a) Welke eisen stelt men aan een distributiefunctie?

Transcriptie

1 Vragen Immers pagina 1 van 6 Examen Verkeerskunde (H01I6A) Katholieke Universiteit Leuven Afdeling Industrieel Beleid / Verkeer & Infrastructuur Datum: vrijdag 20 juni 2008 Tijd: Instructies: uur Er zijn 5 vragen over het gedeelte van het vak gedoceerd door prof. Immers. De gereserveerde tijd hiervoor is van 9.00 tot uur Er zijn 2 vragen over het gedeelte van het vak gedoceerd door prof. Beeldens. De gereserveerde tijd hiervoor is van tot uur. De vragen van prof. Beeldens worden separaat uitgedeeld. Start de beantwoording van elk van de 5 vragen van prof. Immers en de 2 vragen van prof. Beeldens op een nieuw blad. Schrijf op elk blad uw naam en het nummer van de vraag. Weet u het antwoord niet op een vraag, lever dan een leeg blad in (wel met uw naam en het nummer van de vraag!) Enige tijd na het examen vindt u op de website van Verkeer en Infrastructuur ( een overzicht van mogelijke oplossingen van de examenvragen. De bladen met vragen kunt u behouden. Vragen prof. Immers Vraag 1 Distributie In een verkeersprognosemodel worden de verplaatsingen, die berekend zijn in het productie- attractiemodel verdeeld over (toegewezen aan) mogelijke herkomstbestemmingsrelaties. Daartoe maakt men veelal gebruik van een distributiefunctie. a) Welke eisen stelt men aan een distributiefunctie? Vaak maakt men gebruik van een distributiefunctie die de vorm heeft van een negatief exponentiele functie. b) Welk bezwaar kleeft aan het gebruik van een dergelijke functie? Stel men beschikt over een distributiefunctie die geschat is voor woon-werk verplaatsingen. c) Kan men dezelfde functie ook gebruiken voor het berekenen van de distributie van verplaatsingen met een ander motief? Motiveer uw antwoord. Men onderscheidt het interzonale verkeer (herkomst en bestemming in verschillende zones) en het intrazonale verkeer (herkomst en bestemming in dezelfde zone). d) Op welke problemen stuit men indien men het intrazonale verkeer in de distributieberekening wil meenemen?

2 Vragen Immers pagina 2 van 6 Vraag 2 Toedeling Bij het berekenen van een alles-of-niets toedeling moeten veelvuldig kortste (of snelste) routes in een netwerk bepaald worden. Een veelgebruikt algoritme daarvoor is het algoritme van Dijkstra. a) In bovenstaand netwerk moet met behulp van het algoritme van Dijkstra de kortste routeboom worden opgebouwd vanuit knooppunt A naar alle andere knooppunten. De pijlen geven de rijrichting aan en de getallen langs de schakels de rijtijd. Licht de werking van het algoritme toe door in detail uit te leggen wat er in de achtereenvolgende stappen van het algoritme gebeurt. U kunt dat bijvoorbeeld doen door middel van een tabel met een kolom voor elk knooppunt en een rij voor elke iteratie. Bij eenvoudige netwerken is het mogelijk om een verkeerstoedeling analytisch en met de hand uit te rekenen, bij gecompliceerde netwerken moet men gebruikmaken van computerprogramma s die iteratief de toedeling bepalen. De onderstaande vragen gaan over de algoritmes die in die programma s worden gebruikt. U kunt bij de onderstaande vragen een algoritme in pseudo-code geven (zoals in de cursustekst), maar dat hoeft niet. Wel belangrijk is dat u kort in woorden omschrijft waar een algoritme in essentie op neerkomt. Ga ervan uit dat u over een HB-tabel beschikt en over reistijdfuncties (tijdverliesfuncties) voor alle schakels. Ook mag u ervan uitgaan dat u al over een algoritme voor een alles-of-niets toedeling beschikt. b) Geef het algoritme voor de stochastische toedeling (op basis van simulatie) c) Geef het algoritme voor de deterministische evenwichtstoedeling d) Geef het algoritme voor de stochastische evenwichtstoedeling

3 Vragen Immers pagina 3 van 6 Vraag 3 Transportnetwerken a) In bepaalde gevallen is het interessant stelsels te onderscheiden bij de opbouw van verkeersnetwerken. Geef aan waarom het soms wel en waarom het soms niet interessant is om stelsels te onderscheiden. b) Welke ontwerpvariabelen staan ons ter beschikking bij het ontwerp van een openbaar vervoernetwerk? In hoeverre hebben deze ontwerpvariabelen invloed op de verschillende kwaliteit- en kostenelementen van het openbaar vervoer? c) Bij het ontwerp van een netwerk verdient het de voorkeur bepaalde ontwerpstappen in een zekere volorde te doorlopen (bijv. ontwerp eerst een ideaaltypisch netwerk en vergelijk dat vervolgens met het bestaande netwerk. Hieronder staat een aantal van deze in volgorde te doorlopen stappen weergegeven. Geef voor elk paar stappen aan welke activiteit vooraf dient te gaan aan de andere en motiveer uw antwoord. Begin te ontwerpen op laag schaalniveau begin te ontwerpen op hoog schaalniveau Eerst afzonderlijke elementen bepalen eerst structuur van het netwerk bepalen Eerst collectief vervoersysteem ontwerpen eerst individueel vervoersysteem ontwerpen Stel eerst de benodigde capaciteit op een verbinding vast stel eerst de benodigde kwaliteit op een verbinding vast Bepaal eerst de vorm van het netwerk en leg vervolgens de toegangspunten vast bepaal eerst welke de toegangspunten moeten zijn en verbind deze toegangspunten tot een netwerk Het bepalen van de functie van een netwerkschakel gaat vooraf aan het vaststellen van de vorm en de te gebruiken techniek het bepalen van vorm en techniek gaat vooraf aan het vaststellen van de functie van een schakel.

4 Vragen Immers pagina 4 van 6 Vraag 4 Vervoerseconomie A B S C In nevenstaand netwerk stroomt verkeer van herkomst A naar bestemming C (via de schakels AS en SC) en van herkomst B naar bestemming C (via de schakels BS en SC). De pijlen geven de toegelaten rijrichtingen aan op het netwerk. In deze vraag kijken we enkel naar tijdkosten en tolkosten. We stellen derhalve alle andere kosten, zoals bijv. kosten van autobezit en autogebruik, milieukosten, wegbeheer en kosten voor het tolheffingssysteem, gelijk aan nul. De vraagfuncties voor beide relaties AC en BC zijn: q AC qbc VAC = 16 en VBC = De vraagfuncties geven aan hoeveel voertuigen per uur van A naar C willen gaan (of van B naar C) bij bepaalde kosten. In deze functies stellen V de kosten voor (in euro s) van een rit van A naar C, resp. van B naar C. De stromen (uitgedrukt in voertuigen/uur) worden aangegeven door q AC en q BC. De private tijdkosten voor elk van de schakels AS, BS en SC worden gegeven door: x c ( x) = Dat wil zeggen: als er x voertuigen/uur bijvoorbeeld over schakel AS gaan dan ondervindt elk van die x voertuigen een tijdkost van c(x) euro s voor de rit over deze schakel AS. Hetzelfde geldt voor de twee andere schakels. Let op: in dit vraagstuk is er dus sprake van twee markten, elk met hun eigen vraagfunctie! De ene markt is de markt voor verplaatsingen van A naar C, de andere is de markt voor verplaatsingen van B naar C. De markten komen overeen met de twee HB (herkomst-bestemmings) relaties AC en BC. Er is enige interactie, want beide markten maken gebruik van netwerkschakel SC. Vragen: a) Wat verstaat men onder de first-best oplossing bij de beprijzing van een verkeersnetwerk (met meerdere HB-relaties)? b) Beantwoord voor het bovenstaande netwerk de volgende vragen: b1) Bereken de first-best oplossing voor het netwerk. Dat wil zeggen: op welke schakels moet hoeveel tol worden geheven om de first-best oplossing te bereiken? b2) Bereken de welvaartsverbetering voor die first-best oplossing. Hint: Maak bij de berekening gebruik van de symmetrie in het probleem!

5 Vragen Immers pagina 5 van 6 Vraag 5 Verkeersstroomtheorie q C Beschouw een knelpunt veroorzaakt door een oprit op een snelweg met bijgevoegd fundamenteel diagram (zowel voor als na de oprit). Merk op dat de vrije snelheid dus oneindig is. w k Je mag veronderstellen dat invoegend verkeer altijd voorrang neemt op reeds aanwezig snelwegverkeer. De verkeersvraag op de snelweg en oprit is gegeven in bijgaande figuur. Volgende parameters zijn gegeven: C 900 vtg/u I I + w t 1 t 2 t 3 t 4 t 5 t vtg/u 300 vtg/u 10 km/u 1 u 0.5 u 0.5 u 0.5 u 1 u 0.5 u q C C - I I + I 0 t 1 t 2 t 3 t 4 t 5 t 6 Τ snelweg oprit t Gevraagd: a) Hoe lang wordt de file maximaal? Wanneer is alle file opgelost? b) Teken het verloop in x en t van de filevorming. Duid alle verkeerstoestanden die voorkomen aan op je fundamenteel diagram, alsook alle schokgolven. c) Wat is de totale verblijftijd (aantal voertuiguren) in het netwerk (oprit, snelweg voor invoegen, snelweg na invoegen)? d) Wat is de gemiddelde verkeersvraag die het knelpunt te verwerken krijgt? Wat is dus de gemiddelde I/C verhouding?

6 Vragen Immers pagina 6 van 6 e) Stel: we trachten de afwikkeling tijdens de periode T in dit knelpunt te modelleren met een statisch model. We veronderstellen de reistijdfunctie (reistijd per voertuig) voor elk van de drie schakels (oprit, snelweg voor invoegen, snelweg na invoegen) gelijk en in de vorm van een BPR-achtige curve: 4 t 0.15 I = * C De parameter C * van deze BPR-curve mag normaliter niet veel afwijken van de fysieke capaciteit en we kiezen deze dus gelijk aan 900 vtg/u voor de snelwegschakels en 450 vtg/u voor de oprit. Bereken de totale verblijftijd op de drie schakels samen volgens het statische model. f) Hoe verklaar je de overeenkomsten en/of verschillen tussen het statische en dynamische resultaat? Had je dit verwacht? Stel dat de totale verkeersvraag 10% lager zou liggen, hoeveel kleiner zou dan volgens het statische model de totale verblijftijd worden? Denk je dat je met het dynamische model dezelfde gevoeligheid zou krijgen (alleen kwalitatief, geen berekeningen voor het dynamische model)?

7 Vragen Beeldens pagina 1 van 1 Examen H01 I6a: Verkeerskunde - deel Wegenbouwkunde - 20 juni 2008 Tijd: Instructies: uur Start de beantwoording van elk van de 2 vragen op een nieuw blad. Schrijf op elk blad uw naam en het nummer van de vraag. Weet u het antwoord niet op een vraag, lever dan een leeg blad in (wel met uw naam en het nummer van de vraag!) Dit blad met vragen kunt u behouden. Vragen prof. Beeldens Vraag 1: Hoe kan bij het tracé en het ontwerp reeds rekening gehouden worden met de veiligheid van de weggebruiker? Waar dient vooral op gelet te worden bij de keuze van het tracé (lengteprofiel, dwarsprofiel)? Hoe kan de verharding zelf helpen om de veiligheid te optimaliseren? Geef algemeen de verschillende punten weer. Vraag 2: In een stedelijke omgeving wordt een weg aangelegd. In het midden van de weg wordt een busbaan voorzien. Hoe zou je de structuuropbouw van de verschillende delen voorzien (voetpad, weg, busbaan)? Geef de structuur weer vanop de baankoffer tot en met de verharding (betonverharding, asfaltverharding of bestratingen). Maak een duidelijke schets van het dwarsprofiel en bespreek je keuze. Geef aan waarom je dit bepaald materiaal gekozen hebt en wat een eventueel alternatief had kunnen zijn.

8 Oplossingen Katholieke Universiteit Leuven Departement Burgerlijke Bouwkunde Oplossingen examen Verkeerskunde (H01I6A) Datum: vrijdag 20 juni 2008 Vraag 1 a) De belangrijkste eigenschap is dat de distributiefunctie over het algemeen een dalend verloop met de weerstand vertoont. Bij distributiefuncties voor autoverplaatsingen komt soms een aanvankelijk stijgend en daarna dalend verloop voor. Verder moet een absoluut verschil in weerstand bij grotere weerstanden een kleiner effect hebben (zie vraag b) b) Nadeel van de negatief exponentiele functie is dat eenzelfde absolute toename in weerstand hetzelfde relatieve effect heeft bij lage en hoge weerstanden. Dit is niet plausibel. Een verhoging van de weerstand van 10 naar 20 minuten zal (verhoudingsgewijs) meer invloed hebben op het aantal verplaatsingen dan een verhoging van 120 naar 130 minuten. (Laat dat zien door een negatief-exponentiele functie op te stellen en de waarde van de functie te vergelijken bij een toename van bijv. 10 naar 20 minuten en 120 naar 130 minuten.) c) Distributiefuncties geven het effect aan van de weerstand op de hoeveelheid verplaatsingen. Dat effect is niet hetzelfde voor alle motieven. Bijv bij woon-werk verkeer zal er een minder geprononceerd effect zijn van de weerstand (minder snel dalende functie) dan bij winkelverplaatsingen. Ook bijv recreatief verkeer zal anders op weerstandsveranderingen reageren dan bijv het schoolverkeer. Dus bij voorkeur verschillende distributiefuncties bij verschillende motieven. d) Zie cursustekst hfdst Vraag 2 a) Het algoritme van Dijkstra is terug te vinden in de cursustekst en is in de les behandeld. Een vaag idee over het verloop van het algoritme volstaat niet, dan loopt het bij een complex netwerk zeker fout. Voor het gegeven netwerk zijn in onderstaande tabel de definitieve knooppunten onderstreept. Het laatst definitief gemaakte knooppunt staat in bold. Lege cellen in de tabel hebben het tijdelijke label oneindig. A B C D E

9 Oplossingen A=0 B=5 E=9 C=2 D=4 b) Zie cursustekst c) Zie cursusteks d) Zie cursustekst Vraag 3 De antwoorden op de vragen a, b en c zijn terug te vinden in hoofdstuk 4 van de cursustekst Verkeers- en vervoersystemen. Vraag 4 4a) De first-best oplossing voor een netwerk is die situatie waarbij het totale surplus (gerekend over het hele netwerk en alle HB-relaties) maximaal is. Het totale surplus is gelijk aan de totale baten minus de totale kosten, ofwel gelijk aan de oppervlakte onder de vraagkrommes voor alle HB-relaties (markten) verminderd met de totale tijdkosten op het netwerk. 4b1) We geven een uitgebreide bespreking van dit vraagstuk. Stel q 1 is de stroom van A naar C en q 2 is de stroom van B naar C. We kunnen q 1 en q 2 variëren door tol te heffen op de schakels van het netwerk. We willen nu q 1 en q 2 zodanig instellen dat het totaal surplus maximaal is. We kunnen die optimale q 1 en q 2 instellen door het juiste tolbedrag tol AC (= tol AS + tol SC ) en tol BC (= tol BS + tol SC ) te heffen op de HBrelaties AC en BC. Het totaal surplus S is gelijk aan de totale baten (som van oppervlak onder beide (!) vraagcurves voor de twee HB-relaties) verminderd met de totale kosten op het netwerk (stroom op een schakel maal de tijdkosten op een schakel). We zijn echter niet helemaal vrij in de keuze van q 1 en q 2. Met andere woorden: we moeten een maximalisatieprobleem oplossen onder beperkende voorwaarden. De voorwaarden zijn de volgende: ten eerste moeten de gebruikerskosten op beide HB-relaties gelijk zijn aan de waarde van de vraagfunctie voor de betreffende relatie; ten tweede moet voor alle relaties het 1 e principe van Wardrop gelden. De tweede voorwaarde (principe van Wardrop) speelt echter in het gegeven netwerk geen rol; er is maar 1 route mogelijk, zowel voor HB-relatie AC als voor HB-relatie BC.

10 Oplossingen Het totaal surplus voor dit netwerk is: q1 S = ( 16 z /1000) dz + (16 z /1000) dz q1 * c( q1 ) q2 * c( q2 ) ( q1 + q2 ) * c( q1 + q2 ) 0 q2 0 Dus de opgave luidt: max S( q1, q2 ) q 1 q 2 onder de voorwaarden: V AC = 16 q 1 /1000 = c(q 1 ) + c(q 1 + q 2 ) + tol AC (1) (vraag AC = gebruikerskost AC) V BC = 16 q 2 /1000 = c(q 2 ) + c(q 1 + q 2 ) + tol BC (2) (vraag BC = gebruikerskost BC) Het maximum wordt gevonden door differentiëren van S(q 1, q 2 ) naar q 1 en q 2 en gelijkstelling van de afgeleiden aan nul. Dit leidt tot de volgende twee vergelijkingen in q 1 en q 2 : 16 q 1 /1000 = 2 + 2q 1 / (q 1 + q 2 )/1000 (3) 16 q 2 /1000 = 2 + 2q 2 / (q 1 + q 2 )/1000 (4) Oplossen van 2 vgl met 2 onbekenden (3) en (4) leidt tot q 1 = q 2 = 12000/ vrtg/uur (Symmetrie van het probleem leidt tot een sterke vereenvoudiging van de berekening!) Aan de voorwaarden (1) en (2) wordt voldaan door bij de waarden van q 1 en q 2 de juiste waarden voor tol AC en tol BC te berekenen. We vinden door invulling van q1 en q2 in vergelijkingen (1) en (2): tol AC = tol BC = 36/7 5,14 euro. De vergelijkingen (1), (2), (3) en (4) zijn een uitdrukking van de regel dat om de first-best situatie te bekomen men op elke HB-relatie (markt) een tol moet heffen die gelijk is aan de marginale externe kosten op die relatie. (De marginale externe kosten behorend bij de stromen in de evenwichtssituatie die ontstaat na tolheffing!). Op welke schakels moet de tol geheven worden? Er is een vrijheid om de tol te verdelen over de schakels van de gebruikte routes van een HBrelatie. De bovenberekende tol moet geheven worden over de gehele HB-relatie. Dit kan voor elk netwerk, hoe ingewikkeld het netwerk ook is, altijd bereikt worden door op elke schakel in een gebruikte route van die HB-relatie een tol te heffen gelijk aan de marginale externe kosten op die schakel. De marginale externe kosten op een schakel zijn hier gelijk aan x/1000, waar x de stroom over een schakel is. Toepassing op dit netwerkje geeft tol AS = tol BS = 1,71 euro en tol SC = 3,43 euro. Dat is in elk geval goed. maar in dit bijzondere geval hoeft de tolheffing niet precies zo te zijn, het mag ook anders verdeeld zijn over de schakels. Bijvoorbeeld tol AS = tol BS = 5,14 en tol SC = 0 of: tol AS = tol BS = 1 en tol SC = 4,14 (of een andere verdeling, zolang het totaal op een HB-relatie maar 5,14 euro is). Bij bepaalde (eenvoudige) netwerken (zoals het netwerk in dit vraagstuk) hebben we dus soms nog enige vrijheid in de tolheffing per schakel. Vraag 4b2) De welvaartsverbetering vinden we door vergelijking van het totaal surplus in de first-best situatie (optimale tol) met het totaal surplus in de situatie zonder tol.

11 Oplossingen Voor de situatie zonder tol vinden we (door gelijkstelling van de vraag aan de gebruikerskosten): q 1 = q 2 = 3000 en tijdkosten schakels AS en BS 5 euro en tijdkosten schakel SC is 8 euro. Voor de first-best situatie vonden we hierboven: q1 = q2 = Hierbij zijn tijdkosten AS en BS 3,71 euro en tijdkosten schakel SC is 5,43 euro. Invulling in de formule voor het totaal surplus S geeft: Totaal surplus (zonder tol) = totale baten over de twee HB-relaties(!) tijdkosten = * * * * 8 = 9000 Totaal surplus (met tol) = totale baten over de twee HB-relaties(!) tijdkosten = * * 3, * 3, * 5,43 = De welvaartsverbetering is dus = euro/uur Er is nog een andere manier om de welvaartsverbetering te vinden, namelijk door de welvaartsverandering voor alle partijen (en voor de 2 HB-relaties!) te berekenen en dan het saldo te nemen. We berekenen daartoe de kosten en baten van de automobilisten voor en na de tolheffing. De baten voor de automobilisten die blijven rijden veranderen niet (zelfde oppervlak onder vraagfunctie) maar hun kosten nemen toe want het tolbedrag is hoger dan de tijdwinst (uitgedrukt in euro s) die ze boeken. Ook de automobilisten die afhaken verliezen erop. Weliswaar besparen ze de kosten van de autorit, maar de verloren baten zijn hoger (logisch want anders zouden ze de rit helemaal niet gemaakt hebben, toen er nog geen tol was). Bij uitwerking (doe dat eens ter oefening!) vinden we: Afname welvaart automob die blijven rijden (2 HB-relaties) = euro Afname welvaart automob die niet meer rijden door tolheffing (2 HB-relaties) = euro Toename welvaart overheid (tolinkomst) = (hoe tol ook over schakels is verdeeld) Toename welvaart samenleving = = euro/uur (zelfde uitkomst als boven).

12 Oplossingen Vraag 5 C snelweg q C x C C I + C - I C I + C t C - I C I + w 1 L max w v 1 k - k + k j k t 1 t 2 t 3 t 4 t 5 t 6 a) Men vindt eenvoudig in het fundamenteel diagram: k j = 90 vtg/km; k - = 20 vtg/km; k + = 30 vtg/km; w 1 = 10/3 km/u; v 1 = 20 km/u Τ t De capaciteit C snelweg die nadat de oprit zijn deel ingenomen heeft nog over is voor verkeer op de snelweg is aangegeven in bovenstaande figuur. Men verkrijgt hoger getoond x-t diagram. Toevallig komt telkens met het snijpunt van schokgolven een verandering van de verkeersvraag op de snelweg overeen, wat de figuur sterk vereenvoudigt. b) L max = 10 km, waardoor de file, die vanaf het eind van t 5 oplost met snelheid v1=20km/u, een half uur later opgelost is; dit komt toevallig precies overeen met het eind van interval t 6 en dus lost de file op tegen het eind van interval T. c) Door de oneindige vrije snelheid is de verblijftijd op de oprit en in het knelpunt zelf (= snelweg na de oprit) waar geen file optreedt gelijk aan 0. Blijft over het filegebied, waar de totale verblijftijd = k ds. Deze integraal S valt uiteen in 3 gebieden met homogene dichtheid: + + TTS = k Opp ( ) + k Opp ( ) + k Opp ( ) * 5 1.5*10 = *1.5* = 600vtg u d) Gemiddelde verkeersvraag = integraal van de opgegeven intensiteiten over de tijd / periode T = 900 vtg/u gemiddelde I/C = 1 Dit is geen toeval uiteraard nadat bleek dat er file stond precies vanaf de start tot het eind van interval T; het knelpunt is dus gemiddeld precies aan capaciteit belast, zij het met perioden van overbelasting en rustiger periodes afgewisseld.

13 Oplossingen e) Voor de 3 schakels i in het statische model berekenen we de gemiddelde intensiteit in T en berekenen we de totale verblijftijd als het aantal voertuigen N i * verblijftijd per voertuig: ( i ) ε + 1 ε ε i I i αt I i α * * * ε i i i stat I TTSi = Niα = I T = C C C De totale verblijftijd is dan: TTS = TTS + TTS + TTS oprit snelweg knelpunt stat stat stat stat met α = 0.15; ε = 4 = = 654vtg u f) De benadering van de dynamische TTS is verrassend goed (binnen de 10%). Echter, dit is eerder een gelukstreffer door goede calibratie, want de statische TTS is afhankelijk van een aantal vrij arbitraire parameters: de periode T, de parameters α (=0.15) en ε (=4) van de BPR-curve en de rekenwaarden van de capaciteiten C *. Dit blijkt pas goed bij de gevoeligheidsanalyse. De TTS stat voor een 10% lagere vraag vinden we door de eerder berekende TTS stat te vermenigvuldigen met (want de TTS is evenredig met I 5 ) en wordt dus 430 vtgu. In het dynamische model is vrijwel elke overbelasting weg (slechts heel kortstondige filevorming tijdens t 3 ) en valt de TTS terug op een heel kleine waarde en niet tot 66% zoals het statische model suggereert. De gevoeligheid van het statische model is dus totaal verschillend (en fout), waardoor het model (dat nochtans goed gecalibreerd was!) voor scenario analyses de facto onbruikbaar wordt. Dit geldt in feite bij uitbreiding ook voor alle statische analyses van sterk door congestie gekenmerkte netwerken. Wees je daarvan bewust als je ooit statische modelresultaten moet interpreteren!