Computeralgebra. procedure GGD(a, b) c a ;d b ; while d 0 do { r rem(c, d); c d; d r; } g c; return(g) end

Transcriptie

1 FACULTEIT WETENSCHAPPEN Computeralgebra procedure GGD(a, b) c a ;d b ; while d 0 do { r rem(c, d); c d; d r; } g c; return(g) end dr. J. De Beule Vakgroep Zuivere Wiskunde en Computeralgebra keuzevak licenties wiskunde/informatica februari 2007

2 ii

3 Woord vooraf Deze nota s zijn opgesteld ter ondersteuning van het opleidingsonderdeel Computeralgebra zowel voor de opleiding Wiskunde als voor de Opleiding Informatica. Hierbij dient te worden aangestipt, dat voor de opleiding Wiskunde in de context van dit opleidingsonderdeel nog een extra topic betreffende Groepentheorie wordt aangeboden, en dat dit onderdeel NIET vervat zit in deze nota s. Gelet op de beperkingen zowel in tijd als in financiën (beperkte beschikbaarheid van de licenties) moeten deze nota s gelezen worden als INLEIDING TOT COM- PUTERALGEBRA. Vanwege de eerste beperking kunnen slechts een deel van de mogelijkheden van computeralgebra aan bod komen, vanwege de tweede beperking zien we ons verplicht de praktijk te illustreren aan de hand van het pakket Maple dat aan de RUG en zijn studenten (CD-rom verkrijgbaar op het ARC voor 12.5 EUR) ter beschikking is gesteld. Voor de praktische oefeningen zullen we in hoofdzaak gebruik maken van laatst beschikbare versie van Maple. Hierbij worden een aantal Maple-werkbladen ter beschikking gesteld op de server van de PC-zaal Wetenschappen (S9) in de bestandsmap hoogew/maple/. Deze Maple-werkbladen zoals nu beschikbaar (februari 2006) zijn aangemaakt met versie van Maple 6. Mocht het blijken dat er problemen zijn met de huidige geïnstalleerde versie, dan zullen deze worden aangepast. We danken langs deze weg Sandy Van Wonterghem, Patrick Govaerts en Pieter Vandecasteele voor hun bijdrage in deze materie. Er moet evenwel duidelijk gesteld worden dat het geenszins de bedoeling is om hier de handleiding van Maple te herschrijven. We willen wel pogen om aan te tonen hoe het samengaan van wiskundig inzicht en informatica aanleiding hebben gegeven tot gereedschap (= tools) dat bruikbaar is zowel bij de theoretische ontwikkeling van de Wiskunde als in de toepassingen. iii

4 Ondanks de zorgvuldige lectuur zowel door de auteur, als door een aantal bereidwillige medewerkers en de studenten van de vorige jaren is het gelet op de wisselende mogelijkheden van de achtereenvolgende versies van Maple, niet uitgesloten dat in deze versie nog steeds vervelende fouten de duidelijkheid van de tekst schaden. We zijn derhalve de lezers dankbaar voor alle opmerkingen die de leesbaarheid van deze nota s ten goede komen. Albert Hoogewijs Gent, februari 2006 In het academiejaar wordt voor het laatst een tweede licentie wiskunde en een tweede licentie informatica ingericht. In het academiejaar wordt de eerste master wiskunde en de eerste master wiskundige informatica voor het eerst ingericht. De ECTS-fiche voor het vak Computeralgebra in de master wiskunde en de master wiskundige informatica zijn gebaseerd op de inhoud van dit gedeelte van dit vak. Het gedeelte Computationele groepentheorie, dat dit jaar voor het laatst als onderdeel van het vak Computeralgebra gegeven wordt, zal een gedeelte uitmaken van het vak Computational group theory in de master wiskunde en de master wiskundige informatica. Het is een eer om dit academiejaar dit gedeelte van het opleidingsonderdeel Computeralgebra over te nemen van prof. dr. A. Hoogewijs. Albert Hoogewijs, sinds 1 januari 2007 gepensioneerd en ere-gewoon Hoogleraar aan onze universiteit, is één van de mensen achter CAGe, wat staat voor Computer Algebra Gent. Samen met onder meer prof. dr. F. Brackx, prof. dr. F. De Clerck, prof. dr. R. Delanghe en prof. dr. J. A. Thas richtte hij via financiering van het FWO dit project op. Dit project vormde de achtergrond en de basis van een aantal vakken die binnen de in 1991 opgerichte Vakgroep Zuivere Wiskunde en Computeralgebra gegeven werden, waaronder het vak Computeralgebra. Zoals door Bert aangehaald wordt in zijn voorwoord voor deze cursus voor het academiejaar , moet dit opleidingsonderdeel gezien worden als een inleiding tot het vakgebied. Centraal staat Algebra van polynomen, samen met enkele toepassingen. In de laatste twee hoofdstukken worden enkele algoritmen besproken om formele integralen te berekenen van enerzijds rationale functies en anderzijds logaritmische en exponentiële functies. Daarbij dient opgemerkt te worden dat ook hier het (uitgebreid) algoritme van Euclides, dat de belangrijkste pijler vormt voor de eerste vijf hoofdstukken, van belang is. De nota s voor dit gedeelte van het vak zijn volledig gebaseerd op de nota s van het academiejaar Hier en daar zijn verwijzingen naar bepaalde worksheets toegevoegd. Het dient nog opgemerkt te worden dat de maple worksheets (cfr. supra) nu ook beschikbaar zijn op minerva. Jan De Beule Februari 2007 iv

5 Inhoudsopgave 1 Inleiding Computeralgebra: waarover gaat het? Wetenschappelijke en algebraïsche berekeningen Computeralgebra Overzicht van Computeralgebrasystemen Automatische Bewijsvoering Hoe gebruiken we Computeralgebra Inleiding Een aantal mogelijkheden Syntax van de geassocieerde talen Toepassingsgebieden van de bestaande systemen De mogelijkheden van Maple op een aantal voorbeelden Eenvoudige bewerkingen op getallen Complexe getallen Polynomen en Rationale vormen matrices Differentiëren Goniometrische functies Integratie Waarom Maple? Opgave Het probleem van de datarepresentatie Inleiding Structuren Σ-structuur Axioma s Algebraïsche structuren Voorstelling van gehele getallen Voorstelling van rationale getallen De datastructuur Grootste gemene deler van gehele getallen Het algoritme van Euclides voor gehele getallen Canonische en normale voorstellingen Het uitgebreide algoritme van Euclides voor Z Voorstelling van polynomen v

6 3.5.1 Polynomen in één variabele Polynomen in meerdere variabelen Voorstelling van rationale functies Voorstelling van algebraïsche functies Enkelvoudige wortelvormen Genestelde wortelvormen Algemene algebraïsche functies Voorstelling van transcendente functies en constanten Voorstelling van complexe getallen Voorstelling van matrices Dichte matrices IJle matrices Voorstelling van reeksen Algebra van polynomen Algemene definities en eigenschappen Deler GGD Euclidisch domein Eigenschap (veralgemening van 3.4.2) Polynomen in één veranderlijke Eigenschap De Euclidische deling voor polynomen Toegevoegde elementen - Units Uniek-factorisatie domein (UFD) Unit-normale elementen Eigenschap GGD van polynomen over Q Algoritme van Euclides Uitgebreid algoritme van Euclides Diofantische polynoom-vergelijking Stelling Reductie van rationale vormen Ontbinding van rationale vormen in partieel breuken Het Primitief Algoritme van Euclidisch GGD van polynomen over Z Voorbeeld Primitief polynoom Content en primitief deel van een polynoom Lemma van Gauss Pseudo-deling van polynomen Pseudodelingseigenschap (PDE) GGD in D[x] Stelling Primitief Algoritme van Euclides Voorbeeld GGD voor polynomen in meerdere variabelen vi

7 4.4 Sylvester matrix en resultante Sylvester Matrix Resultante Voorbeeld Sylvester criterium Stelling Gevolg: Sylvester Criterium Factorisatie van Polynomen Kwadraatvrije factorisatie Stelling Voorbeeld Kwadraatvrije factorisatie over eindige velden Inleiding Voorbeeld Lemma Stelling Voorbeeld Voorbeelden in Maple Voorbeeld Berlekamps factorisatiealgoritme Inleiding Stelling Een andere voorstelling van GF(q) Stelling Stelling Stelling Voorbeeld FormMatrixQ in Maple Driehoeks-idempotente matrix Voorbeeld Eigenschap Stelling Voorbeeld Algoritme voor basis van de kern Algoritme van Berlekamp Voorbeeld Berlekamp in Maple TOEPASSING I Inleiding Eigenschappen van het minimaalpolynoom Voorstelling van een eindig veld: een algoritme Maple-sessie Opgave Opgave TOEPASSING II Inleiding p adische voorstelling van gehele getallen p adische voorstelling van gehele polynomen vii

8 4.9.4 Definitie Hensel Lemma Stelling Het Hensel Lifting Algoritme Voorbeeld Gröbnerbasis voor polynoom-idealen Inleiding Term-ordening Zero-reductie probleem Definitie: Toelaatbare ordening Definitie: Lexicografische ordening : > L (plex) Definitie: Totale-graad ordening > D (tdeg) Definitie: monoom Definitie: hoofdmonoom Voorbeelden van ordeningen in Maple Reductie Stelling Voorbeeld Voorbeeld Gröbnerbasis Voorbeeld Alternatieve karakterisatie van Gröbnerbasis Voorbeeld Stelling Gevolg Buchberger algoritme Voorbeeld Verbetering van het Buchberger Algoritme Gröbnerbasis niet uniek Gereduceerde gröbnerbasis Stelling (Buchberger) Stelling Voorbeeld Toepassing van Gröbnerbasissen I. Berekeningen in Quotientringen II. Oplossen van stelsels van polynoomvergelijkingen III. Meetkundige bewijsvoering Formele integratie van rationale functies Inleiding Differentiaalvelden Formele integratie van een polynoom Formele Integratie van een rationale functie De naïeve aanpak De hermitemethode (1872) viii

9 6.4.3 De horowitzmethode (1969) Het Logaritmisch gedeelte Formele Integratie van elementaire functies Inleiding Elementaire functievelden DEFINITIES DEFINITIES DEFINITIES VOORBEELD VOORBEELD VOORBEELD DEFINITIE STRUCTUURSTELLING VOORBEELD VOORBEELD VOORBEELD VOORBEELD VOORBEELD Afleiding van elementaire functies STELLING: (Afleiding van een logaritmisch polynoom) STELLING: (Afleiding van een exponentieel polynoom) STELLING: (Afleiding van een algebraïsche functie) Het liouvilleprincipe STELLING: (Principe van Liouville) STELLING: (liouvilleprincipe voor een simpele transcendente logaritmische extensie) STELLING: (liouvilleprincipe voor een simpele transcendente exponentiële extensie) STELLING: (liouvilleprincipe voor een simpele algebraïsche extensie) VOORBEELD Het rischalgoritme voor transcendente elementaire functies Het rischalgoritme voor transcendente logaritmische extensies Logaritmische extensie : het rationaal deel VOORBEELD ( ) VOORBEELD ( ) VOORBEELD ( ) Logaritmische extensie : de rothstein-tragerresultaten Logaritmische extensie : het polynomiale deel VOORBEELD ( ) VOORBEELD ( ) VOORBEELD ( ) Het rischalgoritme voor transcendente exponentiële extensies Exponentiële extensie : het rationale deel VOORBEELD ( ) VOORBEELD ( ) ix

10 VOORBEELD ( ) De rothstein-tragerresultaten voor een exponentiële extensie Exponentiële extensie : het polynomiale deel VOORBEELD ( ) VOORBEELD ( ) VOORBEELD ( ) x

11 Hoofdstuk 1 Inleiding Drie van zulke zware pakketten is te veel van het goede, dus de vraag is: welke laat ik op schijf staan? Mathematica heeft notebooks en een prima helpfunctie, maar vraagt veel geheugen. Maple s wiskundemachine is het krachtigst, maar de werkomgeving is sober uitgevallen. Mathcad is een goed en stabiel Windows-programma met genoeg mathematische kennis voor mijn wensen, maar kan geen animaties maken... Misschien koop ik toch maar weer een grotere harde schijf, dan hoef ik niet te kiezen. Kees Vuis (PCM oktober 1993) Veel mensen voelen de rillingen nog over hun rug lopen als ze terugdenken aan hun vroegere wiskundelessen. Een functie differentiëren of integreren, vergelijkingen met onbekenden oplossen, het was allemaal even vreselijk. Maar kwam dat door het onderwerp, of lag het aan de manier waarop het werd behandeld? Misschien verandert dit, nu er programma s zijn die wiskunde boeiend en aanschouwelijk kunnen maken. Het zal echter langzaam gaan. Wiskundepakketten lijken voorlopig alleen gereedschap voor wetenschappers, ingenieurs en wiskundigen, en die maken er gretig gebruik van. (uit PCM oktober 1993 [16]) 1.1 Computeralgebra: waarover gaat het? Het volgende voorbeeld is een werksessie op de computer, gebruikmakend van Maple (comp1.mws) 1

12 2 HOOFDSTUK 1. INLEIDING > taylor( exp(x), x=0, 4 ); 1 + x x x3 + O(x 4 ) > taylor(sinh(sin(x))-sin(sinh(x)),x=0,17); 1 45 x x x15 + O(x 17 ) > int(1/(x^2+1)^4,x); 1 6 x (x 2 + 1) x (x 2 + 1) x x arctan(x) 1 6 > diff(1/6*x/(x^2+1)^3+5/24*x/(x^2+1)^2+5/16*x/ > (x^2+1)+5/16*arctan(x),x); 1 (x 2 + 1) 3 x 2 (x 2 + 1) (x 2 + 1) x 2 (x 2 + 1) x x 2 (x 2 + 1) 2 > simplify(%); 1 (x 2 + 1) 4 De gebruikersinvoer is aangegeven met een >. We beschouwen een beperkte Taylorreeks, berekenen een integraal en controleren of de afgeleide de oorspronkelijke functie teruggeeft. Op het scherm krijgen we het volgende resultaat:

13 1.2. WETENSCHAPPELIJKE EN ALGEBRAÏSCHE BEREKENINGEN 3 Al deze berekeningen kunnen door ieder student wiskunde en informatica uitgevoerd worden, maar ze zijn niet eenvoudig en een fout is vlug gemaakt. Het is nog altijd niet algemeen geweten dat dit soort berekeningen evengoed binnen de mogelijkheden van de computer liggen als numerieke berekeningen. Het is de bedoeling om in deze cursus een aantal van de mogelijkheden te bespreken, te demonstreren en de principes te behandelen die deze niet-numerieke berekeningen mogelijk maken. 1.2 Wetenschappelijke en algebraïsche berekeningen Van bij de start van de electronische berekeningen was het belangrijkste gebruik van de computer voorbehouden aan numerieke berekeningen. Daarbij namen al gauw de industriële berekeningen de belangrijkste plaats in, maar bleven wetenschappelijke toepassingen de indrukwekkendste die steeds de krachtigste computers vereisten. Een belangrijk facet aan de wetenschappelijke berekeningen is hun dubbelzinnig karakter. Vóór de computers verschenen bestonden de berekeningen uit een mengeling van numerieke berekeningen en van wat doorgaans algebraïsche berekeningen genoemd worden. Een van de indrukwekkendste berekeningen met potlood en papier is uitgevoerd op het gebied van de sterrenkunde: Delauny zette er 10 jaar over om de baan van de maan te bepalen, en dan nog eens 10 jaar om dit te verifiëren. Het resultaat werd gepubliceerd in 1860 [5] en bestaat voor het grootste deel uit formules (128 bladzijden in Hoofdstuk 4 van zijn boek). Toen de computers verschenen werden numerieke berekeningen veel gemakkelijker en het werd gebruikelijk om de moeilijke algebraïsche manipulaties te vervangen door lange numerieke berekeningen. Wetenschappelijke berekeningen werden synoniem voor uitgebreide numerieke berekeningen. 1.3 Computeralgebra Numerieke berekeningen konden evenwel de algebraïsche berekeningen nooit volledig verdringen. Al was het maar omdat triviale numerieke programma s vaak een herformulering van de formules vergen waarop het algoritme gebaseerd is. De eerste pogingen om hierbij een computer in te schakelen dateren reeds van 1953, en al vlug werd de nood aangevoeld om te komen tot een kompleet systeem dat zowel de numerieke als de niet-numerieke data zou kunnen voorstellen samen met een taal die het mogelijk zou maken deze data te manipuleren.

14 4 HOOFDSTUK 1. INLEIDING Uit deze pogingen is een discipline ontstaan waarvan de naam gevarieerd heeft van symbolische en algebraïsche berekeningen, symbolische en algebraïsche manipulatie om tenslotte uit te monden in wat nu Computeralgebra noemt naar het Engels Computer Algebra terwijl het in het Frans Calcul Formel genoemd wordt. 1.4 Overzicht van Computeralgebrasystemen Computeralgebrasystemen zijn voortdurend in evolutie. Een overzicht afdrukken heeft derhalve niet veel zin meer. We verwijzen hier naar twee internetlinks waar recente informatie te vinden is: Om een idee te geven van de huidige general purpose systemen verwijzen we naar de lijst die nu terug te vinden is onder Systems and Packages op deze laatste site: ALJABR AXIOM Derive Fermat FORM GNU-calc Descendants of M.I.T. Macsyma Macsyma (R) Magma Maple Mathcad Mathematica MathView (also known as MathPlus and Theorist) MAXIMA MuPAD PARAMAX PUNIMAX REDUCE Schoonschip Scilab SENAC Solutions VAXIMA In de special purpose reeks vinden we:

15 1.4. OVERZICHT VAN COMPUTERALGEBRASYSTEMEN 5 (Non)Commutative Algebra & Algebraic Geometry Albert Bergman CALI CASA CLICAL CLIFFORD CoCoA FELIX GANITH GB The Grassman package GRB GROEBNER (from RISC-Linz) GROEBNER (REDUCE package) IDEALS KAN Macaulay Macaulay 2 MAS NCALGEBRA SACLIB Singular WU Differential Equation Solvers & Tools A review of ODE Solvers List of Symmetry Programs (PostScript, gzip-compressed) CONTENT: Dynamical System Software CRACK DELiA DESIR Diffgrob2 (Manual: PostScript, gzip-formatted) DIMSYM FIDE ODEtools (symmetry methods) LIE (A.K. Head, in MuMath) liesymm ODESOLVE PDELIE PDEtools package Phaser: an Animator/Simulator for Dynamical Systems for IBM PC s The Poincare package

16 6 HOOFDSTUK 1. INLEIDING SPDE StandardForm SYM_DE SYMMGRP.MAX (Manual: PostScript, gzip-formatted) Finite Element Analysis PDEase SENAC/FEM (PostScipt, gzip-formatted); see also SENAC Group Theory ANU Software Cayley CHEVIE GAP GRAPE GUAVA LiE LIE (REDUCE package) Magma MeatAxe The Magnus system for exploring infinite groups Schur Sisyphos Symmetrica Weyl Groups and Hecke Algebras High Energy Physics FeynArts Foam FORM The Partials package Schoonschip Tracer Number Theory Galois

17 1.5. AUTOMATISCHE BEWIJSVOERING 7 KANT KASH LiDIA MALM NTL Numbers PARI SIMATH Tensor Calculus CARTAN Classi Eins GRTensor MathTensor Redten Ricci SHEEP STENSOR Tensors in Macsyma (R) Tools of Tensor Calculus Computeralgebra programma s kunnen het ingedeeld worden in twee groepen: onderwerp-gerichte en algemene. Onze belangstelling gaat in deze cursus uit naar deze laatste, maar het is belangrijk op te merken dat onderwerp-gerichte computeralgebra een belangrijke rol spelen in de ontwikkeling van specifieke onderzoeksgebieden. GAPen Magma die in het overzicht geklasseerd zijn bij de Groepentheorie worden nog verder besproken in de parallelle sessies van dit opleidingsonderdeel. 1.5 Automatische Bewijsvoering Als we in computer algebra symbolische manipulatie centraal stellen, moeten we in deze context ook de zogenaamde THEOREM PROVERS of Automatische Bewijsvoeringssysteem vermelden. Feit is dat op dit ogenblik weinig systemen commercieel uitgebaat worden (dit is het geval voor NUPRL, ICL HOL, Mural) en bovendien zijn het geen systemen die het grote publiek kunnen aanspreken. Dit maakt dus onbekend en derhalve onbemind. Systemen als The Boyer-Moore theorem prover en OTTER zijn (in beperkte kring) bekende projecten die hun sporen verdiend hebben als pionier op het gebied van

18 8 HOOFDSTUK 1. INLEIDING automatische bewijsvoering. Hun resultaten zijn evenwel niet commercieel genoeg om ze naast een Mathematica te kunnen plaatsen. Bovendien stellen we vast dat de meeste wetenschappers, en in het bijzonder de wiskundigen erg sceptisch staan t.o.v. het idee automatiseren van het bewijsvoeringsproces. Dat het mogelijk is bewijzen bovenvermelde systemen, en dat het nuttig is weten de soft- en hardware-ingenieurs die systemen als NUPRL, ICL HOL, WORKBENCH, B theorem Prover, Mural dankbaar inschakelen bij het ontwerpen van geverifieerde soft- en hardware. We kunnen de bovenvermelde lijst van automatische bewijsvoeringssystemen nog aanvullen met namen als OBJ, ISABELLE, METEOR, PVS, SHUNYATA, RRL, KARNAK, Analytica... Een beschrijving van deze systemen zou ons zeker te ver leiden. Wel willen we terloops opmerken dat Analytica een project is dat ontwikkeld werd in de Mathematica omgeving... Gelet op een aantal van de bovenstaande bedenkingen valt Automatische Bewijsvoering buiten het kader van deze kursus. We verwijzen de geïnteresseerde lezer naar de referenties ([1],[7],[9],[12]) die in de bibliografie zijn opgenomen.

19 1.5. AUTOMATISCHE BEWIJSVOERING 9

20 10 HOOFDSTUK 1. INLEIDING

21 Hoofdstuk 2 Hoe gebruiken we Computeralgebra 2.1 Inleiding Het is een algemeen verschijnsel dat iemand die voor de eerste keer een computeralgebra pakket gedemonstreerd ziet, de indruk krijgt dat het enorm krachtig is. Het is inderdaad een feit dat deze programma s heel wat mogelijkheden hebben, maar ze hebben zeker ook hun beperkingen. Deze pakketten kunnen met breuken rekenen met oneindige precisie, ze kunnen algebraïsche vereenvoudigingen doorvoeren, haken uitwerken, factorizeren, grootste gemene delers zoeken en nog een hele boel bewerkingen die we terugvinden in algebra cursussen. Daarnaast hebben ze een aantal programmeermogelijkheden die hun kracht nog verhogen. Een aantal programma s kunnen uitdrukkingen verwerken die miljoenen tekens bevatten in een aantal seconden, berekeningen die met pen en papier jaren zouden vragen. Daarnaast kunnen deze programma s differentiëren en integreren. Wat dit laatste betreft, bestaan er grote klassen van functies waarvoor er algoritmen bestaan die integratie mogelijk maken waarvan het resultaat verschillende gedrukte bladzijden kan vullen. Het zijn dergelijke voorbeelden die het idee versterken dat een computeralgebrasysteem almachtig is. Het is evenwel niet moeilijk om een voorbeeld te vinden dat een doorsnee wiskundige zonder problemen kan oplossen, terwijl een computeralgebraprogramma niet in staat blijkt de oplossing te vinden. De gevorderde gebruiker gaat dan vrij vlug ervaren, dat computeralgebra zijn beperkingen heeft. Te weinig geheugen, te veel tijd gebruiken en op een gemeenschappelijk systeem het hele netwerk vertragen, zijn veel gehoorde klachten. In die omstandigheden is het nuttig en wenselijk enig inzicht te hebben in de implementatie van de algoritmen die aan de basis liggen van de computeralgebra, teneinde te vermijden dat men onmogelijke problemen aan het programma gaat voorleggen. 11

22 12 HOOFDSTUK 2. HOE GEBRUIKEN WE COMPUTERALGEBRA 2.2 Een aantal mogelijkheden Ruwweg zou men kunnen stellen dat computeralgebrasystemen ontworpen zijn voor het manipuleren van alledaagse formules uit de wiskunde. Daarbij merken we op dat de formules zoals die doorgaans geïmplemeteerd worden in klassieke programmeertalen (C,Pascal,Fortran,...) enkel ontworpen zijn voor numerieke evaluatie, aangezien aan de variabelen en parameters vooraf een type-declaratie moet worden meegegeven die numeriek is. In een taal die algebraïsche manipulaties toelaat, kan de zelfde formule zowel numeriek als symbolisch behandeld worden. We kunnen bevoorbeeld met één commando vragen de volgende uitdrukkingen te ontbinden in partieelbreuken x 2 5 x(x 1) 4. In Maple (comp22.mws) krijgen we: > (x^2-5)/(x*(x-1)^4); x 2 5 x (x 1) 4 > convert(%,parfrac,x); 5 x 4 (x 1) (x 1) 3 5 (x 1) x 1 We kunnen met hetzelfde commando evengoed de volgende uitdrukkingen ontbinden: x + a x(x b)(x 2 + c) hetgeen ons in Maple het volgende resultaat geeft: > (x+a)/(x*(x-b)*(x^2+c)); x + a x (x b) (x 2 + c) > convert(%,parfrac,x); a bcx + b + a bc c a + xab xc + b (b 2 + c) (x b) c (b 2 + c) (x 2 + c) > convert((-b*c-c*a+x*a*b-x*c)/(c*(b^2+c)*(x^2+ > c)),parfrac,x);

23 2.3. SYNTAX VAN DE GEASSOCIEERDE TALEN 13 bc c a + xab xc c (b 2 + c) (x 2 + c) Over het algemeen voldoen computeralgebrasystemen aan de volgende vereisten: ze stellen een basisstel commando s beschikbaar die een aantal vervelende berekeningen moeten mogelijk maken op de computer ze voorzien in een programmeertaal die toelaten om eigengedefinieerde commando s en procedures aan het systeem toe te voegen. 2.3 Syntax van de geassocieerde talen Er is een belangrijk verschil tussen de verschillende systemen. Daarbij merken we op dat MACSYMA, REDUCE, Maple, Mathematica sterk aanleunen bij klassieke programmeertalen zoals Pascal en Fortran. 2.4 Toepassingsgebieden van de bestaande systemen Het is wel nuttig om de toepassingsgebieden van de algemene systemen hier even op een rijtje te zetten, ze geven meteen ook aan waar we ons voor het vervolg van de cursus zullen mee bezig houden. Bewerkingen op gehele getallen, rationale getallen, reële en complexe getallen, met een onbeperkte nauwkeurigheid. Bewerkingen op polynomen in een of meerdere veranderlijken en op rationale vormen. D.w.z. de triviale rationale bewerkingen, berekenen van de GGD, en factorizatie. Bewerkingen op matrices zowel met numerieke als niet-numerieke componenten. Eenvoudige analyse: differentiëren, reeksontwikkelingen, Padé benaderingen, Fourier ontbindingen,... Manipulatie van formules: substituties, selecteren van delen van een formule, numerieke evaluatie,...

24 14 HOOFDSTUK 2. HOE GEBRUIKEN WE COMPUTERALGEBRA Vertrekkende van deze gemeenschappelijke basis, en afhankelijk van het ontwikkelingsstadium van de pakketten, hebben we nog Oplossen van vergelijkingen. Formele integratie. Berekening van limieten. Oplossen van differentiaalvergelijkingen. 2.5 De mogelijkheden van Maple op een aantal voorbeelden Eenvoudige bewerkingen op getallen Vooreerst merken we op dat elke lijn moet eindigen op een ; (resultaat tonen) of een : (berekenen, maar resultaat niet tonen). Verder zien we dat factoriseren niet tot het kernpakket van Maple behoort, zodat we met readlib(ifactors): deze functie eerst moeten opladen. (comp261.mws) > * ; > 100!; \ \ > 2^63-1; > ifactors(2^63-1); ifactors( ) > readlib(ifactors): > ifactors(2^63-1);

25 2.5. DE MOGELIJKHEDEN VAN MAPLE OP EEN AANTAL VOORBEELDEN15 [1, [[7, 2], [73, 1], [127, 1], [337, 1], [649657, 1], [92737, 1]]] > (7/8)^99; \ / \ Bij de verwerking van de klassieke constanten, zien we dat in Maple Pi gebruikt wordt. Verder merken we dat de constante e niet aanvaard wordt als input, maar wel gebruikt wordt als output. (comp261b.mws) > Pi; π > Digits:=6; Digits := 6 > evalf(pi); > Digits:=100; Digits := 100 > evalf(pi); \ > evalf(e); > evalf(exp(1)); e

26 16 HOOFDSTUK 2. HOE GEBRUIKEN WE COMPUTERALGEBRA \ > limit((1+1/n)^n,n=infinity); > evalf(limit((1+1/n)^n,n=infinity)); e \ Complexe getallen (comp262.mws) > z1:=4+19*i; z1 := I > z2:=3+17*i; z2 := I > z1+z2; I > z1*z2; I > z1/z2; > abs(z1); I

27 2.5. DE MOGELIJKHEDEN VAN MAPLE OP EEN AANTAL VOORBEELDEN > abs(z1/z2); Polynomen en Rationale vormen (comp263.mws) > 2*x^3+7*x+9; 2 x x + 9 > factor(%); (x + 1) (2 x 2 2 x + 9) > (-2*z-y+x)*(a*x^2-y^3*z)*(b*z^2+y); ( 2 z y + x) (a x 2 y 3 z) (bz 2 + y) > expand(%); xy 3 bz 3 + y 4 bz y 3 bz 4 + x 3 a bz 2 x 2 y a bz 2 2 x 2 a bz 3 xy 4 z + y 5 z + 2 y 4 z 2 + x 3 y a x 2 y 2 a 2 x 2 y a z > factor(%); > F:= ( 2 z y + x) (a x 2 y 3 z) (bz 2 + y) > (a,b,x,y,z)->(2*x^3+7*x+9)/((x-y-2*z)*(y+b*z^2)*(a*x^2-y^3*z)); F := (a, b, x, y, z) 2 x x + 9 (x y 2 z) (y + bz 2 ) (a x 2 y 3 z)

28 18 HOOFDSTUK 2. HOE GEBRUIKEN WE COMPUTERALGEBRA > eval(f(1,1,x,1,1)); x x + 9 (x 3) (x 2 1) > F(1,1,x,-1,-1); Error, (in F) division by zero matrices (comp264.mws) > A:=[[1,2,3],[4,5,6],[7,8,9]]; A := [[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]] > A:=linalg[matrix](3,3,[1,2,3,4,5,6,7,8,9]); A := > linalg[det](a); > X:=linalg[matrix](3,1,[x,y,z]); X := 0 x y z > B:=linalg[matrix](3,1,[1,k,0]); B := 1 k 0

29 2.5. DE MOGELIJKHEDEN VAN MAPLE OP EEN AANTAL VOORBEELDEN19 > linalg[multiply](a,x)=linalg[matrix](3,1,[1,k >,0]); x + 2 y + 3 z 4 x + 5 y + 6 z 7 x + 8 y + 9 z = 1 k 0 > evalm(%); x + 2. y + 3. z 4. x + 5. y + 6. z 7. x + 8. y + 9. z = 1. k 0 > evalm(a); > evalm(b); 1 k 0 > linalg[linsolve](a,b); > A1:=linalg[matrix](2,3,[1,2,3,4,5,6]); A1 := [ ] > B1:=linalg[matrix](2,1,[1,k]); B1 := [ 1 k ] > k:= k ; k := k > B1:=linalg[matrix](2,1,[1,k]);

30 20 HOOFDSTUK 2. HOE GEBRUIKEN WE COMPUTERALGEBRA B1 := [ 1 k ] > linalg[linsolve](a1,b1); k + t k 2 t 11 t 11 > linalg[trace](a); 15 > linalg[ratform](a); Differentiëren (comp265.mws) > 2*x/((x+1)*(x^2-x+1)); 2 x (x + 1) (x 2 x + 1) > int(%,x); 2 3 ln(x + 1) ln(x2 x + 1) arctan( 1 3 (2 x 1) 3) > 2/3*3^(1/2)*arctan(1/3*(2*x-1)*3^(1/2))+1/3*l > n(x^2-x+1)-2/3*ln(x+1);

31 2.5. DE MOGELIJKHEDEN VAN MAPLE OP EEN AANTAL VOORBEELDEN ln(x + 1) ln(x2 x + 1) > diff(%,x); x x 1 x 2 x arctan( 1 3 (2 x 1) 3) (2 x 1)2 3 > simplify(%); 2 x (x + 1) (x 2 x + 1) Goniometrische functies (comp266.mws) > sin(x+y); sin(x + y) > expand(%); sin(x) cos(y) + cos(x) sin(y) > cos(4*z); cos(4 z) > expand(%); 8 cos(z) 4 8 cos(z) > sin(x)*sin(y); sin(x) sin(y) > combine(%,trig);

32 22 HOOFDSTUK 2. HOE GEBRUIKEN WE COMPUTERALGEBRA > readlib(trigsubs); 1 2 cos(x y) 1 cos(x + y) 2 proc(s, f)... end > trigsubs(sin(x)*sin(y)); [ 1 2 cos( x + y) 1 cos(x + y)] 2 > sin(z)^3; sin(z) 3 > combine(%,trig); 1 4 sin(3 z) sin(z) > trigsubs(sin(z)^3); Error, (in trigsubs) powers of 1 or 2 only Integratie (comp267.mws) > 2*x/((x+1)*(x^2-x+1)); 2 x (x + 1) (x 2 x + 1) > int(%,x); 2 3 ln(x + 1) ln(x2 x + 1) > int(%%,x=0..1); 3 arctan( 1 3 (2 x 1) 3)

33 2.6. WAAROM MAPLE? ln(2) π De bovenstaande voorbeelden vormen maar een proefje van de mogelijkheden van computeralgebrasystemen in het algemeen en van Maple in het bijzonder. 2.6 Waarom Maple? In de inleiding hebben we aangegeven dat er heel wat systemen beschikbaar zijn. Waarom dan Maple ter ondersteuning van deze cursus? De universitaire licentie Maple is betaalbaar voor de universiteit. De studenten worden in de mogelijkheid gesteld om Maple op een rechtmatige manier aan te schaffen aan voordelige voorwaarden. De resultaten van Maple zijn meestal betrouwbaar. Dit kan niet altijd gezegd worden van andere computeralgebrasystemen. De interface van Maple is aangenaam. 2.7 Opgave Bespreek twee pakketten waarvan de informatie terug te vinden is op het internet (met uitzondering van Derive en Mathematica). Vergelijk de resultaten van eenvoudige berekeningen met deze van Maple.

34 24 HOOFDSTUK 2. HOE GEBRUIKEN WE COMPUTERALGEBRA

35 Hoofdstuk 3 Het probleem van de datarepresentatie 3.1 Inleiding In dit hoofdstuk behandelen we een aantal basisbegrippen die afkomstig zijn uit de algebra en die van fundamenteel belang zijn voor de ontwikkeling van algoritmen in computeralgebrasystemen. Het onderscheid tussen de verscheidene computeralgebrasystemen ontstaat precies door keuzes die gemaakt worden in de te behandelen structuren en in de voorstelling van deze structuren. 3.2 Structuren Σ-structuur Elk computeralgebrasysteem omvat een aantal basisstructuren. De formele beschrijving van deze structuren is weer te geven aan de hand van het begrip meersoortige Σ-structuur. Definitie signatuur Zij S een niet-ledige verzameling van soorten, dan is een S-soortige signatuur een verzameling Σ = {Σ w,s w S, s S} Daarbij is S = S n n=0 25

36 26 HOOFDSTUK 3. HET PROBLEEM VAN DE DATAREPRESENTATIE met S 0 = {φ}, S n = {w = s 1 s 2...s n s i S} φ wordt ook nog het ledig woord genoemd, en w = s 1 s 2...s n heten woorden van de lengte n. De elementen f w,s van Σ w,s worden de operatoren van de signatuur genoemd. w, s heet de rang van de operator. De lengte n van w, ook nog genoteerd als w is de ariteit van de operator. s 1 s 2... s n geeft aan dat de n argumenten waarop de operator zal inwerken resp. van de soort s 1, s 2...s n moeten zijn, terwijl de s uitdrukt dat de waarde die de operator zal aannemen van de soort s zal zijn. Operatoren met rang φ, s worden ook nog constanten van de soort s genoemd. Definitie Σ-structuur Zij Σ een S-soortige signatuur, dan bestaat een Σ-structuur uit een S-soortige verzameling A = {A s s S} die met elke soort s S een verzameling van elementen A s laat corresponderen. In de computeralgebra zullen deze verzamelingen doorgaans niet ledig zijn, daar waar dit in de formele behandeling van het begrip Σ-structuur niet uitgesloten is. Verder merken we op dat voor verschillende soorten s i en s j de corresponderende verzamelingen A si en A sj niet noodzakelijk disjunct moeten zijn. Daarnaast correspondeert er met elk element f w,s uit Σ w,s een operator F w,s : A w A s. - Als w φ is A w de notatie voor A s1 A s2... A sn, het cartesisch product van A s1, A s2,...,a sn. M.a.w. is F w,s een n-aire operator die inwerkt op n argumenten die resp. genomen worden uit A s1, A s2,..., A sn en waarvan het resultaat een element uit A s is. - Als w = φ moet die notatie gelezen worden als Als F φ,s : A s. Dit is te interpreteren als het uitkiezen van een vast element in A s. F φ,s wordt dan ook een constante van de soort s in de structuur genoemd. Opmerking: We merken op dat doorgaans in de praktijk er geen onderscheid gemaakt wordt tussen de notatie van de elementen f w,s in de signatuur en de notatie van de corresponderende operatoren F w,s in de Σ-structuur. Een constante F φ,s van de soort s zullen we doorgaans kortweg aanduiden als een constante c s van de soort s, of als een constante c A s Voorbeelden

37 3.2. STRUCTUREN 27 Zij S = {s} en Σ = {Σ ss,s } dan hebben we te maken met een éénsoortige signatuur die enkel binaire bewerkingen omvat. Klassieke voorbeelden daarvan signatuur: Σ ss,s = {+} Σ ss,s = { } basisstructuur voor additieve semigroep multiplikatieve semigroep Zij S = {s} en Σ = {Σ ss,s, Σ φ,s } dan hebben we te maken met een éénsoortige signatuur die naast de binaire bewerkingen ook nog constanten omvat. Klassieke voorbeelden daarvan signatuur: Σ ss,s = {+}, Σ φ,s = {0} Σ ss,s = { }, Σ φ,s = {1} basisstructuur voor additieve monoïde multiplikatieve monoïde Zij S = {s} en Σ = {Σ ss,s, Σ s,s, Σ φ,s } dan hebben we te maken met een éénsoortige signatuur die naast de binaire bewerkingen en constanten ook nog unaire bewerkingen omvat. Klassieke voorbeelden daarvan signatuur: Σ ss,s = {+}, Σ s,s = { }, Σ φ,s = {0} Σ ss,s = { }, Σ s,s = { 1 }, Σ φ,s = {1} Σ ss,s = {+, }, Σ s,s = {, 1 }, Σ φ,s = {0, 1} basisstructuur voor additieve groep multiplikatieve groep ring,veld De enige courante meersoortige structuur buiten de informatica is de basisstructuur voor de vectorruimten, we hebben daar twee soorten S = {s, v}. s voor de scalairen en v voor de vectoren. Gelet op het feit dat de scalairen uit een veld komen hebben we zoals hierboven reeds aangegeven: Σ ss,s = {+, }, Σ s,s = {, 1 }, Σ φ,s = {0, 1} Daarnaast hebben we voor de vectoren een additieve groep: Σ vv,v = {+}, Σ v,v = { }, Σ φ,v = { 0} Daarbij merken we reeds op dat de + in twee betekenissen gebruikt wordt, hetgeen ook in de computeralgebra gebruikelijk is. Gelet op het feit de optelling van scalairen duidelijk iets anders is dan de optelling van vectoren, zal men uit de soort van de argumenten moeten afleiden over welke bewerkingen het gaat Tenslotte hebben we nog een bewerking die de scalairen gaat koppelen aan vectoren om als resultaat een vector te geven. Doorgaans wordt in de wiskunde voor deze bewerking geen notatie ingevoerd, men zet gewoon de scalair vóór de vector. Hier zullen we die operator aangeven met een : Σ sv,v = { }

38 28 HOOFDSTUK 3. HET PROBLEEM VAN DE DATAREPRESENTATIE Opmerking: prefix- versus infix-notatie Tot hiertoe hebben we niet verteld hoe we de inwerking van een operator op zijn argumenten zullen noteren. In het geval van een n-aire operator ligt de notatie: f w,s (a s1 a s2...a sn ) voor de hand, een dergelijke notatie noemt men prefix-notatie. Maar in het geval van de binaire operatoren die we in de bovenvermelde voorbeelden hebben aangehaald wordt doorgaans de infix-notatie gebruikt. Deze klassieke bewerkingen worden uiteraard in alle computeralgebrasystemen als infixoperator gebruikt. Een aantal systemen laten zelfs toe eigengedefinieerde infix-operatoren in te voeren Axioma s De structuren die we tot hiertoe als voorbeeld geciteerd hebben, verdienen slechts de naam die we daaraan gegeven hebben op voorwaarde dat ze een aantal axioma s vervullen. De basisaxioma s die gebruikt worden in de wiskunde, kunnen we als volgt samenvatten: A1 : a (b c) = (a b) c (Associativiteit) A1 : a + (b + c) = (a + b) + c A2 : 1 a = a 1 = a (Identiteit) A2 : 0 + a = a + 0 = a (Neutraal) A3 : a a 1 = a 1 a = 1 (Invers) A3 : a + ( a) = ( a) + a = 0 (Symmetrisch element) A4 : a b = b a (Commutativiteit) A4 : a + b = b + a A5 : a (b + c) = (a b) + (a c) (a + b) c = (a c) + (b c) (Distributiviteit) A6 : a b = a c a 0 b = c (Schrappingswet) A6 : a b = 0 a = 0 b = 0 (Geen nuldelers) Bij het axioma A1 (A1 ) worden de variabelen a, b, c als universeel gekwantificeerd beschouwd. D.w.z. dat we A1 (A1 ) zullen lezen als A1 A1 a b c a (b c) = (a b) c a b c a + (b + c) = (a + b) + c Het axioma A2 resp. A2 wordt in de wiskunde meestal als volgt gesteld: A2 : 1 a 1 a = a 1 = a A2 : 0 a 0 + a = a + 0 = a

39 3.2. STRUCTUREN 29 Voor een wiskundige is het vaak voldoende te weten dat er een element 1 (0) bestaat dat aan de voorwaarden van A2 (resp. A2 ) voldoet. Voor een computeralgebrasysteem moet evenwel het element dat bovenvermelde eigenschap heeft, aangewezen worden. Gelet op het feit dat in een structuur met een binaire bewerking (+) het element 1 (0) dat aan A2 (A2 ) voldoet uniek 1 is, kan men 1 (resp. 0) als een constante van de Σ-structuur beschouwen, en eisen dat aan A2 (resp. A2 ) voldaan is. Axioma A3 (A3 ) kent men ook in de vorm: A3 : a a 1 a a 1 = a 1 a = 1 A3 : a a a + ( a) = ( a) + a = 0 Men toont aan dat voor een associatieve voor elke a de bijhorende a 1 uniek is. Bewijs: Stel a een element zó dat a a = a a = 1, dan is a 1 = a 1 1 = a 1 (a a ) = (a 1 a) a = 1 a = a Analoog voor a. Derhalve is het met het oog op een implementatie in een computeralgebrasysteem aangewezen 1 resp. als unaire operatoren in Σ s,s te beschouwen Algebraïsche structuren In de volgende tabel geven we een overzicht van de voornaamste algebraïsche structuren met hun corresponderende axioma s. De signatuur van de betreffende structuren is dan af te leiden uit de gebruikte operatoren in de axioma s 1 Stel e een tweede element met dezelfde eigenschap, dan is e = e 1 = 1

40 30 HOOFDSTUK 3. HET PROBLEEM VAN DE DATAREPRESENTATIE Naam: Notatie: Axioma s semigroep (S; ) A1 monoïde (S;, 1) A1; A2 groep (G;, 1, 1) A1; A2; A3 abelse groep (G; +,, 0) A1 ; A2 ; A3 ; A4 ring (R; +,, 0,, 1) A1 ; A2 ; A3 ; A4 A1; A2 A5 commutatieve ring (R; +,, 0,, 1) A1 ; A2 ; A3 ; A4 A1; A2; A4 A5 integriteitsgebied (D; +,, 0, ) A1 ; A2 ; A3 ; A4 A1; A2; A4 A5; A6; A6 veld (F; +,, 0,, 1, 1) A1 ; A2 ; A3 ; A4 lineaire ruimte A1; A2; A4; A3 voor F {0} A5 (F; +,, 0,, 1, 1; veld V ; +,, 0) abelse groep 3.3 Voorstelling van gehele getallen Gehele getallen liggen aan de basis van de wiskunde, en dus ook van de computeralgebra. God heeft de gehele getallen geschapen, de rest is mensenwerk is een uitspraak van de grote wiskundige Kronecker. Mensen hebben blijkbaar wel problemen om gehele getallen te implementeren. In de meeste programmeertalen vormen de gehele getallen een eindige verzameling van de gedaante { 2 31,...,2 31 1}, wat te maken heeft met de lengte van het computerwoord (32 bits) dat gebruikt wordt voor de binaire voorstelling van de gehele getallen. Daarbij valt op te merken dat gebruikers van klassieke programmeertalen doorgaans niet geïnteresseerd zijn in die gehele getallen. De opmerking dat men slechts met kleine gehele getallen werkt is voor een wiskundige zeker niet waar. Een klassiek probleem is b.v. het zoeken van de GGD van twee polynomen. Beschouwen we als voorbeeld de volgende polynomen over Z: A(x) := 7x 7 + 2x 6 3x 5 3x 3 + x + 5 B(x) := 9x 5 3x 4 4x 2 + 7x + 7 Stel nu dat we de Grootste Gemene Deler van die twee polynomen wensen te bere-

41 3.3. VOORSTELLING VAN GEHELE GETALLEN 31 kenen: GGD(A(x), B(x), x) 2 dan kunnen we daarvoor de volgende Maple-output bekijken: (comp33.mws) Bepalen van de grootste gemene deler van twee polynomen (over de verzameling van de rationale getallen) : het commando gcd > A := 7*x^7+2*x^6-3*x^5-3*x^3+x+5; A := 7 x x 6 3 x 5 3 x 3 + x + 5 > B := 9*x^5-3*x^4-4*x^2+7*x+7; > gcd(a,b); B := 9 x 5 3 x 4 4 x x Door gebruik te maken van het commando gcdex en het toevoegen van de namen s en t, verkrijgen we naast de grootste gemene deler eveneens de polynomen s en t (zie uitgebreid algoritme van Euclides) zodanig dat ggd(a, b) = a s + bt. > gcdex(a,b,x, s, t ); > s; x x x x4 > t; x x x x x x5 1 2 zie 4.2 GGD van polynomen over Q, pg. 83

42 32 HOOFDSTUK 3. HET PROBLEEM VAN DE DATAREPRESENTATIE Controle : > A*s+B*t; (7 x x 6 3 x 5 3 x 3 + x + 5)( x x x x4 ) + (9 x 5 3 x 4 4 x x + 7)( x x x x x x5 ) > expand(%); 1 Dan zien we daarbij het geheel getal verschijnen. Als we dit vergelijken met = , hetgeen overeenkomt met de grootste longinteger in Turbo Pascal, wordt duidelijk dat de klassieke representatie van gehele getallen niet zullen volstaan. Een computeralgebrasysteem moet dus in staat zijn elk natuurlijk getal voor te stellen. Een bruikbare voorstelling vinden we door een datastructuur te beschouwen die steunt op de gebruikelijke singleprecisie gehele getallen. Multiprecisie geheel getal We noemen deze datastructuur een multiprecisie geheel getal. Ze bestaat uit lineaire lijst (d 0, d 1, d 2,...,d n 1 ) van singleprecisie getallen en een teken s dat de waarde +1 of 1 kan aannemen. Dit stelt dan het volgende geheel getal voor: n 1 s i=0 d i β i waarbij β een voorafgedefinieerd singleprecisie getal is.

43 3.3. VOORSTELLING VAN GEHELE GETALLEN 33 Het teken wordt doorgaans gestockeerd in de lijst (d 0, d 1, d 2,...,d n 1 ), bijvoorbeeld als teken van d 0 β wordt het grondtal van voorstelling genoemd. In principe kan dit elk geheel getal groter dan 1 zijn waarvoor β 1 nog een singleprecisie geheel getal is. In de praktijk worden er twee oplossingen genomen: i) β zodanig dat β 1 het grootste positief singleprecisie geheel getal is. B.v. β = 2 31 als de woordlengte 32 bits is. ii) β = 10 p met p zo groot mogelijk en zodanig dat β 1 nog een singleprecisie getal is. B.v. β = 10 9 als de woordlengte 32 bits is In een systeem waar vaak dergelijke grote getallen moeten uitgeprint worden verdient de laatste mogelijkheid de voorkeur. In een systeem waar er veel moet gerekend worden en weinig geprint, verdient de eerste mogelijkheid de voorkeur. Gelinkte lijsten De voorstelling van een geheel getal gebeurt dan met behulp van gelinkte lijsten waarbij elk knooppunt van de volgende gedaante is DIGIT LINK Het DIGIT veld bevat dan één β-basis getal (een singleprecisie geheel getal), en het LINK veld bevat een pointer naar het volgende knooppunt van de lijst, of een eind-van-de-lijst merker. Een multiprecisie geheel getal d = (d 0, d 1,, d n 1 ) met waarde n 1 d = s d i β i (3.1) i=0 wordt dan voorgesteld door de gelinkte lijst: d s d 0 d 1... d n 1 waarbij het teken opgeslagen wordt bij d 0. We merken op dat de β-digits d i gelinkt zijn in omgekeerde volgorde m.b.t. de conventionele schrijfwijze van gehele getallen. Nemen we voor de eenvoud een voorbeeld waarbij β = 10 3 dan kunnen we het geheel getal d = voorstellen als de volgende gelinkte lijst.