Redeneren en bewijzen in de vlakke meetkunde
|
|
- Diana Kuiper
- 6 jaren geleden
- Aantal bezoeken:
Transcriptie
1 Redeneren en bewijzen in de vlakke meetkunde Leerlijn voor de Onderbouw VWO van het College Hageveld Opgesteld juni 2012 Visie van de sectie Wiskunde: Redeneren is een essentiële vaardigheid voor een VWO-leerling. Deze vaardigheid beperkt zich niet tot het wiskundige redeneren maar is ook bij andere vakken essentieel. Hoe eerder leerlingen deze vaardigheid gaan oefenen hoe beter.
2 (met opzet leeg ivm aanlevering product als brochure ) 2
3 Doelstelling aan het einde van de onderbouw Op is het huidige (anno 2012) programma voor het eindexamen Wiskunde B te vinden. Dit programma wordt in 2015 (vierdeklassers van 2015) aangepast. Voor meetkunde zijn daar de volgende eindtermen te vinden. De gearceerde onderdelen zijn al (in beperkte mate) te oefenen in de onderbouw. Domein Gb: Voortgezette meetkunde Subdomein Gb1: Oriëntatie op bewijzen 13. De kandidaat kan definities, vermoedens, stellingen en bewijzen onderscheiden, meetkundige situaties exploreren, een vermoeden of te bewijzen stelling formuleren en bewijzen of weerleggen. Specificatie: 13.1 het verschil aangeven tussen een definitie en een stelling het verschil aangeven tussen een vermoeden en een stelling in relevante gevallen het verschil tussen een stelling en haar omkering herkennen en beoordelen welke van de twee bij een bepaald bewijs een rol kan spelen de structuur van een gegeven bewijs doorgronden verschillende technieken hanteren bij het geven van een bewijs of het weerleggen van een vermoeden, zoals: - het redeneren vanuit het ongerijmde, - het gebruik maken van meetkundige plaatsen, - het onderzoeken en onderscheiden van verschillende gevallen, - het geven van een tegenvoorbeeld meetkundige situaties exploreren en een vermoeden in de vorm van een (te bewijzen) stelling formuleren. Subdomein Gb2: Constructie en bewijzen in de vlakke meetkunde 14. De kandidaat kan constructies uitvoeren en bewijzen geven. Specificatie: 14.1 bewijzen geven waarbij gebruik gemaakt wordt van eigenschappen van rechte lijnen, cirkels, driehoeken en vierhoeken en waarbij afstanden, hoeken en onderlinge ligging een rol spelen binnen een concrete probleemsituatie methoden uit de vlakke meetkunde gebruiken aangeven wat de afstand van een punt tot een gebied is en daarbij gebruik maken van cirkels rond het gegeven punt en/of de begrippen normaal en voetpunt. 3
4 14.4 middelloodlijnen, bissectrices, cirkels, parabolen als meetkundige plaatsen herkennen en gebruiken in eenvoudige gevallen de meetkundige plaats van punten vinden die gelijke afstand tot twee gegeven gebieden hebben. Doelstelling voor de onderbouw zijn geformuleerd door het SLO (Nationale Expertisecentrum Leerplanontwikkeling). In de SLO leerlijn voor de onderbouw staat het volgende: Subdomein D2: Vormen en figuren 10. Gebruiken van en kijken naar vlakke en ruimtelijke vormen en structuren, daarvan afbeeldingen of een ruimtelijke voorstelling maken, interpreteren en redeneren en/of bewijzen met hun eigenschappen. Vwo-wABC: - passende vaktaal herkennen en gebruiken bij het beschrijven en tekenen van en het redeneren met en bewijzen bij meetkundige figuren Gebruiken van en redeneren over gelijkvormigheid en congruentie van figuren vwo-wabc: - het verschil benoemen tussen vermoeden, stelling, definitie en bewijs en een eenvoudig bewijs leveren vanuit basisdefinities. Opmerkelijk is dat deze doelstellingen verder gaan dan Getal en Ruimte t/m klas 3 (editie 2003). Daarin komt het woord definitie niet (of nauwelijks voor); ook vermoeden komt niet aan de orde. Gelijkvormigheid beperkt zich tot de snavel- en zandloperfiguur en congruentie komt helemaal niet aan bod. Dit zal in de 10 e editie overigens anders zijn. 4
5 Belangrijke aandachtspunten bij het onderwijzen van meetkunde Vanuit de literatuur over didactiek van meetkunde een aantal belangrijke principes en gedachten over het onderwijzen van meetkunde. Deze lijst is zeker niet uitputtend. De denkniveaus van Van Hiele (1957): - het nul-niveau (visuele niveau) van zintuiglijke waarneming van objecten; - het eerste niveau (beschrijvende niveau) van eigenschappen van objecten; - het tweede niveau (theoretische niveau) van verzamelingen, logische operatoren en formele bewijzen. Er zijn varianten van de niveautheorie waarin een derde niveau wordt onderscheiden. In dat geval heet het tweede niveau het informeel deductieve niveau en het derde niveau is dan het formeel deductieve niveau. De start van het onderwijs (Journal for Research in Mathematics Education, Fuys 1988) : - Ontwerp opdrachten aan de hand waarvan leerlingen zelf meetkundige situaties kunnen exploreren - Stimuleer dat leerlingen meetkundige begrippen en objecten in woorden gaan omschrijven om zo een meetkundige taal te ontwikkelen - Wees alert op misconcepties ontstaan door beperkte visualiseringen. Vul het schoolboek aan het concrete objecten waar leerlingen mee kunnen manipuleren om de concepten beter te kunnen begrijpen - Reik leerlingen meer voorbeelden en non-voorbeelden aan, zodat leerlingen zelf kunnen beoordelen of kenmerken waar of niet-waar zijn - Om leerlingen te helpen een hoger niveau te bereiken doet de leraar er goed aan om ook bij veel routineopgaven steeds weer te vragen: Waarom of Leg je antwoord uit - Bedenk zelf toetsvragen die betrekking hebben op hogere niveaus of eigen producties vereisen Aandacht voor formele taal: - Wat is een definitie en wanneer is deze goed? Aandacht voor de hiërarchie van definities: een vierkant is een rechthoek met. - Wat is een vermoeden en wat is een stelling? Wat zijn de verschillen? - Hoe structureer je een bewijs? En hoe schrijf je dat op? 5
6 Het onderzoeken van een probleem (Bos): - leerlingen moeten leren een probleem te bevragen - moeten leren de gegeven situatie te vergelijken met de gevraagde - moeten leren hun gereedschapskist aan beschikbare stellingen te herordenen op toepassingen En in moderne tijden dan die van Bos: - bij exploreren van een meetkundige situatie in Geogebra: let op datgene in het scherm dat verandert maar waar een constant element in zit En de verwondering (Meierink) is essentieel (Ehrenfest-Afanassjewa): - intuïtieve manier spelenderwijs eigen maken met meetkundige eigenschappen - niet het bewijzen van vanzelfsprekende stellingen - krijgt leerlingen ruimte om zelf te exploreren? - krijgt de leerlingen voldoende structuur? - worden algemene aanpakmethoden en heuristieken wel geëxpliciteerd? Heuristieken bij het bewijzen (handboek vakdidactiek Wiskunde, katern meetkunde): 1. Probleemanalyse: wat weet je, wat volgt daaruit, waar moet je naar toe, herken je het probleem? 2. Progressief denken: wat volgt uit de gegevens, welke stellingen kan je benutten? 3. Regressief denken: waar moet je naar toe, wat heb je nodig om daar te komen? 4. Plan maken: zet stappen op een rijtje (uitschrijven) 5. Terug kijken: klopt het, kan het beter, wat heb je geleerd? 6
7 Op de volgende pagina s wordt voor de jaarlagen 1 t/m 3 van het VWO geformuleerd welke doelen de sectie de leerlingen wil laten bereiken. Per hoofdstuk uit de boeken Getal en Ruimte waar de vlakke meetkunde aan de orde komt wordt aangegeven (d.m.v. arcering) tot welke doelen dit hoofdstuk kan bijdragen. Bovendien wordt aangegeven (onder rol van de docent) welke additionele activiteiten extra kunnen bijdragen tot deze doelen. Ook de projecten in klas 2 en 3 worden benoemd. Deze beschrijving is gebaseerd op Getal en Ruimte 10 e editie voor klas 1 en de editie 2003 voor klas 2 en 3. De komende jaren zal dit overzicht ieder half jaar (bij het verschijnen van een nieuw deel van de methode) aangepast moeten worden. Met name op het gebied van het redeneren en bewijzen verandert de methode significant (in de richting die de sectie ook nastreeft). Bij de arcering van de doelen wordt de volgende kleurcodering aangehouden: Groen: is eerder dit schooljaar aan de orde Geel: is al aan de orde geweest maar is ook één van de doelstellingen waaraan deze periode gewerkt wordt Blauw: een doelstelling waaraan deze periode voor het eerst aandacht wordt besteed. Niet gearceerd: een doelstelling van dit leerjaar waaraan nog geen aandacht is besteed 7
8 Klas 1 Leerdoelen klas 1 Periode 1 Leerlingen: - Weten wat een definitie is - Kennen het verschil tussen een vermoeden en een stelling - Kunnen in Geogebra elementaire tekeningen maken - Kunnen een vermoeden in Geogebra ontwikkelen - Kunnen bij het berekenen van hoeken in een vlakke figuur een notatie met de gebruikte argumenten voeren - Weten wat een meetkundige plaats is en dat een cirkel een meetkundige plaats is - Kennen de volgende figuren met hun eigenschappen en kunnen deze toepassen/gebruiken in vlakke figuren: vierkant, rechthoek, ruit, parallellogram, driehoeken, gelijkbenige driehoeken, gelijkzijdige driehoeken, vierhoeken, overstaande hoeken, rechte hoeken, gestrekte hoeken - Kennen de begrippen evenwijdige en loodrechte lijnen - Kennen het begrip afstand tot een lijn - Kennen de criteria voor gelijke (lees congruente) driehoeken - Kunnen een driehoek construeren als één van bovenstaande criteria gegeven is Materiaal Inhoud Leeractiviteiten G&R VWO 1 10 e editie Hoofdstuk 1: Figuren 1.1 Vlakke figuren 1.2 Lijnen 1.3 Cirkels 1.4 t/m 1.6 betreffen niet de vlakke meetkunde 1.7 Tekenen met Geogebra Grotendeels klassikale activiteiten Eén les in de mediatheek als eerste introductie in Geogebra 8
9 Rol van de docent Extra aandacht voor: 1.1 Het begrip definitie Het begrip tegenvoorbeeld als leerlingen zelf een definitie voor een vierkant proberen te formuleren Waarom is definitie vierkant (gelijke zijden, rechte hoeken) eigenlijk nog niet compleet? (wat is een rechte hoek?) 1.2 Het begrip afstand tot een lijn, incl notatie d(a,m) de lengte van een lijnstuk (terugkoppelen naar definitie vierkant: dit begrip hebben we nodig voor deze definitie) 1.3 Het begrip meetkundige plaats het begrip gelijke driehoeken bij tekenen van driehoek Toetsing 1.7 Tekenen met Geogebra niet aan het einde van de periode introduceren maar al in week 1 passief en week 2 actief SO tijdens periode. Proefwerk aan het einde van periode 1. Mondriaan gemaakt gedurende periode 1 met Geogebra (telt als SO mee) 9
10 Klas 1 (vervolg) Leerdoelen klas 1 Periode 2 Leerlingen: - Weten wat een definitie is - Kennen het verschil tussen een vermoeden en een stelling - Kunnen in Geogebra elementaire tekeningen maken - Kunnen een vermoeden in Geogebra ontwikkelen - Kunnen bij het berekenen van hoeken in een vlakke figuur een notatie met de gebruikte argumenten voeren - Weten wat een meetkundige plaats is en dat een cirkel een meetkundige plaats is - Kennen de volgende figuren met hun eigenschappen en kunnen deze toepassen/gebruiken in vlakke figuren: vierkant, rechthoek, ruit, parallellogram, driehoeken, gelijkbenige driehoeken, gelijkzijdige driehoeken, vierhoeken, overstaande hoeken, rechte hoeken, gestrekte hoeken - Kennen de begrippen evenwijdige en loodrechte lijnen - Kennen het begrip afstand tot een lijn - Kennen de criteria voor gelijke (lees congruente) driehoeken - Kunnen een driehoek construeren als één van bovenstaande criteria gegeven is Materiaal Inhoud Leeractiviteiten G&R VWO 1 10 e editie Hoofdstuk 3: Hoeken 3.1 Soorten hoeken 3.2 Hoeken meten en tekenen 3.3 Hoeken berekenen 3.4 Hoeken berekenen in driehoeken en vierhoeken 3.5 Driehoeken tekenen Grotendeels klassikale activiteiten Veldopdracht : meten van de hoeken van een driehoekig voorwerp in hun omgeving; bepalen van de hoekensom. Mediatheekles/laptopkar voor het ontwikkelen van een vermoeden over de hoekensom van een driehoek, vierhoek, vijfhoek etc. 10
11 Rol van de docent Extra aandacht voor: 3.1 Definitie van een rechthoek en vierkant: nu pas zijn deze goed omdat we ook gedefinieerd hebben wat een rechte hoek is, iets dat we gebruikt hebben in de definitie van een rechthoek en een vierkant 3.3 Ontwikkelen van vermoeden overstaande hoeken in Geogebra Het begrip vermoeden Het opzetten van een redenering Het bewijzen van dit vermoeden met juiste notatie Het begrip stelling 3.4 Het ontwikkelen van het vermoeden van de hoekensom van een driehoek en van een vierhoek: met praktische meting en met Geogebra Het intuïtieve bewijs van de hoekensom van een driehoek Het bewijzen van de hoekensom van een vierhoek (als die van de driehoek bekend is) Het gebruiken van definities/stellingen als argument bij het berekenen van een hoek in een vlakke figuur Toetsing 3.5 Het determinerende karakter van ZZZ, HZH, ZHZ en ZHH voor een driehoek; het begrip gelijke driehoeken (met een duur woord congruente driehoeken) Het begrip tegenvoorbeeld bij opgave 67a Proefwerk aan het einde van de periode; bevat het reproduceren van bewijs van overstaande hoeken; evt als bonusopgave het bewijzen van de hoekensom van een vijfhoek 11
12 Klas 1 (vervolg) Leerdoelen klas 1 Periode 3-6 Leerlingen: - Weten wat een definitie is - Kennen het verschil tussen een vermoeden en een stelling - Kunnen in Geogebra elementaire tekeningen maken - Kunnen een vermoeden in Geogebra ontwikkelen - Kunnen bij het berekenen van hoeken in een vlakke figuur een notatie met de gebruikte argumenten voeren - Weten wat een meetkundige plaats is en dat een cirkel een meetkundige plaats is - Kennen de volgende figuren met hun eigenschappen en kunnen deze toepassen/gebruiken in vlakke figuren: vierkant, rechthoek, ruit, parallellogram, driehoeken, gelijkbenige driehoeken, gelijkzijdige driehoeken, vierhoeken, overstaande hoeken, rechte hoeken, gestrekte hoeken - Kennen de begrippen evenwijdige en loodrechte lijnen - Kennen het begrip afstand tot een lijn - Kennen de criteria voor gelijke (lees congruente) driehoeken - Kunnen een driehoek construeren als één van bovenstaande criteria gegeven is Materiaal G&R VWO 1 10 e editie Deel 2 Inhoud Inhoud van de boeken is nog niet bekend; dit deel van de leerlijn zal verder aangevuld moeten worden zodra het boek beschikbaar is. Leeractiviteiten Vermoedelijk komen de eigenschappen van ruit en parallellogram aan de orde. Uitbreiding van redeneervaardigheid/ontwikkelen van vermoedens etc. 12
13 Rol van de docent Toetsing In ieder geval bij hoofdstuk over symmetrie de leerlingen eigenschappen van vierhoeken als volgt laten verkennen: - Parallellogram: teken driehoek ABC met gegeven lengte van zijden; teken een tweede driehoek ABD zodat een puntsymmetrisch figuur ontstaat; leidt eigenschappen af - Idem voor ruit (gelijkbenige driehoek) - Rechthoek (rechthoekige driehoek) - Vierkant (gelijkbenige rechthoekige driehoek) 13
14 Klas 2 Leerdoelen klas 2 Periode 2 Leerlingen: - Weten wat een definitie is - Kennen het verschil tussen een vermoeden en een stelling - Kunnen een vermoeden in Geogebra ontwikkelen - Kunnen de structuur van een gegeven (niet al te lastig) bewijs doorgronden - Kunnen bij het berekenen van hoeken in een vlakke figuur een notatie met de gebruikte argumenten voeren - Weten wat een meetkundige plaats is (cirkel, middelloodlijn, bissectrice) - Kennen de term conflictlijn en kunnen deze kennis toepassen in relevante situaties - Kunnen de meetkundige plaatsen construeren - Kunnen regelmatige vierhoeken construeren - Kennen de volgende figuren met hun eigenschappen en kunnen deze toepassen/gebruiken in vlakke figuren: vierkant, rechthoek, ruit, parallellogram, driehoeken, gelijkbenige driehoeken, gelijkzijdige driehoeken, vierhoeken, overstaande hoeken, rechte hoeken, gestrekte hoeken, Z-hoeken en F-hoeken - Kunnen simpele stellingen bewijzen (gebruik makend van bovenstaande eigenschappen en/of congruentie) of ontkrachten (dmv tegenvoorbeeld) Materiaal Inhoud G&R VWO 2 editie 2003 Deel 1, Hoofdstuk 2 Vlakke Figuren Project Mandala 2.1 Bijzondere lijnen in een driehoek (bissectrice, hoogtelijn, zwaartelijn, middelloodlijn) 2.2 Hoeken berekenen (F- en Z-hoeken) 2.3 t/m 2.5 Niet van belang voor redeneren en bewijzen 14
15 Leeractiviteiten Rol van de docent Toetsing Grotendeels klassikaal Project Mandala voor construeren van veelhoeken en werken met conflictlijnen (individueel) en maken van een Mandala met drie veelhoeken (groepsopdracht) Mediatheekles voor het ontwikkelen van vermoedens over hoogtelijn, middelloodlijn, bissectrice en zwaartelijn in driehoek; ook kijken naar de onderlinge positie van hoogtepunt, zwaartepunt en snijpunt middelloodlijnen Extra aandacht voor: 2.1 Herhalen constructie van driehoek (ZZZ) en tekenen van driehoek (HZH, ZHZ en ZHH, ZZR) Verwondering zoveel mogelijk intact houden: leerlingen zelf eigenschappen van bijzondere lijnen laten ontdekken Het begrip conflictlijn en hoe een conflictlijn te gebruiken 2.2 Het noteren van de regels/argumenten bij maken van de opgaves Bewijzen van Stelling van de gelijkbenige driehoek mbv ZZR (zijde => hoek) en ZHH (hoek => zijde) Bewijzen van eigenschap middelloodlijn en bissectrice Bewijzen hoekensom van driehoek Herhalen eigenschappen ruit en parallellogram Ontwikkelen alternatieve definitie voor ruit (diagonalen snijden elkaar loodrecht én middendoor; waarom zijn allebei deze eigenschappen nodig: tegenvoorbeelden) Proefwerk aan het einde van de periode Project Mandala beoordelen op wiskundige inhoud en creativiteit (telt als SO) 15
16 Klas 2 (vervolg) Leerdoelen klas 2 Periode 4 Leerlingen: - Weten wat een definitie is - Kennen het verschil tussen een vermoeden en een stelling - Kunnen een vermoeden in Geogebra ontwikkelen - Kunnen de structuur van een gegeven (niet al te lastig) bewijs doorgronden - Kunnen bij het berekenen van hoeken in een vlakke figuur een notatie met de gebruikte argumenten voeren - Weten wat een meetkundige plaats is (cirkel, middelloodlijn, bissectrice) - Kennen de term conflictlijn en kunnen deze kennis toepassen in relevante situaties - Kunnen de meetkundige plaatsen construeren - Kunnen regelmatige vierhoeken construeren - Kennen de volgende figuren met hun eigenschappen en kunnen deze toepassen/gebruiken in vlakke figuren: vierkant, rechthoek, ruit, parallellogram, driehoeken, gelijkbenige driehoeken, gelijkzijdige driehoeken, vierhoeken, overstaande hoeken, rechte hoeken, gestrekte hoeken, Z-hoeken en F-hoeken - Kunnen simpele stellingen bewijzen (gebruik makend van bovenstaande eigenschappen en/of congruentie) of ontkrachten (dmv tegenvoorbeeld) Materiaal Inhoud Project CSI-Mathematics Leren omgaan met Geogebra (vervolg) Ontwikkelen van vermoedens in meetkundige situaties Formuleren van een stelling Bewijzen van het vermoeden Essentieel is dat de situaties niet (al te) bekend bij de leerlingen zijn. 16
17 Leeractiviteiten Rol van de docent Toetsing Individueel achter de PC voor het leren omgaan met Geogebra (waarbij ook vermoedens worden geformuleerd) In groepjes van 2 voor het verkennen van meetkundige situaties, het formuleren van een vermoeden en het bewijzen van dat vermoeden. Extra aandacht voor: Kritische kijk van leerlingen op situatie Proceshulp bij het leveren van bewijzen Ingeleverd projectmateriaal, zowel individueel als groepswerk 17
18 Klas 2 (vervolg) Leerdoelen klas 2 Periode 4, 5 of 6 Leerlingen: - Weten wat een definitie is - Kennen het verschil tussen een vermoeden en een stelling - Kunnen een vermoeden in Geogebra ontwikkelen - Kunnen de structuur van een gegeven (niet al te lastig) bewijs doorgronden - Kunnen bij het berekenen van hoeken in een vlakke figuur een notatie met de gebruikte argumenten voeren - Weten wat een meetkundige plaats is (cirkel, middelloodlijn, bissectrice) - Kennen de term conflictlijn en kunnen deze kennis toepassen in relevante situaties - Kunnen de meetkundige plaatsen construeren - Kunnen regelmatige vierhoeken construeren - Kennen de volgende figuren met hun eigenschappen en kunnen deze toepassen/gebruiken in vlakke figuren: vierkant, rechthoek, ruit, parallellogram, driehoeken, gelijkbenige driehoeken, gelijkzijdige driehoeken, vierhoeken, overstaande hoeken, rechte hoeken, gestrekte hoeken, Z-hoeken en F-hoeken - Kunnen simpele stellingen bewijzen (gebruik makend van bovenstaande eigenschappen en/of congruentie) of ontkrachten (dmv tegenvoorbeeld) Materiaal Inhoud G&R VWO 2 editie 2003 Deel 1, Hoofdstuk 6 Stelling van Pythagoras 6.1 Stelling van Pythagoras 6.2 t/m 6.5 niet van belang voor Redeneren en bewijzen 18
19 Leeractiviteiten Rol van de docent Toetsing Leerlingen bestuderen in groepjes van 3 één van de bewijzen voor de Stelling van Pythagoras (in totaal 3 bewijzen). Vervolgens worden groepjes opgebroken en opnieuw gevormd zodat in ieder nieuw groepje van 3 één expert van ieder van de bewijzen zijn collega s het bewijs kan uitleggen. Extra aandacht voor: 6.1 Bewijs van de Stelling van Pythagoras Uit de extra stof: de hpq-stelling Bij toetsing één van de drie stellingen via invulbewijs laten reproduceren 19
20 Klas 3 Leerdoelen klas 3 Periode 1 Leerlingen: - Weten wat een definitie is - Kennen het verschil tussen een vermoeden en een stelling - Kunnen een vermoeden in Geogebra ontwikkelen - Kunnen de structuur van een gegeven bewijs doorgronden - Kunnen bij het berekenen van hoeken in een vlakke figuur een notatie met de gebruikte argumenten voeren - Weten wat een meetkundige plaats is (cirkel, middelloodlijn, bissectrice, middenparallel) - Kennen de volgende figuren met hun eigenschappen en kunnen deze toepassen/gebruiken in vlakke figuren: vierkant, rechthoek, ruit, parallellogram, driehoeken, gelijkbenige driehoeken, gelijkzijdige driehoeken, vierhoeken, overstaande hoeken, rechte hoeken, gestrekte hoeken, Z-hoeken en F-hoeken - Kennen de criteria voor gelijke (lees congruente) driehoeken - Kennen de criteria voor gelijkvormige driehoeken - Kunnen simpele stellingen bewijzen (gebruik makend van bovenstaande eigenschappen en/of congruentie/ gelijkvormigheid) of ontkrachten (dmv tegenvoorbeeld) Materiaal Inhoud Leeractiviteiten G&R VWO 3 editie 2003 Deel 1, Hoofdstuk 2 Gelijkvormige driehoeken 2.1 Kruisproducten 2.2 Gelijkvormigheid 2.3 Snavel- en zandloperfiguren 2.4 Stelling en bewijs Klassikaal onderwijs Mediatheek les met Geogebra om vermoedens uit paragraaf 2.4 te laten ontwikkelen 20
21 Rol van de docent Extra aandacht voor: 2.2 Vanuit de kenmerken voor congruentie naar de kenmerken voor gelijkvormigheid Bij opgave 15, 16, 21 t/m 27 netjes laten benoemen waarom de figuren gelijkvormig zijn Bewijs dat bij twee hoogtelijnen in een driehoek gelijkvormige driehoeken ontstaan 2.3 Notatie bij het opschrijven van bewijs dat snavel- en zandloperfiguur inderdaad gelijkvormige driehoeken bevatten Toetsing 2.4 Geogebra laten gebruiken om de vermoedens te laten ontwikkelen Proefwerk waarin één van de behandelde bewijzen gevraagd zal worden 21
22 Klas 3 (vervolg) Leerdoelen klas 3 Periode 4 Leerlingen: - Weten wat een definitie is - Kennen het verschil tussen een vermoeden en een stelling - Kunnen een vermoeden in Geogebra ontwikkelen - Kunnen de structuur van een gegeven bewijs doorgronden - Kunnen bij het berekenen van hoeken in een vlakke figuur een notatie met de gebruikte argumenten voeren - Weten wat een meetkundige plaats is (cirkel, middelloodlijn, bissectrice, middenparallel) - Kennen de volgende figuren met hun eigenschappen en kunnen deze toepassen/gebruiken in vlakke figuren: vierkant, rechthoek, ruit, parallellogram, driehoeken, gelijkbenige driehoeken, gelijkzijdige driehoeken, vierhoeken, overstaande hoeken, rechte hoeken, gestrekte hoeken, Z-hoeken en F-hoeken - Kennen de criteria voor gelijke (lees congruente) driehoeken - Kennen de criteria voor gelijkvormige driehoeken - Kunnen simpele stellingen bewijzen (gebruik makend van bovenstaande eigenschappen en/of congruentie/ gelijkvormigheid) of ontkrachten (dmv tegenvoorbeeld) Materiaal Inhoud Leeractiviteiten G&R VWO 3 editie 2003 Deel 2, Hoofdstuk 7 Goniometrie 7.1 t/m 7.3 Minder van belang voor bewijzen en redeneren 7.4 De sinusregel 7.5 Lijnstukken berekenen Klassikaal onderwijs 22
23 Rol van de docent Toetsing Extra aandacht voor: 7.4 Bewijs van de sinusregel 7.5 Notatie, onderbouwing; vermelden welke van de methodes gebruikt wordt (en waarom!!): - Stelling van Pythagoras - Gelijkvormige driehoeken (snavel/zandloper) - Goniometrische verhoudingen in rechthoekige driehoeken - De zijde x hoogte methode - De sinusregel Proefwerk 23
24 Klas 3 (vervolg) Leerdoelen klas 3 Leerlingen: - Weten wat een definitie is - Kennen het verschil tussen een vermoeden en een stelling - Kunnen een vermoeden in Geogebra ontwikkelen - Kunnen de structuur van een gegeven bewijs doorgronden - Kunnen bij het berekenen van hoeken in een vlakke figuur een notatie met de gebruikte argumenten voeren - Weten wat een meetkundige plaats is (cirkel, middelloodlijn, bissectrice, middenparallel) - Kennen de volgende figuren met hun eigenschappen en kunnen deze toepassen/gebruiken in vlakke figuren: vierkant, rechthoek, ruit, parallellogram, driehoeken, gelijkbenige driehoeken, gelijkzijdige driehoeken, vierhoeken, overstaande hoeken, rechte hoeken, gestrekte hoeken, Z-hoeken en F-hoeken - Kennen de criteria voor gelijke (lees congruente) driehoeken - Kennen de criteria voor gelijkvormige driehoeken - Kunnen simpele stellingen bewijzen (gebruik makend van bovenstaande eigenschappen en/of congruentie/ gelijkvormigheid) of ontkrachten (dmv tegenvoorbeeld) Periode 4 Materiaal Project CSI-Mathematics 2 Inhoud M.b.v Geogebra ontwikkelen van vermoedens, formuleren van stellingen en bewijzen van deze vermoedens/stellingen M.n. ook bewijzen waarbij ook gebruik gemaakt wordt van congruentie van driehoeken Leeractiviteiten Groepswerk (groepjes van 2) Rol van de docent Toetsing Extra aandacht voor: Kritische kijk van leerlingen op situatie Proceshulp bij het leveren van bewijzen Projectmateriaal met geformuleerde vermoedens en bewijzen daarvan 24
Vlakke meetkunde. Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting.
Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte hoek, rechte hoek, overstaande hoeken,
Nadere informatieLijst van formules en verwijzingen naar definities/stellingen die in het examen vwo wiskunde B wordt opgenomen
Lijst van formules en verwijzingen naar definities/stellingen die in het examen vwo wiskunde B wordt opgenomen Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden
Nadere informatieVlakke Meetkunde. Les 1 Congruentie en gelijkvormig
Vlakke Meetkunde Les 1 Congruentie en gelijkvormig (Deze les sluit aan bij het paragraaf 1 van Vlakke Meetkunde van de Wageningse Methode. Vlakke Meetkunde kun je downloaden vanaf de site van de Open Universiteit.
Nadere informatieCentrale Commissie Voortentamen Wiskunde. Syllabus voortentamen Wiskunde B
Centrale Commissie Voortentamen Wiskunde Syllabus voortentamen Wiskunde B Deze syllabus bevat een beschrijving van het programma van het voortentamen Wiskunde B dat wordt afgenomen door de Centrale Commissie
Nadere informatieTentamen Wiskunde B CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE. Datum: 16 januari uur Aantal opgaven: 5
CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE Tentamen Wiskunde B Datum: 16 januari 2015 Tijd: 13.30 16.30 uur Aantal opgaven: 5 Lees onderstaande aanwijzingen s.v.p. goed door voordat u met het tentamen begint.
Nadere informatieBETALES. Wiskunde B. Examenoefeningen VWO. A. Smit BSc 3/14/2017
BETALES Wiskunde B Examenoefeningen VWO A. Smit BSc 3/14/2017 Examenopdrachten op basis van oude examens van www.examenblad.nl. Ieder examen in deze bundel moet in 3h gemaakt kunnen worden, gelijk aan
Nadere informatieSTELLINGEN & BEWIJZEN 5VWO wiskunde B 1 e versie
STELLINGEN & BEWIJZEN 5VWO wiskunde B 1 e versie Euclides van Alexandrië (ca. 265-200 v.chr.) Thales van Milete (ca. 624 v.chr. - 547 v.chr.) INHOUDSOPGAVE Algemene begrippen..blz. 1-3 - Stelling en bewijs
Nadere informatieTentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen
CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE Tentamen Wiskunde B Datum: juli 00 Tijd: 4.00-7.00 uur Aantal opgaven: 5 Zet uw naam op alle in te leveren blaadjes. Laat bij elke opgave door middel van een berekening
Nadere informatie8.1 Gelijkvormige en congruente driehoeken [1] Willem-Jan van der Zanden
8.1 Gelijkvormige en congruente driehoeken [1] 1 8.1 Gelijkvormige en congruente driehoeken [1] Twee evenwijdige lijnen worden gesneden door een derde lijn. De twee rode hoeken (F-hoeken) zijn gelijk.
Nadere informatieSamenvatting stellingen uit de meetkunde Moderne Wiskunde voor het VWO (bovenbouw)
Samenvatting stellingen uit de meetkunde Moderne Wiskunde voor het VWO (bovenbouw) Meetkunde, Moderne Wiskunde, pagina 1/10 Rechthoekige driehoek In een rechthoekige driehoek is een van de hoeken in 90.
Nadere informatieTentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen
CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE Tentamen Wiskunde B Datum: 6 januari 04 Tijd: 4.00-7.00 uur Aantal opgaven: 5 Zet uw naam op alle in te leveren blaadjes. Laat bij elke opgave door middel van een
Nadere informatieAchter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen.
Eamen VWO 018 tijdvak 1ti maandag 14 mei 13.30-16.30 uur oud programma wiskunde B Bij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen.
Nadere informatieExamen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 dinsdag 25 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.
Examen VWO 2010 tijdvak 1 dinsdag 25 mei 13.30-16.30 uur wiskunde B Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 18 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 84 punten te behalen. Voor elk
Nadere informatieTentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen
CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE Tentamen Wiskunde B Datum: 3 januari Tijd: 9. -. uur Aantal opgaven: 5 Zet uw naam op alle in te leveren blaadjes. Laat bij elke opgave door middel van een berekening
Nadere informatieEindexamen vwo wiskunde B 2014-I
Eindexamen vwo wiskunde B 04-I Formules Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte
Nadere informatiewiskunde B vwo 2016-I
wiskunde vwo 06-I Formules Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte hoek, rechte
Nadere informatieExamen VWO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 22 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.
Examen VWO 0 tijdvak woensdag juni 3.30-6.30 uur wiskunde B Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 8 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 79 punten te behalen. Voor elk vraagnummer
Nadere informatieEindexamen vwo wiskunde B 2014-II
Eindeamen vwo wiskunde 04-II Formules Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte
Nadere informatieLijnen van betekenis meetkunde in 2hv
Lijnen van betekenis meetkunde in 2hv Docentenhandleiding bij de DWO-module Lijnen van betekenis Deze handleiding bevat tips voor de docent bij het gebruiken van de module Lijnen van betekenis, een module
Nadere informatieEindexamen wiskunde B vwo 2010 - I
Formules Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte hoek, rechte hoek, overstaande
Nadere informatieDiagnostische toets. AMB stelling van de omtrekshoek AMB ˆ ANB. AQB ARB ˆ 180 koordenvierhoekstelling =
P Q M N R l M ˆ N M ˆ N 4M ˆ 4N ZZZ dus M ˆ N ˆ QP ˆ P ˆ M stelling van de omtrekshoek M ˆ N Q R ˆ 80 koordenvierhoekstelling R ˆ N stelling van de omtrekshoek Q PQ ˆ 80 gestrekte hoek Hieruit volgt dat
Nadere informatiewiskunde B vwo 2017-I
wiskunde vwo 017-I Formules Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte hoek,
Nadere informatiewiskunde B Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen.
Eamen VWO 04 tijdvak dinsdag 0 mei 3.30 uur - 6.30 uur wiskunde B Bij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen. Dit eamen
Nadere informatieTentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen
CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE Tentamen Wiskunde B Datum: 8 juli 04 Tijd: 4.00-7.00 uur Aantal opgaven: 5 Zet uw naam op alle in te leveren blaadjes. Laat bij elke opgave door middel van een
Nadere informatieEindexamen wiskunde B vwo II
Formules Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte hoek, rechte hoek, overstaande
Nadere informatieExamen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 maandag 15 mei 13:30-16:30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.
Examen VWO 017 tijdvak 1 maandag 15 mei 13:30-16:30 uur wiskunde B Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 14 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 69 punten te behalen. Voor elk
Nadere informatieExamen VWO 2013. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 22 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.
Examen VWO 203 tijdvak woensdag 22 mei 3.30-6.30 uur wiskunde B Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 9 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 79 punten te behalen. Voor elk vraagnummer
Nadere informatiewiskunde B vwo 2017-II
Formules Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte hoek, rechte hoek, overstaande
Nadere informatieLANDSEXAMEN VWO
LANDSEXAMEN VWO 2017-2018 Eamenprogramma WISKUNDE B (V.W.O.) ( oud eamenprogramma*) 1 Het eindeamen Het eindeamen bestaat uit het centraal eamen en het commissie-eamen. Het centraal eamen wordt afgenomen
Nadere informatieExamen VWO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 18 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.
Eamen VW 04 tijdvak woensdag 8 juni.0-6.0 uur wiskunde ij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Dit eamen bestaat uit 7 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 8 punten te behalen. Voor elk vraagnummer staat
Nadere informatieLANDSEXAMEN VWO
LANDSEXAMEN VWO 2017-2018 Eamenprogramma WISKUNDE B (V.W.O.) ( nieuw eamenprogramma*) 1 Het eindeamen Het eindeamen bestaat uit het centraal eamen en het commissie-eamen. Het centraal eamen wordt afgenomen
Nadere informatiewiskunde B vwo 2015-II
Formules Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte hoek, rechte hoek, overstaande
Nadere informatieEindexamen vwo wiskunde B 2013-I
Formules Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte hoek, rechte hoek, overstaande
Nadere informatieExamen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 18 mei uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.
Eamen VWO 0 tijdvak woensdag 8 mei 3.30-6.30 uur wiskunde B Bij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Dit eamen bestaat uit 8 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 8 punten te behalen. Voor elk vraagnummer
Nadere informatieExamen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 18 mei 13:30-16:30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.
Eamen VW 06 tijdvak woensdag 8 mei 3:30-6:30 uur wiskunde ij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. it eamen bestaat uit 7 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 77 punten te behalen. Voor elk vraagnummer staat
Nadere informatieExamen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 18 mei 13:30-16:30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.
Eamen VW 06 tijdvak woensdag 8 mei 3:30-6:30 uur wiskunde ij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. it eamen bestaat uit 7 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 77 punten te behalen. Voor elk vraagnummer staat
Nadere informatieHoofdstuk 2 : VLAKKE FIGUREN
1 / 6 H2 Vlakke figuren Hoofdstuk 2 : VLAKKE FIGUREN 1. Wat moet ik leren? (handboek p. 46-74) 2.1 Herkennen van vlakke figuren In verband met een veelhoek: a) een veelhoek op de juiste wijze benoemen.
Nadere informatieExamen VWO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 21 juni uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.
Eamen VWO 07 tijdvak woensdag juni 3.30-6.30 uur wiskunde B Bij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Dit eamen bestaat uit 4 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 7 punten te behalen. Voor elk vraagnummer
Nadere informatieExamen VWO 2013. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 19 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.
Examen VWO 0 tijdvak woensdag 9 juni.0-6.0 uur wiskunde B Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 8 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 78 punten te behalen. Voor elk vraagnummer
Nadere informatieLANDSEXAMEN VWO
LANDSEXAMEN VWO 2018-2019 Eamenprogramma WISKUNDE B (V.W.O.) 1 Het eindeamen Het eindeamen bestaat uit het centraal eamen en het commissie-eamen. Het centraal eamen wordt afgenomen in één zitting van 3½
Nadere informatieExamen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 13 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.
Examen VWO 015 tijdvak 1 woensdag 13 mei 13.30-16.30 uur wiskunde B Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 17 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 77 punten te behalen. Voor elk
Nadere informatieOverzicht eigenschappen en formules meetkunde
Overzicht eigenschappen en formules meetkunde xioma s Rechten en hoeken 3 riehoeken 4 Vierhoeken 5 e cirkel 6 Veelhoeken 7 nalytische meetkunde Op de volgende bladzijden vind je de eigenschappen en formules
Nadere informatieTentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen
CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE Tentamen Wiskunde B Datum: 3 juni 4 Tijd: 4. - 7. uur Aantal opgaven: 5 Zet uw naam op alle in te leveren blaadjes. Laat bij elke opgave door middel van een redenering,
Nadere informatieVerwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting.
Formules Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte hoek, rechte hoek, overstaande
Nadere informatieVandaag 11/22/11$ ALS WE KIEZEN VOOR BEWIJZEN, LATEN WE DAN NIET TOVEREN. Moeilijk onderdeel van de leerstof
2 3 ALS WE KIEZEN VOOR BEWIJZEN, LATEN WE DAN NIET TOVEREN ErasmushogeschoolBrussel Lerarenopleiding LSO anne.schatteman@ehb.be Vandaag 2 Moeilijk onderdeel van de leerstof 3 Bewijzen worden behandeld
Nadere informatieKatern 3. Meetkunde. Inhoudsopgave. Inleiding. 1 Hoeken 2. 2 Congruentie en gelijkvormigheid 4. 3 Driehoeken 8. 4 Vierhoeken 12
Katern 3 Meetkunde Inhoudsopgave 1 Hoeken 2 2 Congruentie en gelijkvormigheid 4 3 Driehoeken 8 4 Vierhoeken 12 5 Lijnen in een driehoek 15 Inleiding De vlakke meetkunde is de meetkunde die zich afspeelt
Nadere informatiewiskunde B bezem vwo 2018-II
wiskunde bezem vwo 08-II Formules Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte
Nadere informatieAchter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen.
Eamen VWO 05 tijdvak donderdag 8 juni 3.30-6.30 uur wiskunde B Bij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen. Dit eamen
Nadere informatieOpen het programma Geogebra. Het beginscherm verschijnt. Klik voordat je verder gaat met je muis ergens in het
Practicum I Opgave 1 Tekenen van een driehoek In de opgave gaan we op twee verschillende manieren een driehoek tekenen. We doen dit door gebruik te maken van de werkbalk (macrovenster) en van het invoerveld.
Nadere informatiePQS en PRS PS is de bissectrice van ˆP
OEFENINGEN 1 Kleur de figuren die congruent zijn met elkaar in dezelfde kleur. 2 Gegeven: PQS en PRS PS is de bissectrice van ˆP Gevraagd: Zijn de driehoeken congruent? Verklaar. 3 Gegeven: Gevraagd: Is
Nadere informatie7.0 Voorkennis. Definitie = Een afspraak, die niet bewezen hoeft te worden.
7.0 Voorkennis Definitie = Een afspraak, die niet bewezen hoeft te worden. Voorbeeld definitie: Een gestrekte hoek is een hoek van 180 ; Een rechte hoek is een hoek van 90 ; Een parallellogram is een vierhoek
Nadere informatieHoofdstuk 5 : De driehoek
Hoofdstuk 5 : De driehoek - 89 1. Congruente figuren Figuren die elkaar volkomen kunnen bedekken noemen we congruente figuren. Congruente figuren hebben dezelfde vorm (~ ) en dezelfde grootte (=). Als
Nadere informatieNoordhoff Uitgevers bv
V-a Voorkennis: ijzondere figuren ladzijde 30 50 60 = 80 50 60 = 70 d V-a Hoofdstuk 5 - efinities en stellingen Ja, de zwaartelijnen gaan door één punt: het zwaartepunt Ja, de hoogtelijnen gaan door één
Nadere informatieINHOUDSTABEL. 1. TRANSFORMATIES (fiche 1) SYMMETRIE (fiche 2) MERKWAARDIGE LIJNEN IN EEN DRIEHOEK (fiche 3)...6
INHOUDSTBEL 1. TRNSFORMTIES (fiche 1)...3 2. SYMMETRIE (fiche 2)...4 3. MERKWRDIGE LIJNEN IN EEN DRIEHOEK (fiche 3)...6 4. VLKKE FIGUREN: DRIEHOEKEN (fiche 4)...7 5. VLKKE FIGUREN: BIJZONDERE VIERHOEKEN
Nadere informatieDan is de afstand A B = lengte van lijnstuk [A B]: AB = x x )² + ( y ²
1 Herhaling 1.1 Het vlak, punten, afstand, midden Opdracht: Teken in het vlak de punten: A ( 1, 2) B(3,6) C( 5,7) Bepaal de coördinaat van het midden van (lijnstuk) [A B]: M [B C ]: N Bepaal de afstand
Nadere informatieHerhalingsles 3 Meetkunde Weeroefeningen
HB13 Herhalingsles 3 Meetkunde Weeroefeningen 1 MK 1 Help Weeroefeningen de kunstenaar bij het versieren van zijn schilderij Kleur alle vierkanten geel Kleur alle rechthoeken die geen vierkant zijn rood
Nadere informatieAnalytische Meetkunde
Analytische Meetkunde Meetkunde met Geogebra en vergelijkingen van lijnen 2 Inhoudsopgave Achtergrondinformatie... 4 Meetkunde met Geogebra... 6 Stelling van Thales...... 7 3 Achtergrondinformatie Auteurs
Nadere informatieExamen VWO. tijdvak 2 woensdag 20 juni uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.
Eamen VW 08 tijdvak woensdag 0 juni 3.30-6.30 uur oud programma wiskunde B Bij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Dit eamen bestaat uit 5 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 76 punten te behalen. Voor
Nadere informatiegelijkvormigheid handleiding inhoudsopgave 1 de grote lijn 2 applets 3 bespreking per paragraaf 4 tijdsplan 5 materialen voor een klassengesprek
gelijkvormigheid inhoudsopgave 1 de grote lijn 2 applets 3 bespreking per paragraaf 4 tijdsplan 5 materialen voor een klassengesprek gelijkvormigheid gelijkvormigheid 1 de grote lijn hoofdlijn de zijlijn
Nadere informatieBRUGPAKKET 8: VLAKKE FIGUREN
BRUGPAKKET 8: VLAKKE FIGUREN Brugpakket 8: Vlakke figuren 1 Vlakke figuren 1.1 Vlakke figuren: Veelhoeken en niet-veelhoeken Een veelhoek is enkel begrensd door rechte lijnen. OEFENING Zet een kruisje
Nadere informatieMeten en Meetkunde 3. Doelgroep Meten en Meetkunde 3. Omschrijving Meten en Meetkunde 3
Meten en Meetkunde 3 Meten en Meetkunde 3 besteedt aandacht aan het onderhouden en uitbreiden van de basisvaardigheden van het rekenen met maten, oppervlaktes en inhouden, coördinaten en assenstelsels,
Nadere informatieVl. M. Nadruk verboden 1
Vl. M. Nadruk verboden 1 Opgaven 1. Hoeveel graden, minuten en seconden zijn gelijk aan rechte hoek? van een rechte hoek resp van een 2. Als = 25 13 36, = 37 40 56, = 80 12 8 en = 12 36 25, hoe groot is
Nadere informatieHZH: c, α en β ZZR: a, b en β
EETKUNE e hoekpunten van een driehoek of vierhoek geven we met HOOFLETTER aan. Lijnen krijgen een kleine letter en voor hoeken gebruiken we vaak Griekse letters. Het Griekse alfabet begint met de letters
Nadere informatieDe 10 e editie havo-vwo OB
De 10 e editie havo-vwo OB Presentatie havo/vwo onderbouw 10 e editie 1 HAVO/VWO 1 VWO 2 HAVO 2 HAVO/VWO 2 VWO De delen 10 e editie onderbouw 3 HAVO deel 1 3 HAVO deel 2 3 VWO deel 1 3 VWO deel 2 Presentatie
Nadere informatiepythagoras handleiding inhoudsopgave 1 de grote lijn 2 applets 3 bespreking per paragraaf 4 tijdsplan 5 materialen voor een klassengesprek pythagoras
inhoudsopgave 1 de grote lijn applets 3 bespreking per paragraaf 4 tijdsplan 5 materialen voor een klassengesprek 1 de grote lijn hoofdlijn de zijlijn De oppervlakte van rechthoekige driehoeken. Van een
Nadere informatieVoorkennis meetkunde (tweede graad)
Voorkennis meetkunde (tweede graad) 1. Vlakke meetkunde Lengten van de zijden en grootte van de hoeken van driehoeken en vierhoeken - De som van de hoeken van een driehoek is 180 - Bij een rechthoekige
Nadere informatie1 Het midden van een lijnstuk
Inleiding Deze basisconstructies worden aan de leerlingen gegeven in de vorm van werkbladen voor zelfstandig werken. Met behulp van een beginschets van de gegevens en de constructiebeschrijving maken de
Nadere informatieExamen VWO. wiskunde B. tijdvak 2 donderdag 23 juni uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.
Examen VWO 2016 tijdvak 2 donderdag 23 juni 13.30-16.30 uur wiskunde B Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 16 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 76 unten te behalen. Voor
Nadere informatieDomein A: Inzicht en handelen
Tussendoelen wiskunde onderbouw vo vmbo Preambule Domein A is een overkoepeld domein dat altijd in combinatie met de andere domeinen wordt toegepast (of getoetst). In domein A wordt benoemd: Vaktaal: het
Nadere informatie4.0 Voorkennis. 1) A B AB met A 0 en B 0 B B. Rekenregels voor wortels: Voorbeeld 1: Voorbeeld 2: Willem-Jan van der Zanden
4.0 Voorkennis Rekenregels voor wortels: 1) A B AB met A 0 en B 0 A A 2) met A 0 en B 0 B B Voorbeeld 1: 2 3 23 6 Voorbeeld 2: 9 9 3 3 3 1 4.0 Voorkennis Voorbeeld 3: 3 3 6 3 6 6 6 6 6 1 2 6 Let op: In
Nadere informatie4.0 Voorkennis. 1) A B AB met A 0 en B 0 B B. Rekenregels voor wortels: Voorbeeld 1: Voorbeeld 2: Willem-Jan van der Zanden
4.0 Voorkennis Rekenregels voor wortels: 1) A B AB met A 0 en B 0 A A 2) met A 0 en B 0 B B Voorbeeld 1: 2 3 23 6 Voorbeeld 2: 9 9 3 3 3 1 4.0 Voorkennis Voorbeeld 3: 3 3 6 3 6 6 6 6 6 1 2 6 Let op: In
Nadere informatieHerhalingsles 5 Meetkunde Weeroefeningen
Herhalingsles 5 Meetkunde Weeroefeningen HB1.5 1 Teken de vierhoek die aan de opgesomde eigenschappen voldoet. Geef de best passende naam. eigenschappen teken best passende naam vier gelijke vier rechte
Nadere informatieRuimtelijke oriëntatie: plaats en richting
Ruimtelijke oriëntatie: plaats en richting 1 Lijnen en rechten Hoe kunnen lijnen zijn? gebogen of krom gebroken recht We onthouden: Een rechte is een rechte lijn. c a b Een rechte heeft geen begin- en
Nadere informatieMeten en Meetkunde 3. Doelgroep Meten en Meetkunde 3. Omschrijving Meten en Meetkunde 3
Meten en Meetkunde 3 Meten en Meetkunde 3 besteedt aandacht aan het onderhouden en uitbreiden van de basisvaardigheden van het rekenen met maten, oppervlaktes en inhouden, coördinaten en assenstelsels,
Nadere informatie3.1 Soorten hoeken [1]
3.1 Soorten hoeken [1] Let op: Een lijn heeft geen eindpunt; Een halve lijn heeft één eindpunt Een lijnstuk heeft twee eindpunten; Het plaatje is een bovenaanzicht; De persoon kan het gedeelte binnen de
Nadere informatieHoofdstuk 5 - Meetkundige plaatsen
oderne wiskunde 9e editie vwo deel Voorkennis: Eigenschappen en ewijzen ladzijde 138 V-1a Gegeven: Driehoek met hoeken :, en Te ewijzen: 180 ewijs: 1 3 Teken lijn door die evenwijdig loopt met : lijn door
Nadere informatie2.1 Cirkel en middelloodlijn [1]
2.1 Cirkel en middelloodlijn [1] Hiernaast staat de cirkel met middelpunt M en straal 2½ cm In het kort: (M, 2½ cm) Op de zwarte cirkel liggen alle punten P met PM = 2½ cm In het rode binnengebied liggen
Nadere informatieSoorten lijnen. Soorten rechten
Soorten lijnen ik zeg ik teken ik noteer ik weet een punt A A een rechte a a Een rechte heeft geen begin- en eindpunt. een halfrechte [A een halfrechte heeft B] een beginpunt of een eindpunt een lijnstuk
Nadere informatieVlakke Meetkunde. Les 20 Nadruk verboden 39. Het construeren van figuren
Vlakke Meetkunde. Les 20 Nadruk verboden 39 20,1. De cirkel Het construeren van figuren Een cirkel of cirkelomtrek is een gesloten kromme lijn, waarvan alle punten in hetzelfde vlak liggen en even ver
Nadere informatiewiskunde B vwo 2016-II
Formules Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte hoek, rechte hoek, overstaande
Nadere informatieAtheneum Wispelberg - Wispelbergstraat 2-9000 Gent Bijlage - Leerfiche (3 e jaar 5u wiskunde): Meetkunde overzicht
Hoofdstuk 1 : Hoeken -1 - Complementaire hoeken ( boek pag 7) Twee hoeken zijn complementair als... van hun hoekgrootten... is. Supplementaire hoeken ( boek pag 7) Twee hoeken noemen we supplementair als...
Nadere informatiehandleiding pagina s 241 tot Handleiding 1.1 Kopieerbladen pagina 59: wandelplannen pagina 60: grondplannen constructies 2 Werkboek
week 8 les 5 toets en foutenanalyse handleiding pagina s 2 tot 29 nuttige informatie Handleiding. Kopieerbladen pagina 59: wandelplannen pagina 60: grondplannen constructies.2 Huistaken huistaak 5: bladzijde
Nadere informatie12.1 Omtrekshoeken en middelpuntshoeken [1]
12.1 Omtrekshoeken en middelpuntshoeken [1] Stelling van de constante hoek: Voor de punten C en D op dezelfde cirkelboog AB geldt: ACB = ADB. Omgekeerde stelling van de constante hoek: Als punt D aan dezelfde
Nadere informatiewerkschrift driehoeken
werkschrift driehoeken 1 hoeken 11 Rangschik de hoeken van klein naar groot. 14 b Teken een lijn l met daarop een punt A. Teken met je geodriehoek een lijn die l loodrecht snijdt in A. c Kies een punt
Nadere informatiePARATE KENNIS & VAARDIGHEDEN WISKUNDE 1 STE JAAR 1. TAALVAARDIGHEID BINNEN WISKUNDE. a) Begrippen uit de getallenleer ...
PARATE KENNIS & VAARDIGHEDEN WISKUNDE 1 STE JAAR 1. TAALVAARDIGHEID BINNEN WISKUNDE a) Begrippen uit de getallenleer Bewerking optelling aftrekking vermenigvuldiging Symbool deling : kwadratering... machtsverheffing...
Nadere informatie7.1 Symmetrie[1] Willem-Jan van der Zanden
7.1 Symmetrie[1] Al de drie figuren hierboven zijn lijnsymmetrisch; Je kunt ze op één of meerdere manieren dubbelvouwen zodat de ene helft het spiegelbeeld van de andere helft is; De vouwlijn heet de symmetrieas/spiegelas;
Nadere informatieKatern 3. Meetkunde. Inhoudsopgave. Inleiding. 1 Hoeken 2. 2 Congruentie en gelijkvormigheid 5. 3 Driehoeken 9. 4 Vierhoeken 14
Katern 3 Meetkunde Inhoudsopgave 1 Hoeken 2 2 Congruentie en gelijkvormigheid 5 3 Driehoeken 9 4 Vierhoeken 14 5 Lijnen in een driehoek 18 Inleiding De vlakke meetkunde is de meetkunde die zich afspeelt
Nadere informatieHoofdstuk 6 Driehoeken en cirkels uitwerkingen
Kern Meetkundige plaatsen a Zie afbeelding rechts. b In het niet-gearceerde deel. c Op de middenparallel. l m 2 a Teken lijn m en lijn n, beide evenwijdig aan l en op een afstand van 3 cm van l. b Punten
Nadere informatie14.0 Voorkennis. sin sin sin. Sinusregel: In elke ABC geldt de sinusregel:
14.0 Voorkennis Sinusregel: In elke ABC geldt de sinusregel: a b c sin sin sin Voorbeeld 1: Gegeven is ΔABC met c = 1, α = 54 en β = 6 Bereken a in twee decimalen nauwkeurig. a c sin sin a 1 sin54 sin64
Nadere informatieAntwoordmodel - Vlakke figuren
Antwoordmodel - Vlakke figuren Vraag 1 Verbind de termen met de juiste definities. Middelloodlijn Gaat door het midden van een lijnstuk en staat er loodrecht op. Bissectrice Deelt een hoek middendoor.
Nadere informatieGecijferdheid periode D Bijeenkomst 2 Hand-out: Meetkundige begrippen en vormen. Instap. Een opgave uit de oefentoets:
Gecijferdheid periode D Bijeenkomst 2 Hand-out: Meetkundige begrippen en vormen Instap Een opgave uit de oefentoets: Van welke verpakkingen is de vorm een prisma? A. Pak spaghetti blikje chocomel doosje
Nadere informatie12 Bewijzen in de vlakke meetkunde
ewijzen in de vlakke meetkunde bladzijde 54 a ' b Gegeven: e gelijkzijdige driehoek met zijn omgeschreven cirkel. unt ligt op de kortste boog en ligt op het verlengde van zo, dat =. riehoek is gelijkzijdig.
Nadere informatieSamenvatting. Hoofdstuk 4. Machtsfunctie De functie f x x n heet een machtsfunctie. Het verloop van de grafiek hangt af van de waarde van n.
Hoofdstuk Samenvatting Machtsfunctie De functie f n heet een machtsfunctie. Het verloop van de grafiek hangt af van de waarde van n. Gebroken functie Machtsfuncties waarbij n een negatief geheel getal
Nadere informatieTussendoelen wiskunde onderbouw vo vmbo
Tussendoelen wiskunde onderbouw vo vmbo Domein A: Inzicht en handelen Subdomein A1: Vaktaal wiskunde 1. vmbo passende vaktaal voor wiskunde herkennen en gebruiken voor het ordenen van het eigen denken
Nadere informatiehandleiding pagina s 687 tot Handleiding 1.1 Kopieerbladen pagina 444: tangram 2 Werkboek 3 Posters
week 22 les 4 toets en foutenanalyse handleiding pagina s 687 tot 695 nuttige informatie 1 Handleiding 11 Kopieerbladen pagina 444: tangram 12 Huistaken huistaak 14: bladzijde 445 (vierhoeken tekenen)
Nadere informatieoefenbundeltje voor het vijfde leerjaar
oefenbundeltje voor het vijfde leerjaar bevat: werkbladen uit de map van Wibbel bij Rekensprong Plus, aansluitend bij de wiskundeopdrachten op de poster; de correctiesleutel bij deze werkbladen. Meer informatie
Nadere informatieR. Van Nieuwenhuyze. Hoofdlector wiskunde, lerarenopleiding HUB, Brussel. Auteur Van Basis tot Limiet.
R. Van Nieuwenhuyze Hoofdlector wiskunde, lerarenopleiding HUB, Brussel. Auteur Van Basis tot Limiet. roger.van.nieuwenhuyze@gmail.com Van Nieuwenhuyze Roger Probleemoplossend werken in de tweede graad
Nadere informatieAnalytische en andere soorten meetkunde van Mavo tot Maple. Utrecht, 9 januari 2016 Wintersymposium KWG Jeroen Spandaw j.g.spandaw@tudelft.
Analytische en andere soorten meetkunde van Mavo tot Maple Utrecht, 9 januari 2016 Wintersymposium KWG Jeroen Spandaw j.g.spandaw@tudelft.nl Puzzel mavo 3 Puzzel mavo 3 Puzzel mavo 3 Veronderstel: zijde
Nadere informatieWiskunde Leerjaar 2 - Periode 1 Meetkunde
Wiskunde Leerjaar 2 - Periode 1 Meetkunde Vierhoeken Vierkant Rechthoek Parallellogram Ruit Trapezium Vlieger Vierhoek 1. Vierkant zijde zijde Een vierkant is een vierhoek met vier rechte hoeken én vier
Nadere informatie