Systeem- en Regeltechniek voor IO

Transcriptie

1 Systeem- en Regeltechniek voor IO +deels: Systeem- en Regeltechniek voor WB (vakcodes 2824 / 35) Docent: Assistenten: Vakgroep Werktuigbouwkundige Automatisering (WA) Kamer: HR W 234 Tel.: (53) R.G.K.M.Aarts@utwente.nl WWW: TeleTOP Rutger de Boef Ronald Dieterman Bert van de Ridder Arjan Westerhuis (Steven Boer) (Ali Riza Konuk) S&R-IO//

2 Systeem- en Regeltechniek: Doelen. Modelvorming van de dynamica van multidomein systemen t.b.v. ontwerpen van mechatronische systemen Differentiaalvergelijkingen Toestandsbeschrijving Overdrachtsfuncties Blokschema s Matlab/Simulink Tijddomein: Bv. stapresponsie Frequentiedomein: Bode diagrammen Discrete parameter modellering Systematische aanpak voor mechanische systemen Kinetische en potentiële energie Systeemtheorie Relatie tussen dynamische specificaties en kenmerken van een systeem Analyse begrip Synthese ontwerp S&R-IO//2

3 Systeem- en Regeltechniek: Doelen (2) Ontwerpen van geregelde elektromechanische systemen (mechatronische) systemen Gesloten lus systemen: beïnvloeden van systeemgedrag met regelaars om aan dynamische specificaties te voldoen Snelheids- en positieterugkoppeling P-, PI-, PD-, PID-, lead-, lag-regelaars Regelaarontwerp voor tweede orde systemen in het s-vlak Regelaarontwerp in het frequentiedomein (Bode ontwerpprocedure) Regeltechniek S&R-IO//3

4 Huishoudelijke zaken & organisatie Studiemateriaal (actuele versies): Collegedictaat Inleiding Systeem- en Regeltechniek, editie 26/27. De relevante hoofdstukken zijn, 2, 3, 4, 5, 9, en 2. Deze zijn geheel in PDF-formaat beschikbaar via TeleTOP. Deze sheets. Opgaven. De inhoud van dit vak is de laatste jaren niet wezenlijk veranderd, wel de vorm. Oudere edities studiemateriaal zijn daarom wel nog bruikbaar, maar worden niet aanbevolen. S&R-IO//4

5 Huishoudelijke zaken & organisatie (2) Software: Matlab/Simulink. Tips voor gebruik te vinden in dictaat, evt. ook na te spelen. Noodzakelijk bij het maken van de opgaven, gelijk vanaf de eerste week. Beschikbaar op notebook via NSC. Colleges volgens rooster en overzicht op TeleTOP: Gastcollege door prof. Soemers over mechatronisch ontwerpen (8 juni). Hoorcolleges voor IO & WB deels samen (vanaf 9 juni). Werkcolleges voor IO aansluitend. Tijd gereserveerd voor inleveropgave in week 26. Afronding: Vier oefenopgaven Niet inleveren. Inleveropgave Wel inleveren en wordt beoordeeld. Uitwerken individueel of in kleine groepjes, vermits individuele inbreng duidelijk is bv. door aanwezigheid bij de werkcolleges. S&R-IO//5

6 Huishoudelijke zaken & organisatie (3) Dit vak wordt vaak moeilijk gevonden. De inhoud is nogal mathematisch. Waar zijn de echte componenten zoals massa s en veren gebleven? Juist door de wiskundige veralgemenisering levert systeemleer veel inzicht en zijn er legio toepassingen. Regelaars blijven vaak iets magisch. Toch is P-actie gewoon een elektronische / elektromechanische / digitale veer! Het tempo ligt hoog: 3.5 EC = ca. uur in 4 weken betekent toch gemiddeld 25 uur per week. Gebruik de werkcolleges: Maken van de opgaven, stellen van vragen, enz. Vragen stellen bij werkcolleges is efficiënter dan bv. De antwoorden zijn beter en de responsie is sneller. S&R-IO//6

7 Verwachte voorkennis.2 Enkele elementaire vergelijkingen voor translerende mechanische systemen (hfd 3, 4 & 5): Eigenfrequenties, de tweede wet van Newton, kinetische energie, potentiële energie. Enkele begrippen uit de wiskunde van complexe getallen. Zie evt. appendix A. Enige vertrouwdheid met het werken met matrices, zoals bv. de eigenwaarden van een matrix. Zie evt. appendix B. Enige bekendheid met het werken in het frequentiedomein (Fourier transformatie). Zie evt. appendix C. De Laplace transformatie wordt niet bekend verondersteld, maar vormt wel de wiskundige achtergrond achter vele uitdrukkingen in dit vakgebied. S&R-IO//7

8 Introductie: Mechatronisch systemen.3 Mechanisch domein Voeding/ Versterking Actuatoren Mechanisch proces Sensoren Voeding/ Versterking Digitale regeling Stuursignalen Meetsignalen Software Elektrisch domein Mechatronisch ontwerpen: Niet in dit college, maar wel intro door prof. Soemers tijdens apart gast -college. Wel: Dynamische specificaties in bv. hoofdstuk 9. S&R-IO//8

9 .4 Systeemtechniek: Analyse, modelvorming en synthese Systeem analyse houdt in dat de performance van het systeem wordt bepaald. D.w.z. de responsie van het systeem op een gegeven set van inputs wordt bepaald. Geschikt model: niet te veel en niet te weinig detail. Modelvorming moet de interne werkingsprincipes van een systeem bloot leggen. Moet analyse mogelijk maken: Diverse representaties. Mate van detaillering afhankelijk van stadium in ontwerpproces. Synthese is de compositie of combinatie van delen of elementen tot een systeem dat een gewenst gedrag vertoont in overeenstemming met de specificaties. S&R-IO//9

10 Modellen van dynamische systemen Hfd. 3 Modelrepresentaties in hfd. 3: Differentiaalvergelijkingen (DV s, bekend) Overdrachtsfunctie Toestandsvergelijkingen Blokschema In hfd. 4 gevolgd door analyse van het dynamische gedrag van de systemen: Tijddomein: Bv. stapresponsie Frequentiedomein: Bode diagrammen Aan de hand van voorbeelden: Voorbeeld : Slinger met vast draaipunt Voorbeeld 2: Slinger op wagentje Opgave : Landend vliegtuig op schip Elektrische systemen, thermische systemen,... S&R-IO/3/

11 Signalen in het tijddomein 2.2 x(t) x k t k (a) tijd-continue signaal (b) tijd-discreet signaal Tijd-continue signalen tijd-discreet signalen Continue signaalwaarden eindige resolutie (bv. PC) In dit college voornamelijk continue signalen (m.u.v. practicum IO). S&R-IO/3/2

12 Dynamische systemen 2.4 u Systeem G Een systeem G. y Dynamisch systeem: y(t) = Gu(t) Ingang u(t) en uitgang y(t) zijn functies van de tijd t De systeembeschrijving G geeft de relatie tussen y(t) en u(t) Hfd. 3. S&R-IO/3/3

13 LTI-systemen SISO/SIMO/MISO/MIMO 2.4 u Systeem G y Een systeem G. LTI-systemen: lineair en tijdsinvariant, d.w.z. als y = Gu en y 2 = Gu 2 impliceert dat ook G(α u + α 2 u 2 ) = α y + α 2 y 2 ingang uitgang benaming scalar u scalar y SISO - Single Input Single Output scalar u vector y SIMO - Single Input Multiple Output vector u scalar y MISO - Multiple Input Single Output vector u vector y MIMO - Multiple Input Multiple Output In dit college voornamelijk LTI & SISO. Niet-lineair, dan proberen te lineariseren. Voorbeeld sin θ θ voor θ. S&R-IO/3/4

14 Modelvorming, de kip en het ei Uiteindelijke plan van aanpak modelvorming (hfd. 5): Na decompositie in elementaire componenten volgt direct het blokschema. Daaruit volgen toestandsvergelijkingen en overdrachtsfuncties. Eventueel kan hieruit een differentiaalvergelijking worden afgeleid. Eerst: Overzicht van modelrepresentaties en inzicht in dynamisch gedrag van systemen (hfd. 3 en 4). Hoe komen we nu al aan de modellen? Noodgreep: Veronderstel dat differentiaalvergelijkingen bekend zijn. Gebruik deze voor de afleiding van overdrachtsfuncties, toestandsvergelijkingen en blokschema s. S&R-IO/3/5

15 Voorbeeld : Slinger met vast draaipunt 3. M M θ g θ g Voorbeeld a: Voorbeeld b: Gewone slinger Inverse slinger Aandrijving met koppel M en meten van hoek θ (ingang/uitgang). Viskeuze wrijving in draaipunt: M f = b θ (afremmen evenredig met snelheid). S&R-IO/3/6

16 Differentiaalvergelijkingen voorbeeld Intro 3.2 DV: J θ = M + M f + M g M Algemeen Niet-lineair: 3 m sl 2 θ + b θ + 2 m sgl sin θ = M. g θ Voorbeeld a (gewone slinger) Gelineariseerd: ( θ ) 3 m sl 2 θ + b θ + 2 m sgl θ = M. Voorbeeld b (inverse slinger) Gelineariseerd: (θ = θ π, θ ) 3 m sl 2 θ + b θ 2 m sgl θ = M. S&R-IO/3/7

17 DV s voorbeeld a Oplossingen Wrijvingsloze (b = ) en homogene (M = ) DV: 3 m sl 2 θ + 2 m sgl θ =. Vanuit stilstand: θ() = θ en θ() =. Oplossing: θ(t) = θ cos ωt met ω = 3g 2l... M θ [rad] g θ t [s] t [s] 5 t [s] lineair model, niet-lineair model S&R-IO/3/8

18 DV s voorbeeld b Oplossingen Wrijvingsloze (b = ) en homogene (M = ) DV: 3 m sl 2 θ 2 m sgl θ =. Vanuit stilstand: θ() = π + θ en θ() =. Oplossing: θ(t) = π + θ 2 (exp( 3g 2l t) + exp( 3g 2l ). t) Instabiel!!! π π π M θ θ [rad] g π 5 t [s] π 5 t [s] π 5 t [s] lineair model, niet-lineair model S&R-IO/3/9

19 Overdrachtsfunctie G(s) 3.3 Geeft de ingangs-uitgangs-relatie van een systeem m.b.v. de Laplace getransformeerden van ingangs- en uitgangssignaal. u Systeem G y Een systeem G. y(s) = G(s) u(s) met Laplace getransformeerden u(s) = L{u(t)} = en y(s) analoog. u(t) e st dt, Belangrijke eigenschappen: Differentiëren in het tijddomein wordt vermenigvuldigen met s: L(ẋ(t)) = s L(x(t)) = s x(s). (Als x() = ). Integreren in het tijddomein wordt vermenigvuldigen met s : L( x(t)dt) = s L(x(t)) = s x(s). S&R-IO/3/

20 Relatie tussen DV en overdrachtsfunctie: d dt s Dus DV voorbeeld a: 3 m sl 2 θ + b θ + 2 m sgl θ = M M wordt ( 3 m sl 2 s 2 + b s + ) 2 m sgl θ(s) = M(s). g θ Dan is de overdrachtsfunctie G (s) tussen ingang M en uitgang θ: G (s) = uitgang ingang = θ(s) M(s) = 3 m sl 2 s 2 + b s + 2 m sgl. Weglaten (s) en met de numerieke waarden voor de parameters (tabel 3.): G (s) = θ M = 3 m sl 2 s 2 + b s + 2 m sgl =.33 s s S&R-IO/3/

21 Overdrachtsfuncties De overdrachtsfunctie geeft de ingangs-uitgangs-relatie G (s) = uitgang ingang. d Relatie met differentiaalvergelijking: dt s en vice versa! Overdrachtsfunctie is een breuk met in teller en noemer een polynoom in s: G(s) = a ms m a 2 s 2 + a s + a b n s n b 2 s 2 + b s + b, met reële coëfficiënten a, a,..., a m en b, b,..., b n. Dan wordt G fout (s) = + s+ herschreven als G(s) = s + s + 2. De kracht zal blijken in hoofdstuk 4. G(s) zal worden behandeld als een complexe functie van een complex getal s. De hoogste macht van s in de noemer geeft de orde van het betreffende systeem. G (s) hoort bij een tweede orde systeem. S&R-IO/3/2

22 Overdrachtsfuncties en MATLAB MATLAB s Control System Toolbox: tf commando (van de Engelse benaming Transfer Function) >> s = tf( s ); >> ms = ; l = ; b =.2; g = 9.8; >> G = /(ms*lˆ2/3*sˆ2 + b*s + ms*g*l/2) g θ M Transfer function: sˆ2 +.2 s Dictaat appendix E. In dictaat gebruikte voorbeelden beschikbaar via TeleTOP. S&R-IO/3/3

23 Toestandsvergelijkingen 3.4 De toestandsvergelijkingen zijn per definitie een stelsel eerste orde differentiaalvergelijkingen van de vorm met een ẋ = Ax + Bu, y = Cx + Du. toestandsvector x met n toestanden, ingang u en uitgang y. matrices: A: n n systeemmatrix, B: n ingangsmatrix, C: n uitgangsmatrix, D: Feedthrough matrix. n is (wederom) de orde van het systeem. S&R-IO/3/4

24 Toestandsvergelijkingen voorbeeld a De DV van de gewone slinger bevat een tweede afgeleide θ: M 3 m sl 2 θ + b θ + 2 m sgl θ = M. Introduceer hoeksnelheid ω = θ, dan θ = ω en 3 m sl 2 ω + b ω + 2 m sgl θ = M, ω = θ. g θ Herschikken tot θ = ω, ω = 3g 2l θ 3b m s l 2 ω + 3 m s l 2 M. S&R-IO/3/5

25 Toestandsvergelijkingen voorbeeld a (2) Definiëer toestandsvector x = [ θ ω ], ingang u = M en uitgang y = θ, dan: [ θ ω ] = θ = [ 3g 2l 3b m s l 2 [ ] ] [ θ ω [ θ ω ] ] + [ 3 m s l 2 ] M, + [ ] M. g θ M Dit zijn toestandsvergelijkingen met de matrices A = [ 3g 2l 3b m s l 2 ], B = [ 3 m s l 2 ], C = [ ], D = [ ]. Twee toestanden dus de orde van dit systeem twee is. S&R-IO/3/6

26 Toestandsvergelijkingen Deze uitdrukkingen zijn geenszins uniek zijn! Verwissel bv. de componenten van de toestandsvector. Er zijn oneindig veel varianten. Voor correcte toestandsvergelijkingen geldt de toestandsvector heeft de juiste lengte n en bestaat uit toestanden die de configuratie van het systeem vastleggen; de ingang wordt in u gestopt (of bij meerdere ingangen in een vector u); de uitgang wordt in y gestopt (of bij meerdere uitgangen in een vector y); de matrices A, B, C en D hangen niet af van toestanden of ingangen. S&R-IO/3/7

27 Toestandsvergelijkingen en MATLAB Matlab s Control System Toolbox: ss commando (van de Engelse benaming State Space) >> ms = ; l = ; b =.2; g = 9.8; >> ss( [, ; -3*g/2/l, -3*b/ms/lˆ2 ], [ ; 3/ms/lˆ2 ],... [ ], [ ]) a = x x2 x x b =... Continuous-time model. tf en ss kunnen ook elkaars representaties omzetten, zie 3.6. S&R-IO/3/8

28 Blokschema 3.5 Een blokschema geeft een grafische representatie van differentiaalvergelijkingen. Een blokschema geeft ook aan hoe die vergelijkingen opgelost kunnen worden! Blokschema s is de taal van SIMULINK. Na invoer in de GUI zijn direct simulaties mogelijk. Vanaf hoofdstuk 5 en 6 zijn blokschema s het startpunt van de modelvorming. Een blokschema bestaat uit een aantal blokken verbonden door lijnen (=signalen). Elk blok is een (sub)systeem met of alleen ingang(en) ( Sink ), of alleen uitgang(en) ( Source ), of beide. Een blok met zowel ingang als uitgang moet definiëren hoe die uitgang van de ingang afhangt. De lijnen geven aan hoe de diverse blokken van elkaar afhangen De uitgang van het ene blok kan de ingang van een ander blok zijn. S&R-IO/3/9

29 Blokschema (2) De Simulink Library Browser (appendix E.2) is een bibliotheek met geavanceerde en elementaire blokken voor een blokschema In om de ingang van een (sub)systeem aan te geven (ovaal). Gain voor vermenigvuldiging met een constante (driehoekig). Sum voor sommatie (meestal rond). Constant voor het definiëren van een constante (rechthoekig). Integrator voor het integreren van de ingang (rechthoekig). Out om de uitgang van een (sub)systeem aan te geven (ovaal). In Gain Constant s Integrator Out (a) (b) (c) (d) (e) (f) S&R-IO/3/2

30 Blokschema: Differentiëren versus integreren In blokschema s gebruiken we geen blokjes voor differentiëren. Eén reden hiervoor: Differentiëren leidt tot een onaanvaardbare versterking van numerieke of experimentele ruis dx/dt x x dt 2 π/2 π 3π/2 2π t [s] 2 π/2 π 3π/2 2π t [s] 2 π/2 π 3π/2 2π t [s] Differentiatie (links) en integratie (rechts) van een signaal met circa 5% ruis (midden). Daarom vergelijkingen in integraalvorm: x(t) = x() + t =t t = ẋ(t )dt. dx/dt dx/dt s Integrator x(t=) x x x S&R-IO/3/2

31 Blokschema en toestandsvergelijkingen ẋ = Ax + Bu, y = Cx + Du. Oplossing eerste vergelijking m.b.v. integraalvorm: Integreer ẋ om x te krijgen, dan geeft deze vergelijking het recept om ẋ te berekenen uit u en x: D D u B B dx/dt s Integrator x C C y A A Bereken de uitgang y met de tweede vergelijking eveneens uit u en x. S&R-IO/3/22

32 Blokschema voorbeeld a DV + beginvoorwaarden: M θ = 3g 2l θ 3b ml 2 θ + 3 ml 2 M, θ(t = ) =, g θ θ(t = ) = θ, Stap : Integreer 2 de afgeleiden θ en θ d theta/d t (t=) theta(t=) theta d2 theta/d t2 d2 theta/d t2 s d theta/d t s theta theta S&R-IO/3/23

33 Blokschema voorbeeld a (2) M Berekening van θ = 3g 2l θ 3b ml 2 θ + 3 ml 2 M = 3 ml 2 ( M b θ mgl ) 2 θ, g θ als een sommatie (Sum) van een drietal vermenigvuldigingen (Gain) van constanten met respectievelijk signalen die al door integratie zijn berekend ( θ en θ) en ingang M. theta(t=) theta M 3/ms/l^2 s hoeksnelheid s hoek theta b ms*g*l/2 Voor bruikbare simulaties: Definieer ingang M en voeg Scope toe. S&R-IO/3/24

34 Blokschema s en Matlab In Matlab kan van een Simulink blokschema een toestandbeschrijving worden gevonden met het commando [A,B,C,D]=linmod( mymodel ); waarin mymodel de naam van een Simulink blokschema model is. Dit levert de toestandmatrices A, B,C en D. mymodelss=ss(a,b,c,d); mymodeltf=tf(mymodelss); geven een toestandsbeschijving mymodelss en een overdrachtsfunctie mymodeltf in Matlab objecten. Hierop kunnen weer talloze bewerkingen worden losgelaten. S&R-IO/3/25

35 Voorbeeld 2: Slinger op wagentje 3. x x F F θ g θ g Voorbeeld 2a: Voorbeeld 2b: Gewone slinger op een wagentje Inverse slinger op een wagentje Aandrijving met kracht F en meten van positie x en hoek θ. Viskeuze wrijving van wagentje: F f = d ẋ. S&R-IO/3/26

36 Differentiaalvergelijkingen voorbeeld 2 Intro Dit voorbeeld heeft twee vrijheidsgraden: positie x en hoek θ. x 3.2 Er zijn twee (niet-lineaire) gekoppelde tweede orde differentiaalvergelijkingen voor ẍ en θ. F Linearisatie voor de gewone slinger (voorbeeld 2a, θ ) levert: g θ (m w + m s )ẍ + dẋ + m s 2 l θ = F, m s2 lẍ + m s3 l 2 θ + m s g 2lθ =. Hoe op te lossen? Druk ẍ en θ uit in de rest (oplossing van lineair stelsel, appendix G). S&R-IO/3/27

37 DV s voorbeeld 2a Oplossingen Wrijvingsloze (d = ) en homogene (F = ) oplossingen. Vanuit stilstand: θ() = θ, θ() =, x() = en ẋ() = Oplossing: θ(t) = θ cos ωt met ω = 6g(mw + m s ) l(4m w + m s ). x θ [rad] x [m] F g θ t [s] t [s] 5 t [s] lineair model, niet-lineair model S&R-IO/3/28

38 Overdrachtsfuncties voor voorbeeld 2a Wederom associatie van tijdafgeleiden en vermenigvuldigen met s (m w + m s ) s 2 x + d sx + m s 2 l s 2 θ = F, m s 2 l s 2 x + m s 3 l 2 s 2 θ + m s g 2 l θ =. Ingang F en uitgang θ, dan elimineren van x uit deze vergelijkingen en na even doorpakken F g x θ 3.3 G 3 (s) = θ F = s ( 2 3 m w + 6 m s)l s dl s2 + (m w + m s )g s + dg, en invullen numerieke waarden (tabel 3.) G 3 (s) = s.5 s s s Noot: x kan ook als uitgang worden genomen: Overdrachtsfunctie G 4 (s). S&R-IO/3/29

39 Toestandsvergelijkingen voor voorbeeld 2a 3.4 Met oplossing voor ẍ en θ en introductie van hoeksnelheid van de slinger ω = θ en snelheid van het wagentje v = ẋ volgt vierde orde stelsel ẋ = v, v = 4m 4d w +m s v + 3m sg 4m w +m s θ + 4m 4 w +m s F, θ = ω, ω = 6d (4m w +m s )l v 6(m w+m s )g (4m w +m s )l θ 6 (4m w +m s )l F. Hieruit volgen vrij eenvoudig de toestandsvergelijkingen. S&R-IO/3/3

40 Blokschema voor voorbeeld 2a Zowel ẍ als θ moeten twee keer geïntegreerd worden: x 3.5 F d theta/d t (t=) theta(t=) theta d2 theta/d t2 d2 theta/d t2 s d theta/d t s theta theta g θ d x/d t (t=) x(t=) 2 d2 x/d t2 d2 x/d t2 s d x/d t s x 2 x Hierin kan de expliciete berekening van ẍ en θ worden opgenomen, zie figuur 3.4 in dictaat. S&R-IO/3/3

41 Representaties in elkaar omzetten 3.6 Differentiaalvergelijking(en) overdrachtsfunctie. Differentiaalvergelijking(en) toestandsvergelijkingen. Toestandsvergelijkingen overdrachtsfunctie. Differentiaalvergelijking(en) blokschema. Zijn er nog andere handigheidjes en/of kunnen we Matlab nog meer inschakelen? Blokschema manipulaties om een overdrachtsfunctie af te leiden. Matlab commando s linmod, tf en ss (voor WB niet verplicht). Blokschema toestandsvergelijkingen (voor IO niet verplicht). S&R-IO/3/32

42 Van blokschema naar toestandsvergelijkingen ẋ = Ax + Bu, y = Cx + Du. Als de toestandsvector x (dus de toestanden) zijn gekozen en ingang(en) u en uitgang(en) y al waren afgesproken, ligt de toestandsbeschrijving vast. Met het Matlab commando linmod kunnen van een blokschema de toestandsmatrices A, B, C en D worden bepaald. Hierbij neemt Matlab de uitgangen van de integratoren als toestanden! M.a.w. het aantal integratoren bepaalt het aantal toestanden en dus de orde van het systeem. S&R-IO/3/33

43 Van blokschema naar toestandsvergelijkingen (2) theta(t=) theta M 3/ms/l^2 s hoeksnelheid s hoek theta b M ms*g*l/2 g θ De ingang u is het motormoment M en de uitgang y is de hoek θ. Er zijn twee Integrator blokken met uitgangen: hoeksnelheid ω en hoek θ van de slinger. Neem deze als toestanden. Het is een tweede orde systeem. S&R-IO/3/34

44 Van blokschema naar toestandsvergelijkingen (3) theta(t=) theta M 3/ms/l^2 s hoeksnelheid s hoek theta b ms*g*l/2 Volg de ingangen van de integratoren tot in het rechterlid uitdrukkingen staan met alleen toestanden en ingang: θ = ω en ω = 3 ( m s l 2 M m ) sgl 2 θ b ω. M Idem voor uitgang y = θ. toestandsvergelijkingen. g S&R-IO/3/35 θ

45 Blokschemamanipulaties Voor overdracht uit blok is het handig om lussen te kunnen wegwerken : u_a Ga y_a y = G a u a en u a = u G b y, u LTI System y_b u_b Gb LTI System 2 y Wegwerken van u a levert y = G a (u G b y), y = G a u G a G b y, ( + G a G b )y = G a u, en na herschrijven y u = rechtdoorgaande weg + rondgaande weg = G a (s) + G a (s)g b (s). S&R-IO/3/36

46 Voorbeeldsysteem a: Blokschemamanipulaties theta(t=) theta M 3/ms/l^2 s hoeksnelheid s hoek theta b ms*g*l/2 M Voor de binnenlus met de wrijving geldt g θ rechtdoorgaande weg + rondgaande weg = 3 m s l 2 s + 3 m s l 2 s b = 3 m s l 2 s + 3b. S&R-IO/3/37

47 Voorbeeldsysteem a: Blokschemamanipulaties (2) theta(t=) theta M 3 ms*l^2.s+3*b Transfer Fcn s hoek theta ms*g*l/2 M Negeer beginconditie θ, dan resterende lus: g θ G (s) = θ M = rechtdoorgaande weg + rondgaande weg = + 3 m s l s+3b 2 s 3 m s l 2 s+3b s m s g 2 l. Na opschonen: G (s) = θ M = 3 m s l 2 s 2 + 3b s m sgl. S&R-IO/3/38

48 Van toestandsvergelijkingen naar overdrachtsfunctie Herschrijven eerste vergelijking van de toestandsvergelijkingen tot ẋ A x = B u. Met een eenheidsmatrix I en na Laplace transformatie (si A) x(s) = B u(s). Indien inverteerbaar is, dan oplossing x(s) = (si A) B u(s). zodat y(s) = C (si A) B u(s) + D u(s). S&R-IO/3/39

49 De gezochte overdrachtsfunctie is dus G(s) = y(s) u(s) = C (si A) B + D. Deze uitdrukking oogt weliswaar eenvoudig op het eerste gezicht, maar zal in de praktijk bij wat grotere systemen toch moeilijk toepasbaar zijn door de benodigde matrixinversie. Voor een handmatige afleiding is het dan verstandiger om de toestandsvergelijkingen direct naar het Laplace domein te transformeren en dan met verstand de (ongewenste) toestanden één voor één te elimineren. (Niet voor IO) Matlab commando: tf S&R-IO/3/4

50 θ = ω, Voorbeeld a: Gewone slinger ω = 3g 2l θ 3b m s l 2 ω + 3 m s l 2 M. Na Laplace transformatie: Elimineer ω: s θ = ω, s ω = 3g 2l θ 3b m s l 2 ω + 3 m s l 2 M. s 2 θ = 3g 2l θ 3b m s l 2 s θ + 3 m s l 2 M. Verzamelen van de termen met θ: g θ M s 2 θ + 3b m s l 2 s θ + 3g 2l θ = 3 m s l 2 M G (s). S&R-IO/3/4

51 Discrete parameter systemen 3.7 Modellen in de conceptfase van een systeemontwerp moeten niet al te gedetailleerd zijn. Voorbeeld: de hoek van een slinger, terwijl slinger misschien wel elastisch kan doorbuigen. Dit college: discrete parameter modelvorming of lumped parameter. Een eigenschap van een systeem wordt beschreven met een eindige set grootheden, die (alleen) een functie van de tijd t zijn en leiden tot gewone differentiaalvergelijkingen met de tijd als de onafhankelijke variabele. De tegenhanger: gedistribueerde parameter modelvorming. Deze leveren partiële differentiaalvergelijkingen (PDV s) met bv. de temperatuur een functie van de tijd t en plaats. Voor numerieke oplossing wordt vaak een eindige elementen aanpak gebruikt. S&R-IO/3/42

52 Teruggekoppelde systemen 3.8 Scope M 3/ms/l^2 s hoeksnelheidnl s hoeknl theta C M M theta b theta_ref Regelaar Niet lineaire slinger ms*g*l/2 sin Animation Function Volledige schema met slinger en regelaar Subsystem niet-lineaire slinger model sin Later in dit college beschouwen we het gebruik van regelaars. Voorbeeld: Het regelen van de stand van de inverse slinger. Ingang is nu een referentiehoek θ ref in plaats van het koppel M zoals voorheen! open lus versus gesloten lus configuratie. S&R-IO/3/43

53 Teruggekoppelde systemen (2) Gesimuleerde hoek van de slinger: C(s) = 5 C(s) = C(s) = *(s/3+)/(s/3+) 2π 2π 2π θ [rad] π π π 5 t [s] 5 t [s] 5 t [s] referentie θ ref, uitgang θ Afhankelijk van keuze regelaar Vanaf hoofdstuk 9. S&R-IO/3/44

54 Waar zijn we bij het begin van hoofdstuk 5? Hfd. 5 We hebben kennis gemaakt met een aantal modelrepresentaties (hfd. 3): Differentiaalvergelijking(en). Overdrachtsfunctie. Toestandsvergelijkingen. Blokschema. en een analyse van het dynamische gedrag van de systemen (hfd. 4): Tijddomein: Bv. stapresponsie Frequentiedomein: Bode diagrammen Deze zijn toegepast op mechanische systemen. S&R-IO/5/

55 Hfd. 5 En wat gaan we in de hoofdstukken 5 en 6 doen? Een systematische aanpak voor de modellering van translerende mechanische systemen opzetten in hoofdstuk 5. Lumped ofwel discrete parameter modellen: alleen grote lijnen. systeem verdelen in elementaire componenten. Startpunt is een blokschema! de componenten hebben duidelijke ingangs-uitgangs-relaties. operatie op energie vormen de basis. Hieruit volgen toestandsvergelijkingen en/of overdrachtsfuncties (met de hand en met Matlab). Uitbreiden naar roterende mechanische systemen in hoofdstuk 6 (IO niet). Dan tevens aandacht voor diverse overbrengingen. S&R-IO/5/2

56 Een translerende massa 5.2 Tweede wet van Newton: De verandering van de hoeveelheid beweging is recht evenredig met de bewegingskracht. De hoeveelheid beweging is de maat voor datgene, dat gemeenschappelijk wordt veroorzaakt door de snelheid en de hoeveelheid materie. impuls p = m v ṗ = dp dt = F, v = p m. (behoudswet) (constitutieve relatie) S&R-IO/5/3

57 Input output relaties Voor een blokschema moeten we een relatie tussen ingang (input) en uitgang (output) van een blok kennen. Fysica: Geen onderscheid tussen oorzaak en gevolg. Computer: Wel output = functie(input) (causaal verband) Te kiezen: v ingang, F uitgang, dan F = m dv, dus differentiëren. dt F ingang, v uitgang, dan v = m t F dt, dus integreren. S&R-IO/5/4

58 Differentiëren heeft nadelen: Er kan geen beginwaarde worden opgegeven. Bij integreren: v = v + m t F dt Het is numeriek erg gevoelig voor ruis (uit 3.5): dx/dt x x dt 2 π/2 π 3π/2 2π t [s] 2 π/2 π 3π/2 2π t [s] 2 π/2 π 3π/2 2π t [s] Resultaat van differentiatie (links) en integratie (rechts) van een signaal met een beetje ruis (midden). S&R-IO/5/5

59 Blokschema voor massa element Op basis van integraalvorm: v = m F dt v = F m dt F p /m v F a v /m s /m Integrator Met positie als uitgang F a v x /m s s /m Integrator Integrator2 Dit is de elementaire bouwsteen voor het massa element! S&R-IO/5/6

60 Kinetische energieopslag in de massa Energiefunctie of Hamiltoniaan: E(p) = p2 2m. Co-energiefunctie of Lagrangiaan: E (v) = 2 mv2. v v v= p m de(p) = v dp dv de * (v) = p dv dp p p=mv p (a) (b) Massa-element: Opslag van kinetische (co-)energie. S&R-IO/5/7

61 Elastisch element ofwel veer 5.3 F = k x = k (x 2 x ) met veerconstante k (wet van Hooke). x x 2 m m 2 x x2 x k F Sum k Potentiële energieopslag: V (x) = 2 kx2. Dit is de elementaire bouwsteen voor het veer element! S&R-IO/5/8

62 Componenten versus ideale elementen Elastische metalen strip die ook massa heeft (links) weer te geven in discrete parameter model (rechts)? x, v x l k F m eq dm F Met potentiële energie: Stijfheid k (rechts) is stijfheid strip (links). S&R-IO/5/9

63 Massa met kinetische co-energie: Links integreren over strip: E = 2 E = 2 l x l = v x (x l ) 2 dm. Rechts: m 3 v2. E = 2 m eq v 2. Dus de strip is te modelleren met een equivalente massa m eq = 3 m. x, v x l k F m eq dm F S&R-IO/5/

64 Let wel: De equivalente grootheden hangen af van het veronderstelde gedrag en dus van inklemming, enz. Tweede voorbeeld: Beide kanten van de strip bewegen. Verdeel massa gelijk over beide uiteinden. Derde voorbeeld: Strip met buigbelasting. Equivalente massa m eq,b =.23 m. l x b h Equivalente stijfheid k eq,b = 3EI l 3, F met oppervlaktetraagheidsmoment I = b h3 2. S&R-IO/5/

65 Dissipatief element ofwel demper 5.4 Algemeen: F d = functie(v). Viskeuze demper F d = D v. Hierin is D de zogenaamde dempingsconstante met dimensie [Ns/m]. F d F d (a) v viskeuze vloeistof v v v2 Sum v (d) D D Fd (b) viskeuze vloeistof F d D v (c) (e) S&R-IO/5/2

66 Niet-lineaire wrijving 5.4. Viskeuze demping of viskeuze wrijving is lineair: F d = D v. I.h.a. is demping/wrijving niet-lineair, bv. droge of Coulombse wrijving. F d F w F v v v In dit college: Alleen lineaire systemen. S&R-IO/5/3

67 Star gekoppelde massa s 5.5 Vervangingsmassa m tot = i m i. Vrijlichaamsdiagrammen 5.6 Optellen van alle externe krachten F ext,i die op een massa (of star gekoppelde massa s) m werken ṗ = i v = p m F ext,i (behoudswet) (constitutieve relatie) of v = m i F ext,i. S&R-IO/5/4

68 Systematisch opstellen van model: Case 5.7 Weegplatform massa m p Product massa m Veer massa m v stijfheid k Geleiding massa m s Demper massa m d demping D. Identificeer de massa s. Voeg star gekoppelde massa s samen tot vervangingsmassa. Bepaal aantal vrijheidsgraden. 2. Identificeer elastische elementen en dempers. Bepaal de krachten. 3. Geef deze krachten in vrijlichaamsdiagrammen (VLS-en). 4. Stel blokschema op uit de VLS-en. 5. Met dit blokschema in Simulink kunnen simulaties worden uitgevoerd. S&R-IO/5/5

69 Case: IPM & VLS Weegplatform massa m p Product massa m m Veer massa m v stijfheid k m p m v /3 m s x Geleiding massa m s Demper massa m d demping D k m d D m eq F v F g F d Ideaal Fysisch Model IFM / IPM Vrijlichaamsdiagram VLS S&R-IO/5/6

70 Case: Blokschema Step:m g g Fg Fv Fd F a v x K s s /meq snelheid positie Scope:x Krachtensommatie D D k k Invoeren in Simulink: simuleren en/of toestandsvergelijkingen bepalen. x [m].5. D=2.5 D=6 D= t [s] S&R-IO/5/7

71 Case: Overdrachtsfunctie en toestandsvergelijkingen Toestandsvergelijkingen: Neem de uitgangen van de integratoren als toestanden (x en v) en bepaal de relaties voor de ingangen (ẋ en v): ẋ = v v = D m eq v k m eq x g m eq m, Overdrachtsfunctie: Uit toestandsvergelijkingen of met blokschemamanipulaties: G(s) = x(s) m(s) = g m eq s 2 + D s + k. S&R-IO/5/8

72 Case: Bode diagram en eigenfrequentie Overdracht van neerwaartse kracht op plateau F g naar uitwijking x: G 2 (s) = x(s) F g (s) = m eq s 2 + D s + k Bode volgens Matlab afhankelijk van demping D G(jω) G(jω) D=2 D=2 D=2 8 2 ω [rad/s] D=2 S&R-IO/5/9

73 Case: Bode diagram en eigenfrequentie (2) Herkennen standaard tweede orde overdracht: G 2 (s) = k k m eq s 2 + D m eq s + k m eq. Voorfactor k en verder: 2ζω n = D m eq en ω 2 n = k m eq, zodat: ω n = k m eq =.5 = 26 rad/s en ζ = D 2m eq ω n = D 2 m eq k : ζ =.26 (D = 2 Ns/m), ζ =.78 (D = 6 Ns/m), ζ =.26 (D = 2 Ns/m). S&R-IO/5/2

74 Case: Bode diagram en eigenfrequentie (3) G(jω) G(jω) D=2 D=2 D=2 8 2 ω [rad/s] D=2 Omslagpunt bij 26 rad/s t.g.v. zwak gedempte polenpaar. Laagfrequent: G(s) k, dan is G(iω) constant en G(iω) = o. Hoogfrequent: G(s) m eq s 2, dan G(iω) helling 2 en G(iω) = 8 o. S&R-IO/5/2

75 5.7.5 Case: Karakteristieke eigenschappen stapresponsie x [m].5..5 D=2 D=6.2 D= t [s] ω n = 26 rad/s en ζ =.26 of.78 of.26. Dan ω d = ω n en θ = arcsin ζ ζ. ζ 2 ω n Rise time: t r = π 2 + θ ω d π 2ω n =.6 s. 2% settling time: t s,2% 4 ζω n, met ζω n = D 2m eq, dan t s,2% 5.9 s of 2. s of.59 s. S&R-IO/5/22

76 Uitleiding 5.8 Eerste deel systematische modelvorming: Aanwijzen van de kinetische energie buffers (massa s), potentiële energiebuffers (elastische elementen) en dissipatieve elementen (dempers). Na elementaire decompositie (Ideaal Fysisch Model) opstellen van blokschema uit elementaire submodellen: x Massa m ẍ = m Fext F a v x /m s /m Integrator Integrator2 s Translatieveer x x 2 x F = k(x x 2 ) x F k x2 k Sum k Translatiedemper v v 2 v F d = D(v v 2 ) v Fd D v2 Sum D D S&R-IO/5/23

77 Analyse van dynamische systemen Hfd. 4 We hebben kennis gemaakt met een aantal modelrepresentaties (hfd. 3): Differentiaalvergelijking(en). Overdrachtsfunctie. Toestandsvergelijkingen. Blokschema. Deze zijn toegepast op slinger systemen (vorige hoofdstuk) & landend vliegtuig (opgave). Nu gevolgd door analyse van het dynamische gedrag van de systemen: Tijddomein: Bv. stapresponsie Frequentiedomein: Bode diagrammen Uitgangspunt: Overdrachtsfunctie. S&R-IO/4/

78 Polen, nulpunten en eigenwaarden 4. Overdrachtsfuncties is quotiënt van een teller en noemer van polynomen in s. Beschouw deze als complexe functie G(s) van complexe variabele s. Nulpunten: De waarden van s waarvoor de teller nul is (en G(s) ook). Polen: De waarden van s waarvoor de noemer nul is (en G(s) naar oneindig gaat). Vanwege G(s) = y(s) u(s) = C (si A) B + D. zijn de polen ook de waarden van s waarvoor de inverse (si A) niet bestaat. Dat zijn de eigenwaarden van A. Nulpunten van hogere graads polynomen zijn niet eenvoudig uit te rekenen. Wel van eerste en tweede graads uitdrukkingen. S&R-IO/4/2

79 Polen en nulpunten van gewone slinger Beschouw voorbeeldsysteem a van de gewone slinger: g θ M G (s) = θ M = 3 m sl 2 s 2 + b s + 2 m sgl. Geen nulpunten, wel polen: 3 m sl 2 s 2 + b s + 2 m sgl = Oplossingen: s = b ± b m2 sgl m sl 2. S&R-IO/4/3

80 Polen en nulpunten van gewone slinger (2) Afhankelijk van teken van de discriminant g θ M D = b m2 sgl 3 D > dan twee verschillende reële polen in D = dan twee samenvallende reële polen in D < dan een complex geconjugeerd polenpaar s = 3b 2m s l 2 ± 3 2m s l 2 D. s = 3b 2m s l 2. in s = 3b 2m s l 2 ± 3 2m s l 2 D i, met complexe getal i 2 =. Polen en nulpunten zijn altijd reëel of een complex geconjugeerd paar. S&R-IO/4/4

81 Polen en nulpunten van gewone slinger (3) Geen wrijving (b = ), dan twee zuiver imaginaire polen in g θ M s = ± 3g 3g 2l = ± 2l i = ±3.8 i (b = ). Precies gelijk aan de eigenfrequentie van de slinger vermenigvuldigd met i. Getallenvoorbeeld van de polen met wrijving: Beschouw noemer van G (s) =.33 s s = 3 s s Negatieve discriminant D = 58.5, dus complex geconjugeerd polenpaar s =.6 2 ± i =.3 ± 3.8 i. S&R-IO/4/5

82 Polen en nulpunten met MATLAB M >> G = /(ms*lˆ2/3*sˆ2 + b*s + ms*g*l/2); >> zero(g) Empty matrix: -by- >> pole(g) i i En als de toestandsmatrices zijn gedefinieerd: >> eig(ass) % Systeem matrix A i i g θ S&R-IO/4/6

83 Polen en responsie Gewone slinger met vaste beginhoek θ, zonder M en met variaties van de demping b. g θ M b=. b=. b=.2 b= θ [rad] t [s] t [s] t [s] t [s] Toenemende b: Meer demping. S&R-IO/4/7

84 Ligging van de polen Aangegeven met kruisjes in het complexe s-vlak (onder ingezoomd): Imaginaire as 5 b = Reële as Imaginaire as 5 b = Reële as Imaginaire as 5 b = Reële as Imaginaire as 5 b = Reële as g θ M b = b =. b =.2 b =.5 Imaginaire as Imaginaire as Imaginaire as Imaginaire as Reële as Reële as Reële as Reële as Complex polenpaar op de imaginaire as: ongedempte trilling. Negatiever reëel deel: Steeds meer demping. S&R-IO/4/8

85 Polen en nulpunten van gewone slinger op wagentje x Vereenvoudiging: Geen demping (d = ), dan F G 4d (s) = x F = 2 3 l s 2 + g ( 2 3 m w + 6 m s)l s 4 (d = ). + (m w + m s )g s2 g θ 3g Complex nulpuntenpaar op de imaginaire as: s = ± 2l i. Vier polen: s = s = s = ± 6g(mw + m s ) l(4m w + m s ) i = ±4.43 i. Twee samenvallende polen in de oorsprong: vrije massa. Complex polenpaar op imaginaire as in ±4.43i: eigenfrequentie. S&R-IO/4/9

86 4..2 Polen en de oplossing van de homogene differentiaalvergelijking Oplossingen van de vorm y(t) = y e st, dan moet s een pool van de overdrachtsfunctie zijn. Pool met negatief reëel deel: Afnemende exponentiële term. Zuiver imaginaire pool: Ongedempte harmonische trilling. Pool met positief reëel deel: Toenemende exponentiële term. Conclusie: Een systeem met rechterhalfvlak (RHP) polen is instabiel! S&R-IO/4/

87 zpk notatie voor de overdrachtsfunctie 4.. Toont direct de polen p i en nulpunten z i : G(s) = K (s z )(s z 2 )...(s z m ) (s p )(s p 2 )...(s p n ). Eventueel voor polenparen en nulpuntenparen een tweedegraads uitdrukking. In MATLAB: >> zpk(g) Zero/pole/gain: (sˆ2 +.6s + 4.7) S&R-IO/4/

88 Tijddomein: Impuls- en stapresponsie 4.2/ 2.2. Responsie op bv. eenheidsstap: (t t ) = { t < t t > t, (t) δ(t) t Eenheidsstap t Eenheidsimpuls S&R-IO/4/2

89 Responsie van een systeem De responsie van een systeem hangt sterk af van de polen. De responsie van een systeem hangt af van de ingang en volgt m.b.v. Laplace transformaties uit. y(s) = G(s) u(s) Stapresponsie: y(s) = s(s) van u(s) = (s) = s. S&R-IO/4/3

90 Eindwaarde en stationaire versterking 4.2. Met MATLAB berekende impuls- en stapresponsie van gewone slinger: Impulsresponsie G (s).4 Stapresponsie G (s).5.3 θ [rad] θ [rad] t [s] 5 t [s] De stapresponsie convergeert naar een bepaalde eindwaarde. S&R-IO/4/4

91 Eindwaarde en stationaire versterking (2) De eindwaarde volgt direct uit het zogenaamde eindwaarde theorema (Engels: Final Value Theorem): Beschouw een signaal y(t) en zijn Laplace getransformeerde y(s). Als alle polen van s y(s) in het linkerhalfvlak liggen, dan geldt voor de limiet lim y(t) = lim t s y(s). s Toepassen op systeem G(s): lim y(t) = lim s G(s) u(s), t s uiteraard op voorwaarde dat s G(s) u(s) alleen polen in het linkerhalfvlak heeft. S&R-IO/4/5

92 Eindwaarde en stationaire versterking (3) Eenheidsstap als ingangssignaal: lim y(t) = lim t s G(s) s s = lim G(s) = G(), s nu op voorwaarde dat G(s) alleen polen in het linkerhalfvlak heeft en dat de limiet voor s kan worden gevonden door s = in G(s) in te vullen. Bij stap ter grootte h als ingang: lim y(t) = G() h. t Deze G() is de stationaire versterking of DC gain. Voorbeeld gewone slinger: G () = 2 m sgl =.2. S&R-IO/4/6

93 Stapresponsie van een eerste orde systeem Beschouw systeem met één pool in σ: G(s) = σ s + σ (Genormeerd z.d.d. G() = ). Impulsresponsie Stapresponsie 2 g(t).5 s(t) /e t [s] t [s] G(s) = s +, G(s) = 2 s + 2 S&R-IO/4/7

94 G(s) = Stapresponsie van een eerste orde systeem (2) σ s + σ Impulsresponsie: g(t) = σe σt (voor t ) Stapresponsie: s(t) = e σt (voor t ) Impulsresponsie Stapresponsie 2 g(t).5 s(t) /e t [s] t [s] Tijdconstante τ = geeft aan hoe lang het duurt tot de responsie op σ /e = 37% van de eindwaarde is. S&R-IO/4/8

95 Stapresponsie van een eerste orde systeem (3) Stapresponsie en polen-nulpuntenplot met Matlab: Pole Zero Map Step Response.5.8 Imag Axis Amplitude Real Axis >> G=tf(,[ ]) Transfer function: s >> pzmap(g); >> step(g); Time (sec) S&R-IO/4/9

96 Stapresponsie van een tweede orde systeem Tweede orde overdrachtsfunctie zonder nulpunten: G(s) = p p 2 (s p )(s p 2 ). Situatie : Polen p en p 2 reëel en verschillend: Combinatie van twee eerste orde responsies. Vaak snelle en langzame pool, dan dominant eerste orde gedrag. Situatie 2: Polen p en p 2 zijn samenvallend of een complex geconjugeerd polenpaar. Dan notatie: Standaard tweede orde overdrachtsfunctie: G(s) = met reële parameters ζ en ω n. ω 2 n s 2 + 2ζω n s + ω 2 n S&R-IO/4/2

97 Stapresponsie van een tweede orde systeem (2) G(s) = ω 2 n s 2 + 2ζω n s + ω 2 n Polen: p,2 = ζω n ± ζ 2 ω n i, zijn complex geconjugeerd polenpaar of samenvallende als ζ. Pole Zero Map Imag Axis 5 ζ = ζ = ζ =.5 ζ =.7 θ jω d 5 -ζω n 5 5 Real Axis ζ is de relatieve demping: ζ = ongedempt, ζ = kritisch gedempt. ω n is de ongedempte eigenfrequentie of ongedempte natuurlijke frequentie. S&R-IO/4/2

98 Stapresponsie van een tweede orde systeem (3) M Beschouw voorbeeldsysteem a van de gewone slinger: g θ G (s) = θ M = 3 m sl 2 s 2 + b s + 2 m sgl = 2 m s lg Dit is een standaard tweede orde overdracht met: Een constante voorfactor G () = 2 m s lg =.2. 3g 2l s 2 + 3b m s l 2 s + 3g. 2l ω 2 n = 3g 2l, dus ω n = 3g 2l = 3.84 rad/s (de bekende ongedempte eigenfrequentie). 2ζω n = 3b 3b m s l2, dus ζ = m s l 2 =.782 2ω n S&R-IO/4/22

99 Stapresponsie van een tweede orde systeem (4) In MATLAB: M >> G Transfer function: sˆ2 +.2 s g θ >> damp(g) Eigenvalue Damping Freq. (rad/s) -3.e e+i 7.82e e+ -3.e e+i 7.82e e+ S&R-IO/4/23

100 Stapresponsie van een tweede orde systeem (5) Eenheidsstapresponsie van G(s) = ω 2 n s 2 + 2ζω n s + ω 2 n m.b.v. Laplace: θ jω d s(t) = e ζω nt ζ 2 [cos(ω dt θ)], t. -ζω n met gedempte natuurlijke frequentie ω d = ω n ζ 2 en sin(θ) = ζ. Step Response.5 2π/ω d Trilling met omhullende: Amplitude S&R-IO/4/24 Time (s)

101 Stapresponsie van een tweede orde systeem (6) Stapresponsies bij variërende relatieve demping Neem ω n = rad/s en ζ = (in 5 stappen): Positie van de polen als functie van ζ 2 Stapresponsies als funcie van ζ 5.5 Imag Axis Amplitude Real Axis Time (sec) S&R-IO/4/25

102 Stapresponsie van een tweede orde systeem (7) Stapresponsies bij variërende ω n en constante ζ Neem ζ =.7 en ω 2 n = 2 rad 2 /s 2 (in 5 stappen): 8 Positie van de polen als functie van ω n.4 Stapresponsie als functie van ω n 6.2 Imag Axis Amplitude Real Axis Time (sec) S&R-IO/4/26

103 Stapresponsie van een tweede orde systeem (8) Karakteristieken: s.5 Overshoot.5 tr tp ts Time (s) Rise time (cos(ω d t θ) = ) t r = π/2 + θ ω d 2% settling time ( exp( ζω nt s ) ζ 2.2) t s,2% 4 ζω n Peak time (afgeleide ) t p = π ω d % overshoot ζ Overshoot (bij t p ) x(t p ) = exp ζ π ζ 2 S&R-IO/4/27

104 Overdrachtsfunctie niet gelijk aan de standaard tweede orde overdracht Tot nu toe: Stapresponsie van G(s) = ω 2 n s 2 + 2ζω n s + ωn 2. Wat nu als de overdracht anders is? Voorfactor K = G() : Eindwaarde is anders, maar dynamisch gedrag is feitelijk niet anders. Beschouw twee uitbreidingen: De aanwezigheid van een nulpunt. Een extra pool. S&R-IO/4/28

105 Stapresponsie bij een extra nulpunt (s/αζω n ) + G(s) = (s/ω n ) 2 + 2ζ(s/ω n ) + Polen in ζω n ± ζ 2 ω n i. Nulpunt in αζω n. Weinig effect op t s. Veel invloed op overshoot en t r. Vooral als α < 4 à 5. s(t) Stapresponsie G(s) met nulpunt α = α = 2 α = 5 α = 5 t [s] S&R-IO/4/29

106 Stapresponsie bij een extra nulpunt (2) Stapresponsie G(s) met LHP nulpunt.5 G(s) Met ω n = rad/s: G(s) = (s/αζ) + s 2 + 2ζ s + = s 2 + 2ζ s + + s αζ s 2 + 2ζ s + = G (s) + G d (s) s(t) G (s).5 G (s) d 5 t [s] De responsie van een systeem met nulpunt is die van het systeem zonder nulpunt G (s) plus een bijdrage van de afgeleide G d (s) S&R-IO/4/3

107 Stapresponsie bij een extra nulpunt (3) G(s) = G (s) + G d (s) s(t) Als α < : Nulpunt in RHP. Bijdrage van G d (s) begint negatief. Responsie gaat dus eerst in de verkeerde richting. Niet-minimum fase systeem Stapresponsie G(s) met RHP nulpunt G (s) G(s) G d (s) 5 t [s] S&R-IO/4/3

108 Stapresponsie bij een extra pool G(s) = (s/αζω n + )(s/ω n ) 2 + 2ζ(s/ω n ) + Polen in ζω n ± en in αζω n. ζ 2 ω n i Weinig effect op t s. Veel invloed op overshoot en t r. Vooral als α < 4 à 5. s(t).5 α = α = 5.5 Als < α dan dominant eerste orde gedrag. Stapresponsie G(s) met extra pool α = α = 2 5 t [s] S&R-IO/4/32

109 Frequentiedomein: Bode diagrammen 4.3 De overdrachtsfunctie G(s) is geïntroduceerd via de associatie van de tijdafgeleide d/dt en de Laplace operator s. De overdrachtsfunctie G(s) kan ook als een complexe functie G van een complex getal s worden gelezen (en zo vonden we bv. polen en nulpunten). Hoe visualiseren we een complexe functie (complex getal s complex getal G(s), dus 2D 2D)? Een Bode diagram levert een analyse van een systeem in het frequentiedomein: Hoe reageert een systeem op harmonische (d.w.z. sinusvormige) signalen? Voor een Bode diagram beschouwen we de complexe functie G(s) alleen voor imaginaire s, dus s = iω en worden grafieken gemaakt van de absolute waarde G(iω) en fase G(iω) als functie van de hoekfrequentie ω. S&R-IO/4/33

110 4.3. Responsie op harmonische signalen en Bode diagrammen Met de theorie van Laplace transformaties kan de exacte interpretatie van een Bode diagram in het frequentiedomein worden afgeleid. De essentie is: Als een stabiel systeem G(s) wordt geëxciteerd met een harmonisch ingangssignaal u(t) = u sin(ωt) dan zal de uitgang na het uitdempen van opstartverschijnselen ook een harmonisch signaal zijn, dus y(t) = y sin(ωt + φ) Amplitude verhouding y u = G(iω). Fase verandering φ = G(iω). θ [rad] Imaginaire as f =.6 Hz 2 3 t [s] G(iω) G(iω) G(iω) MATLAB demo sigpiezoplaysweep.m Reële as S&R-IO/4/34

111 Responsie op harmonische signalen en Bode diagrammen (2) Beschouw voorbeeldsysteem a van de gewone slinger met M(t) = M sin(2πf t), dan θ(t) = θ sin(2πf t + φ) g θ M.2 f =.2 Hz f =.6 Hz. f = 3 Hz θ [rad] M [Nm] t [s] t [s] t [s] S&R-IO/4/35

112 Responsie op harmonische signalen en Bode diagrammen (3) De simulaties leveren drie punten in het Bode diagram: f =.2 Hz (ω =.75 rad/s) amplitude θ =.2 fase φ o. f =.6 Hz (ω = 3.8 rad/s) amplitude θ =.3 fase φ 8 o. f = 3. Hz (ω = 8.8 rad/s) amplitude θ =.9 fase φ 8 o. G (iω) 2 4 G (iω) ω [rad/s] S&R-IO/4/36

113 Responsie op harmonische signalen en Bode diagrammen (4) Interpretatie Bode diagram voor de gewone slinger met gelineariseerde differentiaalvergelijking: M 3 m sl 2 θ + b θ + 2 m sgl θ = M. θ(t) = θ sin(ωt + φ) θ(t) = θ ω cos(ωt + φ) θ(t) = θ ω 2 sin(ωt + φ). g θ Laagfrequent: Verwaarloos versnellingen, dan: 2 m sgl θ M. De verhouding tussen hoek θ en moment M is de stationaire versterking G (). 3g De (ongedempte) eigenfrequentie is = 3.84 rad/s. 2l Opslingering! Hoogfrequent: Versnelling belangrijkst, dan: 3 m sl 2 θ M. Dan zijn hoek θ en moment M in tegenfase en neemt de verhouding af met toenemende frequentie. S&R-IO/4/37

114 Hoe tekenen we zo n Bode plot? Matlab commando bode Snel en makkelijk (als een computer in de buurt is). Geeft echter weinig inzicht. En stimuleert daarmee veel trial en error. Berekenen van de complexe functiewaarde van G(iω) voor een voldoende representatieve verzameling hoekfrequenties. Bewerkelijk. Schetsen als som van deelbijdragen in zowel amplitude als fase plot. Geeft wel inzicht. Geeft later mogelijkheden om gericht goede instellingen voor een regelaar te vinden. S&R-IO/4/38

115 Bode diagrammen met MATLAB bode(g) Magnitude (db) Phase (deg) Bode Diagram Frequency (rad/sec) Decibel schaal: G db = 2 log G en G = G db/2. S&R-IO/4/39

116 Bode diagrammen schetsen Beschouw zpk notatie G(s) = K (s z )(s z 2 )...(s z m ) (s p )(s p 2 )...(s p n ) Voor Bode diagram s = iω, dus G(iω) = K (iω z )(iω z 2 )...(iω z m ) (iω p )(iω p 2 )...(iω p n ). Schrijven elke factor in de teller en noemen als complex getal s,..., s m+n, dan G(iω) = K s s 2...s m s m+ s m+2...s m+n. Imaginaire as G(iω) G(iω) Nu elke factor s i in polaire notatie s i = r i e iφ i G(iω) Reële as S&R-IO/4/4

117 Dan G(iω) = K Bode diagrammen schetsen (2) r r 2...r m r m+ r m+2...r m+n e i(φ +φ φ m φ m+ φ m+2 φ m+n ) Absolute waarde G(iω) = K r r 2...r m r m+ r m+2...r m+n Vermenigvuldig deelbijdragen. Op log-schaal: Optellen! Fase G(iω) = φ + φ φ m φ m+ φ m+2 φ m+n Eveneens optellen van deelbijdragen! S&R-IO/4/4

118 Bode diagrammen schetsen (3) Conclusie: Een Bode plot van een overdracht kan vrij eenvoudig worden geschetst door een aantal deelbijdragen bij elkaar op te tellen: Pool in de oorsprong (/s termen) of nulpunt in de oorsprong (s termen). Eén (negatieve) reële pool of nulpunt. Een complex polen- of nulpuntenpaar. Daarna met verkregen inzicht nog efficiënter: Beschouw laag- en hoogfrequent asymptoten en tussenliggende omslagpunten. S&R-IO/4/42

119 Bode diagrammen: Pool / nulpunt in oorsprong Pool in oorsprong G(iω) = /iω Nulpunt in oorsprong G(iω) = iω G(iω) [db] G(s) = /s G(iω) [db] G(s) = s G(iω) [deg] 9 8. ω [rad/s] G(iω) [deg] 8 9. ω [rad/s] S&R-IO/4/43

120 Bode diagrammen: Polen/nulpunten in oorsprong G(s) = s n = s n G(s) = ms 2 G(iω) [db] 4 4 G(s) = s n s 2 s /s /s 2 G(iω) [db] m= G(s) = /ms 2 m=2 m= m=. G(iω) [deg] /s /s 2. ω [rad/s] s s 2 G(iω) [deg] 9 8. ω [rad/s] Dus helling n en fase 9 o n (ook voor asymptoten) Waar ligt het snijpunt met db? Bij ω waarvoor ω 2 = /m. S&R-IO/4/44

121 Bode diagrammen: Eén negatieve reële pool G(s) = k s + a k G(iω) = ω 2 + a 2 Dus G is k / de lengte van a naar iω. G(iω) = arctan Dus G is α. ( ) ω a s-vlak a Imaginaire as iω α Reële as S&R-IO/4/45

122 Bode diagrammen: Eén negatieve reële pool (2) G(s) = s + Asymptoten: ω : G(iω), dus G = = 2 db en G = o ω : G(iω) /iω, dus G = /ω dus G db = 4 db 2 log ω en G = 9 o G(iω) [db] G(iω) [deg] 2 45 Omslagpunt ω = rad/s: G(i) = i + = = 2 db 3 db 2 G(i) = i + = 45o. G(s) = /(s+) 3 db 9 ω [rad/s] ( 3 db punt: Per definitie de bandbreedte ω BW ) S&R-IO/4/46

123 Bode diagrammen: Eén negatief reëel nulpunt G(s) = k(s + a) G(iω) = k ω 2 + a 2 s-vlak Imaginaire as Dus G is k de lengte van a naar iω. G(iω) = +arctan Dus G is +α. ( ) ω a a α iω Reële as S&R-IO/4/47

124 Bodediagrammen: Eén pool / nulpunt in LHP Eén negatieve reële pool (in LHP) Eén negatief reëel nulpunt (in LHP) G(s) = /(s+) G(s) = s+ G(iω) [db] 2 3 db G(iω) [db] db G(iω) [deg] 45 9 ω [rad/s] G(iω) [deg] 9 45 ω [rad/s] S&R-IO/4/48

125 Bodediagrammen: Eén pool / nulpunt in RHP Eén positieve reële pool (in RHP) Eén positief reëel nulpunt (in RHP) G(s) = /( s+) G(s) = s+ G(iω) [db] 2 G(iω) [db] 4 2 G(iω) [deg] 9 45 ω [rad/s] G(iω) [deg] 45 9 ω [rad/s] Instabiele pool. Niet-minimum fase systeem. S&R-IO/4/49

126 Bode diagrammen: Complex polenpaar G(s) = (s/ω n ) 2 + 2ζ(s/ω n ) + ω n = rad/s, ζ =... G(iω) [db] G(s) = ω n 2 /(s 2 + 2ζωn s + ω n 2 ) ζ=. ζ=. Bandbreedte (= -3 db punt) bij benadering ω n. Hoogte resonantiepiek afhankelijk van ζ: G(iω n ) 2ζ. G(iω) [deg] 9 8 ζ=. ζ=. ω [rad/s] Voor ω ω n is de helling -4 db/decade ofwel -2. S&R-IO/4/5

127 Bode diagrammen: Samenvatting Bode amplitude- en fase diagrammen van een overdracht G(s) kunnen worden geschetst door: Methode : De overdracht te splitsen in eerste en tweede orde termen; De diagrammen hiervan te tekenen; En tenslotte bij elkaar op te tellen (denk aan de stationaire versterking). Methode 2: Het asymptotisch gedrag van amplitude en fase te beschouwen voor ω en ω ; Voor omega tussen en de omslagpunten op te zoeken bij de polen en nulpunten; Bij elk omslagpunt het amplitude- en faseverloop aan te passen. S&R-IO/4/5

128 Bode diagrammen: Methode 2 Beschouw voorbeeldsysteem a van de gewone slinger: g θ M G (s) = θ M = 3 m sl 2 s 2 + b s + 2 m sgl = 3 s s Omslagpunten: Geen nulpunten en polenpaar in s =.3 ± 3.8i. Voor dit complex polenpaar is: ω n = 3.8 rad/s en ζ =.8. Laagfrequent: G (s) 3 =.2 = 4 db. 4.7 Asymptoten: Constant (helling db/decade) en fase o. Hoogfrequent: G (s) 3 s 2. Asymptoten: Absolute waarde helling van 4 db/decade en fase 8 o. Punt op de asymptoot: Voor ω = rad/s is G(iω) =.3 = 3 db. S&R-IO/4/52

129 Bode diagrammen: Methode 2 (2) Eén omslagpunt bij polenpaar met ω n = 3.8 rad/s. Verandering van helling in absolute waarde plot met 4 db/decade en hoogte piek bij ω b in plot van absolute waarde: = 6 = 6 db. 2ζ Faseverandering is 8 o. G (iω) [db] g θ M G (iω) ω [rad/s] S&R-IO/4/53

130 Waar zijn we? Hfd. 9 We kunnen mechanische systemen in het translatie- en rotatiedomein modelleren: Lumped modellen, dus alleen grote lijnen. Met behulp van decompositie in ideale componenten. Blokschema s. Toestandsvergelijkingen en/of overdrachtsfuncties. Symbolisch (d.w.z. in formulevorm met symbolen) en met Matlab (numerieke resultaten). We kunnen systemen ook analyseren: Stap- en impulsresponsie in het tijddomein. Bode diagrammen in het frequentiedomein. S&R-IO/9/