Vandaag ALS WE KIEZEN VOOR BEWIJZEN, LATEN WE DAN NIET TOVEREN 11/10/09. Anne Schatteman Erasmushogeschool Brussel Lerarenopleiding LSO

Transcriptie

1 ALS WE KIEZEN VOOR BEWIJZEN, LATEN WE DAN NIET TOVEREN Erasmushogeschool Brussel Lerarenopleiding LSO Vandaag 2 2 Erasmushogeschool Brussel 1

2 3 Stellingen en bewijzen zijn essentieel in wiskunde Essentieel onderdeel van het vak, de opbouw van de wiskundetheorie, de filosofie van het denken Zijn de beweringen waar? Leerplan: Algemene doelstelling: de leerlingen analyseren, schematiseren en structureren wiskundige informatie de leerlingen ontleden eenvoudig mathematiseerbare problemen de leerlingen pakken wiskundige problemen planmatig aan Expliciet vermelding van het behandelen van stellingen en hun bewijzen Onderzoekscompetentie zich oriënteren op een onderzoeksprobleem door gericht informatie te verzamelen, te ordenen en te bewerken; een onderzoeksopdracht voorbereiden, uitvoeren en evalueren; de onderzoeksresultaten en conclusies rapporteren en confronteren met andere standpunten Redeneervermogen oefenen; als voorbeeld om later te gebruiken bij het oplossen van problemen 3 ErasmushogeschoolBrussel Moeilijk onderdeel van de leerstof 4 Bewijzen worden behandeld want het hoort er bij Vraagt heel veel tijd. Weinig rendement Wordt (vaak) zuiver gememoriseerd Grote faalangst Didactisch: veel tovermomenten; weinig inbreng van de lln Inzicht moeilijk te evalueren Bewijzen worden soms weggelaten of moeten niet gestudeerd worden 4 ErasmushogeschoolBrussel 2

3 In de klas? Worst case scenario s. 5 5 Soms: stellingen poneren; bewijzen met tovermomenten/kritische vragen Leerkrachten in actie: erg sturend Leerlingen proberen te begrijpen; weinig creatieve inbreng Soms: in begeleid zelfstandig werk: Lln: in actie maar verliezen soms de draad; volledig gestuurd want denkproces vooraf helemaal uitgesponnen; of.. Lln blokkeren want te moeilijk Lkr: beperkte rol Welke vakdidactiek is hier aangepast? ErasmushogeschoolBrussel 6 Verband met Problem Solving Onderzoek (Lakatos) PS (Polya / Schoenfeld) (primitieve) conjectuur 1ste bewijs = ruw gedachtenexperiment Het probleem analyseren / begrijpen Plan maken van uitwerking Globaal tegenvoorbeeld Plan uitvoeren Waar zat de fout in het eerste bewijs? =>voorwaarden in conjectuur aanpassen Reflecteren op het oplossingsproces 6 ErasmushogeschoolBrussel 3

4 Heuristieken in PS 7 1. Begrijpen van het probleem Wat is gegeven? Wat is gevraagd? Wat zijn de voorwaarden? Is de voorwaarde voldoende? Of niet? Kunnen de voorwaarden gerealiseerd worden? Maak een tekening. Voer aangepaste notaties in. Voer hulplijnen toe. 2. Opstellen van een plan Herinner je je een gelijkaardig probleem? Wat deed je toen? Ken je een probleem dat ermee verband houdt? Ken je een eigenschap die nuttig zou zijn? Kijk naar het gevraagde! Is er een vertrouwd probleem met hetzelfde / vergelijkbaar gevraagde? Kan je de methode gebruiken? Het resultaat? Kan je het probleem herformuleren? Ga terug naar de definities. Tracht een eenvoudiger probleem op te lossen? Een algemener? Een deelprobleem? Laat enkele voorwaarden vallen Werden alle gegevens gebruikt? 7 ErasmushogeschoolBrussel 3. Uitvoeren van het plan Analyseer elke stap. Kan je elke stap verklaren? Welke vragen ga je jezelf stellen? 4. Reflectie Onderzoek het resultaat/ de methode die je gevonden hebt/ de argumentering die gebruikt is. Zijn er fouten gemaakt? Is het algemeen toepasbaar, voor elke situatie? Kan het resultaat op een andere manier gevonden worden? Is het misschien niet zo moeilijk als je dacht? Kan het uitgebreid worden in een ander probleem? Is er iets dat verder kan onderzocht worden? 8 8 Erasmushogeschool Brussel 4

5 Heuristisch versus deductief 9 Denken van wiskundigen Deductieve stijl in handboek Denkproces om definities en eigenschappen op te bouwen Vertrekken van een probleem Conjecturen opstellen en in vraagstellen Kritisch zijn tov redeneringen -> bijsturen van conjecturen en bewijzen Dynamisch zoeken; een avontuur in de wiskunde Lijst van definities eigenschappen voorbeelden Poneren van stellingen Gestructureerde voorstelling van een denk resultaat Wiskunde lijkt onbetwistbaar; steeds groeiend 9 ErasmushogeschoolBrussel We redeneren eigenlijk omgekeerd 10 Zie voorbeeld pag. 27 in bijlagenbundel. TB vierhoek is een parallellogram In tekstboek: Driehoeken zijn congruent hoeken in driehoeken even groot Verwisselbare binnenhoeken Overstaande zijden evenwijdig Vierhoek is parallellogram Probleemoplossend Vierhoek is parallellogram ALS Overstaande zijden evenwijdig ALS Verwisselbare binnenhoeken ALS hoeken in driehoeken even groot ALS Driehoeken zijn congruent 10 ErasmushogeschoolBrussel 5

6 11 Vertrekken van een probleem Middelpuntshoek versus omtrekshoek conjectuur Eigenschappen van een koorde in een cirkel Stelling van Rolle Tussenwaardenstelling Stelling van Pythagoras 11 Erasmushogeschool Brussel Opdracht 12 Zie bijlage: pagina 29 Formuleer een aanvaardbare vraag/een dialoog als probleemstelling, voorafgaand aan de formulering van de stelling. Zoek een aantal redenen waarom het voorgestelde bewijs geen neerslag is van een denkproces. 12 ErasmushogeschoolBrussel 6

7 Probleemstelling: De rij 1, 2, 4, 8, 16,... convergeert deze rij? Wat is de reden? Is het omdat ze onbegrensd is? Omdat ze stijgend is? Kunnen we voorbeelden vinden van onbegrensde rijen die wel convergeren? Kunnen we voorbeelden vinden van stijgende rijen die wel convergeren? Hoe komt het dat het met deze voorbeelden lukt? Waar ligt die limietwaarde tov de rij? Onder welke voorwaarde gaat die kleinste bovengrens zeker bestaan? Neerslag denkproces Start: gegevens => => =>... tot het TB Er wordt vooraf niet nagedacht over hoe de convergentie gaat uitgedrukt worden. De limietwaarde wordt getoverd. Keuze van het kenmerk van kleinste bovengrens valt uit de lucht Bewijzen = probleemoplossen 14 De 4 fasen van Polya doorlopen tijdens het zoeken naar een bewijs Aangepaste heuristieken gebruiken Metacognitieve begeleiding en feedback Middelpuntshoek omtrekshoek Eigenschappen van een koorde Convergentie van een stijgende rij die van boven begrensd is. Stelling van Pythagoras 14 7

8 Kenmerken van begrippen 15 Kennis van zoveel mogelijk kenmerken => taal waarin een bewijs kan gevoerd worden =>technisch voordeel uitbuiten. Formularia aanvullen met fiches van kenmerken van de belangrijkste begrippen (parallellogram / continuïteit / Consequente keuzes maken in bewijzen Strategische keuzes maken in bewijzen 15 Is er steeds nood aan een bewijs? 16 Patroonherkenning bewijsvoering Vb1: Is n 2 +n+41 een priemgetal? Vb2: Hoeveel domeinen? Vb3: Pseudobewijzen Een voorbeeld kan soms al het nodige inzicht genereren; Een tekening bevat soms alle informatie die nodig is. 16 8

9 Structuur van een bewijs 17 Schema van het bewijs van de stelling van Rolle: Het is een existentiestelling Als dan c ]a,b[: f (c )= schema: reliëf leggen Geg TB, + commutatief Place to be 18 + is comm in IR 9

10 19 Kritische stapsgewijze analyse van een bewijs We proberen elke stap in het bewijs te verklaren; op welke eigenschap steunt men, welke definitie wordt gebruikt, welk kenmerk? Een valiesje van vragen aanleggen. Kan onafhankelijk van de analyse van de structuur van het bewijs Kan als voorbereiding in een huiswerk, of nadat de structuur van het bewijs is besproken in de klas. 19 Uit VBTL 5-6 Die Keure

11 Is het haalbaar? Is er een keuze? 21 LESS IS MORE Niet als we alle stellingen zo aanpakken ->keuzes maken. Stellingen/ Bewijzen die niet ontdekt worden door de lln hebben weinig leer waarde Lln moeten overtuigd raken van het nut van een bewijs: Voor de wiskunde Voor de eigen problem solving vaardigheden 21 Erasmushogeschool Brussel Lln moeten ervaren dat steeds dezelfde vaardigheden terugkomen, steeds dezelfde structuren, steeds dezelfde kritische vragen. Moeilijke taak van de leerkracht: steeds zoeken naar het probleem dat eraan vooraf gegaan is? Zich inleven in het onderzoek van het probleem, in het denkproces van de ontdekking Basis van de logica / bewijsmethoden is een belangrijk kenniselement