Faculteit Wetenschappen Vakgroep Toegepaste Wiskunde en Informatica Voorzitter: Prof. dr. W. GOVAERTS VERZEKERINGEN EN FINANCIËN. door Pieter DE SMET

Transcriptie

1 Faculteit Wetenschappen Vakgroep Toegepaste Wiskunde en Informatica Voorzitter: Prof. dr. W. GOVAERTS DE BECHMARK AAPAK I VERZEKERIGE E FIACIË door Pieter DE SMET Promotor: Prof. dr. M. VAMAELE Masterproef ingediend tot het behalen van de academische graad van MASTER I DE TOEGEPASTE WISKUDE MIOR ECOOMIE & VERZEKERIGE Academiejaar

2

3 Faculteit Wetenschappen Vakgroep Toegepaste Wiskunde en Informatica Voorzitter: Prof. dr. W. GOVAERTS DE BECHMARK AAPAK I VERZEKERIGE E FIACIË door Pieter DE SMET Promotor: Prof. dr. M. VAMAELE Masterproef ingediend tot het behalen van de academische graad van MASTER I DE TOEGEPASTE WISKUDE MIOR ECOOMIE & VERZEKERIGE Academiejaar

4

5 iii Voorwoord Vooraleer jullie in te wijden in de theorie der benchmarked portefeuilles wil ik jullie nog even wijzen op de verdiensten van een groot aantal mensen uit mijn omgeving. Een masterproef schrijft men niet alleen, heel veel mensen hebben hier een groot aandeel in, ik wil dan ook de tijd nemen deze mensen stuk voor stuk welgemeend te danken. Vooreerst wil ik mijn promotor, Prof. dr. Michèle Vanmaele, bedanken. Dit jaar begeleidde ze vier studenten doorheen hun masterproef en ik ben oprecht blij één van hen te mogen zijn. Bedankt voor het opvolgen van mijn vooruitgangen, bedankt voor het steeds zeer snel beantwoorden van mijn vragen, bedankt voor het nalezen van de masterproef, bedankt voor de energie die u in dit document gestoken heeft. Bedankt ook aan de commissarissen voor hun interesse in dit onderwerp, hun tijd die ze aan deze masterproef besteden. Daarnaast wil ik nog twee mensen bedanken, twee personen voor wie geen dank te veel kan zijn, mijn ouders. Moeke en papa, het is in de eerste plaats jullie verdienste dat ik hier nu hoop vijf jaar studeren tot een goed einde te brengen. Ik ben jullie eeuwig dankbaar voor het vertrouwen dat ik krijg, de steun die jullie mij geven, jullie inzet elke dag opnieuw. Veel dank en oprecht respect hiervoor! Tot slot verdienen ook ook mijn broer, zus en vrienden hier een vermelding voor hun interesse, hun werk als uitlaatklep, hun goede raad en ons samen zijn de voorbije jaren in Brugge en Gent. Pieter De Smet, juni 211

6

7 v Toelating tot bruikleen De auteur geeft de toelating deze masterproef voor consultatie beschikbaar te stellen en delen van de masterproef te kopieren voor persoonlijk gebruik. Elk ander gebruik valt onder de beperkingen van het auteursrecht, in het bijzonder met betrekking tot de verplichting de bron uitdrukkelijk te vermelden bij het aanhalen van resultaten uit deze masterproef. Pieter De Smet, juni 211

8

9 IHOUDSOPGAVE vii Inhoudsopgave Voorwoord iii Toelating tot bruikleen v Inhoudsopgave vii Inleiding 1 1 Basistheorie financiële wiskunde Kanstheorie en stochastische processen Brownse Beweging en Itô-processen Telprocessen Algemene telprocessen Homogene Poissonprocessen Lévyprocessen Uitbreidingen a.d.h.v. stochastische maten iet-homogene Poissonprocessen Stochastische calculus Stochastische integralen Kwadratische variatie Itô-formule voor continue processen en sprongen De numerair-portefeuille in een incomplete markt Modellering van een complete financiële markt Portefeuilles in een complete markt Opbouw van een portefeuille

10 viii IHOUDSOPGAVE Verdisconteerde portefeuilles De GOP: growth optimal portfolio Definitie en afleiding in een complete markt De benchmark aanpak: de GOP als numeraire Bespreking Een veralgemening voor een incomplete markt Veralgemening van effecten en portefeuilles De veralgemeende GOP en benchmarked portefeuilles De numerair-portefeuille in geval van sprongen Dan toch een marktprijs van risico Sprongen in portefeuillewaarden Bespreking Modellering van een portefeuille met sprongen De GOP in een markt met sprongen De GOP met sprongen Benchmarked portefeuilles met sprongen De benchmark aanpak in de praktijk Optimale portefeuilles en de marktportefeuille Bespreking en afleiding Markovitz efficiënte portefeuilles De marktportefeuille Benaderingen van de GOP Wiskundige theorie rond GOP-benaderingen Drie benaderingen Waarderen van portefeuilles Eerlijk prijzen Risiconeutraal en actuarieel prijzen Risicobeheer Besluit 13 Bibliografie 15

11 ILEIDIG 1 Inleiding Als tweede master in de toegepaste wiskunde, afstudeerrichting economie en verzekeringen en toekomstig student actuariële wetenschappen is het eerder gebruikelijk een onderwerp te kiezen dat wiskundig onderbouwd is maar diverse toepassingen kent in het bank- en verzekeringswezen. De richting die ik met mijn eindwerk wilde inslaan was in het voorjaar van 21 dan ook behoorlijk snel bepaald; ik wilde mij verdiepen in het wiskundig modelleren van de financiële wereld. De voorbije decennia zijn kilo s papier besteed aan theoriën die ons in staat moeten stellen in een continue markt effecten te prijzen. Onder de vertrouwde risiconeutrale benadering kunnen echter problemen ontstaan in sectoren waar het niet eenvoudig is een geschikte risiconeutrale maat te vinden. Zo zijn reeds interessante markten beschreven die niet kunnen worden behandeld onder deze traditionele benadering. In de wereld van verzekeringen en financiën heeft men bovendien nood aan methoden die hun kennis opleveren over werkelijke risico s van portefeuilles. Een dergelijke methode wordt in deze masterproef beschreven, de benchmark aanpak gebruikt een groei optimale portefeuille GOP als numeraire. De GOP wordt gedefinieerd als de portefeuille met maximaal verwacht logaritmisch nut en komt voor in tal van artikels rond prijzen van portefeuilles, optimaliseren van portefeuilles en risicobeheer. Doorheen de jaren is ook gebleken dat de GOP benaderd kan worden door tal van indexen die functioneler zijn dan de GOP zelf. Gebruiken we de GOP als numeraire dan werken we met benchmarked portefeuilles, deze zullen blijken een lokale martingaalproces te zijn onder de werkelijke kansmaat. Het blijkt dan ook mogelijk te zijn een prijsformule op te stellen die portefeuilles een prijs toekent o.b.v. de echte risico s die eraan verbonden zijn. We spreken in dit geval van fair pricing, deze methode vereist geen equivalente risiconeutrale maat. Onder bepaalde omstandigheden herleidt dit mechanisme van eerlijk prijzen zich tot het risiconeutraal of actuarieel prijzen. Tot slot levert het feit dat we onder de reële kans werken ons extra middellen om risico s van portefeuilles te schatten en minimaliseren.

12 2 ILEIDIG Eerder dan een economisch onderbouwd overzicht te geven van de verschillende werkzaamheden van de benchmarked portefeuilles, ligt het doel van deze masterproef in het wiskundig grondig uitwerken van de theorie die aan de basis ligt van deze benchmark aanpak. Toch proberen we doorheen de vier hoofdstukken en het besluit de economische interpretatie niet uit het oog te verliezen, we steunen hiervoor geregeld op [6], [12] & [21]. In hoofdstuk 1 gaan we van start met een introductie van de wiskundige basistheorie die ons in staat moet stellen de benchmark theorie te bespreken. We steunen op een basiskennis die vervat zit in de cursus financiële wiskunde - continue stochastische modellen [17], de belangrijkste begrippen worden herhaald en veralgemeend in 1.1 en 1.2. We vullen dit aan met [5], [16] & [17] en bepaalde begrippen uit [7], [8] & [22]. Verder in dit hoofdstuk bespreken we sprongprocessen 1.3 en de stochastische calculus 1.4 a.d.h.v. [5] en in mindere mate [3]. Hoofdstuk 2 bouwt de theorie op naar de benchmarked portefeuilles. In 2.1 en 2.2 modelleren we een complete financiële markt en de portefeuilles in zo n markt, in 2.3 introduceren we de groei optimale portefeuille die uiteindelijk als numeraire moet dienen voor het benchmark model, telkens wordt gesteund op [15]. In 2.4 herbeginnen we om de benchmarked portefeuilles te definiëren voor een incomplete markt, we maken gebruik van het inzicht uit [1], weliswaar sterk aangepast. In hoofdstuk 3 aanvaarden we de mogelijkheid tot sprongen in een portefeuilleproces, we modelleren dergelijke portefeuilles in 3.2 en leiden op de traditionele manier de benchmarked vorm af in 3.3. In [13] vindt men de theorie terug voor een complete markt, wij veralgemenen hier zelf naar een incomplete markt. Tot slot wordt in hoofdstuk 4 de praktische kant van de benchmark aanpak behandeld. Volgens dezelfde manier als in [15] worden in 4.1 de optimale portefeuilles en de marktportefeuille geïntroduceerd, evenwel veralgemeend voor sprongen. Uitgaande van [14] beschrijven we in 4.2 de wiskundige theorie rond benaderen van de GOP en bespreken we drie benaderingen uit de praktijk. In 4.3 en 4.4 sluiten we deze masterproef af met een bespreking van het bruikbaarheid van de benchmark aanpak voor respectievelijk het prijzen van portefeuilles en risicobeheer.

13 3 Hoofdstuk 1 Basistheorie financiële wiskunde We vatten deze masterproef aan met een overzicht van enkele beginselen uit de financiële wiskunde, het is immers onze ambitie de theorie die in dit document aan bod komt goed te onderbouwen. We gaan er echter wel van uit dat de lezer voldoende voeling heeft met de belangrijkste begrippen uit de financiële wiskunde, het is aldus niet onze bedoeling alles vanaf nul op te bouwen. Wel willen we de voor deze masterproef belangrijkste begrippen en stellingen hernemen en aanvullen indien nodig. Starten doen we met enkele basisdefinities die reeds voorkwamen in [17], vervolgens vullen we aan met sprongprocessen en we eindigen met een uitgebreide studie van de stochastische calculus van semimartingalen. 1.1 Kanstheorie en stochastische processen Hieronder bouwen we op naar het begrip gefilterde kansruimte, deze structuur zal ons in staat stellen informatie te modelleren. Hiervoor introduceren we eerst een σ-algebra, een kansmaat en een filtratie. Definitie [17] Zij Ω een niet-ledige verzameling, en F een collectie van deelverzamelingen van Ω, dan is F een σ-algebra als deze voldoet aan de ledige verzameling behoort tot F, indien A F, dan ook het complement A c F, en indien een rij A 1,A 2,... F, dan ook de unie A i F.

14 4 HOOFDSTUK 1. BASISTHEORIE FIACIËLE WISKUDE Definitie [17] Zij Ω een niet-ledige verzameling en F een σ-algebra van deelverzamelingen van Ω, dan is een functie waarvoor P[Ω] 1, en P : F [,1] : A P[A] indien A 1,A 2,... is een rij van disjuncte verzamelingen in F, dan ] P[ A i P[A i ] allebei gelden, een kansmaat. Definitie [17] Zij Ω een niet-ledige verzameling, T een vast positief getal de tijdshorizon en stel dat voor elke t [,T ] een σ-algebra F t bestaat. Indien voor elke s t, elke verzameling in F s ook tot F t behoort, dan noemen we de collectie van σ-algebra s F t t [,T ] een filtratie. We wensen hier de nadruk te leggen op de definitie van een filtratie als collectie van σ-algebra s, vanaf nu gebruiken we de notaties F t t [,T ] en F door elkaar. F t, zonder bijhorend tijdsinterval, duidt echter op één σ-algebra uit die collectie. Merk op dat we in definities en nog F gebruikten voor een σ-algebra, vanaf nu is dit uit den boze als er afhankelijkheid is van de tijd. Definitie [16] Een filtratie voldoet aan de gebruikelijke voorwaarden indien F bevat alle P-nulverzamelingen van F ; de filtratie is rechtscontinu, m.a.w F t u>t F u voor alle t [,T ]. Voor het vervolg van deze masterproef eisen we dat de filtratie telkens voldoet aan de gebruikelijke voorwaarden. Definitie [17, aangepast] Een kansruimte is een drietal Ω,F T,P, hierin is Ω de verzameling van alle mogelijke uitkomsten het universum, F T een σ-algebra met tijdshorizon T en P een kansmaat. [15] Zij F t t [,T ] een filtratie van F T, deze voldoet aan de gebruikelijke voorwaarden, dan noemt men Ω,F T,F t t [,T ],P een gefilterde kansruimte. In deze masterproef worden we overladen met stochastische processen, die we aldus zullen modelleren a.d.h.v. bovenstaande gefilterde kansruimte, de exacte definitie komt hieronder aan bod. Aangezien deze processen echter afhangen van een kansverdeling P is het moeilijk om te bewijzen dat een eigenschap altijd voldaan is, in functie daarvan zal de term bijna zeker worden ingevoerd.

15 1.1. KASTHEORIE E STOCHASTISCHE PROCESSE 5 Definitie [16, 17, aangepast] Zij gegeven een gefilterde kansruimte, Ω het universum en F t t [,T ] een filtratie. Een collectie van reële stochastische variabelen Xt, t [, T ], wordt gedefinieerd als een stochastisch proces. Deze collectie Xt, t [, T ], is een aangepast stochastisch proces indien, voor elke t, Xt F t-meetbaar is, d.i. de informatie in F t is voldoende om de waarde Xt te bepalen. We benadrukken dat het aangepast stochastich proces zelf genoteerd wordt door Xt, t [, T ], of kortweg X, en dat Xt zonder het tijdsinterval een specifieke waarde op tijdstip t bepaalt en stochastisch is. Definitie [17, aangepast] Zij Ω,F T,F t t [,T ],P een gefilterde kansruimte. Indien een verzameling A F voldoet aan P[A] 1, zeggen we dat het evenement A bijna zeker b.z. is. Aan die verzameling A kan bijvoorbeeld een eigenschap vasthangen, deze eigenschap is aldus bijna zeker indien P[A] 1. Het zal ook blijken interessant te zijn enkele basisbegrippen uit de analyse her op te frissen, we starten met twee begrippen rond continuïteit en limiet, daarnaast behandelen we ook enkele van de voor ons belangrijke convergetietypes. Definitie [5] We noemen een functie f cadlag indien deze rechtscontinu is en een linkerlimiet heeft in elk punt van het definitiegebied. Is f linkscontinu en heeft ze een rechterlimiet in elk punt van het domein dan noemen we de functie caglad. We starten hieronder met een overzicht van de belangrijkste convergentietypes voor reële functies, concreet herhalen we wat uniforme convergentie, L 1 -convergentie en L 2 -convergentie precies betekent. Definitie [7, aangepast] Zij f 1, f 2,... een rij van reële functies met een domein A R, men zegt dat deze rij uniform convergeert naar een reële functie f met domein A indien: ε > z A n n f z f n z < ε. Het begrip uniform slaat op het feit dat in elk punt z A de convergentie even snel gebeurt; ε is onafhankelijk van z A. Definitie [8] Zij gegeven een rij van integreerbare functies f 1, f 2,... : A R R, men zegt dat deze rij L 1 - convergeert naar een integreerbare functie f : A R R indien de rij convergeert in de L 1 -norm: lim f f n. n + A

16 6 HOOFDSTUK 1. BASISTHEORIE FIACIËLE WISKUDE Definitie [8] Zij gegeven een rij van kwadratisch integreerbare functies f 1, f 2,... : A R R, men zegt dat deze rij L 2 - convergeert naar een kwadratisch integreerbare functie f : A R R indien: lim f f n 2. n + A Ook stochastische processen kunnen convergeren, maar dan moeten we uiteraard rekening houden met kanstheorie. We beschrijven convergentie in kans, bijna zekere convergentie en convergentie in distributie. Definitie [22] Zij X een stochastische veranderlijke en X 1,X 2,... een oneindige rij van stochastische veranderlijken over een kansruimte Ω,F T,F t t [,T ],P, men zegt dat de rij convergeert in kans naar X als voor elke ε > : lim P[ X n X > ε]. n + Definitie [22] Zij X opnieuw een stochastische veranderlijke en X 1,X 2,... een oneindige rij van stochastische veranderlijken over een kansruimte Ω,F T,F t t [,T ],P, men zegt dat X n,n 1 bijna zeker convergeert naar X indien: P[ lim n + X n X] 1. Definitie [22] Beschouw opnieuw de stochastische veranderlijke X en de rij der stochastische veranderlijken X 1,X 2,... telkens over een kansruimte Ω,F T,F t t [,T ],P, de rij X n, n 1, convergeert in distributie naar X indien: lim n + F X n t F X t, voor elke t waarin F X, de verdelingsfunctie van X, continu is. Men noteert vaak X n d X. Financiële wiskunde hangt onlosmakelijk vast met het begrip martingaal, zeker wanneer we moeten prijzen is het interessant te weten welke tendens we mogen verwachten voor de processen. Ook hier zullen de trends in de waarden van de stochastische processen een belangrijke rol spelen. In functie hiervan introduceren we het begrip stoptijd. Definitie [16] Zij gegeven een gefilterde kansruimte, Ω het universum en F t t [,T ] een filtratie. Een stochastische variabele τ : Ω [, + ] is een stoptijd als de verzameling {τ t} F t voor elke t < +.

17 1.1. KASTHEORIE E STOCHASTISCHE PROCESSE 7 De rechtscontinuïteit van de filtratie F impliceert dat de variabele τ een stoptijd is als en slechts als {τ < t} F t voor elke t [,T ]. [16] Definitie [16, aangepast] Zij Ω,F T,F t t<+,p een gefilterde kansruimte, beschouw een aangepast stochastisch proces Xt, t +, dat voldoet aan E[ Xt ] < +. Dit proces is een P-submartingaal indien er geen tendens tot dalen is: E[Xt F s] Xs s t + b.z.. Dit proces is een P-supermartingaal indien er geen tendens tot stijgen is: E[Xt F s] Xs s t + b.z.. Dit proces is een P-martingaal indien er noch een tendens tot stijgen noch een tendens tot dalen is: E[Xt F s] Xs s t + b.z.. Definitie [16, aangepast] Zij Ω,F T,F t t [,T ],P een gefilterde kansruimte, beschouw een aangepast stochastisch proces Xt, t +, dat cadlag is. Als er een reeks niet-dalende stoptijden {τ n } + n1 bestaat, zodat het aangepast stochastisch proces X nt Xt τ n 1, t [,T ], een P- martingaal is voor alle n 1 en lim n + τ n + b.z., dan zeggen we dat X een lokale P-martingaal is. Analoog kunnen we een lokale P-supermartingaal en een lokale P-submartingaal definiëren. Een aangepast stochastisch proces is een lokale P-martingaal als het lokaal elk eindig tijdsinterval aan de martingaaleigenschap voldoet. Als dus voor elk vast positief getal T, de tijdshorizon, geldt E[Xt F s] Xs s t T. Elke P-martingaal is uiteraard een lokale P-martingaal, maar niet noodzakelijk omgekeerd; grote waarden met kleine kansen kunnen de verwachtingswaarden en dus de voorwaarde verstoren. De onderstaande stelling geeft een verbinding tussen lokale martingalen en supermartingalen. Stelling [9] Een niet-negatieve, continue, lokale P-martingaal is een P-supermartingaal. In theoretische modelleringen van financiële markten zal men altijd vereisen dat deze gezuiverd zijn van arbitrage, toch kan het soms gebeuren dat een vorm van arbitrage in de markt geglipt is. Wanneer 1 De operator bepaalt het minimum van twee reële getallen.

18 8 HOOFDSTUK 1. BASISTHEORIE FIACIËLE WISKUDE dit echter opgemerkt wordt door beleggers, zullen deze proberen dat in hun voordeel te misbruiken, ze zullen door bepaalde producten te kopen/verkopen van niks iets proberen te maken. Hierdoor gaan vraag en aanbod gaan spelen en vindt de markt een nieuw evenwicht, zonder arbitrage. We mogen aldus stellen dat deze geen-arbitrage-veronderstelling strookt met de werkelijkheid. Definitie [17, aangepast] Onder arbitrage verstaan we een handelsstrategie die begint met e., een kans op verlies gelijk aan heeft en beschikt over een positieve kans op winst. 1.2 Brownse Beweging en Itô-processen Volgens het Black-Scholes-model dat we aanvankelijk zullen gebruiken voor financiële markten gedragen de koersen op de effectenbeurs zich als Brownse Bewegingen. Op basis daarvan kunnen we vervolgens Itô-processen invoeren, effecten zullen in deze masterproef aanvankelijk een Itô-proces volgen. In deel 1.4 zullen we de stochastische calculus voor algemene semimartingalen bespreken, voor de details verwijzen we dan ook naar dat stuk. Hier herhalen we kort de belangrijkste definities en resultaten voor Itô-processen, zoals deze in [17] ingevoerd werden. Definitie [17] Zij Ω,F T,P een kansruimte. Stel dat voor elke ω Ω een continue reële functie Wt, t, bestaat die voldoet aan W en die afhangt van ω. Dan is Wt, t, een 1- dimensionale Brownse Beweging als voor alle tijdstippen t < t 1 < < t m de stappen Wt 1 Wt 1 Wt,Wt 2 Wt 1,...,Wt m Wt m 1, onafhankelijk zijn, hun covariantie is dan gelijk aan, en elk van deze stappen normaal verdeeld is met E[Wt i+1 Wt i ] en Var[Wt i+1 Wt i ] t i+1 t i. Definitie [17] Een d-dimensionale Brownse Beweging is een proces kolommatrix Wt [ ] tr W 1 t W d t met de volgende eigenschappen W i t, t, voor i 1,...,d, is een 1-dimensionale Brownse Beweging, Als i j, dan zijn de processen W i en W j onafhankelijk, en dan is hun covariantie gelijk aan.

19 1.2. BROWSE BEWEGIG E ITÔ-PROCESSE 9 In deze masterproef zullen we ook gebruik maken van Itô-integralen, dit zijn integralen van de vorm t s udwu, hierin is een F -aangepast stochastisch proces. We gebruiken dezelfde notatie voor een Brownse Beweging van dimensie d 2, dan is het stochastisch proces u, t, een rijmatrix, er geldt dan t s udwu d t s i udw i u. Opdat deze integraal zou bestaan moet deze voorspelbaar zijn. Aangezien dergelijke Itô-integralen reeds voorkomen in de definitie van een Itô-proces, definiëren we eerst het begrip voorspelbaarheid. Belangrijker dan de eigenlijke definitie is echter de eigenschap dat de Itô-integraal nemen van een voorspelbaar proces zin heeft. Definitie [16] Een proces X is simpel voorspelbaar indien het te schrijven is als Xt XI {t } + n Xτ i I {τ i < t τ i+1 }, hierin is I {...} de indicatorfunctie en τ 1,τ 2,...,τ n+1 < + een eindige rij van stoptijden, Xτ i F τ i met Xτ i < + b.z., 1 i n. De bovenstaande definitie geldt enkel voor simpele processen, het beeld van zo n proces bestaat uit lijnstukken over disjuncte definitiegebieden 3. Aangezien een integraal gedefinieerd wordt o.b.v. de bovenen ondersom 4 men maakt dan eigenlijk gebruik van simpele functies is het ook mogelijk het begrip voorspelbaarheid uit te breiden tot algemene processen. Ruw gezegd is een proces voorspelbaar indien het F t--meetbaar is of nog indien het proces linkscontinu is. Indien lim Xs Xt dan wordt de waarde Xt voorspeld door de voorafgaande waarden. Er zijn ook voorspelbare processen die niet linkscontinu zijn, maar deze zijn voor deze verdere studie van geen tel. Voor meer informatie hierover verwijzen we naar [5]. Definitie [17] Zij Wt, t, een Brownse Beweging en F t t, een geassocieerde filtratie. Een Itô-proces is een stochastisch proces van de vorm t t Xt X + Θudu + udwu, hierin is X vast en zijn Θ en aangepaste stochastische processen. Bovendien is een voorspelbare 1 d-matrix. 2 Zoals bijvoorbeeld in definitie Voor een exacte definitie verwijzen we naar de cursus Wiskundige Analyse III, [8, blz. 9]. 4 Voor een precieze opbouw kan men terecht in de curus Wiskundige Analyse I, [7, Hoofstuk 6]. s < t

20 1 HOOFDSTUK 1. BASISTHEORIE FIACIËLE WISKUDE Een Itô-proces duldt dus slechts afhankelijkheid van een driftterm en een Brownse Beweging. Twee belangrijke stellingen die voortdurend zullen terugkeren in stochastische calculus van Itô-processen zijn de Itô-formule en de Itô-productregel. De eerste bepaalt de verandering van een functie van een Itô-proces naargelang de tijd en het Itô-proces zelf veranderen, de tweede bepaalt de verandering van het product van twee Itô-processen i.f.v. de respectievelijke verandering in beide processen. Stelling [17] Itô-formule voor een Itô-proces Zij Xt, t, een Itô-proces en f t,x een functie waarvan de partiële afgeleiden f t t,x, f x t,x en f xx t,x 5 gedefinieerd en continu zijn. Dan voor elke t, d f t,xt f t t,xtdt + f x t,xtd Xt f xxt,xtd Xtd Xt. Stelling [17] Itô-productregel Zijn Xt en Y t, t, twee Itô-processen, dan geldt d XtY t Xtd Y t +Y td Xt + d Xtd Y t. Stelling [17, aangepast] Een 1-dimensionale Brownse Beweging Wt, t, heeft kwadratische variatie met snelheid één per tijdseenheid, de kwadratische variatie van de tijd is gelijk aan nul, de kwadratische covariatie van een Brownse Beweging en de tijd is eveneens gelijk aan nul. Voor ons zullen onderstaande informele rekenregels van belang zijn: dwt dwt dt, dt dt, dwt dt. We herinneren dat voor W i en W j, i, j {1,2,...,d}, twee verschillende 1-dimensionale Brownse Bewegingen uit een d-dimensionale Brownse Beweging geldt, per definitie 1.2.2: d W i t d W j t. 1.3 Telprocessen Ons continu model o.b.v. een Brownse Beweging zal in hoofdstuk 3 aangevuld worden met discontinue sprongen, deze zijn van belang om discrete schokken in de financiële markt te modelleren. Sprongen zullen gemodelleerd worden m.b.v. een telproces, een Poissonproces in het bijzonder. In dit stuk wordt het begrip telproces gedefinieerd en maken we de beperking tot Poissonprocessen. 5 f t en f x zijn de eerste orde partiële afgeleiden naar respectievelijk t en x, f xx is de tweede orde partiële afgeleide naar x.

21 1.3. TELPROCESSE Algemene telprocessen We starten met een algemene definitie en bespreking van het begrip telproces, feitelijk is dit niet meer dan een aangepast stochastisch proces dat bijhoudt hoevaak een bepaalde gebeurtenis zich voordoet. Definitie [5] Zij Ω,F T,P een kansruimte en {τ i } i 1 een strikt stijgende rij van stochastische tijdstippen die bijna zeker naar oneindig gaat indien i +. We noemen zo n stochastische rij tijdstippen een puntproces. We voeren aan de hand hiervan een telproces Ct, t [,T ], in als het aangepast stochastisch proces dat voldoet aan Hierin is I... de indicatorfunctie. Ct I τ i t, i 1 De voorwaarde τ lim i + τ i + noemt men ook wel eens 6 de niet-explosievoorwaarde. Indien deze voorwaarde voldaan is zullen pas oneindig veel sprongen plaats gevonden hebben wanneer t + ; op elk eindig tijdstip in het bijzonder in [,T ] zal het telproces een eindige waarde hebben, er is geen explosie. Indien bovendien ook E[Ct] < + t T is het telproces integreerbaar, we gaan in het vervolg enkel met integreerbare telprocessen werken. Bemerk dat een telproces Ct, t [,T ], op elk tijdstip t [,T ] aangeeft hoevaak een bepaald voorval zich voordoet. Concreet is Ct het aantal tijdstippen τ i uit [,t] waarop zo n gebeurtenis zich gepresenteerd heeft. emen we bij conventie τ dan kunnen we samenvatten: n als t [τ n,τ n+1 [, n, Ct + als t τ. Bijgevolg is een telproces Ct, t [, T ], een rechtscontinue trapfunctie met C en opwaartse sprongen van hoogte één. Onderstaande stelling vervolledigt de eigenschappen van een telproces, het bewijs is voor een Poissonproces terug te vinden in [5]. Stelling [5] Een telproces Ct, t [,T ], voldoet aan volgende eigenschappen: Ct is een niet-negatief geheel getal voor elke t T, i.h.b. C ; Ct is voor elke t [,T ] bijna zeker eindig; 6 Zie bijvoorbeeld [3].

22 12 HOOFDSTUK 1. BASISTHEORIE FIACIËLE WISKUDE Ct is stuksgewijs constant en verspringt met sprongen van grootte 1, dus Cs Ct voor elke s t T ; Ct Ct Ct- {,1} en P[Ct- Ct] 1; het tijdspad t Ct is cadlag; Ct is continu in kans: t [,T ], Cs P s t Ct; E[Ct] < + voor elke t T. In F t- zit alle informatie gekend tot op tijdstip t [,T ], maar exclusief de informatie die pas bekomen wordt op tijdstip t. Parallel hieraan is de Ct- de waarde van het telproces net voor tijdstip t, deze zal verschillen van Ct indien t één van de stochastische tijdstippen is waarop een schok optreedt, m.a.w. t {τ i } i 1. De laatste eigenschap hadden we eerder reeds ondersteld; we werken enkel met integreerbare telprocessen. We leggen de klemtoon op het aangepast karakter van een telproces, dit wil zeggen dat met de informatie beschikbaar op tijdstip t [,T ] deze is vervat in de σ-algebra F t uit de filtratie F de dynamiek van het telproces C tot op tijdstip t gekend is Homogene Poissonprocessen We nemen notie van het feit dat een telproces geen voorwaarden oplegt aangaande de stochastische verdeling van tijdstippen τ i, i 1, noch de afhankelijkheid van de tijdstippen. Met het oog op de modellering van schokken in de financiële markt zal het echter logisch zijn te eisen dat de tijdstippen τ i, i 1, onafhankelijk van elkaar optreden, er zit aldus geen patroon in de opeenvolgende schoktijdstippen. Wel zullen we onderstellen dat de tijden tussen twee opeenvolgende schokken eenzelfde exponentiële verdeling met parameter λ volgen. We verkiezen een exponentiële verdeling omdat deze standaard gebruikt wordt voor het modelleren van de tijd tussen twee zeldzame gebeurtenissen 7 die met een constante gemiddelde snelheid voorkomen, die gemiddelde snelheid wordt bepaald door de parameter λ. oteren we de tussenperioden als 1 τ 1, 2 τ 2 τ 1, 3 τ 3 τ 2,... i τ i τ i 1, dan hebben we i en k R + en algemeen P[ i k] 1 exp{ λk} en E[ i ] λ. 7 Zie de cursus Kansrekening en Wiskundige Statistiek I, [22, blz ]

23 1.3. TELPROCESSE 13 Bovendien kunnen we uit de rij van tussenperioden ook de schoktijdstippen afleiden, waaruit dan weer het telproces zelf af te leiden valt: τ i i j1 Ct inf j, { i 1 zodat } i j > t. j1 Volgende stelling zal ons iets meer vertellen over de verdeling van een Poissonproces Stelling [5] Zijn 1, 2,... onafhankelijke exponentieel verdeelde variabelen met parameter λ dan zal voor elke t > de stochastische variabele { Ct inf een Poissonverdeling met parameter λt volgen en i 1 zodat } i j > t j1 k, P[Ct k] exp{ λt} λtk. k! Door de exponentieel verdeelde tussenperioden zal het telproces Ct, t [, T ], zelf Poissonverdeeld zijn, dit verklaart ook waarom een Poissonverdeling aangeraden wordt voor het modelleren van het aantal zeldzame evenementen in een tijdsinterval 8. Meerbepaald zal Ct voor elke t [,T ] Poissonverdeeld zijn met parameter λt: aangezien λ ingevoerd werd als de gemiddelde snelheid waaraan de schokken optreden, zal E[Ct] λt gelijk zijn aan het verwacht aantal schokken tot op tijdstip t [,T ]. We definiëren dit als een Poissonproces, en noteren in het vervolg met Pt, t [,T ]. Definitie [5] Beschouw een rij { i } i 1 van onafhankelijke stochastische variabelen, exponentieel verdeeld met een een niet-negatieve gekende parameter λ en zij { τ i i j1 } j een rij van tijdstippen. Het telproces Pt, t [, T ], gedefinieerd door Pt I τ i t i 1 noemen we een homogeen Poissonproces met intensiteit λ. We zullen een homogeen Poissonproces gestandaardiseerd noemen indien λ 1. i 1 Een homogeen Poissonproces is aldus een bijzonder telproces; het steunt op onafhankelijke en exponentieel verdeelde tussenperioden, bovendien is de verdeling van de verschillen Pt Ps, s t T, 8 Zie opnieuw Kansrekening en Wiskundige Statistiek I, [22, blz. 6]

24 14 HOOFDSTUK 1. BASISTHEORIE FIACIËLE WISKUDE stationair, d.w.z. enkel afhankelijk van het tijdsverschil t s: Pt Ps d Pλt s 9. Twee van deze voorwaarden zullen samen voldoende zijn om een telproces een Poissonproces te mogen noemen. Vaak wordt deze voldoende voorwaarde ook als definitie gebruikt, later zullen we een niet-homogeen Poissonproces invoeren a.d.h.v. een analoge voldoende voorwaarde. Stelling [5] Zij Pt, t [,T ], een telproces met stationaire dit wil zeggen dat λ onafhankelijk is van t en onafhankelijke toenames, dan is dit telproces een homogeen Poissonproces: s t T Pt Ps d Pλt s. In het bijzonder gelden dan volgende equivalente eigenschappen λt sk P[Pt Ps k F s] exp{ λt s} k! en E[Pt Ps F s] λt s. Er zijn aldus twee voorwaarden nodig om van een homogeen Poissonproces te kunnen spreken: het aantal stochastische tijdstippen over twee disjuncte intervallen is onafhankelijk en de verdeling van Pt Ps wordt voor elke s t T enkel bepaald door de lengte t s. Zijn beide voorwaarden voldaan dan hebben we zeker te maken met een Poissonproces. Voor de volledigheid geven we nog onderstaande eigenschappen van een homogeen Poissonproces, voor het bewijs verwijzen we naar [5]. Stelling [5] Zij Pt, t, een homogeen Poissonproces, dan voldoet het proces aan de eigenschappen uit stelling en het proces... is voor elke t [,T ] Poissonverdeeld met parameter λt: k, P[Pt k] exp{ λt} λtk, voor t [,T ]; k! heeft karakteristieke functie φ P t exp{λexp{it} 1}; P heeft onafhankelijke toenames: t 1 < t 2 <... < t n T geldt Pt n Pt n 1,...,Pt 2 Pt 1,Pt 1 zijn onafhankelijk; heeft homogene toenames: s < t T geldt Pt Ps heeft dezelfde verdeling als Pt s; 9 Pλt s is de notatie voor een Poissonverdeling met parameter λt s.

25 1.3. TELPROCESSE 15 heeft de Markoveigenschap: s < t T geldt E[ f Pt Pu,u s] E[ f Pt Ps]. In zullen we niet-homogene Poissonprocessen invoeren, dit zijn Poissonprocessen met een tijdsafhankelijk intensiteitsproces, deze zullen nóg consistenter zijn met de realiteit. u reeds tonen we aan dat het eenvoudig is om voor de hier homogene Poissonprocessen een lokale martingaaleigenschap af te leiden, dit zal van pas komen in het waarderen van effecten met sprongen. In functie van de martingaaleigenschap zullen we het begrip gecompenseerd Poissonproces invoeren. Definitie [5] Zij Pt, t [, T ], een homogeen Poissonproces, we definiëren het gecompenseerd Poissonproces Pt, t [,T ], als een gecentreerde versie van P: Pt Pt λt. Een gecompenseerd Poissonproces is geen telproces, dit is duidelijk te zien op onderstaande figuur. Deze figuur geeft een illustratie van een Poissonproces en het gecompenseerde Poissonproces. a voorbeeldpaden van een Poissonproces b voorbeeldpad van een gecompenseerd Poissonproces Figuur 1.1: Illustratie van het gecompenseerde Poissonproces over t [,T ] zie [5] Het doel van het gecompenseerde Poissonproces bestaat er in een lokale martingaaleigenschap te verkrijgen voor het Poissonproces, het is ook i.f.v. dit objectief dat we dit gecompenseerd Poissonproces in het niet-homogene geval zullen definiëren. Voor het homogene geval zal uit bovenstaande definitie eenvoudig de martingaaleigenschap volgen.

26 16 HOOFDSTUK 1. BASISTHEORIE FIACIËLE WISKUDE Stelling [5] Zij Pt, t [, T ], een homogeen Poissonproces met intensiteit λ, dan is het gecompenseerde proces Pt λt, t [, T ], een lokaal martingaalproces. Bewijs. Zijn s en t twee willekeurige tijdstippen waarvoor s t T, dan bekomen we via onderstaande afleiding betrekkelijk eenvoudig het gestelde: E[Pt λt F s] E[Pt Ps + Ps λt F s] E[Pt Ps F s] + Ps λt def λt s + Ps λt Ps λs. Vaak zal men in de literatuur ook spreken van een herschaald Poissonproces met intensiteit λ, dit is het proces Pt/ λ, opvallend hierbij is dat dit herschaald proces dezelfde eerste twee momenten heeft als de Brownse Beweging: E [ ] Pt λ en Var [ ] Pt λ λt λ t. We maken hierin gebruik van de verwachtingswaarde en variantie van een Poissonverdeelde veranderlijke, beide zijn gelijk aan de parameter 1, deze is hier gelijk aan λt. De samenhang met een Brownse Beweging gaat echter nog verder. Het is zo dat het herschaald Poissonproces convergeert in verdeling naar een Brownse Beweging indien de intensiteit van de sprongen naar oneindig gaat Lévyprocessen In dit stuk is het de bedoeling om de Brownse Beweging uit deel 1.2 en het homogeen Poissonproces uit te combineren; een algemeen stochastisch proces zal namelijk bestaan uit een continu deel en een discreet deel. Zowel de Brownse Beweging als het homogeen Poissonproces zijn voorbeelden van Lévyprocessen, men kan zelfs bewijzen dat elk Lévyproces een superpositie is van een Brownse Beweging en een eventueel oneindig aantal homogene Poissonprocessen. Starten doen we met de exacte definite van zo n Lévyproces. Definitie [5] Zij Ω,F T,F t t [,T ],P een gefilterde kansruimte. Een cadlag stochastisch proces Xt, t [,T ], met reële waarden en X is een Lévyproces indien het voldoet aan de volgende eigenschappen: 1 Zie [22, blz. 1 e.v.] 11 Dit wordt kort besproken in [5], maar is voor ons eerder onbelangrijk.

27 1.3. TELPROCESSE 17 de toenames Xt,Xt 1 Xt,...,Xt n Xt n 1 zijn onafhankelijk voor elke rij t,t 1,...,t n van tijdstippen; stationaire toenames: de verdeling van Xt + s Xt is onafhankelijk van t voor elke t t + s T ; stochastische continuïteit: ε >, lim h P[ Xt + h Xt ε], en dit voor elke t [,T [. De derde voowaarde impliceert hier niet dat de paden continu zijn. De voorwaarde zorgt er gewoon voor dat processen die schokken vertonen op vaste, niet stochastische tijdstippen, uitgesloten worden. Indien we eisen dat op elk deterministisch tijdstip de kans op een sprong gelijk is aan dit is de laatste voorwaarde van hierboven dan weren we dergelijke niet stochastische sprongen. Het is onmiddellijk duidelijk dat zowel het homogeen Poissonproces als de Brownse Beweging voorbeelden zijn van een Lévyproces. Een ander leuk voorbeeld is het samengesteld Poissonproces. Hieronder definiëren we deze veralgemening van een Poissonproces. Definitie [5] Een samengesteld Poissonproces met intensiteit λ en verdeling f van de spronggroottes is een stochastisch proces Xt, t [,T ], gedefinieerd als Xt Pt Z i t [,T ]. Hierin zijn Z i de spronggroottes, deze zijn onafhankelijk en identiek verdeeld met verdeling f, Pt, t [, T ] is een homogeen Poissonproces met intensiteit λ en onafhankelijk van elk van de spronggroottes Z i. Het samengesteld Poissonproces kent naast de exponentieel verdeelde sprongtijdstippen of equivalent hieraan Poissonverdeelde sprongaantallen ook een specifieke verdeling van de spronggroottes. Deze verdeling is evenwel dezelfde doorheen de tijd stationaire sprongen. Het homogeen Poissonproces zoals dit gedefinieerd is, is een speciale versie van het samengesteld Poissonproces, er geldt Z i 1, voor elke i 1. Aan de hand van de definitie kunnen we reeds enkele eigenschappen afleiden van deze samengestelde Poissonprocessen, deze komen aan bod in onderstaande stelling. Stelling [5] Een samengesteld Poissonproces voldoet aan onderstaande eigenschappen: de paden van X zijn cadlag en stuksgewijs constant;

28 18 HOOFDSTUK 1. BASISTHEORIE FIACIËLE WISKUDE de sprongtijden τ i, i 1, hebben dezelfde verdeling als de sprongtijden van het Poissonproces Pt, t [,T ]; de spronggroottes Z i, i 1, zijn onafhankelijk en identiek verdeeld volgens f. Samengestelde Poissonprocessen zijn de enige Lévyprocessen met stuksgewijs constante paden, dit valt te lezen in onderstaande stelling, voor het bewijs verwijzen we naar [5]. Stelling [5] Xt, t [,T ] is een samengesteld Poissonproces als en slechts als het een Lévyproces is en de paden stuksgewijs constante functies zijn. Deze uitbreiding van het Poissonproces is een mooi voorbeeld van een Lévyproces, maar omdat we deze samengestelde Poissonprocessen verder nog amper zullen gebruiken, gaan we niet verder in op de theorie die rond deze processen gebouwd is. Hetzelfde geldt voor de Lévyprocessen in het algemeen Uitbreidingen a.d.h.v. stochastische maten Het Poissonproces P werd in gedefinieerd als een telproces, het telt het aantal stochastische sprongtijdtippen τ i, i 1: Pt # {i 1,τ i [,t]}, t [,T ]. Dit heel eenvoudig telproces impliceert echter ook een maat J P. Voor elke meetbare A R + definiëren we J P ω,a # {i 1,τ i ω A}. Voor elke begrensde verzameling A R + zal J P A bijna zeker een natuurlijk getal zijn. Bemerk dat de ω-afhankelijkheid hier expliciet neergeschreven wordt, dit is om te wijzen op het stochastisch karakter van de maat. De intensiteit λ van het Poissonproces bepaalt de verwachtingswaarde van de stochastische maat: E[J P A] λ A. Definitie [5] Zij P een Poissonproces en J P een stochastische maat J P ω,a # {i 1,τ i ω A} voor elke begrensde verzameling A R +. We noemen deze maat de stochastische sprongmaat geassocieerd met het Poissonproces P.

29 1.3. TELPROCESSE 19 Het Poissonproces P zelf kan uit de sprongmaat afgeleid worden: Pt J P ω,[,t] t J P ω,du. Onderstaande stelling geeft een overzicht van de belangrijkste eigenschappen van de sprongmaat J P. Stelling [5] Beschouw disjuncte tijdsintervallen [t 1,t 1 ],[t 2,t 2 ],...,[t n,t n], er geldt J P [t k,t k ] is het aantal sprongen van het Poissonproces P in het tijdsinterval [t k,t k ], het is een stochastische Poissonvariabele met parameter λt k t k ; voor twee disjuncte intervallen j k, zijn de variabelen J P [t j,t j ] en J P[t k,t k ] onafhankelijk van elkaar; voor elke meetbare verzameling A volgt J P A een Poissonverdeling met parameter λ A met A A dx de Lebesguemaat van A. Vervolgens kunnen we ook de gecompenseerd stochastische sprongmaat invoeren; voor elke A R is J P ω,a J P ω,a λdt J P ω,a λ A. A J P ω,a voldoet aan E[ J P ω,a] en Var[ J P ω,a] λ A. Deze gecentreerde versie van J P ω,a is noch een natuurlijk getal noch positief. Stochastische Poissonmaat We kunnen nu de theorie uitbreiden tot het begrip stochastische Poissonmaat, we breiden de ruimte R uit tot R d en de Lebesguemaat A uit tot een algemene Radonmaat µ op R d 12. Definitie [5] Zij Ω,F T,F t t [,T ],P een gefilterde kansruimte, E R en µ een Radonmaat op Ω, E. Een stochastische Poissonmaat op E met intensiteitmaat µ is een stochastische maat met natuurlijke waarden: J P : Ω E : ω,a J P ω,a, zodat onderstaande eigenschappen gelden. 1. Voor bijna alle ω Ω, J P ω, is een natuurlijke Radonmaat op E: voor elke begrensde meetbare A E is J P A < + een natuurlijke stochastische variabele. 12 Een Radonmaat wordt in [8, blz. 4] ingevoerd als een algemene maat op R d, deze gesimplificeerde definitie volstaat voor deze masterproef.

30 2 HOOFDSTUK 1. BASISTHEORIE FIACIËLE WISKUDE 2. Voor elke meetbare verzameling A E, J P,A J P A is een stochastische Poissonvariabele met parameter µa 13 : k, P[J P A k] exp{ µa} µak. k! 3. Voor disjuncte meetbare verzamelingen A 1,A 2,...,A n E, zijn de variabelen J P A 1, J P A 2,..., J P A n onafhankelijk. Onderstaande stelling geeft aan hoe we uit elke Radonmaat een stochastische Poissonmaat kunnen afleiden. Stelling [5] Voor elke Radonmaat µ op E R d, bestaat een stochastische Poissonmaat J P op E met intensiteit µ. Bewijs. We geven hier een expliciete constructie van zo n stochastische Poissonmaat vanuit een reeks van onafhankelijke stochastische variabelen. We starten met het geval µe < eem X 1,X 2,... onafhankelijk en identiek verdeelde stochastische variabelen zodat P[X i A] µa µe. De rij mag niet ophopen in A. 2. eem J P E een stochastische Poissonvariabele op Ω,F T,F t t [,T ],P onafhankelijk van elke X i en met gemiddelde µe. 3. Definieer J P A J PE I {X i A}, en dit voor elke A E. Bemerkt de logische keuzes achter deze stappen; J P E is het aantal gebeurtenissen X i dat zich voordoet in E, om het aantal voorvallen in A E te bepalen, tellen we over alle J P E gebeurtenissen in E al deze die zich voordoen in A. Men gaat in dat geval makkelijk na dat deze J P een stochastische Poissonmaat met intensiteit µ is. De eerste voorwaarde volgt uit µa < µe < +, de tweede eis halen we rechtstreeks uit de definitie van J P E als stochastische Poissonvariabele, de derde voorwaarde is eveneneens duidelijk. Is µe +, dan kunnen we E voorstellen door E + E i waar µe i < +. We creëren afzonderlijke stochastische Poissonmaten J P i, hierin is de intensiteit de restrictie van µ m.b.t. de overeenkomstige E i. Maken we de J P i onderling onafhankelijk en stellen we J P A + J P i A voor elke A E, dan zal J P voldoen aan de nodige voorwaarden. Zij A E een begrensde meetbare verzameling dan is het aantal gebeurtenissen dat zich voordoet in A eindig omdat we onderstelden dat de rij X i, i 1, 13 Men noteert zo n stochastische Poissonvariabele J P Poiµ, J P A is het aantal gebeurtenissen dat zich voordoet in A.

31 1.3. TELPROCESSE 21 niet ophoopt in A. De tweede voorwaarde volgt uit de Poissonverdeling van elk van de J P i, i 1, en het feit dat de som van Poissonverdeelde variabelen opnieuw Poissonverdeeld is. Voorwaarde drie volgt rechtstreeks uit het disjunct zijn van de respectievelijke verzamelingen. De constructie die in dit bewijs aan bod komt toont aan dat elke stochastische Poissonmaat op E eigenlijk gerepresenteerd kan worden door een soort telmaat geassocieerd met een stochastische rij van punten uit E: er bestaat een rij X 1 ω,x 2 ω,... zodat A E, J P ω,a I {X n ω A}. n 1 Om te kunnen voldoen aan de voorwaarde dat J P A eindig is voor elke compacte 14 A E, leggen we een voorwaarde op de rij van stochastische punten: de rij mag niet ophopen in een punt op E, zodat A {X n,n 1} is bijna zeker eindig voor elke compacte A E. Men kan tot slot opnieuw een gecompenseerde variant definiëren door van J P de verwachtingswaarde af te trekken: J P A J P A µa. Merk op dat eveneens J P A 1,..., J P A n onafhankelijk zijn voor disjuncte compacte verzamelingen uit E en dat voor elke i 1,...,n E[ J P A i ] Var[ J P A i ] µa i. 1.1 Sprongprocessen uit stochastische Poissonmaten Beschouw nu een stochastische Poissonmaat J P op E [,T ] R d \{}: het is een telmaat geassocieerd aan een stochastische rij van punten τ n,y n E en J P A I {τ n,y n A} voor alle A E. n 1 Elk punt τ n ω,y n ω [,T ] R d \{} correspondeert met een observatie op tijdstip τ n en beschreven door een niet-nul stochastische variabele y n ω R d. Aangezien we de eerste coördinaat als tijd willen interpreteren verkiezen we ervoor onze stochastische Poissonmaat F -aangepast te maken: τ 1,τ 2,... zijn aangepaste stochastische tijdstippen, en y n is F τ n -aangepast. 14 Dit is gelijk aan gesloten en begrensd, zie [7, blz. 16]

32 22 HOOFDSTUK 1. BASISTHEORIE FIACIËLE WISKUDE iet-homogene Poissonprocessen Poissonprocessen worden gebruikt voor het modelleren van het aantal voorvallen dat zich voordoet, deze modellering is direct afhankelijk van één parameter λ, de intensiteit. Eerder werden we reeds overtuigd van het nut van deze Poissonprocessen voor het wiskundig modelleren van sprongen in effectwaarden, ze vormen hiervoor een realistische theorie. Voorlopig gingen we uit van een vaste intensiteit; λ is dan gedurende de ganse tijdsperiode [, T ] constant, we spreken van homogene Poissonprocessen. Ook de Lévyprocessen uit vorig deel gaan uit van stationaire toenames. iets sluit immers uit dat deze intensiteit verandert doorheen de tijd, het kan zijn dat bepaalde perioden gevoeliger zijn voor sprongen dan andere. Daarom maken we in deze sectie de intensiteit tijdsafhankelijk, λt, t [,T ]. In de praktijk zal het bovendien vaak zo zijn dat het proces λt, t [,T ], niet volledig gekend is op tijdstip. Tijdelijke factoren zullen uitmaken of een sprong veelvuldig dan wel sporadisch zal optreden, maar vaak is het niet op voorhand geweten wanneer we ons in de éne of andere periode zullen bevinden. Uiteraard merken we op het tijdstip zelf wel of we ons in een drukke of rustige periode bevinden, we zullen dus wel onderstellen dat het intensiteitsproces F t-meetbaar is op elk tijdstip t [,T ]; het proces λt, t [,T ], is aldus aangepast aan de filtratie F t, t [,T ]. We starten hier met de definitie van zo n niet-homogeen Poissonproces. Definitie [3] Zij Ω,F T,P een kansruimte, Ct, t [,T ], een F -aangepast telproces en λt, t [,T ], een niet-negatief meetbaar proces dat voor elke t [,T ] F t-meetbaar is en voldoet aan [ t ] E λudu < +. We noemen het telproces C een niet-homogeen Poissonproces met intensiteitsproces λ, indien voor elke s t T en elke k geldt P[Ct Cs k F s] E [ exp { t } t s λudu λudu ] k. 1.2 s k! We noteren dit niet-homogeen Poissonproces eveneens met de letter P i.p.v. C, maar leggen de nadruk op het feit dat in tegenstelling tot het homogene geval de intensiteit nu zelf een stochastisch proces λt, t [,T ], is. Het intensiteitsproces is meetbaar t.o.v. de filtratie F, i.h.b. zit voor elke t [,T ] de informatie voor het berekenen van de waarde λt vervat in de σ-algebra F t uit deze filtratie. Deze σ-algebra is volledig gekend op tijdstip t en hetzelfde kan aldus gezegd worden over de waarde λt van het intensiteitsproces.

33 1.3. TELPROCESSE 23 De verschillen tussen twee waarden van het niet-homogeen Poissonproces zullen nog steeds onafhankelijk zijn van elkaar indien de overbrugde tijdsintervallen disjunct zijn. De verdeling van die telverschillen, neem Pt Ps, s t T, is hier nu echter afhankelijk van het overbrugde tijdsinterval [s,t] zelf, en niet enkel van de lengte van het tijdsinterval t s: t Pt Ps d P λudu. s Het spreekt dan ook voor zich dat we ook bij het zoeken naar een lokaal martingaalproces P verbonden aan het telproces P rekening zullen moeten houden met het tijdsinterval zelf en niet enkel met het tijdsverschil. Het lokale martingaalproces is echter vrij makkelijk te vinden, volgende stelling zal zich herleiden tot in het geval van een homogeen intensiteitsproces. Stelling [3] Zij Pt, t [,T ], een niet-homogeen Poissonproces met intensiteitsproces λt, t [, T ]. Dan is het gecompenseerde proces Pt, t [, T ], gedefinieerd door een lokaal martingaalproces. Bewijs. We starten vanuit 1.2: P[Pt Ps k F s] E t Pt Pt λudu t [,T ], [ exp { t } t s λudu λudu ] k. s k! Vermenigvuldigen we beide leden van de vergelijking met k en sommeren we over alle k, dan vinden we [ { t } t s k P[Pt Ps k F s] E k exp λudu λudu ] k. k k s k! Het linkerlid is gelijk aan E[Pt Ps F s], in het rechterlid kunnen we de term met k weglaten en verder omvormen: { t } t exp λudu λudu s s exp { t s t t s λudu k 1 k 1! } t λudu λudu k 1 { [7] exp s t λudu. s } t λudu s s λudu exp t s λudu k k { t s k! } λudu

34 24 HOOFDSTUK 1. BASISTHEORIE FIACIËLE WISKUDE In de tweede overgang maakten we gebruik van de Taylorontwikkeling zoals deze aan bod komt in [7, blz. 158] en toegepast wordt op de exponentiële functie [7, blz. 161]. Samenvattend vinden we aldus [ t ] E[Pt Ps F s] E λudu. 1.3 s De F s-onafhankelijkheid van bovenstaande uitdrukking is te verklaren aangezien de sprongen van een niet-homogeen Poissonproces onafhankelijk zijn van elkaar voor disjuncte overbrugde tijdsintervallen. In het bijzonder geldt dus dat Pt Ps onafhankelijk is van F s. Omdat Pt Ps Poissonverdeeld is met parameter t s λudu moet ook gelden dat t s λudu F s-onafhankelijk is. Merk bovendien op dat de voorwaarde E [ t s λudu F s] < + hier impliceert dat linker- en dus ook rechterlid van bovenstaande gelijkheid eindig zijn, het proces Pt, t [, T ], is dan integreerbaar en uit onderstaande redenering volgt dat dit een martingaalproces is: ] E[ Pt F s [ E Pt E t ] λudu F s [ Pt Ps + Ps s E[Pt Ps F s] + E [ 1.3 t ] E λudu s Ps Ps s λudu t λudu [ Ps s s + Ps λudu E s ] λudu F s ] [ t λudu F s E s [ t ] λudu s ] λudu F s Deze stelling herleidt zich tot stelling in de overeenkomstige situatie, stelling is aldus het meest algemene geval. 1.4 Stochastische calculus In deel 1.2 raakten we reeds kort de stochastische calculus voor Itô-processen aan, dit zijn dynamische processen waarin enkel een drifterm en een afhankelijkheid van een Brownse Beweging voorkomen. Als belangrijkste resultaten kwamen de Itô-formule stelling en de Itô-productformule stelling aan bod. In dit deel leiden we een veralgemening af voor het geval we te maken krijgen met een stochastisch proces dat sprongen bevat. Dit zal bijvoorbeeld het geval zijn in hoofdstuk 3 waar we gebruik zullen maken van sprongprocessen om discrete schokken in effectwaarden te modelleren.