Prof. Pr, Ir. J.D. Pr. W.A.M. Brefnelrnana Dr. Is. F.P.T. Baaijens

Transcriptie

1 Afstudeerverslag Tatel : Doos : The-mo-vPs@g$lastisehe analyse voor een spuitgiet product J.P.H. verest juni, 1987 Prof. Pr, Ir. J.D. ~. Yanssen Pr. W.A.M. Brefnelrnana Dr. Is. F.P.T. Baaijens Rappmtnummer BFW

2 Inhoudsopsave Voorwoord O Samenvatting. 1 Inleiding Isotherm viscoelastisch materiaalgedrag bij verschillende waarden van de temperatuur. 2. I 2.1 Inleiding u Amorfe polymeren De typisch viscoëlastische fase : Tg < T < Tr Be rubberfase : T, < T < T, De glasfase : T < Tg Consistentie De invloed van de tijdafhankelijkheid der temperatuur op het materiaalgedrag Inleiding De I-dimensionale constitutieve vergelijking met : Tg < T(t) < Tr De 1-dimensionale constitutieve vergelijking met : T(t) < Tg De 3-dimensionale constitutieve vergelijking met : 3.5 T(t) < T. 3.9 Het bepa 4 en van de materiaaleigenschappen uit experimenten. 3.1Q 4 Het bepalen van de materiaaleigenschappen voor de 3-dimensionale formulering. 4.1 Inleiding. 4.2 De trekproef bij de referentietemperatuur To. 4.3 Een benadering voor C(t) bij de referentietemperatuur To. 4.4 Een numeriek voorbeeld. 4.5 De benadering van de glijdingsmodulus bij een temperatuur. 4.6 De experimenten. andere De simulatie van het experiment Inleiding Het experiment. di üe werkwijze van de rekenprocedure (VAX MARC KI) De instationaire energievergelijking Spanningen en vervormingen. 5.4

3 5.6 Confrontatie met het experiment. 6 Conclusies en aanbevelingen S. 1 Literatuur Bij lagen 1 Het niet lineaire l-dimensionale model van Schapery voor de relaxatie formulering. 2 De l-dimensionale spanningstoestand. 3 Een benadering voor G(t). 4 De experimenten. 5 Voorbeeld van een temperatuur en spanningsberekening. 6 Oplossing instationaire energievergelijking. 7 l-dimensionale viscoelastische berekeningen met MARC. 8 Berekeningen van de spanningen en vervormingen. I

4 Voorwoord Dit is het verslag van mijn afstudeerwerk verricht binnen de vakgroep WFW. Op deze plaats wil ik Marcel Brekelmans en Frank Baaijens bedanken voor de plezierige en uitstekende begeleiding. Leon Govaert bedank ik voor het uitvoeren van de metingen die noodzakelijk waren voor dit afstudeerwerk. Juni 1987, Han Verest

5 -0- Samenvattincr. Dit verslag handelt over de numerieke simulatie van een experiment met behulp van het eindige-elementenmethoden programma MARC. Een rotatie symmetrisch busje zit in een mal opgesloten bij een bepaalde hoge temperatuur. De mal met het busje wordt vervolgens onder gedefinieerde omstandigheden afgekoeld waarna het busje uit de mal wordt genomen. Getracht wordt de spanningen en vervormingen, van het busje, te berekenen die optreden tijdens de afkoeling en na het uitnemen. Hiervoor moet een instationaire energie vergelijking worden opgelost en er moet gerekend worden met thermo-viscoelastisch materiaalgedrag. De energievergelijking kan apart worden opgelost omdat de vervormingen en verplaatsingen klein zijn. Voor Bet beschrijven van het ;;lechanisch gedrag wordt Uitgegaan vari de 3-dimensionale isotrope lineair viscoelastische vergelijking volgens de relaxatie formulering bij een bepaalde referentietemperatuur. Om de invloed van de temperatuur in rekening te brengen wordt de 1-dimensionale constitutieve vergelijking gebruikt om een en ander toe te lichten. De gewenste 3-dimensionale formulering is een generalisatie van de 1-dimensionale formulering. Van de relaxatiefuncties wordt verondersteld dat deze uit een constant deel en een som van e-machten, tijdsafhankelijk deel, bestaan. Bij de 3-di ensiomalle ~ zijn de r ~~~~d~~~~~~~~~~~ ~ en ~ de ~ kompressiemodulus van belang. Van de kompressiemodulus wordt aangenomen dat deze niet tijdsafhankelijk is en uit het P-V-T diagram kan worden bepaald. De trekproef wordt gekozen om de glijdingsmodulus te bepalen. Omdat de kompressiemodulus bekend is kan uit de trekproef in principe de glijdingsmodulus worden berekend. Omdat dit zeer veel rekenwerk vergt wordt gebruik gemaakt van een benadering van de glijdingsmodulus. Uit 1-dimensionale testproblemen met MARC blijkt dat NARC niet de gewenste vergelijking oplost. Indien de materiaaleigenschappen van een bepaalde vorm zijn blijkt een juiste oplossing wel mogelijk. Voor de 3-dimensionale vergelijking wordt aangenomen dat hiervoor hetzelfde geldt. De materiaaleigenschappen worden in de gewenste vorm geschreven waarna de spanningen en vervormingen voor twee situaties worden berekend. In het eerste geval treden geen blijvende vervormingen op nadat het product uit de mal is genomen. Bij de tweede berekening treden blijvende vervormingen op nadat het product uit de mal is genomen.

6 Symbolen. 3 : verplaatsingsvector (P : Cauchy spanningstensor 6 : lineaire rektensor cd : deviatorische deel van de lineaire rektensor tr(a) : spoor van tensora II : eenheidstensor i : matesiele afgeleide van a ux, uy, uz : componenten van de verplaatsingsvector bij carthesische coördinaten ur, uz : componenten van de verplaatsingsvector bij cilinder coördinaten (rotatie-symmetrisch) Andere gebruikte symbolen worden in het verslag toegelicht.

7 -1.1- HOOFDSTUK 1 Inleidinu. Bij Philips loopt op dit moment een onderzoek naar het voorspellen van spanningen en vervormingen die ontstaan tijdens het afkoelen van kunststof producten die door middel van het spuitgiet proces worden gemaakt. Deze spanningen en vervormingen onstaan met name tijdens de nadrukfase. Dit is de laatste fase van het spuitgietproces waarbij onder hoge druk materiaal wordt toegevoerd om de krimp ten gevolge van de afkoeling te ondervangen. Het ligt in de bedoeling om deze nadrukfase in een laboratorium omgeving te simuleren. Hierbij wordt voor een zo eenvoudig mogelijke geometrie gekozen. Bij het experiment waarover dit verslag gaat is van een werkelijke nadrukzase geen spiiake. De hoeveelheid zateriaal (massa) tijdens de afkoeling blijft constant en de verplaatsingen en vervormingen die hierbij optreden zijn klein. Bij het betreffende experiment wordt een product (rotatie symmetrisch busje) opnieuw in een mal geplaatst en opgewarmd tot een bepaalde hoge temperatuur. Nadat de mal met product overal dezelfde temperatuur heeft bereikt en er in het product alleen sprake is van een homogene druk wordt de mal met product onder zo goed mogelijk gedefinieerde omstandigheden afgekoeld. Nadat de constructie volledig is afgekoeld wordt het product uit de mal verwijderd. De interesse bij dit experiment gaat uit naar de spanningen en vervormingen, van het kunstof product, die optreden tijdens de afkoeling en nadat het produkt uit de mal is genomen. Doel van dit afstudeerwerk is om tot een numerieke simulatie te komen van dit experiment met behulp van het eindige-elementenmethoden programma MARC. Centraal bij de numerieke simulatie staat het oplossen van de instationaire energie vergelijking en het rekenen met thermo-viscoëlastisch materiaalgedrag. Doordat de verplaatsingen en Vervormingen klein zijn kan de energie vergelijking apart worden opgelost. Dit komt neer op het oplossen van een diffusie vergelijking. Wat betreft de noodzakelijke constitutieve vergelijkingen, voor het mechanisch gedrag, dient als uitgangspunt de 3-dimensionale isotrope lineair viscoelastische relatie, welke een generalisering is van de 3-dimensionale isotrope lineair elastische vergelijking. In hoofdstuk 2 en 3 wordt aandacht besteedt aan het fomuleren van de constitutieve vergeìijkigen. De I-dimensionale situatie wordt hier gebruikt om de invloed van de temperatuur toe te lichten waarna de 3-aimensionale ~ ~ r ~ hierwan ~ ~ een ~ generalisatie j k L ~ wordt. ~ In hoofdstuk 4 komt het eenvoudigste experiment (trekproef) aan de orde om de materiaaleigenschappen te bepalen. Voor de 3-dimensionale vergelijking is de glijdingsmodulus en de kompressiemodulus van belang. Hoofdstuk 5 is een synthese waarbij de numerieke simulatie van het experiment met MARC centraal staat. Hoofdstuk 6 geeft een aantal conclusies.

8 -2.1- HOOFDSTUK 2 Isotherm viscoëlastisch materiaalqedraq bij verschillende waarden van de temperatuur. 2.1 Inleiding. Als uitgangspunt dienen de constitutieve vergelijkingen voor lineair viscoelastisch materiaalgedrag, bij een bepaalde constante temperatuur. Twee situaties worden hierbij onderscheiden, de lijnspanningstoestand en de 3-dimensionale spanningstoestand : De 1-dimensionale situatie. Dit is de equivalent van de 1-dimensionale wet van Hooke (u=ee) voor elastisch materiaal. De ondergrens van O- in de integraal wordt genomen om eventuele sprongen van de rek E(t) op tijdstip t=o te kunnen beschrijven. E( t 1 is de relaxatiemodulus, welke voortaan elasticiteitsmodulus of E-modulus wordt genoemd. Bij een sprong in de rek op t=o ter grootte E wordt de spanning o(t) gegeven door : O t-, figuur 2.1 de elasticiteitsmodulus t-*

9 De 3-dimensionale isotrope situatie. G(t) is de tijdsafhankelijke glijdingsmodulus, deze wordt voortaan glijdingsmodulus genoemd. Voor zuivere afschuiving zal bij een sprong van 8(t) op t=o de schuifspanning os(t) gegeven worden door : K(t) is de tijdsafhankelijke kompressiemodulus, deze wordt voortaan kompressiemodulus genoemd. Indien de volumerek EV(t)=tr(a(t)) op tijdstip t=o een sprong vertoont, wordt de hydrostatische druk p(t) gegeven door : ~ O t-, figuur 2.3 de kompressiemodulus. I t-,

10 -2.3- E(t1, G(t) en K(t) worden relaxatiefuncties genoemd. Voor de 1-dimensionale situatie is E(t) van belang en voor de 3-dimensionale situatie zijn G(t) en K(t) van belang. De 1-dimensionale en 3-dimensionale situatie zijn hier onafhankelijk gepresenteerd. In paragraaf 82.1 van bijlage 2 blijkt dat de 1-dimensionale spanningstoestand volgens (2.3) in een vorm als (2.1) kan worden geschreven. In het vervolg van dit hoofdstuk worden aannamen gedaan over de vorm van de relaxatiefuncties. Of de beide formuleringen consistent zijn komt aan het einde van dit hoofdstuk aan de orde. Beschouwd worden amorfe polymeren met lineair viscoelastisch materiaalgedrag. Nagegaan wordt wat de invloed is van de temperatuur op de relaxatiefuncties. In dit hoofdstuk wordt daarbij de temperatuur constant (geen functie van de tijd) verondersteld. E(t), G(t) en K(t) zijn de ralaxatiefuncties bij de referentietemperatuur To. De relaxatiefuncties bij temperatuur T zullen worden uitgedrukt in de relaxatiefuncties bij de referentietemperatuur. De tijdsafhankelijkheid van de kompressiemodulus wordt al snel verwaarloosd. 2.2 Amorfe polymeren. Amorfe polymeren bestaan uit lange lineaire of vertakte moleculen. De situatie waarbij de moleculen ineen gekronkeld zijn tot kluwen, die door elkaar heen liggen en verward zijn, is de amorfe toestand. Amorf zijn dus de niet gekristalliseerde polymeren of thermoharders, welke een netwerk van moleculen bezitten. Wordt op een amorf polymeer een trekproef uitgevoerd bij een bepaalde reksnelheid, zonder plastische vervorming, dan resulteert kwalitatief het volgende verband tussen de spanning u en de rek E : 1 E + figuur 2.4 de trekkromme voor een amorf polymeer. indien de trekproef bij verschillende temperaturen met de zelfde reksnelheid wordt uitgevoerd en de waarde U,/E~, met cl steeds hetzelfde,

11 -2.4- tegen de temperatuur wordt uitgezet dan is het onderstaande verband tussen u1/cl en de temperatuur typisch voor amorfe polymeren : Tg Tr TV figuur 2.5 ol/cl als functie van T. T + I I1 I11 IV Bij lage temperaturen gedragen de materialen zich glasachtig. Moleculair gezien is dit een ingevroren vloeistof toestand. Er is geen of nauwlijks ketenbeweeglijkheid. Relaxatie en kruip treedt in veel mindere mate op dan in gebied 11. Relaxatie en kruip zijn processen waarbij herstel van de molecuulconfiguraties optreedt. Het typische viscoëlastische gebied. De molecuulketens kunnen ten opzichte van elkaar bewegen. Met rubberachtige gebied. De keten beweeglijkheid is groot. De warpunten fungeren als dwarsverbindingen (cross-links). Bij rubbers worden deze dwars verbindingen gevormd door andere moleculen, bijv. door zwavelmoleculen. Het materiaal gedraagt zich steeds meer als een vloeistof. Er is volledige ketenbeweeglijkheid. De overgang van I naar I1 wordt gekenmerkt door de glastemperatuur (Tg). De overgang van TI naar I11 wordt bepaald door Tr, de rubbertemperatuur. Tv, de vloeitemperatuur, bepaalt de overgang van gebied IT1 naar IV. Deze overgangstemperaturen zijn in principe niet constant. In het vervolg wordt dit wel aangenomen.

12 ~~ Figuur 2.6 geeft kwantitatieve resultaten voor een aantal polymeren o T-Tg.I kl figuur 2-6 voorbeeld van figuur 2.5 Polycarbonaat (P.Cl en A.8.S zijn amorf. De andere polymeren zijn kristallijn. De reksnelheid en cl zijn onbekend. Wet betrekking tot de glastemperatuur wordt een nadere toelichting gegeven. karakteristiek voor amorfe polymeren is het volgende verloop van het specifiek volume (per massa eenheid) als functie van de temperatuur bij een bepaalde druk en afkoelsnelheid : Tg figuur 2.7 de glastemperatuur. De glastemperatuur Tg is de temperatuur waarbij de uitzettingscoëfficiënt een sprong vertoont. Boven T neemt vooral het vrije volume toe met het stijgen van de temperatuur. 8 et vrije volume is het totale volume (macroscopische volume) vermindert met het moleculaire volume (bezet volume). Wet de toename van het vrije volume neemt de beweeglijkheid van de molecuulsegmenten sterk toe. Dit is de oorzaak dat boven de T +

13 -2.6- glastemperatuur de relaxatietijden snel kleiner worden met toenemende temperatuur. De relaxatietijden zijn een maat voor de tijd waarin herstel van de molecuulconfiguraties optreedt. In figuur 2.5 blijkt dat de waarde al/&, sterk afneemt boven Tg met toenemende temperatuur. De volgende 3 gebieden worden in het vervolg nader bekeken : I1 Het gebied waarvoor geldt : Tg < T < Tr I11 Het gebied waarvoor geldt : Tr < T < Tv I Het gebied waarvoor geldt : T < Tg Deze volgorde wordt gekozen omdat gebied XI de minste problemen levert en gebied I de meeste om de invloed van de temperatuur op de relaxatiefuncties in rekening te brengen. Gebied IT komt niet nader aan de orde. 2.3 De typisch viscoëlastische fase: Tg < T < T,. Binnen de groep van amorfe polymeren, met lineair viscoelastisch materiaalgedrag, vertonen vele van deze een specifiek temperatuur afhankelijk materiaalgedrag, het zogenaamde thermo-rheologisch eenvoudig materiaalgedrag. Bit houdt in dat, indien een relaxatiefunctie (bij een bepaalde temperatuur To) wordt uitgezet tegen de tijd, de relaxatiefunctie een zuivere verschuiving naar links of rechts vertoont bij een andere konstante temperatuur T, in een grafiek met logaritmische tijdas. In onderstaande figuur is LT een van de relaxatiefuncties als functie van ln(t). LP figuur 2.8 thermo-rheologisch eenvoudig materiaalgedrag.

14 De 1-dimensionale situatie. ET(t) is de relaxatiefunctie bij temperatuur T. E (t) is de TO relaxatiefunctie bij temperatuur To. De verschuiving kan als volgt worden beschreven: f(t) heeft de volgende eigenschappen: 1. f(to) = O 2. d f o > O d T Indien T groter is dan To verschuift de relaxatiefunctie naar links en deze verschuift verder naar links bij nog hogere temperaturen. De elastische respons wordt niet beïnvloed door de temperatuur. In plaats van het gebruik van f(t) wordt de verschuiving nu op een andere manier beschreven. Definieer a(t) zodanig dat : Voor a(t) geldt dan : 1. a(to) = >o d T Voor ET(t) kan dan geschreven worden : ofwel : De gereduceerde tijd y wordt gedefinieerd als : y=ta(t), zodat : Wordt E (t) gekozen volgens : TO (2.11)

15 -2. a- dan geldt bij temperatuur T : (2.12) en met de definitie van y : (2.13) Een bekende vesachufvingsrege1 is de W-L-F vergelijking E53 : f(t) = ln(a(t)) = 40.0t T - T,) 51.6 i- T - Tg (2.14) Deze regel geldt in het gebied : Tg < T <T +loo, voor een groot aantal polymeren (To = T 1. De temperaturen zijn Eierbij gegeven in graden 9 Kelvin of Celsius. ET(0) is in dit gebied orden groter dan ET(") De 3-dimensionale situatie. De verschuivingsfactor a(t) volgens de W-L-F vergelijking geldt ook voor de glijdingsmodulus en de kompressiemodulus. Dus indien de glijdingsmodulus bij To gekozen word% volgens : (2.15) en de kompressiemodulus volgens : (2.16) dan geldt bij temperatuur T : (2.17)

16 -2.9- (2.18) (2.19) Ook hier geldt dat GT(O) orden groter is dan GT(-). Met de aanname dat het verschil in kompressiegedrag tussen een polymeer en een elastische stof veel kleiner is dan het verschil in afschuifgedrag tussen een polymeer en een elastische stof [5] kan de tijdsafhankelijkheid van de kompressiemodulus worden verwaarloosd. Volgens Pipkin [12] wordt in de meeste gevallen het materiaal gedrag voldoende nauwkeurig beschreven met deze aanname. Experimenten moeten echter aantonen of deze aanname gerechtvaardigd is. Relaxatie bij afschuiving wordt veroorzaakt door herstel van de plaatsconfiguraties van de molecuulsegmenten. Bij een toename van de druk neemt het vrije volume af en komen de atomen van de moleculen dichter op elkaar te zitten. Toename van de druk lijkt dus veel op verlaging van de temperatuur [8]. De uitzettingscoefflcient is in principe ook een functie van de tijd. Moleculair gezien zijn afschuiving en konaapsessie verschillende processeni waarbij het visceus gedrag bij kompressie vaak te verwaarlozen is ten op zichte van het visceus gedrag bij afschuiving. Boven de glastemperatuur is R constant (geen functie van de tijd (bovenstaande aanname)) en onafhankelijk van de temperatuur indien de verschuivingstheorie geldt, want volgens deze theorie wordt de elastische respons niet beïnvloed door de temperatuur. Met bovenstaande aanname krijgt de constitutieve vergelijking de volgende vorm : t m(t) =.f - 2G (a(t){t-rl)id(r)dr + Kgtr(a(t))ii =O TO (2.20) Kg is de kompressiemodulus boven de glastemperatuur. 2.4 De rubberfase : T, < T < T,. In dit gebied is het mogelijk dat een verschuiving (horizontaal) van de relaxatiefuncties niet voldoende is om de temperatuursinvloed in rekening te brengen. Volgens de theorie van de rubberelasticiteit zijn de E- modulus en de glijdingsmodulus evenredig met gt [6]. g is de dichtheid (=l/v). Opgemerkt moet worden dat een ideale rubber zich zuiver elastisch gedraagt en inkompressibel is. Met betrekking tot de elastische respons wordt voor de relaxatiefuncties in het rubberachtige gebied een correctie gemaakt worden door te veronderstellen dat Eo, Ei, Goen Gi evenredig zijn met OT C6l.

17 De l-dimensionale situatie. De elasticiteitsmodulus krijgt door de evenredigheid met pt de volgende vorm, waarbij in de lineaire theorie Q constant mag worden genomen zodat de vergelijkingen lineair blijven : (2.21) met y=ta(t) en E (t) volgens (2.11). Opmerkelijk is dat bij hogere TO temperaturen de elasticiteitsmodulus toeneemt De 3-dimensionale situatie. Voor de 3-dimensionale constitutieve vergelijking waarbij de glijdingsmodulus evenredig is met QT volgt : (2.22) met G (t) volgens (2.15). TO 2.5 Be glasfase : T < Tg De l-dimensionale situatie. Boven de glastemperatuur kan dus nu de invloed van de temperatuur op het materiaal gedrag worden beschreven m.b.v. bekende verschuivingsregels (voor een groot deel empirisch bepaald) en correcties op basis van de rubber theorie. Onder de glastemperatuur liggen de zaken anders. Door de overheersende vander Waalskrachten tussen de moleculen is de ketenbeweeglijkheid zeer gering of uitgesloten. Ver onder de glastemperatuur treedt praktisch geen herstel op in de periode dat de deformatie wordt opgelegd [5]. E(O1en E(-) verschillen weinig. De relaxatiemechanismen onder de glastemperatuur zijn anders van aard dan erboven. Zoals al is opgemerkt is de verhouding tussen E(O1 en E(-) onder de glastemperatuur veel kleiner dan boven de glastemperatuur. Indien ET (t) uitgedrukt moet worden in ET (t) dan is een verschuivingsfactor niet O voldoende daar met een verschuivingsfactor de verhouding tussen E(0) en E(-) niet beïnvloed wordt. Het model van Schapery [IS] biedt hier een oplossing. Het Schapery model is een enkelvoudige integraal formulering

18 voor niet lineair viscoëlastisch temperatuurafhankelijk materiaal gedrag. Dit model voldoet aan een aantal thermodynamische voorwaarden en heeft hiermee een vrij grote geldigheid. Aan de achtergronden van dit model wordt hier verder geen aandacht besteed. ïn de literatuur komt men dit model vaak alleen in de 1-dimensionale vorm tegen. Indien van dit model (zie bijlage 1) het niet lineaire gedeelte wordt weggelaten dan wordt, met E (t) volgens (2.111, ET(t) gegeven door : TO (2.23) vaarbij, voor de algemeenheid, voor de elasticiteitsmodulus een aparte verschuivingsfactor is gedefinieerd. Voor (2.23) wordt met een andere notatie, zoals gebruikelijk bij Schapery, geschreven : Voor T=To geldt dat fl(to)=l en f2(t0)=1. De eerste term in (2.24) stelt het constante deel van de relaxatiefunctie voor en de tweede term het tijdsafhankelijke deel. fl(t9 brengt de invloed van de temperatuur op Eo in rekening en f2(t) de invloed op Ei. ae (TI is de verschuivingsfactor voor de elasticiteitsmodulus. fl(t), f2(t) en ae(t) moeten experimenteel bepaald worden De 3-dimensionale situatie. Naar analogie van de elasticiteitsmodulus, volgens (2.241, wordt voor de glijdingsmodulus een zelfde beschrijving gekozen. GT(t) krijgt dan de volgende vorm : Voor T=To geldt hl(to)=l en h2(t0)=l. hl(t) brengt de invloed van de temperatuur op Go in rekening en h2(t) de invloed op Gi. ag(t) is de verschuivingsfactor voor de glijdingsmodulus. De constitutieve vergelijking wordt gegeven door : t a(t) = J {2hl(T)Go + 2h,(T)AG(a,rt-~})}~~(r)dr + K(T)tr($(t))H T=O- (2.26)

19 Consistentie. In paragraaf B2.1 van bijlage 2 blijkt dat de I-dimensionale spanningstoestand volgens de 3-dimensionale formulering (2.3) in de volgende vorm kan worden geschreven : (2.27) Beide formuleringen zijn consistent indien geldt : (2.28) Met het oog op het te simuleren experiment met het eindige elementenmethode programma MARC is gekozen voor relaxatiefuncties welke uit een constant deel en een reeks van e-machten (tijdsafhankelijke deel) bestaan. In paragraaf B2.2 van biylage*2 wordt, voor het geval dat 1 term (n=l) uit de reeks wordt meegenomen, E (t) berekend en nagegaan of voor de drie temperatuursgebieden de beide formuleringen consistent zijn. Uit de hoeveelheid rekenwerk die al nodig is voor dit geval lijkt een zelfde berekening voor n > 1 ondoenlijk. Voor n > 1 wordt dan ook geen uitspraak gedaan over consistentie.

20 -3.1- HOOFDSTUK 3 De invloed van de tiidafhankeliikheid der temperatuur OP het materiaal sedras. 3.1 Inleiding In het vorige hoofdstuk was de temperatuur geen functie van de tijd. Hierbij werd alleen bekeken hoe de relaxatiefuncties, behorend bij een referentietemperatuur, aangepast moesten worden voor een andere temperatuur. In dit hoofdstuk wordt bekeken hoe de constitutieve vergelijkingen er uitzien indien de temperatuur een bekesde functie var, de tijd is. In 3.2 wordt voor de 1-dimensionale vergelijking eerst de respons van de spanning op een stap van de rek op tijdstip t=o bepaald. Vervolgens wordt de respons op een willekeurig rekverloop bepaald. Voor T(t) geldt : T < T(t) < Tr In 3.3 komen de gebieden T(t) < T en T(t) > Tr voor de l-&mensionale situatie aan de orde, waarbij T(t7 > Tr als een speciaal geval van T(t) < T 9 wordt gezien. In 3.4 wordt de 3-dimensionale vergelijking, welke een generalisering van de 1-dimensionale vergelijking is, gegeven. Hierbij wordt alleen naar het gebied T(t) < Tg gekeken omdat de andere gebieden vereenvoudigingen hiervan zijn. De kompressiemodulus wordt tijdsonafankelijk verondersteld. Omdat de temperatuur verandert in de tijd moet de rek ten gevolge van uitzetting of krimp ook worden meegenomen. Aan consistentie van de 1-dimensionale situstie met de 3-dimensionale wordt geen aandacht meer besteed. 3.2 De 1-dimensionale constitutieve vergelijking met : Tg <T(t) < T, De respons van de spanning op een stap van de rek op t=o. Stel dat T(t) het onderstaande verloop heeft en gediscretiseerd (stuksgewijs constant) wordt via de punten ~i zoals hierbij ook is aangegeven. figuur 3.1 de temperatuur

21 -3.2- De relaxatiefuncties (E-modulus) voor de constante temperaturen Tj zijn hieronder getekend. figuur 3.2 relaxtiefuncties bij constante temperatuur Deze relaxatiefuncties kunnen op de volgende manier worden uitgedrukt in de relaxatiefunctie bij temperatuur To, indien To de referentietemperatuur is : ai is de in het vorige hoofdstuk geïntroduceerde verschuivingsfactor bij temperatuur Ti, zie (2.10). Vertoont de rek E(tl op t=o een sprong dan zal de spanning o(t) het volgende verloop hebben : Hierbij wordt geen temperatuursrek verondersteld. Voor de relaxatie functie Ea(t) moet een uitdrukking gevonden worden. T Verandert de temperatuur sprongsgewijs, zoals hiervoor aangegeven, dan volgt Ea(t) van tot TI de functie ET (tl. Na een sprong in de temperatuur op T~ T O wordt verondersteld dat E-(t) de verschoven functie ET (t) volgt. Wordt T 1 aangenomen dat bij een sprong in de temperatuur de spanning geen sprong vertoont dan moet ET (t) horizontaal worden verschoven (verschuiving heeft 1 hier een andere betekenis dan die bij de verschuivingsfactor). Omdat de verschuivigsfactor geen invloed op de waarde EA(-) heeft mag ET (t) niet T 1 verticaal worden verschoven. In de volgende figuur is het voorgaande weergegeven en doorgezet tot

22 -3.3- 'i t á 'i+ 1 figuur 3.3 constructie van E-(t) T In figuur 3.3 is vi de onbekende horizontale verschuiving van E.(t) en TI vi - vi-1 + A v ~ (3.3) (3.4) ET.(T~-v~) = E (aii'i-vi)) 1 TO (3.7) Uit (3.51, (3.6) en 13.7) volgt :

23 -3.4- {Ti-vilai = (3.8) Vergelijking (3.8) kan op de volgende manier worden herschreven : Met : ai - ai-? = Aai en vi - vi-l = Avi wordt vergelijking (3.12) : TiAai = viaai - aielavi (3.13) Door het verkleinen van de intervallen wordt T(t) steeds beter benaderd. In het limietgeval gaat de discrete variabele ~i over in de continue variabele T. Aai wordt da(t) en Avi wordt dv(t). ai-l krijgt de waarde a(t). In het limietgeval wordt vergelijking (3.13) : Tda = v(t)da + a(.r)dv (3.14) Hiervoor kan ook geschreven worden : Tda = dva (3.15) Integreren van (3.15) levert met v(o)=o: t f Tda = J dva = v(t)a(t) T=O 1 =O (3.16) Uit (3.16) kan v(t) worden opgelost : (3.17) (3.17) invullen in (3.4) geeft : t E-(t) = E (a(t)t- J Tda) T TO T=O (3.18)

24 -3.5- (3.18) kan ook op de volgende manier worden geschreven : L L (3.19) Ofwel : 4- L (3.20) De gereduceerde tijd y heeft nu de volgende vorm : (3.2t) De respons op een stap in de rek op t=o wordt hiermee : met y volgens (3.21). De gereduceerde tijd y wordt nader beschouwd. Indien ag de gemiddelde verschuivingsfactor in het interval (0,t) is dan geldt : (3.23) dus : y=agt (3.24) Vergelijking (3.21) wordt ook verkregen door te beseffen dat bij het gediscretiseerde temperatuursverloop (figuur 3.11 de lengte van een tijdsinterval ~ i- ~ i - ~ AT^# = bij temperatuur To gegeven wordt door : Ayi = aiari (3.25) Hierbij is ai de verschuivingsfactor bij de temperatuur in het interval AT^. Wordt de totale gereduceerde tijd gegeven door sommatie van de deelintervallen dan volgt : i i Y(T~) = E Ay, = r: aja-rj (3.26) j=l j= 1

25 -3.6- Bij limiet overgang wordt (3.26) : t Y(t9 = f a(t)dt T =O (3.27) De respons van de spanning op een willekeurig rek verloop. De thermische rek wordt nog niet meegenomen. Stel dat Eft) het onderstaande verloop heeft en gediscretiseerd wordt via de punten ~i zoals is aangegeven. Het bijbehorende temperatuursverloop is ook weergegeven. E(t1 I I *o= o Ti t+ figuur 3.4 I Bij een sprong in de rek op ~i ter grootte van A E geeft ~ de spanning (alleen ten gevolge van deze sprong) de volgende respons : ET(t) = E (agtt-ri}) TO (3.299 waarbij ag de gemiddelde verschuivingsfactor in het interval (~i,t) is : (3.30) zodat :

26 -3.7- De totale respons volgt door sommatie van alle deelresponsies : (3.32) Bij het nemen van de limiet gaat (3.32) over in : (3.339 t Y= I a q=o (3.34) T Be thermische rek op tijdstip T, i ac~{~>)t{q~d~, +)- met a de uitzettingscoëfficient welke een functie mag zijn van de temperatuur en niet van de tijd, kan nu ook worden meegenomen. in plaats van &(TI moet nu ;(T) - ~(T(T))T(T) in (3.33) worden ingevuld : (3.35) 3.3 De 1-dimensionale constitutieve vergelijking met : T(t) < Tg De volgende relatie voor de elasticiteitsmodulus bij temperatuur T (constant) werd in het vorige hoofdstuk gebruikt : (3.36) met y=aet, ae is de verschuivingsfactor voor de E-modulus. Naar analogie met het voorgaande kan ook nu de respons van de spanning op een stap in de rek ter grootte E op t=o worden bepaald, waarbij T=T(t) : (3.379

27 -3.8- met : en volgens (3.21) : (3.39) Aangenomen is dat : fl= fl(t(t)) en f2= fs(t(t)). Als de temperatuur nu een sprong vertoont dan zal de spanning ook een sprong vertonen omdat fl en f2 discontinu veranderen. De thermische rek wordt nog niet meegenomen. Bij een sprong in de rek op fi ter grootte Aei heeft de respons van de spanning, alleefi ten gevolge van deze reksprong, de volgende vorm : (3.40) met : (3.41) (3.42) Ook nu volgt de totale respons door sommatie van de deel responsies : en via een limietovergang : (3.44) De thermische rek kan nu ook worden meegenomen, (3.44) krijgt dan de volgende vorm :

28 -6'E- : qam

29 (3.50) waarbij $ en gegeven zijn door (3.49). Aangenomen is dat : hl= hl(t(t)) en ha= hs(t(t)). Voor temperaturen boven de glastemperatuur maar onder de rubbertemperatuur zijn de functies hl en h2 constant. In de rubber fase zijn deze functies evenredig met QT. De evenredigheid met Q kan In de linealre theorie verwaarloosd worden. 3.5 Het bepalen van aiateriaaleigenschappen uit experimenten. BiJ verschillende constante temperaturen is het mogelijk om uit een trekproef of afschuifproef de materiaaleigenschappen te bepalen. In 3.3 en 3.4 werd aangenomen dat, indien T=T(t) : fl= fl(t(t)), E2= f2(t(t1), hl= hl(t(t)) en ha= h2(t(t)). De meest eenvoudige experimenten, om aan te tonen of deze aannamen correct zijn, zijn zeer moeilijk uitvoerbaar, omdat hierbij de temperatuur op een gecontroleerde wijze moet veranderen in de tijd.