BIJLAGE: Als we kiezen voor bewijzen, laten we dan niet toveren

Transcriptie

1 BIJLAGE: Als we kiezen voor bewijzen, laten we dan niet toveren Dag van de wiskunde, Kortrijk 27/11/2010 Anne Schatteman Lerarenopleiding LSO

2 Inhoudstafel 1. Problem Solving: schema en heuristieken Congruentiekenmerken van driehoeken Kenmerk van een middelloodlijn van een lijnstuk... 5 A. Probleemstelling... 5 B. Opbouw van het bewijs... 7 C. Verder onderzoek Som van de hoeken van een driehoek A. Probleemstelling: B. Opbouw van het bewijs Kenmerk van een gelijkbenige driehoek A. Verloop van het instructie-leerproces: B. Nabespreking Middelpuntshoek versus omtrekshoek in een cirkel A. Een onderzoek naar een hypothese B. Een bewijs zoeken is zoals het oplossen van een probleem: Eigenschap van een koorde in een cirkel A. Een onderzoek naar een hypothese B. Bewijzen zoeken Stelling van Pythagoras: A. Een verhaal van opbouw conjectuur met een klein beetje toveren B. Opbouw van een bewijs C. Kritische terugblik Omgekeerd redeneren Is er nood aan een bewijs? a. Patroonherkenning is verschillend van een bewijs! B. Pseudobewijzen De rol van kenmerken van begrippen Bibliografie /48

3 1. ProblemSolving: schema en heuristieken Gebruik van heuristieken = vuistregels/hulpacties 1.Begrijpen van het probleem - Wat is gegeven? Wat is gevraagd? Wat zijn de voorwaarden? - Is de voorwaarde voldoende? Of niet? Kunnen de voorwaarden gerealiseerd worden? In welke mate hebben ze een invloed op het gevraagde? - Maak een tekening. Voer aangepaste notaties in. Voer hulplijnen toe. 2.Opstellen van een plan - Herinner je je een gelijkaardig probleem? Wat deed je toen? - Ken je een probleem dat ermee verband houdt? Ken je een eigenschap die nuttig zou zijn? - Kijk naar het gevraagde! Is er een vertrouwd probleem met hetzelfde / vergelijkbaar gevraagde? Kan je de methode gebruiken? Het resultaat? - Kan je het probleem herformuleren? Ga terug naar de definities. - Tracht een eenvoudiger probleem op te lossen? Een algemener? Een deelprobleem? Laat enkele voorwaarden vallen - Werden alle gegevens gebruikt? 3.Uitvoeren van het plan - Analyseer elke stap. Kan je elke stap verklaren? - Welke vragen ga je jezelf stellen? 4.Reflectie - Onderzoek het resultaat/ de methode die je gevonden hebt/ de argumentering die gebruikt is. Zijn er fouten gemaakt? - Is het algemeen toepasbaar, voor elke situatie? - Kan het resultaat op een andere manier gevonden worden? Is het misschien niet zo moeilijk als je dacht? - Kan het uitgebreid worden in een ander probleem? Is er iets dat verder kan onderzocht worden? 3/48

4 2. Congruentiekenmerken van driehoeken Probleemstelling Hoeveel gegevens houdt een driehoek in? (6) Moeten we over alle gegevens beschikken om de driehoek te kunnen tekenen? Wat is het minimum aantal gegevens dat nodig is om een driehoek te kunnen tekenen en welke zijn die gegevens? Top down methode of Bottom up methode? Top Down 6 gegevens zijn teveel; want één hoekgrootte kan afgeleid worden uit de twee andere (altijd waar!) (ZHZHZ) Kan een ander gegeven weggelaten worden ipv één hoek? (we kunnen voorbeelden vinden voor elk gegeven dat weggelaten wordt, waaruit blijkt dat het voldoende is, maar is het altijd zo? Dat vraagt voor elke keuze een bewijs!) Zijn 4 gegevens voldoende? (welke 4? Voorbeelden geven aan van wel, maar geen zekerheid, een bewijs is nodig!) Zijn 3 gegevens voldoende? (voorbeelden geven aan van wel, maar geen zekerheid, een bewijs is nodig!) Zijn twee gegevens voldoende? (tegenvoorbeelden sluiten dit uit) Is één gegeven voldoende? (tegenvoorbeelden sluiten dit uit!) Besluit: geen goede aanpak want er moeten heel veel tussenstappen bewezen worden, ofwel superveralgemeend worden vanuit voorbeelden. (=toveren) Bottom up Is één gegeven voldoende? Neen, voor elke soort is een tegenvoorbeeld te vinden. Zijn twee gegevens voldoende? Neen, voor elke soort is een tegenvoorbeeld te vinden. Zijn drie gegevens voldoende? Niet altijd: voor HHH en ZZH zijn tegenvoorbeelden te vinden; Voor de 4 andere gevallen is een bewijs nodig. De bewijzen bevatten veel parallelle elementen. De gevallen kunnen bovendien nog geïllustreerd worden ahv plastisch materiaal (plooimeters, passers, ); de leerlingen voelen dat het niet anders kan. Besluit: goede opbouw en aanpak van het probleem want - geen tovermomenten - talrijke creatieve momenten voor de leerlingen. 4/48

5 3. Kenmerk van een middelloodlijn van een lijnstuk A. Probleemstelling 1. waar liggen de punten die evenver gelegen zijn van een gegeven punt? 2. waar liggen de punten die evenver gelegen zijn van twee gegeven punten? 1. De eerste vraag beantwoorden gaan de leerlingen niet als een probleem ervaren. Ze kennen immers de definitie van een cirkel. We tekenen verschillende oplossingen (concentrische cirkels) van het probleem in Geogebra. Op elk van de cirkels is de afstand tot het gegeven punt een constante. 2. De tweede vraag kunnen we experimenteel aanpakken. We construeren met een passer punten die aan de voorwaarde voldoen. 5/48

6 We vinden verschillende punten die aan de voorwaarde voldoen ( evenver liggen van twee gegeven punten). Deze keer is de afstand niet constant. Met Geogebra laten we een spoor tekenen, en er verschijnt een rechte. We onderzoeken de kenmerken van die rechte en we stellen vast dat ze loodrecht staat op het lijnstuk en door het midden gaat. Een nieuwe onderzoeksvraag dringt zich op: Heeft elk punt van de middelloodlijn de eigenschap dat het even ligt van de twee gegeven punten? We pakken dit experimenteel aan en laten de leerlingen tekenen en meten. We vatten onze bevindingen samen en we komen met de leerlingen tot een hypothese: Wat was onze eerste vraag? wat hebben we vastgesteld? o we stellen vast dat punten die even liggen van twee gegeven punten op de middelloodlijn liggen van het lijnstuk bepaald door de twee punten. Waar waren we dan nog niet zeker van? wat hebben we verder vastgesteld? o Elk punt op de middelloodlijn ligt even van de twee gegeven punten. We vertalen onze twee bevindingen in één wiskundezin: Een punt P ligt even van twee gegeven punten A en B het punt P is gelegen op de middelloodlijn van [AB]. 6/48

7 B. Opbouw van het bewijs Op basis van de analyse van de dubbele pijl beslissen we met de lln in hoeveel delen het bewijs moet gevoerd worden. =>) 1. We tekenen het gegeven in het groen, het te bewijzen in het rood. Er rijst een probleem om het te bewijzen te visualiseren. We kunnen de middelloodlijn niet tekenen door de tophoek van de driehoek want dat moet juist bewezen worden. Welke rechte tekenen we dan wel? 2. Welke rechte kunnen we dan wel tekenen? Tot welke rechte kan A zeker behoren? Zwaartelijn Hoogtelijn Bissectrice 3. We vullen de tekeningen aan met wat we kennen in de meetkunde. Zwaartelijn Hoogtelijn Bissectrice ZZZ of ZHZ ZZH (geen congruentiekenmerk) ZHH ZHZ of HZH 7/48

8 4. We proberen congruentiekenmerken te gebruiken om gelijkheid van zijden en/of van hoeken te kunnen besluiten. We stellen vast dat we bij de situatie met de hoogtelijn voorzichtig moeten zijn (ZZH is geen congruentiekenmerk). <=) We kunnen deze pijl als klastaak / huistaak opgeven op voorwaarde dat we een stappenplan bespreken met de lln vooraf: 1. maak een tekening: markeer het gegeven in groen 2. markeer het gevraagde in rood. 3. In welke driehoeken ga je nadenken 4. Kan je een congruentiekenmerk toepassen 5. Verifieer elke voorwaarde die het congruentiekenmerk gebruikt. C. Verder onderzoek We gaan op het elan verder dat we in de probleemstelling hebben aangevat: - Welke punten in het vlak liggen even ver van 3 gegeven punten (niet op eenzelfde rechte gelegen)? 8/48

9 P ligt even ver van A en B => P ligt op de middelloodlijn van [AB]. P ligt even ver van B en C => P ligt op de middelloodlijn van [BC]. Dus P ligt op het snijpunt van de middelloodlijnen. Er is maar één punt dat voldoet. - Kunnen we de ligging van P met meer detail omschrijven? o Ligt P ook op de derde middelloodlijn? Is dat toeval? o Hoe liggen A, B en C tov P? Wat betekent dit? En we hebben een nieuwe overgang gecreëerd naar een nieuwe eigenschap! 9/48

10 4. Som van de hoeken van een driehoek A. Probleemstelling: Is er een verband tussen de hoeken van een driehoek? Stap 1: De lln voelen dat er een verband moet zijn, al weten ze nog niet welk verband? o Experimenteren: met een plooimeter, met Meccano, met Geogebra,. Vaststelling: als ik twee hoeken kies, dan is er geen vrije keuze meer voor de derde hoek. Dus die ligt vast. Stap 2: wat is het verband dan tussen de hoeken van een driehoek? o Experimenteren: o Groep 1: de lln tekenen allemaal een andere driehoek: Elke leerling meet nauwkeurig de grootte van de drie hoeken. Is er een verband tussen de groottes? vaststelling: Hoe komt het dat niet iedereen hetzelfde resultaat heeft? Wat kan hier meespelen? Liggen alle resultaten in elkaars buurt? De lln formuleren een hypothese. o Groep 2: De lln experimenteren met Geogebra en/of Cabri: vaststelling: de lln vinden dat de som van de hoeken steeds gelijk is aan 180. o Groep 3: Krijgt een uitgeknipte versie van de driehoek. Ze mogen hem manipuleren hoe ze willen om iets over de som te kunnen vaststellen. vaststelling: na afscheuren van de hoeken en mooi positioneren stellen ze vast dat de drie hoeken samen een gestrekte hoek vormen. Stap 3: We leggen de bevindingen van de drie groepen samen en we oordelen kritisch: o Hoe komt het dat er in de eerste groep verschillende resultaten zijn? + Kritisch: we hebben enkele voorbeelden onderzocht. Is het wel altijd waar? o Groep 2: een duidelijk beeld; het vermoeden wordt sterk want het aantal onderzochte voorbeelden is nu echt wel groot en de meting gebeurde nauwkeurig. Maar toch, is het algemeen waar? o Groep 3: kritisch: Vormen die drie hoeken samen wel echt een gestrekte hoek; liggen die twee uiterste benen wel altijd in elkaars verlengde? Of is er misschien een kleine knik? Is het toeval? Stap 4: een hypothese wordt geformuleerd. 10/48

11 De som van de hoekgroottes van een driehoek is steeds 180. Stap 5: Waarom is het altijd waar? We moeten een bewijs zoeken, onafhankelijk van de voorbeelden die we onderzocht hebben. Er zijn verschillende aanpakken mogelijk: B. Opbouw van het bewijs Methode 1: Sluit aan bij het scheurexperiment. Wat was het probleem? Waar waren we niet zeker van? We moeten dus nog verklaren dat in elk geval, voor elke driehoek die we willekeurig kiezen, die drie hoeken samen een gestrekte hoek gaan vormen en dus dat de uiterste benen in elkaars verlengde liggen. We maken een schets van de situatie: We hebben de hoek verlegd. Dat is in de wiskunde hetzelfde alseentransformatie uitvoeren. Welke transformatie kan die hoek sturen op één van de hoeken in B? (bijv. een puntspiegeling tov het midden van [AB]. Wat doet een puntspiegeling met een rechte? Met een hoek? Analoge redenering voor de hoek in C. sleutelideeën / te onthouden: scheurexperiment vertalen in een tekening. verleggen is een transformatie uitvoeren. effect van deze transformatie op rechten en op hoeken beschrijven. Methode 2 Het bewijs zoeken is zoals het oplossen van een probleem. 11/48

12 o We proberen eerst een eenvoudiger probleem op te lossen: wat in het geval van rechthoekige driehoeken? wat zouden we dan moeten bewijzen? o Metaniveau: Vooraleer we ons engageren moeten we zeker zijn dat dit ons gaat vooruithelpen. Gaan we de methode kunnen veralgemenen? Gaan we het resultaat kunnen gebruiken? Als we weten dat de som van de twee scherpe hoeken in een rechthoekige driehoek samen 90 is, dan kunnen we ook snel verklaren waarom de som van de drie hoeken in een willekeurige driehoek gelijk is aan 180. We vervangen dus het oorspronkelijk probleem door een eenvoudiger, maar gelijkwaardig probleem. o Kan ik dit probleem linken aan situaties die ik al ken? Ken ik nog figuren met rechte hoeken? Wat is de som van de hoeken van een rechthoek? 360. Heeft mijn tekening verband met een rechthoek? We leggen twee identieke rechthoekige driehoeken tegen elkaar zodat ze een vierhoek vormen. Wiskundig vertaald wordt dat: We roteren de figuur om het midden van de schuine zijde of we spiegelen de rechthoekige driehoek tov het midden van de schuine zijde. Als we kunnen verklaren dat deze figuur een rechthoek is, dan is het probleem opgelost. Plan: de vierhoek is - een parallellogram - de vier hoeken zijn recht Welke taal gaan we kiezen om te spreken over een parallellogram? (lengtes van zijden?, diagonalen?, evenwijdigheid?,.) We 12/48

13 overleggen samen met de lln wat het meest strategisch is. Met lengtes: Vermits het twee identieke driehoeken zijn weten we zeker dat er lengtes overeenkomen: ljkl = lhil en ljhl = likl en dus hebben we dat de overstaande zijden even lang zijn. OF Met evenwijdigheid: Puntspiegelen stuurt een rechte op een rechte die evenwijdig is: HI // KJ en HJ // KI en dus hebben we dat overstaande zijden evenwijdig zijn. OF Met hoeken: Overstaande hoeken zijn even groot. We kunnen dus concluderen dat we een parallellogram hebben. o Welke kennis over evenwijdigheid en loodrechte stand kan me verder helpen? (verband leggen met relevante kennis) Als een rechte loodrecht staat op één van twee evenwijdige rechten, dan ook op de tweede. Methode 3: Hier zullen de lln waarschijnlijk niet zelf opkomen. daarom is het interessant om hen kritische vragen te laten stellen en hen een plan van het oplossingsproces te laten bedenken. ACTIE We plooien de tophoek van de driehoek tov de rechte die de middens van twee aanliggende zijden KRITISCHE VRAGEN Vertaal dit in wiskunde? (we spiegelen de hoek tov de rechte DE) 13/48

14 verbindt. We zien twee gelijkbenige driehoeken verschijnen We vullen de tekening aan met kenniselementen. We analyseren de situatie in C : Waarom zijn die driehoeken gelijkbenig? Wat weet ik allemaal over gelijkbenige driehoeken? Waarom ligt C precies op AB? ( CDE ~ CAB want middenparallel is evenwijdig met basis en half zo lang. Dus de hoogte van de driehoek is ook gehalveerd) Dit zou dus een bewijs zonder woorden kunnen zijn, als we antwoord hebben gevonden op al die kritische vragen! Desnoods zonder verklaringen, indien dit te moeilijk zou zijn voor de lln. 14/48

15 5. Kenmerk van een gelijkbenige driehoek Een driehoek is gelijkbenig twee hoeken zijn even groot. een middelloodlijn van een zijde is een bissectrice, een hoogtelijn, een zwaartelijn van de driehoek A. Verloop van het instructie- leerproces: I. Ontdekken van de kenmerken van een gelijkbenige driehoek 1. de leerlingen onderzoeken een gelijkbenige driehoek om vast te stellen dat de basishoeken even groot zijn 2. de leerlingen ontdekken door te plooien dat de merkwaardige lijnen in een gelijkbenige driehoek zeer bijzonder zijn. 3. de leerlingen stellen vast dat die eigenschappen zeker niet altijd voldaan zijn in een willekeurige driehoek 4. de leerlingen tekenen driehoeken die aan de voorwaarden voldoen en stellen vast dat die driehoeken noodzakelijk gelijkbenig zijn. 5. de leerlingen komen tot het vermoeden dat die eigenschappen kenmerken zijn; ze begrijpen dat uit de voorbeelden nog niet met zekerheid algemene conclusies kunnen getrokken worden II. Oefenen om een duidelijk onderscheid te leren maken tussen gegevens en te bewijzen. III. Abstractie: de leerlingen zien in dat congruentiekenmerken van driehoeken sleutelelementen zijn in de verklaring van de kenmerken. IV. Opbouw van verschillende bewijzen V. Nabespreking VI. Oefenen op analoge redeneringen 15/48

16 I. Ontdekken van het kenmerk. Indeling van de klas in 4 groepjes. Alle groepjes krijgen een (gelijkbenige) driehoek. Groepje 1: krijgt een uitgeknipte versie van de driehoek zonder meetapparatuur Groepje 2: Krijgt een uitgeknipte versie en een passer Groepje 3: Krijgt een getekende versie (niet uitgeknipt) en een meetlat Groepje 4: Krijgt een uitgeknipte versie en een gradenboog Opdracht 1: Ga na of de driehoek bijzonder is. Vaststelling/klasgesprek: Groepje 1: kan de zijden van de driehoek op elkaar leggen door te plooien en stelt vast: Twee zijden zijn even lang en twee hoeken zijn even groot Groepje 2: past de zijden af met de passer en stelt vast: twee zijden zijn even lang. Doen ze moeite om te plooien en iets over de hoeken te ontdekken? Groepje 3: meet de zijden: lengten van twee zijden zijn gelijk Groepje 4: meet de hoeken: twee hoeken zijn even groot; doen ze moeite om door te plooien iets over de zijden te ontdekken? Probleemstelling/klasgesprek: Vanuit de klas worden er vragen gegenereerd. Kan groepje 4 besluiten dat het een gelijkbenige driehoek is? Zijn alle driehoeken die twee even grote hoeken hebben gelijkbenig? Hebben alle gelijkbenige driehoeken twee even grote hoeken? Welke hoeken zijn dat? Groepje 1 kon door te plooien vaststellen dat beide uitspraken waar zijn op hun exemplaar. a. Als de twee zijden op elkaar gelegd werden, dan bleken de hoeken elkaar te bedekken. 16/48

17 b. Als de twee hoeken op elkaar gelegd werden, dan bleken de zijden elkaar te bedekken. We verifiëren beide uitspraken op extra voorbeelden ahvgeogebra of Cabri. en het vermoeden wordt sterk dat we hier met een eigenschap (kenmerk) te doen hebben. We vertalen beide uitspraken in wiskunde taal: a. Als een driehoek gelijkbenig is, dan zijn de basishoeken even groot. b. Als twee hoeken in een driehoek even groot zijn, dan is de driehoek gelijkbenig. We anticiperen op het bewijs: Hoe noemen we figuren die elkaar volledig bedekken? Zijn we hier dergelijke figuren tegengekomen? - de twee opstaande zijden zijn congruent - de twee basishoeken zijn congruent - de plooilijn verdeelt de driehoek in twee congruente driehoeken. Opdracht 2: De geplooide driehoek wordt geobserveerd. Wat stelt de plooilijn voor? Verschillende juiste antwoorden zijn mogelijk. - een symmetrieas; door punten te spiegelen tov de plooilijn zien we dat de overeenkomstige punten opnieuw deel uitmaken van de driehoek. - Een zwaartelijn: de plooilijn gaat door de top en de basis wordt precies in twee geplooid (de helften bedekken elkaar); - Een hoogtelijn: de twee hoeken in het voetpunt van de plooilijn bedekken elkaar en zijn dus even groot, maw 90 - Een middelloodlijn: want basis wordt gehalveerd en de twee hoeken in voetpunt zijn even groot - een bissectrice: de twee hoeken die samen de tophoek bepalen worden op elkaar gelegd en zijn dus even groot. We stellen al deze merkwaardigheden vast, gewoon door te kijken naar de gevouwen driehoek. 17/48

18 We vatten onze bevindingen samen in eigenschappen: Als een driehoek gelijkbenig is dan is de middelloodlijn van de basis een hoogtelijn de bissectrice van de tophoek een zwaartelijn.. Opdracht 3: Gelden die eigenschappen ook in andere driehoeken? Verifieer enkele voorbeelden. Verschillende groepjes maken: Groepje 1: - teken een willekeurige driehoek: verifieer of o twee hoeken even groot zijn o een middelloodlijn ook een bissectrice is van de overstaande hoek o.. o Groepje 2: elke leerling tekent: een driehoek waarvan een middelloodlijn ook een zwaartelijn is. Welke driehoek heb je getekend? Groepje 3: elke leerling tekent: een driehoek waarvan een middelloodlijn ook een hoogtelijn is. Groepje 4:elke leerling tekent: een driehoek waarbij een hoogtelijn ook een bissectrice is Groepje 5: elke leerling tekent: een driehoek waarvan twee hoeken even groot zijn. Welke driehoek heb je getekend?. 18/48

19 Opdracht 4: Samenvatting: Waaraan kunnen we herkennen dat een driehoek gelijkbenig is? Te bespreken met de leerlingen: - Wat betekent die dubbele pijl? Wat als de basishoeken niet even groot zijn? (welke pijl gebruik je?) Wat moet zeker waar zijn als de driehoek gelijkbenig is? (welke pijl gebruik je?) Wanneer ben ik zeker dat ik met een gelijkbenige driehoek te maken heb? (welke pijl gebruik je?) - Zijn we nu reeds zeker dat die pijl altijd waar is, voor alle mogelijke tekeningen die we kunnen maken? Hebben we dat reeds geverifieerd? Hoe kunnen we dat verifiëren? - Wat zijn in elk van de gevallen de gegevens? wat is er te bewijzen? II. Oefeningen op merkwaardige lijnen Opdracht 5: Voor elk van onderstaande beweringen maak je een tekening. Je duidt in het groen aan wat er gegeven is, je duidt in het rood aan wat er te bewijzen is. In een gelijkbenige driehoek - is de zwaartelijn uit de tophoek ook een hoogtelijn - is de hoogtelijn uit de tophoek ook een bissectrice - is de bissectrice uit de tophoek ook de middelloodlijn van de basis /48

20 III. Abstractie Probleemstelling: We tekenen een gelijkbenige driehoek op het bord. We kunnen de driehoek niet meer plooien om te verifiëren of de basishoeken even groot zijn. Welke theorie kunnen we gebruiken in plaats van het op elkaar leggen, om te checken dat lijnstukken even lang zijn etc.. (congruentiekenmerken) Welke driehoeken kunnen we kiezen? Welke rechten kunnen we gebruiken? IV. Bewijzen van het kenmerk: Een driehoek is gelijkbenig de basishoeken zijn even groot. =>) de leerlingen tekenen voor elke keuze van een merkwaardige lijn vanuit de tophoek, wat gegeven is en wat gevraagd is: zo ontstaan er spontaan verschillende bewijsmogelijkheden. De keuze wordt niet opgedrongen door de leerkracht; de leerlingen beslissen wat kan en wat niet kan. Zwaartelijn Bissectrice Hoogtelijn Middelloodlijn Gaat de middelloodlijn met zekerheid door het overstaande hoekpunt? ZZZ ZHZ ZZH - we tekenen een zwaartelijn uit het toppunt. De lln tekenen in rood en groen wat er gegeven is en wat TB is. - we tekenen een bissectrice van de tophoek. De lln tekenen in rood en groen wat er gegeven is en wat TB is. - we tekenen een hoogtelijn uit de tophoek. De lln tekenen in rood en groen wat er gegeven is en wat TB is. 20/48

21 - we denken aan een middelloodlijn maar bespreken het probleem van de positie van de tophoek? <=) Omgekeerd Wat is nu gegeven? wat is nu TB? Wat tekenen we in groen? Wat in rood? Welke rechten kunnen ons helpen? De leerlingen ontdekken nu dat een hoogtelijn en een bissectrice voor een bewijs kunnen zorgen. Voor de zwaartelijn is er een probleem (ZZH); voor de middelloodlijn is er een analoge probleem zoals met de heengaande pijl. B. Nabespreking Hoe leren we dit bewijs? - goed begrijpen wat een dubbele pijl wil zeggen; leidt vaak tot twee delen van een bewijs - bij elke pijl goed nadenken: wat mogen we gebruiken? wat moeten we bewijzen? - Welke sleutelbegrippen onthouden we? (congruentiekenmerken van driehoeken, merkwaardige lijnen in een driehoek) - we leren de keuzes niet van buiten. Door een tekening te maken beslissen we of de situatie leidt tot een echt congruentiekenmerk. V. Oefenen op analoge redeneringen Talrijke eigenschappen kunnen op basis van de zelfde methode verklaard worden: Maak een tekening. Duid in groen aan wat je krijgt! Zijn er keuzes? Duid in rood aan wat je moet bewijzen? Zijn er keuzes? In welke driehoeken ga je nadenken? Welke congruentiekenmerken bieden een oplossing? - als een hoogtelijn ook een zwaartelijn is, dan is de driehoek gelijkbenig. - als een zwaartelijn ook een bissectrice is, dan - als een hoogtelijn ook een bissectrice is, dan - Als een driehoek gelijkbenig is, dan is een hoogtelijn ook een bissectrice /48

22 6. Middelpuntshoek versus omtrekshoek in een cirkel. A. Een onderzoek naar een hypothese Probleem: wat weet ik over de tophoek van een driehoek met vaste basis, als het toppunt aan bepaalde voorwaarden voldoet? 1) Stel het toppunt behoort tot een rechte? De grootte van de tophoek kan alle waarden aannemen. Er is dus geen regelmaat. 2) Stel de hoekpunten van de driehoek behoren tot een cirkel, de basis is fiks. Telkens wordt er een onderzoeksvraag bedacht om tenslotte tot een hypothese te komen. Met Cabri ontdekken we samen met de leerlingen of er een verband is tussen alle tophoeken van driehoeken met zelfde basis=koorde. We stellen vast dat alle tophoeken even groot zijn. Ook voor extreme posities van de tophoek. Speelt de positie van [BC] een rol? We onderzoeken het met Cabri. Voor elke positie van [BC] blijft de grootte van de tophoek een constante. (We laten [BC]ook extreme posities innemen, bijvoorbeeld door het middelpunt van de cirkel en stellen dan reeds een bijzondere hoekgrootte vast). 22/48

23 Hoe groot is de tophoek? Wat kan hierbij bepalend zijn? o Welke wijziging (van positie) van [BC] heeft een invloed? (de lengte) o Welke rol heeft de cirkel hierin? de lengte van het lijnstuk en de grootte van de cirkel spelen een rol. Waar zie ik die elementen verschijnen? Dus eigenlijk is de grootte van de tophoek volledig bepaald door de driehoek BMC de leerlingen zijn klaar om te ontdekken dat de grootte van de tophoek de helft is van de grootte van de middelpuntshoek. Hoe ver kunnen we gaan met de positie van het hoekpunt A?Met de positie van de koorde [BC]? o A mag heel dicht bij een van de grenspunten B of C komen o A kan op middellijnen CM of BM gelegen zijn. o [BC]kan door het middelpunt gaan. 23/48

24 o A mag voorbij de grenspunten gaan, dus bewegen op de andere cirkelboog: de grootte van de hoek blijft dan ook constant, maar heeft een andere waarde (kan tot een nieuw onderzoek leiden). Verschillende hypothesen rollen uit dit onderzoek: 1. De grootte van de omtrekshoek is een constante als de hoek steunt op een koorde [BC]; de constante hangt af van de cirkelboog waarop het toppunt varieert. 2. Indien A gelegen is op de grote cirkelboog bepaald door [BC], dan is de grootte van gelijk aan de helft van de grootte van de middelpuntshoek bepaald door [BC]. 3. Indien [BC] een middellijn is, dan is de omtrekshoek een rechte hoek. 24/48

25 B. Een bewijs zoeken is zoals het oplossen van een probleem: We gebruiken het strategische plan en de nodige heuristieken om een verklaring te vinden voor de relatie die als hypothese werd gesteld. 1. Analyse van het probleem Het begrijpen van het probleem: = het begrijpen van de hypothese is reeds gebeurd omdat de opbouw door de leerlingen zelf is gebeurd. Zij begrijpen dater een verband moet zijn tussen de omtrekshoek en de middelpuntshoek. Bovendien heeft ICT hen overtuigd dat de hypothesen waar zijn. Ze begrijpen nog niet waarom het waar is, maar ze geloven erin. We maken een tekening van het probleem en markeren alle gegevens. Eventueel het TB in het rood met een? erbij. We tekenen hulplijnen (verbindingslijnen met het middelpunt om te kunnen weergeven dat de punten op een cirkel gelegen zijn) We gebruiken eigenschappen van de gegevens o basishoeken van gelijkbenige driehoeken zijn even groot; o afstand tot het middelpunt is constant. o de som van de hoeken in een driehoek is /48

26 Indien we in dit stadium nog geen plan hebben (*) we kijken of we eerst een eenvoudiger probleem kunnen oplossen waarvan we het resultaat of de methode kunnen toepassen in het algemene geval. Is er een eenvoudige positie van de tophoek waarbij de relaties ook eenvoudig worden? (Vanuit de instap was de positie van de tophoek op een middellijn al eens onderzocht). Er zijn minder driehoeken in beschouwing te nemen, dus eenvoudiger. Is het nuttig om deze situatie afzonderlijk op te lossen? Ben ik iets met het resultaat? Met de methode? Een willekeurige situatie kan teruggebracht worden tot een combinatie van twee bijzondere situaties. Dus we gaan voor het eenvoudig probleem want het zal ons naar succes leiden. 26/48

27 2. Plan1 We werken al de relaties uit en hopen het gewenste verband tussen de grootte van de middelpuntshoek en de grootte van de omtrekshoek in een gelijkheid te vinden. Het komt er dus op neer om te rekenen. Plan 2 (indien we (*) overwogen hadden) 1. We werken al de relaties uit in de eenvoudige situatie en hopen het gewenste verband tussen de grootte van de middelpuntshoek en de grootte van de omtrekshoek in een gelijkheid te vinden. Dus rekenen en zonderen 2. We passen het resultaat toe voor de twee deelproblemen en tellen de hoekgroottes en op. 3. Uitwerking van het plan Plan 1: Plan 2: /48

28 4. Reflectie op de oplossingsmethode Kan ik dit probleem op een andere manier oplossen? Op een meer eenvoudige manier? Indien aan plan 2 gedacht was aanvankelijk, dan zou men nu misschien aan plan 1 kunnen denken want de methode in het bijzondere geval kan eveneens onmiddellijk toegepast worden, zonder veel extra problemen. Is mijn methode (bijvoorbeeld plan 2) wel degelijk in elke positie van de gegevens te gebruiken? In de positie dat [BC] een middellijn is? Ja, de situatie kan opnieuw in twee deelproblemen opgesplitst worden. De twee resultaten worden dan opnieuw opgeteld. Het is wel ver gezocht, want in dit geval is het makkelijker om het probleem direct aan te passen (zoals in plan 1). In de positie dat het toppunt A verder doorgetrokken wordt (het middelpunt M ligt nu niet meer in het inwendige van de driehoek)? Ja, de situatie kan opnieuw in twee deelproblemen opgesplitst worden. De twee resultaten worden dan niet meer opgeteld maar afgetrokken van elkaar. Dus eigenlijk is de methode dezelfde. Kan ik nieuwe relaties ontdekken die verwant zijn met het probleem? In de instapfase zagen we dat indien A op de andere cirkelboog varieert, bepaald door de koorde [BC], dat de hoekgrootte dan eveneens constant is. o Is er opnieuw een eenvoudige relatie met de grootte van de middelpuntshoek? 28/48

29 o Kan ik mijn vorige oplossingsmethoden gebruiken? 7. Eigenschap van een koorde in een cirkel A. Een onderzoek naar een hypothese Probleemstelling: 1. Beschrijf de informatie die hier gegeven wordt. 2. De klas wordt in drie groepen ingedeeld: Groep 1: teken een koorde; teken dan de middelloodlijn. Groep 2: teken een koorde; teken de loodlijn vanuit het middelpunt op de koorde. Groep 3: teken een koorde; teken de rechte door het middelpunt en die de rechte halveert. Wat stellen jullie vast? er werd te veel informatie gegeven in de oorspronkelijke tekening; de tekening onthult dus eigenlijk drie verhalen We komen tot drie hypothesen. B. Bewijzen zoeken De drie bewijzen worden het best tegelijkertijd aangepakt. De gelijkenis moet ontdekt worden en/of uitgebuit worden. 1. Analyse van het probleem Het begrijpen is al voor een deel gebeurd tijdens de ontdekking van de drie beweringen; De leerlingen zijn overtuigd van de waarheid ervan, want een grote groep leerlingen stelden hetzelfde vast, elk op een aparte, niet voorgekauwde tekening. Ze geloven erin. 29/48

30 2. Opstellen van een plan Er dient handig gebruik gemaakt te worden van nuttige heuristieken: o Gebruik verschillende kleuren om het gegeven (groen) duidelijk te onderscheiden van het te bewijzen (rood); o Teken hulplijnen o Markeer alle kenniselementen die je ontdekt door gebruik te maken van eigenschappen die met de figuren die ontstaan, gepaard gaan. o Ben ik reeds gelijkaardige situaties tegengekomen? (gelijkheid van lengtes van lijnstukken bewijzen; gelijkheid van hoekgroottes bewijzen) o Welke theorie/methode was in die situatie succesvol? Congruentie van driehoeken/ eigenschap van een middelloodlijn van een lijnstuk 3. Uitwerking van het plan M ligt op de middelloodlijn de driehoeken MBD en MCD zijn congruent (ZHZ) => =90 (want som is 180 ) de driehoeken MBD en MCD zijn congruent ( ZHH) => 4. Reflectie op het verloop van de oplossing Is ereen andere bewijsmethode mogelijk? Wat weet ik nog over de driehoeken die zichtbaar zijn? In gelijkbenige driehoeken zijn de hoogtelijnen ook zwaartelijnen en omgekeerd. Kan ik in het eerste voorbeeld geen gebruik maken van congruente driehoeken? 30/48

31 8. Stelling van Pythagoras: A. Een verhaal van opbouw conjectuur met een klein beetje toveren. Startprobleem: We kennen een verband tussen de groottes van de hoeken van een driehoek is er ook een verband tussen de lengtes van de zijden van een driehoek? Of Stel 2 zijden van een driehoek zijn gekend. Ligt de derde zijde dan vast? We beginnen met eenvoudige driehoeken bv. gelijkbenige, en zien dater geen verband kan zijn tussen de zijden; dit idee is trouwens uit te breiden naar andere driehoeken. Dus er is nood aan een extra beperking: één hoek vastleggen. We onderzoeken eerst enkele eenvoudige hoeken. Hoek = 0. We hebben geen driehoek. Het overblijvende lijnstuk heeft een lengte gelijk aan het verschil van de gegeven lengtes. Hoek= 180. We hebben opnieuw geen driehoek. Het derde lijnstuk heeft een lengte gelijk aan de som van de twee gegeven lengtes. Hoek =90 (willen we de zoektocht later uitbreiden dan komen we op de cosinusregel; we kondigen dit al aan. We zullen dus zeker werken naar een algemene oplossing, op termijn). De bedoeling is om een didactische opbouw te plannen die zo geloofwaardig mogelijk is. Opdracht 1: De leerlingen tekenen allemaal een rechthoekige driehoek. Zien ze een verband tussen de lengtes van de rechthoekzijden en de lengte van de schuine zijde? NEEN. Onmogelijk. De kans is groot dat de lengte een irrationaal getal is, dus niet exact te beschrijven. Het probleem is te moeilijk. Dit is een situatie die de 31/48

32 leerkracht niet uit de weg moet gaan. Bij het oplossen van problemen is de realiteit zo dat er acties zijn die niet steeds tot een resultaat leiden. Een belangrijke problemsolving heuristiek is dan om over te gaan naar een eenvoudiger probleem. Opdracht 2: De leerlingen onderzoeken de meest eenvoudige rechthoekige driehoek: een gelijkbenige met lengte van de rechthoekzijden gelijk aan 1. Kunnen ze de lengte van de schuine zijde bepalen? METEN: onmogelijk om de associatie te leggen met. De figuur kan niet eenvoudiger; dus we moeten de methode over een andere boeg gooien. (= beslissing) Opdracht 3: We proberen de lengte van de schuine zijde op een andere (meetkundige) manier te betrekken bij deze driehoek. Wat kunnen we berekenen van de driehoek? We proberen de oppervlakte te berekenen. OppΔ=. Er verschijnt opnieuw geen a. Kan de oppervlakte van de driehoek berekend worden op basis van a? We tekenen hulplijnen en duiden aan wat we zeker weten in de meetkundige figuur.. ΔADC Δ CAB (HHH) (*) = hoogte van de driehoek OppΔ = = We vinden dus dat a 2 =2 32/48

33 (*) Ook zonder kennis over gelijkvormigheid zien de lln dat de driehoek ADC gelijkbenig is en rechthoekig, want de basishoeken van de kleine driehoek zijn even groot. Op dit moment is het onmogelijk voor de leerlingen a 2 te zien als de som van de kwadraten van de rechthoekzijden. Opdracht 4: We onderzoeken nog meer gelijkbenige rechthoekige driehoeken.we zoeken naar een patroon.wekunnen steeds gebruik maken van dezelfde redenering. Lengte rechthoekzijde a We begrijpen dat de methode in het algemeen kan gebruikt worden b 2b 2 We komen tot een eerste bevinding(**): In een gelijkbenige rechthoekige driehoek is het kwadraat van de lengte van de schuine zijde tweemaal het kwadraat van de lengte van de rechthoekzijde. (**) Dit is wel degelijk een bevinding want een bewijs is gevonden voor elke gelijkbenige rechthoekige driehoek. Opdracht 5:Kunnen we van hieruit een gooi doen naar een eerste veralgemening voor een willekeurige rechthoekige driehoek? - Ligt het aan het feit dat de driehoek gelijkbenig is, eerder dan aan het feit dat hij rechthoekig is? - Heeft het kwadraat van de lengte van de schuine zijde iets te maken met het kwadraat van de lengtes van de rechthoekzijden? We kunnen de leerlingen opnieuw niet loslaten en vrij rechthoekige driehoeken laten onderzoeken, want de lengte van de schuine zijde van een willekeurige rechthoekige driehoek kan nog steeds niet exact bepaald worden door meting. We suggereren dus enkele voorbeelden die wel kunnen onderzocht worden: rechthoekzijden (3, 4) (6, 8) (5, 12) Aangezien de schuine zijde een natuurlijk getal is, kunnen ze het vermoeden checken. Daarna kunnen de leerlingen een willekeurig voorbeeld onder de loep nemen en verifiëren of hun vermoeden (bij benadering) ook hier geldt (ze begrijpen nu de beperkingen van de meetresultaten). 33/48

34 De klas formuleert een hypothese: In een rechthoekige driehoek is het kwadraat van de lengte van de schuine zijde gelijk aan de som van de kwadraten van de lengtes van de rechthoekzijden. Gebruikte Problemsolving technieken: Heuristieken: - Analyse van het probleem in eenvoudige gevallen - Tekenen van hulplijnen - Markeren van alles wat je weet op de tekening - een eenvoudiger probleem oplossen - kan het resultaat veralgemeend worden? - Kan de methode veralgemeend worden? - Zoeken naar een patroon - Situaties inschatten en beslissingen nemen B. Opbouw van een bewijs Is de methode die we in het eenvoudige geval gehanteerd hebben te redden/te veralgemenen? Er zijn verschillende pistes. Piste 1 We loodsen de leerlingen naar een zeer verwante redenering, eerst voor het eenvoudige geval. Sleutelelement in het geval van gelijkbenige rechthoekige driehoeken is oppervlakteberekening. a 2 is de waarde waarrond alles draait. Is a 2 zelf ook een oppervlakte? Van welke figuur? Van een vierkant. Opdracht 1: Wat is het verband tussen de oppervlkate van het vierkant en de oppervlakte van de driehoek? De oppervlakte van het vierkant is 4 maal de oppervlakte van de driehoek. Opp = 4* oppδ a 2 = 4* =2 34/48

35 Kan deze methode veralgemeend worden? Kan ik de rechthoekige driehoek 4 maal nemen en daarmee een vierkant opvullen? Opdracht 2: De leerlingen proberen 4 exemplaren van de rechthoekige driehoek zo te schikken dat er eenvoudige figuren ontstaan waarvan de oppervlakte kan berekend worden. We observeren de elementen in de tekening van de eenvoudige situatie en trachten die te kopiëren: - De vier hoekpunten samen brengen in één punt. - De vier schuine zijden van de vier driehoeken als zijden van een 4-hoek schikken - De vier schuine zijden van de vier driehoeken als zijden van een vierkant schikken - Er kunnen zo schikkingen voorgesteld worden waarmee we op een dood spoor geraken: De omhullende is wel een vierkant, maar van de overblijvende driehoeken is het moeilijk om de oppervlakte te berekenen. Een ruit is wel degelijk een eenvoudige figuur. De oppervlakte kan echter niet uitgedrukt worden uitsluitend in functie van de zijde, maar in functie van de diagonalen. Dit helpt ons niet. Dus we proberen het tweede voorstel en maken een vierkant met als zijde de schuine zijde van de driehoek. 35/48

36 Nu wordt het gewoon algebraïsch rekenwerk: a 2 = 4* oppδ + opp => a 2 = 4* =b 2 + c 2 Kritisch: -Is de omhullende wel degelijk een vierkant? - is het kleine vierhoekje wel degelijk een vierkant? Piste 2. We veralgemenen het bewijs van de eenvoudige situatie zo letterlijk mogelijk: We berekenen de oppervlakte van de driehoek op twee verschillende manieren. oppδ = = (1) = som van de oppervlaktes van de kleinere driehoeken h = (2) Het probleem is herleid tot twee gelijkwaardige eenvoudigere problemen: - We zoeken naar een uitdrukking voor x Of - We zoeken naar een uitdrukking voor h. Hiervoor hebben we wel degelijk kennis nodig over gelijkvormige driehoeken. 36/48

37 HHH gebruiken en we zien dat de twee kleinere driehoeken gelijkvormig zijn met de grote driehoek en ook onderling. We buiten de evenredigheid van de zijden uit. De rest is rekenwerk. Bepaling van x Bepaling van h en en We substitueren x en a-x in bovenstaande uitdrukking (2) voor de oppervlaktes van de kleinere driehoeken en vinden door de gelijkheid met dat a 2 =b 2 +c 2. en. We krijgen een uitdrukking voor h onafhankelijk van x. Die uitdrukking substitueren we in (1) en we vinden opnieuw dat a 2 =b 2 +c 2. C. Kritische terugblik Kan de eenvoudige situatie nog korter, subtieler bewezen worden? Kan ik dit veralgemenen? We moeten niet via de omweg van oppervlaktes gaan. De gelijkvormigheid biedt onmiddellijk de uitkomst. Voor de gelijkbenige rechthoekige driehoek met zijde 1: => z 2 =2 Voor de algemene rechthoekige driehoek: => c 2 = a.x en b 2 = a. (a-x) => b 2 + c 2 = a 2 Andere pistes zijn mogelijk om tot even interessante bewijzen te komen. De enige voorwaarde is de geloofwaardigheid die men in de didactische opbouw aan de dag legt. Is het een logische denkoefening, zoals bij het oplossen van een probleem? Dan is het een waardevolle piste! 37/48

38 C. Klassieke formulering We trachten niet te toveren om tot de klassieke voorstelling te komen, maar we vertrekken opnieuw vanuit een probleem. Opdracht: Tangram De leerlingen lossen een puzzel op: hoe kunnen ze hiermee de stelling van Pythagoras bewijzen? Door de stukken handig te schikken op het rode vierkant ontdekken ze dat de oppervlakte van het grote gele vierkant gelijk is aan de som van de oppervlaktes van de twee kleinere gele driehoeken. De leerkracht is dan eindelijk klaar om tot de klassieke formulering van de stelling te komen, inclusief de tekening van de rechthoekige driehoek waarbij op elke zijde een vierkant staat getekend. 38/48

39 9. Omgekeerd redeneren Een handboek vermeldt volgende stelling met bewijs: Stelling: Als in een vierhoek twee overstaande zijden even lang zijn en evenwijdig, dan is de vierhoek een parallellogram. Bewijs: In onderstaande vierhoek ABCD met AD // BC en AD = BC trekken we de diagonaal [BD]. Δ ABD Δ CDB want AD = CB en en BD = BD (ZHZ) Daaruit volgt. Dus dit zijn verwisselende binnenhoeken van AB en CD, gesneden door de rechte BD. Daaruit volgt dat AB // CD. De vierhoek heeft twee paar evenwijdige zijden en is dus een parallellogram. Dit bewijs is helemaal correct maar kan onmogelijk in deze volgorde aangebracht worden in de klas. Om het te ontdekken gebeurt alles in de omgekeerde volgorde! Stap 1: we moeten bewijzen dat de vierhoek een parallellogram is. Welk kenmerk gaan we gebruiken? Met lengtes? Met evenwijdigheid? Met hoeken? Met diagonalen? Een consequente keuze zou zijn met lengtes of met evenwijdigheid, aangezien de gegevens in deze taal zijn gegeven. We beslissen bijvoorbeeld om het te proberen met evenwijdigheid. Het te bewijzen wordt vervangen door een gelijkwaardig, maar eenvoudiger probleem: TB AB//CD. 39/48

40 Stap 2: welke eigenschappen kennen we om te bewijzen dat twee rechten evenwijdig zijn? Een parallellogram herkennen (kunnen we nu niet gebruiken, want dat moeten we hier juist bewijzen) Verwisselbare binnenhoeken, indien we beschikken over een rechte die beide rechten snijdt;. We beslissen het tweede voorstel te gebruiken want de context is gunstig: de rechte BD snijdt de rechten AB en CD. We herleiden ons probleemtot een nieuw gelijkwaardig probleem: TB We onderzoeken onze tekening en vullen de gegevens aan; er verschijnen driehoeken. Stap 3: In welke context kunnen we gelijkheid van hoeken of zijden gemakkelijk bewijzen? We zoeken naar congruente driehoeken (die keuze komt nu nogal vanzelfsprekend tovermoment). In welke driehoeken gaan we nadenken? Wat weten we over deze driehoeken? Waarom zijn ze congruent? Kunnen we dit gebruiken voor ons TB? En het bewijs is geleverd op basis van een probleemoplossende wijze. We kunnen het bewijs makkelijk structureren en onthouden op deze manier. We bewijzen dat de overstaande zijden evenwijdig zijn Door gebruik te maken van verwisselende binnenhoeken Strategie=gebruik van congruente driehoeken. 40/48

41 10. Is er nood aan een bewijs? a. Patroonherkenning is verschillend van een bewijs! Voorbeeld 1: n : n 2 +n+41 is een priemgetal De leerlingen kunnen verschillende voorbeelden onderzoeken en vaststellen dat het bijna altijd zo is,. behalve bij n= 40, n= 41 begint het mis te lopen. Kunnen we hen overtuigen om de bewering aan te nemen na enkele voorbeelden? Waarschijnlijk ten onrechte wel. Voorbeeld 2: Plaats n punten (n>0) op een cirkel op een zodanige manier dat geen drie diagonalen door een zelfde punt gaan. In hoeveel domeinen wordt de cirkel verdeeld door de diagonalen. De leerlingen ontdekken vrij snel een patroon: n Aantal domeinen Ze ontdekken telkens 2 n-1 domeinen en verwachten dus bij n=6, 32 domeinen; jammer het zijn er maar.31. Kunnen we hen na enkele stappen overtuigen dat ze niet verder moeten gaan. Waarschijnlijk ten onrechte wel. Voorbeeld 3: Zoek een algemene uitdrukking voor de som De leerlingen ontdekken snel een patroon: Het patroon is zo sterk dat men moeilijk kan geloven dat het ergens misloopt. Dat gebeurt ook niet. We kunnen de leerlingen vragen tot waar we moeten gaan om zeker te zijn. Reken maar dat ze zeggen dat tot 100 gaan al overdreven is. Maar zijn we zeker, zolang er geen bewijs is? Anne Schatteman Dag van de wiskunde en de wetenschappen. 14/3/ /48

42 B. Pseudobewijzen Voorbeeld 1: a, b : kgv(a,b) = Hoe kunnen we begrijpen wat hier staat en waarom het waar is? We bestuderen een voorbeeld: Stel a=12 en b=18 a=2 2.3 en b= => a. b = 2. (2.3). (2.3).3 Met 2.3 kunnen we dus zowel a realiseren als b. 2. (2.3).3 levert dus reeds een veelvoud van a op en eveneens een veelvoud van b, dus een gemeenschappelijk veelvoud. (2.3) wegdelen uit het product is het maximum dat we kunnen doen, anders maken we geen gemeenschappelijk veelvoud meer. Stel we willen het bewijs formeel opschrijven, dan is dit een lang, abstract geformuleerd bewijs, maar in se komt er geen enkel extra inzicht in voor, dat niet in het uitgeschreven voorbeeld begrepen is. Wat kan dat bewijs onze leerlingen dan extra leren? Weinig! Voorbeeld 2: n : n = Beelddenkers vergeten deze relatie nooit en begrijpen het waarom ervan omdat ze als volgt hebben mogen redeneren: Anne Schatteman Dag van de wiskunde en de wetenschappen. 14/3/ /48

43 Ze begrijpen onmiddellijk dat dit idee veralgemeenbaar is. Het is geen formeel bewijs, maar het bezorgt inzicht in de zaak, en het heeft een sterke overtuigingskracht. Voor wie verder formeel wil denken, vindt hier ook een basis voor een bewijs. Voorbeeld 3: Een natuurlijk getal verschillend van 0 is deelbaar door 9 als de som van de cijfers een veelvoud is van 9. We begrijpen op een voorbeeld waarom dit waar is: 1764 = = (1+999) + 7.(1+99) + 6.(1+9) + 4 = ( ) + ( ) Is een veelvoud van 9 Een abstract bewijs levert niet meer inzicht in de zaak, maar is gewoon een abstracte vertaling van deze basisgedachte. Anne Schatteman Dag van de wiskunde en de wetenschappen. 14/3/ /48

44 11. De rol van kenmerken van begrippen Voorbeeld 1: de drie middelloodlijnen in een driehoek -> strategische keuze. Voorbeeld 2: kenmerk van een parallellogram -> consequente keuze Voorbeeld 3: Middenparallel van een driehoek (herhaaldelijk strategische keuzes) Als in een driehoek ΔABC, M het midden is van [AB] en N van [AC], dan geldt - MN//BC - Bewijs: 1. Analyse van het probleem/opstellen van een plan hulplijnen tekenen geeft aan dat het lijnstuk [MN] de helft is van Opmerkingen roept helemaal niet dezelfde actie op. een lijnstuk met lengte van [BC]. Dus we verlengen het eerste. Anne Schatteman Dag van de wiskunde en de wetenschappen. 14/3/ /48

45 Probleem herleiden tot een gelijkwaardig probleem We moeten bewijzen dat MPBC een parallellogram is. Welke theorie ken ik die hier van toepassing is? Ontdek ik in de figuur eigenschappen die ik kan toepassen? Wat weet ik over parallellogrammen? Als er nog niets ontdekt wordt, nieuwe hulplijnen toevoegen: De leerlingen kennen verschillende kenmerken van parallellogrammen: - overstaande zijden evenwijdig - overstaande zijden even lang - overstaande hoeken even groot - diagonalen snijden elkaar middendoor - één paar overstaande zijden even lang en evenwijdig -. Er verschijnen nieuwe figuren: APMC is een parallellogram want de diagonalen snijden elkaar Anne Schatteman Dag van de wiskunde en de wetenschappen. 14/3/ /48

46 middendoor. En de voorgaande heuristieken worden opnieuw doorlopen.. - zijn er nieuwe aspecten die ik kan toevoegen? - Welke theorie kan ik gebruiken? Uitvoeren van het plan 3. Reflectie op het oplossingsproces Wat was moeilijk: - goede hulplijnen vinden - verschillende kenmerken van de parallellogram door elkaar gebruiken (drie!) Hoe kwamen we op het idee om met parallellogrammen te werken? Waar zat dat in verborgen? Zijn er nog andere oplossingsmethoden die mogelijk zijn? Betere? Kunnen we het idee van gebruik van parallellogrammen niet beter benutten? Anne Schatteman Dag van de wiskunde en de wetenschappen. 14/3/ /48

47 Bovenstaande tekening kan opnieuw geanalyseerd worden. - markeringen aanbrengen rond alles wat we weten uit de gegevens. - Eigenschappen/ kenmerken van parallellogrammen gebruiken - Anne Schatteman Dag van de wiskunde en de wetenschappen. 14/3/ /48

48 12. Bibliografie - Burger E. B.; Extending the frontiers of Mathematics; inquiries into proof and argumentation; Key College Publishing; Cupilllari A.; The Nuts and Bolts of Proofs; Elsevier Academic Press, Epp S. S.; The role of Proof in Problem Solving. In: Schoenfeld A. H. (Red.): Mathematical thinking and problem solving; Hillsdale (N.J.) : Erlbaum, Kesselaers G., Roels J., Van Leemput G.; De stelling van Pythagoras en een geïntegreerde aanpak in het derde jaar; Uitwiskeling 15, 2, Onder de loep. - Lakatos I.; Proofs and refutations; The logic of Mathematical discovery; Cambridge University Press; Polya G., How to Solve It, 2nd ed., Princeton University Press, Schoenfeld A.H.; Mathematical problem solving; Academic Press; Styianides G.J.; Stylianides A.J.; Making proof central to prehighschool mathematics is an appropriate instructional goal :provable, refutable, or ubdecidable proposition?; 2006; Novotnà,J. and others (Eds.) Proceedings 30 th conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education, Vol. 5, pp Prague: PME. - Argument 1, 2, 3, uitgeverij De Boeck - Van Basis tot limiet 1, 2, 3, 4; uitgeverij Die keure Anne Schatteman Dag van de wiskunde en de wetenschappen. 14/3/ /48