Platypus grafen: structuur en generatie

Transcriptie

1 THESIS Platypus grafen: structuur en generatie Auteur: Addie NEYT Promotoren: Dr. Jan GOEDGEBEUR Dr. Carol T. ZAMFIRESCU Masterproef voorgedragen tot het behalen van het diploma van Master in de wiskunde in de Faculteit wetenschappen Vakgroep Toegepaste Wiskunde, Informatica en Statistiek Academiejaar

2

3 iii Those who can imagine anything, can create the impossible. ALAN TURING

4

5 v Dankwoord Het schrijven van deze masterproef was een zeer leerrijk proces. Voor u verder leest wil ik graag enkele mensen bedanken. Zonder hun hulp was deze masterproef niet tot stand gekomen. In de eerste plaats wil ik mijn promotors J. Goedgebeur en C. Zamfirescu bedanken voor het voorstellen van dit boeiende onderwerp en voor de uitstekende en geduldige begeleiding. Steeds kon ik bij hen terecht voor vragen en verdere info. Ik wil ook mijn ouders bedanken omdat ze mij de mogelijkheid en steun gaven om wiskunde te studeren. Verder wil ik mijn vrienden bedanken, omdat ze mij motiveerden, steun gaven, maar vooral de nodige ontspanning boden. Tot slot wil ik ook mijn medestudenten bedanken met wie ik vele uren in de bib heb zitten werken voor de morele steun en gezellige middagpauzes.

6

7 vii Toelating tot bruikleen De auteur geeft de toelating deze masterproef voor consultatie beschikbaar te stellen en delen van de masterproef te kopiëren voor persoonlijk gebruik. Elk ander gebruik valt onder de beperkingen van het auteursrecht, in het bijzonder met betrekking tot de verplichting de bron uitdrukkelijk te vermelden bij het aanhalen van resultaten uit deze masterproef.

8

9 ix Inhoudsopgave 1 Inleiding Inleidende begrippen Hamiltoniaanse en niet hamiltoniaanse grafen Hamiltoniaanse grafen Hypohamiltoniaanse grafen Hypotraceerbare grafen Bijna hypohamiltoniaanse grafen Platypus grafen Theoretische resultaten van platypus grafen Inleiding Kubische platypus grafen Snarks en de stelling van Fiorini Planaire platypus grafen Planaire kubische platypus grafen Platypus met gegeven girth Platypus graaf met girth Platypus graaf met girth Platypus graaf met girth Platypus graaf met girth Planaire platypus grafen met gegeven girth De orde, grootte en maximale graad van een platypus graaf Tegenvoorbeeld voor het vervangen van een 3-oor door een 4-oor Genereren van platypus grafen Inleiding Obstructies Algoritme Resultaten Controle Discussie 45 A Summary 47 B Alle platypus grafen van orde 9 en B.1 Alle platypus grafen van orde B.2 Alle platypus grafen van orde

10 x C Lederberg-Bosák-Barnette graaf 53 D Girth 55 Bibliografie 57

11 xi Lijst van figuren 1.1 De platypus, een eileggend zoogdier De Herschel graaf, de kleinste niet hamiltoniaanse polyhedron De Coxeter graaf, de kleinste hypohamiltoniaanse graaf met girth De kleinste gekende hypotraceerbare graaf, de Thomassen graaf De kleinste gekende bijna hypohamiltoniaanse graaf zowel van orde als grootte, wordt verkregen door nog de boog vw te verwijderen [12]. De bijzonder top is gemarkeerd als w Schematische voorstelling van de relaties tussen de verschillende families grafen Voorbeeld van het cartesiaans product van twee grafen De kleinste (zowel in orde als grootte) platypus graaf T Twee tekeningen van de Petersen graaf, P Tietze graaf, T Transformatie voor het genereren van kubische platypus grafen Het dot product Veelvlakkige platypus graaf van orde A, een veelvlakkige platypus graaf met 24 toppen In elk diagram, vervang de donkere toppen door de deelgraaf, Tutte-fragment genaamd De Lederberg-Bosák-Barnette graaf met links een hamiltoniaans pad aangeduid, en rechts alle toppen met een cirkel rond zullen na verwijdering een hamiltoniaanse cykel bevatten de andere een hamiltoniaans pad De gegeneraliseerde Petersen graaf GP (7, 3) en de Petersen prism P P (7, 3) Een planaire platypus graaf met girth Platypus graaf met girth Platypus graaf met girth Platypus graaf met girth Platypus graaf met girth We vervangen in de linker graaf die een platypus graaf is een 3-oor door een 4-oor, de resulterende rechtse graaf is geen platypus graaf De kleinste platypus graaf met girth 4, van orde De kleinste platypus graaf met girth 5, van orde De kleinste platypus graaf met girth 6, van orde De kleinste platypus graaf met girth 7, van orde De kleinste platypus graaf met girth 8, van orde D.1 Hamiltoniaanse paden voor een platypus graaf met girth D.2 Hamiltoniaanse paden voor een platypus graaf met girth

12 xii D.3 Hamiltoniaanse paden voor een platypus graaf met girth D.4 Hamiltoniaanse paden voor een platypus graaf met girth

13 xiii Lijst van tabellen 4.1 Het aantal platypus grafen voor een gegeven orde en de generatie tijdmetingen Het aantal platypus grafen. De kolommen met hoofding g k bevatten het aantal platypus grafen met girth minstend k Het aantal keer de gegenereerde grafen door P de verschillende obstructies bevatten De tijdmetingen van het genereren van platypus grafen met gegeven girth, voor de hoogst gegenereerde orde Het aantal niet isomorfe grafen, niet hamiltoniaanse grafen en grafen bekeken door het algoritme P. In de laatste kolom staat tussen haakjes het procent van grafen die bekeken worden door P t.o.v. het aantal niet hamiltoniaanse grafen Bovengrenzen voor de ordes voor de kleinste platypus grafen met gegeven girth, alleen de onderlijnde grenzen zijn ook optimaal A.1 The number of platypuses with given order A.2 Upper bounds for the orders of the smallest platypus with given girth, the values that are underlined are optimal

14

15 1 Hoofdstuk 1 Inleiding We bestuderen in deze thesis de platypus graaf, een niet hamiltoniaanse graaf waarvoor G v voor elke top v in G traceerbaar is. Deze graaf is vernoemd naar het vogelbekdier (engels: platypus), zie Figuur 1.1. Hiervoor hebben we eerst gekeken naar gerelateerde grafen zoals hypohamiltoniaanse en hypotraceerbare grafen om zo interessante resultaten van deze familie grafen ook te vinden voor de platypus graaf. We hebben ook gekeken naar kubische platypus grafen, planaire platypus grafen, en platypus grafen met gegeven girth. Daarnaast hebben we een algoritme geschreven om alle platypus grafen te genereren voor een gegeven orde. Het algoritme kan alle platypus grafen genereren voor een orde tot en met 12, en nog enkele ordes verder als er restricties worden opgelegd voor de girth. In dit eerste hoofdstuk geven we een korte samenvatting van de basis definities binnen de grafentheorie die doorheen de volgende hoofdstukken gebruikt zullen worden. In het tweede hoofdstuk bespreken we bepaalde gekende resultaten over hamiltoniaanse en niet hamiltoniaanse grafen uit de literatuur. We bespreken ook telkens kort de gekende verbanden tussen deze niet hamiltoniaanse grafen en platypus grafen. In het derde hoofdstuk bewijzen we enkele nieuwe resultaten over platypus grafen. In het vierde hoofdstuk bespreken we het generatie algoritme voor alle niet isomorfe platypus grafen met een gegeven orde. We bespreken ook de resultaten die we bekomen door het uitvoeren van het generatie algoritme. Het vijfde hoofdstuk, ten slotte, is gewijd aan bedenkingen om nog een stap verder te gaan in de zoektocht naar platypus grafen. Enkele zaken die ik niet verder kon bestuderen, maar die zeker nog interessant zijn om verder uit te zoeken. FIGUUR 1.1: De platypus, een eileggend zoogdier.

16 2 Hoofdstuk 1. Inleiding 1.1 Inleidende begrippen In deze thesis bestaat een graaf G uit twee eindige verzamelingen, V (G) en E(G). De elementen van de verzameling V (G) noemen we de toppen en de elementen van E(G), bogen genaamd, zijn ongeordende paren van toppen. We noteren een graaf als G = (V (G), E(G)), en V (G) is de orde van de graaf waarbij V (G) de cardinaliteit van de verzameling V (G) aangeeft, dat is het aantal elementen in V (G). De grootte van de graaf is gelijk aan E(G). Gegeven twee toppen u, v V (G), we noemen deze adjacent als uv E(G). Als een boog e een top v als eindtop heeft, dan zeggen we dat v incident is met e. De omgeving van een top v, genoteerd als N(v), is de verzameling van toppen adjacent aan v. De graad van een top v, genoteerd als deg(v), zijn het aantal bogen incident met v. We kunnen dan de maximale graad (G) en de minimale graad δ(g) als volgt definiëren: (G) = max{deg(v) v V (G)}, δ(g) = min{deg(v) v V (G)}. Een top v is kubisch als deg(v) = 3. Een graaf G is kubisch als al zijn toppen kubisch zijn. Een reguliere graaf is een graaf waarbij alle toppen dezelfde graad hebben. Een pad in een graaf G is een rij van paarsgewijs verschillende toppen v 1, v 2,..., v k zodat v i v i+1 E(G), voor i = 1,..., k 1. We noemen een pad een cykel als ook v 1 v k E(G). We noteren P k (C k ) voor een pad (cykel) met k toppen, waarbij k 1(k) de lengte is van het pad (cykel). De girth van een graaf is de lengte van de kortste cykel bevat in de graaf. We noemen een graaf samenhangend als elke twee toppen verbonden zijn door een pad. Het complement Ḡ van een graaf G is een graaf die dezelfde toppenverzameling heeft als G, en waarbij twee toppen adjacent zijn als en slechts als ze niet adjacent zijn in de oorspronkelijke graaf G. We introduceren ook twee operaties op grafen: top verwijdering en boog verwijdering. Gegeven een graaf G en een top v V (G), dan is G v de graaf verkregen door de top v te verwijderen en alle bogen incident met v te verwijderen. Als e een boog is van de graaf G, dan is G e de graaf verkregen door enkel de boog e te verwijderen, en geen enkele top te verwijderen. Als een graaf niet samenhangend is, dan noemen we maximale samenhangende delen van de graaf, de samenhangscomponenten. Als de verwijdering van een top v van G ervoor zorgt dat we meer samenhangscomponenten verkrijgen, dan noemen we deze top een cut top. Een verzameling van toppen noemen we een cut, als de verwijdering van deze toppen resulteert in meerdere samenhangscomponenten. Analoog voor de bogen noemen we een boog e een brug als de graaf G e twee of meer samenhangscomponenten heeft. Tenzij anders vermeld, zijn alle grafen in deze thesis eindig, samenhangend, simpel (dus geen dubbele bogen of lussen) en niet gericht. Een graaf is k-samenhangend als minstens k + 1 toppen moeten verwijderd worden om meer samenhangscomponenten te verkrijgen. Als we stellen dat deze samenhangscomponenten niet triviaal (een geïsoleerde top of boog) mogen zijn, is de graaf cyclisch k-samenhangend. We noemen een pad P G met minstens 3 toppen en met eindtoppen v, w een oor als {v, w} een cut is in G en elke top in V (P ) \ {v, w} graad 2 heeft in G. Een oor met k toppen noemen we een k-oor. Verder zullen we stellen dat een oor nooit deel is van een oor met meer toppen, dat wil zeggen dat voor elk oor P bestaat er geen oor P zodat P P. We noemen een graaf planair als ze zodanig kan getekend worden in het vlak zodat geen twee bogen kruisen.

17 1.1. Inleidende begrippen 3 Een graaf is hamiltoniaans als het een hamiltoniaanse cykel bevat, een cykel dat alle toppen bevat. Een graaf is traceerbaar als het een hamiltoniaans pad bevat, een pad dat alle toppen bevat. Een graaf is hypohamiltoniaans (hypotraceerbaar) als de graaf zelf niet hamiltoniaans (niet traceerbaar) is, maar voor elke top v in G de graaf G v wel hamiltoniaans (traceerbaar) is. Een bijna hypohamiltoniaanse graaf is een niet hamiltoniaanse graaf, waarvoor er een top w bestaat zodat de graaf G w nog steeds niet hamiltoniaans is, en voor elke top v in G verschillend van w de graaf G v wel hamiltoniaans is. Deze top w noemen we de buitengewone top van G. Een platypus graaf is een graaf G die niet hamiltoniaans is, en waarvoor geldt dat G v traceerbaar is voor elke v V (G). De platypus graaf is een combinatie van hypohamiltoniaans en hypotraceerbaar. De graaf is niet hamiltoniaans zoals hypohamiltoniaanse grafen en voor elke top v in G is de graaf G v traceerbaar zoals hypotraceerbare grafen. Zo is het vogelbekdier ook een combinatie van twee interessante eigenschappen, namelijk het legt eieren, maar is een zoogdier. Voor niet vermelde definities verwijzen we naar [7].

18

19 5 Hoofdstuk 2 Hamiltoniaanse en niet hamiltoniaanse grafen 2.1 Hamiltoniaanse grafen Het vinden van hamiltoniaanse cykels in een graaf komt van een wiskundige puzzel (de icosian game) uitgevonden door W.R. Hamilton in Deze puzzel bestond uit het zoeken naar een hamiltoniaanse cykel op een dodecaëder. Het kwam later terug in het optimalisatie probleem, het handelsreiziger probleem. Hier moet een handelsreiziger verschillende steden bezoeken, en wordt er gezocht naar een route waarbij hij alle steden bezoekt en nooit tweemaal in dezelfde stad moet passeren. Bijna tegelijkertijd werden hamiltoniaanse cykels bestudeerd in een grotere klasse polyhedra (zo noemen we hier 3-samenhangende planaire grafen). Thomas Kirkman gaf een voorbeeld van een polyhedron zonder hamiltoniaanse cykels. FIGUUR 2.1: De Herschel graaf, de kleinste niet hamiltoniaanse polyhedron 2.2 Hypohamiltoniaanse grafen Hypohamiltoniaanse grafen werden voor het eerst bestudeerd in 1963 door Sousselier [23]. In 1973 bewees Chvátal [5] dat er hypohamiltoniaanse grafen bestaan met p toppen voor alle p 13, behalve p = 14, 17, 19, 20, 25. Later bewees Thomassen [25] dat er ook hypohamiltoniaanse grafen met p toppen bestaan voor p = 20 en p = 25. Daarna toonden Aldred, McKay en Wormald aan dat er geen hypohamiltoniaanse graaf bestaat met 17 toppen [1]. Doyen en Van Diest [8] hebben hypohamiltoniaanse grafen met 3k + 1 toppen geconstrueerd voor alle k 3,

20 6 Hoofdstuk 2. Hamiltoniaanse en niet hamiltoniaanse grafen FIGUUR 2.2: De Coxeter graaf, de kleinste hypohamiltoniaanse graaf met girth 7. en vonden zo een hypohamiltoniaanse graaf van orde t.e.m. 19. Later genereerden Goedgebeur en Zamfirescu [11] alle hypohamiltoniaanse grafen van orde 19. We weten nu dat voor p 18 er een hypohamiltoniaanse graaf bestaat van orde p. Aldred, McKay en Wormald gaven ook een volledige lijst van alle hypohamiltoniaanse grafen met maximum 17 toppen. Dit zijn er zeven, namelijk exact één graaf van orde 10 (de Petersen graaf, zie Figuur 3.3), één graaf van orde 13, één graaf van orde 15, en vier grafen van orde 16 [15]. In [11] bespreken Goedgebeur en Zamfirescu toevoegingen voor het algoritme van Aldred, McKay en Wormald en konden zo hypohamiltoniaanse grafen tot en met orde 19 genereren. Ze gingen ook nog enkele stappen verder voor hypohamiltoniaanse grafen met een gegeven ondergrens voor de girth. Zo vonden ze dat de kleinste hypohamiltoniaanse graaf met girth 6 orde 25 heeft en met girth 7 de Coxeter graaf (zie Figuur 2.2 ) is die orde 28 heeft. Voor planaire hypohamiltoniaanse grafen [18] is geweten dat ze bestaan voor alle ordes groter dan of gelijk aan 42. Jooyandeh, McKay, Östergård, Pettersson en Zamfirescu [18] vonden bovendien 25 planaire hypohamiltoniaanse grafen van orde 40, die tot nu toe de kleinste gekenden zijn. Goedgebeur en Zamfirescu konden met hun algoritme voor het genereren van alle hypohamiltoniaanse grafen [11] ook de ondergrenzen voor de ordes van planaire hypohamiltoniaanse grafen verbeteren. Stelling 1 (Jooyandeh, McKay, Östergård, Pettersson en Zamfirescu [18], Goedgebeur en Zamfirescu [11]). h (h g ) stelt de orde van de kleinste planaire hypohamiltoniaanse graaf (met girth g) voor. We hebben dan dat het volgende geldt. 23 h 40, 23 h 3 240, 25 h 4 40 en h 5 = 45. Voor kubische planaire hypohamiltoniaanse grafen bewezen Araya en Wiener [2] dat deze bestaan voor orde n, voor alle even n 86 en voor orde 70. Deze van orde 70 is de kleinste tot nu toe gekende en heeft girth 4. McKay [20] toonde later ook nog aan dat de kleinste met girth 5 van orde 76 is. Hieruit volgt er dat de kleinste kubische planaire hypohamiltoniaanse graaf girth 4 zal hebben. Goedgebeur en Zamfirescu [11] genereerden alle kubische planaire cyclisch 4-samenhangende grafen met girth 4 tot en met orde 52 en testten deze op hypohamiltoniciteit. Geen enkele van deze grafen was hypohamiltoniaans, wat leidt tot het volgende. Ze maakten hier gebruik van het feit dat alle kubische hypohamiltoniaanse grafen cyclisch 4- boog-samenhangend zijn en merkten op dat dergelijke grafen geen driehoek kunnen bevatten.

21 2.3. Hypotraceerbare grafen 7 Stelling 2 (Araya en Wiener [2], Goedgebeur en Zamfirescu [11]). De kleinste kubische planaire hypohamiltoniaanse graaf heeft girth 4, en minstens 54 en maximum 70 toppen. Aangezien een hamiltoniaanse cykel een hamiltoniaans pad bevat, zijn alle hypohamiltoniaanse grafen ook platypus grafen. Zamfirescu bewees ook dat we een platypus graaf kunnen construeren uit een hypohamiltoniaanse graaf door een willekeurige boog te verwijderen [30]. We kunnen dit toepassen op een kubische hypohamiltoniaanse graaf en vinden dan een platypus graaf die twee toppen van orde 2 bevat en dus zeker geen hypohamiltoniaanse graaf meer is. Aangezien er oneindig veel kubische hypohamiltoniaanse grafen bestaan, bestaan er ook oneindig veel platypus grafen die niet hypohamiltoniaans zijn. De familie van platypus grafen bevat de hypohamiltoniaanse grafen, maar valt er niet mee samen. 2.3 Hypotraceerbare grafen Voor hypotraceerbare grafen is er minder gekend, en liggen de ordes voor de gekende grafen een stuk hoger dan voor hypohamiltoniaanse grafen. Thomassen toonde aan in [24] dat voor p = 34, 37, 39, 40 en p 42 er hypotraceerbare grafen bestaan van orde p. In een graaf G kunnen we twee toppen x en y identificiëren in een nieuwe top z door de toppen x en y te verwijderen en z toe te voegen. Vervolgens zullen alle toppen die adjacent waren met x of y, verbonden worden met z, dubbele bogen worden hierbij verwijderd. Thomassen vond deze hypotraceerbare grafen aan de hand van volgende operatie. Stel dat G 1, G 2, G 3 en G 4 disjuncte hypohamiltoniaanse grafen zijn. Stel bovendien dat voor i = 1, 2, 3, 4, G i een kubische top x i bevat. Noem yi 1, y2 i, y3 i de toppen adjacent aan x i. We stellen dan H i = G i x i, vervolgens identificiëren we de toppen y1 3, y3 2 in een top z 1 en de toppen y3 3, y3 4 in een top z 2. We krijgen dan een hypotraceerbare graaf ( 4 H = V (H i yi 3 ) {z 1, z 2 }, i=1 ) 4 E(H i ) {y1y 1 3, 1 y1y 2 3, 2 y2y 1 4, 1 y2y 2 4} 2 i=1 De kleinste graaf die zo kan gemaakt worden bevat 34 toppen, en wordt bekomen door vier kopieën van de Petersen graaf te nemen. Deze graaf is te zien op Figuur 2.3. Later vond Thomassen in [26] ook nog een hypotraceerbare graaf van de orde 41. Buiten de grafen van Thomassen zijn er geen hypotraceerbare grafen gekend. De platypus grafen hebben minder strenge voorwaarden dan de hypotraceerbare graaf, wat ze zo interessant maken om te bekijken. Deze actie bewaart ook de planariteit wanneer uitgevoerd op vier planaire hypohamiltoniaanse grafen. Voor de volgende stelling gebruiken we de existentie van planaire hypohamiltoniaanse grafen van orde 40 en van orde n voor alle n 42, zie [18]. Stelling 3 (Jooyandeh, McKay, Östergård, Pettersson en Zamfirescu [18]). Er bestaat een planaire hypotraceerbare graaf met 154 toppen, en met n toppen voor elke n 156. Met een andere techniek kan de volgende stelling bewezen worden. Stelling 4 (Araya en Wiener [2]). Er bestaat een kubische planaire hypotraceerbare graaf met 340 toppen en met n toppen voor alle even n 356.

22 8 Hoofdstuk 2. Hamiltoniaanse en niet hamiltoniaanse grafen FIGUUR 2.3: De kleinste gekende hypotraceerbare graaf, de Thomassen graaf. De hypotraceerbare grafen vallen samen met alle niet-traceerbare platypus grafen. Zamfirescu bewees in [30] ook dat we uit een hypotraceerbare graaf platypus grafen kunnen construeren door twee niet-adjacente toppen te verbinden. Natuurlijk zijn hypotraceerbare grafen zelf ook platypus grafen. 2.4 Bijna hypohamiltoniaanse grafen Zamfirescu bewees volgend plaklemma om twee hypohamiltoniaanse grafen te transformeren in een bijna hypohamiltoniaanse graaf. Lemma 1 (Zamfirescu [29]). Stel G en H twee hypohamiltoniaanse grafen met kubische toppen w V (G) en w V (H), en stel u, v N(w) en u, v N(w ). We identificieren vervolgens u met u, v met v en w met w. We verkrijgen zo een bijna hypohamiltoniaanse graaf Γ met bijzondere top w = w. Bovendien geldt er dat Γ planair is als G en H planair zijn. De kleinste gekende bijna hypohamiltoniaanse graaf heeft orde 17 en word verkregen door bovenstaand lemma toe te passen op twee kopieën van de Petersen graaf, zie Figuur 2.4. Voor het bestaan van bijna hypohamiltoniaanse grafen, hebben we volgende stelling. Lemma 2 (Goedgebeur en Zamfirescu [12]). Er bestaat een bijna hypohamiltoniaanse graaf van orde n voor elke n 17. De kleinste bijna hypohamiltoniaanse graaf van girth 4 (girth 5) heeft orde 18 (orde 17).

23 2.4. Bijna hypohamiltoniaanse grafen 9 FIGUUR 2.4: De kleinste gekende bijna hypohamiltoniaanse graaf zowel van orde als grootte, wordt verkregen door nog de boog vw te verwijderen [12]. De bijzonder top is gemarkeerd als w. Er zijn geen bijna hypohamiltoniaanse grafen gekend met een girth verschillend van 4 of 5. Goedgebeur en Zamfirescu voegden aan hun programma voor het generen van hypohamiltoniaanse grafen, ook het genereren van bijna hypohamiltoniaanse grafen toe. Stelling 5 (Goedgebeur en Zamfirescu [12]). Er bestaat een planaire bijna hypohamiltoniaanse graaf van orde k voor elke k 0, en van de orde n voor elke n 73. Wiener [28] heeft de existentie van een planaire bijna hypohamiltoniaanse graaf van orde 31 bewezen. Hij bewees ook onafhankelijk van Goedgebeur en Zamfirescu de existentie voor orde 36. We hebben gezien dat bijna hypohamiltoniaanse grafen kunnen geconstrueerd worden uit twee hypohamiltoniaanse grafen, maar ook het omgekeerde geldt. We kunnen twee bijna hypohamiltoniaanse grafen transformeren naar een hypohamiltoniaanse graaf. Stelling 6 (Zamfirescu [29]). Beschouw twee bijna hypohamiltoniaanse grafen G, H met kubische bijzondere toppen w en w, respectievelijk. Noteer G w = G w en H w = H w, dan is G w H w, gevormd door de toppen in N(w) te identificieren met de toppen in N(w ) aan de hand van een bijectie, een hypohamiltoniaanse graaf, die bovendien planair is als G en H planair zijn. Zamfirescu bewees in [30] dat een bijna hypohamiltoniaanse graaf G zonder zijn bijzondere top een platypus graaf is. Hij keek ook nog verder naar bijna hypohamiltoniaanse platypus grafen en bijna hypohamiltoniaanse grafen die geen platypus grafen zijn. Stel G een graaf die een 4-cykel v 1 v 2 v 3 v 4 v 1 = C bevat. De graaf verkregen door het verwijderen van de bogen v 1 v 2 en v 3 v 4 en het toevoegen van de 4-cykel v 1 v 2 v 3 v 4 v 1 disjunct met G en de bogen v i v i, 1 i 4, noteren we met T h(g C). Deze operatie, de Thomassen operatie, werd het eerst ingevoerd door Thomassen [27] om aan te tonen dat er oneindig veel planaire kubische hypohamiltoniaanse grafen bestaan. Een bijna hypohamiltoniaanse graaf G is altijd traceerbaar, aangezien voor elke top v die niet de bijzondere top is, de graaf G v hamiltoniaans is en dus is G traceerbaar. Er is wel nog een opsplitsing of de graaf G w al dan niet traceerbaar is voor w de bijzondere top van een bijna hypohamiltoniaanse graaf G. Stel dat G bijna hypohamiltoniaans is met bijzondere top w. In [29] besprak Zamfirescu een bijna hypohamiltoniaanse graaf waarvoor G w traceerbaar is en die een 4-cykel bevatte. Na

24 10 Hoofdstuk 2. Hamiltoniaanse en niet hamiltoniaanse grafen het toepassen van de Thomassen operatie T h( ) op deze graaf vinden we opnieuw een bijna hypohamiltoniaanse graaf met 4-cykel. Als we dit verder zetten vinden we dat er oneindig veel bijna hypohamiltoniaanse platypus grafen bestaan. Stel H een hypotraceerbare graaf en w / V (H). We construeren een graaf G door w te verbinden met alle toppen van H. G is dan een bijna hypohamiltoniaanse graaf met bijzondere top w en waarvoor G w niet traceerbaar is. Aangezien er oneindig veel hypotraceerbare grafen bestaan volgt hieruit dat er oneindig veel bijna hypohamiltoniaanse grafen bestaan die geen platypus grafen zijn. Als laatste bestaan er ook platypus grafen die niet bijna hypohamiltoniaans zijn, neem bijvoorbeeld een hypotraceerbare graaf. Dit aangezien een bijna hypohamiltoniaanse graaf traceerbaar is en dus nooit hypotraceerbaar kan zijn. 2.5 Platypus grafen De platypus graaf is gedefinieerd door Zamfirescu in [30]. In deze paper bewijst hij enkele stellingen over de platypus grafen en verbanden met andere families van grafen. We bespreken later nog enkele stellingen meer in detail wanneer we deze nodig hebben om nieuwe resultaten te bewijzen. Over het genereren van platypus grafen, is er volgend resultaat. Stelling 7 (Van Cleemput en Zamfirescu [Corollary 2.7, [30] ). ] Er bestaat een platypus graaf van orde n voor elke n 9, er bestaan geen platypus grafen met minder toppen, en er bestaan exact vier platypus grafen met 9 toppen. Het doel van deze thesis is om zowel platypus grafen te generen voor hogere orde, en om nog enkele theoretische resultaten te zoeken en te bewijzen over de platypus graaf. In [30] legde Zamfirescu verbanden tussen de platypus grafen en de families hypohamiltoniaanse en hypotraceerbare grafen die in de vorige delen al aan bod kwamen. We kunnen deze relaties ook schematisch voorstellen, zie Figuur 2.5. Hij legde ook verbanden met de families l-blad-kritische en l-blad-stabiele grafen. Stel G een graaf en T (G) de set van alle opspannende bogen van G. Duid met l(t ) het aantal bladeren aan van een boom T. het minimaal blad getal ml(g) van een mogelijk niet samenhangende graaf G wordt als volgt gedefinieerd als G niet samenhangend is, ml(g) = min l(t ) als G samenhangend is en niet hamiltoniaans, T T (G) 1 als G hamiltoniaans is. Beschouw een getal l 2. Een graaf G met ml(g) = l noemt l-blad-kritisch als ml(g v) = l 1 voor elke v V (G), en l-blad-stabiel als ml(g v) = l voor elke v V (G). De familie van alle 2-blad-kritische grafen (3-blad-kritische grafen) vallen samen met de familie van alle hypohamiltoniaanse (hypotraceerbare) grafen. Voor een platypus graaf G hebben we dat ml(g) {2, 3}. ml(g) = 2 als en slechts als G traceerbaar is en ml(g) = 3 als en slechts als G hypotraceerbaar is. Verder is ml(g) {1, 2} en hangt af van v V (G). We hebben dat de familie platypus grafen, 2-blad-kritische, 3-blad-kritische en 2-blad-stabiele grafen. Verder bevat het geen enkele andere blad-kritische of blad-stabiele grafen. Er bestaan echter ook platypus grafen die niet tot de drie bovenvernoemde families behoren.

25 2.5. Platypus grafen 11 Zamfirescu bewees dat er een k-samenhangende platypus graaf voor elke k 2 bestaat [30], een eigenschap die voor hypohamiltoniaanse grafen nog niet geweten is. FIGUUR 2.5: Schematische voorstelling van de relaties tussen de verschillende families grafen.

26

27 13 Hoofdstuk 3 Theoretische resultaten van platypus grafen 3.1 Inleiding Uit het vorige hoofdstuk weten we dat alle hypohamiltoniaanse en alle hypotraceerbare grafen ook platypus grafen zijn, maar dat er ook platypus grafen bestaan die zowel niet hypohamiltoniaans als niet hypotraceerbaar zijn. We onderzoeken in dit hoofdstuk enkele theoretische eigenschappen van de platypus graaf. We bespreken hier eerst de dotted prism en modified dotted prism, twee operaties ingevoerd door Zamfirescu [30] om platypus grafen te construeren uit hamiltoniaanse grafen. We zullen een actie bespreken om een oneindige familie kubische platypus grafen te genereren. We kijken of we twee platypus grafen kunnen transformeren in een nieuwe platypus graaf. Verder bespreken we ook nog planaire platypus grafen en grafen met girth tot 12. We eindigen met een negatief antwoord voor een vraag aangehaald door Zamfirescu in [30]. Het cartesiaans product G H van twee grafen G en H, is een graaf zodat het volgende geldt: 1. De toppenverzameling van G H is het cartesiaans product V (G) V (H) en 2. elke twee toppen (u, u ) en (v, v ) zijn adjacent in G H met u, v V (G) en u, v V (H) als en slechts als u = v en u adjacent is met v in H, of u = v en u adjacent is met v in G. FIGUUR 3.1: Voorbeeld van het cartesiaans product van twee grafen. Stel G een graaf, beschouw het cartesiaans product G P 2, en vervang vervolgens elke kopie van P 2 door P 3. De resulterende graaf word de dotted prism over G genoemd, en genoteerd met Ġ.

28 14 Hoofdstuk 3. Theoretische resultaten van platypus grafen Lemma 3 (Zamfirescu [30]). De dotted prism over een hamiltoniaanse graaf G van oneven orde n 3 is een platypus graaf. Stel G een hamiltoniaanse graaf van even orde die een boog e bevat die voorkomt in alle hamiltoniaanse cykels die voorkomen in G. Stel v w = e en v w = e de twee kopieën van e in Ġ. Dan noemen we H = (Ġ e e )+v w +v w de modified dotted prism van G, en noteren dit met G. Zamfirescu bewees in [30] dat de modified dotted prism een platypus graaf is. Lemma 4 (Zamfirescu [30]). Beschouw G Ċk 3,k oneven C k 4,k even. Als we in G exact l 3-oren vervangen door 4-oren, 0 l k, dan is de resulterende graaf een platypus graaf. Lemma 5 (Zamfirescu [30]). Stel G een platypus graaf die een k-oor bevat P, met k {3, 4}. Dan geldt voor elke twee niet adjacente toppen v, w V (P ), dat de graaf G + vw een platypus graaf is. FIGUUR 3.2: De kleinste (zowel in orde als grootte) platypus graaf T. Van Cleemput en Zamfirescu bewezen dat er een platypus graaf bestaat voor elke orde n 9. Met de computer werd er bepaald dat er geen platypus grafen bestaan met orde kleiner dan 9. Uit bovenstaande lemma s volgt er dat de kleinste platypus graaf in orde en aantal bogen de dotted prism over een driehoek is. We noemen deze graaf T, en deze is te zien in Figuur 3.2. We kunnen het vierde lemma toepassen op één, twee of drie van de 3-oren van T. We krijgen zo exact 4 platypus grafen van orde 9. Van Cleemput en Zamfirescu bewezen dat dit bovendien de enigste platypus grafen van orde 9 zijn [30]. Over orde 10 wist men nog niet hoeveel er bestonden, wel dat het er meer dan 40 zijn. Met het generatie algoritme dat we later in hoofdstuk 3 zullen bespreken, vinden we dat er exact 48 platypus grafen bestaan van orde 10. Er zijn 814 platypus grafen van orde 11 en maar liefst platypus grafen van orde 12. Als we extra restricties opleggen voor de girth geraken we zelfs nog enkele ordes verder. De platypus grafen van hogere orde stijgen snel in aantal. Om theoretische eigenschappen van de platypus graaf te onderzoeken leggen we onder andere verbanden met traceerbare, kubische en planaire grafen. 3.2 Kubische platypus grafen Een maximaal niet-hamiltoniaanse graaf (maximally nonhamiltonian graph) [6] is een niet hamiltoniaanse graaf G waarvoor de graaf G + e hamiltoniaans is voor elke boog e in het complement Ḡ van G. Dit is equivalent met een niet hamiltoniaanse graaf waarvoor elke twee niet adjacente toppen eindpunten zijn van een hamiltoniaans pad.

29 3.2. Kubische platypus grafen 15 Voorbeelden hiervan zijn de Petersen graaf en de Tietze graaf [6], zie Figuur 3.3 en 3.4 respectievelijk. FIGUUR 3.3: Twee tekeningen van de Petersen graaf, P FIGUUR 3.4: Tietze graaf, T Stelling 8 (Zamfirescu [30]). Een maximaal niet-hamiltoniaanse graaf G is een platypus graaf als en slechts als (G) < V (G) 1. v 3 v 3 v 1 v 2 v 1 v 1 v 2 v 2 FIGUUR 3.5: Transformatie voor het genereren van kubische platypus grafen.

30 16 Hoofdstuk 3. Theoretische resultaten van platypus grafen Stelling 9. Stel G een kubische platypus graaf die een driehoek v 1 v 2 v 3 bevat. Beschouw G = G {v 1 v 3, v 2 v 3 } en de toppen v 1, v 2 / V (G). Dan is de graaf D(G) = (V (G) {v 1, v 2}, E(G ) {v 1 v 1, v 2 v 2, v 1v 2, v 1v 3, v 2v 3 }) ook een kubische platypus graaf. Als G planair is, dan is ook D(G) planair. Bewijs. Op Figuur 3.5 is duidelijk te zien dat deze actie het kubisch zijn van de graaf bewaart. We bewijzen nu dat de resulterende graaf ook een platypus graaf is. Hiervoor bewijzen we eerst dat D(G) nog steeds niet hamiltoniaans is. Stel dat dit wel het geval is dan bevat D(G) een hamiltoniaanse cykel c. Dan zal de cykel c het pad bestaande uit de vijf toppen {v 1, v 2, v 3, v 1, v 2 } bevatten. Dit pad zal (behalve symmetrische gevallen) v 1 v 2 v 2 v 1 v 3 of v 1 v 1 v 3v 2 v 2 zijn. We kunnen dit pad vervolgens vervangen door v 1 v 2 v 3 of v 1 v 3 v 2 in G en krijgen zo een hamiltoniaanse cykel in G, een tegenstrijdigheid. Vervolgens moeten we nog bewijzen dat voor elke top v V (D(G)) de graaf D(G) v een hamiltoniaans pad bevat. We kijken hiervoor naar de verschillende mogelijkheden voor v en zien G {v 1 v 3, v 2 v 3 } als deelgraaf van D(G): Stel v = v 1, een top uit de driehoek. Aangezien G een platypus graaf is, bevat G v 1 een hamiltoniaans pad p. Door het kubisch zijn van de graaf zal dit pad de boog v 2 v 3 bevatten. Moesten v 2 en v 3 de eindpunten zijn van het hamiltoniaans pad p, dan zal p+v 2 v 1 v 3 een hamiltoniaanse cykel zijn in G wat een tegenstrijdigheid geeft. We kunnen aan de hand van Figuur 3.5 zien dat (p v 2 v 3 ) + v 2 v 2 v 1 v 3 een hamiltoniaans pad is in D(G) v 1. Analoog voor v = v 2. Voor v = v 3, kijken we naar het hamiltoniaans pad p in G v 3. Dit bevat volgens dezelfde redenering als hierboven de boog v 1 v 2. We krijgen dan het hamiltoniaans pad (p v 1 v 2 ) + v 1 v 1 v 2 v 2 in D(G) v 3. Stel v = v 2, een nieuw toegevoegde top. Aangezien G een platypus graaf is, hebben we opnieuw dat G v 1 een hamiltoniaans pad p bevat. We vinden zo dergelijk een hamiltoniaans pad (p v 2 v 3 ) + v 2 v 1 v 1 v 3 voor D(G) v 2. Analoog voor v = v 1. Stel v V (G), met v / {v 1, v 2, v 3 }. Aangezien G een platypus graaf is, hebben we opnieuw dat G v een hamiltoniaans pad p bevat. Dit pad kan beginnen of eindigen met een top uit {v 1, v 2, v 3 }. Stel dat p eindigt in v 3, dan krijgen we het hamiltoniaanse pad p + v 3 v 2 v 1 in D(G) v. Analoog als p eindigt in v 1 of v 2. Als p niet begint of eindigt met een top uit {v 1, v 2, v 3 }, dan zal het als deelpad het pad hebben bestaande uit deze drie toppen (stel v 1 v 2 v 3 ). We krijgen dan een hamiltoniaans pad (p v 1 v 2 v 3 ) + v 1 v 2 v 2 v 1 v 3 in D(G) v. Analoog voor een andere volgorde van de toppen (v 1, v 2, v 3 ). Aan de hand van bovenstaande stelling kunnen we nu het volgende bewijzen: Stelling 10. Er bestaat een kubische platypus graaf van orde n als en slechts als n even en n 10. De kleinste kubische platypus graaf is de Petersen graaf. Bewijs. Voor n = 10 hebben we de Petersen graaf en voor n = 12 hebben we de Tietze graaf. Deze zijn beide kubische maximaal niet-hamiltoniaanse grafen [6] met (G) < V (G) 1 en dus volgt uit Stelling 8 dat dit platypus grafen zijn. Op Figuur 3.4 is te zien dat de Tietze graaf een kubische graaf is die een driehoek bevat. We kunnen dus de hierboven gedefinieerde actie toepassen. We krijgen dan een graaf waarvan de orde 2 groter is. Op Figuur 3.5 is ook te

31 3.2. Kubische platypus grafen 17 zien dat deze nieuwe graaf opnieuw een driehoek v 1 v 2 v 3 bevat. We kunnen onze actie blijven herhalen en zo dus voor elke even orde een kubische platypus graaf vinden. Deze ondergrens van 10 is scherp, aangezien de kleinste platypus graaf 9 toppen bevat, zie Stelling 7. We krijgen dan uit vorige stellingen een oneindige familie van kubische platypus grafen, namelijk P D k (T ) voor alle k 0, en waarbij D 0 (T ) = T is. In Figuur 3.3 en Figuur 3.4 is te zien dat we de Tietze graaf verkrijgen uit de Petersen graaf door de middelste kubische top te vervangen door een driehoek. We zouden zo een simpelere actie kunnen invoeren dan deze besproken in Stelling 9, spijtig genoeg werkt deze actie niet voor alle platypus grafen. Voor niet traceerbare platypus grafen kunnen we bewijzen dat het vervangen door een kubische top door een driehoek resulteert in een graaf die geen platypus graaf is. We definiëren deze actie als volgt. Stel G een graaf die een kubische top x bevat. Stel N(x) = {x 1, x 2, x 3 } en beschouw G = G x en de toppen x 1, x 2, x 3 / V (G). We definiëren dan volgende actie. D (G) = (V (G ) {x 1, x 2, x 3}, E(G ) {x 1 x 1, x 2 x 2, x 3 x 3, x 1x 2, x 2x 3, x 3x 1}) Stelling 11. Stel G een hypotraceerbare graaf is die een kubische top x bevat. Stel N(x) = {x 1, x 2, x 3 } en beschouw G = G x en de toppen x 1, x 2, x 3 / V (G). Dan is de graaf D (G) geen platypus graaf. Bewijs. Stel dat D (G) wel een platypus graaf is, dan weten we dat D (G) x 1 een hamiltoniaans pad p bevat. Dit hamiltoniaans pad (kan ook een hamiltoniaanse cykel zijn) bevat de boog x 2 x 3. Moest dit hamiltoniaans pad deze boog niet bevatten dan zal door het kubisch zijn van de toppen x 2 en x 3 dit pad net eindigen in x 2 en x 3. We krijgen dan een hamiltoniaanse cykel die wel de boog x 2 x 3 bevat. Als we terug kijken naar onze oorspronkelijke graaf G, dan vinden we een hamiltoniaans pad (p x 2 x 2 x 3 x 3) + x 2 xx 3 in G, wat een tegenstrijdigheid met het feit dat G niet traceerbaar is. Voor traceerbare platypus grafen, kunnen we in sommige gevallen bewijzen dat het vervangen van een kubische top door een driehoek wel resulteert in een platypus graaf. Stelling 12. Stel G een traceerbare platypus graaf met een kubische top x, en N(x) = {x 1, x 2, x 3 }. Stel bovendien dat het hamiltoniaans pad in G eindigt in een top adjacent met x. Beschouw de graaf G x en de toppen x 1, x 2, x 3 / V (G). Dan is de graaf D (G) een platypus graaf. Bewijs. We bewijzen eerst dat D (G) niet hamiltoniaans is. Moest deze graaf wel een hamiltoniaanse cykel c bevatten, dan bevat deze cykel een deelpad met de toppen x 1, x 2, x 3, stel x 1 x 2 x 3. We vinden dan een hamiltoniaanse cykel (c x 1 x 1 x 2 x 3 x 3) + x 1 xx 3 in G, een tegenstrijdigheid. We stellen dat een hamiltoniaanse pad p in G eindigt in de top x 1, voor x 2 en x 3 zal het bewijs analoog lopen. We bewijzen dat D (G) v voor alle v V (D (G)) traceerbaar is. Stel dat v V (G) \ {x}. Aangezien G een platypus graaf is, hebben we dat G v traceerbaar is, dit hamiltoniaans pad p zal minstens één van de bogen incident met x bevatten, stel xx 1. We vinden dan een hamiltoniaans pad (p xx 1 ) + x 1 x 1 x 2 x 3 of (p xx 1) + x 1 x 1 x 3 x 2 (als p al dan niet ook de boog xx 3 of xx 2 bevat), wat we moesten bewijzen. Stel nu dat v = x 1, we kijken dan naar het hamiltoniaans pad p in G. Dit pad eindigt in x 1 en moet dus als deelpad x 2 xx 3 bevatten. We vinden dan een hamiltoniaans pad (p x 2 xx 3 ) + x 2 x 2 x 3 x 3 in D (G) x 1.

32 18 Hoofdstuk 3. Theoretische resultaten van platypus grafen Stel v = x 2, we kijken opnieuw naar het hamiltoniaans pad p in G. We vinden zo een hamiltoniaans pad (p x 2 xx 3 ) + x 1 x 1 x 3 x 3 in D (G) x 2, analoog voor D (G) x 3. We kunnen bovendien zien dat we het hamiltoniaans pad p van G, kunnen uitbreiden tot een hamiltoniaans pad in D (G), namelijk (p x 2 xx 3 ) + x 2 x 2 x 1 x 3 x 3. Dit hamiltoniaanse pad bevat dan opnieuw een kubische top x 1 en het hamiltoniaans pad eindigt in een top adjacent aan deze kubische top. Voor alle andere gevallen van traceerbare platypus grafen, kunnen we niet bewijzen dat het vervangen van een kubische top in een driehoek resulteert in een platypus graaf. We hebben echter ook nog geen tegenvoorbeelden gevonden hiervoor, en laten het bestaan hiervan nog open. 3.3 Snarks en de stelling van Fiorini We kunnen in een graaf aan elke boog een kleur toewijzen. Als dit zo gebeurd dat nooit twee adjacente bogen hetzelfde kleur hebben, noemt dit een boog kleuring van de graaf. Het minimum aantal kleuren nodig om alle bogen in een graaf te kleuren, noemt men de chromatische index. Een graaf G is k-boog-samenhangend als het verwijderen van minder dan k bogen niet resulteerd in meerdere samenhangscomponenten. Een snark is een kubische 4-boog-samenhangende graaf met chromatische index 4 en girth minstens 5. Tot nu toe bestaat er geen simpele manier om de volledige klasse van reeds gevonden snarks te bestuderen, aangezien er geen uniform model bestaat voor snarks [3]. FIGUUR 3.6: Het dot product Twee bogen zijn onafhankelijk als ze geen gemeenschappelijke toppen hebben. Stel dat G en H disjuncte samenhangende grafen zijn met minstens zes toppen. Beschouw twee onafhankelijke bogen ab en cd in G en twee adjacente kubische toppen x en y in H. We stellen dan dat

33 3.3. Snarks en de stelling van Fiorini 19 G = G {ab, cd} en H = H {x, y}. Stel bovendien dat a, b en c, d de andere buren van respectievelijk x en y zijn in H. Dan is het dot product G H als volgt gedefinieerd (V (G) V (H ), E(G ) E(H ) {aa, bb, cc, dd })(Zie Figuur 3.6). Het origenele doel van het dot product was om nieuwe snarks te genereren door het combineren van gekende snarks. Fiorini [10] bewees later dat het dot product ook kon gebruikt worden om twee hypohamiltoniaanse snarks te combineren tot een nieuwe. Zijn stelling bevatte echter een fout, en werd later verbeterd wat leidde tot onderstaande stelling van Goedgebeur en Zamfirescu. In een graaf G, zijn een paar toppen (v, w) goed in G als er een hamiltoniaans pad bestaat in G dat als eindtoppen v en w heeft. Twee paar toppen ((v, w), (x, y)) zijn goed in G als er twee disjuncte paden bestaan die samen span G zijn, en als eindtoppen respectievelijk v en w, en x en y hebben. Stelling 13 (Goedgebeur en Zamfirescu [13]). Stel dat G een niet hamiltoniaanse graaf is die twee onafhankelijke bogen ab en cd bevat en waarvoor het volgende geldt: 1. elke (a, c), (a, d), (b, c), (b, d), ((a, b), (c, d)) is goed in G {ab, cd}; 2. voor elke top v, minstens één van (a, b) of (c, d) is goed in G {v, ab, cd}. Als H een hypohamiltoniaanse graaf is met kubische adjacente toppen x en y, dan is het dot product G H ook een hypohamiltoniaanse graaf, waarbij ab en cd verwijderd worden uit G, x en y verwijderd worden uit H, en de toppen a, b, c, d verbonden worden met respectievelijk de buren van x en y. Als G en H planair zijn, en ab en cd liggen in dezelfde facial cykel, dan kan het dot product zodanig uitgevoerd worden dat de resulterende graaf ook planair is. Als g (h) het girth is van G (H), dan is het girth van G H minstens min{g, h}. Als G en H kubisch zijn, dan is ook G H kubisch. We willen nu een gelijkaardige stelling vinden voor platypus grafen. In bovenstaande stelling volgt uit het niet hamiltoniaans zijn van G en eigenschap 2, dat de graaf G hypohamiltoniaans is. Het liefst zouden we een stelling vinden die in plaats van twee hypohamiltoniaanse grafen, twee platypus grafen combineert. We beginnen met te bestuderen wat er gebeurt als we in bovenstaande stelling veranderen dat H een platypus graaf is. Stelling 14. Stel dat G een niet hamiltoniaanse graaf is die twee onafhankelijke bogen ab en cd bevat en waarvoor het volgende geldt: 1. elke (a, c), (a, d), (b, c), (b, d), ((a, b), (c, d)) is goed in G {ab, cd}; 2. voor elke top v, minstens één van (a, b) of (c, d) is goed in G {v, ab, cd}. Als H een platypus graaf is met kubische adjacente toppen x en y, dan is het dot product G H ook een platypus graaf, waarbij ab en cd verwijderd worden uit G, x en y verwijderd worden uit H, en de toppen a, b, c, d verbonden worden met respectievelijk de buren van x en y. Als G en H planair zijn, en ab en cd liggen in dezelfde facial cykel, dan kan het dot product zodanig uitgevoerd worden dat de resulterende graaf ook planair is. Als g(h) het girth is van G(H), dan is het girth van G H minstens min{g, h}. Als G en H kubisch zijn, dan is ook G H kubisch.

34 20 Hoofdstuk 3. Theoretische resultaten van platypus grafen Bewijs. We bewijzen eerst dat G H nog steeds niet hamiltoniaans is. Stel dat er wel een hamiltoniaanse cykel c bestaat in G H, dan bevat deze twee of vier bogen uit {aa, bb, cc, dd }. Stel in het eerste geval dat de cykel twee bogen hieruit bevat. We hebben opnieuw twee gevallen: Stel dat de cykel aa en bb bevat, dan zal c G +ab (met c G bedoelen we de toppen en bogen van c die ook tot G behoren) een hamiltoniaanse cykel zijn in G, een tegenstrijdigheid. Analoog voor als de cykel cc en dd zou bevatten. Stel dat de cykel aa en cc bevat, dan zal c H + a xyc een hamiltoniaanse cykel zijn in H, een tegenstrijdigheid. Analoog voor alle andere combinaties die nog mogelijk zijn. In het tweede geval bevat de cykel alle vier de bogen. We kijken dan naar c H, dat uit twee componenten zal bestaan. Als deze componenten als eindpunten a, c en b, d hebben dan krijgen we dat c H + a xb + c yd een hamiltoniaanse cykel is in H, opnieuw een tegenstrijdigheid. Als de componenten als eindpunten a, b en c, d hebben moeten we opnieuw in G kijken. We hebben dan dat c G uit volgende twee deelpaden zal bestaan a d en c b. We krijgen dan dat c G + ab + cd een hamiltoniaanse cykel is in G, wat een tegenstrijdigheid geeft. We bewijzen nu dat voor elke top v V (G H), er een hamiltoniaans pad bestaat in de graaf G H v. We hebben twee mogelijkheden voor deze top, namelijk v V (G) of v V (H ), met H = H {x, y}. Stel eerst dat v V (G). We weten uit de gegevens dat (a, b) of (c, d) goed is in G v. Stel dat (c, d) goed is en we noemen het hamiltoniaanse pad k in G v, het andere geval zal analoog zijn. Aangezien H een platypus graaf is, bestaat er een hamiltoniaans pad p in H x. Aangezien de top y in H x van graad twee is zal dit pad het deelpad c yd bevatten. We krijgen dan een hamiltoniaans pad k p c yd {cc, dd } in G H v. Het kan echter ook voorvallen dat het hamiltoniaanse pad p in H x net y als eindpunt heeft, we hebben dan dat p de boog c y of d y bevat. We kunnen dan een hamiltoniaans pad construeren k p c y {cc } in G H v, analoog voor moest p de boog d y bevatten. We hebben zo een hamiltoniaans pad geconstrueerd met een eindpunt in H en een eindpunt in G. Stel in het tweede geval dat v V (H ). Aangezien H een platypus graaf is, bestaat er een hamiltoniaans pad p in H v. Er zijn nog twee mogelijkheden voor dit hamiltoniaans pad, namelijk het al dan niet bevatten van de boog xy. Stel dat p de boog xy bevat. Dan zal p één van de volgende deelpaden bevatten {a xyc, a xyd, b xyc, b xyd }. We kunnen dan gebruik maken van bv. in het eerste geval dat (a, c) goed is in G, en noemen dit hamiltoniaans pad k. Zo krijgen we een hamiltoniaans pad p a xyc k + {aa, cc } in G H v. Analoog voor de drie andere mogelijke deelpaden. Stel nu dat p de boog xy niet bevat. Dan bevat het volgende twee deelpaden {a xb, c yd }. Dan kunnen we gebruik maken van de eigenschap dat ((a, b), (c, d)) goed is in G. We noemen de twee disjuncte paden die we dan vinden k 1 en k 2, met als eindpunten respectievelijk a, b en c, d. We krijgen dan het volgende hamiltoniaanse pad p {a xb, c yd } k 1 +{aa, bb } k 2 +{cc, dd } in G H v. Als we opnieuw in één van deze bovenstaande hamiltoniaanse paden hebben dat het pad net x of y als eindpunt heeft, dan kunnen we zoals eerder een gelijkaardig hamiltoniaans pad construeren in G H v met een eindpunt in H en een eindpunt in G. We bewijzen nu nog dat het girth van G H minstens het minimum is van het girth van G en H, g en h. Als een cykel geen enkele van de bogen {ab, cd, xy, a x, b x, c y, d y} bevat, is

35 3.3. Snarks en de stelling van Fiorini 21 het gemakkelijk te zien dat deze cykels blijven bestaan. We moeten nu nog aantonen dat de operatie geen andere kleinere cykels maakt. Elke cykel in H die a xb bevat zal na de operatie meer toppen bevatten aangezien ab / E(G H), zal deze zelfs strikt groter worden. Omgekeerd zal ook een cykel in G die ab bevat strikt groter worden na de operatie. Analoog voor een cykel in H die c yd bevat, en een cykel in G die cd bevat. Elke cykel in H die de boog xy bevat, zal door het onafhankelijk zijn van de bogen ab en cd ook strikt groter worden. De overige eigenschappen planariteit en het kubisch zijn, kunnen gemakkelijk na gegaan worden. Aangezien G in bovenstaande stelling niet hamiltoniaans is en voor elke top v, minstens één van (a, b) of (c, d) goed is in G {v, ab, cd}, zal de graaf G hypohamiltoniaans zijn. Het liefst zouden we eigenlijk een actie vinden die uit twee platypus grafen een nieuwe platypus graaf verkrijgt. We kunnen hiervoor volgende actie en stelling formuleren. Een onafhankelijke set is een set van toppen in een graaf waarvoor geen twee toppen uit de set adjacent zijn. Stel G en H disjuncte samenhangende grafen met minstens zes toppen. Beschouw een onafhankelijke set {a, b, c, d} V (G), en H = H {x, y} met x en y adjacente kubische toppen in H, stel dat a, b en c, d de andere buren van respectievelijk x en y zijn in H. Dan is het platypus dot product G p H als volgt gedefinieerd (V (G) V (H ), E(G) E(H ) {aa, bb, cc, dd }). Lemma 6. Stel G een niet hamiltoniaanse graaf is die vier onafhankelijke toppen {a, b, c, d} bevat en waarvoor het volgende geldt: 1. elke (a, b), (c, d), ((a, d), (b, c)) is niet goed in G; 2. elke (a, c), (a, d), (b, c), (b, d), ((a, b), (c, d)) is goed in G; 3. voor elke top v, minstens één van (a, b) of (c, d) is goed in G {v}. Als H een platypus graaf is met kubische adjacente toppen x en y, dan is het platypus dot product G p H ook een platypus graaf, waarbij {a, b, c, d} een onafhankelijke set is in G, x en y verwijderd worden uit H, en de toppen a, b, c, d verbonden worden met respectievelijk de buren van x en y. Bewijs. Het bewijs voor dit lemma loopt analoog aan het bewijs voor Lemma 14. Met het verschil dat als we in het vorige bewijs gebruikt maakten van het feit dat als we een hamiltoniaans pad hadden in G H beperkt op G een hamiltoniaans pad gaf met eindpunten in {a, b, c, d} we met het terug toevoegen van de bogen ab en cd tegenstrijdigheden kregen met het niet hamiltoniaans zijn van G. Nu moeten we hiervoor de voorwaarden van eigenschap 1 gebruiken.

36 22 Hoofdstuk 3. Theoretische resultaten van platypus grafen 3.4 Planaire platypus grafen We zullen voor het bewijzen dat een graaf planair is, gebruik maken van het Grinberg criterium. Een i-gon is een veelhoek met i zijden. Grinberg criterium ([14]). Gegeven een planaire graaf met een hamiltoniaanse cykel h en exact f i (f i ) i-gons binnen (buiten) h, we hebben dan (i 2)(f i f i) = 0. i 3 Stel Ψ k ( Ψ k ) de orde van de kleinste platypus graaf (de kleinste planaire platypus graaf) die k-samenhangend is en niet (k + 1)-samenhangend. In [30] bewees Zamfirescu dat een platypus graaf minstens 2-samenhangend is, hieruit volgt dat de kleinste platypus graaf T ook de kleinste platypus graaf is die 2-samenhangend is. Bovendien is te zien op Figuur 3.2 dat deze graaf planair is. We krijgen vervolgens dat Ψ 2 = Ψ 2 = 9. Voor 3-samenhangende platypus grafen, bestaan volgende resultaten Ψ 3 = 10 en Ψ Dit volgt uit volgende stellingen. Stelling 15 (Zamfirescu [30]). De Petersen graaf is één van de 3-samenhangende platypus grafen met kleinste orde en kleinste grootte. Na het genereren van alle platypus grafen met orde 10, blijkt de Petersen graaf ook de enige 3-samenhangende platypus graaf te zijn van orde 10. Een veelvlak (polyhedron) is een planaire, 3-samenhangende graaf. Stelling 16 (Zamfirescu [30]). Er bestaat een veelvlakkige platypus graaf van orde n voor elke n 25. Zamfirescu bewees bovenstaande stelling aan de hand van het Grinberg criterium en gaf een veelvlakkige platypus graaf van orde 25, die girth 3 heeft, zie Figuur 3.7. Hij stelde als open probleem of dat deze ondergrens optimaal is of dat deze nog kan verbeterd worden. FIGUUR 3.7: Veelvlakkige platypus graaf van orde 25. We hebben tot en met orde 12 platypus grafen kunnen genereren, zie Hoofdstuk 4. Geen enkele platypus graaf van orde 11 of 12, was een veelvlakkige platypus graaf. Bovendien zal