Prof. Pr, Ir. J.D. Pr. W.A.M. Brefnelrnana Dr. Is. F.P.T. Baaijens

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "Prof. Pr, Ir. J.D. Pr. W.A.M. Brefnelrnana Dr. Is. F.P.T. Baaijens"

Transcriptie

1 Afstudeerverslag Tatel : Doos : analyse voor een spuitgiet product J.P.H. verest juni, 1987 Prof. Pr, Ir. J.D. ~. Yanssen Pr. W.A.M. Brefnelrnana Dr. Is. F.P.T. Baaijens Rappmtnummer BFW

2 Inhoudsopsave Voorwoord O Samenvatting. 1 Inleiding Isotherm viscoelastisch materiaalgedrag bij verschillende waarden van de temperatuur. 2. I 2.1 Inleiding u Amorfe polymeren De typisch viscoëlastische fase : Tg < T < Tr Be rubberfase : T, < T < T, De glasfase : T < Tg Consistentie De invloed van de tijdafhankelijkheid der temperatuur op het materiaalgedrag Inleiding De I-dimensionale constitutieve vergelijking met : Tg < T(t) < Tr De 1-dimensionale constitutieve vergelijking met : T(t) < Tg De 3-dimensionale constitutieve vergelijking met : 3.5 T(t) < T. 3.9 Het bepa 4 en van de materiaaleigenschappen uit experimenten. 3.1Q 4 Het bepalen van de materiaaleigenschappen voor de 3-dimensionale formulering. 4.1 Inleiding. 4.2 De trekproef bij de referentietemperatuur To. 4.3 Een benadering voor C(t) bij de referentietemperatuur To. 4.4 Een numeriek voorbeeld. 4.5 De benadering van de glijdingsmodulus bij een temperatuur. 4.6 De experimenten. andere De simulatie van het experiment Inleiding Het experiment. di üe werkwijze van de rekenprocedure (VAX MARC KI) De instationaire energievergelijking Spanningen en vervormingen. 5.4

3 5.6 Confrontatie met het experiment. 6 Conclusies en aanbevelingen S. 1 Literatuur Bij lagen 1 Het niet lineaire l-dimensionale model van Schapery voor de relaxatie formulering. 2 De l-dimensionale spanningstoestand. 3 Een benadering voor G(t). 4 De experimenten. 5 Voorbeeld van een temperatuur en spanningsberekening. 6 Oplossing instationaire energievergelijking. 7 l-dimensionale viscoelastische berekeningen met MARC. 8 Berekeningen van de spanningen en vervormingen. I

4 Voorwoord Dit is het verslag van mijn afstudeerwerk verricht binnen de vakgroep WFW. Op deze plaats wil ik Marcel Brekelmans en Frank Baaijens bedanken voor de plezierige en uitstekende begeleiding. Leon Govaert bedank ik voor het uitvoeren van de metingen die noodzakelijk waren voor dit afstudeerwerk. Juni 1987, Han Verest

5 -0- Samenvattincr. Dit verslag handelt over de numerieke simulatie van een experiment met behulp van het eindige-elementenmethoden programma MARC. Een rotatie symmetrisch busje zit in een mal opgesloten bij een bepaalde hoge temperatuur. De mal met het busje wordt vervolgens onder gedefinieerde omstandigheden afgekoeld waarna het busje uit de mal wordt genomen. Getracht wordt de spanningen en vervormingen, van het busje, te berekenen die optreden tijdens de afkoeling en na het uitnemen. Hiervoor moet een instationaire energie vergelijking worden opgelost en er moet gerekend worden met thermo-viscoelastisch materiaalgedrag. De energievergelijking kan apart worden opgelost omdat de vervormingen en verplaatsingen klein zijn. Voor Bet beschrijven van het ;;lechanisch gedrag wordt Uitgegaan vari de 3-dimensionale isotrope lineair viscoelastische vergelijking volgens de relaxatie formulering bij een bepaalde referentietemperatuur. Om de invloed van de temperatuur in rekening te brengen wordt de 1-dimensionale constitutieve vergelijking gebruikt om een en ander toe te lichten. De gewenste 3-dimensionale formulering is een generalisatie van de 1-dimensionale formulering. Van de relaxatiefuncties wordt verondersteld dat deze uit een constant deel en een som van e-machten, tijdsafhankelijk deel, bestaan. Bij de 3-di ensiomalle ~ zijn de r ~~~~d~~~~~~~~~~~ ~ en ~ de ~ kompressiemodulus van belang. Van de kompressiemodulus wordt aangenomen dat deze niet tijdsafhankelijk is en uit het P-V-T diagram kan worden bepaald. De trekproef wordt gekozen om de glijdingsmodulus te bepalen. Omdat de kompressiemodulus bekend is kan uit de trekproef in principe de glijdingsmodulus worden berekend. Omdat dit zeer veel rekenwerk vergt wordt gebruik gemaakt van een benadering van de glijdingsmodulus. Uit 1-dimensionale testproblemen met MARC blijkt dat NARC niet de gewenste vergelijking oplost. Indien de materiaaleigenschappen van een bepaalde vorm zijn blijkt een juiste oplossing wel mogelijk. Voor de 3-dimensionale vergelijking wordt aangenomen dat hiervoor hetzelfde geldt. De materiaaleigenschappen worden in de gewenste vorm geschreven waarna de spanningen en vervormingen voor twee situaties worden berekend. In het eerste geval treden geen blijvende vervormingen op nadat het product uit de mal is genomen. Bij de tweede berekening treden blijvende vervormingen op nadat het product uit de mal is genomen.

6 Symbolen. 3 : verplaatsingsvector (P : Cauchy spanningstensor 6 : lineaire rektensor cd : deviatorische deel van de lineaire rektensor tr(a) : spoor van tensora II : eenheidstensor i : matesiele afgeleide van a ux, uy, uz : componenten van de verplaatsingsvector bij carthesische coördinaten ur, uz : componenten van de verplaatsingsvector bij cilinder coördinaten (rotatie-symmetrisch) Andere gebruikte symbolen worden in het verslag toegelicht.

7 -1.1- HOOFDSTUK 1 Inleidinu. Bij Philips loopt op dit moment een onderzoek naar het voorspellen van spanningen en vervormingen die ontstaan tijdens het afkoelen van kunststof producten die door middel van het spuitgiet proces worden gemaakt. Deze spanningen en vervormingen onstaan met name tijdens de nadrukfase. Dit is de laatste fase van het spuitgietproces waarbij onder hoge druk materiaal wordt toegevoerd om de krimp ten gevolge van de afkoeling te ondervangen. Het ligt in de bedoeling om deze nadrukfase in een laboratorium omgeving te simuleren. Hierbij wordt voor een zo eenvoudig mogelijke geometrie gekozen. Bij het experiment waarover dit verslag gaat is van een werkelijke nadrukzase geen spiiake. De hoeveelheid zateriaal (massa) tijdens de afkoeling blijft constant en de verplaatsingen en vervormingen die hierbij optreden zijn klein. Bij het betreffende experiment wordt een product (rotatie symmetrisch busje) opnieuw in een mal geplaatst en opgewarmd tot een bepaalde hoge temperatuur. Nadat de mal met product overal dezelfde temperatuur heeft bereikt en er in het product alleen sprake is van een homogene druk wordt de mal met product onder zo goed mogelijk gedefinieerde omstandigheden afgekoeld. Nadat de constructie volledig is afgekoeld wordt het product uit de mal verwijderd. De interesse bij dit experiment gaat uit naar de spanningen en vervormingen, van het kunstof product, die optreden tijdens de afkoeling en nadat het produkt uit de mal is genomen. Doel van dit afstudeerwerk is om tot een numerieke simulatie te komen van dit experiment met behulp van het eindige-elementenmethoden programma MARC. Centraal bij de numerieke simulatie staat het oplossen van de instationaire energie vergelijking en het rekenen met thermo-viscoëlastisch materiaalgedrag. Doordat de verplaatsingen en Vervormingen klein zijn kan de energie vergelijking apart worden opgelost. Dit komt neer op het oplossen van een diffusie vergelijking. Wat betreft de noodzakelijke constitutieve vergelijkingen, voor het mechanisch gedrag, dient als uitgangspunt de 3-dimensionale isotrope lineair viscoelastische relatie, welke een generalisering is van de 3-dimensionale isotrope lineair elastische vergelijking. In hoofdstuk 2 en 3 wordt aandacht besteedt aan het fomuleren van de constitutieve vergeìijkigen. De I-dimensionale situatie wordt hier gebruikt om de invloed van de temperatuur toe te lichten waarna de 3-aimensionale ~ ~ r ~ hierwan ~ ~ een ~ generalisatie j k L ~ wordt. ~ In hoofdstuk 4 komt het eenvoudigste experiment (trekproef) aan de orde om de materiaaleigenschappen te bepalen. Voor de 3-dimensionale vergelijking is de glijdingsmodulus en de kompressiemodulus van belang. Hoofdstuk 5 is een synthese waarbij de numerieke simulatie van het experiment met MARC centraal staat. Hoofdstuk 6 geeft een aantal conclusies.

8 -2.1- HOOFDSTUK 2 Isotherm viscoëlastisch materiaalqedraq bij verschillende waarden van de temperatuur. 2.1 Inleiding. Als uitgangspunt dienen de constitutieve vergelijkingen voor lineair viscoelastisch materiaalgedrag, bij een bepaalde constante temperatuur. Twee situaties worden hierbij onderscheiden, de lijnspanningstoestand en de 3-dimensionale spanningstoestand : De 1-dimensionale situatie. Dit is de equivalent van de 1-dimensionale wet van Hooke (u=ee) voor elastisch materiaal. De ondergrens van O- in de integraal wordt genomen om eventuele sprongen van de rek E(t) op tijdstip t=o te kunnen beschrijven. E( t 1 is de relaxatiemodulus, welke voortaan elasticiteitsmodulus of E-modulus wordt genoemd. Bij een sprong in de rek op t=o ter grootte E wordt de spanning o(t) gegeven door : O t-, figuur 2.1 de elasticiteitsmodulus t-*

9 De 3-dimensionale isotrope situatie. G(t) is de tijdsafhankelijke glijdingsmodulus, deze wordt voortaan glijdingsmodulus genoemd. Voor zuivere afschuiving zal bij een sprong van 8(t) op t=o de schuifspanning os(t) gegeven worden door : K(t) is de tijdsafhankelijke kompressiemodulus, deze wordt voortaan kompressiemodulus genoemd. Indien de volumerek EV(t)=tr(a(t)) op tijdstip t=o een sprong vertoont, wordt de hydrostatische druk p(t) gegeven door : ~ O t-, figuur 2.3 de kompressiemodulus. I t-,

10 -2.3- E(t1, G(t) en K(t) worden relaxatiefuncties genoemd. Voor de 1-dimensionale situatie is E(t) van belang en voor de 3-dimensionale situatie zijn G(t) en K(t) van belang. De 1-dimensionale en 3-dimensionale situatie zijn hier onafhankelijk gepresenteerd. In paragraaf 82.1 van bijlage 2 blijkt dat de 1-dimensionale spanningstoestand volgens (2.3) in een vorm als (2.1) kan worden geschreven. In het vervolg van dit hoofdstuk worden aannamen gedaan over de vorm van de relaxatiefuncties. Of de beide formuleringen consistent zijn komt aan het einde van dit hoofdstuk aan de orde. Beschouwd worden amorfe polymeren met lineair viscoelastisch materiaalgedrag. Nagegaan wordt wat de invloed is van de temperatuur op de relaxatiefuncties. In dit hoofdstuk wordt daarbij de temperatuur constant (geen functie van de tijd) verondersteld. E(t), G(t) en K(t) zijn de ralaxatiefuncties bij de referentietemperatuur To. De relaxatiefuncties bij temperatuur T zullen worden uitgedrukt in de relaxatiefuncties bij de referentietemperatuur. De tijdsafhankelijkheid van de kompressiemodulus wordt al snel verwaarloosd. 2.2 Amorfe polymeren. Amorfe polymeren bestaan uit lange lineaire of vertakte moleculen. De situatie waarbij de moleculen ineen gekronkeld zijn tot kluwen, die door elkaar heen liggen en verward zijn, is de amorfe toestand. Amorf zijn dus de niet gekristalliseerde polymeren of thermoharders, welke een netwerk van moleculen bezitten. Wordt op een amorf polymeer een trekproef uitgevoerd bij een bepaalde reksnelheid, zonder plastische vervorming, dan resulteert kwalitatief het volgende verband tussen de spanning u en de rek E : 1 E + figuur 2.4 de trekkromme voor een amorf polymeer. indien de trekproef bij verschillende temperaturen met de zelfde reksnelheid wordt uitgevoerd en de waarde U,/E~, met cl steeds hetzelfde,

11 -2.4- tegen de temperatuur wordt uitgezet dan is het onderstaande verband tussen u1/cl en de temperatuur typisch voor amorfe polymeren : Tg Tr TV figuur 2.5 ol/cl als functie van T. T + I I1 I11 IV Bij lage temperaturen gedragen de materialen zich glasachtig. Moleculair gezien is dit een ingevroren vloeistof toestand. Er is geen of nauwlijks ketenbeweeglijkheid. Relaxatie en kruip treedt in veel mindere mate op dan in gebied 11. Relaxatie en kruip zijn processen waarbij herstel van de molecuulconfiguraties optreedt. Het typische viscoëlastische gebied. De molecuulketens kunnen ten opzichte van elkaar bewegen. Met rubberachtige gebied. De keten beweeglijkheid is groot. De warpunten fungeren als dwarsverbindingen (cross-links). Bij rubbers worden deze dwars verbindingen gevormd door andere moleculen, bijv. door zwavelmoleculen. Het materiaal gedraagt zich steeds meer als een vloeistof. Er is volledige ketenbeweeglijkheid. De overgang van I naar I1 wordt gekenmerkt door de glastemperatuur (Tg). De overgang van TI naar I11 wordt bepaald door Tr, de rubbertemperatuur. Tv, de vloeitemperatuur, bepaalt de overgang van gebied IT1 naar IV. Deze overgangstemperaturen zijn in principe niet constant. In het vervolg wordt dit wel aangenomen.

12 ~~ Figuur 2.6 geeft kwantitatieve resultaten voor een aantal polymeren o T-Tg.I kl figuur 2-6 voorbeeld van figuur 2.5 Polycarbonaat (P.Cl en A.8.S zijn amorf. De andere polymeren zijn kristallijn. De reksnelheid en cl zijn onbekend. Wet betrekking tot de glastemperatuur wordt een nadere toelichting gegeven. karakteristiek voor amorfe polymeren is het volgende verloop van het specifiek volume (per massa eenheid) als functie van de temperatuur bij een bepaalde druk en afkoelsnelheid : Tg figuur 2.7 de glastemperatuur. De glastemperatuur Tg is de temperatuur waarbij de uitzettingscoëfficiënt een sprong vertoont. Boven T neemt vooral het vrije volume toe met het stijgen van de temperatuur. 8 et vrije volume is het totale volume (macroscopische volume) vermindert met het moleculaire volume (bezet volume). Wet de toename van het vrije volume neemt de beweeglijkheid van de molecuulsegmenten sterk toe. Dit is de oorzaak dat boven de T +

13 -2.6- glastemperatuur de relaxatietijden snel kleiner worden met toenemende temperatuur. De relaxatietijden zijn een maat voor de tijd waarin herstel van de molecuulconfiguraties optreedt. In figuur 2.5 blijkt dat de waarde al/&, sterk afneemt boven Tg met toenemende temperatuur. De volgende 3 gebieden worden in het vervolg nader bekeken : I1 Het gebied waarvoor geldt : Tg < T < Tr I11 Het gebied waarvoor geldt : Tr < T < Tv I Het gebied waarvoor geldt : T < Tg Deze volgorde wordt gekozen omdat gebied XI de minste problemen levert en gebied I de meeste om de invloed van de temperatuur op de relaxatiefuncties in rekening te brengen. Gebied IT komt niet nader aan de orde. 2.3 De typisch viscoëlastische fase: Tg < T < T,. Binnen de groep van amorfe polymeren, met lineair viscoelastisch materiaalgedrag, vertonen vele van deze een specifiek temperatuur afhankelijk materiaalgedrag, het zogenaamde thermo-rheologisch eenvoudig materiaalgedrag. Bit houdt in dat, indien een relaxatiefunctie (bij een bepaalde temperatuur To) wordt uitgezet tegen de tijd, de relaxatiefunctie een zuivere verschuiving naar links of rechts vertoont bij een andere konstante temperatuur T, in een grafiek met logaritmische tijdas. In onderstaande figuur is LT een van de relaxatiefuncties als functie van ln(t). LP figuur 2.8 thermo-rheologisch eenvoudig materiaalgedrag.

14 De 1-dimensionale situatie. ET(t) is de relaxatiefunctie bij temperatuur T. E (t) is de TO relaxatiefunctie bij temperatuur To. De verschuiving kan als volgt worden beschreven: f(t) heeft de volgende eigenschappen: 1. f(to) = O 2. d f o > O d T Indien T groter is dan To verschuift de relaxatiefunctie naar links en deze verschuift verder naar links bij nog hogere temperaturen. De elastische respons wordt niet beïnvloed door de temperatuur. In plaats van het gebruik van f(t) wordt de verschuiving nu op een andere manier beschreven. Definieer a(t) zodanig dat : Voor a(t) geldt dan : 1. a(to) = >o d T Voor ET(t) kan dan geschreven worden : ofwel : De gereduceerde tijd y wordt gedefinieerd als : y=ta(t), zodat : Wordt E (t) gekozen volgens : TO (2.11)

15 -2. a- dan geldt bij temperatuur T : (2.12) en met de definitie van y : (2.13) Een bekende vesachufvingsrege1 is de W-L-F vergelijking E53 : f(t) = ln(a(t)) = 40.0t T - T,) 51.6 i- T - Tg (2.14) Deze regel geldt in het gebied : Tg < T <T +loo, voor een groot aantal polymeren (To = T 1. De temperaturen zijn Eierbij gegeven in graden 9 Kelvin of Celsius. ET(0) is in dit gebied orden groter dan ET(") De 3-dimensionale situatie. De verschuivingsfactor a(t) volgens de W-L-F vergelijking geldt ook voor de glijdingsmodulus en de kompressiemodulus. Dus indien de glijdingsmodulus bij To gekozen word% volgens : (2.15) en de kompressiemodulus volgens : (2.16) dan geldt bij temperatuur T : (2.17)

16 -2.9- (2.18) (2.19) Ook hier geldt dat GT(O) orden groter is dan GT(-). Met de aanname dat het verschil in kompressiegedrag tussen een polymeer en een elastische stof veel kleiner is dan het verschil in afschuifgedrag tussen een polymeer en een elastische stof [5] kan de tijdsafhankelijkheid van de kompressiemodulus worden verwaarloosd. Volgens Pipkin [12] wordt in de meeste gevallen het materiaal gedrag voldoende nauwkeurig beschreven met deze aanname. Experimenten moeten echter aantonen of deze aanname gerechtvaardigd is. Relaxatie bij afschuiving wordt veroorzaakt door herstel van de plaatsconfiguraties van de molecuulsegmenten. Bij een toename van de druk neemt het vrije volume af en komen de atomen van de moleculen dichter op elkaar te zitten. Toename van de druk lijkt dus veel op verlaging van de temperatuur [8]. De uitzettingscoefflcient is in principe ook een functie van de tijd. Moleculair gezien zijn afschuiving en konaapsessie verschillende processeni waarbij het visceus gedrag bij kompressie vaak te verwaarlozen is ten op zichte van het visceus gedrag bij afschuiving. Boven de glastemperatuur is R constant (geen functie van de tijd (bovenstaande aanname)) en onafhankelijk van de temperatuur indien de verschuivingstheorie geldt, want volgens deze theorie wordt de elastische respons niet beïnvloed door de temperatuur. Met bovenstaande aanname krijgt de constitutieve vergelijking de volgende vorm : t m(t) =.f - 2G (a(t){t-rl)id(r)dr + Kgtr(a(t))ii =O TO (2.20) Kg is de kompressiemodulus boven de glastemperatuur. 2.4 De rubberfase : T, < T < T,. In dit gebied is het mogelijk dat een verschuiving (horizontaal) van de relaxatiefuncties niet voldoende is om de temperatuursinvloed in rekening te brengen. Volgens de theorie van de rubberelasticiteit zijn de E- modulus en de glijdingsmodulus evenredig met gt [6]. g is de dichtheid (=l/v). Opgemerkt moet worden dat een ideale rubber zich zuiver elastisch gedraagt en inkompressibel is. Met betrekking tot de elastische respons wordt voor de relaxatiefuncties in het rubberachtige gebied een correctie gemaakt worden door te veronderstellen dat Eo, Ei, Goen Gi evenredig zijn met OT C6l.

17 De l-dimensionale situatie. De elasticiteitsmodulus krijgt door de evenredigheid met pt de volgende vorm, waarbij in de lineaire theorie Q constant mag worden genomen zodat de vergelijkingen lineair blijven : (2.21) met y=ta(t) en E (t) volgens (2.11). Opmerkelijk is dat bij hogere TO temperaturen de elasticiteitsmodulus toeneemt De 3-dimensionale situatie. Voor de 3-dimensionale constitutieve vergelijking waarbij de glijdingsmodulus evenredig is met QT volgt : (2.22) met G (t) volgens (2.15). TO 2.5 Be glasfase : T < Tg De l-dimensionale situatie. Boven de glastemperatuur kan dus nu de invloed van de temperatuur op het materiaal gedrag worden beschreven m.b.v. bekende verschuivingsregels (voor een groot deel empirisch bepaald) en correcties op basis van de rubber theorie. Onder de glastemperatuur liggen de zaken anders. Door de overheersende vander Waalskrachten tussen de moleculen is de ketenbeweeglijkheid zeer gering of uitgesloten. Ver onder de glastemperatuur treedt praktisch geen herstel op in de periode dat de deformatie wordt opgelegd [5]. E(O1en E(-) verschillen weinig. De relaxatiemechanismen onder de glastemperatuur zijn anders van aard dan erboven. Zoals al is opgemerkt is de verhouding tussen E(O1 en E(-) onder de glastemperatuur veel kleiner dan boven de glastemperatuur. Indien ET (t) uitgedrukt moet worden in ET (t) dan is een verschuivingsfactor niet O voldoende daar met een verschuivingsfactor de verhouding tussen E(0) en E(-) niet beïnvloed wordt. Het model van Schapery [IS] biedt hier een oplossing. Het Schapery model is een enkelvoudige integraal formulering

18 voor niet lineair viscoëlastisch temperatuurafhankelijk materiaal gedrag. Dit model voldoet aan een aantal thermodynamische voorwaarden en heeft hiermee een vrij grote geldigheid. Aan de achtergronden van dit model wordt hier verder geen aandacht besteed. ïn de literatuur komt men dit model vaak alleen in de 1-dimensionale vorm tegen. Indien van dit model (zie bijlage 1) het niet lineaire gedeelte wordt weggelaten dan wordt, met E (t) volgens (2.111, ET(t) gegeven door : TO (2.23) vaarbij, voor de algemeenheid, voor de elasticiteitsmodulus een aparte verschuivingsfactor is gedefinieerd. Voor (2.23) wordt met een andere notatie, zoals gebruikelijk bij Schapery, geschreven : Voor T=To geldt dat fl(to)=l en f2(t0)=1. De eerste term in (2.24) stelt het constante deel van de relaxatiefunctie voor en de tweede term het tijdsafhankelijke deel. fl(t9 brengt de invloed van de temperatuur op Eo in rekening en f2(t) de invloed op Ei. ae (TI is de verschuivingsfactor voor de elasticiteitsmodulus. fl(t), f2(t) en ae(t) moeten experimenteel bepaald worden De 3-dimensionale situatie. Naar analogie van de elasticiteitsmodulus, volgens (2.241, wordt voor de glijdingsmodulus een zelfde beschrijving gekozen. GT(t) krijgt dan de volgende vorm : Voor T=To geldt hl(to)=l en h2(t0)=l. hl(t) brengt de invloed van de temperatuur op Go in rekening en h2(t) de invloed op Gi. ag(t) is de verschuivingsfactor voor de glijdingsmodulus. De constitutieve vergelijking wordt gegeven door : t a(t) = J {2hl(T)Go + 2h,(T)AG(a,rt-~})}~~(r)dr + K(T)tr($(t))H T=O- (2.26)

19 Consistentie. In paragraaf B2.1 van bijlage 2 blijkt dat de I-dimensionale spanningstoestand volgens de 3-dimensionale formulering (2.3) in de volgende vorm kan worden geschreven : (2.27) Beide formuleringen zijn consistent indien geldt : (2.28) Met het oog op het te simuleren experiment met het eindige elementenmethode programma MARC is gekozen voor relaxatiefuncties welke uit een constant deel en een reeks van e-machten (tijdsafhankelijke deel) bestaan. In paragraaf B2.2 van biylage*2 wordt, voor het geval dat 1 term (n=l) uit de reeks wordt meegenomen, E (t) berekend en nagegaan of voor de drie temperatuursgebieden de beide formuleringen consistent zijn. Uit de hoeveelheid rekenwerk die al nodig is voor dit geval lijkt een zelfde berekening voor n > 1 ondoenlijk. Voor n > 1 wordt dan ook geen uitspraak gedaan over consistentie.

20 -3.1- HOOFDSTUK 3 De invloed van de tiidafhankeliikheid der temperatuur OP het materiaal sedras. 3.1 Inleiding In het vorige hoofdstuk was de temperatuur geen functie van de tijd. Hierbij werd alleen bekeken hoe de relaxatiefuncties, behorend bij een referentietemperatuur, aangepast moesten worden voor een andere temperatuur. In dit hoofdstuk wordt bekeken hoe de constitutieve vergelijkingen er uitzien indien de temperatuur een bekesde functie var, de tijd is. In 3.2 wordt voor de 1-dimensionale vergelijking eerst de respons van de spanning op een stap van de rek op tijdstip t=o bepaald. Vervolgens wordt de respons op een willekeurig rekverloop bepaald. Voor T(t) geldt : T < T(t) < Tr In 3.3 komen de gebieden T(t) < T en T(t) > Tr voor de l-&mensionale situatie aan de orde, waarbij T(t7 > Tr als een speciaal geval van T(t) < T 9 wordt gezien. In 3.4 wordt de 3-dimensionale vergelijking, welke een generalisering van de 1-dimensionale vergelijking is, gegeven. Hierbij wordt alleen naar het gebied T(t) < Tg gekeken omdat de andere gebieden vereenvoudigingen hiervan zijn. De kompressiemodulus wordt tijdsonafankelijk verondersteld. Omdat de temperatuur verandert in de tijd moet de rek ten gevolge van uitzetting of krimp ook worden meegenomen. Aan consistentie van de 1-dimensionale situstie met de 3-dimensionale wordt geen aandacht meer besteed. 3.2 De 1-dimensionale constitutieve vergelijking met : Tg <T(t) < T, De respons van de spanning op een stap van de rek op t=o. Stel dat T(t) het onderstaande verloop heeft en gediscretiseerd (stuksgewijs constant) wordt via de punten ~i zoals hierbij ook is aangegeven. figuur 3.1 de temperatuur

21 -3.2- De relaxatiefuncties (E-modulus) voor de constante temperaturen Tj zijn hieronder getekend. figuur 3.2 relaxtiefuncties bij constante temperatuur Deze relaxatiefuncties kunnen op de volgende manier worden uitgedrukt in de relaxatiefunctie bij temperatuur To, indien To de referentietemperatuur is : ai is de in het vorige hoofdstuk geïntroduceerde verschuivingsfactor bij temperatuur Ti, zie (2.10). Vertoont de rek E(tl op t=o een sprong dan zal de spanning o(t) het volgende verloop hebben : Hierbij wordt geen temperatuursrek verondersteld. Voor de relaxatie functie Ea(t) moet een uitdrukking gevonden worden. T Verandert de temperatuur sprongsgewijs, zoals hiervoor aangegeven, dan volgt Ea(t) van tot TI de functie ET (tl. Na een sprong in de temperatuur op T~ T O wordt verondersteld dat E-(t) de verschoven functie ET (t) volgt. Wordt T 1 aangenomen dat bij een sprong in de temperatuur de spanning geen sprong vertoont dan moet ET (t) horizontaal worden verschoven (verschuiving heeft 1 hier een andere betekenis dan die bij de verschuivingsfactor). Omdat de verschuivigsfactor geen invloed op de waarde EA(-) heeft mag ET (t) niet T 1 verticaal worden verschoven. In de volgende figuur is het voorgaande weergegeven en doorgezet tot

22 -3.3- 'i t á 'i+ 1 figuur 3.3 constructie van E-(t) T In figuur 3.3 is vi de onbekende horizontale verschuiving van E.(t) en TI vi - vi-1 + A v ~ (3.3) (3.4) ET.(T~-v~) = E (aii'i-vi)) 1 TO (3.7) Uit (3.51, (3.6) en 13.7) volgt :

23 -3.4- {Ti-vilai = (3.8) Vergelijking (3.8) kan op de volgende manier worden herschreven : Met : ai - ai-? = Aai en vi - vi-l = Avi wordt vergelijking (3.12) : TiAai = viaai - aielavi (3.13) Door het verkleinen van de intervallen wordt T(t) steeds beter benaderd. In het limietgeval gaat de discrete variabele ~i over in de continue variabele T. Aai wordt da(t) en Avi wordt dv(t). ai-l krijgt de waarde a(t). In het limietgeval wordt vergelijking (3.13) : Tda = v(t)da + a(.r)dv (3.14) Hiervoor kan ook geschreven worden : Tda = dva (3.15) Integreren van (3.15) levert met v(o)=o: t f Tda = J dva = v(t)a(t) T=O 1 =O (3.16) Uit (3.16) kan v(t) worden opgelost : (3.17) (3.17) invullen in (3.4) geeft : t E-(t) = E (a(t)t- J Tda) T TO T=O (3.18)

24 -3.5- (3.18) kan ook op de volgende manier worden geschreven : L L (3.19) Ofwel : 4- L (3.20) De gereduceerde tijd y heeft nu de volgende vorm : (3.2t) De respons op een stap in de rek op t=o wordt hiermee : met y volgens (3.21). De gereduceerde tijd y wordt nader beschouwd. Indien ag de gemiddelde verschuivingsfactor in het interval (0,t) is dan geldt : (3.23) dus : y=agt (3.24) Vergelijking (3.21) wordt ook verkregen door te beseffen dat bij het gediscretiseerde temperatuursverloop (figuur 3.11 de lengte van een tijdsinterval ~ i- ~ i - ~ AT^# = bij temperatuur To gegeven wordt door : Ayi = aiari (3.25) Hierbij is ai de verschuivingsfactor bij de temperatuur in het interval AT^. Wordt de totale gereduceerde tijd gegeven door sommatie van de deelintervallen dan volgt : i i Y(T~) = E Ay, = r: aja-rj (3.26) j=l j= 1

25 -3.6- Bij limiet overgang wordt (3.26) : t Y(t9 = f a(t)dt T =O (3.27) De respons van de spanning op een willekeurig rek verloop. De thermische rek wordt nog niet meegenomen. Stel dat Eft) het onderstaande verloop heeft en gediscretiseerd wordt via de punten ~i zoals is aangegeven. Het bijbehorende temperatuursverloop is ook weergegeven. E(t1 I I *o= o Ti t+ figuur 3.4 I Bij een sprong in de rek op ~i ter grootte van A E geeft ~ de spanning (alleen ten gevolge van deze sprong) de volgende respons : ET(t) = E (agtt-ri}) TO (3.299 waarbij ag de gemiddelde verschuivingsfactor in het interval (~i,t) is : (3.30) zodat :

26 -3.7- De totale respons volgt door sommatie van alle deelresponsies : (3.32) Bij het nemen van de limiet gaat (3.32) over in : (3.339 t Y= I a q=o (3.34) T Be thermische rek op tijdstip T, i ac~{~>)t{q~d~, +)- met a de uitzettingscoëfficient welke een functie mag zijn van de temperatuur en niet van de tijd, kan nu ook worden meegenomen. in plaats van &(TI moet nu ;(T) - ~(T(T))T(T) in (3.33) worden ingevuld : (3.35) 3.3 De 1-dimensionale constitutieve vergelijking met : T(t) < Tg De volgende relatie voor de elasticiteitsmodulus bij temperatuur T (constant) werd in het vorige hoofdstuk gebruikt : (3.36) met y=aet, ae is de verschuivingsfactor voor de E-modulus. Naar analogie met het voorgaande kan ook nu de respons van de spanning op een stap in de rek ter grootte E op t=o worden bepaald, waarbij T=T(t) : (3.379

27 -3.8- met : en volgens (3.21) : (3.39) Aangenomen is dat : fl= fl(t(t)) en f2= fs(t(t)). Als de temperatuur nu een sprong vertoont dan zal de spanning ook een sprong vertonen omdat fl en f2 discontinu veranderen. De thermische rek wordt nog niet meegenomen. Bij een sprong in de rek op fi ter grootte Aei heeft de respons van de spanning, alleefi ten gevolge van deze reksprong, de volgende vorm : (3.40) met : (3.41) (3.42) Ook nu volgt de totale respons door sommatie van de deel responsies : en via een limietovergang : (3.44) De thermische rek kan nu ook worden meegenomen, (3.44) krijgt dan de volgende vorm :

28 -6'E- : qam

29 (3.50) waarbij $ en gegeven zijn door (3.49). Aangenomen is dat : hl= hl(t(t)) en ha= hs(t(t)). Voor temperaturen boven de glastemperatuur maar onder de rubbertemperatuur zijn de functies hl en h2 constant. In de rubber fase zijn deze functies evenredig met QT. De evenredigheid met Q kan In de linealre theorie verwaarloosd worden. 3.5 Het bepalen van aiateriaaleigenschappen uit experimenten. BiJ verschillende constante temperaturen is het mogelijk om uit een trekproef of afschuifproef de materiaaleigenschappen te bepalen. In 3.3 en 3.4 werd aangenomen dat, indien T=T(t) : fl= fl(t(t)), E2= f2(t(t1), hl= hl(t(t)) en ha= h2(t(t)). De meest eenvoudige experimenten, om aan te tonen of deze aannamen correct zijn, zijn zeer moeilijk uitvoerbaar, omdat hierbij de temperatuur op een gecontroleerde wijze moet veranderen in de tijd.

Tentamen Toegepaste elasticiteitsleer (4A450)

Tentamen Toegepaste elasticiteitsleer (4A450) Tentamen Toegepaste elasticiteitsleer (4A450) Datum: 3 juni 003 Tijd: 4:00 7:00 uur Locatie: Hal Matrixgebouw Dit tentamen bestaat uit drie opgaven. Het gebruik van het dictaat, oefeningenbundel en notebook

Nadere informatie

Schuifspanningen loodrecht op een cilindrisch gat

Schuifspanningen loodrecht op een cilindrisch gat Schuifspanningen loodrecht op een cilindrisch gat Colin van Weelden CT3000 Bachelor Eindwerk Begeleiders: 1379550 TU Delft P.C.J. Hoogenboom Delft, Juni 2010 C.B.M. Blom Voorwoord Dit rapport is het eindresultaat

Nadere informatie

Samenvatting. Samenvatting

Samenvatting. Samenvatting Samenvatting Het tablet is om vele redenen een populaire toedieningsvorm van geneesmiddelen. Het gebruikersgemak en het gemak waarmee ze grootschalig kunnen worden geproduceerd zijn slechts twee van de

Nadere informatie

H a n d l e i d i n g d o e l m a t i g h e i d s t o e t s M W W +

H a n d l e i d i n g d o e l m a t i g h e i d s t o e t s M W W + H a n d l e i d i n g d o e l m a t i g h e i d s t o e t s M W W + D o e l m a t i g h e i d s t o e t s v o o r g e b i e d e n w a a r v o o r g e e n b o d e m b e h e e r p l a n i s v a s t g e s

Nadere informatie

10 Materie en warmte. Onderwerpen. 3.2 Temperatuur en warmte.

10 Materie en warmte. Onderwerpen. 3.2 Temperatuur en warmte. 1 Materie en warmte Onderwerpen - Temperatuur en warmte. - Verschillende temperatuurschalen - Berekening hoeveelheid warmte t.o.v. bepaalde temperatuur. - Thermische geleidbaarheid van een stof. - Warmteweerstand

Nadere informatie

Module 3 Uitwerkingen van de opdrachten

Module 3 Uitwerkingen van de opdrachten Module 3 Uitwerkingen van de opdrachten Opdracht 1 a De trekkracht volgt uit: F t A f s 10 100 235 235000 N 235 kn b De kracht kan als volgt worden bepaald: 1 l l l E l F E A F EA l 2,1 10 5 10 100 10/2000

Nadere informatie

R e s u l t a a t g e r i c h t h e i d e n c o m p e t e n t i e m a n a g e m e n t b i j d r i e o v e r h e i d s o r g a n i s a t i e s

R e s u l t a a t g e r i c h t h e i d e n c o m p e t e n t i e m a n a g e m e n t b i j d r i e o v e r h e i d s o r g a n i s a t i e s R e s u l t a a t g e r i c h t h e i d e n c o m p e t e n t i e m a n a g e m e n t b i j d r i e o v e r h e i d s o r g a n i s a t i e s O p le i d i n g: M a s t e r P u b l i c M a n a g e m e n

Nadere informatie

Vrijdag 19 augustus, 9.30-12.30 uur

Vrijdag 19 augustus, 9.30-12.30 uur EINDEXAMEN VOORBEREIDEND WETENSCHAPPELIJK ONDERWIJS IN 1977 Vrijdag 19 augustus, 9.30-12.30 uur NATUURKUNDE Zie ommezijde Deze opgaven zijn vastgesteld door de commissie bedoeld in artikel 24 van het Besluit

Nadere informatie

Practicum algemeen. 1 Diagrammen maken 2 Lineair verband en evenredig verband 3 Het schrijven van een verslag

Practicum algemeen. 1 Diagrammen maken 2 Lineair verband en evenredig verband 3 Het schrijven van een verslag Practicum algemeen 1 Diagrammen maken 2 Lineair verband en evenredig verband 3 Het schrijven van een verslag 1 Diagrammen maken Onafhankelijke grootheid en afhankelijke grootheid In veel experimenten wordt

Nadere informatie

Machten, exponenten en logaritmen

Machten, exponenten en logaritmen Machten, eponenten en logaritmen Machten, eponenten en logaritmen Macht, eponent en grondtal Eponenten en logaritmen hebben alles met machtsverheffen te maken. Een macht als 4 is niets anders dan de herhaalde

Nadere informatie

2.1 Twee gekoppelde oscillatoren zonder aandrijving

2.1 Twee gekoppelde oscillatoren zonder aandrijving Hoofdstuk Twee gekoppelde oscillatoren.1 Twee gekoppelde oscillatoren zonder aandrijving We beschouwen als voorbeeld van een systeem van puntmassa s die gekoppeld zijn aan elkaar en aan twee vaste wanden

Nadere informatie

Digitale systemen. Hoofdstuk 6. 6.1 De digitale regelaar

Digitale systemen. Hoofdstuk 6. 6.1 De digitale regelaar Hoofdstuk 6 Digitale systemen Doelstellingen 1. Weten dat digitale systemen andere stabiliteitsvoorwaarden hebben In deze tijd van digitalisatie is het gebruik van computers in regelkringen alom.denk maar

Nadere informatie

Uitwerkingen Mei 2012. Eindexamen VWO Wiskunde B. Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek

Uitwerkingen Mei 2012. Eindexamen VWO Wiskunde B. Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek Uitwerkingen Mei 01 Eindexamen VWO Wiskunde B A B C Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek Onafhankelijkheid van a Opgave 1. We moeten aantonen dat F a een primitieve is van de

Nadere informatie

1 VRIJE TRILLINGEN 1.0 INLEIDING 1.1 HARMONISCHE OSCILLATOREN. 1.1.1 het massa-veersysteem. Hoofdstuk 1 - Vrije trillingen

1 VRIJE TRILLINGEN 1.0 INLEIDING 1.1 HARMONISCHE OSCILLATOREN. 1.1.1 het massa-veersysteem. Hoofdstuk 1 - Vrije trillingen 1 VRIJE TRILLINGEN 1.0 INLEIDING Veel fysische systemen, van groot tot klein, mechanisch en elektrisch, kunnen trillingen uitvoeren. Daarom is in de natuurkunde het bestuderen van trillingen van groot

Nadere informatie

THEMA IS BEZWIJKEN HET BEREIKEN VAN DE VLOEIGRENS?

THEMA IS BEZWIJKEN HET BEREIKEN VAN DE VLOEIGRENS? CT309 : PLASTICITEITSLEER THEMA IS BEZWIJKEN HET BEREIKEN VAN DE VLOEIGRENS? M M - N N + + σ = σ = + f f BUIGING EXTENSIE Ir J.W. Welleman bladnr 0 kn Gebruiksfase met relatief geringe belasting WAT GEBEURT

Nadere informatie

Verrassende uitkomsten in stromingen

Verrassende uitkomsten in stromingen Verrassende uitkomsten in stromingen Deel 2 G.A. Bruggeman De wiskundige theorie van de grondwaterstroming biedt nu en dan uitkomsten die opvallen door hun eenvoud of anderszins door hun bijzonder structuur,

Nadere informatie

Opdracht 1 bladzijde 8

Opdracht 1 bladzijde 8 Opdrachten Opdracht bladzijde 8 Uit een stuk karton met lengte 45 cm en breedte 8 cm knip je in de vier hoeken vierkantjes af met zijde cm. Zo verkrijg je een open doos. 8 cm 45 cm Hoe groot is het volume

Nadere informatie

Bepaling energie en soortelijke warmte 2D-atoomrooster m.b.v. de Metropolis Monte Carlo methode

Bepaling energie en soortelijke warmte 2D-atoomrooster m.b.v. de Metropolis Monte Carlo methode Bepaling energie en soortelijke warmte 2D-atoomrooster m.b.v. de Metropolis Monte Carlo methode Verslag Computational Physics Sietze van Buuren Begeleider: Prof.Dr. H. de Raedt 29 december 25 Samenvatting

Nadere informatie

Meting zonnepaneel. Voorbeeld berekening diodefactor: ( ) Als voorbeeld wordt deze formule uitgewerkt bij een spanning van 7 V en 0,76 A:

Meting zonnepaneel. Voorbeeld berekening diodefactor: ( ) Als voorbeeld wordt deze formule uitgewerkt bij een spanning van 7 V en 0,76 A: Meting zonnepaneel Om de beste overbrengingsverhouding te berekenen, moet de diodefactor van het zonnepaneel gekend zijn. Deze wordt bepaald door het zonnepaneel te schakelen aan een weerstand. Een multimeter

Nadere informatie

Een kogel die van een helling afrolt, ondervindt een constante versnelling. Deze versnelling kan berekend worden met de formule:

Een kogel die van een helling afrolt, ondervindt een constante versnelling. Deze versnelling kan berekend worden met de formule: Voorbeeldmeetrapport (eenparig versnelde beweging stopwatch en meetlat) Eenparig versnelde beweging stopwatch en meetlat. Doel van de proef Een kogel die van een helling afrolt, voert een eenparig versnelde

Nadere informatie

Statistiek voor Natuurkunde Opgavenserie 4: Lineaire regressie

Statistiek voor Natuurkunde Opgavenserie 4: Lineaire regressie Statistiek voor Natuurkunde Opgavenserie 4: Lineaire regressie Inleveren: Uiterlijk 15 februari voor 16.00 in mijn postvakje Afspraken Overleg is toegestaan, maar iedereen levert zijn eigen werk in. Overschrijven

Nadere informatie

Deze opgaven zijn vastgesteld door de commissie bedoeld in artikel 24 van het Besluit eindexamens v.w.o.-h.a.v.o.-m.a.v.o.

Deze opgaven zijn vastgesteld door de commissie bedoeld in artikel 24 van het Besluit eindexamens v.w.o.-h.a.v.o.-m.a.v.o. I V- 14 EINDEXAMEN VOORBEREIDEND WETENSCHAPPELIJK ONDERWIJS IN 1977 Woensdag II mei, 9.30-12.30 uur NATUURKUNDE Zie ommezijde Deze opgaven zijn vastgesteld door de commissie bedoeld in artikel 24 van het

Nadere informatie

Noorderpoort Beroepsonderwijs Stadskanaal. Reader. Reader Periode 3 Leerjaar 3. J. Kuiper. Transfer Database

Noorderpoort Beroepsonderwijs Stadskanaal. Reader. Reader Periode 3 Leerjaar 3. J. Kuiper. Transfer Database Noorderpoort Beroepsonderwijs Stadskanaal Reader Reader Periode Leerjaar J. Kuiper Transfer Database ThiemeMeulenhoff ontwikkelt leermiddelen voor Primair Onderwijs, Algemeen Voortgezet Onderwijs, Beroepsonderwijs

Nadere informatie

Vraag 1. F G = 18500 N F M = 1000 N k 1 = 100 kn/m k 2 = 77 kn/m

Vraag 1. F G = 18500 N F M = 1000 N k 1 = 100 kn/m k 2 = 77 kn/m Vraag 1 Beschouw onderstaande pickup truck met de afmetingen in mm zoals gegeven. F G is de massa van de wagen en bedraagt 18,5 kn. De volledige combinatie van wielen, banden en vering vooraan wordt voorgesteld

Nadere informatie

Significante cijfers en meetonzekerheid

Significante cijfers en meetonzekerheid Inhoud Significante cijfers en meetonzekerheid... 2 Significante cijfers... 2 Wetenschappelijke notatie... 3 Meetonzekerheid... 3 Significante cijfers en meetonzekerheid... 4 Opgaven... 5 Opgave 1... 5

Nadere informatie

Wiebelende Tafels. Hans Maassen

Wiebelende Tafels. Hans Maassen Wiebelende Tafels ans Maassen Welke parameters zijn er bij de constructie van tafels voor verantwoordelijk of deze gaan wiebelen of niet? oe moeten deze parameters worden ingesteld om wiebelen te voorkómen?

Nadere informatie

Differentiaalvergelijkingen I : separabele en lineaire 1ste orde DV

Differentiaalvergelijkingen I : separabele en lineaire 1ste orde DV WISKUNDIGE ANALYSE OEFENZITTING 0 c D. Keppens 2004 Differentiaalvergelijkingen I : separabele en lineaire ste orde DV Onderwerp : separabele differentiaalvergelijkingen van de eerste orde en vergelijkingen

Nadere informatie

VEILIGHEIDSVOORRADEN BEREKENEN

VEILIGHEIDSVOORRADEN BEREKENEN VEILIGHEIDSVOORRADEN BEREKENEN 4 Soorten berekeningen 12 AUGUSTUS 2013 IR. PAUL DURLINGER Durlinger Consultancy Management Summary In dit paper worden vier methoden behandeld om veiligheidsvoorraden te

Nadere informatie

Cover Page. The handle http://hdl.handle.net/1887/32149 holds various files of this Leiden University dissertation.

Cover Page. The handle http://hdl.handle.net/1887/32149 holds various files of this Leiden University dissertation. Cover Page The handle http://hdl.handle.net/1887/32149 holds various files of this Leiden University dissertation. Author: Renema, Jelmer Jan Title: The physics of nanowire superconducting single-photon

Nadere informatie

Wiskundige Technieken 1 Uitwerkingen Hertentamen 2 januari 2014

Wiskundige Technieken 1 Uitwerkingen Hertentamen 2 januari 2014 Wiskundige Technieken Uitwerkingen Hertentamen januari 4 Normering voor 4 pt vragen (andere vragen naar rato): 4pt 3pt pt pt pt goed begrepen én goed uitgevoerd, eventueel met of onbelangrijke rekenfoutjes

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Numerieke Methoden voor Werktuigbouwkunde (2N460) op donderdag 23 juni 2011, 1400-1700 uur Deel 1: Van 1400 uur tot uiterlijk

Nadere informatie

Benodigdheden bekerglas, dompelaar (aan te sluiten op lichtnet), thermometer, stopwatch

Benodigdheden bekerglas, dompelaar (aan te sluiten op lichtnet), thermometer, stopwatch Naam: Klas: Practicum soortelijke warmte van water Benodigdheden bekerglas, dompelaar (aan te sluiten op lichtnet), thermometer, stopwatch Doel van de proef Het bepalen van de soortelijke warmte van water

Nadere informatie

VISUALISATIE VAN KROMMEN EN OPPERVLAKKEN. 1. Inleiding

VISUALISATIE VAN KROMMEN EN OPPERVLAKKEN. 1. Inleiding VISUALISATIE VAN KROMMEN EN OPPERVLAKKEN IGNACE VAN DE WOESTNE. Inleiding In diverse wetenschappelijke disciplines maakt men gebruik van functies om fenomenen of processen te beschrijven. Hiervoor biedt

Nadere informatie

De Laplace-transformatie

De Laplace-transformatie De Laplace-transformatie De Laplace-transformatie is een instrument dat functies omzet in andere functies. Deze omzetting, de transformatie, heeft nette wiskundige eigenschappen. Zowel in de kansrekening

Nadere informatie

Overgangsverschijnselen

Overgangsverschijnselen Hoofdstuk 5 Overgangsverschijnselen Doelstellingen 1. Overgangsverschijnselen van RC en RL ketens kunnen uitleggen waarbij de wiskundige afleiding van ondergeschikt belang is Als we een condensator of

Nadere informatie

Respons van een voertuig bij passage over een verkeersdrempel

Respons van een voertuig bij passage over een verkeersdrempel Respons van een voertuig bij passage over een verkeersdrempel G. Lombaert en G. Degrande. Departement Burgerlijke Bouwkunde, K.U.Leuven, Kasteelpark Arenberg 40, B-3001 Leuven 1 Formulering van het probleem

Nadere informatie

de weerstandscoëfficiënt van de bochten is nagenoeg onafhankelijk van het slangtype.

de weerstandscoëfficiënt van de bochten is nagenoeg onafhankelijk van het slangtype. TNO heeft een onderzoek naar de invloed van een aantal parameters op de wrijvings- en weerstandscoëfficiënten van DEC International -slangen en -bochten uitgevoerd (rapportnummer 90-042/R.24/LIS). De volgende

Nadere informatie

IJkingstoets burgerlijk ingenieur juni 2014: algemene feedback

IJkingstoets burgerlijk ingenieur juni 2014: algemene feedback IJkingstoets burgerlijk ingenieur 30 juni 2014 - reeks 1 - p. 1 IJkingstoets burgerlijk ingenieur juni 2014: algemene feedback In totaal namen 716 studenten deel aan de ijkingstoets burgerlijk ingenieur

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Numerieke Methoden voor Werktuigbouwkunde N460 op donderdag 4 juni 010, 14.00-17.00 uur. De uitwerkingen van de opgaven dienen

Nadere informatie

BETONSTAAL GERIBDE en GEDEUKTE STAVEN GERIBDE en GEDEUKTE DRAAD met hoge ductiliteit

BETONSTAAL GERIBDE en GEDEUKTE STAVEN GERIBDE en GEDEUKTE DRAAD met hoge ductiliteit OCBS Vereniging zonder winstoogmerk Keizerinlaan 66 B 1000 BRUSSEL www.ocab-ocbs.com TECHNISCHE VOORSCHRIFTEN PTV 302 Herz. 7 2015/6 PTV 302/7 2015 BETONSTAAL GERIBDE en GEDEUKTE STAVEN GERIBDE en GEDEUKTE

Nadere informatie

Aanvullingen bij Hoofdstuk 8

Aanvullingen bij Hoofdstuk 8 Aanvullingen bij Hoofdstuk 8 8.5 Definities voor matrices De begrippen eigenwaarde eigenvector eigenruimte karakteristieke veelterm en diagonaliseerbaar worden ook gebruikt voor vierkante matrices los

Nadere informatie

Hout. Houteigenschappen 2013/12

Hout. Houteigenschappen 2013/12 2013/12 Hout Houteigenschappen Hout is een natuurproduct. Elke houtsoort heeft zijn eigen unieke eigenschappen. Deze eigenschappen kunnen echter per soort enigszins variëren. Om tot optimaal gebruik en

Nadere informatie

P.H.J. Schellekens A.G. de Gilde W.P. van Vliet

P.H.J. Schellekens A.G. de Gilde W.P. van Vliet Afnamerapport van een ZEISS UC 850 3D-meetmachine, eigendom van DAF B.V., Westerloo. Rapportnr.: WPA 0812, Okt. 1989. P.H.J. Schellekens A.G. de Gilde W.P. van Vliet - 1 - 1. Inleiding In dit rapport z1jn

Nadere informatie

Wiskunde 3 partim Analyse: oefeningen

Wiskunde 3 partim Analyse: oefeningen Wiskunde 3 partim Analyse: oefeningen Lijnintegralen 1. Bereken de lijnintegraal waarbij C xdx + ydy (x 2 + y 2 ) 5/2 C : P (t) = exp t sin t e x + exp t cos t e y, 0 t 2π. Antwoord: 1 (1 exp ( 6π)) 3

Nadere informatie

De bisectie methode uitgelegd met een makkelijk voorbeeld

De bisectie methode uitgelegd met een makkelijk voorbeeld De Bisectie methode De bisectie methode uitgelegd met een makkelijk voorbeeld De bisectie methode is een recursieve methode om punten van een functie te gaan afschatten. Hierbij gaat men de functiewaarde

Nadere informatie

ONDERDRUKKEN VAN LEK NAAR ZIJLOBBEN BIJ HET BEREKENEN VAN AUTO- EN KRUISSPECTRA M.B.V. PAST FOURIER TRANSFORMS

ONDERDRUKKEN VAN LEK NAAR ZIJLOBBEN BIJ HET BEREKENEN VAN AUTO- EN KRUISSPECTRA M.B.V. PAST FOURIER TRANSFORMS ONDERDRUKKEN VAN LEK NAAR ZIJLOBBEN BIJ HET BEREKENEN VAN AUTO- EN KRUISSPECTRA M.B.V. PAST FOURIER TRANSFORMS G. Klopman Waterloopkundig Laboratorium 24 februari 1989 1. Inleiding Bij het bepalen van

Nadere informatie

HOOFDSTUK VII REGRESSIE ANALYSE

HOOFDSTUK VII REGRESSIE ANALYSE HOOFDSTUK VII REGRESSIE ANALYSE 1 DOEL VAN REGRESSIE ANALYSE De relatie te bestuderen tussen een response variabele en een verzameling verklarende variabelen 1. LINEAIRE REGRESSIE Veronderstel dat gegevens

Nadere informatie

5 Lineaire differentiaalvergelijkingen

5 Lineaire differentiaalvergelijkingen 5 Lineaire differentiaalvergelijkingen In veel toepassingen in de techniek en de exacte wetenschappen wordt gewerkt met differentiaalvergelijkingen om continue processen te modelleren. Het gaat dan meestal

Nadere informatie

Tentamen Statistische Thermodynamica MS&T 27/6/08

Tentamen Statistische Thermodynamica MS&T 27/6/08 Tentamen Statistische Thermodynamica MS&T 27/6/08 Vraag 1. Toestandssom De toestandssom van een systeem is in het algemeen gegeven door de volgende uitdrukking: Z(T, V, N) = e E i/k B T. i a. Hoe is de

Nadere informatie

Netwerkdiagram voor een project. AOA: Activities On Arrows - activiteiten op de pijlen.

Netwerkdiagram voor een project. AOA: Activities On Arrows - activiteiten op de pijlen. Netwerkdiagram voor een project. AOA: Activities On Arrows - activiteiten op de pijlen. Opmerking vooraf. Een netwerk is een structuur die is opgebouwd met pijlen en knooppunten. Bij het opstellen van

Nadere informatie

TENTAMEN. Van Quantum tot Materie

TENTAMEN. Van Quantum tot Materie TENTMEN Van Quantum tot Materie Prof. Dr. C. Gooijer en Prof. Dr. R. Griessen Vrijdag 22 december 2006 12.00-14.45 Q105/ M143/ C121 Dit schriftelijk tentamen bestaat uit 5 opdrachten. Naast de titel van

Nadere informatie

7 College 01/12: Electrische velden, Wet van Gauss

7 College 01/12: Electrische velden, Wet van Gauss 7 College 01/12: Electrische velden, Wet van Gauss Berekening van electrische flux Alleen de component van het veld loodrecht op het oppervlak draagt bij aan de netto flux. We definieren de electrische

Nadere informatie

Theorie: Snelheid (Herhaling klas 2)

Theorie: Snelheid (Herhaling klas 2) Theorie: Snelheid (Herhaling klas 2) Snelheid en gemiddelde snelheid Met de grootheid snelheid geef je aan welke afstand een voorwerp in een bepaalde tijd aflegt. Over een langere periode is de snelheid

Nadere informatie

Wiskundige vaardigheden

Wiskundige vaardigheden Inleiding Bij het vak natuurkunde ga je veel rekenstappen zetten. Het is noodzakelijk dat je deze rekenstappen goed en snel kunt uitvoeren. In deze presentatie behandelen we de belangrijkste wiskundige

Nadere informatie

05-11-12. Gedrag bij brand van staal-beton vloersystemen. Eenvoudige ontwerpmethode. Doel of van de ontwerpmethode. Inhoud van de presentatie

05-11-12. Gedrag bij brand van staal-beton vloersystemen. Eenvoudige ontwerpmethode. Doel of van de ontwerpmethode. Inhoud van de presentatie 05-11-1 Doel of van de Gedrag van staal-beton vloersystemen Achtergrond van de eenvoudige Inhoud van de presentatie Achtergrond van de eenvoudige van gewapend betonplaten bij 0 C Vloerplaatmodel Bezwijkvormen

Nadere informatie

Proefopstelling Tekening van je opstelling en beschrijving van de uitvoering van de proef.

Proefopstelling Tekening van je opstelling en beschrijving van de uitvoering van de proef. Practicum 1: Meetonzekerheid in slingertijd Practicum uitgevoerd door: R.H.M. Willems Hoe nauwkeurig is een meting? Onderzoeksvragen Hoe groot is de slingertijd van een 70 cm lange slinger? Waardoor wordt

Nadere informatie

DIPLOMA. KNM(b. sl' #2hotWN De Jury. Concertwedstrijd Veld hoven. Vereniging: Harmonie Orkest Vleuten. Dirigent: Arjan van Gaasbeek.

DIPLOMA. KNM(b. sl' #2hotWN De Jury. Concertwedstrijd Veld hoven. Vereniging: Harmonie Orkest Vleuten. Dirigent: Arjan van Gaasbeek. DIPLOMA Concetwedstijd Veld hoven 29 novembe 2OL4 Veeniging: Hamonie Okest Vleuten Plaats: Vleuten Diigent: Ajan van Gaasbeek Divisie: 2" divisie Aantal punten: Veplicht gedeelte: Colossus Thomas Doss

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Numerieke Methoden voor Werktuigbouwkunde (2N46) op maandag 23 Deel 1: Van 14 uur tot uiterlijk 153 uur Het gebruik van het

Nadere informatie

TWEEDE RONDE NATUURKUNDE OLYMPIADE 2014 TOETS 1. 23 APRIL 2014 10.30 12.30 uur

TWEEDE RONDE NATUURKUNDE OLYMPIADE 2014 TOETS 1. 23 APRIL 2014 10.30 12.30 uur TWEEDE RONDE NATUURKUNDE OLYMPIADE 2014 TOETS 1 23 APRIL 2014 10.30 12.30 uur 1 RONDDRAAIENDE MASSA 5pt Een massa zit aan een uiteinde van een touw. De massa ligt op een wrijvingloos oppervlak waar het

Nadere informatie

13.1 De tweede afgeleide [1]

13.1 De tweede afgeleide [1] 13.1 De tweede afgeleide [1] De functie is afnemend dalend tot het lokale minimum; Vanaf het lokale minimum tot punt A is de functie toenemend stijgend; Vanaf punt A tot het lokale maimum is de functie

Nadere informatie

Theory Dutch (Netherlands) Lees eerst de algemene instructies uit de aparte enveloppe voordat je begint met deze opgave.

Theory Dutch (Netherlands) Lees eerst de algemene instructies uit de aparte enveloppe voordat je begint met deze opgave. Q1-1 Twee problemen uit de Mechanica (10 punten) Lees eerst de algemene instructies uit de aparte enveloppe voordat je begint met deze opgave. Deel A. De verborgen schijf (3.5 punten) We beschouwen een

Nadere informatie

p V T Een ruimte van 24 ºC heeft een dauwpuntstemperatuur van 19 ºC. Bereken de absolute vochtigheid.

p V T Een ruimte van 24 ºC heeft een dauwpuntstemperatuur van 19 ºC. Bereken de absolute vochtigheid. 8. Luchtvochtigheid relatieve vochtigheid p e 100 % p absolute vochtigheid = dichtheid van waterdamp dauwpuntstemperatuur T d = de temperatuur waarbij de heersende waterdampdruk de maximale dampdruk is.

Nadere informatie

[Hanssen, 2001] R F Hanssen. Radar Interferometry: Data Interpretation and Error Analysis. Kluwer Academic Publishers, Dordrecht 2001.

[Hanssen, 2001] R F Hanssen. Radar Interferometry: Data Interpretation and Error Analysis. Kluwer Academic Publishers, Dordrecht 2001. Hoe werkt het? Beeldvormende radar maakt het mogelijk om dag en nacht, ook in bewolkte omstandigheden, het aardoppervlak waar te nemen vanuit satellieten. De radar zendt duizenden pulsen per seconde uit,

Nadere informatie

Algemene escalatieberekening

Algemene escalatieberekening Algemene escalatieberekening G5010 1 Algemene escalatieberekening Redactiecommissie 1. Inleiding G5010 3 2. Uitgangspunten voor de escalatieberekening G5010 3 3. Berekening kostenescalatie G5010 4 4. Enkele

Nadere informatie

TENTAMEN CHEMISCHE THERMODYNAMICA. Dinsdag 25 oktober 2011 13.15 15.15

TENTAMEN CHEMISCHE THERMODYNAMICA. Dinsdag 25 oktober 2011 13.15 15.15 TENTAMEN CHEMISCHE THERMODYNAMICA Dinsdag 25 oktober 2011 13.15 15.15 Bij het tentamen mag gebruik worden gemaakt van BINAS en een (grafische) rekenmachine. Let op eenheden en significante cijfers. 1.

Nadere informatie

Gaap, ja, nog een keer. In één variabele hebben we deze formule nu al een paar keer gezien:

Gaap, ja, nog een keer. In één variabele hebben we deze formule nu al een paar keer gezien: Van de opgaven met een letter en dus zonder nummer staat het antwoord achterin. De vragen met een nummer behoren tot het huiswerk. Spieken achterin helpt je niets in het beter snappen... 1 Stelling van

Nadere informatie

NATIONALE SCHEIKUNDEOLYMPIADE

NATIONALE SCHEIKUNDEOLYMPIADE NATINALE SHEIKUNDELYMPIADE RRETIEMDEL VRRNDE 1 (de week van) woensdag 4 februari 2009 Deze voorronde bestaat uit 24 meerkeuzevragen verdeeld over 5 onderwerpen en 3 open vragen met in totaal 13 deelvragen

Nadere informatie

Steijgerweg 1 5616 HS Eindhoven

Steijgerweg 1 5616 HS Eindhoven Flensberekeningen Dr.ir. L.H. Braak Mak.Muh. M.E. Dukul Rapport WFW 92.042 april 1992 in opdracht van: Pleuger-Techniek bv Steijgerweg 1 5616 HS Eindhoven pleuger2 nhoudsopqave 1, nleiding 2. Modeivsrming

Nadere informatie

VORtech Computing. Experts in Technisch Rekenwerk MEMO. Verwerking van diagonale overlaten in WAQUA. BvtH/M08.079. Onderwerp. Documentinformatie

VORtech Computing. Experts in Technisch Rekenwerk MEMO. Verwerking van diagonale overlaten in WAQUA. BvtH/M08.079. Onderwerp. Documentinformatie Experts in Technisch Rekenwerk Postbus 260 2600 AG DELFT MEMO Datum Auteur(s) Onderwerp BvtH/M08.079 24-nov-2008 Bas van 't Hof Verwerking van diagonale overlaten in WAQUA tel. 015-285 0125 fax. 015-285

Nadere informatie

Deze Informatie is gratis en mag op geen enkele wijze tegen betaling aangeboden worden. Vraag 1

Deze Informatie is gratis en mag op geen enkele wijze tegen betaling aangeboden worden. Vraag 1 Vraag 1 Twee stenen van op dezelfde hoogte horizontaal weggeworpen in het punt A: steen 1 met een snelheid v 1 en steen 2 met snelheid v 2 Steen 1 komt neer op een afstand x 1 van het punt O en steen 2

Nadere informatie

Hoe kun je de weerstand van voorwerpen vergelijken en bepalen?

Hoe kun je de weerstand van voorwerpen vergelijken en bepalen? werkblad experiment 4.5 en 5.4 (aangepast) naam:. klas: samen met: Hoe kun je de weerstand van voorwerpen vergelijken en bepalen? De weerstand R van een voorwerp is te bepalen als men de stroomsterkte

Nadere informatie

Zomercursus Wiskunde. Rechten en vlakken (versie 14 augustus 2008)

Zomercursus Wiskunde. Rechten en vlakken (versie 14 augustus 2008) Katholieke Universiteit Leuven September 2008 Rechten en vlakken (versie 14 augustus 2008) 2 Rechten en vlakken Inleiding In deze module behandelen we de theorie van rechten en vlakken in de driedimensionale

Nadere informatie

De twee snelheidsconstanten hangen op niet identieke wijze af van de temperatuur.

De twee snelheidsconstanten hangen op niet identieke wijze af van de temperatuur. In tegenstelling tot een verandering van druk of concentratie zal een verandering in temperatuur wel degelijk de evenwichtsconstante wijzigen, want C k / k L De twee snelheidsconstanten hangen op niet

Nadere informatie

Vergelijkingen met breuken

Vergelijkingen met breuken Vergelijkingen met breuken WISNET-HBO update juli 2013 De bedoeling van deze les is het doorwerken van begin tot einde met behulp van pen en papier. 1 Oplossen van gebroken vergelijkingen Kijk ook nog

Nadere informatie

Netwerkdiagram voor een project. AON: Activities On Nodes - activiteiten op knooppunten

Netwerkdiagram voor een project. AON: Activities On Nodes - activiteiten op knooppunten Netwerkdiagram voor een project. AON: Activities On Nodes - activiteiten op knooppunten Opmerking vooraf. Een netwerk is een structuur die is opgebouwd met pijlen en knooppunten. Bij het opstellen van

Nadere informatie

Werken met eenheden. Introductie 275. Leerkern 275

Werken met eenheden. Introductie 275. Leerkern 275 Open Inhoud Universiteit Appendix B Wiskunde voor milieuwetenschappen Werken met eenheden Introductie 275 Leerkern 275 1 Grootheden en eenheden 275 2 SI-eenhedenstelsel 275 3 Tekenen en grafieken 276 4

Nadere informatie

een aantal proeven, de waarde van de spro gsconcentraties die

een aantal proeven, de waarde van de spro gsconcentraties die de slechte i gevolg is van ezigheid van een oefstaven eerst vo ng worden blootges een aantal proeven, de waarde van de spro gsconcentraties die proefstuk, wordt tye en, voordat zij aan 2. kerven in pro

Nadere informatie

H 0 5 R R -F 5 x 1, 5 m m

H 0 5 R R -F 5 x 1, 5 m m I b u w k k p l t H I C 6 4 4 0 3 X G l v r s t d z h d l d g t l z! B s t k l t, D k u v r h t k p v -p r d Bu c kt W h p d t u d b s t r s u l t t v r k r p r d u c t, d t v r v r d g d s m t d l l r

Nadere informatie

TEKENLIJST SPIJKERSCHRIFT

TEKENLIJST SPIJKERSCHRIFT TEKENLIJST SPIJKERSCHRIFT Dit is een vereenvoudigde lijst met spijkerschrifttekens uit Mesopotamië. Deze lijst maakt het mogelijk de tijdens de workshop Graven om te Weten bestudeerde tablet te vertalen.

Nadere informatie

EXAMEN VOORBEREIDEND WETENSCHAPPELUK ONDERWIJS IN 1979 , I. Dit examen bestaat uit 4 opgaven. " '"of) r.. I r. ',' t, J I i I.

EXAMEN VOORBEREIDEND WETENSCHAPPELUK ONDERWIJS IN 1979 , I. Dit examen bestaat uit 4 opgaven.  'of) r.. I r. ',' t, J I i I. .o. EXAMEN VOORBEREDEND WETENSCHAPPELUK ONDERWJS N 1979 ' Vrijdag 8 juni, 9.00-12.00 uur NATUURKUNDE.,, Dit examen bestaat uit 4 opgaven ',", "t, ', ' " '"of) r.. r ',' t, J i.'" 'f 1 '.., o. 1 i Deze

Nadere informatie

Lessen over Cosmografie

Lessen over Cosmografie Lessen over Cosmografie Les 1 : Geografische coördinaten Meridianen en parallellen Orthodromen of grootcirkels Geografische lengte en breedte Afstand gemeten langs meridiaan en parallel Orthodromische

Nadere informatie

Invloeden van schok en trillingen op product en verpakkingen

Invloeden van schok en trillingen op product en verpakkingen Invloeden van schok en trillingen op product en verpakkingen Er zijn diverse invloeden die schade kunnen veroorzaken aan producten tijdens transport. Temperatuur, luchtvochtigheid, trillingen en schokken.

Nadere informatie

AÏerinzagelegging 7906634

AÏerinzagelegging 7906634 Octrooiraad AÏerinzagelegging 7906634 Nederland @ NL ^ fj) @ @ Inrichting voor het bepalen van lokale absorptieverschillen in een objekt. Int.CI 3.: A61B6/02. Aanvrager: N.V. Philips' Gloeilampenfabrieken

Nadere informatie

Datum: 18 maart 2011 Ons kenmerk: 20103154.RH3851 Project: Beoordeling staalconstructie systeem FlexFrameBouw Betreft: Onderzoek brandwerendheid

Datum: 18 maart 2011 Ons kenmerk: 20103154.RH3851 Project: Beoordeling staalconstructie systeem FlexFrameBouw Betreft: Onderzoek brandwerendheid Adviseurs voor milieu, geluid, trillingen, brand en bouwfysica Alcedo bv Keizersweg 26 Postbus 140, 7450 AC Holten T: (0548) 63 64 20 F: (0548) 63 64 30 FlexFrameBouw bv T.a.v. de heer J. Douwes Kalanderstraat

Nadere informatie

d τ (t) dt = 1 voor alle τ 0.

d τ (t) dt = 1 voor alle τ 0. 6.5. Impulfunctie. In deze paragraaf kijken we naar verchijnelen waarbij in zeer korte tijd een (grote) kracht op een yteem wordt uitgeoefend. Zo n plotelinge kracht kunnen we bechrijven met behulp van

Nadere informatie

Uitwerkingen VWO deel 1 H2 (t/m par. 2.5)

Uitwerkingen VWO deel 1 H2 (t/m par. 2.5) Uitwerkingen VWO deel 1 H2 (t/m par. 2.5) 2.1 Inleiding 1. a) Warmte b) Magnetische Energie c) Bewegingsenergie en Warmte d) Licht (stralingsenergie) en warmte e) Stralingsenergie 2. a) Spanning (Volt),

Nadere informatie

Het modelleren van een onvolkomen put met een meerlagenmodel

Het modelleren van een onvolkomen put met een meerlagenmodel Het modelleren van een onvolkomen put met een meerlagenmodel Mark Bakker i Een onvolkomen put kan gemodelleerd worden met een meerlagenmodel door het watervoerend pakket op te delen in drie lagen gescheiden

Nadere informatie

vwo: Het maken van een natuurkunde-verslag vs 21062011

vwo: Het maken van een natuurkunde-verslag vs 21062011 Het maken van een verslag voor natuurkunde, vwo versie Deze tekst vind je op www.agtijmensen.nl: Een voorbeeld van een verslag Daar vind je ook een po of pws verslag dat wat uitgebreider is. Gebruik volledige

Nadere informatie

Wiskundige Technieken 1 Uitwerkingen Hertentamen 23 december 2014

Wiskundige Technieken 1 Uitwerkingen Hertentamen 23 december 2014 Wiskundige Technieken Uitwerkingen Hertentamen 3 december 04 Normering voor 4 pt vragen andere vragen naar rato: 4pt 3pt pt pt 0pt goed begrepen én goed uitgevoerd, eventueel met enkele onbelangrijke rekenfoutjes

Nadere informatie

Maken van een practicumverslag

Maken van een practicumverslag Natuur-Scheikunde vaardigheden Maken van een practicumverslag Format Maken van een tabel met word 2010 2 Havo- VWO H. Aelmans SG Groenewald Maken van een diagram Inleiding. Een verslag van een practicum

Nadere informatie

Woensdag 30 augustus, 9.30-12.30 uur

Woensdag 30 augustus, 9.30-12.30 uur EXAMEN HOGER ALGEMEEN VOORTGEZET ONDERWIJS IN 1978 Woensdag 30 augustus, 9.30-12.30 uur NATUURKUNDE r Zie ommezijde Deze opgaven zijn vastgesteld door de commissie bedoeld in artikel 24 van het Besluit

Nadere informatie

Plasticiteit. B. Verlinden Inleiding tot de materiaalkunde. Structuur van de lessen 1-4

Plasticiteit. B. Verlinden Inleiding tot de materiaalkunde. Structuur van de lessen 1-4 Plasticiteit Hoofdstuk 6 B. Verlinden Inleiding tot de materiaalkunde Structuur van de lessen 1-4 Algemene introductie in de wereld van de materialen Les 1 materialen ontwerp materialen en milieu Elastische

Nadere informatie

Krimpvervorming - Verschijningsvormen en oorzaken

Krimpvervorming - Verschijningsvormen en oorzaken Laskennis opgefrist (nr. 4) Krimpvervorming - Verschijningsvormen en oorzaken Figuur 1: Doordieping (bukkeling) van de staalplaat tussen de verticale en horizontale verstijvingsprofielen ten gevolge van

Nadere informatie

Het oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen Wiskunde 2, 2DM60 College 2b

Het oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen Wiskunde 2, 2DM60 College 2b Het oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen Wiskunde 2, 2DM60 College 2b Ruud Pellikaan g.r.pellikaan@tue.nl /k 2014-2015 Lineaire vergelijking 2/64 DEFINITIE: Een lineaire vergelijking in de variabelen

Nadere informatie

Toegepaste wiskunde. voor het hoger beroepsonderwijs. Deel 2 Derde, herziene druk. Uitwerking herhalingsopgaven hoofdstuk 7.

Toegepaste wiskunde. voor het hoger beroepsonderwijs. Deel 2 Derde, herziene druk. Uitwerking herhalingsopgaven hoofdstuk 7. Drs. J.H. Blankespoor Drs.. de Joode Ir. A. Sluijter Toegepaste wiskunde voor het hoger beroepsonderwijs Deel Derde, herziene druk herhalingsopgaven hoofdstuk 7 augustus 009 HBuitgevers, Baarn Toegepaste

Nadere informatie

Examen Klassieke Mechanica

Examen Klassieke Mechanica Examen Klassieke Mechanica Herbert De Gersem, Eef Temmerman 2de bachelor burgerlijk ingenieur en bio-ingenieur 14 januari 2008, academiejaar 07-08 NAAM: RICHTING: vraag 1 (/3) vraag 2 (/5) vraag 3 (/5)

Nadere informatie

RADIOACTIEF VERVAL. Vervalsnelheid

RADIOACTIEF VERVAL. Vervalsnelheid /stralingsbeschermingsdienst 8385-I dictaat september 2000 RADIOACTIEF VERVAL Voor een beperkt aantal van nature voorkomende kernsoorten en voor de meeste kunstmatig gevormde nucliden wijkt de neutron/proton

Nadere informatie

Ijkingstoets industrieel ingenieur aangeboden door UGent en VUB op 30 juni 2014: algemene feedback

Ijkingstoets industrieel ingenieur aangeboden door UGent en VUB op 30 juni 2014: algemene feedback IJkingstoets juni 4 - reeks - p. / Ijkingstoets industrieel ingenieur aangeboden door UGent en VUB op juni 4: algemene feedback In totaal namen studenten deel aan deze ijkingstoets industrieel ingenieur

Nadere informatie

1.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x.

1.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x. 1.0 Voorkennis Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x. 6x + 28 = 30 10x +10x +10x 16x + 28 = 30-28 -28 16x = 2 :16 :16 x = 2 1 16 8 Stappenplan: 1) Zorg dat alles met x links van het = teken komt te staan;

Nadere informatie

Phydrostatisch = gh (6)

Phydrostatisch = gh (6) Proefopstellingen: Bernoulli-opstelling De Bernoulli-vergelijking (2) kan goed worden bestudeerd met een opstelling zoals in figuur 4. In de figuur staat de luchtdruk aangegeven met P0. Uiterst links staat

Nadere informatie