college en scalarelden in R Vandaag collegejaar college build slides : : : : 4-5 7 augustus 4 33 Coördinatenstelsels in R VA andaag
Voorkennis Zelf bestuderen uit.,. en.3: ptellen en scalair ermeniguldigen an ectoren. Parameteroorstelling an een lijn met behulp an ectoren. Vergelijking an een lijn. Lijn door twee punten. Lijnsegment. Inproduct an twee ectoren. Lengte an een ector. Hoek tussen twee ectoren. Projecties. Vectorproduct (uitproduct). Inhoud en opperlakte. Zie ook: Thomas Calculus,. tot en met.5. Blokboek Ruimtewiskunde en Matlab: hoofdstuk 4, sectie pperlakte, inhoud en determinanten. alg/ VA Assenstelsels in R. Kies een oorsprong. Kies een -as. De pijlpunt geeft het positiee deel an de -as weer. De -as ligt ast: De -as staat loodrecht op de -as. De positiee -as wordt uit de positiee -as erkregen door 9 naar links te draaien. 3 r/ VA
Cartesische coördinaten in R p P p Stel P is een punt in het platte lak. Bereken de projecties p en p an P op de en -as. De Cartesische coördinaten an P ijn p en p, notatie: P = (p, p ). Ieder punt P R kan op dee manier worden oorien an unieke Cartesische coördinaten. 4 r/ VA Vectoren in R Een ector is een wiskundig object met een grootte en een richting. Een ector kun je grafisch weergeen met een pijl: Q P Vectoren hebben een begin- en een eindpunt. De naam an een ector is etgedrukt: = #» PQ. Vectoren eranderen niet als e worden getransleerd: = 5 r/3 VA
Vectoren in R p P p Een ector staat is standaardpositie als het beginpunt gelijk is aan de oorsprong. De componenten an de ector ijn de coördinaten an het eindpunt an de ector Notatie: [ ] p = (p, p ) = met = P #» en P = (p, p ). p De ector heet de plaatsector an P. 6 r/4 VA Assenstelsels in R 3 Kies een oorsprong. Kies een -as. Kies een -as loodrecht op de -as. De -as ligt ast: De -as staat loodrecht op de en -as. De richting an de -as wordt bepaald met behulp an de rechterhandregel. 7 r/5 VA
Vectoren in de ruimte p 3 P p p In R 3 hebben punten drie coördinaten: P = (p, p, p 3 ). Vectoren hebben drie componenten: p = (p, p, p 3 ) = p p 3 waarbij in standaardpositie is, dus = P. #» 8 r/6 VA Standaard basisectoren in R.. e e + e e e e In R definiëren we de standaarbasisectoren e en e door [ ] [ ] e = en e =. Iedere ector = (, ) in R kan geschreen worden als = e + e. 9 r/7 VA
Standaard basisectoren in R.. e e e e e e + e + e e In R 3 definiëren we de standaarbasisectoren e, e en e door e =, e = en e =. Iedere ector = (,, ) in R 3 kan geschreen worden als = e + e + e. Thomas gebruikt i, j en k in plaats an e, e en e. r/8 VA Poolcoördinaten Definitie De lengte an een ector = (, ) is gedefinieerd als = +. Het argument an een ector is de hoek die de lijn door en het eindpunt an maakt met de positiee -as. θ Het argument an de oorsprong is niet gedefinieerd. Het argument wordt gegeen in radialen. Het argument wordt gemeten anaf de positiee reële as. Als de richting tegen de richting an de wijers an de klok is, is het argument positief. Als de richting in de richting an de wijers an de klok is, is het argument negatief. Het argument is niet uniek bepaald. pc/ VA
Basisectoren We noteren een ector met lengte r en argument θ als olgt: = r e r + θ e θ De notatie r e r + θ e θ is smbolisch: e r en e θ ijn geen ectoren. Je kunt er niet of moeilijk mee rekenen. Bijoorbeeld: stel = r e r + θ e θ, dan α = αr e r + θ e θ. Het argument an een ector erandert niet bij scalaire ermeniguldiging. Je mag niet componentsgewijs optellen. Bijoorbeeld: stel = (, ) = e r + e θ en w = (, ) = e r + π e θ, dan + w = (, ) = e r + π 4 e θ. w π 4 +w pc/ VA Van poolcoördinaten naar Cartesische coördinaten r θ Stel heeft argument θ en lengte r. Definieer = (, ) dan cos θ = r Hieruit olgt en sin θ = r. = r cos θ, = r sin θ. 3 pc/3 VA
Van Cartesische coördinaten naar poolcoördinaten r θ Stel = e + e. Voor de lengte an geldt = +. Voor het argument θ an geldt tan θ =, mits. Let op: alleen als > geldt er: θ = arctan ( ). 4 pc/4 VA Van Cartesische coördinaten naar poolcoördinaten Voorbeeld ( ) Schrijf = 3, in poolcoördinaten. π 6 3 ( 3, ) = ( 3) + ( ) =. De punten (, ), ( 3, ) en ormen een rechthoekige driehoek met schuine ijde en een rechthoeksijde, dus het argument an is gelijk aan π 6 ( ). In poolcoördinaten is 3, gelijk aan = e r π 6 e θ. 5 pc/6 VA
Cilindercoördinaten ζ θ r Gegeen is een ector in R 3. Projecteer op het -lak, noem de projectie. Definieer r = en θ is het argument an, oftewel = r e r + θ e θ. Definieer ζ als de -coördinaat an. De getallen r, θ en ζ ijn de cilindercoördinaten an. Notatie: = r e r + θ e θ + ζ e ζ. 6 cc/ VA Cilinderco rdinaten en Cartesische coördinaten Stel = r e r + θ e θ + ζ e ζ, dan = r cos θ = r sin θ = ζ Stel = e + e + e = (,, ). = e + e = (,, ) Voor de lengte r an geldt r = = +. Voor het argument θ an geldt tan θ =, mits. ζ =. 7 cc/ VA
Bolcoördinaten ϕ ρ θ Gegeen is een ector in R 3. Definieer ρ = = + +. Projecteer op het -lak, noem de projectie. Definieer θ als het argument an. Definieer ϕ als de hoek die maakt met de positiee -as. De getallen r, ϕ en θ ijn de bolcoördinaten an : = ρ e ρ + ϕ e ϕ + θ e θ. 8 bc/ VA Bolco rdinaten en Cartesische coördinaten ϕ ρ r θ ϕ ρ r ϕ Stel = ρ e ρ + ϕ e ϕ + θ e θ, dan = r e r + θ e θ, dus = ρ cos ϕ r = ρ sin ϕ Hiermee leid je direct af: = r cos θ = ρ sin ϕ cos θ = r sin θ = ρ sin ϕ sin θ = ρ cos ϕ 9 bc/ VA
Van Cartesische coördinaten naar bolco rdinaten Stel = e + e + e = (,, ). Voor de lengte ρ an geldt ρ = = + +. De hoek ϕ wordt gemeten anaf de positiee -as, dus geldt ϕ π. Daarom geldt oor ϕ: ( ( ) ϕ = arccos = arccos ρ) + + mits. Voor de hoek θ geldt tan θ =, mits. bc/3 VA Definitie Een scalareld is een functie die aan iedere ector een getal toeoegt. kun je definiëren op R n of een deel daaran, oor iedere waarde an n. Een scalareld is in feite een functie die an meer ariabelen afhangt. Stel = (,,..., n ), dan schrijen we f () = f (,,..., n ). Voorbeeld Definieer de functie f (, ) =. Dan kunnen we f opatten als een scalareld dat aan iedere ector = e + e het getal toeoegt. f (, ) = s/ VA
De grafiek an een scalareld Definitie Stel f : D R is een functie gedefinieerd op D R. De grafiek an f is de erameling. graf(f ) = {(,, f (, )) (, ) D} De grafiek an een functie is een deelerameling an R 3. Definieer f (, ) = oor alle (, ) D met D = [, ] [, ]. s/ VA De grafiek an een scalareld Definieer f (, ) = (4 + )e fig. 4.(b) op bl. oor (, ) met 3 3 en 3 3. Grafieken kun je plotten met MATLAB of Mathematica: 3 3 3 3 3 s/3 VA
Nieaueramelingen Definitie.. Stel f : V R R is een scalareld. De nieauerameling bij nieau c is gegeen door {(, ) V f (, ) = c}. Nieaueramelingen ijn deeleramelingen an R. De nieauerameling bij nieau c is de oplossingserameling an de ergelijking f (, ) = c. Een nieauerameling kan leeg ijn. Bijoorbeeld: de nieauerameling bij nieau an de functie f (, ) = + is leeg. In eel geallen ijn nieaueramelingen krommen. We spreken daarom ook an nieaukrommen. 4 s/4 VA Grafische oorstelling an nieaueramelingen /e /e.. f (, ) = (4 + )e De nieauerameling op nieau. bestaat uit twee gesloten krommen. De nieauerameling op nieau bestaat uit twee gesloten krommen. De nieauerameling op nieau /e bestaat uit twee gesloten krommen die elkaar snijden. De nieauerameling op nieau 4/e bestaat uit punten. 5 s/5 VA
Hoogtelijnen Juancho E. Yrausquin Airport (Saba) Een hoogekaart is een kaart waarop de grafiek an de hoogte (als functie an de plaats) is afgebeeld met behulp an nieaueramelingen. Dee nieaueramelingen heten hoogtelijnen. Hoogtelijnen erbinden punten an gelijke hoogte. Hoe dichter hoogtelijnen bij elkaar liggen, des te steiler is het gebied. Het liegeld (lengte: 4 m) is een oorbeeld an een nieauerameling die geen kromme is. Isobaren 6 VA s/6 Isobaren erbinden punten an gelijke luchtdruk. Hoe dichter isobaren bij elkaar liggen, des te harder het waait. 7 VA s/7
Kleurtoon (hue)..4.6.8 Gebruik de kleurtoonschaal om aan iedere functiewaarde een kleur toe te kennen. Nieaueramelingen worden isochromen: eramelingen punten met deelfde kleur. 8 s/8 VA Electrische dipolen r r q q l l Een electrische dipool bestaat uit twee tegengestelde ladingen q en q op een onderlinge afstand l. We plaatsen de lading q op het punt (l/, ) en de lading q op het punt ( l/, ). De potentiaal in een punt wordt gegeen door U dip () = q ( ), 4πε r r waarbij r de afstand an q tot is, en r de afstand an q tot. 9 ed/ VA
Electrische dipolen De potentiaal is eenredig met het scalareld f () = f (, ) = r r = ( ) l, ( ) l, = ( ) l + ( ). + l + q q 3 ed/ VA Equipotentiaallijnen q q De nieaueramelingen an een potentiaalfunctie heten equipotentiaallijnen. Voor een electrische dipool bestaan de equipotentiaallijnen uit gesloten krommen om ( l, ) of ( l, ). De equipotentiaallijn bij potentiaal is de erticale lijn =. 3 ed/3 VA
Nieaukrommen Voorbeeld..4 Bepaal de nieaukrommen an f (, ) =. Methode : Probeer de nieaukrommen te beschrijen als grafiek an een functie: dat wil eggen, los op uit f (, ) = c: = c, = c, = ± c. c De nieaukrommen ijn samengesteld uit twee grafieken an de functies g() = c en h() = c. 3 s/ VA Nieaukrommen 4 4 4 4 Stel c =, dan ijn g() = + en h() = + gedefinieerd oor iedere R. Stel c =, dan ijn g() = en h() = gedefinieerd oor alle > en <. Stel c =, dan ijn g() = en h() = gedefinieerd oor iedere R. 33 s/ VA