijdige rechten. - De eigenschappen van de middelloodlijn van een lijnstuk en van de bissectrice van een hoek en hun omgekeerde. - Eigenschappen van (invariantie bij) een verschuiving, een spiegeling, een draaiing. - De congruentiekenmerken van driehoeken. - Eigenschappen over de symmetrie in driehoeken en vierhoeken. Belangrijk is dat deze lijst van eigenschappen geen steriel overzicht is van een aantal geziene en/of bewezen eigenschappen. Het is niet noodzakelijk dat leerlingen deze lijst memoriseren. Ze kunnen die lijst beter in een vademecum opnemen en dat voortdurend gebruiken bij hun onderzoeken en argumenteren. De lijst moet vooral gemakkelijk hanteerbaar zijn in nieuwe situaties. Daarom is een ordening op basis van bruikbaarheid een zinvolle ordening. Voorbeelden (zie ook bijlage 3 bij sessie 5) Met we lke hulpmiddelen kan verklaard, bewezen worden dat

14 14 Actualisering leerplan eerste graad - Deel Wiskunde en taal - twee rechten evenwijdig zijn, - twee hoeken even groot zijn, - de lengten van twee lijnstukken gelijk zijn, - een punt het midden is van een lijnstuk, - een vierhoek een parallellogram is, - drie punten collineair zijn, Een dergelijke opvatting en ordening van de gekende eigenschappen zal de leerlingen meer hulp bieden bij het zelfstandig exploreren van meetkunde. Voor de didactische aanpak van bewijzen, zie het onderdeel Leerplan tweede leerjaar - leerplan b 1 B In het vlak figuren herkennen die het beeld zijn van een gegeven figuur door een verschuiving, een spiegeling of een draaiing. 2 B Het beeld van een vlakke figuur bepalen door een verschuiving, een spiegeling of een draaiing. 3 B Eigenschappen van een verschuiving, een spiegeling en een draaiing verwoorden. 4 B Congruente figuren herkennen. 5 B Gelijkvormige figuren herkennen. 6 B Het verband leggen tussen gelijkvormigheid van figuren en het begrip schaal. 8 B Het kenmerk van de middelloodlijn van een lijnstuk verwoorden. 9 B Het kenmerk van de bissectrices van een hoek verwoorden. 10 B De middelloodlijn van een lijnstuk en de bissectrice van een hoek construeren met behulp van de passer. 16 B Symmetrieassen en symmetriemiddelpunten in vlakke figuren bepalen. 1.4 Actualisering van het leerplan Doelstellingen transformaties 1 B In het vlak figuren herkennen die het beeld zijn van een gegeven figuur door een verschuiving, een spiegeling of een draaiing. 2 B Het beeld van een vlakke figuur bepalen door een verschuiving, een spiegeling of een draaiing. 3 B Eigenschappen van een verschuiving, een spiegeling en een draaiing verwoorden. Merk op dat de doelstellingen die hier geformuleerd zijn voor het leerplan b identiek zijn aan deze van het leerplan a. De behandeling in de klas zal echter verschillend zijn. Voor de leerlingen van deze groep is de kennis van de transformaties minder noodzakelijk in

15 Actualisering leerplan eerste graad - Deel Wiskunde en taal 15 Het tekenen van het beeld van een vlakke figuur kan beperkt worden tot het tekenen met behulp van ruitjespapier. hun curriculum. De verwerking kan hier dus tot een minimum beperkt worden. Dat wil zeggen tot het gebruik van eenvoudige figuren en eenvoudige liggingen van as en cen- trum. (Zie hiervoor de beschrijving van de elementaire beheersingsniveaus van leerplan a.) Waar mogelijk zal toch geprobeerd worden meer te doen dan louter uitvoeren. Het verwoorden en intuïtief verklaren door de leerlingen van wat ze doen, blijft een belangrijk onderdeel van wiskundige vorming. (Zie daarvoor de analoge opmerkingen bij sessie 5.) Dat verwoorden zal weliswaar op de lagere taalniveaus liggen. Het bespreken van de eigenschappen zal beperkt worden tot het onderzoeken en verwoorden van enkele duidelijke situaties, zoals het behoud van lengte, het behoud van hoek. Zoals bij leerplan a zullen deze eigenschappen fungeren als basiseigenschappen waarop de leerlingen kunnen terugvallen bij het argumenteren bij oefeningen. Let wel, deze leerlingen zullen wellicht gemakkelijker redeneren met congruentie en gelijkvormigheid Doelstellingen congruentie en gelijkvormigheid 4 B Congruente figuren herkennen. 5 B Gelijkvormige figuren herkennen. 6 B Het verband leggen tussen gelijkvormigheid van figuren en het begrip schaal. Zowel congruentie als gelijkvormigheid komen aan bod op het beheersingsniveau herkennen. Concreet betekent het dat de leerlingen werken met gegeven figuren, en daarvan de congruente (de gelijkvormige) figuren aanduiden. Daar waar mogelijk zal weer geprobeerd worden ook de waaromvraag te beantwoorden. Let wel dat de leerlingen niet beschikken over criteria. Ze zullen hier dus maar kunnen argumenteren met de gelijkheid (de verhouding) van de lengten van de lijnstukken en de gelijkheid van de hoeken. Het heeft geen zin hen op een verkapte wijze snel de criteria mee te geven voor praktisch gebruik. Die komen pas in de tweede graad aan bod en steunen op de ervaring die in de eerste graad werd opgedaan in deze praktische situaties Doelstellingen merkwaardige lijnen 8 B Het kenmerk van de middelloodlijn van een lijnstuk verwoorden. 9 B Het kenmerk van de bissectrices van een hoek verwoorden. 10 B De middelloodlijn van een lijnstuk en de bissectrice van een hoek construeren met behulp van de passer. De begrippen middelloodlijn van een lijnstuk en bissectrice van een hoek werden in het eerste jaar aangebracht. Ook het tekenen van deze lijnen met behulp van de geodriehoek werd al aangeleerd. De eindtermen vermelden de constructie van deze merkwaardige lijnen. Daarvoor zijn de kenmerkende eigenschappen de basis. Die moeten dus eerst geformuleerd worden. Dat kan na een geleid onderzoek. Merk op dat hier geen bewijzen verwacht worden.

16 16 Actualisering leerplan eerste graad - Deel Wiskunde en taal Deel 3 Aanvullende didactische commentaren 1 Wiskunde en taal 1.1 Werken met beheersingsniveaus In de voorbije sessies werd ruim gebruik gemaakt van de term beheersingsniveaus om aan te geven dat het denken en het leerproces bij de leerlingen getrapt verloopt, en dat een gedifferentieerde werkwijze dan ook voor de hand ligt. We brengen hier een aantal ideeën rond beheersingsniveaus samen. Het werken met beheersingsniveaus is een heel normale werkwijze. - Zo kunnen we een of ander liedje, schlager, vlot meezingen. Meteen daarvan de noten neerschrijven op de notenbalk is een ander verhaal. - Het herkennen van de Romaanse, de Gotische, de Barok bouwstijl lukt wel als we een of andere kerk binnenstappen, maar meteen de fundamentele kenmerken ervan opnoemen ligt dan weer moeilijk. - We kopen (en verkopen) misschien wel dagelijks, maar vakgebieden als handel en economie zijn zeker geen algemeen goed. - Sommigen onder ons kunnen misschien wel een wiel vervangen, maar het echte onderhoud van onze auto laten we liever over aan een professionele garagist. Het zou een onleefbare situatie worden als we in het dagelijks leven van alles een formele omschrijving zouden moeten kennen en kunnen hanteren. Het antwoord op de vraag wat is een stoel? is niet vanzelfsprekend. Toch gebruiken we die term vlot, ook in moeilijke situaties. We zijn dus gebruikers (consumenten) van een aantal dingen, zonder dat we daarvan dagdagelijks de finesses hanteren. Een kritische bedenking hierbij: vaak kunnen we opgrond van onze vorming wel een aantal van die verfijningen aanbrengen als dat gevraagd wordt, of kunnen we die opzoeken. Met de wiskundevorming is er iets gelijkaardigs. Een aantal mensen hanteert wiskunde op een gebruikersniveau, op een consumentenniveau. En voor hen volstaat dat. Uiteraard zijn er ook mensen die wiskunde op een veel intensiever niveau nodig hebben. In de praktijk is er dus een gradatie in het al of niet wiskunde hanteren en de niveaus waarop die wiskundekennis moet kunnen gemobiliseerd worden. Het curriculum wiskunde doorheen het secundair onderwijs biedt dan ook een breed spectrum van wiskundige vormingen aan. Bedoeling is dat leerlingen hierin keuzes maken in functie van hun eigen doelen en hun intrinsieke mogelijkheden.

17 Actualisering leerplan eerste graad - Deel Wiskunde en taal 17 In de eerste graad A-stroom wordt er structureel nog geen onderscheid gemaakt tussen de leerlingen en de wegen die ze zullen uitgaan. De potentiële verschillen zijn wel aanwezig en moeten ontwikkeld worden. Dit vraagt dus enige soepelheid in het omgaan met het niveau waarop wiskunde wordt verwerkt. Van sommige leerlingen kan in sommige situaties al een hoger beheersingsniveau gevraagd worden. In de doorstroming naar bepaalde studierichtingen is een hoger beheersingsniveau een voorwaarde. Dat is precies de oriënteringsfunctie van de eerste graad. En daaraan kan maar tegemoet gekomen worden als wiskunde ook op een gedifferentieerde wijze wordt aangeboden. Dat wil zeggen dat leerlingen hun ontwikkelingskansen met wiskunde volwaardig moeten kunnen inschatten. De consequenties ervan zouden uiteraard moeten opgevolgd worden bij de keuze voor de vervolgopleiding. Beheersingsniveaus We vatten de beheersingsniveaus nu samen in het volgende overzicht en zoals ze in de doelstellingen gebruikt worden. Herkennen en benoemen De leerling is in staat het begrip in concrete situaties te herkennen. Hij kan er voorbeelden van aanwijzen. Voorbeeld De leerling kan een vierkant aanwijzen in een reeks figuren. Hij kan van een figuur in het rijtje zeggen of het een vierkant is of niet. De leerling heeft van het begrip een intuïtieve, niet geëxpliciteerde begripsomschrijving, die hij zich eigen gemaakt heeft op basis van een leerproces, waarin vele voorbeelden en tegenvoorbeelden werden aangegeven (denk aan het begrip stoel ). Het gaat hier om de fase van de betekenisgeving aan begrippen. Bij meetkunde gaat het vaak om een visueel beeld (figuur, tekening, schema) waaraan hij het begrip associeert. Het aangewezen leerproces is dat waarin de leerling geconfronteerd wordt met betekenisvolle situaties, met andere woorden het geven van goede voorbeelden én tegenvoorbeelden. Daarin moet de leerling dan aangeven of de figuur, de situatie voldoet of niet. Belangrijk in dit proces is dat de leerling hier toch al de kans krijgt effectief de aangeboden voorbeelden te benoemen. Alleen dan kan er controle zijn of de juiste associaties gemaakt worden. Begripsverwarring is vaak te wijten aan een te weinig verwoorde associatie, die dan soms hardnekkig blijft voortleven, precies omdat die eerste vastzetting zo belangrijk is in het proces. Verwoorden en gebruiken De leerling kan het begrip hanteren op basis van voorwaarden waaraan het moet voldoen. Hij kan eigenschappen van het begrip aangeven. De vorm is echter nog ongestructureerd en niet geformaliseerd. Voorbeeld De leerling kan aangeven dat een figuur een gelijkbenige driehoek is, omdat er twee gelijke benen zijn. Hij kan bij een gegeven trapezium aanwijzen (benoemen) welke de evenwijdige zijden zijn en welk paar niet evenwijdig is. In plaats van te werken vanuit een globaal beeld van het begrip, is de leerling in staat al meer verbanden te vatten. Hij kan een zekere analyse maken op grond van zijn intuïtieve kennis en daardoor begrippen beter classificeren. Belangrijk blijft de leerling te confronteren met een voldoende gedifferentieerd gamma van situaties, waarin het begrip betekenis krijgt, opdat de begripsassociatie zo breed mogelijk zou worden.

18 18 Actualisering leerplan eerste graad - Deel Wiskunde en taal Op dit niveau speelt de voorbeeldfunctie van de leerkracht een grote rol in het leerproces. Zij zal zelf spontaan correcte benamingen gebruiken in het benoemen van figuren, bijv. niet telkens deze figuur maar wel zo precies mogelijk, zoals dit vierkant of we passen deze eigenschap toe maar wel ook opnemen wat die eigenschap beweert we passen de eigenschap over de gelijkheid van..toe. Ook in antwoord op de leerling zal een correcte taal gehanteerd worden, zodat de leerlingen die kunnen vergelijken met hun formulering. De leerkracht zal dus in het leerproces zelf veel verwoorden en die verwoording bewust onder de aandacht brengen. Dit mag evenwel niet leiden tot het docerend overnemen van de verwoording van de leerlingen. In deze fase is het taalgebruik, en de verwoording door de leerlingen zelf, zeer belangrijk. De leerling legt verbindingen tussen de concrete context en meer geabstraheerde begrippen op basis van associatie met kenmerkende eigenschappen. Deze verbindingen moeten juist gelegd worden. De enige mogelijkheid tot controle op dit leerproces is de leerling dit proces effectief onder woorden te laten brengen. Dit betekent dat omzeggens alle leerlingen die kansen moeten krijgen. Praktisch zal het wel onmogelijk zijn alle leerlingen mondeling te laten verwoorden. Het inbrengen van een schriftelijke fase biedt een mogelijkheid. Taalzwakke leerlingen kunnen meer kansen krijgen dan anderen. Alleszins moeten de leerlingen geregeld gewezen worden op het belang van die juiste associaties (cf. de voorbeeldfunctie van de leerkracht). Op die wijze krijgen zij informatie over hoe hun leren functioneert, en kunnen zij zich bewust worden van de controlerende werking daarvan. In deze fase heeft het geen zin bepaalde formuleringen van buiten te laten leren, omdat de leerling sowieso toch zijn eigen associaties legt. Memoriseren kan tot gevolg hebben dat verkeerde associaties worden gedrild. In dit stadium kan de nog redelijk informele kennis toch gebruikt worden in allerlei contextgebonden situaties. Deze toepassingen zullen precies een versteviging betekenen van de begripsvorming (en vaak dus een controlemoment op de juiste associaties). Dat deze kennis nog intuïtief blijft, is geen obstakel om ze al te laten functioneren in toepassingen. Bij beide voorgaande beheersingsniveaus, zeg maar fasen van het leerproces, is het informeel verwoorden in de taal van de leerling zelf van groot belang. Hij kan zijn opvattingen of begripsassociaties dan beter toetsen. De terugkoppeling is dus groter. Merk op dat bij de verwoording in het tweede stadium (het beheersingsniveau zelf verwoorden en gebruiken) al gewerkt wordt met kleine inzichten, beperkte eigenschappen of kenmerken. Zo wordt de basis gelegd van een analytische wijze van denken en van het verklaren op grond van vastgestelde verbanden. Formaliseren De leerling kan een definitie of een eigenschap behoorlijk formuleren. Voorbeeld De leerling kan de definitie van een parallellogram geven. De leerling kan eigenschappen van figuren formuleren en analyserend onderzoeken. In deze fase van het leerproces is de leerling in staat definities behoorlijk correct te formuleren en de gehanteerde situaties (en figuren) hieraan te toetsen. Hij gebruikt bij het onderzoeken van situaties definities en gekende eigenschappen om het zoek- en redeneerproces op te bouwen. Hij kan vermoedens of hypothesen onder woorden brengen en ze intuïtief argumenteren. Deze eerste formalisering (het formeel maken van de gebruikte taal) ligt op het vlak van de omschrijvingen van de begrippen en van de kenmerken en de eigenschappen ervan. Het verklaren en argumenteren (het beantwoorden van de waaromvraag) blijft nog op een lager beheersingsniveau. Daar gaat het nog om het aanreiken van mogelijke argumenten, die nog niet noodzakelijk gestructureerd aangepakt worden, en om het aftoetsen van dergelijke vermoede argumenten (eventueel nog via tekening, meten ).

19 Actualisering leerplan eerste graad - Deel Wiskunde en taal 19 Formeel argumenteren, bewijzen De leerling kan een hypothese onderzoeken, al of niet besluiten tot een eigenschap en er een bewijs voor opstellen. Voorbeeld De leerling kan een bewijs uitschrijven voor het kenmerk van middelloodlijnen De leerling kan de congruentiekenmerken hanteren in bewijzen bij opdrachten. Het gaat om een tweede beweging in de formalisering. Definities van begrippen en geformuleerde eigenschappen kunnen vlot verwoord worden. De leerling is er zich van bewust dat wiskundige beweringen niet zomaar aanvaard worden. Hij kan zelf een onderzoekje opzetten via voorbeelden en tegenvoorbeelden. Hij kan veralgemeningen van situaties formuleren en de argumenten in een logische volgorde presenteren. Tenslotte groeit hij naar het formeel opschrijven van het bewijs van een eigenschap. In beide voorgaande leerfasen is het van belang, dat de leerling zelf de gelegenheid krijgt om zijn formele taal te hanteren. De confrontatie met de formuleringen van anderen, met de formulering van de leraar, met die van het leerboek, betekent een proces van aanzuiveren van die taal. Ook bij het bewijzen is het van belang dat de leerling zelf aan het werk gaat. Het zoeken van een bewijs verloopt niet volgens een lineair, voortschrijdend proces. Tussenfasen, waarbij deelargumenten verwoord worden, zijn belangrijke leermomenten. Een bewijs is de uiteindelijke neerslag van een zoekproces. Wil kennis goed functioneren dan is een verwerking op de verschillende beheersingsniveaus noodzakelijk. Het is een illusie te denken dat men kennis zomaar kan doorgeven door ze te laten memoriseren zonder betekenis. De fase van betekenisgeving is dus wezenlijk voor de ontwikkeling van kennis en voor het inzicht in het leren zelf. Wat baat het bijv. om enkele honderden vergelijkingen op te lossen als men niet ervaart waartoe vergelijkingen in de praktijk kunnen dienen. Deze kennis blijft dan redelijk steriel. Hetzelfde geldt voor oeverloze en te complexe berekeningen, of voor een stringent systeem van axioma s en eigenschappen waarvan men toepassingen kent. Wil wiskundige kennis gebruikt kunnen worden, is een goede koppeling aan concrete contexten en betekenisvolle situaties dus een absolute noodzaak. Vraag die men zich hierbij vaak stelt, is waar het formele aspect van de wiskunde en de wiskundetaal dan blijft: moeten leerlingen dan geen wiskunde meer kennen? Antwoord hierop is in de eerste plaats dat wiskunde dus meer is dan een formele ordening van begrippen en eigenschappen die op zich zelf staat. Heel wat wiskunde is precies ontwikkeld om er problemen mee onder wiskunde te brengen en zo voor deze problemen een oplossing aan te reiken. Het is didactisch wenselijk dat de leerlingen met dit geneseproces van wiskunde geconfronteerd worden (op hun niveau uiteraard). Het is uiteraard correct dat ook binnen het vakgebied wiskunde zelf heel wat wiskunde ontwikkeld is, die pas later toepassingen heeft verkregen. Enerzijds legt dit nog maar eens het verband tussen wiskunde en toepassingen, en anderzijds kan men zich de vraag stellen of leerlingen al over voldoende wiskundekennis beschikken om er zelf de toepassingen van te zien in de leefomgeving. In deze fase van hun leerproces is het doorlopen van de opklimmende beheersingsniveaus nog voor de hand liggend. Een tweede element is inderdaad de overweging dat leerlingen op een bepaald moment in hun leerproces een omslag kunnen maken. Dat betekent concreet dat ze ook in de meer formele taal kunnen leren. Wie wiskunde op hoger niveau wil kennen en gebruiken zal zeker een deel op een meer formele wijze verwerven. Maar dat betekent vaak dat men zelf de stappen naar de lagere beheersingsniveaus moet zetten (dus invullen van voorbeelden, tegenvoorbeelden, het interpreteren naar gebruiksgerichte situaties en contexten). Dit is wellicht niet weggelegd voor alle leerlingen. Op basis van hun leerproces in wiskunde kunnen leerlingen precies georiënteerd worden naar meer of minder wiskunde, naar meer of minder formele wiskunde. Concreet betekent dat leerlingen wel met het

20 20 Actualisering leerplan eerste graad - Deel Wiskunde en taal formele niveau geconfronteerd worden, maar dat de aanbreng voldoende vanuit de lagere beheersingsniveaus wordt opgebouwd. Het is belangrijk in te zien dat kennis die al langer functioneert, geleidelijk op een hoger beheersingsniveau moet komen, maar ook dat nieuwe kennis voor de leerlingen vaak start met de lagere beheersingniveaus. (Als leerlingen in de derde graad geconfronteerd worden met afgeleiden, dan zullen ze eerst een fase van betekenisgeving op niveaus herkennen, hanteren, verwoorden doormaken, vooraleer ze er op een formele wijze mee omgaan.) In het secundair onderwijs zal dus elk wiskundeleerproces een evenwicht houden tussen enerzijds het aanbrengen en uitzoeken van begrippen en eigenschappen op betekenisvolle situaties en anderzijds het meer formeel verwoorden en argumenteren. Daar waar het leerproces hapert, zal men telkens moeten teruggrijpen naar de lagere beheersingsniveaus. Het is tenslotte in te zien dat ook wiskundige kennis zelf als context kan functioneren op het niveau herkennen om er andere begrippen op te bouwen. 1.2 Wiskundige taalvaardigheid Een algemene opmerking vooraf is dat wiskundige taalvaardigheid zoals in elke taal op de verschillende vaardigheidniveaus zal moeten functioneren: luisteren en lezen, spreken en schrijven. Twee niveaus gaan dus eerder over receptief opnemen, de andere twee over reproductief weergeven. Willen leerlingen aan wiskundelessen deelnemen, willen ze hun wiskundekennis kunnen weergeven, dan is een vaardig omspringen met de vier niveaus noodzakelijk. In de verschillende leerfasen van wiskunde (cf. beheersingsniveaus) zullen de leerlingen en de leraar geconfronteerd worden met verschillende taalniveaus. Verschillende studies wijzen ook hier op een opklimmen in niveau gedurende het leerproces. Algemeen is het van belang dat om die wiskundetaal te leren, de leerling die taal zelf moet kunnen hanteren. In de fase van herkennen en verwoorden zal dat een intuïtieve taal zijn, verwant met de dagelijkse taal. De vakliteratuur spreekt hier van actieve taal of demonstratieve taal. Het is een relatief omslachtige taal van hand en tand. In de fase van formele kennis is dat taalniveau eerder verbaalalgebraïsch of functioneel. Als voorbeeld volgt een uittreksel uit de brochure Handelen om te begrijpen van B. Zwaneveld en J. van Dormolen (NVVW, 1977).

21 Actualisering leerplan eerste graad - Deel Wiskunde en taal 21 Van belang is dat wiskundeleraren de verschillende taalniveaus ook accepteren. Als men kennis op verkenningsniveau toetst, dan hoeft men geen formele taal te verwachten. De leerling mag immers zijn eigen taal gebruiken. (Overigens is dit een veel beter gelegenheid om het begripsniveau van de leerling bij te sturen. Men heeft immers informatie over hoe de leerling zelf het verwerkt heeft.) Wie een definitie vraagt, mag wel de zorgvuldigheid van de formele taal verwachten. Let wel, het kunnen weergeven van een definitie van een begrip in een (al of niet gememoriseerde vorm) hoeft niet te betekenen dat

22 22 Actualisering leerplan eerste graad - Deel Wiskunde en taal men inzicht heeft in het begrip. Wil men dus inzicht toetsen, zal men dat op een andere wijze moeten doen, waarschijnlijk meer in toepassingssituaties, vaak ook nieuwe situaties. Als men inzicht wil toetsen, zou het dus best kunnen voorkomen dat de leerling al wel het inzicht heeft, maar nog niet de verwoording kan maken. Elke leerkracht kent die situatie, waarbij in een antwoord alle elementen wel op een of andere wijze aan bod komen, maar waarbij het taalgebruik vaak vrij gebrekkig of ondoelmatig is. Extreem gesteld: als het ging om toetsen van inzicht, mag de leerling hier een positieve score krijgen. Wat in de wiskundelessen van de eerste graad moet gebeuren is dat leerlingen naar hoger taalniveau gebracht worden. Dat betekent dat hun eigen intuïtieve taal geleidelijk aan wordt uitgezuiverd. En dat ze dus steeds meer de formele vorm krijgt. De slordigheden, de omslachtige informatie die niet nodig is, moet weggelaten worden. Dit is voor sommige leerlingen een gemakkelijk leerproces, voor de meeste leerlingen is dit echter moeilijk. Belangrijk is echter precies deze leerlingen veel kansen te bieden tot verwoording. Een analyse van de goede en de minder goede elementen of het vergelijken met betere of volledige antwoorden van andere leerlingen draagt meer bij dan het herhalen van de enig juiste formulering (van het leerboek). Belangrijk is overigens ook dat leerlingen in hun verwerkingsopdrachten (in de klas en thuis) nog voldoende aandacht besteden aan dit verwoorden. De praktijk van het toetsen van de leraar is hier vaak voor de leerling de motiverende maatstaf. Taalonderdelen in de wiskundelessen Om een behoorlijke ondersteuning te bieden van de wiskundige taalvaardigheid is het belangrijk verschillende taalelementen te onderscheiden. Bekijken we een paar voorbeelden bij vraagstukken en opgaven 1. Mijn tuin is een rechthoek van 16 m lang en 8 m breed. De tuin begint vlak achter het huis. Ik wil een nieuwe omheining plaatsen. Daarom moet ik berekenen hoeveel meter draad ik zal kopen en hoeveel palen er nodig zijn om die draad aan te bevestigen. De palen moeten toch wel om de 2 meter geplaatst worden, zegt de verkoper, anders is er te weinig stevigheid. Hoeveel palen en hoeveel meter draad koop ik best? 2. Jasper heeft interesse in technisch materiaal. Hij monteert vier tandwielen in een opeenvolgende rij van groot naar klein en zo dat het eerste ook het tweede laat bewegen, enz. Het eerste tandwiel heeft 128 tanden. Het tweede heeft er 56. Het derde heeft 28 tanden en het vierde 14. Als het grootste een volledige toer maakt in 3 seconden, hoeveel keer draait het kleinste dan in een uur tijd. Heeft de volgorde waarin de tandwielen gemonteerd staan een invloed op de draaisnelheid van het laatste tandwiel? 3. Rob en Michiel maken een fietstocht van 60 km. Ze vertrekken samen. Rob rijdt eerst 30 km aan 30 km per uur. Dan rust hij een half uurtje uit en rijdt dan het tweede deel van de trip aan 30 km per uur. Michiel fietst het eerste kwart aan 15 km per uur, het tweede kwart tegen 30 km per uur en dan de rest aan 20 km per uur. Maak een grafiek die voor beiden de afgelegde weg weergeeft in functie van de tijd na het vertrek. Wie kwam het eerst aan? Hebben ze elkaar ontmoet onderweg? Zo ja, wanneer en na hoeveel km? 4. In een bibliotheek van boeken is 5 7 fictie. Daarvan zijn er 1 8 thrillers. Bij mijn laatste bezoek was daarvan 3 5 uitgeleend. Tussen hoeveel boeken kan ik kiezen als ik een thriller wil lezen van een vrouwelijke auteur en 3 4 van de nog aanwezige thrillers door een man geschreven zijn? 5. Een vrachtwagen passeert een andere vrachtwagen met anderhalf keer zijn snelheid (van neus naast achterkant tot achterkant naast neus). Hoeveel sneller gaat de passage als ze elkaar tegemoet komen (neus-neus tot achterkant-achterkant)?

23 Actualisering leerplan eerste graad - Deel Wiskunde en taal Teken de volgende figuur zo nauwkeurig mogelijk na. Er is al één lijntje klaar getekend. (figuur is niet mee overgenomen) Je mag enkel een passer en een liniaal (voor het tekenen van rechte lijnen, niet om te meten) gebruiken We kunnen een onderscheid maken tussen drie soorten taalgebruik. - In de wiskundelessen wordt heel wat dagelijkse taal gehanteerd. Het gaat om woorden die uit het leven van alledag worden gehaald. Het gaat om begrippen die in de wiskunde geen andere betekenis krijgen. Voorbeelden: begrippen zoals tuin, omheining, vrachtwagen, fietstocht, tandwiel, draaisnelheid, bibliotheek, thriller, achterkant, neus, lezen, passeren, monteren, ontmoeten

24 24 Actualisering leerplan eerste graad - Deel Wiskunde en taal Merk nu al op dat niet alle woorden tot de evidente woordenschat van leerlingen behoren. - Een tweede vorm van woordgebruik zijn typische schoolwoorden (schooltaalwoorden). Voorbeelden: beschrijf, noteer de passende, teken, benoemen, zo nauwkeurig mogelijk, draadmodel, van groot naar klein - Een derde vorm van woordgebruik is de wiskundetaal zelf. Voorbeelden: Rechthoek, 16 m lang, ontwikkeling, kubus, bovenaanzicht, 1, anderhalf keer, passer, 8 liniaal, grafiek, 30 km aan 30 km per uur, meten, hoeveel keer, na hoeveel, tussen hoeveel. Wat de specifieke wiskundige vaktaal betreft vermeldt het leerplan pag. 17 al een aantal opmerkingen. We wijzen op de specificiteit van vaktermen, die in wiskunde een welomschreven betekenis kunnen krijgen (bijv. ontwikkeling, grafiek, breuk, afstand ). Soms is die betekenis ook anders dan in de dagelijkse taal ( ontwikkelen heeft meerdere betekenissen, een breuk kan wijzen op iets dat effectief gebroken is (en dan nog zowel letterlijk op te nemen als figuurlijk), afstand verwijst naar lengte, maar ook naar van iets afstand nemen of doen ). Daarnaast komen bepaalde kernwoorden of signaalwoorden veel voor (hoeveel, gelijk, alle, sommige ). Dergelijke woorden krijgen in de wiskundelessen uiteraard bijzondere aandacht. Problemen met taal in de wiskunde (zie ook bijlagen 8, 9 en 10) - Zoals al aangegeven kunnen leerlingen al heel wat problemen hebben met de dagelijkse taal. We kunnen er dus niet vanuit gaan dat die voldoende beheerst wordt om de wiskundelessen op dat niveau te volgen. Voorbeeld Zijn woorden als bibliotheek, thriller, draaisnelheid, monteren voldoende vertrouwd voor alle leerlingen? Van de wiskundeleraar wordt hoe langer hoe meer verwacht dat hij ook een taalleerkracht wordt. Alleszins kan het gebruik van betekenisvolle contexten gebruikt worden om in het kader daarvan ook meer Nederlandse taalvaardigheid te laten verwerven. Beter dan het vermijden van een hele resem woorden kan effectief aandacht besteed worden aan het verwerven van deze woordenschat. Hiervoor zal men in afspraak met de taalleerkrachten methodieken hanteren waarmee leerlingen al vertrouwd zijn. Zo kan van leerlingen verwacht worden dat ze van een aantal woorden ook zelf de betekenis opzoeken. Bijzondere aandacht moet besteed worden aan dagelijkse woorden die meerdere betekenissen kunnen hebben. Ook hier geldt dat leerlingen (en vaak anderstalige) misschien begrippen en woorden hebben verworven in een bepaalde context. Het gebruik ervan in een andere context kan heel wat onbegrip veroorzaken. Voorbeeld Het begrip neus, wordt misschien niet meteen geassocieerd aan vrachtwagen. Voor een jonge voetballende leerling heeft passeren wellicht een andere betekenis dan bedoeld wordt bij het passeren van vrachtwagens? Ook hier kan de wiskundeleraar heel wat taalsteun bieden, bijv. door een bepaald verwarrend woordgebruik te vermijden, of door duidelijkere synoniemen te gebruiken, door extra woorduitleg te voorzien, door het toevoegen van een visuele voorstelling.

25 Actualisering leerplan eerste graad - Deel Wiskunde en taal 25 - Leraren moeten zich de overweging maken dat voor leerlingen de specifieke schooltaal soms een vreemde taal is. Belangrijk is ook dat een aantal van deze woorden voor verschillende leraren ook een verschillende betekenis hebben. Opdrachten zoals geef weer, controleer, vergelijk, benoem, noteer krijgen binnen wiskunde een meer specifiekere betekenis. Ook meer wiskundige schooltaalwoorden hebben in andere situaties soms een andere (minder wiskundige) betekenis: reken uit, los op, bepaal, construeer Vaak is er ook nog een verschil in interpretatie van jaar tot jaar, van leraar tot leraar. Duidelijke afspraken binnen de vakgroep wiskunde zijn wenselijk. Maar in de eerste graad zullen die waar mogelijk nog over de vakken heen lopen. In de bijlage 9 vind je hiervan een voorbeeld vanuit een Limburgse school. - Ook uitdrukkingen zoals passende, zo nauwkeurig mogelijk, een aantal kunnen leerlingen vaak ook voor problemen plaatsen over wat precies bedoeld wordt. Vaak verwijzen dergelijke termen naar afspraken die min of meer vanzelfsprekend en soms stilzwijgend in het leerproces insluipen. Voor leerlingen die daarin mee zijn, is dit uiteraard duidelijk. Voor leerlingen die echter moeilijkheden hebben met de begripsvorming of met het leren op zich, kan dit een bijkomend obstakel vormen. Wat de specifieke wiskundetaal betreft, werd hiervoor al voldoende gewezen op het aanbrengen van de wiskundebegrippen in betekenisvolle situaties, op het laten verwoorden door de leerling zelf van begrippen en omschrijvingen, en op het geleidelijk proces van verfijnen van de actieve taal van de leerlingen tot een meer formele taal. Dit kan slechts in een leerproces waarbij de leerlingen actief betrokken worden. Hiermee zijn drie belangrijke aspecten van de didactische aanpak van wiskundelessen aangegeven. o Begrippen en wiskundekennis in het algemeen worden ontwikkeld in betekenisvolle situaties. Leerlingen kunnen terugvallen op concrete situaties waarin de begrippen gevormd zijn. Ook het geven van voorbeelden en tegenvoorbeelden hoort bij wiskundekennis. o De aandacht voor de talige ontwikkeling in het verfijningproces van begripsomschrijvingen. Er is aandacht voor zowel het verfijnen van de taal en het verhogen van het beheersingsniveau, als voor de taalsteun die leerlingen nodig hebben om ook de dagelijkse taal en de schooltaal te beheersen. Belangrijk hierbij is dat leerlingen op korte termijn feedback krijgen over hun leerproces, om hen op het goede spoor te houden, en om verkeerde associaties en vastzetting van begripsvorming te voorkomen. o Er is een actieve betrokkenheid van leerlingen. Daarbij krijgen de leerlingen alle kansen om de verwoording van hun kennis te toetsen. Belangrijk is dan dat de leraar er borg voor staat, dat alle leerlingen in voldoende mate bij dit actieve proces betrokken worden. Niet alle leerlingen gaan in dat zelfstandig werken en leren vanzelf mee, omdat ze in hun verleden wel eens geconfronteerd geweest zijn met falen. Niets zeggen lijkt dan een oplossing. Het pleidooi voor actieve betrokkenheid hoeft niet meten de betekenen dat er altijd frontale groepsgesprekken moeten gevoerd worden, waarbij de leraar dus de spil is in het onderwijsleergesprek. Ook (soms goed gestuurd) groepswerk tussen leerlingen kan aan bod komen (groepjes van twee of drie, eventueel met een specifieke opdracht voor een wiskundig sterkere leerling). In het Nederlandse Wisbaakproject zijn applets ontwikkeld die hierbij ondersteunend werken. Je vindt uitleg hierover op de website van het

26 26 Actualisering leerplan eerste graad - Deel Wiskunde en taal Freudenthalinstituut: (zie ook bijlage 8). Ook wat betreft de betekenis van wiskundige termen is de interpretatie van jaar tot jaar, van leraar tot leraar soms verschillend. Denk maar aan termen zoals los op al of niet met verklaring erbij -, vereenvoudig je moét altijd vereenvoudigen, of alleen als dat echt nodig is -, werk uit - betekent soms ook bereken -, verklaar betekent soms geef het volledige bewijs, soms geef een argument, formuleer een gebruikte eigenschap - Voor leerlingen die nog volop lerende zijn in die terminologie is dat soms onduidelijk. We kunnen dit vermijden door in de vakgroep goede afspraken te maken. (Cf. bijlage 9) Omdat wiskunde vaak te maken heeft met het oplossen van problemen is een belangrijk aspect het omzetten van de meestal dagelijkse taal uit de opgave naar wiskundetaal (het mathematiseren). Voor dit proces werden al een aantal tips gegeven. Hier willen we nog wijzen op het gebruik van een helder stappenplan bij het aanpakken van problemen (zie sessie 3). Voorbeeld Het exploreren van de situatie Lees de informatie bij de opgave. Versta ik alle woorden? Bekijk de figuren (tabellen, grafieken, bekijk ook titel, bijschriften ). Versta ik de informatie die in de figuren gegeven wordt? Formuleer dat eens? Welk is de vraag (vragen). Versta ik de vraag? Vertel het eens in eigen woorden? Mathematisering Welke wiskundige informatie wordt gegeven, (kernwoorden, woorden die op wiskundige begrippen, vaktermen wijzen) Welke wiskundige situatie, bewerking beschrijft de gegeven situatie? Welke informatie is relevant? Noteer ze. Welke berekeningen moet ik maken? Noteer ze? Maak zo nodig een verwerkingsplan van de stappen die bij de oplossing moeten gezet worden. Uitvoeren van de berekeningen, van het verwerkingsplan. Demathematisering Geef antwoord op de vraag. Plaats het antwoord terug in de gegeven situatie, context. Terugkijken Heb ik alle onderdelen van de vraag beantwoord? Kan mijn antwoord kloppen? Controleer de berekeningen Realiteitsproef: controleer je antwoord met een schatting. Visueel aspect van wiskundetaal Wiskundige informatie wordt vaak vertolkt in formele of symbolische taal. In het voorgaande werd al aangegeven, dat wiskunde ook kan vertolkt worden in dagelijkse taal, bijv. met lagere taalniveaus. Er werd ook een pleidooi gehouden om niet prematuur met een al te formele taal te starten. Er werd gepleit voor vertaaloefeningen tussen de meer intuïtieve, pragmatische taal van de leerlingen en de meer relatieve of functionele taal van de wiskunde. Wiskundige informatie wordt vaak ook overgebracht via diagrammen en grafieken, en ook via meetkundige figuren. Ook bij probleemoplossen (en zeker in de meetkunde) zal men vaak eerst een visuele voorstelling trachten te maken van de situatie.

27 Actualisering leerplan eerste graad - Deel Wiskunde en taal 27 Iemand die deze visuele taal begrijpt, krijgt via deze figuur heel wat informatie over de zijden van de vierhoek, de hoeken, de diagonalen. Dergelijke figuren maken deel uit van de wiskundetaal. Wiskundige communicatie kan dus ook een visueel aspect hebben. De moeilijkheid van die wiskundige visuele taal voor de leerlingen mag niet onderschat worden. Figuren bevatten vaak erg gecondenseerde, cryptische informatie. De beeldtaal in figuren is soms een tot één teken geabstraheerde informatie. Wie dat teken, dat symbool kent, kan de informatie aflezen. Wie de abstractie niet maakte, staat vaak voor een raadsel. Vandaar dat het belangrijk is de leerlingen met vele figuren te confronteren en ze de transfer, de vertaling van opgave naar figuur of van figuur naar geschreven informatie te laten maken. Vooral bij het maken van bewijzen kan dit belangrijk zijn: bijv. de gegevens op een figuur aanbrengen, zoveel mogelijk formatie op een figuur aanbrengen. Voorbeeld Tekstuele informatie. Hypothese: Meer formele notatie Gegeven : Visuele voorstelling In een gelijkbenige driehoek is de bissectrice van de tophoek middelloodlijn van de basis. ABC,  is tophoek, AB = AC AD is bissectrice van  D is het snijpunt van CB en AD 10 A B D C

28 28 Actualisering leerplan eerste graad - Deel Wiskunde en taal Opmerking In een volgende fase van de aanpak van bewijzen kan men de gegevens aanvullen met kennis die men kan afleiden uit eigenschappen. Bijvoorbeeld. Als de eigenschap over de basishoeken van een gelijkbenige driehoek gekend is, wordt dit: 10 A B D C Omgekeerd Omgekeerd kan een figuur als gegeven functioneren. B A G R T Bijgaande figuur geeft aan dat het gaat om een vierhoek waarvan de diagonalen elkaar midden door delen. In feite volstaat de figuur om deze informatie mee te delen. In dit verband is een waarschuwing over gebruik van informatie afgelezen uit figuren belangrijk. Wanneer leerlingen een onderzoekje doen (dus op zoek zijn naar een vermoeden) kunnen ze daartoe uiteraard heel wat bijkomende informatie uit een figuur halen, bijvoorbeeld door te meten. Belangrijk is wel dat ze nagaan, of die informatie inderdaad te veralgemenen is in een hypothese. Als het gaat om het verklaren, bewijzen van eigenschappen, moet het verband gelegd worden met de feitelijke gegevens (de in de hypothese geformuleerde voorwaarden), of met wat daaruit kan afgeleid worden. Deze dubbelzinnigheid is voor leerlingen vaak niet gemakkelijk aan te nemen.

29 Actualisering leerplan eerste graad - Deel Wiskunde en taal 29 2 Redeneervaardigheden bewijzen Over bewijzen in de wiskundelessen is al veel inkt gevloeid. We willen hier geen algemeen standpunt innemen dat geldig zou zijn voor alle situaties in wiskundelessen. Dat zou ons te ver leiden. Wel willen we vanuit enkele algemene overwegingen datgene plaatsen dat aan bewijsvaardigheid in de eerste graad A-stroom wordt aangeboden. Wiskunde wordt nog vaak geassocieerd met deductieve systemen, en vooral dan meetkunde. Wiskunde staat of valt dan met de logische redeneringen, net zoals fysica geassocieerd wordt met observatie en experimenten. Nochtans zijn er voldoende ontwikkelingen in de wiskunde zelf die andere tendensen en concepten weergeven, zoals chaostheorie, catastrofetheorie, dus het werken met onzekerheden en verrassende willekeur in de ontwikkeling, zelfs van repetitieve, deductieve systemen. Als we naar de wiskundevorming op school kijken, kunnen we ons afvragen, of een deductieve aanpak nodig is om leerlingen te overtuigen van een bepaalde eigenschap? Of zelfs van de juistheid van het geheel van onze meetkunde? Bijvoorbeeld, leerlingen uit bepaalde technische vakken gebruiken Pythagoras (voor hen de regel), zonder dat ze nog maar aan een bewijs denken of dat begrijpen. Nogal wat leerlingen zullen bereid zijn ons op ons woord te geloven, omdat het minder energie vergt en ze dan af zijn van die verschrikkelijke bewijzen. Bij bewijzen kunnen we dus nogal wat vragen stellen. Overtuigen we leerlingen door bewijzen van onze exactheid? Stellen leerlingen zich wel die vraag? En moeten we enkele jaren later niet gaan beweren, dat er toch weer andere meetkunden mogelijk zijn? Ondersteunt een bewijs het inzicht? Of het leren? Werken bewijzen motiverend voor leerlingen? De vaak schamele resultaten voor wiskunde in het algemeen en redeneervragen in het bijzonder, doen het tegendeel vermoeden. En dragen de vaak gememoriseerde bewijzen bij tot het begrijpen van wiskunde en het beter kunnen toepassen van de wiskundekennis of het beter redeneren? Vaak weten leerlingen niet eens hoe aan een bewijs opgave te beginnen? Is het aanbieden van bewijzen überhaupt zinvol? Wat gebruik je concreet als modale volwassene nog van die rigoureuze meetkundevorming? Waar en wanneer steun je op die aangeleerde bewijzen, bijvoorbeeld in het dagelijkse leven? Daartegenover staat uiteraard wel het praktisch rekenen, en het problemen oplossen. En biedt dat laatste precies niet de opening naar redeneren? Waar gaat het dan wel over? De doelen liggen duidelijk elders. - Een eerste vaststelling is wellicht dat er vele vormen van wiskundige vorming zijn. Een aantal leerlingen zullen later vermoedelijk slechts praktische of (reken)technische gebruikers zijn van wiskunde, anderen zullen wiskunde heel specifiek nodig hebben als hun vakgebeid of als ondersteuning binnen hun eigen vakgebied. Vraag is dan ook, hoe we in de vorming ingaan op deze verschillen in groepen, die omwille van maatschappelijke redenen, nog weinig gedifferentieerd worden. Vraag is dus of de meer specifieke aanpak van bewijzen dan al adequaat is op dat niveau. Anderzijds is er ook de vraag of leerlingen wel een gefundeerde keuze kunnen maken, als ze met een belangrijk deel van de essentie van wiskunde niet geconfronteerd worden. Alles wijst op de noodzaak van een gedifferentieerd aanpakken van wiskunde, met vele leerkansen op de verschillende beheersingsniveaus, zonder dat dit in de eerste graad al moet leiden tot uitsluiting. - Een tweede vaststelling is dat het bewijzen van eigenschappen moet open getrokken worden naar wiskundig redeneren. En dat betekent het zoeken en vinden van argumenten bij beweringen om die te onderbouwen. Uit studies blijkt dat er twee fundamentele bijdragen zijn voor wiskunde: enerzijds het gebruik van formules en procedures om standaardproblemen aan te pakken, en anderzijds het aanpakken van

30 30 Actualisering leerplan eerste graad - Deel meetkunde: opbouw complexe problemen, via heuristiek. Van dat laatste zijn voldoende voorbeelden gekend: bijv. het probleem vertalen naar een eenvoudiger probleem, op zoek gaan naar patronen, een analoge situatie onderzoeken, bijzondere gevallen onderzoeken, irrelevante details weglaten. Kan een analoge methodiek gebruikt worden bij redeneren, bewijzen en problemen aanpakken? - Een derde bedenking gaat over de vaststelling dat het in feite gaat om een wiskundige competentie, of zelfs de combinatie van meerdere. Typisch aan competentie is, dat meerdere kenniselementen op verschillend beheersingsniveau en meerdere vaardigheden adequaat kunnen gecombineerd worden: het analyserende redeneren, het probleemgericht aanpakken, het inzetten van de geschikte kennis, het actief kunnen mobiliseren van kennisschema s, voldoende vaardigheid in de beheerste technieken. Als we naar de wiskundevorming van de eerste graad kijken, dan zijn dit precies de doelen die voorliggen. - Enerzijds biedt de wiskundevorming een brede vorming op lagere beheersingsniveaus, met heel wat mogelijkheden om toch al te differentiëren in functie van de oriëntatie van de leerlingen. Dit aspect biedt dan vooral een antwoord op de vraag, waaraan maatschappelijk blijkbaar veel belang wordt toegekend, van het praktisch bruikbare (de wat-vraag, m.n. vaardigheden, kennis, procedures). - Anderzijds voegt de wiskundevorming er inherent redeneren en inzicht aan toe (de waarom-vraag en de hoe-vraag). Precies in die laatste optie ligt de meerwaarde van iemand met een wiskundige vorming. Wiskunde wil niet alleen beschrijven, beheren of beheersen, maar zeker ook begrijpen en verklaren via redeneren, ook in de eerste graad. Dit aspect komt zowel aan bod bij het aanpakken van problemen (meer context gericht) als bij het redeneren over eigenschappen (meer intern wiskundig gericht). Redeneren We proberen een omschrijving te geven van dit brede begrip. In een meer enge betekenisgeving kan redeneren omschreven worden als: vanuit een vooropgezette, vastgelegde, afgesproken basisbron van eigenschappen via logische weg/ deductieve weg een bewering onderbouwen. Merk echter op dat een aantal van de gebruikte termen zowel breed als eng kunnen ingevuld worden. Enge interpretatie Eng zou kunnen betekenen dat bewering staat voor aangeboden stelling, onderbouwen alleen voor via bewijsvoering, basisbron alleen voor axiomastelsel. Deze interpretatie hoeft niet noodzakelijk als zinloos aangezien te worden. Ook op die wijze hebben generaties leerlingen leren redeneren. En ook vandaag nog kan men binnen bepaalde delen van wiskunde best het geheel zo rigoureus mogelijk ordenen en onderbouwen. Vraag die echter moet gesteld worden is of deze werkwijze de enige juiste is voor alle leerlingen. Brede interpretatie Anderzijds kan bij bewering gedacht worden aan het stellen van een hypothese. En dat houdt dan weer in dat situaties eerst onderzocht worden, bijv. met voorbeelden en met tegenvoorbeelden. Zo kunnen leerlingen actiever betrokken worden. En zo worden ze ermee geconfronteerd, dat wiskunde niet een afgewerkt geheel is dat door de leraar wordt overgedragen, maar een systeem waarin je zelf beweringen kan onderzoeken en die probeert te onderbouwen. Zo leren ze dat ze zeker niet alles zonder meer moeten proberen te bewijzen, maar dat ze eerst argumenten moeten verzamelen om na te gaan of een bewering wel plausibel, mogelijk is.

31 Actualisering leerplan eerste graad - Deel Wiskunde en taal 31 Redeneren houdt in dat men werkt op basis van eigenschappen. Dat is moeilijk voor leerlingen. Het vergt dat de kennis vlot en op het gepaste ogenblik kan geactiveerd worden. Het is meer dan een berekening maken of een formule toepassen. Het is meer dan een toepassing maken op een eigenschap die net voorheen werd behandeld. Eigenschappen gebruiken houdt ook in dat men ze vlot kan formuleren. De capaciteit van verwoorden is echter vaak niet toereikend. Werken met een basisbron van eigenschappen zou kunnen verwijzen naar een geheel deductief systeem, in principe exhaustief uitgewerkt dus vanaf axioma s. In de eerste graad is het echter zinvol om redelijk voorzichtig om te springen met die term. Veel leerlingen zijn er nog niet aan toe om meteen de stap te maken naar axiomatisch werken. Een tussenfase waarin men redeneert vanuit enkele welomschreven situaties is nodig. Zo kan bij leerlingen de idee groeien van samenhang en daarbinnen van verantwoording. Pas in een later stadium zal men daarvan ook de ultieme consequenties kunnen trekken, met name hoe ver kan men terug gaan in dat verantwoorden ten aanzien van gekende eigenschappen. Dergelijke finesse is nog niet besteed aan de leerlingen van de eerste graad. Wel is belangrijk dat men voor hen een duidelijk afgesproken geheel van begrippen en eigenschappen afbakent waarop zij kunnen terugvallen. Dat systeem hoeft nog niet te voldoen aan de fundamentele eisen die in het vakgebied wiskunde aan axiomastelsels gesteld worden. Vandaar dat men beter die term met de nodige omzichtigheid hanteert. Zo kan men bijvoorbeeld wel spreken van axioma van Euclides omwille van zijn historische context, maar zal men andere basiseigenschappen die naam niet toekennen. Bijvoorbeeld kan men de congruentie en de congruentiekenmerken als basisbegrip en basiseigenschappen aanvaarden. We noemen ze daarom nog geen axioma s. En vandaar redeneren via klassieke bewijsvoering. Analoog kan men transformaties als uitgangspunt kiezen. Men kan ze ook beide als basis aanvaarden, ook al zijn ze niet onafhankelijk. Die vraag naar het verband tussen beide kan dan weer wel gesteld worden als differentiatieoefening bij wiskundig sterkere leerlingen. Axiomatisch denken is dus niet aan alle leerlingen besteed. Dergelijke verfijning van wiskundig denken kan later op het curriculum komen in meer uitgebouwde onderdelen. Zo zou men bijvoorbeeld in een sterke groep (hoger aantal lestijden wiskunde) in de tweede graad het moment van herhaling of aanknoping kunnen gebruiken om vanuit het kennisschema de vraag naar verdere fundering te stellen. Ook al gaan we nog niet zover de meetkunde axiomatisch op te bouwen, dit belet ons niet in die meetkunde redeneringen op te bouwen. De term onderbouwen kan betekenen, dat men verbanden probeert te leggen en ze tracht te verklaren. Dat kan dan enerzijds met intuïtief uitleggen, beargumenteren. Dat kan anderzijds meer deductief uitgebouwd worden. In vakterminologie noemt men dit dan lokaal deductief werken. In d ergelijk proces kan men verschillende stappen onderscheiden, die alle wezenlijk belangrijk zijn als men redeneren wil omschrijven. - - Voorbereidend onderzoeken Kan het of kan het niet? Niet elke bewering hoeft meteen tot een eigenschap te leiden. Het is dus goed eerst een aantal voorbeelden te bekijken en te zien of er kans is op een veralgemening van de eerst opgewelde idee. Deze fase geldt ook voor beweringen van leerlingen. Leerlingen moeten inderdaad het gevoel krijgen dat ze wiskunde mee construeren. Al te veel leerlingen beschouwen wiskunde als een vak waarin je moet ingewijd worden. Dat roept vandaag nogal wat weerstanden op. Het behoorlijk formuleren van een hypothese Dit is zoals gezegd wordt een fase van verwoording. Toch zal men vaak in deze fase de formulering moeten verfijnen. Dat gebeurt op basis van bijkomende voorbeelden of tegenvoorbeelden. In deze fase is het al belangrijk om een goed verband te zien

32 32 Actualisering leerplan eerste graad - Deel meetkunde: opbouw - - tussen de gegeven situatie en de te bereiken situatie (de vraag, het te bewijzen). De formulering van wiskundige hypothesen heeft vaak een bepaalde vorm (bijvoor- beeld implicatie, equivalentie). Zo kan men onderscheid maken tussen eigenschappen en kenmerken. Een kenmerk staat dan voor een eigenschap die als kenmerkend kan aangezien worden. Dat wil zeggen dat ze gelijkwaardig is met de definitie van het begrip en eventueel als dusdanig zou kunnen functioneren. Voorbeeld In een vierkant snijden de diagonalen elkaar middendoor is een eigenschap van elk vierkant. Ze kan bijvoorbeeld gebruikt worden als men op zoek is naar lijnstukken met een gelijke lengte. Deze uitspraak is echter geen kenmerk, want er zijn nog andere vierhoeken met die eigenschap. Het formuleren van argumenten Dat zou in een eerst benadering kunnen vanuit het aantal voorbeelden dat men gevonden heeft, vanuit figuren, vanuit constructies. Toch moet men inzien dat dergelijke werkwijze geen garantie biedt op veralgemening. Volgende stap is dat men eigenschappen formuleert die bepaalde stappen verantwoorden. Een bewijs neerschrijven De laatste stap in het proces is het uiteindelijk uitschrijven van de argumentatie of de verklaring in een behoorlijke volgorde. Al naargelang het niveau van de leerlingen kan men hieraan hogere eisen stellen. Als men deze aanpak vergelijkt met het oplossen van problemen, dan ziet men veel gelijkenis. Bij problemen oplossen komt er heel wat redeneren kijken. Beide processen kenmerken een wiskundige aanpak. Redeneren in de eerste graad De laatste stap bij het redeneren, met name het uitschrijven van het bewijs, is ook de moeilijkste voor leerlingen. Vandaar dat in de eerste graad gekozen wordt om deze fase maar in een aantal goedgekozen situaties uit te voeren. Daarbij wordt gestreefd naar een gezond evenwicht tussen een aantal modelsituaties (niveau elementair voor leerplan A) en een ruimere aanpak in de oefeningen (niveau verdieping) in functie van wat in de leerlingengroep mogelijk blijkt. Tegenover deze keuzeruimte staat dat de eerste fasen zowel in het aanpakken van problemen als bij het onderzoeken van meetkundige eigenschappen aan bod komen. Het uitvoeren van eigen onderzoekjes (eventueel met ICT), het mathematiseren van bepaalde situaties, het formuleren van hypothesen, en het aanbrengen van argumenten (of bij problemen aanpakken het effectief uitvoeren van de voorgestelde bewerkingen of procedures) zijn redeneerstappen die de leerlingen al wel aankunnen. In feite wordt hierdoor een kader gecreëerd waarmee leraar en leerlingen over wiskundige beweringen kunnen communiceren. (Bijvoorbeeld: Welke voorbeelden heb je onderzocht? Zijn ze voldoende algemeen? - Als je in je bewering een voorwaarde weglaat, lukt het dan nog? Is die voorwaarde dan essentieel? - Welke eigenschap wil je hier gebruiken? Zijn alle voorwaarden vervuld?) Leerlingen krijgen hierdoor inzicht in hoe wiskundig begrijpen verloopt, dus hoe sterk analyserend men te werk hoeft te gaan, hoe kritisch men moet omgaan met beweringen, of met argumenten. Ze ondervinden en kunnen communiceren over hoe een bewering getoetst wordt. Wiskunde valt dan niet zomaar uit de lucht, wiskunde wordt opgebouwd, geconstrueerd. Op dergelijke wijze komt men dus dichter bij het echte wiskundige denkproces. Gekoppeld aan de taalniveaus zal dit proces aanvankelijk eerder intuïtief vanuit gissen en missen verlopen, maar geleidelijk aan zal de gebruikte formulering beter aansluiten bij een wiskundig gestructureerde (mogelijk deductieachtige) aanpak. Leerlingen die hier

33 Actualisering leerplan eerste graad - Deel Wiskunde en taal 33 vlot mee over weg kunnen, worden georiënteerd naar wiskundig sterkere richtingen, waar dan meer verfijning van zowel de wiskundetaal als de aanpak van redeneren zal nagestreefd worden. Andere leerlingen hoeven niet noodzakelijk met deze intensere wiskundevorming geconfronteerd te worden. Voor hen kan wiskunde functioneren op een al of niet breed uitgewerkt gebruikersniveau. Onderzoek toont aan dat leerlingen die succesvol omgaan met wiskundig redeneren meestal actieve leerlingen zijn. Nog maar eens een aanbeveling om actieve leer processen aan te bieden (discussie, groepswerk, contextgericht, projectmatige aanpak). Passieve strategieën, zoals memoriseren en dril, geven minder goede resultaten, dan actief te verwerken opdrachten, als men daarbij verdiepend begrijpen van wiskunde beoogt. Andere bevinding is dat leerlingen die succesvol met wiskundeleerprocessen kunnen omgaan meer reflecterend te werk gaan. Leerlingen die terugkoppelend werken (wat doe ik precies en waarom doe ik het op die wijze) hebben meer succes dan leerlingen die slaafs de onderwezen regels uitvoeren. Hierbij kan gewezen worden op de evidente vaststelling dat leerlingen verschillen. Er is dus geen eenduidige strategie om deze redeneercompetentie bij te brengen. Aansluitend bij de modellen van meervoudige intelligentie is een ruime en gedifferentieerde aanpak aan te bevelen. Leerlingen kunnen dan zelf een deel opnemen van de werkwijze die hen het meest bijbrengt. Blijft altijd wel de vaststelling dat je wiskunde maar leert door het te doen. Wil men resultaat bekomen, is dat alleszins een voorwaarde, elke goede aanpak ten spijt. Hulpmiddelen bij de aanpak van het uitschrijven van een bewijs Het is zinvol leerlingen in een eerste periode een overzichtelijk werkschema aan te bieden. Dat geeft een goede steun bij het didactisch verwerken van redeneervaardigheden (d.w.z. de aanpak in klas of bij het verwerken van taken kan afgetoetst worden aan dat stappenplan). Het telkens terugkoppelen naar zo n stappenplan kan in de moeilijke fase van het uitschrijven van een bewijs een ruggesteun bieden. Zo verwerven leerlingen een zekere routine in bewijsvoeringen, en dat schept vertrouwen. Anderzijds moeten met redeneervaardigheden precies heel soepel omgaan kunnen worden. Een te sterk vasthouden aan een en slechts een schema werkt waarschijnlijk even nefast als helemaal geen schema aanbieden. Voorbeeld 1 (naar een Vlaamse leerboekenreeks)

34 34 Actualisering leerplan eerste graad - Deel meetkunde: opbouw

35 Actualisering leerplan eerste graad - Deel Wiskunde en taal 35

36 36 Actualisering leerplan eerste graad - Deel meetkunde: opbouw Voorbeeld 2 (naar een Nederlands model) BEWIJZEN Aanpak: 1. Verkennen: Maak een analysefiguur waarin alle gegevens zijn aangegeven 2. Analyseren Het analyseren bestaat uit drie onderdelen: o Vooruitdenken: Probeer uit de gegevens het een en ander af te leiden. o Terugdenken: Bedenk uit hetgene dat bewezen moet worden wat de voorafgaande stap kan zijn geweest. o Plan maken: Probeer een verband te leggen tussen de resultaten van het vooruitdenken en het terugdenken. Dit is vaak het moeilijkste deel. 3. Bewijs geven Noteer het bewijs volgens het bewijsschema: 1. Gegeven 2. Te bewijzen 3. Bewijs Voorbeeld: Bewijs dat de diagonalen van een ruit loodrecht op elkaar staan. 1. Verkennen Tekening maken en de vier gelijke zijden aangeven. Schrijf de letter A,B,C en D bij de hoekpunten. Trek de diagonalen en noem het snijpunt S. 2. Analyseren - Vooruitdenken: ABCD is ook een parallellogram dus de diagonalen delen elkaar middendoor, dus AS = SC en BS = SD. (+ aanduiden op de figuur) - Terugdenken: Je moet bewijzen dat AC BD. Hieruit kun je dus de conclusie trekken dat je kunt volstaan aan te tonen dat hoek BSC= hoek DSC, want hoek BSD is een gestrekte hoek.

37 Actualisering leerplan eerste graad - Deel Wiskunde en taal 37 - Plan maken: Als ik kan aantonen dat BSC congruent is met DSC ben ik klaar. 3. Bewijs geven Schrijf nu op: Gegeven: een ruit ABCD Te bewijzen: AC BD. Bewijs: BSC congruent is met DSC dus want. Voorbeeld 3 (uit een Amerikaans leerboek: Discovering Geometry)

38 38 Actualisering leerplan eerste graad - Deel meetkunde: opbouw Voorbeeld 4 (uit een Amerikaans leerboek: Discovering Geometry)