Dynamische verkeerstoedeling op basis van een verkeersstroommodel met realistische filepropagatie

Transcriptie

1 Katholieke Universiteit Leuven Faculteit Toegepaste Wetenschappen Departement Burgerlijke Bouwkunde Dynamische verkeerstoedeling op basis van een verkeersstroommodel met realistische filepropagatie E2006 Promotor: Prof. ir. L. H. Immers Assessoren: ir. I. Yperman dr. ir. C. Tampère Piet Bovin

2 Toelating tot bruikleen De auteur geeft de toelating deze eindverhandeling voor consultatie beschikbaar te stellen en delen ervan te kopiëren voor eigen gebruik. Elk ander gebruik valt onder de strikte beperkingen van het auteursrecht; in het bijzonder wordt er gewezen op de verplichting de bron uitdrukkelijk te vermelden bij het aanhalen van resultaten uit deze eindverhandeling. Leuven, juni 2006 II

3 mens sana in corpore sano (Decimus Iunius Iuvenalis) III

4 Samenvatting Dynamische verkeerstoedeling op basis van een verkeersstroommodel met realistische file-propagatie. (Piet Bovin) De verkeersdrukte in de wereld neemt alsmaar toe. Het bestaande wegennet moet in de eerste plaats efficiënt gebruikt worden en in de tweede plaats uitgebreid worden waar nodig. Met een DTA programma (Dynamic Traffic Assignment) kunnen ingrepen in het wegennet al in de ontwerpfase geëvalueerd worden. Het doel van deze thesis was om een DTA programma op te bouwen op basis van LTM (Link Transmissie Model). Daarom werd LTM omkaderd met een routekeuzemodel. In een volgende stap werd dan de correcte werking van het programma aangetoond. Als afsluiter werd aangetoond dat dit DTA programma een hogere realiteitsgraad heeft dan een huidige commercieel beschikbaar programma, namelijk INDY. De verschillen tussen beide DTA s bevonden zich op vlak van snelheid van de file terugslag en de manier van file afbouw. IV

5 Summary Dynamic network loading based on a traffic flow model with a realistic queue spillback. (Piet Bovin) The amount of traffic in the world still grows. The existing road system has to be used efficiently and has to be expanded where necessary. A DTA program (Dynamic Traffic Assignment) can evaluate future changes in a very early stage. The object of this thesis was to built a DTA program based on LTM (Link Transmission Model). Therefore LTM was expanded with a route choice module. In a next phase the correct functioning was demonstrated. The last phase consisted of a comparison between this DTA and a commercial DTA, namely INDY. The differences proofed that this DTA has a higher level of reality. The differences between them were the speed with which congestion spreads on a link and the manner of the reduction of congestion. V

6 Voorwoord Mijn thesis ligt hier voor u, klaar om gelezen te worden. Het vormt de afsluiting van mijn studies als Burgerlijk Ingenieur Bouwkunde Civiele Techniek. Zonder hulp had ik beide echter niet kunnen vervolmaken. Allereerst gaat mijn dank uit naar de volledige afdeling Verkeer en Infrastructuur van de K.U.Leuven. Dankzij Prof. Immers werd mijn interesse in verkeer aangewakkerd. Zonder Isaak en Chris was mijn thesis zoals ze nu voor u ligt, er nooit gekomen. Hun hulp en schijnbaar eindeloos geduld met mij verdienen een applaus. In tweede instantie wil ik mijn ouders bedanken voor de kansen die ze mij altijd gegeven hebben. Moeke, bedankt voor alle lekkere potjes. Vake, bedankt omdat je altijd in gedachten bij mij was tijdens de moeilijke momenten. Ook mijn broer Tim en zus Kathleen verdienen een vermelding voor alle steun. Mijn vriendin Ingrid wil ik bedanken voor alle geweldige momenten die een verrijking van mijn studentenleven waren. Last but not least komen dan mijn mede studenten en kotgenoten. Ik wens mijn collega s het beste in hun verdere carrière, jullie steun was van onschatbare waarde. Mijn kotgenoten wil ik danken om steeds een mogelijkheid ter ontspanning te bieden. Piet Bovin Leuven, juni 2006 VI

7 Inhoudstafel Samenvatting...IV Summary...V Voorwoord...VI Inhoudstafel...VII Lijst met figuren...ix Lijst met tabellen...x 1. Inleiding Probleemstelling Structuur van de tekst Dynamic Traffic Assignment (DTA) Dynamic Network Loading: Link Transmissie Model Inleiding Kinematische golf theorie Algoritme LTM Stap 1: beperkingen aan de uitgezonden en ontvangende stroom Uitgezonden stroom Ontvangen stroom Stap 2: Knooptypes Niet homogene knoop Herkomst knoop Bestemming knoop Divergerende knoop Samenvoegende knoop Stap 3: opstellen cumulatieve curven Route keuze model Inleiding Input en output van het route keuze model Route keuze model omschrijving De verschillende bestuurdersmodellen Het logit model Het alles of niets bestuurdersmodel Iteratie lus met de Method of Successive Averages (MSA) Convergentie criteria Toepassingen LTM (Alles of niets bestuurderstype) Beschrijving netwerk en belasting Resultaten DTA...25 VII

8 MSA invloed Evenwicht Conclusie LTM (Logit bestuurderstype) Invloed van parameter µ Resultaten DTA Conclusie Vergelijking van LTM met INDY Beschrijving netwerk en belasting Punten van vergelijking Snelheid file terugslag Manier van file afbouw Conclusie Besluit Verwezenlijkingen Toekomstige verbeteringen...43 Referenties...44 Bijlagen...46 Bijlage A: Program specs Route Choice...46 Bijlage B: inputfile toepassingen 1 & Bijlage C: inputfile toepassing VIII

9 Lijst met figuren Figuur 1: DTA model...3 Figuur 2: Cumulatieve curven...7 Figuur 3: algemeen fundamenteel diagram...8 Figuur 4: driehoekig fundamenteel diagram...9 Figuur 5: Verschillende knooptypes...13 Figuur 6: Input en output van route keuze model...17 Figuur 7: Netwerk Case study Figuur 8: iteratie 1 AON...25 Figuur 9: iteratie 2 AON...26 Figuur 10: iteratie 3 AON...27 Figuur 11: iteratie 4 AON...27 Figuur 12: duality gap AON...28 Figuur 13: Routekosten AON iteratie Figuur 14: ODfractie AON iteratie Figuur 15: file opbouw toepassing Figuur 16:Invloed van µ in logit model...31 Figuur 17: Routekost en ODfractie kleine µ...33 Figuur 18: Routekost en ODfractie realistische µ...33 Figuur 19: Routekost en ODfractie grote µ...34 Figuur 20: Convergentiecriteria µ Figuur 21: Netwerk Case study Figuur 22: LTM - INDY link IX

10 Lijst met tabellen Tabel 1: Gebruikte symbolen...4 Tabel 2: Eigenschappen links...23 Tabel 3: Belasting AON...24 Tabel 4: Eigenschappen links toepassing LTM - INDY...37 Tabel 5: Belasting toepassing LTM - INDY...38 Tabel 6: Omslagmomenten toepassing LTM - INDY...39 Tabel 7: snelheden schokgolf file opbouw...40 Tabel 8: File afbouw...41 X

11 1. Inleiding 1.1 Probleemstelling De dynamische analyse van verkeersstromen heeft de laatste jaren aan belangrijkheid gewonnen aangezien dit een nauwkeurigere analyse toelaat dan een statische analyse. Aan de Katholieke Universiteit Leuven is in dit opzicht het Link Transmissie Model (LTM) ontwikkeld. Dit verkeersstroommodel laat toe om, gegeven een belasting en randvoorwaarden, de evolutie van de status van de verkeersstroom correct te beschrijven. Het eerste verkeersstroommodel werd geïntroduceerd door Lighthill M. J. en Whitham G. B. [1] en Richards P. I. [2]. Hun kinematisch golf model, het L-W-R model, beschreef de status van de verkeersstroom met schokgolven en file opbouw. Door Daganzo C. F. [3] en Lebacque J. P. [4] werden numerieke methoden voorgesteld ter oplossing van dit L-W-R model. Deze Cell Transmissie modellen zijn discrete versies van de continue kinematische golf theorie. Hierbij wordt een weg opgesplitst in verschillende cellen en de route stromen worden dan bepaald tussen deze cellen. Het Link Transmissie Model neemt een andere discretisatie van de continue kinematische golf theorie aan. Hierbij wordt een netwerk opgedeeld in links en knopen in plaats van in cellen. De berekeningen moeten enkel in de knopen uitgevoerd worden. In vergelijking met de Cell Transmissie Modellen maakt LTM een nauwkeurigere berekening mogelijk, die minder rekenkracht nodig heeft. LTM vormt als verkeersstroommodel de kern van een Dynamic Traffic Assignment model (DTA). Via een DTA model is het mogelijk om het evenwicht van route stromen te bepalen als resultaat van een dynamische vraag. Hierdoor is het mogelijk om werkelijke situaties beter te modelleren dan in een statisch model mogelijk is. De toepassingen van DTA zijn dan ook uitgebreid en kunnen in twee groepen ingedeeld worden. Ten eerste geeft DTA 1. Inleiding 1

12 de mogelijkheid om real-time verkeersbeheersing toe te passen en ten tweede is het een zeer nuttig gebruiksmiddel om toekomstige ingrepen te evalueren. Het doel van deze thesis is om een DTA model te maken op basis van LTM. De belangrijkste bijdrage is dan ook het programmeren van het routekeuzemodel en de iteratielus. Samen met het verkeersstroommodel LTM vormen deze onderdelen een volledig DTA model. De verklaring van de in de code gebruikte methodes staat in Bijlage A. Vervolgens is het nodig om de correcte werking van dit DTA model te bewijzen. Eens het bewijs hiervan geleverd is wordt het mogelijk om LTM te vergelijken met een ander verkeersmodel. 1.2 Structuur van de tekst Het eerste hoofdstuk kadert het eindwerk in de wereld van de verkeerskunde. De bestemming, de werkwijze en de structuur worden kort aangehaald. In het tweede hoofdstuk wordt het DTA model besproken. Eerst wordt de werking van LTM verklaard. Daarna wordt er besproken welk routekeuze model toegepast is om het DTA model te vervolledigen en ook hoe dit routekeuze model werkt. In het derde hoofdstuk wordt eerst de correcte werking van het opgebouwde DTA model gecontroleerd door de resultaten van een eenvoudig netwerk te evalueren. Als afsluiter worden de waarden van het DTA model met LTM vergeleken met de resultaten die het verkeersmodel INDY, ontwikkeld door dr. Bliemer C. J. [5] geeft. In OmniTRANS [6] kan het INDY model als DTA gebruikt worden. Door hetzelfde netwerk te berekenen door de beide modellen kunnen de verschillen bepaald worden. 1. Inleiding 2

13 2. Dynamic Traffic Assignment (DTA) Een DTA model bestaat uit twee grote onderdelen (Figuur 1). Het eerste onderdeel is een routekeuze model en het tweede is een Dynamic Network Loading (DNL) model. Als input heeft het routekeuze model het netwerk en de vraag als gegevens nodig. Via een iteratieve procedure worden die routes gekozen die uiteindelijk tot evenwicht leiden. In dit eindwerk wordt LTM weerhouden als DNL model. Het routekeuzemodel laat de keuze tussen een alles of niets toedeling of een toedeling via het logit model. Als iteratieprocedure wordt MSA, method of successive averages, toegepast. In wat volgt zal er dieper ingegaan worden op deze onderdelen. De gebruikte symbolen en indices in deze thesis zijn samengevat in Tabel 1. Figuur 1: DTA model 2. Dynamic Traffic Assignment (DTA) 3

14 Indices r s a i j herkomst knoop bestemming knoop link ingaande link uitgaande link p route, p P x 0 xa L xa t t punt in het netwerk Tabel 1: Gebruikte symbolen toegangspunt van link a (stroomopwaarts) exit van link a (stroomafwaarts) tijdstip tijdsinterval Symbolen komen gecombineerd met alle bovenstaande indices voor P routeset T simulatieperiode vf qm km kjam w L N S R G D rs c vrije snelheid, voorwaartse golf snelheid capaciteit van een link kritische dichtheid maximale dichtheid achterwaartse golf snelheid lengte van een link cumulatieve hoeveelheid voertuigen uitgezonden stroom ontvangen stroom transitiestroom vraag tussen herkomst r en bestemming s werkelijke routekost c% waargenomen routekost τ reistijd link f routestroom ˆf tussentijdse routestroom 2. Dynamic Traffic Assignment (DTA) 4

15 k de gebruikte tijdstap y routeproporties logit model µ logit parameter voor perceptie 2. Dynamic Traffic Assignment (DTA) 5

16 2.1 Dynamic Network Loading: Link Transmissie Model Inleiding Deze beschrijving van LTM is gebeurd op basis van twee papers van Yperman I., Logghe S., Tampère C. en Immers L. H. van de afdeling verkeer en infrastructuur [11],[12]. LTM is een macroscopisch verkeersstroommodel dat gegeven de route stromen over het netwerk de cumulatieve curven bepaald. Deze curven geven het totaal aantal voertuigen (N) weer op een bepaalde plaats in het netwerk (x) en op een bepaald tijdstip (t). De routetijden kunnen uit cumulatieve curven bepaald worden als de horizontale afstand tussen de cumulatieve curve van het begin p van de route ( ( 0 p L N xa, t )) en het einde van de route ( ( a, ) N x t ) (zie Figuur 2). Het eerst-in-eerst-uit principe is immers gegarandeerd in LTM. Hierdoor kan met zekerheid gesteld worden dat wanneer op t1 h voertuigen de route zijn ingereden en op t2 er h voertuigen de route terug uit rijden dat de routetijd dan t2 t1 is. Zo kunnen ook het aantal voertuigen op de route bepaald worden. Op tijdstip t2 zijn er immers i voertuigen de route binnen gereden en slechts h voertuigen de route terug uitgereden. De overige i h voertuigen moeten zich dus nog op de route bevinden. Deze redeneringen gaan natuurlijk ook op voor de links waarin de route opgedeeld wordt. Buiten links bestaat een netwerk ook nog uit knopen verbonden door de links. Een route wordt gevormd door een reeks opeenvolgende links tussen een herkomst en bestemming knoop. Knopen hebben geen fysieke lengte maar dienen enkel als verbinding tussen de links. 2. Dynamic Traffic Assignment (DTA) 6

17 Figuur 2: Cumulatieve curven Kinematische golf theorie LTM werkt volgens de eerste orde kinematische golf theorie welke gebaseerd is op de verkeersbehoudswet. Deze verkeersbehoudswet (2.3) stelt dat er een dynamische relatie bestaat tussen de intensiteit q (voertuigen/uur) en de dichtheid k (voertuigen/km). De intensiteit en de dichtheid kunnen als partiële afgeleiden geschreven worden van de cumulatieve functie N (Newell G. F. [7]) zoals in (2.1). (, ) q x t (, ) k x t (, ) N x t = t N x t = x (, ) (2.1) De verkeersbehoudswet stelt dan dat er geen voertuigen verloren of gecreëerd kunnen worden in een link. Als de functie N bestaat kan dat geschreven worden als in (2.2). 2. Dynamic Traffic Assignment (DTA) 7

18 (, ) N ( x, t) N x t 2 2 x t = t x (2.2) Gecombineerd met formules (2.1) geeft dit de meest karakteristieke vorm van de verkeersbehoudswet (2.3). (, ) q ( x, t) k x t t (, ) + = z x t x (2.3) Hierbij is z(x,t) de hoeveelheid verkeer dat per tijds- en plaatseenheid de weg oprijdt. In het geval zonder op- en afritten is z(x,t) dus 0. Via het theorema van Green [8] kan (2.3) herschreven worden naar: (, ) N ( x, t) N x t N ( x2, t2 ) N ( x1, t1 ) = dn ( x, t) = t + x = qdt kdx t x (2.4) C C C De kinematische golf theorie combineert deze verkeersbehoudswet met het fundamentele diagram dat een verband legt tussen de intensiteit q (vtg/uur), de gemiddelde snelheid u (km/uur) en de dichtheid k (vtg/km). Het algemeen fundamenteel diagram is terug te vinden in Figuur 3. Newell vereenvoudigd dit tot een driehoekig diagram (Figuur 4). Figuur 3: algemeen fundamenteel diagram 2. Dynamic Traffic Assignment (DTA) 8

19 Figuur 4: driehoekig fundamenteel diagram Dit driehoekig diagram is gedefinieerd door drie parameters; een vaste vrije snelheid (vf), een maximale intensiteit (qm) die optreedt bij kritische dichtheid (km) en de opstopping dichtheid (kjam). Onder de kritische dichtheid kan het verkeer aan vrije snelheid rijden terwijl boven de kritische dichtheid de snelheid terug zal vallen. Door te werken met dit driehoekig diagram zijn er slechts twee mogelijke golfsnelheden in de kinematische golf theorie. In een vrij stroom regime (k<km) zal het verkeer zich met vrije snelheid kunnen bewegen en zullen de kenmerken van de verkeersstroom zich voortplanten in de richting van de verkeersstroom met een snelheid vf. In een congestief regime (k>km) zullen de kenmerken van de verkeersstroom zich echter verplaatsen met een negatieve snelheid w. Waar deze twee golven snijden, krijgen we een front waar de kenmerken veranderen. De plaats van dit front kan afgeleid worden uit de randvoorwaarden. Hierdoor liggen de kenmerken van de verkeersstroom op elk punt (x,t) vast Algoritme LTM Tijdens een simulatie zal er via een dynamische herkomst bestemmingsmatrix bepaald worden hoeveel verkeer er vloeit tussen een herkomst knoop en een bestemming knoop. Elke simulatieperiode T wordt opgedeeld in een aantal tijdstappen t. Deze tijdstap moet kleiner zijn dan de kleinste link reistijd om er 2. Dynamic Traffic Assignment (DTA) 9

20 voor te zorgen dat er geen voertuigen een volledige link overbruggen in één tijdstap. Per tijdstap kunnen er drie stappen onderscheiden worden die de oplossing voorafgaan. In een eerste stap zal voor elke link de uitgezonden stroom aan het stroomafwaarts stuk van de link bepaald worden. Alsook de ontvangende stroom aan het stroomopwaarts stuk van de link zal bepaald worden. Hierbij wordt de uitgezonden stroom gedefinieerd als het maximum aantal voertuigen dat het stroomafwaarts stuk van de link zou kunnen verlaten in de volgende tijdstap als deze link gekoppeld was aan een verkeersreservoir met een oneindige capaciteit. De ontvangende stroom is gedefinieerd als het maximum aantal voertuigen dat de link aan het stroomopwaarts stuk zou kunnen binnenkomen tijdens de volgende tijdstap als er een verkeersreservoir met oneindige vraag stroomopwaarts van deze link lag. In stap twee zal er dan voor elke knoop bepaald worden welke nu de werkelijke stromen zijn die uitgewisseld worden. In een derde stap worden dan de cumulatieve curven aan de link grenzen geüpdatet. Deze drie stappen zullen nu verder uitgewerkt worden Stap 1: beperkingen aan de uitgezonden en ontvangende stroom Uitgezonden stroom Aangezien er gewerkt wordt met het kinematische golfmodel wil dit zeggen dat de kenmerken van de verkeerstromen en dus ook alle beperkingen vastliggen door de randvoorwaarden. Als zich aan de stroomafwaartse grens van de link een vrij stroom regime zal instellen wil dit zeggen dat hetzelfde regime L/v tijdseenheden eerder aanwezig was aan de stroomopwaartse grens. Het vrij stroom regime verplaatst zich immers met de snelheid vf (Figuur 4: k k de link heeft een lengte L. M ) en 2. Dynamic Traffic Assignment (DTA) 10

21 De verkeerstroom kenmerken zijn dus dezelfde aan het einde van de link tijdstip t+ t en aan het begin van de link dit invullen in vergelijking (2.4) krijgen we (2.5). L x i op 0 x i op tijdstip t+ t-l/vf. Wanneer we L 0 L L q N xi, t + t N ( xi, t + t) = q k ( L) = ( L) + k = 0 v f V v f (2.5) De beperkingen op de uitgezonden stroom Si kunnen als (2.6) geschreven worden. Dit houdt in dat geen voertuig de link kan verlaten zonder ten minste L/vf tijdseenheden op de link gereden te hebben omdat dat de minimale tijd is om de link over te rijden. L L 0 L L Si ( t) N ( xi, t + t) N ( xi, t) = N xi, t + t N ( xi, t ) v f Een tweede beperking is de capaciteit van de link ( q M, i), hierdoor wordt Si beperkt door (2.7). (2.6) i ( ) M, i S t q t (2.7) Aangezien aan beide voorwaarden voldaan moet zijn is de werkelijke Si het minimum van beide voorgaande beperkingen Ontvangen stroom Deze stroom is beperkt door randvoorwaarden opgelegd aan het stroomafwaartse deel van de link. De kinematische golfstroom theorie bepaalt dat er enkel congestie kan optreden aan het begin van de link als er L/w tijdseenheden ervoor congestie optreedt aan het einde van de link. Er wordt met snelheid w gewerkt omdat in Figuur 4 k boven km ligt. Als we dit ingeven in (2.4) geeft dit (2.8). ( 0 L L L q N x j, t + t ) N x j, t + t + = q k ( L) = ( L) + k = k jam( L) w w w (2.8) 2. Dynamic Traffic Assignment (DTA) 11

22 Dit heeft als gevolg dat de ontvangen stroom Rj een eerste beperking krijgt omdat geen voertuig de link kan oprijden voordat het kjam(l) ste voertuig -L/w tijdstappen voor hem de link verlaten heeft. Dit zorgt ervoor dat de file ook werkelijk plaats inneemt op de link. 0 0 L L 0 R j ( t) N( x j, t + t) N( x j, t) = N x j, t + t + + k jaml N( x j, t) w (2.9) Wederom is de tweede beperking de capaciteit van de link ( q M, j). j ( ), R t q t (2.10) M j Beide voorwaarden moeten voldoen en dus is de werkelijke Rj het minimum van voorwaarde (2.9) en (2.10). Hier komt een voordeel van LTM tot uiting. De stromen moeten enkel berekend worden aan de link grenzen, dus in de knopen. Hierdoor zijn er minder berekeningen nodig dan in het Cell Transmissie model Stap 2: Knooptypes Er zijn vijf verschillende knooptypes; niet homogene knoop, herkomst knoop, bestemming knoop, divergerende knoop en samenvoegende knoop. Deze zijn schematisch weergegeven in Figuur Dynamic Traffic Assignment (DTA) 12

23 Figuur 5: Verschillende knooptypes In elke knoop wordt de overgang stroom Gij van de inkomende links i naar de uitgaande links j bepaald op basis van de uitgezonden stromen Si en de ontvangen stromen Rj waarbij er rekening gehouden wordt met het knooptype Niet homogene knoop De overgang stroom Gij bij een niet homogene knoop is het maximum dat gezonden kan worden door de ingaande link zonder de ontvangen stroom van de uitgaande link te overschrijden. ( ) G = min S, R (2.11) ij ij j Herkomst knoop Een herkomst knoop is een overgang knoop waar de gezonden stroom overeenkomt met de verkeersvraag D(t) van dat moment. Hierdoor zal de 2. Dynamic Traffic Assignment (DTA) 13

24 overgang stroom het aantal voertuigen zijn dat de link wil opkomen zonder de ontvangen stroom van de uitgaande link te overschrijden. Als de vraag groter is dan wat de link aankan, zal er zich in de herkomst link een file opbouwen. Deze file kan theoretisch oneindig groot worden aangezien een herkomst link een theoretisch oneindige capaciteit heeft. G j ( D R j ) = min, (2.12) Bestemming knoop Een bestemming knoop is een doorgaande knoop waar de ontvangende link een oneindige capaciteit heeft. Hierdoor zal knoop al het verkeer kunnen opnemen dat de ingaande link stuurt. G i = S (2.13) i Divergerende knoop Een divergerende knoop zal als overgang stroom het maximum sturen dat door de ingaande link wordt geleverd, behalve als één van de uitgaande links deze stroom niet aankan. In dat geval zullen alle overgangsstromen voor alle uitgaande links gestopt worden omdat het eerst-in-eerst-uit principe gerespecteerd moet worden. Als het volgende voertuig de link niet kan verlaten omdat zijn uitgaande link niet vrij is, staat iedereen geblokkeerd. Het eerst-ineerst-uit principe wordt gegarandeerd door een algoritme dat ervoor zorgt dat voertuigen die de link eerst betreden hebben ook eerst hun kans tot overgang naar hun volgende link krijgen. De overgang stroom wordt gegeven door (2.14). R, S Gij = S voor alle uitgaande links j ' ij min, j' ij S ij ' (2.14) 2. Dynamic Traffic Assignment (DTA) 14

25 Samenvoegende knoop De overgang stroom zal hier de som zijn van de uitgezonden stromen van de ingaande links, behalve als het totaal hiervan de inkomende stroom van de uitgaande link overschrijdt. In dat geval zal er worden aangenomen dat het maximum dat door de uitgaande link kan aangenomen worden, zal worden verdeeld over de verschillende ingaande links door middel van prioriteiten die aan de verschillende links zijn toegewezen. Hierdoor is het mogelijk om verschillende kruispunt modellen te implementeren. Momenteel is er geïmplementeerd dat elke link een prioriteit krijgt toegewezen die proportioneel is met de vraag over die link in vergelijking met de andere links Stap 3: opstellen cumulatieve curven Als laatste stap moeten de cumulatieve curven aan de link grenzen geüpdatet worden. Deze cumulatieve curven worden enkel in de knopen berekend en beschrijven toch nog steeds volledig de routestromen. L L (, ) (, ) N x t + t = N x t + G voor elke ingaande link i i i ij j ( 0, ) ( 0, ) N x t + t = N x t + G voor elke uitgaande link j i i ij i (2.15) 2. Dynamic Traffic Assignment (DTA) 15

26 2.2 Route keuze model Inleiding Rond LTM is hetzelfde routekeuze model gebouwd als INDY [5] gebruikt. De implementatie van dit routekeuze model is de grootste bijdrage van deze thesis. Hierdoor wordt immers LTM uitgebreid tot een volledige DTA. INDY is ook een DTA model maar met een andere DNL dan LTM. Dit is een eerste reden voor het gebruik ervan aangezien het hierdoor mogelijk zal zijn om de resultaten van LTM te vergelijken met INDY. Een tweede reden voor het gebruik van dit routekeuze model is dat het algoritme goed aansluit op LTM. Er wordt ook gewerkt met een dynamische vraag en met een dynamische route kost. Hierdoor zal het mogelijk zijn om realistische resultaten te bekomen. De bedoeling van een routekeuze model is om het gedrag van reizigers te modelleren. We gaan ervan uit dat elke reiziger zijn route kost zal willen minimaliseren. Deze routekost wordt bepaald door de tijd die nodig is om de route af te leggen, de lengte van de route, eventuele tolkosten en elke andere hindernis die een bepaalde route zou kunnen hebben Input en output van het route keuze model Zoals te zien is in Figuur 1 zit het route keuze schema in een DTA model aan het begin van de iteratie. De input en output ligt dan ook vast. 2. Dynamic Traffic Assignment (DTA) 16

27 Figuur 6: Input en output van route keuze model Als input hebben we de vraag D, de routes p P en de route kosten c. Hiervan zijn de vraag en de route sets vaste gegevens. De vraag is een dynamische herkomst bestemmingsmatrix die in LTM als een cumulatieve reeks moet meegegeven worden door de gebruiker. De routes zouden door een voorliggend routegeneratie model kunnen berekend worden maar in LTM zijn ze momenteel nog input van de gebruiker. Een mogelijkheid om dit op te vangen is een groot aantal alternatieve routes in een statisch model te berekenen, zodat de rekentijd beperkt is. Enkel die routes die ofwel een significante bijdrage leveren ofwel verwacht worden om een bijdrage te leveren moeten meegenomen worden in een dynamisch model. De routekosten c kunnen zoals in de inleiding gezegd is van veel factoren afhangen. Momenteel wordt de routekost bepaald met een gewogen som van de reistijd en de routelengte. Met τ als reistijd, als routelengte (i is elke link die deel L i i uitmaakt van de route), k als tijdstap, indices r en s als respectievelijk herkomst en bestemming en p als de gekozen route uit de verschillende routes mogelijk tussen herkomst en bestemming (P rs ) vormt (2.16) de gewogen som voor de routekost. Hierbij zijn a en b constanten die het mogelijk maken om de belangrijkheid van de reistijd en de route lengte te bepalen. De reistijden worden uit LTM gehaald via de cumulatieve curven zoals in beschreven is. ( ) c = a τ k + b L (2.16) rs rs p p i i De output van het route keuze model is de input van LTM en zijn dus de routestromen f tussen de verschillende routes tussen de herkomsten en rs p 2. Dynamic Traffic Assignment (DTA) 17

28 bestemmingen. LTM zal aan de hand van de route stromen de routetijden en dus de route kosten bepalen waardoor er een nieuwe iteratie ronde gestart kan worden. De opbouw van de input file kan teruggevonden worden in de Program Specs van Art Bleukx [9]. Als output wordt er naast de file met cumulatieve curven (invoerout.txt) ook een text file (invoerevolution.txt) uitgeschreven. In deze laatste file wordt er per lijn een reeks getallen weergegeven met volgende betekenis: route ID, iteratiestap, tijdstap, ODfractie, routekost, routestroom, G1, G2. Hierdoor is het mogelijk om deze waarden te bekijken door de verschillende iteratiestappen heen. Voor de werking van het model wordt verwezen naar de program specs in Bijlage A waarin de gebruikte variabelen zijn toegelicht Route keuze model omschrijving Er wordt vanuit gegaan dat de bestuurders keuze hebben uit een aantal vooraf vastgelegde alternatieve routes en dat ze tot doel hebben om hun routekost te minimaliseren. Om de keuze te modelleren is het nodig om verschillende bestuurdersmodellen in te bouwen, dit is verder uitgewerkt in Uiteindelijk is het de bedoeling van het routekeuze model dat een gebruikersevenwicht zich instelt. Volgens het eerste principe van Wardrop (Immers L. H., Logghe S. Verkeersmodellen p. 92, [10]) zal het verkeer zich zo verdelen dat geen enkele individuele verkeersdeelnemer zijn reisweerstand kan verminderen door het kiezen van een andere route. In deze evenwichtssituatie hebben alle gebruikte routes tussen een gegeven herkomst en bestemming dezelfde routekost en hebben niet gebruikte routes een hogere routekost. Dit leidt tot een gebruikersoptimale evenwichtstoedeling. Aangezien echter zowel de routekost als de route stroom in dit gebruikersevenwicht een rol spelen en deze van mekaar afhankelijk zijn is het nodig om een procedure in te bouwen die dit soort problemen aankan. De toegepaste methode in INDY is een iteratielus waar de Method of Successive Averages (MSA) in wordt toegepast. Deze zal worden toegelicht in Een nadeel van deze methode is wel dat 2. Dynamic Traffic Assignment (DTA) 18

29 convergentie niet meer gegarandeerd is. Daarom is het nuttig om convergentie criteria te implementeren zodat kan nagegaan worden of er werkelijke convergentie optreed. Deze convergentie criteria verschillen per bestuurdersmodel en zullen besproken worden in De verschillende bestuurdersmodellen De keuze tussen de verschillende bestuurdersmodellen is van grote invloed op de uiteindelijke oplossing die het route keuze model zal geven. De vraag welk bestuurdersmodel er uiteindelijk het meest geschikt zal zijn voor het onderzoek zal van geval tot geval bekeken moeten worden. De verschillende bestuurdermodellen laten toe om de invloed van ingrepen zoals Dynamic Traffic management in te schatten. In de toepassingen van hoofdstuk 3 zal er met de verschillende bestuurdersmodellen gewerkt worden en zullen de verschillen dan ook te zien zijn Het logit model In het logit model gaan bestuurders die route nemen die voor hun de kleinste routekost lijkt te hebben. Daarom gaat elke bestuurder in dit model de routekost evalueren om een beslissing te kunnen nemen. De route proporties zijn tijdsafhankelijk en ze hangen af van de evaluatie van de routekost door de bestuurder. Het verschil tussen de waargenomen route kost c% door de bestuurder en de werkelijke route kost c kan uitgedrukt worden door een error component ε toe te voegen aan de werkelijke route kost. (zie(2.17)) ( ) = ( ) + ε ( ) c% k c k k (2.17) rs rs rs p p p Vervolgens gaat INDY ervan uit dat deze ε een onafhankelijke Gumbel verdeling hebben waardoor het logit model gebruikt kan worden om de routeproporties te bepalen. 2. Dynamic Traffic Assignment (DTA) 19

30 y rs p ( k ) = exp p' rs ( µ cp ( k )) rs µ c ( k ) exp ( p ) (2.18) In (2.18) geeft µ de mogelijkheid om de perceptie van de bestuurder in te stellen. µ is altijd groter dan nul. Wanneer µ klein is zullen de bestuurders een slecht zicht hebben op de route kosten en zal er dus een grote spreiding zijn op de mogelijke routes. Bij een grote µ daarentegen zullen meer en meer bestuurders voor de route kiezen met de kleinste route kost. De keuze voor een onafhankelijke Gumbel verdeling zorgt er wel voor dat overlappingen tussen de routes niet worden meegerekend. Aangezien nu de routeproporties tijdsafhankelijk gekend zijn is het mogelijk om de route stromen te bepalen. ( ) ( ) ( ) f k = y k D k (2.19) rs rs rs p p Uit vergelijkingen (2.18) en (2.19) blijkt dat de route stromen via de route proporties afhangen van de routekosten. De routekosten hangen dan weer af van de routetijden die dan weer afhangen van de routestromen. Om deze afhankelijkheid op te kunnen lossen is er een iteratieprocedure nodig die in het geval van INDY gebruikt maakt van MSA, hierover meer in Het alles of niets bestuurdersmodel In het alles of niets bestuurdersmodel gaan de bestuurders die route nemen met de werkelijk laagste routekost. Hiervoor hebben de bestuurders een perfecte kennis van de routekosten nodig. Dit komt overeen met het vorige geval maar dan met een ε die nul is of een µ die oneindig is. De bestuurders hebben nu een perfecte kennis van de routekosten. Hierdoor zal het gebruikersevenwicht zich instellen. De route stroom kan dan uitgedrukt worden zoals in (2.20). ( ) rs p ( ) ( k ) = rs f k = D k p is de route met de minimum route kost tussen r en s f p rs p 0 in de andere gevallen (2.20) 2. Dynamic Traffic Assignment (DTA) 20

31 Ook hier is de bepaling van de route stroom afhankelijk van de routekost en dus zit er dezelfde afhankelijkheid in als bij het logit model. Er is dus opnieuw een iteratie methode nodig (zie 2.2.5) Iteratie lus met de Method of Successive Averages (MSA) Deze iteratie lus is nodig om de vergelijkingen (2.18), (2.19) en (2.20) op te kunnen lossen. Het gebruikte iteratie schema maakt gebruik van MSA, hiervoor zouden ook andere schema s gebruikt kunnen worden maar de invloed hiervan zou echter klein zijn. De iteratie schema s zijn een noodzaak zijn om tot een oplossing te komen maar de oplossing op zich zal er niet door veranderen. Dit is in tegenstelling tot de verschillen die de bestuurdersmodellen zullen veroorzaken. MSA gaat de routestromen van alle iteratiestappen als een gemiddelde samenstellen voor ze aan LTM door te geven. De nieuwe routestromen worden telkens in elke iteratiestap in de bestuurdersmodellen berekend. Deze nieuwe routestromen zullen in MSA als tussentijdse routestromen ( ˆf ) behandeld worden. De routestromen die dan aan LTM worden doorgegeven, worden berekend via (2.21). Het verschil tussen de vorige gemiddelde routestroom en de tussentijdse routestroom wordt met een factor 1/iteratiestap van de vorige gemiddelde routestroom afgetrokken. Zodoende wordt er een gemiddelde bekomen van alle tussentijdse routestromen die er al geweest zijn in de iteraties. ( ) rs, i rs ( ), i 1 1 rs ( ), i 1 rs f p k = f p k f p ( k ) f ) p ( k ) (2.21) iteratiestap Een gevolg van het gebruik van MSA is dat door de factor 1/iteratiestap er na een groot aantal iteraties bijna geen aanpassing van de route stroom meer gebeurt. Dit wil echter niet direct zeggen dat er ook convergentie optreedt. Daarom is het nodig om altijd met de convergentie criteria in rekening te houden. 2. Dynamic Traffic Assignment (DTA) 21

32 2.2.6 Convergentie criteria Het eerste convergentie criterium G1 is de duality gap. Deze geeft een goede indicatie van de convergentie als het bestuurderstype alles of niets is. Dit kan afgeleid worden uit (2.22). ( ) ( ( ( ) ) p π ( )) rs, i rs, i rs, i p (, rs i r s) p P 1 ( ), ( ) ( ) c k k f k G k =, i = 1,..., I π rs ( i ) rs π ( k ) D ( k ) (2.22) ( r, s) { p } rs ( ) = min rs ( ) rs waarbij k c k p P Bij een alles of niets bestuurderstype is ofwel de routestroom f gelijk aan nul ofwel is de routestroom f niet gelijk aan nul maar in dat geval is de routekost c wel gelijk aan de minimale routekost π (eerste principe van Wardrop). In beide gevallen zal dus G1 bij een alles of niets bestuurderstype naar nul gaan. Aangezien in het logit model er geen exact gebruikersevenwicht zal optreden zal dit convergentiecriterium niet noodzakelijk naar nul gaan. Het tweede convergentie criterium G2 is een maat voor de relatieve verandering in routestromen. Veel routestroom veranderingen wijzen erop dat er nog geen convergentie opgetreden is. Dit criterium zal dus voor zowel het alles of niets bestuurderstype als voor het logit bestuurderstype naar nul gaan bij convergentie. ( r, s) rs ( r, s) ( ) ( ) rs, i rs, i 1 p p ( k ) ( ) ( ) f k f k p P G2 =, i = 2,..., I rs D (2.23) 2. Dynamic Traffic Assignment (DTA) 22

33 3. Toepassingen LTM is nu gecombineerd met het route keuze model en dus staat er een volledig DTA model ter beschikking. Allereerst is het nodig om de correcte werking van deze DTA te confirmeren. Daarom zullen in de eerste toepassingen de verschillende onderdelen ervan getest worden. Vervolgens wordt het dan mogelijk om een vergelijking tussen het hier ontwikkelde DTA model en INDY te maken. 3.1 LTM (Alles of niets bestuurderstype) Beschrijving netwerk en belasting Deze eerste toepassing heeft als netwerk de opbouw zoals in Figuur 7. De links zijn in het rood genummerd, de knopen in het zwart en de routes zijn aangeduid in het groen. Er zijn twee routes tussen hetzelfde herkomst bestemming paar (HB paar). Route 1 bestaat uit links 7, 1, 2, 3, 6, 8 en route 2 bestaat uit links 7, 1, 4, 5, 6, 8. De eigenschappen van de verschillende links staan in Tabel 2. Tabel 2: Eigenschappen links Link vf [km/uur] kjam [vtg/km] qm [vtg/uur] L [km] / / 3. Toepassingen 23

34 Route 1 is een snelle route met in elke link een vrije snelheid van 120 km/uur en een bottleneck qua maximale intensiteit in link 3. Een bottleneck is een beperkende factor in een route waardoor congestie zal optreden in de voorafgaande links. Hier is link 3 beperkend qua intensiteit ten opzichte van de andere links in route 1. Route 2 is trager omdat link 5 maar een vrije snelheid heeft van 50 km/uur. De bottleneck qua maximale intensiteit in link 5 is hier wel minder strikt. Figuur 7: Netwerk Case study 1 De belasting is terug te vinden in Tabel 3. Hierbij zijn de ODfracties de initiële verdeling die meegegeven wordt aan het model. De tijdsstappen zijn klein gekozen om de dynamische processen goed te kunnen volgen. De lange periode zonder belasting is nodig om het netwerk leeg te laten vloeien. Dit is nodig voor het DTA model maar deze periode zal geen essentiële informatie geven en zal dus ook in de volgende grafieken nooit meegenomen worden. Tabel 3: Belasting AON Belastingsperiode [uur] Belasting [vtg/uur] ODfractie route 1 ODfractie route 2 Tijdsstappen [uur] Toepassingen 24

35 Aan de hand van deze gegevens is dan mogelijk om de nodige inputfile op te stellen voor het DTA model, deze is terug te vinden in Bijlage B Resultaten DTA MSA invloed De invloed van MSA op de routekosten zal aangetoond woorden in de eerste iteratiestappen. De routekosten zijn in deze toepassing volledig afhankelijk van de routetijd. In de volgende figuren is telkens per iteratie de routekost te zien van de twee routes over de beschouwde periode. Bij de eerste iteratie (Figuur 8) wordt er door de initiële verdeling 90% van het verkeer over route 1 gestuurd. Aangezien er hierdoor file zal ontstaan op link 2 door de bottleneck in link 3 stijgt de routekost van route 1 sterk. De routekost van route 2 blijft constant. Figuur 8: iteratie 1 AON Vanaf 0.19 uur is de routekost van route 1 hoger dan die van route 2. In iteratie 2 zal het alles of niets bestuurderstype vanaf dan ook kiezen alle verkeer over 3. Toepassingen 25

36 deze route te sturen. MSA gaat deze routestroom dan samenstellen met de vorige zodat een gemiddelde van beide waarden bekomen wordt. Dit uit zich in Figuur 9. Vanaf 0.19 uur vermindert de stijging van de routekost van route 1 aangezien vanaf dan een groter deel van het verkeer voor route 2 gaat kiezen. De routekost van route 2 stijgt vanaf dat moment dan ook door de opbouw van file. Voor 0.19 uur krijgt route 1 nog meer verkeer toegewezen omdat het daar de laagste routekost heeft. Hierdoor stijgt de routekost in de volgende iteratie en schuift het snijpunt naar een vroeger tijdstip. Figuur 9: iteratie 2 AON De routekosten na iteratie 2 tonen aan dat vanaf 0.14 uur route 2 de laagste routekost heeft. Vanaf dan krijgt route 2 dus volgens het alles of niets bestuurderstype alle verkeer en voor 0.14 uur krijgt route 1 de volledige verkeerstroom. MSA gaat deze nieuwe routestromen echter steeds middelen met de vorige uitkomst waardoor de aanpassingen die gebeuren steeds kleiner worden. De nieuwe routestromen krijgen immers steeds een minder groot gewicht in het gemiddelde. Daarom is de verschuiving die gebeurt tussen iteratie 1 en iteratie 2 veel groter dan de verschuiving die we zien tussen iteratie 2 en iteratie 3 (Figuur 10). 3. Toepassingen 26

37 Figuur 10: iteratie 3 AON In iteratie 4 is het duidelijk dat er teveel verkeer toegewezen is aan route 2. De routekost is vanaf 0.22 uur immers groter dan die van route 1. In de volgende iteratie zal dat dus aangepast worden. Op deze manier bewegen de routekosten van beide routes naar mekaar toe. Bij de start van de belastingsperiode begint route 1 steeds met een lagere routekost omdat er daar een hogere gemiddelde snelheid toegestaan is en de file zich nog aan het opbouwen is. Er moet al een zekere hoeveelheid file in deze route ontstaan voor dat de routekosten in beide routes gelijk worden. Figuur 11: iteratie 4 AON 3. Toepassingen 27

38 Evenwicht Om tot een evenwichtstoedeling te komen zijn er een voldoende aantal iteraties nodig. Via het convergentiecriterium duality gap kunnen we kijken of er convergentie opgetreden is. Dit convergentiecriterium gaat naar 0 bij een perfect evenwicht. De duality gap (Figuur 12) toont aan dat er zeker een 30tal iteraties nodig zijn om goede waarden te bereiken. Hierna zakt het convergentiecriterium echter nog steeds. Dit convergentiecriterium kan dan ook gebruikt worden om het aantal iteraties te bepalen. Eens de waarde dicht genoeg bij 0 zit kan de iteratie gestopt worden. Aangezien in iteratie 100 de duality gap klein geworden is, zal daar het evenwicht geëvalueerd worden. Figuur 12: duality gap AON Volgens het eerste principe van Wardrop [10] geldt dat er zich een gebruikersevenwicht instelt wanneer alle gebruikte routes de minimale routekost hebben. Figuur 13 toont de routekosten van de beide routes na 100 iteraties en Figuur 14 toont de ODfracties per route, dit is de fractie van de vraag die gebruik gaat maken van een bepaalde route. 3. Toepassingen 28

39 Figuur 13: Routekosten AON iteratie 100 Bij de ODfractie (Figuur 14) is te zien dat tot 0.08 uur 100% van de vraag afgewikkeld wordt via route 1. De routekosten (Figuur 13) van route 1 zijn tot dat moment het minimum van beide alternatieven. Vanaf 0.08 uur zijn de routekosten van beide routes echter gelijk. In de ODfractie is dan ook te zien dat er van beide routes gebruik gemaakt zal worden. De routekosten stijgen op beide routes omdat de vraag van 4000 vtg/uur niet congestievrij kan opgevangen worden door de routes. Op beide routes zal dus er zich dus een file opbouwen. De file aangroei op route 1 is groter dan de file aangroei op route 2 omdat de grotere vrije snelheid op route 1 gecompenseerd moet worden. Dit is te zien op de cumulatieve curven (Figuur 15). Figuur 14: ODfractie AON iteratie Toepassingen 29

40 Links in Figuur 15 is de file opbouw van route 1 in link 2 te zien, rechts de file opbouw van route 2 in link 4. De aangroei van het volume voertuigen op link 2 (verticale afstand: zie Inleiding) is groter dan de aangroei op link 4. De file opbouw in route 1 zal dus sneller gebeuren. Figuur 15: file opbouw toepassing Conclusie Uit de resultaten van dit netwerk kan besloten worden dat de dynamische toedeling werkt. Het eerste principe van Wardrop geldt immers voor de evenwichtstoedeling. 3. Toepassingen 30

41 3.2 LTM (Logit bestuurderstype) Invloed van parameter µ We gebruiken opnieuw hetzelfde netwerk en dezelfde belasting als bij het Alles of niets bestuurderstype. Nu gaan we echter de berekeningen uitvoeren met het logit model. Aangezien er hier slechts een keuze is tussen twee alternatieven; route 1 en route 2, vereenvoudigt het logit model tot een binair logit model. De routeproporties kunnen dan vereenvoudigd worden zoals in (3.1) te zien is voor route 1. y 1 ( k ) ( µ c1 ( k )) ( ) exp 1 = = exp exp 1 exp ( ) ( µ c1 k ) + ( µ c2 ( k )) + µ ( c1 ( k ) c2 ( k )) De invloed van de verschillende waarden voor µ kunnen duidelijk aangetoond worden. In Figuur 16 zijn vier logistische curven voor verschillende waarden van µ getoond, dit zijn curven waar op de X-as het verschil in routekosten, c k c k y k. ( ) ( ), staat en op de Y-as de routeproportie, ( ) (3.1) Figuur 16:Invloed van µ in logit model 3. Toepassingen 31

42 Voor elke µ gaat de curve bij x = 0 steeds door 0.5. Als de routekosten gelijk zijn moet elke route immers de helft van de voertuigen te verwerken krijgen. Bij grotere verschillen in routekost zullen de curven asymptotisch naar 1 gaan. Dit simuleert het geval dat de bestuurders merken dat er een verschil is en dat verschil zal hun keuze beïnvloeden zodat er meer bestuurders de gunstige route gaan nemen. Via µ kan de snelheid van deze perceptie beïnvloed worden. Bij µ = 0.1 ziet men dat de proportie niet ver van 0.5 zal afwijken. De bestuurders houden als het ware weinig rekening met de routekosten en verdelen zich bijna evenredig over de aangeboden routes. Bij almaar grotere µ schakelen de bestuurders sneller over naar de gunstige route. In het geval van µ = 100 wordt het alles of niets bestuurderstype benaderd. Reeds bij kleine verschillen zullen de proporties op 1 of op 0 springen Resultaten DTA Er kan gebruik gemaakt worden van dezelfde inputfile als bij de vorige toepassing, maar er moeten wel andere parameters ingevuld worden in het programma zodat er met het logit model i.p.v. met het alles of niets model gewerkt wordt. Om de invloed van de parameter µ aan te tonen is er met verschillende waarden gewerkt namelijk 0.1, 1, 10, 14, 100. De waarde 14 is meegenomen omdat het INDY model [5] deze waarde aangaf als een goede weerspiegeling van werkelijk rijgedrag. In de volgende figuren (Figuur 17, Figuur 18 en Figuur 19) zijn telkens de resultaten te zien na 100 iteratiestappen. Bij kleine waarden van µ (Figuur 17) zien we dat de ODfracties over de tijd (rechts in de figuur) niet sterk verschillen van 50%. Aangezien de bestuurders weinig rekening houden met routetijden verdelen ze hun evenredig over de twee alternatieven. De verschillen tussen de routekosten zakken wel. Dit komt omdat de file opbouw in route 1 groter zal zijn door de nauwere bottleneck. 3. Toepassingen 32

43 Figuur 17: Routekost en ODfractie kleine µ Bij de meer realistisch waarden (Figuur 18) gaan de routekosten sneller naar mekaar toe. In de ODfracties is dan ook te zien dat de meeste bestuurders wel degelijk rekening houden met de routekosten aangezien route 1 in het begin duidelijk meer gebruikt wordt. Figuur 18: Routekost en ODfractie realistische µ 3. Toepassingen 33

44 Figuur 19 is het bewijs dat bij grote waarden van µ de toedeling naar de alles of niets oplossing evolueert. Zowel de routekosten als de ODfracties vertonen gelijkaardig gedrag. De ODfracties bewegen zich in al deze gevallen geleidelijker dan bij de alles of niets toedeling. Dit is normaal omdat kleine verschillen wel nog een volledige omslag veroorzaken bij het alles of niets bestuurderstype, bij het logit model zullen bij kleine verschillen tussenliggende waarden aangenomen worden. De veranderingen zijn dus minder drastisch. Figuur 19: Routekost en ODfractie grote µ Bij de verschillende bestuurdersmodellen hoorden ook verschillende convergentiecriteria, Figuur 20 toont de oorzaak. Links is de duality gap te zien en rechts het convergentiecriterium G2. Deze convergentiecriteria kunnen als stop criterium voor de iteraties gebruikt worden. Er is te zien dat bij de duality gap de waarde stabiliseert op een relatief hoge waarde. Een stopcriterium van 0.01 zou bijvoorbeeld geen nut hebben. Het duality gap criterium controleert immers hoe ver de oplossing nog van het gebruikersevenwicht afzit. Aangezien echter het logit model niet naar het gebruikersevenwicht evolueert, blijft deze waarde altijd een eindje van 0 af. G2 is een maat voor het aantal omschakelingen van voertuigen die er nog gebeuren en kan dus zowel voor het alles of niets model en voor het logit model gebruikt worden als convergentiecriterium. Het is duidelijk dat na een 15tal iteraties de waarde hiervan tot bijna 0 terugvalt en er dus eigenlijk geen 100 iteraties uitgevoerd hadden moeten worden. 3. Toepassingen 34

45 Figuur 20: Convergentiecriteria µ Conclusie De resultaten die uit het DTA model met het logit model komen zijn te verklaren met de achterliggende theorie. Dit geeft de zekerheid dat ook het logit model correct werkt. Uit deze toepassing blijkt ook duidelijk dat µ een grote invloed uitoefent op de resultaten en dat het juist invullen van deze parameter een belangrijke stap is om goede resultaten te bekomen. 3. Toepassingen 35

46 3.3 Vergelijking van LTM met INDY Nu de juiste werking van het DTA model met LTM als DNL aangetoond is, wordt het mogelijk om een vergelijking met een ander DTA model te maken. Het INDY model [5] is een volledig DTA model. Aangezien in deze twee DTA modellen dezelfde routekeuze module is geïmplementeerd, is het mogelijk om de twee DNL s met elkaar te vergelijken. Verschillen in de resultaten zullen immers volledig hiervan afhankelijk zijn. In OmniTRANS [6] is het mogelijk om met het INDY model als DTA te werken. Beide DTA modellen zullen nu dezelfde gegevens te verwerken krijgen zodat de verschillen aangetoond kunnen worden Beschrijving netwerk en belasting Voor de vergelijking zal het netwerk getoond in Figuur 21 gebruikt worden. De links zijn in het rood genummerd, de knopen in het zwart en de routes zijn aangeduid in het groen. De eigenschappen van de verschillende links zijn terug te vinden in Tabel 4. Hierin is te zien dat link 9 een kleiner vf heeft dan links 2, 3 en 7, hierdoor is route 1 zonder file preferabel op route 2. Link 5 vormt met een lagere maximale intensiteit een bottleneck. De belasting staat samengevat in Tabel 5. Met al deze gegevens kan er voor LTM een inputfile opgesteld worden (Bijlage C), dezelfde gegevens werden in OmniTRANS ingegeven. 3. Toepassingen 36

47 Figuur 21: Netwerk Case study 2 Tabel 4: Eigenschappen links toepassing LTM - INDY Link vf [km/uur] kjam [vtg/km] qm [vtg/uur] L [km] / / / / 3. Toepassingen 37