J. Wessels. TECHNISCHE HOGESCHOOL EINDHOVEN Onderafde1ing der Wiskunde en Informatica. Memorandum COSOR PROCESSEN UIT HET DAGELIJKS LEVEN.

Transcriptie

1 TECHNISCHE HOGESCHOOL EINDHOVEN Onderafde1ing der Wiskunde en Informatica Memorandum COSOR PROCESSEN UIT HET DAGELIJKS LEVEN door J. Wessels en J. van Nunen Eindhoven, maart 1982

2 , PROCESSEN UIT HET DAGELIJKS LEVEN door J. Wessels en J. van Nunen In dit artikel zal gedemonstreerd orden hoe allerlei processen uit het dagelijks leven met eenvoudige iskundige hulpmiddelen gemodelleerd en geanalyseerd kunnen orden. Die eenvoudige iskundige hulpmiddelen orden gevormd door at kansrekening en elementaire vector-matrix rekening. In feite geeft het artikel een natuurlijke manier om de eerste beginselen van de matrix-rekening te introduceren. AIle iskundigen zijn tijdens hun opleiding geschoold in de analyse van processen die beschreven kunnen orden met behulp van differentiaalvergelijkingen. Bij differentiaalvergelijkingen zoals dx - = ax' + b dt hebben e veelal te maken met een model van een proces aarin t de tijd voorstelt, en x(t) de toestand op tijdstip t. Zo kan x(t) bijvoorbeeld de concentratie van een bepaalde stof als funktie van d~ tijd t eergeven. Zoel tijd als toestand 'vorden op een continue-schaal gemeten. Ondanks de grote verorvenheden bij de analyse van zulke continue modellen loont het de moeite am eens te kijken naar iskundige modellen voor processen) aarbij zoel de tijd als de toestand op een discrete schaal gemeten orden. Zulke discrete processen komel.l in het dagelijks leven veelvuldig voor.in dit artikel zal aan de hand van een paar eenvoudige voorbeelden een b,ruikbare modelvorm geconstrueerd orden en vervolgens zal getoond orden, dat die modelvorm goede mogelijkheden biedt voor een zinvolle analyse van de onderhavige processen. Zoals gezegd, zijn de voorbeelden ontleend aan de praktijk. De analyse van zulke discrete processen is veelal zinvol omdat zij optreden in situaties aarin besl singen genomen moeten orden. Aan de hand van de voorbeelden zal enigszins orden aangeduid hoe de analyses behulpzaam kunnen zijn bij het nemen van die beslissingen.

3 - 2 - I 2. Voorbeelden Om de present~tie eenvoudig te houden, orden de voorbeelden sterk gestyleerd. Voor de meeste van de voorbeelden zal het ecbter duidelijk zijn hoe de modellen uitgebreid moeten orden om ze praktisch relevant te doen zijn. A) Autoverzekering. Een bekend verschijnsel aar autobezitters mee geconfronteerd orden is de jaarlijks varierende premiehoogte in verband met no-claim kortingen. Als e nu een verzekerde beschouen bij een maatschappij die 10% kortin~ geeft na, een jaar schadevrij rijden, en een premiekorting van 20% bij tee of meer jaar rijden zonder claim, dan kan het premieverloop over de laatste jaren er uitzien zoals in figuur I. Zoel voor de verzekerde, als voor de verzekeringsmaatschappij is het natuurlijk interessant om voor de toekomst iets premie i1>" '7' jaar 3> Figuur 1 Premieverloop tot heden bij autoverzekering verstandigs over het te verachten kortingspercentage te kunnen zeggen. Voor de verzekerde is het bijvoorbeeld van be1ang in verb and met het a1 dan niet accepteren van een eigen risico-optie 01 om te bepalen boven elk bedrag hij of zij moet claimen. Voor de maatschappij is het van belang voor allerlei planningsdoeleinden, zoals het doorrekenen van veranderingen in het claimgedrag. B) Waspoeder. In veel huishoudens ordt regelmatig - zeg eens,in de maand - een pak aspoeder gekocht. Mede door de aggressieve reclame VOOr dit soort produkten ordt er nogal eens van merk geisseld. Als e voor het gemak veronderstellen, dat er maar drie merken op de markt zijn, dan geeft figuur2 voor een bepaald huishouden het aankooppatroon van de laatste maanden eer. De drie merken heten: Witte Derg (W), Sunshine (8) en Palmblad (P). Merk OPt dat in dit voorbeeld op de verticale schaal geen ordening en geen afstand meer zinvol te definieren is. Dit soort processen is natuurlijk vooral interessant voor de fabrikanten in verband met het bepalen van hun marktstrategie, maar daarop zullen e nog nader terugkomen.

4 - 3 - merk s p au<]' sept okt nov dec jan febr mrt maand ~ Figuur 2 Aankoopverloop tot heden bij het kopen van aspoeder C) Studieverloop. Veel diploma-studies verlopen in fasen. Laten e eens een studie bekijken, die in 2 fasen ver100pt (elk een jaar durend), aarbij pas na afsluiten van de eerste fase (die levert het a-diploma op) aan de teede begonnen mag orden. AIleen aan heteind van een studiejaar kan een examen orden afgelegd. Nu kan de studiefase van een student eenvoudig gekarakteriseerd orden: N = de student is nag bezig aan de a-fase en heeft dus nag geen enkel diploma (N = Niets), a = de student heeft het a-diploma en is bezig aan de teede fase. Volledigheidsha1ve kunnen e hier nog karakteriseringen aan toe~oegen van studenten die a1 eg zijn. D - student is eg en heeft het diploma. Wa - student is eg en heeft aileen het a-diploma. W - student is eg en heeft geen enke1 diploma. Voor verschillende studenten is het studieverloop tot nu toe in figuur 3 eergegeven. Voor studenten die eigen1ijk a1 eg zijn, is het uiteraard eenvoudig om studiefase N a, D W a 75/76 77/78 79/80 81/82 studiejaar Fi 3 'Studieverloop voor drie verschillende studenten

5 - 4 - het toekomsti~ studieverloop te voorspellen. Voorspellen van het studentengedrag is bijvoorbeeld, van belang om de toekomstige behoefte aan leerkrachten, leslokalen, e~c. te bepalen. Met name geldt dit als er ijzigingen optreden in het studenten~aanbod of de zaarte van het studieprogramma verandert. Op deze ijze,zouden nog veel voorbeelden gegeven kunnen orden, e zullen volstaan met eenkorte aanduiding van nog enkele voorbeelden. I.. D) Post-operatieve zorg. Voor een bepaald soort operatie-patienten in een ziekenhuis kan onderscheid gemaakt orden in de intensiteit van de benodigde verpleegkundige verzorging na de operatie. Afhankelijk van de medische toestand ordt voor een patient elke dag bepaald met elke intensiteit verzorging nodig is. Bijvoorbeeld kunnen drie intensiteiten onderscheiden orden: intensieve verzorging, geone verzorging, zelf-verzorging. Zoals in het studieverloopvoorbeeld kan ook hier een aanduiding 'eg' ingevoerd orden. tfudellen van deze processen zijn bijvoorbeeld van nut bij de bepaling vande aantallen verpleegkundigen elke nodig zijn. E) Bedrijfsomvang in de bou. Van een boubedrijf kan van jaar tot jaar nagegaan orden at de bedrijfsomvang is, bijvoorbeeld op basis van de omzetgrootte. Een mogelijke indeling: zeer groot, groot, middelgroot, klein, zeer klein en gestopt (opgeheven of opgeslokt). Bij de analyse van het toekomstige gedrag van de bedrijfstak kunnen zulke modellen bruikbaar zijn. 3. Toestanden en overgangen Een eerste stap in de modellering van de processen 1n de voorbeelden eigenlijk al gemaakt, dat is namelijk het aangeven van de toestanden aarin het proces kan verkeren. De voor de hand liggende teede stap is het aangeven van de overgangsmogelijkheden. Dit kan eenvoud:tg gebeuren in een neterk of graaf. In feite geeft zo'n plaatje al meteen veel inzicht in de structuur van het proces. ~) Autoverzekering. De regeling van no-claim korting is zodanig, dat iemand die in een jaar schade claimt het volgende jaarde volle premie moet betalen (toestand 100). Met andere oorden, iemand die nu een korting geniet van nul, 10 of 20% zal na een claim een 'overgang' maken naar toestand 100. Voorts krijgt iemand die in een jaar geen schade claimt het volgende jaar 10% extra premiekorting (met een maximum van 20%), zodat bij geen claim, vanuit toestand 100 een overgang plaatsvindt naar toestand 90, vanuit 90 naar 80 en vanuit toestand 80 naar toestand 80. Dit leidt tot het neterk van overgangsmogelijkheden uit figuur 4.

6 - 5 - Figuur 4 Diagram van overgangsmogelijkheden voor premiehoogte autoverzekering B) Waspoeder. Een consument kan van elk merk op elk ander merk overstappen, maar ook bij het oude merk blijven, zodat het diagram meer overgangsmogelijkheden heeft dan bij het autoverzekeringsprobleem. Vergelijk iguut 5. Figuur 5 Diagram van overgangsmogelijkheden voor aankoop van een merk aspoeder C) Studieverloop. Als e aannemen, dat als men eenmaal een diploma heeft dit nooit meer afgenomen kan orden en dat studenten die eggegaan zijn nooit meer terugkomen (mochten ze terugkomen, dan orden ze als nieu beschoud), dan geeft het diagram het studieverloop eer. Oak het eenrichtingsverkeer komt duidelijk tot uitdrukking (figuur 6). Figuur 6 Diagram van overgangsmogelijkheden bij studieverloop

7 Voortgangsmechanisme De eenvoudige neterken uit de vorige paragraaf geven aan langs elke paden het betreffende proces zou kunnen verlopen. Maar hoe kan nu de padkeuze het best g~model1eerd orden{ Uit de voorbee1den za1 duide1ijk zijn, dat een deterministisch of mechanisch model voor de voortgang van het proces einig zin heeft, ant veela1 zijn er verschillende overgangsmogelijkheden reeel. WeI zal vaak de ene overgangsmogelijkheid aarschijnlijker zijn dan de ander. Laten e bijvoorbeeld ~ens kijken naar de statistische gegevens van het claimgedrag die de verzekeringsmaatschappij 'Simplesure BV' heeft verzameld (Tabel I). Uit deze tabel lezen e jaar aantal verzekerden aantal dat claimde 'Tabel 1 Totaal Statistiek van claims bij 'Simplesure BV' I af, dat in de 1aatste jaren door de bank genomen, jaarlijks een fraktie van 30% van de verzekerden c1aimde, namelijk = 0,30 Een eerste model, dat e dus zouden kunnen maken om de voortgang van het proces te beschrijven, zou bestaan uit het geven van een kans van 0,3 aan de claimmogelijkheid en dus een kans van 0,7 aan de mogelijkheid om niet te claimen. We zouden dat in het diagram van overgangsmog~lijkheden kunnen aangeven door deze kansen bij de passende overgangen te noteren (figuur 7). Het voortgangsmodel zou dan orden, dat in toestand 100% geloot ordt tussen de moge1ijkheid om daar te b1ijven en de mogelijkheid om naar premie-niveau (toestand) 9Q% te gaan en ei met kansen van respectievelijk 0,3 en 0,7. Figuur 7 3/10 Overgangsdiagrrun met overgangskansen voor premiehoogte autoverzekering bij no-claim kans 0,3

8 - 7 - Zo is dus een volledig model verkregen voor het procesgedrag door als overgangsmechanisme een kansmechanisme te kiezen, dat voor elke uitgangspositie een 10- ting uitvoert uit de tee mogelijkheden voor de keuze van de volgende overgang. Door de ruheid van de gegevens in tabal 1, hebben aile uitgangsposities dezelfde no-claim kans 7/10 gekregen. In de praktijk is er misschien reden om at meer onderscheid te maken. Dat kan natuurlijk door de no.,-claim kans per uitgangspositie te varieren. Hoe zinvol dat is kan uit at gedetailleerde claimstatistieken blijken. In feite eten e ~an de verzekerde op premie-niveau 80% dat hij de vorige 2 jaar schadevrij gereden heeft en van de klant op 90% dat hij vorig jaar niet, en het jaar daarvoor 1 claimde. AHeen van de 100% eten e slechts dat hij vorig jaar heeft geclaimd. Een kleine uitbreiding van het diagram maakt het mogelijk om de no-claim kans te kiezen op basis van het clkimgedrag van de laatste 2 jaar. Namelijk door een extra toestand 100* in te voeren voor klanten die ook vorig jaar al op het JOO%-niveau zaten. In figuur 8 is dit aangegeven, met een meer gedifferentieerde keuze van no-claim kansen elke op basis van statistische gegevens slechts afhankelijk bleken te zijn van de claimhistorie van de laatste 2 jaar. 5/10 Fisuur 8 Overgangsdiagram met over~arigskansen voor premiehoogte autoverzekering bij basering no-claim kans op claimgedrag van de vorige 2 jaar Voor de andere voorbeelden kan uiteraard op soortgelijke ijze een voort~angsmechanisme bedacht orden, indien dit voor de juiste bescrrijving van het praktische probleem nodig is. Als illustratie bekijken e nog het aspoedervoorbeeld. Uit een geschikt marktonderzoek kunnen gegevens verkregen orden over merkisselingsgedrag van consumenten, bijvoorbeeld door een steekproef van consumenten te vragen naar het gekochte merk in de laatste 2 maanden. Tabel 2 zou enige resultaten van zo'n steekproef kunnen samenvatten. In de rij aangegeven met W, staan de aantallen consumenten in de steekproef die de eerste maand.witte De.rg kochten (totaal 20) en in de teede maand resp. W, S, P. Uit deze tabel blijkt dat Witte Derg, dat pas op de markt is, nag niet sterk vertegemloordigd is. maar de veroverde klanten goed kan vasthouden. Door geur, kleur en textuur van het asmiddel denken de klanten bijvoorbeeld dat het beter ast.

9 - 8 - ~ t.j S P Totalen rond. 1 W S p Totalen rond Tabel 2 van 120 consumenten in 2 opeen Koopgedrag aspoeder door ~teekproef volgende maanden. Om een beter beeld te krijgen van de merkovergangslust van de consumenten, kunnen e beter kijken naar de percentages klanten van W in de eerste maand die in W blijven resp. overgaan naar S en P. Dit is gedaan in tabel 3. ~ W S P Totaal W % S % P % Tabel 3 Overgangspercentages bij aspoederaankoop in 2-maands steekproef bij 120 consumenten Uit deze tabel blijkt duidelijker, dat Witte Derg het best is in het vasthouden van klanten en Sunshine het slechts (75% resp. 50% klantentrou). Daarentegen is Sunshine beter in het aantrekken van nieue klanten dan Witte Derg (zie bijvoorbeeld de 30% en 10% op de onderste rij). Dit c:ijfermateriaal toont, dat de aggressieve reclame van Sunshine beter erft, en dat de prettige eigenschappen van Witte Derg de klanten beter vasthoudt. Palmblad zit qua eigenschappen tussen deze tee uitersten in. De vraag is natuurlijk, at de effekten zullen zijn op -de marktverdeling, maar zover zijn e nog niet. Een model voor het voortgangsgedrag kan natuurlijk zo uit tabel 3 afgelezen orden: geef een klant in toestand Ween kans 75/100 :;; 3/4 qm bij W te blijven, 15/ /20 om naar S te gaan, en.10/100 1/10 om naar P te gaan. Door voor de andere uitgangsposities ana100g te erk te gaan, ordt het model

10 - 9 - uit figuur 9 verkregen. Figuur 9 Overgangsdiagram met overgangskansen voor aankoopgedrag aspoeder Ook hier zou een uitbreiding van het model ei eens zinvol kunnen zijn. Bijvoorbeeld omdat van de consumenten die een paar keer achter elkaar een bepaald merk gekocht hebben, een extra grote fraktie dit volgende maand eer zal doen, met andere oorden, een extra grote kans hebben am bij dat merk te blijven. ZOln verfijning zou gerea1iseerd kunnen orden door het ~evoegen van toestanden WW, S8 en PP voor klanten die a1 2 of meer keer na elkaar het betreffende merk hebben gekocht. Het diagram moet dan, uiteraard, ook aangepast orden. 5. Matrix-representatie AIle gegevens over het voortgangsmechanisme staan in de overgangsdiagrammen met overgangskansen, zoals figuur 7, 8 en 9. Deze inforrnatie kan oak in tableau-vorrn gegeven orden. Voor het aspoedervoorbeeld krijgen e dan: s 3/4 3/20 s p ]/5 ]/10 1/2. 3/10 aarin een rij aangeeft met elke kansverdeling bij het betref ende uitgangsmerk P 1/10 3/JO naar de verschillende alternatieven gesprongen zal orden. 3/5 Voor de autoverzekering in de eenvoudigste vorm kan het voortgangsmechanisme gerepresenteerd orden door:

11 /10 3/10 3/ /10 o a 80 a 7/10 7/10 Merk op, dat inderdaad ook met behulp van dit tableau het diagram geconstrueerd kan orden. Voor de iskundige analyse hebben de namen van de toestanden uiteraard geen betekenis, ~ie kunnen e dus net zo goed eglaten als e maar afspreken, dat e horizontaal en verticaal dezelfde volgorde voor de toestanden kiezen. Zo krijgen e voor het voortgangsmechanisme van het ui tgebreide-:autoverzekeringsvoorbeeld: 1/2 2/5 a o a o 1/5 1/5 1/2 3/5 o o a o 4/5 4/5 We noemen zoln tableau de matrix van overgangsaarschijnlijkheden of overgangs-~ kansen. 6. Kansen berekenen Om deze modellen te kunnen gebruiken voor de ondersteuning van oeslissingen zal het nodig zijn om op basis van het model voorspellingen voor de toekornst te maken. Daarvoor zullen e in staat moeten zijn kansen voor toekomstig gedrag te berekenen. Laten e eens de kans berekenen dat iemand die deze maand Witte Thverg koopt in de komende 3 maanden achtereenvolgens S'unshine, Palmblad, Hitte Derg zal kopen. \velnu, de kans am over te gaan naar Sunshine is 3/20 en de kans om van daaruit op Palmblad over te springen is 3/10 en de kans am van Palmblad over te gaan op Witte Derg is 1/l0. Dus de kans op het pad S-P-W uitgaande van W is: 3/20. 3/10. 1/10. We noteren dit als voigt: P (SPW) = 3/20 3/10 1/10 ;:: 9/2000 Analoog: P (SSW) = 3/20 1/2 1/5 = 3/200 P (PPH) = 1/10 3/5 1/10 ::.: 3/500 P (PSH) 1/10 3/10 1/5 = 3/500 P (tf\\1) ::.: 3/4 3/4 J 3/4 ::.: 27/64 P (WSH) ::.: 3/4 3/20 1/5 ::.: 9/400 P (WPW) 3/4 1/10 1/10 3/400 P (PHW) ::.: 1/10 1/10 3/4 = 3/400 P (Shll) ::.: 3/20 1/5 }/4 = 9/400

12 Zo zijn de kansen berekend voor aile mogelijke paden die uitgaande van W na de komende 3 maanden eer uitkomen in W. Door deze 9 kansen bij elkaar op te tellen, krijgen e de kans dat een consument, uitgaande van Witte Derg, over 3 maanden eer of nog Witte Derg koopt, deze kans is: P ( W) Q,! 1/2 Op deze ijze kunnen e ook P (. S) en P (. P) uitrekenen, en dan hebben e de kansverdeling voor het merk dat een consument die nu W koopt over 3 maanden zal kopen. Ook de kansverdeling voor over 4, 5 en 6 maanden zou zo kunnen orden uitgerekend. Met het model kan dus gerekend orden, maar het gaat niet erg handig. We doen tot nu toe of e niets afeten van matrix-manipulatie, maar het is natuurlijk toch ei nuttig om te constateren dat uit deze ijze van berekenen blijkt, dat P ( W) de WW-component is van de derde macht van de overgangsmatrix. 7. Kansen berekenen via recursie Een handiger manier om P (.ow) te berekenen maakt gebruik van de kansverdeling over de merken 2 maanden na de huidige: (7.,1) P (.. W) = P (.W) 3/4 + P (.S) 1/5 + P (.P) 1/10 Namelijk na 3 maanden kan de aankoop W optreden, nadat in de voorafgaande maancl resp. W, S of P gekocht 1.S. Voor P (,.S) en P ( P) ordt analoog verkregen: (7.2) P (.. S) = P (.W) 3/20 + P (. S) ]/2 + P (.P) 3/10,~ W (7.3) P (.. P) P (.W) 1/10 + P (.s) + 3/10 + P ~(.P) 3/5 Dus de kansverdeling na 3 maanden kan verkregen orden uit de kansverdeling na Z maanden en de eenstaps overgangskansen. In kortschrift kunnen e de procedure noteren als e vector-matrix notatie invoeren. Noteer de kansverdeling van de aankoop na n maanden (bij start in W) als rij-vector: Pn = P (... W), P (... 8), P (... P) ' Dan zijn de formules (7.1), (7.2), (7.3) te schrijven als 3/20 1/2 3/10 0J 3/10 1/1 3/5 Als e de matrix noteren met A, dan ordt dit p 2 A en A 1.S precies het tableau van overgangskansen paragraa 5.

13 Ret heeft aantrekkelijke kanten om op deze manier matrix-vector vermenigvuldiging te definieren als kortschrift voor sen ingeikkelde rekenregel. De regel geldt natuurlijk algemener: = zodat n = Po A met Po = (l.o~o) aar deze rekenijze ook meteen een natuurlijke definitie voor machten van matrices oplevert. " n Aardig is nag am te vermelden', dat de componenten van A oak een duidelijke interpretatie hebben, namelijk: dus de WS-component van An is juist de kans (bij start in W) om over n maanden in s te zijn aangeland. An bevat dus n-staps overgangskansen. Behalve een recursieve rekenregel Levert deze exercitie het inzicht,dat de kans-' verdeling van de toestand van het systeem op tijdstip n volledig bepaald ordt n door PO' de startkansverdeling, en A, de n-de macht van de matrix van overgangskansen. 8. Asymptotisch ge?rag Ret is nu natuurlijk erg aantrekkelijk om het gedrag van An als-funktie van n te gaan analyseren. We zullen echter de verleiding eerstaan en ons bepalen tot de situatie met tee toestanden. Daartoe vereenvoudigen e het aspoedervoorbeeld tot een markt het slechts 2 merken: Witte ~verg eq Sunshine. Als matrix van overgangskansen kiezen e: A = Q,9 0,3 0,11 o;j Ook nu eer is Witte Derg het merk met de grotere merktrou. Eenvoudig kan bij dit voorbeeld voor 2 decimalen): Vanege: ;; 10,84 ~.48 ro,75 L<:,74 aarden van n de matrix An berekend orden (afgerond op 0,16"1 O,5~ 0,251 0,2~ = G )8 0, J 0,35 ~.)5 0,75! 0.2] 0,25

14 13 - geeft de Ie rij van An de kansverdeling voor de aankoop in eek n van iemand die bij W begint, terijl de 2e rij de overeenkomstige kansverdeling geeft voor iemand die met S start. Kennelijk convergeren die kansverdelingen met klimmende n envoor de beide startpunten treedt dezelfde limietverdeling op, te eten (0,75 0,25). We' veronderstellen even, dat er een limietverdeling optreedt, dus dat de rij Pn convergeert voor n +. Stel: lim p "" p n-looo fl', dan geldt vanege (8. 1) ook dat (8.2) p = P A Ofteel de limietverdeling p is eigen-vector bij de eigenaarde 1 van de matrix A. En inderdaad is het eenvoudig na te gaan, dat (0,75 0,25) de enige rij-eigenvector (met rijsom 1) van A is bij de eigenaarde I. Dit levert een veel eenvdudiger manier om een limietverdeling te bepalen dan door het itereren van (8.1) of het machtsverheffen bij A. Strikt genomen is nog steeds niet beezen, dat p inderdaad limietverdeling 1S. Het is aardig om veor dat prohleem even naar de algemene 2-toestanden geval te kijken: A fj-et. 'et. ] LS aarin et. en B dus de merkontrou voer de beide merken aangeven. I-S Ook voordeze keuze van A heeft (8.2) precies B B+o. Tenminste als niet geldt: a=s=o. et... B+o. kansverdeling als oplossing, n1.: Hieruit voigt, dat de evenichtsverdeling (als die tenminste bestaat, ant dat moet nog steeds beezen orden) volledig bepaald ordt door de verhouding van et. en B: de merkontroufactoren. De onderstaande mode11en hebben dus a11emaal dezelfde.evenichtsverdeling, oak a1 zijn soms de merktroufactoren veor beide mer ken bijna gelijk: ] 8. 0,3 0,7 [0.7 0,9 '8 0,1 999 [ , ,003 0,997 o.oo~ 0,9991

15 Het verschil tussen deze modellen zal natuurlijk vooral zitten ~n aarmee de limietverdeling bereikt tvordt. de snelheid Aangezien ook eigenaarde van A is met rij-eigen-vector (1, -1), kan A geschreven orden als (8.3) A = S-1 A S met A -G I-~-J s = rs o.j L.: -} Hieruit voigt (8.4) An -I =,S An S. ~ :J -n n ro. An (I-a-S) = + o.+b a+s LB n Hiermee is inderdaad de convergentie van A beezen. De gevallen 0.=8=0 en 0.=6=1 moeten even apart behandeld orden. Voor o.=b=o zijn er net zoveel limietverdelingen als er beginverdelingen zijn. Voor 0.=8=1 ontstaat een alternerende rij. Bovendien is het belang van de teede eigenaarde l-a-b voor de convergentiesnelheid hiermede aangetaond... Voor hogere aantallen toestanden is dit niet de eg, omdat dan het expliciet aangeven van eigenaarden en eigenvectoren lastig ardt, echter ook dan blijft devorm (8.3) van belang om te lutan z dat volgens (8.4) eigenvectoren bij de eigenaarde I voor eventuele limietverdelingen zorgen, terijl de absolute aarde van de op een na grootste eigenaarde de conv~rgentiesneiheid bepaalt. 9. Kosten en opbrengsten Het soort modellen aar het hier over gaat, ordt vaak niet geanalyseerd omdat men zo in kansverdelingen geinteresseerd is, maar vooral omdat aan het doorlopen van het proces kosten of opbrengsten zijn verbonden en men grasg zou illen eten at men te verachte heeft op dat punt. Om hier iets van te laten zien, ordt nu een model gemaakt van de opleiding voor het rij-examen. Het volledig rij-examen bestaat uit een praktisch en een theoretlsch gedeelte. Kandidaten die voor een van beide gedeelten afge\vezen orden, mogen de volgende keer volstaan met het overdoen van dat gedeelte. Echter, bij het praktische gedeeite geidt, dat bij een herhaalde afijzing tach eer het volledig examen moet orden afgelegd. Het theoretische gedeelte mag echter 2 keer orden overgedaan. We kunnen het proces van de achtereenvolgende exarnens nu modelltren. Herk op, dat de tijd nu geen 'echte' tijd is. maar geoon een tellertje dat hoe vaak a1 examen gedaan is. Figllur 10 geeft een mogelijk transitiediagram met overgangskansen eer. Hierin betekent:

16 V P TI T2 R volledig examen praktisch gedeelte theoretisch gedeelte (eerste herkans ing) theoretisch gedeelte (tee'de herkansing) rijbeijs behaald. 1 _-",,- 1_0 Transitiediagram met overgangskansen voor het rij-examen Aan het doen van examen zijn nogal at kosten verbonden, vooral in verband met het praktische gedeelte (een aantal lessen tussen aanvraag en examen, enz.), Laten e voor het gemak de volgende kosten veronderstellen: volledig examen praktisch gedeelte theoretisch gedeelte flo 690,- flo 640,- fl. 75,-- Als illustratie van de mogelijkheid om aan de kosten te rekenen~ zullen e eens kijken at iemand die een volledig examen aanvraagt, als verachte kosten heeft. Noem deze kosten ~. Hoe groot is dan ~? WeI, ~ is dan gelijk aan fl. 690,- voor de eerste ronde, plus nog at voor de volgende rondes als hij of zij direct slaagt. Met kans 1/3 start de volgende ronde eer in V, met kans 1/6 in TI en met kans 1/3 in P, dus: (9. 1) K = /3 ~ + 1/6 ~ + 1/3 ~ V 1 Hierin zijn ~ en Kp natuurlijk gelijk aan de verachte kosten bij start in Tl resp. P" Ha!r K.r en ~ zijn n bekend, dus stellen e soortgelijke verge- I lj ' 'k' lngen voor deze 1 grootheden op als (9.1) aarin KT en Kp de verachte kosten zijn bij een start in T) resp. p. 1 (9.2) K = /3 T] KT 2 (9.3) KT /3 ~ 2 (9.4) ~ 2/3 ~

17 Bovenstaand stelsel is eenduidig oplosbaar: ~ van deze K's een kolomvector maken, dan ordt (9.1) - K f c + Q K met c [. 6~n = fl. 2160,--. Als e dan 1/ /3 1/ /3 0 0 (9.4) in matrixvorm: Q C~3 TJ 64~J Merk op, dat Q het gedeelte van de matrix van overgangskansen is, dat overblij ft als de absorberende toestand R eggelaten ordt. We zullen hier niet verder op ingaan, maar het' zal de lezer niet ontgaan zijn, dat er een soort dualiteit ontstaat tussen kansen (rijen) en kosten (kolommen). Bovendien zal duidelijk zijn, dat op eenvoudige ijze interessante grootheden afgeleid kunnen orden. Zo kan bijvoorbeeld op soortgelijke manier bepaald orden hoe lang men gemiddeld nodig heeft om het rij-examen te behalen. Ook kan men gevolgen van ijzigingen in de.kostenstructuur analyseren. lor Cohorten Tot slot zullen e nog een uitbreiding kort aanstippen. Veelal is men niet echt geinteresseerd 1n het gedrag van een persoon. De aspoederfabrikanten zijn geinteresseerd in hun marktaandeel. Om dit aspect te bekijken, grijpen e terug op het voorbeeld over het studieverloop. Stel dat deze cursus 300 studenten in fase N zitten en 200 studenten in fase a. Men il met ingang van de volgende cursus een groter aantal studenten laten aanvangen dan voorheen en ei 250 per jaar en men vraagt zich af at voor effect dat zal hebben op de bezetting in de komende jaren en ook op het aantal afstuderenden. Men is dus niet geinteresseerd in de vraag ie er precies over 3 jaar een b-diploma zal hebben, men is louter geinteresseerd in aantallen. Er ordt ei gezegd: men is geinteresseerd in het cohorte gedrag. Noem M (i) het verachte aantal studenten 1n fase i gedurende cursusjaar n (voor n het huidige cursusjaar geldt: n = 0). De rijvector M met n 1'1n = [N (N), M (a), M (W), M (Wa), M CD)] n n n n n geeft de verachte bezetting in cursusjaar n eer. Volledig analoog aan het ont'vikkelde in paragraaf 7 voor d.e kansverdeling kunnen e laten zien, dat de verachte bezetting in cursusjaar n onts~aat uit die in cursusjaar n-1 door de vector M met de TIlatrix van overgangskansen te vermenigvuln-1 digen. AIleen zijn e dan nog de recrutering van nieue studenten vergeten, maar die kan eergegeven orden door de vector R (250,0,0,0,0,).

18 i Als totaal re~ultaat vinden e, (10.1) M! = R + H I A, nj n- aarin A de matrix van overgangskansen ls.kiezen e A op basis van figuur II, dan krijgen e de voorspelde aantallen uit tabel 4 door iteratie van (10.1) met = (300, 200, 0, 0, 0) Figuur 11 Transitiediagram met overgangskansen voor het studieverloop verachte aantallen Jaar in fase N in fase a nieue afgestudeerden 81/ / / / / / / Tabel 4 Voorspellingen voor studentenaantallen Met eenvoudige matrix-operaties kunnen zo dus interessante voorspellingen gedaan orden voor process en uit het dagelijks leven. Zo zijn verschillende door het C.B.S. gebruikte demografische modellen, bijvoorbeeld voor voorspelling van de toekomstige leeftijdsverdeling van de bevolking, op cohorte modellen gebaseerd. 11. Slotopmerkingen Heel in het kort is in het voorgaande aangegeven hoe allerlei processen met behulp van eenvoudig Hiskundig gereedschap gemodelleerd en geanalyseerd kunnen orden. Met name de beginselen van de matrixrekening en ook de matrixnotatiekomen daarbij op een natuurlijke manier te voorschijn. 11atrices, vectoren, matrixvermenigvul-

19 diging, eigenaarde en eigen-vector kunnen aan de hand van deze of soortgelijke voorbeelden ingevoerd orden als eenvoudige rekenkundige notaties, zonder veel beroep op meetkundige achtergronden. In de literatuur is zo'n benadering naue~ lijks te vinden. In een aantal inleidende operations research boeken vinden e veelal slechts een hoofdstuk dat geijd is aan Markov ketens, zie [I], [2],[3}. Maar bij de beschrijving ordt dan uitgegaan van bekendheid met de beginselen der matrixrekening. De ondererpen die beschreven zijn in de paragrafen 9 en 10 geven een, zij het summiere, indruk van praktische modeluitbreidingen. Tot slot van dit artikel zouden ij nog een laatste uitbreiding illen noemen, namelijk de uitbreiding aarbij, in de processen, de kansverdeling voor de overgangen van de ene toestand naar de andere.beinvloed kan orden door beslissingen. Zulke processen kunnen beschreven orden met behulp van Markov beslissingsmodellen, zie [3J. REFERENTIES [I] Anderson, D.R., Seeney, D.J., Williams, T.A., An Inttoduction to Hanagement Science, Quantitative approaches to decision making, West Publishing Company, Ne York, [2] Philips, D.T., Ravindran, A., Solberg, J.J., Operations Research Principles and Practice, '\Tiley & Sons, Ne'J York, [3] Wagner, H.}l., Principles of Operations Research, ith applications to managerial decisions, Prentice/Hall, 1975.