Actualisering leerplan wiskunde Eerste graad A-stroom. Deel 2 Meetkunde

Transcriptie

1 Actualisering leerplan wiskunde Eerste graad A-stroom Deel 2 Meetkunde Sessie 5 Begeleiding wiskunde Leerplancommissie wiskunde VVKSO Stuurgroep Hilde De Maesschalck, Maggy Van Hoof, Philip Bogaert, Michel Bogaerts, Geert Delaleeuw, Luc Gheysens, Andre Van der Spiegel, Johan Waterschoot Schooljaar

2

3 Actualisering leerplan eerste graad - Deel meetkunde: meetkundevorming 1 Sessie 5: Meetkundevorming 1 Meetkunde in de basisschool In het leerplan van het basisonderwijs wordt de meetkunde ingedeeld in twee grote leerdomeinen: - meten en metend rekenen (deel 3 pag ) (zie sessie 4) - en meetkunde (deel 4 pag ). In de praktijk grijpen de leerlijnen van deze domeinen veelvuldig op elkaar in. We proberen enkele leerlijnen duidelijk weer te geven. Het hele leerplan samenvatten in enkele kerngedachten is echter geen sinecure. Daarom is een lectuur van het volledige leerplan en de bijbehorende brochures aanbevolen. - Wiskunde Leerplan, VVKBaO D/1998/0938/02 - Meetkunde, toelichtingen, VVKBaO D2002/0938/04 - Wiskunde in het lager onderwijs: oude en nieuwe doelen vergeleken, VVKBaO D/2000/0938/ Bespreking van de leerdoelen De doelstellingen van het leerdomein Meetkunde worden in het leerplan van het basisonderwijs ingedeeld in vier rubrieken. - Ruimtelijke oriëntatie - Vormleer - Meetkundige relaties - Toepassingen Ruimtelijke oriëntatie In het onderdeel ruimtelijke oriëntatie onderscheidt het leerplan een drietal onderdelen: - zich oriënteren in de ruimte en ten opzichte van referentiepunten, - de ruimte observeren vanuit verschillende gezichtspunten en daarbij voorstellingen maken, - en gebruik maken van situaties en hun voorstellingen op figuren en schema s om zich te oriënteren. In de periode van de basisschool evolueren kinderen heel sterk, zeker wat betreft de ruimtelijke oriëntatie. In de lagere jaren wordt terecht belang gehecht aan de effectieve oriëntatie in de fysische ruimte (richting van bewegen, van kijken, onderlinge positie van voorwerpen). De ontwikkeling van deze belangrijke vaardigheid en de bijbehorende leerlijn worden (wat de bijdrage hierin van wiskunde betreft) uitgewerkt in de doelstellingen MK1 t.e.m. MK5. Voor de doelstellingen MK1-MK4 ligt het zwaartepunt vooral in de kleuterschool en de eerste graad van de basisschool. We gaan ervan uit dat de leerlingen van de A-stroom die ontwikkeling met succes hebben verworven. We hernemen deze doelstellingen hier niet. Leerlingen leren naar hun omgeving kijken met een meetkundig oog. Dat betekent concreet dat ze oog krijgen voor de meetkundige aspecten en relaties (bijv. maat, vorm, onderlinge positie, samenstelling figuren) en dat ze die situaties leren verwoorden. Vooraleer leerlingen tot mentale handelingen en mentale observaties in staat zijn, zullen ze een aantal effectieve kijkoefeningen moeten uitvoeren en vanuit verschillende gezichtspunten. (Voorbeeld: een rechthoekig venster neem je niet noodzakelijk waar als een

4 2 Actualisering leerplan eerste graad - Deel meetkunde: meetkundevorming rechthoek, maar je zegt wel dat het rechthoekig is, ook al zie je het als een parallellogram.) Dit ruimtelijk voorstellingsvermogen wordt al ontwikkeld in de basisschool, maar moet ook in de eerste graad nog heel wat aandacht krijgen. Leerlingen leren voorstellingen gebruiken om zich te oriënteren, bijv. op basis van de geschematiseerde werkelijkheid (foto, tekening, plan, plattegrond). Voorbeeld van een oriëntatieoefening, waarbij een mentale verplaatsing nodig is. Uit de brochure Meetkunde Toelichtingen.

5 Actualisering leerplan eerste graad - Deel meetkunde: meetkundevorming 3 Uit de brochure Wiskunde leerplan, BaO D/1998/0938/02, pag Ruimtelijke oriëntatie MK5 MK6 MK7 De plaats en/of richting precies bepalen vanuit een referentiepunt (bijv. tweede appartement van links op de derde verdieping) Verkennen en verwoorden wat men ziet vanuit andere gezichtspunten als men zich: a) werkelijk verplaatst in de ruimte b) mentaal verplaatst in de ruimte en daarbij termen gebruiken als c) richting, plaats d) vooraanzicht, zijaanzicht, bovenaanzicht De relatie leggen tussen driedimensionale situaties en hun voorstellingen om zich te oriënteren in de ruimte met: a) tekeningen, foto s maquettes, plattegronden b) kaarten, gegevens over afstand en richting en daarbij termen gebruiken als c) afstand d) patroon, plattegrond MK5 legt al een basis voor een denken vanuit coördinaatsystemen. De effectieve invoering hiervan is voorzien in de eerste graad. Let wel, leerlingen hebben coördinaten vaak niet leren zien als behorende bij punten, maar bij ruimtelijke blokken en vierkanten. Opmerkingen MK6 en MK7 zie verder bij ruimtemeetkunde Vormleer Bij vormleer zijn twee duidelijke aspecten te onderscheiden. - Figuren en vormen kwalitatief vergelijken Het onderscheiden van vormaspecten (recht, gebogen, horizontaal, vlak ). Het herkennen en gebruiken van standaardfiguren, zowel in het vlak als in de ruimte. Het hanteren van vormkenmerken van figuren om ze voor te stellen, te gebruiken en te classificeren. - Figuren vergelijken wat betreft vorm en grootte Het gebruiken van vormkenmerken bij meetopdrachten en het oplossen van problemen met een component metend rekenen.

6 4 Actualisering leerplan eerste graad - Deel meetkunde: meetkundevorming Uit de brochure Wiskunde leerplan, BaO D/1998/0938/02, pag Vormleer MK11 Volgende punten, lijnen en oppervlakken herkennen en benoemen a) zijde, overstaande zijden, omtrek, hoogte, basis b) diagonaal c) straal, middelpunt d) diameter e) zijvlak, bovenvlak, grondvlak MK 15 MK 16 MK 17 MK18 MK 19 MK20 MK21 Vlakke figuren vergelijken en classificeren volgens zelfgekozen kenmerken Bij vierhoeken de eigenschappen van de zijden (evenwijdigheid en gelijke lengte) en de hoeken (soorten hoeken en gelijke grootte) onderzoeken (leggen, vouwen, knippen) en verwoorden en de vierhoeken benoemen met de termen a) vierkant, rechthoek b) ruit, parallellogram, trapezium Vierhoeken tekenen a) vierkant, rechthoek b) ruit, parallellogram, trapezium De diagonalen van vierhoeken tekenen en de eigenschappen ervan (even lang, snijden elkaar middendoor, snijden elkaar loodrecht) onderzoeken en verwoorden a) vierkant, rechthoek b) ruit, parallellogram, trapezium Vierhoeken a) vergelijken volgens de eigenschappen van zijden en hoeken b) classificeren volgens toenemend of afnemend aantal eigenschappen Bij driehoeken de eigenschappen van de zijden (gelijke lengte) en de hoeken (soorten hoeken en gelijke grootte) onderzoeken (leggen, vouwen, knippen) en verwoorden en de driehoeken benoemen (gelijkbenige, ongelijkbenige, gelijkzijdige, scherphoekige, rechthoekige, stomphoekige) Driehoeken tekenen

7 Actualisering leerplan eerste graad - Deel meetkunde: meetkundevorming 5 MK22 MK23 MK24 MK25 Driehoeken a) vergelijken volgens de eigenschappen van zijden en hoeken b) classificeren Cirkels herkennen en benoemen De eigenschap van de cirkel (elk punt van de omtrek van een cirkel ligt even ver van het middelpunt) onderzoeken (meten, vouwen, knippen) en verwoorden en een cirkel tekenen met een passer De veelhoeken onder vlakke figuren aanwijzen a) op basis van het aantal zijden en daarbij termen gebruiken als driehoek, vierhoek, vijfhoek, zeshoek, veelhoek b) op basis van de zijden en de hoeken en daarbij de term regelmatige veelhoek (veelhoek waarvan alle zijden gelijk zijn en waarvan alle hoeken gelijk zijn) gebruiken Vlakke figuren omstructureren (opdelen in en/of omvormen naar gekende vlakke figuren) MK27 Op basis van hun eigenschappen de volgende ruimtefiguren herkennen en daarbij volgende termen gebruiken: veelvlak (kubus, balk, piramide) bol, cilinder en kegel Merk op dat de belangrijkste begrippen in verband met lijnen en oppervlakken (zijde, zijvlak, straal, diagonaal ) aangeleerd werden, maar wel op de beheersingsniveaus herkennen en benoemen. Definities komen als zodanig niet aan bod. Bij de vlakke figuren vinden we als beheersingsniveaus vooral herkennen, benoemen en tekenen terug. Zich baserend op de doelstellingen zou kunnen besloten worden dat de vlakke figuren, hun kenmerken en enkele eigenschappen op deze niveaus verworven zouden moeten zijn. Toch merken we in de praktijk dat nog heel wat leerlingen een zeer traag tempo ontwikkelen bij het werken met vlakke figuren, bijv. het zelf tekenen van een vierhoek of een driehoek. Het veelvuldig gebruik in leerboeken van invulmethodiek met voorgetekende figuren is hiervoor wellicht deels verantwoordelijk. We houden hier meteen een pleidooi voor voldoende effectieve tekenen schetsopdrachten voor leerlingen. Belangrijk is ook dat leerlingen vlakke figuren in allerlei situaties leren herkennen. De voorgetekende figuren in leermateriaal zullen dus niet steeds de stereotiepe vorm (de langste zijde als basis horizontaal) hebben. Niet alleen

8 6 Actualisering leerplan eerste graad - Deel meetkunde: meetkundevorming maar ook Enkele doelstellingen gaan een stapje verder: onderzoeken, verwoorden en classificeren. Die processen leiden wellicht tot een impliciete definitie voor de belangrijkste begrippen bij vlakke figuren. Voorbeeld: een vierkant is een vierhoek. Intuïtieve verwoording leidt bij nogal wat leerlingen vaak tot minder strikte formuleringen. Voorbeeld: een rechthoek is een vierhoek met vier gelijke hoeken en twee paar evenwijdige zijden. Op de beheersingsniveaus die in de basisschool worden nagestreefd is dergelijke formulering geen probleem. Bij een preciezere benadering van de meetkunde in het secundair onderwijs, die start in de eerste graad, zullen dergelijke beweringen moeten uitgezuiverd worden. Definities zelf zijn geen expliciete doelstelling en worden dus niet geoefend. Een analoge opmerking kan gemaakt worden over de belangrijke wiskundevraag van het verantwoorden: Waarom zeg je dat dit een vierkant (een ruit, een gelijkbenige driehoek) is? In de praktijk blijken dergelijke vragen wel degelijk en geregeld aan bod te komen, zonder dat de leerlingen beseffen dat ze hun antwoorden verklaren of verantwoorden. Deze aanpak moet in de eerste graad geleidelijk kunnen omgevormd worden tot argumenteren, verklaren en uiteindelijk bewijzen. Merk nog op dat het leerplan niet ingaat op de wijze waarop de vlakke figuren geclassificeerd worden. De inclusieve werkwijze (een vierkant is ook een rechthoek en een parallellogram ) wordt niet meer algemeen gebruikt. De argumentatie hiervoor is dat voor vele leerlingen deze werkwijze verwarrend werkt; vandaar een vierkant is een vierkant en geen rechthoek. Dit heeft uiteraard te maken met de definitie die men aanvaardt. Dit probleem is dus relatief gemakkelijk op te lossen door op de elementen van de definities te werken: aan welke kenmerken moet voldaan zijn, zo ja, dan mag die figuur de overeenkomstige naam dragen. Vergelijking met een praktische situatie maakt soms veel duidelijk: ik ben een inwoner van Edegem, van (de provincie) Antwerpen, van Vlaanderen, van België, van Europa.

9 Actualisering leerplan eerste graad - Deel meetkunde: meetkundevorming 7 Voorbeeldsituaties voor vierhoeken uit de brochure Meetkunde toelichtingen (pag.44 ev.).

10 8 Actualisering leerplan eerste graad - Deel meetkunde: meetkundevorming De situaties voor driehoeken zijn analoog (zie Meetkunde Toelichtingen pag ).

11 Actualisering leerplan eerste graad - Deel meetkunde: meetkundevorming 9 In doelstelling MK 25 wordt de werkwijze van het omstructureren van figuren aangegeven. Dit is een methodiek, die nu wellicht belangrijker is dan voorheen, omdat de leerlingen bijv. voor oppervlakteberekening vaak slechts gebruik maken van de formules voor parallellogram, driehoek en cirkel. Andere figuren worden daartoe herleid of tot delen ervan. Omstructureren betekent dus in figuren gekende figuren herkennen en afbakenen. In de leerlijn wordt vaak een fase ingelast van omgekeerd werken, dat wil zeggen dat men vanuit gekende figuren andere figuren gaat maken. Veel gebruikt oefenmateriaal hierbij zijn de verschillende soorten tangrampuzzels.

12 10 Actualisering leerplan eerste graad - Deel meetkunde: meetkundevorming Voor ruimtefiguren liggen de beheersingsniveaus op herkennen en juist benoemen (kubus, balk, piramide, bol, cilinder en kegel). Merk op dat de figuren vooral aan bod komen bij observaties in de ruimte en voor het berekenen van volumes (zie toepassingen). Doelstellingen MK6 en MK7 geven onder meer aan dat termen zoals vooraanzicht, zijaanzicht en bovenaanzicht moeten gebruikt worden. Dit impliceert niet dat ze al gebruikt worden in de meer exact gesitueerde context van technisch tekenen, projectietekenen Het gaat eerder om beelden, foto s, tekeningen van situaties die geobserveerd (kunnen) worden. Er wordt ook veel gewerkt met blokkencombinaties die al of niet in perspectief of vanuit een bepaald aanzicht worden voorgesteld. Doelstelling MK7 legt heel duidelijk het verband tussen ruimtelijke voorstelling en tweedimensionale voorstellingen zoals foto s, plans en tekeningen. Bij dat laatste komen de termen over aanzichten zeker ter sprake in contexten die lijken op de latere meer omschreven situaties van technisch tekenen. Enkel voorbeelden uit de brochure Meetkunde, toepassingen.

13 Actualisering leerplan eerste graad - Deel meetkunde: meetkundevorming 11

14 12 Actualisering leerplan eerste graad - Deel meetkunde: meetkundevorming

16 14 Actualisering leerplan eerste graad - Deel meetkunde: meetkundevorming Meetkundige relaties De relaties die in het leerplan basisonderwijs expliciet genoemd worden zijn: - evenwijdigheid, - loodrechte stand, - symmetrie, - gelijkheid van vorm en grootte - en gelijkvormigheid. De beheersingniveaus van de doelstellingen geven vooral herkennen, tekenen en benoemen aan. Het gaat (terecht) om een intuïtief opbouwen en benoemen van een begrippenkader vanuit observatie en ervaring. Het gaat om het gebruik van de begrippen in het aflezen en het maken van voorstellingen (tekeningen): twee zijden van een parallellogram zijn evenwijdig, de hoogte staat loodrecht op de basis van een driehoek, twee gelijkzijdige driehoeken zijn gelijkvormig maar niet gelijk van vorm en grootte, niet alle rechthoeken zijn gelijkvormig. De onderdelen evenwijdigheid en loodrechte stand worden als afgewerkt beschouwd in het vierde leerjaar. Zo kunnen ze in de derde graad van het basisonderwijs vlot functioneren bij het onderzoeken van eigenschappen van zijden en hoeken van de vlakke figuren. Merk op dat in de praktijk de leerlingen dus hoofdzakelijk met onderlinge ligging van lijnstukken (zijden) vertrouwd zullen zijn. Het rechtebegrip komt in contextgebonden figuren weinig of niet voor. In de eerste graad zal dit aangevuld moeten worden. Uit de brochure Wiskunde leerplan, BaO D/1998/0938/02, pag Meetkundige relaties MK36 MK37 MK38 Spiegelbeelden ontdekken in de omgeving en in vlakke figuren a) door een spiegel te gebruiken, door te vouwen b) door te meten en daarbij termen spiegelbeeld, spiegeling en spiegel(as) gebruiken Symmetrie en asymmetrie ontdekken a) in de omgeving b) in vlakke figuren en symmetrie ontdekken als het resultaat van een spiegeling symmetrieassen ontdekken en daarbij termen symmetrie, symmetrisch, symmetrieas gebruiken Op geruit papier tekenen a) eenvoudige symmetrische figuren b) spiegelbeelden van eenvoudige figuren MK41 Gelijkvormigheid ontdekken en verwoorden a) in de omgeving b) in vlakke figuren

17 Actualisering leerplan eerste graad - Deel meetkunde: meetkundevorming 15 MK 42 Eenvoudige gelijkvormige figuren tekenen op geruit papier Het valt op dat leerlingen spiegelbeelden moeten ontdekken (in de omgeving en in figuren). Ze gebruiken daarbij een spiegel (effectieve of van doorschijnend materiaal) of allerlei materiaal om spiegelbeelden te maken. Ze onderzoeken situaties ook door te meten. Dat betekent dat ze al moeten beseffen dat gemeten moet worden op loodlijnen op de spiegelas en dat de afstanden tot de spiegelas vanuit overeenkomstige punten gelijk moeten zijn.

18 16 Actualisering leerplan eerste graad - Deel meetkunde: meetkundevorming Deze kennis wordt wellicht wel verwoord tijdens de activiteit, maar behoort niet tot de verwachte kennis. Dit moet terug opgenomen worden in het tweede leerjaar van de eerste graad. Doelstelling MK38 geeft aan dat de leerlingen ook spiegelbeelden zelf moeten kunnen tekenen. Ze gebruiken daarbij wel geruit papier. Een aanbeveling die ook in het leerplan eerste graad vermeld staat bij de wenken. De brochure Meetkunde Toepassingen bevat ook suggesties over symmetrie in ruimtefiguren. Merk op dat de leerlingen voor het moeilijke begrip congruentie al wel de verwoording gelijk van vorm en grootte gebruiken. Ook hier ligt een mooie kans op terugkoppeling in het tweede leerjaar van de eerste graad. Uiteraard is er in de basisschool nog geen sprake van werken met een minimaal aantal voorwaarden, in de praktijk de congruentiekenmerken.

19 Actualisering leerplan eerste graad - Deel meetkunde: meetkundevorming 17 Vermoedelijk staan leerlingen in hun intuïtieve kennis over gelijkvormigheid en congruentie verder dan we algemeen veronderstellen. Mogelijk is deze intuïtieve voorbereiding ook een obstakel in het verder verfijnen van deze begrippen naar minimale voorwaarden. De eigenschappen en voorwaarden klinken wellicht te bekend vanuit het intuïtieve gebruik. Waarom moet het dan plots zo formeel met bewijzen. in het secundair onderwijs? Meetkundige kennis en vaardigheden toepassen Uit de brochure Wiskunde leerplan, BaO D/1998/0938/02, pag Toepassingen MK 44 MK 45 MK 46 MK47 MK48 MK49 MK50 MK 51 MK52 MK53 Constructies uitvoeren met voorschriften op foto of tekening (bijv. constructieplan bij bouwdoos, ontwikkeling van kubus, en plattegrond) of met verbaal gegeven voorschriften In een concrete situatie oplossingen vinden voor een ruimtelijk probleem Werken met schaduwbeelden en ze verklaren Kijklijnen a) ervaren in de werkelijkheid b) aangeven op een schets of een foto c) gebruiken om de plaats van de waarnemer te bepalen Bij tekenopdrachten een effectieve werkwijze en geschikte hulpmiddelen (bijv. geodriehoek, passer, meetlat ) kiezen en gebruiken Patronen herkennen in complexe figuren Zelf geschikte hulpmiddelen maken bij meetkundige activiteiten (bijv. rechte hoek vouwen uit een blad papier) Eigenschappen van meetkundige figuren en van ruimtefiguren gebruiken om vraagstukken op te lossen Bij een opdracht bepalen wanneer een vlugge werkschets en/of een nauwkeurige tekening wenselijk en bruikbaar is Vlakke figuren tekenen volgens een gegeven verhouding Belangrijk om te vermelden is zeker het herkennen en het gebruiken van patronen in figuren, het gebruik van adequaat tekenmateriaal, het werken met kijklijnen en scha-

20 18 Actualisering leerplan eerste graad - Deel meetkunde: meetkundevorming duwbeelden (in so eerder onvertrouwd). Zoals in elk onderdeel wordt de kennis verwerkt en toegepast in vraagstukken. Het is duidelijk dat dit onderdeel een zeer uitgebreid terrein biedt van oefensituaties voor de meetkundekennis. Ze kunnen ook in de eerste graad nog volop gebruikt worden om het verwerven van de meetkundekennis te ondersteunen. Merk op dat de meeste van deze doelstellingen zullen gerealiseerd worden in contextsituaties, bijv. bij leerwandelingen, projecten over meerdere vakken (bijv. het verkennen en zelf uitwerken van patronen in figuren zal gecombineerd worden met plastische opvoeding ). We gaan hier even in op de relatief nieuwe onderwerpen van schaduwbeelden en kijklijnen.

22 20 Actualisering leerplan eerste graad - Deel meetkunde: meetkundevorming 1.2 Voorbeelden