De leraar fysica als goochelaar. lesvoorbeeld: harmonische trillingen

Transcriptie

1 De leraar fysica als goochelaar lesvoorbeeld: harmonische trillingen Stan Wouters Docent Fysica aan de Faculteit Industriële Ingenieurs Fi² (= KHLim en Xios) VLAAMS CONGRES VAN LERAARS WETENSCHAPPEN zaterdag 17 november 01

2 Loopbaan zie : assistent Fysica en Mechanica 1997: lector toegepaste informatica 000: docent Fysica en lector toegepaste informatica Fysica: digitale cursus doorlopen (geen succes) digitale cursus met afleidingen op bord presentaties (dient als rode draad) afleidingen op bord, proeven, rekenbladen, applets en video-filmpjes zaterdag 17 november 01

3 Inhoud les01: Trillingen (H14: Giancoli Ned) Wet van Hooke Trillingen van een veer Enkelvoudige harmonische beweging Energie in de enkelvoudige harmonische oscillator Verband tussen enkelvoudige harmonische beweging en eenparige cirkelbeweging De enkelvoudige slinger De fysische slinger en de *torsieslinger *De dobber Gedempte harmonische beweging *Gedwongen trillingen; resonantie Overzicht *Combinaties van 'loodrechte' harmonischen *Combinaties van 'evenwijdige' harmonischen zaterdag 17 november 01 Robert Hooke ( ) 3

4 Wet van Hooke Wet van Hooke: F uit =k x Spannings-vervormingsdiagram (zie F ΔL =E A L0 Opmeten met sensoren en spelen met veerconstante zaterdag 17 november 01 4

5 Trillingen van een veer Horizontale beweging = F uit net voor het loslaten van F Terugroepkracht: F uit k (N/m) krachtconstante of veerconstante afhankelijk van de elasticiteit van de veer (Opmeten met sensoren) evenwichtspositie x = 0 amplitude A (m): de maximale uitwijking periode T0(s): de tijd voor één heen en weer gaande beweging frequentie f0 = 1/T0 (Hz): het aantal heen en weer gaande bewegingen per seconde zaterdag 17 november 01 5

6 Trillingen van een veer () Horizontale beweging zaterdag 17 november 01 + F z + F v =m N a x -component: F v = m a y -component: N F z =0 N F z a F v N F z x -component: F v =ma d x x -component: kx=m( ) d x k + x=0 m 6

7 Trillingen van een veer (3) Verticale beweging: A en B in evenwicht A B C 0 i F v L0 L1 m x' L m F z x F v + F z= 0 F v i +F z i =0 i F v +F z =0 k (L1 L0)+m g =0 zaterdag 17 november 01 a F z F 'v ' F v + F z=m a ' F v +F z= ma k (L L0 )+mg = ma k (L L1 ) k (L1 L0 )+mg = ma k (L L 1)= m a d x' k x ' = m( ) d x' k + x ' =0 m 7

8 Enkelvoudige harmonische beweging Verticale of horizontale beweging d x k de bewegingsvergelijking: + x=0 m k de eigenfrequentie of pulsatie (rad/s): ω 0= m de veerconstante k en de massa m worden gemeten de bewegingsfunctie: x (t)= Acos (ω 0 t+ϕ 0 ) kan ook x (t)= Asin (ω 0 t+ϕ 0) de uitwijking x van de massa m als functie van de tijd t de fase ω0t + φ0 en de beginfase φ0 in radialen π periodiciteit in de tijd: T 0= ω0 snelheid v(m/s) dx v= = ω0 A sin(ω 0 t +ϕ 0 ) versnelling a(m/s²): (zie rekenblad voor het faseverschil) d x a= = ω 0 A cos(ω 0 t +ϕ 0 )= ω 0 x zaterdag 17 november 01 8

9 Enkelvoudige harmonische beweging () Behoud van energie: 1 1 mv m v1 =Δ E k = Δ E p= i W i Horizontale beweging arbeid door de veerkracht bij het uitrekken van een veer: 1 W Fv = F v. d r = 0 F v dx= k 0 x dx= k x x x de potentiële energie in de veer is: 1 1 ( E pv E pv1 )= k x of E pv = k x en E pv1=0 J totale mechanische energie: 1 1 E tot =E k +E pv= m v + k x 1 1 E tot = m( Aω 0 sin (ω 0 t +ϕ 0)) + k ( Acos (ω 0 t +ϕ 0 )) 1 E tot = k A zaterdag 17 november 01 9

10 Enkelvoudige harmonische beweging () Verticale beweging arbeid door het gravitatieveld bij een verplaatsing 0 y: y y W Fz = F z. d r = 0 F z dy= mg 0 dy = mgy de potentiële energie in het gravitatieveld: ( E pz E pz1 )= mgy of E pz =mgy en E pz1=0 J totale mechanische energie: 1 1 E tot =E k +E pv +E pz = mv + k y +m g y (nameten of Etot behouden blijft) opgelet: y moet voor Epv de totale verlenging zijn Zie ook applet slinger en tikbal zaterdag 17 november 01 10

11 Verband tussen enkelvoudige harmonische beweging en eenparige cirkelbeweging Zie applet op Enkel de positie-fasor kennen! zaterdag 17 november 01 11

12 De enkelvoudige slinger eigenfrequentie g ω 0= L Demo 08-17: Pendulum with Large Amplitude zaterdag 17 november 01 1

13 De fysische slinger eigenfrequentie ω 0= mgd I Demo 08-18: Physical Pendulum zaterdag 17 november 01 13

14 De torsieslinger eigenfrequentie ω 0= C I L Demo 08-13: Torsion Pendulum zaterdag 17 november 01 θ0 +θ0 14

15 *De dobber eigenfrequentie zaterdag 17 november 01 D ρwg ω 0= aρ a ρw ρ m G 15

16 Gedempte harmonische beweging zaterdag 17 november 01 16

17 Gedempte harmonische beweging () F w = b v Wrijvingskracht: met de wrijvingsconstante b(kg/s) d x b dx k + + x=0 Bewegingsvergelijking: γ t m m Bewegingsfunctie: x (t)= Ae cos( ω ' t+ϕ ' ) Hoekfrequentie: ω'(rad/s): ω ' = ω 0 γ Dempingsconstante γ(1/kg): γ =b/ m Speciale gevallen: kromme 1 γ < ω0: periodisch (kromme 1) γ = ω0: kritisch aperiodisch (kromme ) γ > ω0: aperiodisch (kromme 3) Relaxatietijd τ (s): τ =1 / γ Kwaliteitsfactor Q(/): Q=ω 0 / γ zaterdag 17 november 01 y(t) kromme kromme 3 T 17

18 Applet, berekeningen en metingen Applet: γ t x (t)= Ae cos( ω ' t+ϕ ' ) Berekeningen in harmonische trillingen.xls Metingen met Pasco sensoren zaterdag 17 november 01 18

19 *Gedwongen trillingen; resonantie d x b dx k F (t ) + + x= bewegingsvergelijking: m m m aandrijfkracht F (N): F (t )=F 0 cos ω t bewegingsfunctie: x (t )= Asin (ω t+ϕ ) ( ω0 ω ) beginfase φ = φ(ω) : tan ϕ = γ ω F0 F0 A= ωzm amplitude A = A(ω): Metingen met sensoren op film en rekenblad snelheid v(m/s): v (t )=ωa cos(ωt+ϕ ) amplitude-resonantie: ω = ω 0 γ ωr snelheids-resonantie: ω =ω 0 Kortfilm: Tacoma bridge 1940 en video-film: Demo glass zaterdag 17 november 01 A= m ω ω0 ω V =ωa 19

20 Gedwongen trillingen - resonantie() het faseverschil tussen de uitwijking van de massa en de aandrijfkracht als functie van de opgelegde pulsatie voor 3 wrijvingsconstantes b1 < b < b3 φ ( ) beginfase: faseverschil ( ω0 ω ) tan ϕ = γ ω 90 A weinig wrijving B wrijving C veel wrijving w de amplitude van de massa als functie van de opgelegde pulsatie voor 3 wrijvingsconstantes b1 < b < b3 amplitude A(m) 0,010 A -90 A weinig wrijving B wrijving C veel wrijving w0 0,009 0,008 de snelheid van de massa als functie van de opgelegde pulsatie voor 3 wrijvingsconstantes b1 < b < b3 ω (rad/s) pulsatie 0,1 snelheidv(m/s) 5Fo/k 0,007 A weinig wrijving B wrijving C veel wrijving w0 0,1 0,08 0,006 0,06 0,005 Fo/k 0,04 0,004 0,003 0,0 0,00 amplitude: A= 0 0,001 ω F0 m ω ω ω zaterdag 17 november snelheids-amplitude: 5 pulsatie ω (rad/s) 0 10 pulsatie ω (rad/s) 0,000 5 V= ω F0 m ω ω0 ω 0

21 Overzicht trilling bewegingsvergelijking bewegingsfunctie x(t) vrij gedempt dx +ω0 x=0 Acos (ω 0 t +ϕ 0 ) dx dx + γ +ω 0 x=0 A(t )cos (ω ' t +ϕ ' ) γ t amplitude A=c te A(t )=A0 e beginfase ϕ 0 =c te ϕ ' =c te ω0 ω ' = ω 0 γ pulsatie frequentie periode zaterdag 17 november 01 gedwongen (gedempt) d x dx F (t ) + γ +ω 0 x= m A( ω ) sin(ω t +ϕ ) A( ω )= F0 m ( γ ω )+( ω 0 ω ) ( ω ω 0 ) tg( ϕ )= γ ω ω = pulsatie van de aandrijfkracht f 0=ω 0 / π f ' =ω ' / π f =ω / π T 0=1/ f T ' =1/ f ' T =1/ f 0 1

22 Combinaties van 'loodrechte' harmonischen Gelijke frequenties: x t = Asin t y t =B sin t Het resultaat van de samengestelde trilling beschrijft de baan van een ellips: x y xy A B AB cos =sin Speciale gevallen: B x A B y= x A φ = 0: rechte in het 1e en 3e quadrant φ = π: rechte in het e en 4e quadrant φ = π/: ellips met hoofdassen XY, als A = B cirkel y= x y =1 A B φ = 3π/: idem maar andere omloopzin zaterdag 17 november 01

23 Combinaties van 'evenwijdige' harmonischen Gelijke frequenties: x 1 t = A1 sin t 1 x t = A sin t Het resultaat is opnieuw een beweging volgens de X-as met dezelfde frequentie namelijk x(t) = A sin( t+φ) met: A= A1 A A 1 A cos 1 tg = Speciale gevallen φ - φ1 = 0: in fase zaterdag 17 november 01 A1 sin 1 A sin A1 cos 1 A cos φ - φ1 = π: in tegenfase 3

24 Combinaties van 'loodrechte' harmonischen () Verschillende frequenties: x t = Asin 1 t 1 y t =B sin t Het resultaat van de samengestelde trilling beschrijft de baan van een Lissajous-figuur: Jules Antoine Lissajous ( ) zaterdag 17 november 01 4

25 Combinaties van 'evenwijdige' harmonischen () Weinig verschillende frequenties: x 1 t = A1 sin 1 t x t = A sin t Het resultaat is een amplitude gemoduleerde beweging volgens de X-as met een gemiddelde frequentie namelijk: x(t) = A(t) sin( t+φ(t)) waarbij: 1 = A t = A1 A A 1 A cos t A A1 t = 1 tg t = tg A A1 Speciaal geval A1=A=A: x(t) = A cos( t sin t Zwevingen: periodieke amplitude verandering zaterdag 17 november 01 Δf = ω ω1 π = f f 1 5