Discrete dynamische systemen

Cahiers T 3 Europe Vlaadere r. 19 Discrete dyamische systeme Recursievergelijkige met de TI-84 Joha Deprez

Discrete dyamische systeme Joha Deprez HUBrussel, Uiversiteit Atwerpe, Katholieke Uiversiteit Leuve Ihoud 1. Ileidig. Met adere oge kijke aar ee klassieker 3. Medicijspiegel a. Evolutie va de hoeveelheid medicij i het bloed b. Evewicht e limietwaarde c. Expliciete vergelijkig d. Algemee oplossig va de recursievergelijkig e. Ee alteratieve grafische voorstellig 4. Ee discreet, dyamisch marktmodel 5. Lieaire recursievergelijkige va de eerste orde met costate coëfficiëte e costat rechterlid 6. Oefeige 7. Matrixmodelle e stelsels va gekoppelde homogee lieaire recursievergelijkige va de eerste orde 8. Ee lieaire recursievergelijkig va de tweede orde met costate coëfficiëte e costat rechterlid 9. Groei va de bevolkig va de VS a. Opstelle va ee model b. Logistische groei: verloop 10. Limietgedrag bij iet-lieaire recursievergelijkige a. Limietgedrag bij de recursievergelijkig t = a t 1 (1 t 1 ) b. Limietgedrag bij de logistische recursievergelijkig 1

1. Ileidig Discrete dyamische systeme I de afgelope dertig jaar heeft het wiskudeoderwijs i Vlaadere grodige veraderige odergaa. Eé va die veraderige is de grotere aadacht voor toepassige va wiskude i adere domeie. Ee situatie die daarbij vaak voorkomt, is het beschrijve va ee grootheid, zeg x, die tijdsafhakelijk is. Wiskudige modelle die dergelijke tijdsafhakelijke feomee beschrijve, zij dyamische modelle. Bij discrete dyamische modelle wordt de tijd opgevat als ee discrete veraderlijke, d.w.z. dat de tijd allee gehele waarde aaeemt, bv. 0, 1,, 3,... De grootheid x eemt da waarde x 0, x 1, x, x 3,... aa, m.a.w. de evolutie va de grootheid wordt beschreve door ee rij va getalle. Bij het opstelle va wiskudige modelle vertrekt me vaak iet va de veraderlijke grootheid zelf, maar va iformatie over de maier waarop die grootheid veradert, d.w.z. va x1 x0, x x1, x3 x,... Op basis va deze iformatie moet me da achteraf de gepaste rij probere te vide. Bij de groei va ee populatie ka me bijvoorbeeld vertrekke va de hyposthese dat de groei everedig is met de grootte va de populatie, d.w.z. dat x x 1 = kx 1 voor alle 1, waarbij k ee (al da iet geked) getal is. Ee equivalete vorm is x = ( 1+ k) x 1. We zie dat de hypothese wiskudig uitgedrukt wordt door ee recursievergelijkig. De rije die voldoe aa deze recursievergelijkig zij de meetkudige rije met rede 1 + k. Wiskudig modellere komt i het discrete geval vaak eer op het opstelle va ee gepaste recursievergelijkig, het oplosse va deze recursievergelijkig e het bestudere va het verloop va de oplossig. Dat is wat we i dit cahier zulle doe. We zulle voor ee aatal feomee uit de realiteit ee recursievergelijkig opstelle, oplosse e het verloop va de oplossig(e) bestudere. Nu e da zulle we ook recursievergelijkige e het verloop va hu oplossige bestudere zoder verwijzig aar ee cocreet feomee uit de realiteit. Daarom hebbe we i de titel va dit cahier de eutralere term discrete dyamische systeme gebruikt i.p.v. discrete dyamische modelle. We zulle i dit cahier merke dat de TI-84 bijzoder goed overweg ka met recursievergelijkige e rije. Ook als we de recursievergelijkig aalytisch iet kue oplosse, kue we de oplossig bestudere m.b.v. de rekemachie. Vooral i de tweede helft va het cahier lere we de rekemachie als ee omisbare bodgeoot kee. We kome hier bij ee tweede grote veraderig i het wiskudeoderwijs, amelijk de groeiede rol va elektroische hulpmiddele i de hade va de leerlige. Het feit dat computers e rekemachies goed met recursievergelijkige overweg kue, is ee va de redee waarom dit oderwerp (iet allee i het oderwijs, maar ook i het weteschappelijk oderzoek) de laatste deceia meer aadacht krijgt. Bij cotiue dyamische modelle worde gewoe fucties x (t) gebruikt i.p.v. rije e worde de recursievergelijkige vervage door differetiaalvergelijkige. Die drukke ee verbad uit tusse ee gewoe fuctie e haar afgeleide(). Voor leerlige uit het secudair oderwijs zij differetiaalvergelijkige coceptueel ee stuk moeilijker da recursievergelijkige. Ook het oplosse is moeilijker, althas i het begi. Daarom is het mider evidet om leerlige uit het secudair oderwijs keis te late make met wiskudig modellere i het cotiue geval. Eidterme e leerplae Eé va de eidterme wiskude voor aso (decretale specifieke eidterm ummer 18 om precies te zij; allee va toepassig voor studierichtige met pool wiskude) draagt als titel discrete wiskude e luidt als volgt: De leerlige kue telprobleme of probleme met betrekkig tot discrete veraderigsprocesse wiskudig modellere e oplosse. 3

Telprobleme worde va oudsher behadeld i os oderwijs. Het adere oderwerp uit de eidterm, discrete veraderigsprocesse, was ieuw. I de leerplae voor het gemeeschapsoderwijs e die va het oderwijs va de stede e gemeete blijft de discrete wiskude beperkt tot de telprobleme (wat perfect ka weges de of i de eidterm). I het vrij oderwijs heeft me er voor geopteerd om het ieuwe oderwerp discrete veraderigsprocesse op te eme bij de verplichte leerstof voor de 6-urecursus. De doelstellige i dat verbad zij: De leerlige kue de covergetie of divergetie va ee rij met voorbeelde illustrere. (DI1) De leerlige kue limiete va eevoudige rije bepale. (DI) De leerlige kue probleme met betrekkig tot discrete veraderigsprocesse wiskudig modellere e oplosse. (DI3) Er is i de 6-urecursus daaraast ook ee keuzeoderwerp iteratie voorzie dat hier heel auw bij aaleut. Discrete veraderigsprocesse e/of iteratie kome ook voor als keuzeoderwerp i adere leerplae voor het vrij oderwijs (4-uurscursus, sommige leerplae uit tso/kso). Het oderwerp is bovedie ook bruikbaar voor vrije-ruimte-doeleide of als facultatieve uitbreidig. Basis e uitbreidig De ker va dit cahier bestaat uit de paragrafe t.e.m. 6. Hieri behadele we de meest eevoudige discrete dyamische systeme, amelijk deze die beschreve worde door lieaire recursievergelijkige va de eerste orde met costate coëfficiëte e costat rechterlid, d.w.z. recursievergelijkige va de vorm x = ax 1 + b, met a e b reële getalle. I de paragrafe, 3 e 4 behadele we alle basisbegrippe e -eigeschappe a.d.h.v. ee aatal voorbeelde. I paragraaf 5 vatte we al oze bevidige same e formulere we ze i algemee terme. Paragraaf 6 sluit dit deel af met oefeige waarmee het geleerde verwerkt ka worde. De volgede paragrafe vorme uitbreidige va dit basismateriaal. Ze staa los va elkaar e kue dus oafhakelijk va elkaar gebruikt worde. I paragraaf 7 verhoge we de dimesie va éé aar twee (of meer): we gaa over va éé recursievergelijkig (die éé rij beschrijft) aar ee stelsel va twee (of meer) gekoppelde recursievergelijkige (dat twee of meer rije tegelijk beschrijft). Hoewel dit beteket dat de materie igewikkelder wordt, kome we hiermee vreemd geoeg toch op terrei dat relatief beked is i het secudair oderwijs. Bij matrices worde dergelijke meerdimesioale discrete dyamische systeme immers vaak behadeld, zoder evewel die aam te gebruike. Ee voorbeeld zij de zogeaamde Lesliemodelle, waarbij de evolutie va ee populatie bestudeerd wordt, gestructureerd volges leeftijd. I paragraaf 7 werke we dit verder uit, maar da wel a.d.h.v. ee voorbeeld waarbij de overgagsmatrix ee migratiematrix is. I paragraaf 8 kere we terug aar dimesie éé, maar verhoge we de orde va de recursievergelijkig. Dat beteket dat we os i het rechterlid iet beperke tot de omiddellijk voorafgaade term, maar dat ook terme voorkome die verder teruggaa i de rij. We bespreke ee voorbeeld, amelijk de recursievergelijkig t = t 1 + t, die de rij va Fiboacci beschrijft. Deze paragraaf is los va de voorgaade paragraaf te behadele (op ee klei oderdeeltje a, dat je da weg kut late). I paragraaf 9 late we het lieaire karakter va de recursievergelijkig los. Ook hier behadele we éé voorbeeld, amelijk de recursievergelijkig die (discrete) logistische groei beschrijft. We stelle i deze paragraaf ee wiskudig model op voor de groei va de bevolkig va de Vereigde State. Paragraaf 9 staat volledig los va de voorgaade twee paragrafe. Paragraaf 10.b ka gezie worde als ee vervolg op paragraaf 9. Het limietgedrag va lieaire recursievergelijkige is zeer overzichtelijk, maar daardoor wat saai. Nietlieaire recursievergelijkige hebbe wat dat betreft veel meer verrassige i petto. Deze opwidede wereld verkee we i paragraaf 10. We doe dat voor twee voorbeelde (die ogal gelijkloped zij). I deze paragraaf zie we hoe de typische oderwerpe die met iteratie verbode zij (aatrekkede e afstotede vaste pute,...) opduike bij discrete dyamische systeme. Paragraaf 10.a staat volledig los va de voorgaade paragrafe. I paragraaf 10.b wordt het limietgedrag oderzocht va de logistische 4

recursievergelijkig. Ook deze paragraaf staat los va de voorgaade paragrafe, al is het atuurlijk wel leuker als je de leerlige eerst verteld hebt waar deze recursievergelijkig vadaa komt (bijvoorbeeld a.d.h.v. paragraaf 9). Ee compilatie Veel T 3 -cahiers worde a hu otstaa als cursustekst bij T 3 -sessies gebruikt. Met dit cahier is het eerder omgekeerd gegaa. Ik heb i de afgelope jare les gegeve over dit oderwerp aa studete, er verschillede workshops, lezige,... voor wiskudelerare over gegeve, e er (soms same met adere) tekste rod geschreve. Het T 3 -cahier is ee compilatie va het materiaal dat bij die gelegehede gemaakt is. I de bibliografie vid je ee overzicht va dit materiaal, dat i tekstvorm of oder de vorm va slides beschikbaar is ([], [4-13]). Je zal i dit cahier dus materiaal aatreffe dat i het verlede al verspreid is. Nu is het verwerkt tot éé samehaged geheel. E atuurlijk zij sommige dele toch og ieuw uitgewerkt voor dit cahier. I.v.m. het gebruik va de TI-84 We make i dit cahier gebruik va de TI-84 Plus. We veroderstelle dat het basisgebruik va de rekemachie geked is. Wat specifiek is voor het werke met rije e recursievergelijkige legge wel uit. We zij uitgegaa va ee machie die aa het begi va het cahier ee reset odergaa heeft.. Met adere oge kijke aar ee klassieker De klassieker... I het Vlaamse wiskudeoderwijs is het volgede probleem (of variate hierva) beked: Voor de aaleg va ee brug over ee spoorweg moet zad aagevoerd worde. Op de plaats waar het zad gewoe wordt, is er ee kleie vijver va 900 m, die door de graafwerke vergroot wordt. Me wil er ee grote vijver va make die diest zal doe voor waterrecreatie. Elke week wordt de vijver 150 m groter. Bij het begi va de werke merkt ee arbeider va de graaffirma op dat ee bepaalde soort waterplate 8 m va de oppervlakte va de vijver ieemt. Tijdes de volgede weke blijkt deze oppervlakte elke week met ee kwart (va de oppervlakte die op dat ogeblik reeds igeome is) toe te eme. De arbeider maakt zich ogerust e merkt op dat hier iets aa gedaa moet worde. De vijver zal aders vlug volledig overdekt zij met waterplate. Maar zij baas ziet voorlopig gee gevaar: "De vijver wordt toch elke week 150 m groter." Wie heeft gelijk: de arbeider of zij baas? Het probleem wordt gewoolijk opgelost m.b.v. fucties. Als we de oppervlakte va de vijver (i m ) voorstelle door V e de tijd (i weke, vaaf het ogeblik dat de vijver 900 m groot is) door t, da wordt de groei va de oppervlakte va de vijver beschreve door de eerstegraadsfuctie met vergelijkig V = 900 + t 150. De groei va de waterplate wordt beschreve door de expoetiële fuctie met t vergelijkig W = 8 1. 5, waarbij W de oppervlakte voorstelt die igeome is door de waterplate. Met behulp va ee tabel of de grafieke va deze fucties vide we da al sel dat de arbeider gelijk heeft. 5

I deze aapak bekijke we de tijd als ee cotiue veraderlijke, d.w.z. dat de tijd hier alle (positieve) reële waarde ka aaeme, iet allee gehele waarde. We gebruike het woord cotiu hier zoals dat i de toegepaste wiskude e de statistiek gebruikelijk is. Het gaat over de cotiuïteit va ee veraderlijke, iet over de cotiuïteit va ee fuctie.... met adere oge bekeke Bij ader izie is het toch iet helemaal evidet dat we dit doe. I de opgave staat bijvoorbeeld dat de vijver elke week 150 m groter wordt. We krijge dus allee iformatie over de toeame over ee gehele week. Hoe de groei i de loop va de week verloopt, vide we iet terug i de opgave. De eerstegraadsfuctie die we gebruike om de groei va de vijver te modellere, doet daaretege uitschije dat de groei volkome regelmatig verloopt: elke dag, elk uur, elke miuut,... groeit de oppervlakte va de vijver eve sel. Dat zal i de realiteit atuurlijk iet het geval zij. Dek maar aa het verschil tusse weekdage e weeked, aa dag e acht, aa luchpauzes,... De eerstegraadsfuctie geeft dus gee volledig correcte weergave va wat i de realiteit gebeurt. Nu is dat atuurlijk eige aa het gebruik va ee wiskudig model, dat omwille va de eevoud de realiteit steeds slechts bij beaderig weergeeft. Maar de kwestie wijst os i dit geval wel de weg aar discrete modelle voor de groei va de vijver e de waterplate. Groei va de vijver We beschouwe de tijd u als ee discrete veraderlijke. We late de tijd u dus allee (positieve) gehele waarde aaeme. Om dat te beadrukke, gebruike we de letter i.p.v. t. Dus: is het aatal weke a het begitijdstip. Met V geve we de oppervlakte va de vijver (i m ) weer weke a het begitijdstip. Het gegeve dat de oppervlakte i het begi 900 m bedraagt, geve we i formulevorm weer als ee begivoorwaarde V 0 = 900. Het gegeve dat de oppervlakte elke week met 150 m recursievergelijkig toeeemt, ka vertaald worde i de V = V 1 +150, die geldt voor alle 1 i N. De begivoorwaarde e recursievergelijkig bepale de rekekudige rij met algemee term V = 900 + 150 of, i meer gebruikelijke schrijfwijze: V = 900 + 150. De rekekudige rij is ee discreet wiskudig model va de groei va de vijver. Berekeige op het basisscherm Met behulp va de grafische rekemachie kue we de opeevolgede waarde voor de oppervlakte va de vijver gemakkelijk geerere op het basischerm door te steue op de begiwaarde e de recursievergelijkig. We begie met het igeve va de begiwaarde V 0 : 6

Het lijkt op het eerste gezicht wat vreemd om dit te doe, maar dadelijk zal blijke dat deze start wel degelijk erg uttig is. Nu late we de rekemachie 150 optelle bij de begiwaarde, wat os V 1 geeft. De As hoeve we iet zelf i te type. De rekemachie voegt dit i zodra we het plusteke itoetse. Bij de berekeig wordt As vervage door het laatst berekede atwoord, dat hier 900 is. Als we u [ENTER] drukke zoder ee ieuwe ivoer op te geve, wordt het laatst igegeve commado opieuw uitgevoerd. We telle dus 150 op bij het laatst berekede atwoord (u 1050, e iet meer 900!). Zo vide we dus V. Als og herhaaldelijk [ENTER] drukke, wordt het commado steeds opieuw uitgevoerd, met telkes het resultaat va de vorige berekeig i de rol va As. Zo krijge we dus V 3, V 4, V 5,... Groei va de waterplate De gegeves over de groei va de waterplate kue we vertale i de begivoorwaarde e recursievergelijkig W 0 = 8 e W = W 1 1. 5, die de meetkudige rij met algemee term W = 8 1. 5 bepale. Hierbij stelt W de oppervlakte (i m ) voor die igeome wordt door de waterplate weke a het begitijdstip. Tabel e grafiek Ook va deze discrete modelle kue we m.b.v. de grafische rekemachie ee tabel e grafiek make. We moete de machie daarvoor eerst i SEQ-modus zette: druk [MODE], verplaats de cursor met de pijltjes aar SEQ op de vierde lij e druk [ENTER] om de istellig va FUNC te veradere i SEQ. 7

I SEQ-modus ziet het Y=-scherm er aders uit: i plaats va ruimte voor 10 fucties, is er ruimte voor drie rije, met stadaardbeamige u, v e w. Omdat de v e w passe bij de beamige die we de veraderlijke gegeve hebbe, make we gebruik va deze twee rije. We geve aa dat de begiterm va de rij ragummer 0 heeft door Mi gelijk te stelle aa 1. Bij v e w geve we de algemee term i, zoals op oderstaade schermafdruk te zie is. Het symbool krijg je door de toets [X,T,θ,] te gebruike. Deze toets heeft dus ee ader effect i SEQ-modus da i FUNC-modus! Bemerk de schrijfwijze die door de rekemachie gehateerd wordt: V e W worde geoteerd als v() e w(), dus met haakjes i.p.v. met ee oderidex. Voor de begiwaarde v(mi) e w(mi) mag je iets ivulle. We make ee tabel door via [d] [TBL SET] goede istellige i te geve e [d] [TABLE] te drukke. Nu wille we de grafieke late make. We merke dat ook het WINDOW-vester gewijzigd is. Aagezie het ragummer uitgezet wordt op de horizotale as geve we voor Mi e Max mi of meer hetzelfde i als voor XMi e XMax (we zulle i ee va de volgede paragrafe ee grafische voorstellig va ee rij zie waarbij het va belag is dat we wel iets verschilleds kue ivulle). We zie beide grafieke op de oderstaade schermafdruk rechts. 8

Recursievergelijkig e grafiek We hebbe de grafiek gemaakt door i het Y=-scherm de algemee term i te geve. Het ka ook door gebruik te make va de recursievergelijkig e begivoorwaarde. Dat zie je i de oderstaade schermafdrukke (de accolades rod de begiwaarde worde automatisch door de rekemachie geplaatst e hoef je dus iet i te geve). De symbole v e w moet je igeve m.b.v. de kleie letter v e w die je vidt liksbove de toetse [8] e [9], dus via [d] [v] e [d] [w] e iet via [ALPHA] [V] e [ALPHA] [W]. Gelijkmatig e verseld stijge Tot slot va deze paragraaf staa we er og eve bij stil hoe we de uitkomst va dit vraagstukje kue begrijpe e i verbad kue brege met het verloop va beide rije. Beide oppervlaktes eme toe, wat beteket dat beide rije stijged zij. De oppervlakte va de vijver eemt gelijkmatig toe, elke week eve veel. De rij die de evolutie va de oppervlakte va de vijver beschrijft, is gelijkmatig stijged. De adere rij eemt iet gelijkmatig toe. De verschille tusse opeevolgede terme worde steeds groter. De oppervlakte va de waterplate eemt dus steeds seller toe. Het gaat over ee verseld stijgede rij. Dat verklaart waarom de oppervlakte va de waterplate de oppervlakte va de vijver uiteidelijk ihaalt, ook al loopt de oppervlakte va de waterplate aavakelijk meer e meer achterstad oploopt. 3. Medicijspiegel a. Evolutie va de hoeveelheid medicij i het bloed I het voorgaade voorbeeld werde rekekudige e meetkudige rije herhaald i de cotext va lieaire e expoetiële groei. Teves werd aagegeve hoe je met rije omgaat met de grafische rekemachie. We leerde de [ANS]-toets gebruike i combiatie met de recursieve vergelijkig om terme va de rij te berekee op het basisscherm. We toode hoe je ee tabel e grafiek va ee rij kut make vertrekked va de algemee term of va de recursievergelijkig e begivoorwaarde. Nu werke we met ee voorbeeld waari de recursievergelijkig wat igewikkelder is. We doe dit a.d.h.v. ee werktekst. De atwoorde op de vrage vid je i cursief tusse de vrage. De werktekst zoder de atwoorde vid je i WORD-formaat op de T 3 -website. Natuurlijk hoef je deze leerstof iet per se i de vorm va ee werktekst te behadele e ka je de werktekst ook gerust gebruike als ispiratie voor ee oderwijsleergesprek hierover. 9

Medicijspiegel Bij Jelle wordt ee lagdurige ziekte vastgesteld. Hij moet hiervoor ee bepaald medicij ieme. Eé dosis bevat 1500 mg va de werkzame stof. Kort a de iame is de werkzame stof volledig opgeome i het bloed. Gedurede de volgede dage verdwijt ze lagzaam uit het bloed: elke dag vermidert de hoeveelheid werkzame stof i het bloed met 5%. 1. Noem h de hoeveelheid werkzame stof i het bloed dage a de iame. Geef ee recursievergelijkig met begivoorwaarde voor de rij h 0, h 1, h,... Over welk type va rij gaat het? Bereke de hoeveelheid werkzame stof i het bloed a 1,, 3,..., 10 dage. Maak ook ee grafiek va de rij. Geef tot slot de algemee term. (De begivoorwaarde is h 0 = 1500 e de recursievergelijkig is h = 0.75h 1. Het gaat over ee meetkudige rij. De hoeveelheid werkzame stof i het bloed a 1,, 3,..., 10 dage wordt getood i de oderstaade schermafdrukke: De oderstaade schermafdrukke toe de grafiek. De algemee term va de rij is h = 1500 0. 75.) Natuurlijk volstaat het iet dat Jelle éé keer ee dosis va het medicij ieemt. Hij zal gedurede ee aatal maade elke dag ee dosis moete ieme. Nu worde er dus twee feomee met elkaar gecombieerd: tusse twee iames door verdwijt ee gedeelte va de werkzame stof geleidelijk uit het bloed e bij de iame va ee ieuwe dosis loopt de hoeveelheid werkzame stof i het bloed op korte tijd zeer sel op. Noem H de hoeveelheid werkzame stof i het bloed dage a de eerste iame, et a de iame va ee ieuwe dosis. 10

. Bepaal H 0, H 1 e H. (Het is duidelijk dat H 0 = 1500. Tijdes de dag die volgt op de eerste iame eemt de hoeveelheid werkzame stof i het bloed af tot 0.75 1500 mg = 115 mg. Da eemt Jelle ee ieuwe dosis va het medicij, waardoor de hoeveelheid werkzame stof i zij bloed op zeer korte tijd met 1500 mg toeeemt tot 65 mg. Zo vide we dat H 1 = 65. De tweede dag evolueert de hoeveelheid werkzame stof i het bloed op dezelfde maier: eerst ee geleidelijke afame tot 75% va de oorsprokelijke hoeveelheid e daara ee zeer selle toeame met 1500 mg zodat H = 0.75 65 + 1500 3468. 75.) = 3. Geef ee recursievergelijkig va de rij H 0, H 1, H,... (De recursievergelijkig is H = 0.75 H 1 + 1500. Bemerk dat deze recursievergelijkig gezie ka worde als ee combiatie va de recursievergelijkig va ee rekekudige rij e die va ee meetkudige rij: we vermeigvuldige de voorgaade term steeds met eezelfde getal e telle er daara telkes eezelfde getal bij op.) 4. Oderzoek de evolutie va de hoeveelheid werkzame stof i het bloed. (We toe verschillede maiere om de evolutie te oderzoeke. Je ka bijvoorbeeld terme va de rij geerere op het basisscherm. De likse schermafdruk toot de start. De rechtse toot de hoeveelheid werkzame stof i het bloed a ogeveer ee maad. Ee adere mogelijkheid is het make va ee tabel: De oderstaade schermafdrukke toe de grafiek: We stelle vast dat de rij stijged is. De toeames eme echter stelselmatig af. Daarom spreke we over ee vertraagd stijgede rij. Op lagere termij blijkt de hoeveelheid werkzame stof i het bloed te stabilisere rod 6000 mg. De rij heeft dus limietwaarde 6000.) 5. We hebbe Jelle bij het begi va de kuur éé dosis va het medicij late ieme. Hoe evolueert de hoeveelheid werkzame stof als Jelle bij het begi va de kuur iees twee, drie, 11

vier, vijf,... dosisse ieemt? Allee de dosis op de eerste dag veradert; de volgede dage eemt hij gewoo éé dosis i. (De oderstaade schermafdruk toot het verloop als Jelle bij het begi of 3 dosisse ieemt: We stelle vast dat het verloop iet drastisch wijzigt: de rij is og steeds vertraagd stijged e de limietwaarde blijft 6000. Allee de begiwaarde veradert i 3000, respectievelijk 4500. De limietwaarde lijkt oafhakelijk te zij va de begiwaarde. Hieroder zie we het verloop waeer Jelle de eerste dag 5 dosisse ieemt: Het verloop is u vertraagd daled. Ook u blijft de limietwaarde 6000. De laatste schermafdruk toot het verloop waeer Jelle de eerste dag 4 dosisse ieemt: I dit geval blijft de hoeveelheid werkzame stof i het bloed costat. We kue dit ook gemakkelijk begrijpe: op éé dag verdwijt er 5% va de 6000 mg werkzame stof uit het bloed e dat is precies gelijk aa de hoeveelheid die er op het eide va de dag bijkomt door de iame va ee ieuwe dosis. Er is hier m.a.w. sprake va ee evewicht tusse de twee processe. We kue u ook beter het verloop begrijpe i de adere gevalle. Zolag de hoeveelheid werkzame stof i het bloed kleier is da 6000 mg, verdwijt er i de loop va de dag mider medicij uit het bloed da er bijkomt door de ieuwe iame. De hoeveelheid werkzame stof i het bloed eemt daardoor dag a dag toe. Naarmate de hoeveelheid medicij i het bloed echter 1

dichter adert tot 6000 mg, wordt het verschil kleier tusse wat uit het bloed verdwijt e wat igeome wordt. Als de hoeveelheid werkzame stof i het bloed groter is da 6000 mg, verdwijt er i de loop va de dag meer medicij uit het bloed da er bijkomt door de ieuwe iame, waardoor de hoeveelheid werkzame stof i het bloed dus kleier wordt.) b. Evewicht e limietwaarde Evewicht e limietwaarde, rol va de begiwaarde I de werktekst stelde we vast dat, wat de begiwaarde ook is, de hoeveelheid werkzame stof i het bloed a verloop va tijd ageoeg gelijk wordt aa de evewichtswaarde. Als de begiwaarde iet gelijk is aa 6000, zal gee ekele term i de rij exact gelijk zij aa 6000, maar het verschil wordt zo klei dat het i de praktijk gee belag meer heeft. Daarom zegge we dat de hoeveelheid werkzame stof i het bloed aar ee evewicht evolueert. Stabiel evewicht Veroderstel dat iemad het medicij al heel lag ieemt. We moge er m.a.w. va uitgaa dat de evewichtssituatie bereikt is. Neem aa dat hij op ee bepaalde dag vergeet het medicij i te eme. Of dat hij ee bepaalde dag twee dosisse ieemt. Vaaf de volgede dag eemt hij opieuw getrouw de dagelijkse portie i. Da zal de hoeveelheid werkzame stof i het bloed terug evoluere aar het evewicht. Met adere woorde: als het systeem eerst i evewicht is e daara uit evewicht gebracht wordt, da keert het terug aar de evewichtssituatie. We spreke daarom over ee stabiel evewicht. Dyamisch evewicht We zoude kue deke dat er i de evewichtssituatie iets meer veradert. Dat is echter iet het geval. Itegedeel, i de loop va de dag verdwijt er og altijd ee gedeelte va de werkzame stof uit het bloed e bij de iame va de volgede dosis schiet de hoeveelheid werkzame stof i het bloed plots weer omhoog. Allee is het zo dat er eveveel bijkomt als er verdwijt, amelijk 1500 mg. Het zij dus iet dezelfde molecule werkzame stof die i het bloed blijve, maar allee de hoeveelheid medicij i het bloed blijft gelijk (temiste i het discrete model, zie verder). We zegge daarom dat er sprake is va ee dyamisch evewicht. Berekee va het evewicht (e de limietwaarde) Het evewicht ka op de volgede maier sel bereked worde. We zoeke ee getal E waarvoor geldt dat de (costate) rij met algemee term H = E voldoet aa de recursievergelijkig H = 0.75H 1 + 1500. Ivulle geeft dat E moet voldoe aa de evewichtsvergelijkig E = 0.75E + 1500. Hieruit vide we gemakkelijk dat E = 6000. Veroderstel u dat het evewicht bij ee adere (bv. zwaardere) persoo op 7500 mg moet ligge. We kue dat probere te bereike door de dagelijkse dosis aa te passe. De evewichtsvergelijkig wordt u E = 0. 75E + d, waarbij d de dagelijkse dosis is. Met E = 7500 vide we d = 1875. Ee adere mogelijkheid zou er i kue bestaa te zorge voor ee vertraagde uitscheidig. Da kue we de dagelijkse dosis evetueel behoude. Met p het percetage werkzame stof dat dagelijks uit het bloed verdwijt, wordt de evewichtsvergelijkig da Met E = 7500 geeft dit p = 0. p E = 1 E + 1500. 100 13

Limietwaarde oafhakelijk va de begiwaarde I het voorbeeld va de medicijspiegel stelle we vast dat de limietwaarde gelijk is aa de evewichtswaarde. De evewichtswaarde kue we berekee uit de evewichtsvergelijkig. I de evewichtsvergelijkig speelt de begiwaarde va de rij gee rol. De evewichtsvergelijkig is uitsluited gebaseerd op de recursievergelijkig. Dat verklaart waarom de limietwaarde oafhakelijk is va de begiwaarde. Evewicht? I het geval va begiwaarde 6000 hebbe we vastgesteld e beredeeerd dat er ee evewicht optreedt. Dat is echter allee het geval i het discrete model. I dat discrete model beschrijve we de hoeveelheid werkzame stof i het bloed omiddellijk a de iame (e opame i het bloed) va ee ieuwe dosis. Tusse twee iames door daalt de hoeveelheid werkzame stof i het bloed telkes. I het oderstaade cotiue model va de situatie bij evewicht is deze tussetijdse dalig mee opgeome: 6000 0.75 6000 0.75 f ( t) = 6000 0.75... t t 1 t als 0 t < 1 als1 t < als t < 3 We geve eerst wat techische uitleg i.v.m. het igeve va de vergelijkig va de fuctie. Je merkt dat er iet met éé fuctie gewerkt wordt maar met verschillede fucties. Dat is iet zo essetieel, maar wel hadig. Zo hoeve we de ogelijkhede immers slechts éé keer i te type. Late we u kijke aar de eerste fuctie die igegeve is. Je merkt dat er twee keer gedeeld wordt door ee ogelijkheid. Het itype va het ogelijkheidsteke gebeurt via [d] [TEST] TEST. Ee dergelijke ogelijkheid ka op de TI-84 twee waarde aaeme, afhakelijk va de waarde va t. Voor t-waarde waarvoor de ogelijkheid klopt, wordt de ogelijkheid vervage door 1 e voor t-waarde waarvoor de ogelijkheid iet klopt door 0. Het resultaat is dat we dele door 1 voor t-waarde met 0 t < 1 e door 0 aders. Voor t-waarde met 0 t < 1 krijge we dus gewoo de fuctiewaarde. Voor adere t-waarde is de fuctiewaarde iet bepaald. Herier je dat het woord cotiu i de cotext va wiskudige modelle op ee adere maier gebruikt wordt da bij de studie va fucties: het cotiue wiskudige model f is gee cotiue fuctie! De afame tijdes de dag wordt gemodelleerd a.d.h.v. ee dalede exapoetiële fuctie e de zeer selle opame va de ieuwe dosis i het bloed door ee sprog i de grafiek. I de oderstaade schermafdrukke is de zeer selle opame aders gemodelleerd, amelijk door ee zeer steil lijstuk. De resulterede fuctie is u wel cotiu. 14

Als we de dalig mee wille modellere, hoeve we iet per se ee beroep te doe op ee cotiu model. We kue atuurlijk ook werke met ee discreet model met ee kleiere tijdstap. c. Expliciete vergelijkig Expliciete vergelijkig We zoeke ee expliciete vergelijkig voor de rij uit i fuctie va H 0 : H 1 = 0.75 H 0 + 1500 H H 3 = 0.75 H = 0.75 (0.75 H = 0.75 = 0.75 1 H = 0.75 H + 1500 0 = 0.75 (0.75 3 H H. De volgede uitdrukkige drukke de eerste terme va 0 + 1500) + 1500 + (0.75 + 1) 1500 + 1500 0 H 0 + (0.75 + (0.75 + 1) 1500) + 1500 + 0.75 + 1) 1500 Het patroo i deze uitdrukkige leidt tot de volgede formule voor H : 1 H = 0.75 H + (0.75 + 0.75 +... + 0.75 + 1) 1500. 0 Met behulp va de formule voor de som va ee meetkudige rij kue we de som tusse de haakjes eevoudiger schrijve: Uitwerkig hierva geeft: Met H 0 = 1500 vide we tot slot: 1 0.75 H = 0.75 H 0 + 1500. 1 0.75 H = ( H 0 6000) 0.75 + 6000. H = 4500 0.75 + 6000. De grafiek verklaard I de voorgaade paragrafe hebbe we het verloop va deze rij kue vaststelle a.d.h.v. de grafiek. Met behulp va de uitdrukkig die we u gevode hebbe, kue we het verloop va de rij u ook begrijpe: De rij t = 0. 75 ket ee vertraagd daled verloop, met begiwaarde 1 e limietwaarde 0. 15

Toevoege va de factor 4500 beteket dat we de grafiek eerst moete spiegele t.o.v. de horizotale as e daara verticaal moete uitrekke met factor 4500 (waarbij we atuurlijk de schaal op de verticale as aapasse). De begiwaarde is 4500, de limietwaarde blijft 0 e de rij verloopt u vertraagd stijged. Als we te slotte de term 6000 toevoege, moet de grafiek over 6000 eehede omhoog schuive. Begiwaarde e limietwaarde verhoge met 6000 tot 1500 e, respectievelijk, 6000. Het vertraagd stijgede verloop blijft behoude. d. Algemee oplossig va de recursievergelijkig Algemee oplossig Om de evolutie va de hoeveelheid medicij i het bloed te kee waeer de begiwaarde ee ader getal da 1500 is, hoeve we i H = ( H 0 6000) 0.75 + 6000 voor H 0 ekel dat adere getal i te vulle. Voor elke begiwaarde krijge we ee adere rij. Het eige wat veradert, is de coëfficiët va 0.75. Alle rije die we op deze maier vide, hebbe ee expliciete vergelijkig va de vorm H = C 0.75 + 6000, waarbij C ee getal voorstelt. De waarde va C hagt af va de begiwaarde: C = H 0 6000. Sommige waarde va C correspodere met ee egatieve begiwaarde of met ee orealistisch hoge begiwaarde e kue dus iet de evolutie va de hoeveelheid medicij i het bloed voorstelle. Maar puur wiskudig gezie voldoe al deze rije aa de recursievergelijkig, wat ook de waarde va C is. Het zij m.a.w. allemaal oplossige va de recursievergelijkig. De recursievergelijkig heeft dus oeidig veel oplossige. Omdat we al deze oplossige kue voorstelle d.m.v. éé formule spreke we over de algemee oplossig (i het ekelvoud!) va de recursievergelijkig. Elke oplossig met ee cocrete waarde va C oeme we ee particuliere oplossig va de recursievergelijkig. 16

Verloop va de algemee oplossig Het verloop va de algemee oplossig kue we op ee gelijkaardige maier vide als dat va de particuliere oplossig i de vorige paragraaf. Het startput va de redeerig is hetzelfde: de rij begiwaarde 1 e limietwaarde 0. t = 0. 75 ket ee vertraagd daled verloop, met Nu voege we de factor C toe. Het effect daarva hagt af va de waarde va C. We moete de grafiek verticaal vermeigvuldige met factor C. Naargelag va de waarde va C wordt de grafiek uitgerekt ( C > 1) of samegedrukt ( C < 1) i meerdere of midere mate. De oderstaade schermafdruk toot de grafieke voor C = 3000, C = 6000 e C = 9000. Als C egatief is, moete we de grafiek bovedie ook spiegele t.o.v. de horizotale as. De oderstaade schermafdruk toot de grafieke voor C = 3000, C = 6000 e C = 9000. Het geval C = 0 is ee uitzoderig. De grafiek bestaat da uit pute op de horizotale as. Als C > 0 verloopt de rij vertraagd daled, als C < 0 vertraagd stijged e als C = 0 is de rij costat. De limietwaarde is 0, ogeacht de waarde va C. Als we te slotte de term 6000 toevoege, moet de grafiek over 6000 eehede omhoog schuive. De oderstaade schermafdrukke toe de grafiek voor C = 3000, C = 6000 e C = 9000 (liks) e C = 3000, C = 6000 e C = 9000 (rechts). Als C = 0 zij alle terme va de rij gelijk aa 6000. 17

Als C > 0 verloopt de rij vertraagd daled, als C < 0 vertraagd stijged e als C = 0 is de rij costat. De limietwaarde is 6000, ogeacht de waarde va C. e. Ee alteratieve grafische voorstellig Webdiagram Naast de gewoe grafische voorstellig uit de voorgaade paragraaf wordt voor (sommige) rije ook ee adere grafische voorstellig gebruikt, die gebaseerd is op de recursievergelijkig va de rij. Het gaat over ee zogeaamd webdiagram. We make zo webdiagram m.b.v. de grafische rekemachie. De rekemachie moet (uiteraard) i SEQ-modus staa. Verder stelle we via [d] [FORMAT] de machie i op webdiagram (zie de likse schermafdruk boveaa). I het Y=-scherm geve we de recursievergelijkig e begivoorwaarde i. Het tekevester stelle we i zoals aagegeve i de oderstaade schermafdrukke. Als we op [GRAPH] drukke, krijge we de oderstaade grafiek te zie. I feite is de grafiek og iet afgewerkt. Voorlopig zie we allee twee rechte. De rechte die door de oorsprog gaat, is de eerste bissectrice (met vergelijkig y = x ). De adere rechte heeft vergelijkig 18

y = 0.75x + 1500. Bemerk dat deze vergelijkig afgeleid is va de recursievergelijkig H = 0.75H 1 + 1500, waarbij H vervage is door y e H 1 door x. Met behulp va [TRACE] begie we de webgrafiek verder op te bouwe. Na éé keer drukke, ziet het scherm er als volgt uit. Boveaa is de recursievergelijkig verschee. Oderaa wordt ee waarde voor, x e y gegeve e op de horizotale as duidt de cursor het put met coördiate ( 1500, 0) aa, correspodered met de getoode x- e y-waarde. De begiwaarde H 0 = 1500 correspodeert hier dus met de x-coördiaat va het put dat door de cursor aageduid wordt. Als we u op het pijltje aar rechts drukke, wordt de grafiek verder opgebouwd. Vauit het put op de horizotale as is ee verticaal lijstukje geteked tot aa de rechte die gebaseerd is op de recursievergelijkig. De x- e y-waarde die oderaa getood worde, zij de coördiate va het sijput va dit verticale lijstuk e de rechte, dat door de cursor aageduid wordt. We cotrolere dit door 1500 i te vulle voor x i de vergelijkig y = 0.75x + 1500. Deze y-coördiaat is echter ook gelijk aa H 1! De berekeig die we moete make om H 1 te vide, is immers et dezelfde: i de recursievergelijkig H = 0.75H 1 + 1500 vulle we 1 i voor e 1500 voor H 0. Als we ogmaals op het pijltje aar rechts drukke, wordt ee horizotaal lijstukje toegevoegd vauit het put uit de vorige stap tot aa de eerste bissectrice. De y-coördiaat va de cursor veradert iet e omdat de cursor zich op de eerste bissectrice bevidt is de x- coördiaat gelijk aa de y-coördiaat. I deze stap wordt dus og iet H bereked, maar wordt H 1 overgebracht aar de x-coördiaat. Dat verklaart waarom de getoode waarde va gelijk blijft aa 1. Nogmaals op het pijltje aar rechts drukke, voegt ee ieuw verticaal lijtje toe, va de eerst bissectrice tot aa de rechte die met de recursievergelijkig correspodeert. 19

De y-coördiaat va de cursor is u gelijk aa H. Als we op het pijltje aar rechts blijve drukke worde er afwisseled horizotale e verticale lijstukjes toegevoegd die va de ee aar de adere rechte gaa. De grafische voorstellig die op deze maier otstaat wordt ee webdiagram geoemd. I de volgede paragraaf zulle we merke waar de aam vadaag komt. Nu zou trapdiagram ee betere beamig zij... De trap waarva sprake heeft trede die steeds kleier worde e die obeperkt adere tot het sijput va de twee rechte zoder het te overschrijde. De terme va de rij correspodere met de positie va de opeevolgede verticale lije i het diagram. Je ka ook kijke aar de hoogte va de horizotale lije. Elke term va de rij correspodeert amelijk ook met ee horizotale lij, behalve de begiterm. Verloop va de rij, limietwaarde, evewichtswaarde e webdiagram Het stijgede karakter va de rij wordt weerspiegeld i het omhoog lope va de trap. De kleier wordede trede toe dat de rij steeds trager stijgt. Op de figuur stelle we vast dat de trede va de trap obeperkt adere tot het sijput va de twee rechte. Dat sijput kue we eevoudig berekee door het stelsel y = 0.75x + 1500 y = x op te losse. Via gelijkstellig va de rechterlede vide we ee vergelijkig met x als eige obekede: x = 0.75x + 1500. Op de aam va de obekede a is dat de evewichtsvergelijkig uit paragraaf 3.b. De oplossig voor x is 6000, de limietwaarde of evewichtswaarde va de rij. Het sijput va de twee rechte is bijgevolg ( 6000, 6000). We vide hier dus ee ieuwe maier om de evewichtswaarde te berekee, amelijk via het sijput va de twee rechte i het webdiagram (of trapdiagram). Adere begiwaarde Als we de begivoorwaarde veradere, krijge we ee ader web- of trapdiagram. Als H 0 = 3000 of H 0 = 4500, veradert het trapdiagram heel weiig. Ook da loopt de trap omhoog, worde de trede kleier e kleier e adere ze obeperkt tot het sijput va de twee rechte. Het eige verschil is dat de trap wat verder aar rechts start. Omdat het trapdiagram voor H 0 = 7500 gee duidelijke figuur geeft, make we het 0

trapdriagram voor H 0 =1 000 (i ee aagepast tekevester). We stelle vast dat de trap u aar oder loopt e kleier wordede trede heeft die obeperkt adere tot het sijput va de twee rechte. Dat is i overeestemmig met wat we verwachte: ee vertraagd dalede rij met limietwaarde 6000. Het trapdiagram voor H 7500 verschilt hier allee va doordat het dichter bij het sijput start. 0 = Als H 0 = 6000 krijge we ee heel adere figuur. Voor de oderstaade schermafdrukke hebbe we gebruik gemaakt va het oorsprokelijke tekevester. I dit geval herleidt de trap zich tot éé put, het sijput va de twee rechte. Dat is i overeestemmig met wat we wete: als H 6000, is de rij costat. 0 = Iteratie; limietwaarde, evewichtswaarde e vast put va ee fuctie Voor het webdiagram make we gebruik va twee rechte, de eerste bissectrice (met vergelijkig y = x ) e de rechte met vergelijkig y = 0.75x + 1500 (gebaseerd op de recursievergelijkig H = 0.75H 1 + 1500 ). Deze tweede rechte kue we opvatte als de grafiek va de eerstegraadsfuctie f met vergelijkig f ( x) = 0.75x + 1500. De recursievergelijkig kue we u schrijve als H = f ( H 1 ). De terme va de rij vide we da door de fuctie f herhaaldelijk toe te passe op de begiwaarde: H 1 = f ( H 0 ) H = f ( f ( H 0 )) H 3 = f ( f ( f ( H 0 )))... Het geerere va de terme va de rij is dus ee iteratief proces (zie bv. [14, p. 47]). De limietwaarde (of de evewichtswaarde) is de oplossig va de vergelijkig x = f (x), d.w.z. dat de limietwaarde of evewichtswaarde dus ee getal is dat door de fuctie f op zichzelf afgebeeld wordt. We zegge dat de limietwaarde of evewichtswaarde ee vast put, ee dekput of ee statioair put va de fuctie f is. We merkte eerder op dat het hier gaat over ee stabiel evewicht: als we de hoeveelheid werkzame stof i het bloed uit evewicht brege, keert de hoeveelheid a verloop va tijd terug aar het evewicht. Daarom oeme we het vaste put ee aatrekked vast put. 1

4. Ee discreet, dyamisch marktmodel Ee statisch marktmodel Bij ee ecoomie die steut op het pricipe va de vrije markt, wordt de prijs va ee product bepaald door vraag e aabod. Bij ee hoge prijs zulle veel producete bereid gevode worde om het goed te fabricere, maar zulle slechts weiig cosumete het product wille aakope. De aagebode hoeveelheid zal da groter zij da de gevraagde hoeveelheid. Als de prijs laag is, da zal het aabod laag zij e de vraag hoog. I dit geval otstaat er ee tekort op de markt. De prijs die voor het product gevraagd wordt, is daarom de prijs waarbij de gevraagde hoeveelheid e de aagebode hoeveelheid aa elkaar gelijk zij. Deze prijs wordt de evewichtsprijs geoemd. De hoeveelheid die verkocht wordt, is de evewichtshoeveelheid. Het verbad tusse de prijs p va ee zeker product e de hoeveelheid v die va dat product verkocht ka worde, wordt beschreve door de vraagfuctie. We zulle i deze paragraaf veroderstelle dat de vraagfuctie v = 360 0. 5p 1 als vergelijkig heeft. Het verbad tusse de hoeveelheid a die aagebode wordt e de prijs p wordt beschreve door de aabodfuctie. I deze paragraaf heeft de aabodfuctie a = 0 + 0. 45p als vergelijkig. De evewichtsprijs is de prijs waarbij de gevraagde hoeveelheid v e de aagebode hoeveelheid a aa elkaar gelijk zij e is dus de oplossig va de vergelijkig 360 0.5p = 0 + 0. 45p 3. Zo vide we dat de evewichtsprijs i dit voorbeeld gelijk is aa 400 geldeehede. Bij wijze va cotrole berekee we de gevraagde e de aagebode hoeveelheid bij deze prijs. We vide i beide gevalle ee hoeveelheid va 160 eehede. Het marktmodel uit de vorige aliea's geeft ee 'ideale' prijs va het product. Uitgaade va allerlei gegeves hebbe we ee vergelijkig opgesteld met als oplossig ee getal, amelijk de evewichtsprijs. I dit model is de tijd buite beschouwig gelate. We krijge dus gee zicht op ee evetuele evolutie die de prijs doormaakt. We hebbe te make met ee statisch marktmodel. I de realiteit speelt de tijd om verschillede redee echter vaak wel ee rol e zal de prijs evoluere. Ee marktmodel waarbij dit i rekeig gebracht wordt, is ee dyamisch marktmodel. I ee dyamisch marktmodel hagt de prijs af va de tijd. We kue de tijd hierbij als ee discrete of als ee cotiue veraderlijke opvatte. I het eerste geval wordt de prijsevolutie beschreve door ee rij e spreke we over ee discreet dyamisch marktmodel. Dit is het stadput dat we hier ieme. I deze paragraaf werke we ee discreet dyamisch marktmodel uit: uitgaade va allerlei gegeves stelle we ee recursievergelijkig met begivoorwaarde op e losse we deze op. De oplossig hierva is ee rij die de evolutie va de prijs beschrijft. Gegeves va het discrete dyamische marktmodel I het statische marktmodel uit de vorige paragraaf zochte we ee obeked getal, amelijk de (evewichts)prijs va het goed. I ee discreet dyamisch model is de obekede ee rij va prijze (we wille amelijk wete hoe de prijs i de tijd evolueert). Daarom passe we de otatie voor de prijs aa. We otere de prijs a verloop va tijdseehede als p. De begiterm va de rij geeft de prijs weer die u, d.w.z. a verloop va 0 tijdseehede, va kracht is. De begiterm is dus de term met ragummer 0. Ook de gevraagde e de aagebode hoeveelheid variëre. De gevraagde hoeveelheid a verloop va tijdseehede otere we als v e de aagebode hoeveelheid a verloop va tijdseehede als a. We passe het verbad tusse de vraag e de prijs da ook als volgt aa: v = 360 0. 5 4 p voor elk atuurlijk getal. Deze vergelijkig drukt ee verbad uit tusse de vraag e de prijs, beide a verloop va weke. Voor het aabod gaa we er va uit dat het aabod op ee bepaald ogeblik iet afhagt va de prijs op hetzelfde ogeblik, maar va de prijs éé tijdseeheid vroeger. I os model reageert

het aabod dus met ee zekere 'vertragig' op de prijs. Bij veel producte moet de beslissig om iets te producere immers reeds geome worde eige tijd vóór het product te koop aagebode wordt. We kue hier bijvoorbeeld deke aa het verbouwe va ee ladbouwgewas: de ladbouwer eemt de beslissig om ee bepaald gewas te tele immers éé jaar vóór hij het product op de markt bregt. Als we uitgaa va deze hypothese, wordt het verbad tusse aabod e prijs gegeve door: a 5 = 0 + 0.45p 1 voor elk atuurlijk getal 1. We veroderstelle u dat de evewichtsvoorwaarde uit het statische marktmodel (de aagebode e de gevraagde hoeveelheid zij aa elkaar gelijk, a = v ) op elk ogeblik voldaa is, dit wil zegge a = v 6 voor elke waarde va. Dit beteket dat we aaeme dat de aagebode hoeveelheid volledig va de had gedaa wordt, desoods aa ee lagere prijs da voorzie. De producet bewaart dus gee deel va zij productie om pas later te verkope (bijvoorbeeld omdat het ee bederfbaar product betreft). Tot slot veroderstelle we dat het product aavakelijk aagebode wordt tege ee prijs va 00 geldeehede, d.w.z. p 0 = 00. A.d.h.v. de volgede werktekst oderzoeke we hoe de prijze evoluere. We zoeke de rij va prijze waarvoor alle bovestaade oderstellige geldig zij e oderzoeke het verloop va deze rij. Ee discreet, dyamisch marktmodel I ee discreet, dyamisch marktmodel oderzoeke we hoe de prijs, de gevraagde e de aagebode hoeveelheid evoluere i de tijd. We vatte de tijd hierbij op als ee discrete grootheid, d.w.z. dat we de tijdstippe voorstelle door atuurlijke getalle e gee rekeig houde met tusseliggede tijdstippe. De prijs, de gevraagde hoeveelheid e de aagebode hoeveelheid op tijdstip otere we door p, respectievelijk v e a. Het product dat we oderzoeke heeft ee lage productietijd. Daardoor is het aabod op tijdstip gebaseerd op de prijs op tijdstip 1. Het gaat bovedie over ee bederfbaar product zodat er gee voorrade opgebouwd worde. Meer bepaald worde de verbade tusse p, v e a beschreve door de volgede vergelijkige: (1) vraagvergelijkig: v = 360 0. 5p voor alle atuurlijke getalle. () aabodvergelijkig: a = 0 + 0.45p 1 voor alle atuurlijke getalle 1. (3) evewichtsvergelijkig: a = v voor alle atuurlijke getalle. (4) begiwaarde: p 0 = 00. 1. Stel met behulp va deze vergelijkige ee recursievergelijkig op voor de rij va de prijze, d.w.z. druk p uit i terme va p 1 door de vraagvergelijkig, aabodvergelijkig e evewichtsvergelijkig met elkaar te combiere. (Door (1) e () i te vulle i (3) e uit te werke, vide we: p = 0.9 p 1 + 760 7.). Oderzoek de evolutie va de prijs via berekeige op het basisscherm. Probeer de prijsevolutie i woorde te beschrijve. (De oderstaade schermafdrukke toe de berekeige op het basisscherm. 3

We stelle vast dat de prijs afwisseled stijgt e daalt. De prijs ket dus ee schommeled verloop. Verder stelle we vast dat de schommelige steeds kleier worde. Daarom zegge we dat de prijs gedempt schommelt. Tot slot merke we dat de prijs a verloop va tijd stabiliseert rod 400 geldeehede. Daarom kue we vermoede dat de rij va de prijze covergeert aar 400.) 3. Maak ee tabel e ee gewoe grafiek va de evolutie va de prijze. (De oderstaade schermafdrukke toe de tabel. Voor het make va de grafiek moete we de rekemachie terug istelle op het tekee va de gewoe grafiek, i rekemachietermiologie: de TIME-grafiek. Dat doe we m.b.v. [d] [FORMAT]. Het schommelede verloop va de rij komt iet goed aar voor i deze grafiek. Daarom late we opeevolgede pute va de grafiek verbide met ee lijstukje. Dat doe we door i het Y=-scherm de cursor vóór u() te plaatse e met [ENTER] de drie putjes te wijzige i ee lijstukje. Op deze maier komt het schommelede verloop veel duidelijker aar voor.) 4. Gebruik de recursievergelijkig om de evewichtswaarde exact te berekee. Cotroleer je berekeig door de evolutie va de prijs te oderzoeke waeer de begiwaarde gelijk is aa de evewichtswaarde. Zie je ee verbad met het overeekomstige statische marktmodel? 4

(De evewichtswaarde E voldoet aa de vergelijkig E = 0.9E + 760. Zo vide we dat de evewichtswaarde gelijk is aa 400, de vermoedelijke limietwaarde. Als we de begiwaarde gelijk eme aa 400, stelle we vast dat de prijs iderdaad costat blijft. De evewichtswaarde uit het dyamische marktmodel is dezelfde als de evewichtsprijs uit het statische marktmodel.) 5. Oderzoek experimeteel of het hier over ee stabiel evewicht gaat. (We vulle voor de begiwaarde ekele adere waarde da 400 i e stelle vast dat de prijs telkes aar de evewichtswaarde terugkeert.) 6. Bepaal de expliciete vergelijkig voor de prijs. Ga daarvoor tewerk zoals i paragraaf 3.c. (Eerst drukke we de eerste terme va de rij uit i fuctie va p 0 : p 1 = 0.9 p0 + 760 p p 3 = 0.9 p = 0.9 ( 0.9 p = ( 0.9) = ( 0.9) 1 = 0.9 p + 760 p 0 = 0.9 (( 0.9) 3 0 + 760) + 760 + ( 0.9 + 1) 760 + 760 p 0 p 0 + (( 0.9) + ( 0.9 + 1) 760) + 760 + ( 0.9) + 1) 760 Op basis va het patroo i deze uitdrukkige vide we de volgede formule voor 1 p = ( 0.9) p + (( 0.9) + ( 0.9) +... + ( 0.9) + 1) 760. 0 De som tusse de haakjes is ee partieelsom va ee meetkudige rij e kue we eevoudiger schrijve, wat tot de volgede uitdrukkig leidt: p : Uitwerkig hierva geeft: 1 ( 0.9) p = ( 0.9) p0 + 760. 1 ( 0.9) Met p 0 = 00 vide we tot slot: H = ( p0 400) ( 0.9) + 400. p = 00 ( 0.9) + 400.) 7. Bouw de grafiek op i stappe zoals i paragraaf 3.c. (We starte va ee eevoudige rij e bouwe de expliciete vergelijkig stap voor stap op: De rij t = ( 0.9) ket ee gedempt schommeled verloop (omdat het grodtal egatief is e i absolute waarde kleier da 1). De begiwaarde is 1 e de limietwaarde is 0. Als we de factor 00 toevoege, moete we de grafiek eerst spiegele t.o.v. de horizotale as e daara verticaal uitrekke met factor 00. De begiwaarde is u 00, de 5

limietwaarde blijft 0 e de rij blijft gedempt schommeled verlope. De oderstaade figuur toot de grafiek (waarbij we atuurlijk de schaal op de verticale as aagepast hebbe). Tot slot voege we de term 400 toe. De grafiek moet u over 400 eehede omhoog schuive. De begiwaarde e de limietwaarde verhoge met 400 tot 00 e, respectievelijk 400. Het gedempt schommelede verloop blijft behoude. Op deze maier kue we het verloop va de grafiek goed begrijpe.) 8. Maak ee webdiagram. (De oderstaade schermafdrukke toe het resultaat. Vergeet de machie iet terug i te stelle op het tekee va WEB-diagramme m.b.v. [d] [FORMAT]. Let er ook op dat je gebruik maakt va de recursievergelijkig e begivoorwaarde e iet va de expliciete vergelijkig. Het webdiagram eemt u iet de vorm aa va ee trap, maar wel degelijk va ee web. I dit webdiagram ligge opeevolgede horizotale lijstukjes afwisseled hoger e lager. Opeevolgede verticale lijstukjes ligge afwisseled verder e mider ver aar rechts. De horizotale e verticale lijstukjes vorme ee spiraal die aar bie toe draait rod het sijput va de twee rechte.) 9. Geef de algemee oplossig va de recursievergelijkig e bespreek het verloop erva. (I H = ( p0 400) ( 0.9) + 400 vervage we p 0 400 door C zodat we krijge: H = C ( 0.9) + 400. Als C 0, gaat het over ee gedempt schommelede rij met limietwaarde 400. Als C = 0, is de rij costat.) 10. Veroderstel dat de coëfficiët 0.45 i de aabodvergelijkig veradert i 0.5. Hoe evolueert de prijs da? (De recursievergelijkig wordt p = p 1 + 760. De oderstaade schermafdrukke toe de TIME-grafiek e het webdiagram. 6

De prijs ket og steeds ee schommeled verloop, maar de schommelige blijve u altijd eve groot. We spreke over ee gelijkmatig schommeled verloop. We kue het verloop ook op ee adere maier beschrijve: er zij twee waarde voor de prijs e de prijs is afwisseled gelijk aa de ee e de adere waarde. De prijs evolueert periodiek met periode.) 11. Veroderstel dat de coëfficiët 0.45 i de aabodvergelijkig veradert i 0.55. Hoe evolueert de prijs da? (De recursievergelijkig wordt p = 1.1p 1 + 760. De oderstaade schermafdrukke toe de TIME-grafiek e het webdiagram. De prijs ket og steeds ee schommeled verloop, maar de schommelige worde u groter e groter. We spreke over ee explosief schommeled verloop. I het wiskudige model wordt de prijs a verloop va tijd egatief. I de realiteit ka dat atuurlijk iet gebeure. Het schommelede verloop zorgt er voor dat het webdiagram ee web is. De spiraal gevormd door de horizotale e verticale lijstukjes draait u aar buite toe, weg va het sijput va de twee rechte.) 1. Wat ka je vertelle over de limietwaarde e de evewichtswaarde i de situaties uit vraag 10 e 11? (I vraag 10 is er gee limietwaarde. I vraag 11 beschrijft het marktmodel de realiteit al a ee aatal terme iet meer e heeft de vraag aar ee limietwaarde vauit dat oogput gee betekeis. Vauit zuiver wiskudig stadput heeft het wel zi om aar ee limietwaarde te vrage, maar is er gee limiet. I beide gevalle is er wél ee evewichtswaarde! Je ka ze bijvoorbeeld berekee via het sijput va de twee rechte i het webdiagram. Dat geeft evewichtswaarde 380 i vraag 10. I vraag 11 is de evewichtswaarde 760.1 = 361.904... 361. 9. I beide gevalle gaat het over ee labiel evewicht: als de prijs uit evewicht gebracht wordt, keert de prijs iet aar het evewicht terug.) 7

5. Lieaire recursievergelijkige va de eerste orde met costate coëfficiëte e costat rechterlid Lieaire recursievergelijkige va de eerste orde met costate coëfficiëte e costat rechterlid De recursievergelijkige V = V 1 +150, W = 1.5W 1, H = 0.75 H 1 + 1500 e p = 0.9 p 1 + 760 die we i de vorige paragrafe otmoette, zij va de vorm t = at 1 b, + met a e b getalle e a verschilled va 0. Recursievergelijkige die we i deze vorm kue schrijve, oeme we lieaire recursievergelijkige va de eerste orde met costate coëfficiëte e costat rechterlid. Dat deze recursievergelijkige va de eerste orde zij, beteket dat we i het rechterlid slechts teruggaa tot de omiddellijk voorgaade term t 1. Bij de recursievergelijkig die de bekede rij va Fiboacci beschrijft, amelijk t = t 1 + t, bevat het rechterlid iet allee t 1 maar ook t. Daarom is die recursievergelijkig va de tweede orde. Deze adere elemete uit de beamig verwijze aar de equivalete vorm t at 1 = b waari we de lieaire recursievergelijkige va de eerste orde met costate coëfficiëte e costat rechterlid kue schrijve. Het woord lieair verwijst aar het feit dat het likerlid i de equivalete vorm ee lieaire combiatie va t e t 1 is. De coëfficiëte va deze lieaire combiatie zij 1 e a. De coëfficiëte zij dus costat. Het rechterlid b is eveees costat. Ee voorbeeld va ee iet-lieaire recursievergelijkig is t = ( 1 + b) t 1 bt 1 (met b ee positief getal), die we verderop zulle bestudere. Ee lieaire recursievergelijkig met variabele coëfficiëte is bijvoorbeeld t t 1 = 0. De oplossig va deze recursievergelijkig met begiwaarde t 0 = 1 is de rij met algemee term t =!. Ee voorbeeld va ee lieaire recursievergelijkig met costate coëfficiëte maar variabel rechterlid is t t 1. = Algemee oplossig Ee berekeig i de stijl va paragraaf 3.c. geeft de expliciete vergelijkig va de oplossig met begiwaarde t 0 : b b t = t a + 0 1 a 1 a, temiste als a 1. De algemee oplossig wordt kortweg geschreve als b t = C a +, 1 a waarbij C ee willekeurig getal voorstelt. Als a = 1, zij de oplossige de rekekudige rije met expliciete vergelijkig 8

t = t 0 + b = C + b. Deze formules kue allee gebruikt worde als de coëfficiëte e het rechterlid costat zij! Verloop Het verloop va ee oplossig hagt af va de waarde va a, b e C. I de vorige paragrafe hebbe we ageoeg alle mogelijkhede otmoet: vertraagd/gelijkmatig/verseld stijge of dale; gedempt/gelijkmatig/explosief schommele; costat. b Als a < 1 hebbe alle oplossige ee gemeeschappelijke limietwaarde, amelijk, e is die gelijk 1 a aa de evewichtswaarde, die stabiel is. Zoals i paragraaf 3.e kue we aa de recursievergelijkig de eerstegraadsfuctie f met vergelijkig f ( x) = ax + b associëre, zodat t 1 = f ( t 0 ), t = f ( f ( t0 )), t = f f ( f ( ))),... De evewichtswaarde is ee aatrekked vast put va f. 3 ( t0 Als a > 1 is er gee limietwaarde (behalve i het triviale geval dat C = 0 ). Er is wel ee evewichtswaarde, b ook, die echter iet stabiel is. De evewichtswaarde is ee afstoted vast put va f. 1 a Ook als a = 1 is er gee limietwaarde (behalve i het triviale geval dat C = 0 ) e is er wel ee evewichtswaarde, amelijk b, die iet stabiel is. De oplossige zij periodiek met periode (behalve als C = 0 ). Als a = 1 e b 0, hebbe de oplossige gee limietwaarde e gee evewichtswaarde. Als a = 1 e b = 0, is elke oplossig costat. Dat beteket dat alle getalle da evewichtswaarde zij. Oplosse va recursievergelijkige De recursievergelijkige uit de vorige paragrafe hebbe we opgelost a.d.h.v. ee redelijk lage berekeig (cfr. paragraaf 3.c e opdracht 6 uit de werktekst i paragraaf 4). Nu we beschikke over algemee formules voor de algemee oplossig va ee lieaire recursievergelijkig va de eerste orde met costate coëfficiëte e costat rechterlid, kue we deze vergelijkige seller oplosse. We geve ee voorbeeld. Stel dat we de rij wille vide die voldoet aa de recursievergelijkig t = 0.5t + 3 e waarva de begiwaarde gegeve wordt door t 0 =. Da bepale we eerst de algemee oplossig door ee va de bovestaade formules toe te passe: 3 t = C 0.5 + = C 0.5 + 4. 1 0.5 Vervolges bepale we de waarde va C m.b.v. de gegeve begiwaarde: 0 eis t = C 0.5 + 4 = C + 4 =, waaruit we vide dat C =. We besluite dat t = 0.5 + 4. 9

Het homogee geval Als de coëfficiët b i de recursievergelijkig 0 is, is het rechterlid i de equivalete vorm gelijk aa 0. I dat geval wordt de recursievergelijkig homogee geoemd. Voluit: ee recursievergelijkig die i de vorm t = at 1 of, equivalet, t at 1 = 0 geschreve ka worde, oemt me ee homogee lieaire recursievergelijkig va de eerste orde met costate coëfficiët. De algemee formule blijft va toepassig, maar ee va de twee terme i de oplossig verdwijt. De algemee oplossig wordt gegeve door alle meetkudige rije met rede a. Ee recursievergelijkig waarva de coëfficiët b iet 0 is, wordt ee volledige recursievergelijkig geoemd. Bij het type dat we bestudere, is er ee mooi verbad tusse de oplossig va de volledige recursievergelijkig e de bijbehorede homogee recursievergelijkig: de algemee oplossig va de volledige recursievergelijkig is de algemee oplossig va de homogee recursievergelijkig plus ee (goed gekoze) costate (als a 1). 6. Oefeige Opgave 1. Bij het begi va het jaar 000 telde België (afgerod) 10 80 000 iwoers. Als we migratie buite beschouwig late, eemt het aatal iwoers over elke periode va 0 jaar met 16% af. Het aatal iwoers a periodes va 0 jaar stelle we voor door B. a. Geef ee recursievergelijkig voor B. b. Geef zo auwkeurig mogelijk de beamig va het type va de recursievergelijkig uit vraag a). Op basis va cijfers va het N.I.S. hebbe we bereked dat er i ee periode va 0 jaar ee migratiesaldo is va (afgerod) 550 000 persoe (het migratiesaldo is het verschil tusse het aatal iwijkelige e het aatal uitwijkelige). Da wordt de evolutie va het aatal iwoers bepaald door de recursievergelijkig B = 0.84B 1 + 550 000 (we gaa er voor de eevoud va uit dat deze persoe het lad i éé keer biekome helemaal op het eide va de periode va 0 jaar, wat i realiteit atuurlijk iet het geval is). c. Geef de particuliere oplossig va deze recursievergelijkig. d. Maak ee webdiagram. e. Beschrijf het verloop va de particuliere oplossig i woorde. f. Hoeveel zou het migratiesaldo moete bedrage opdat de bevolkig costat gelijk zou blijve aa 10 80 000?. Op ee perceel staa er u 3000 kerstbome. Ee boomkweker moet beslisse hoeveel bome er jaarlijks gekapt kue worde e hoeveel ieuwe aaplat er odig is. Hij zal iet alle bome i éé keer kappe wat da heeft hij de eerstvolgede jare gee opbregst. Hij besluit elk jaar 10% va de bome te kappe e er da weer 450 aa te plate. Hij plat dus meer da hij kapt om zij opbregst op termij te verhoge. Op het perceel is amelijk plaats voor 5000 bome. Noem het aatal bome dat a jaar op het perceel staat B. a. Laat zie dat je uit de tekst kut hale dat B voldoet aa de recursievergelijkig B = 0.9B 1 + 450 met begivoorwaarde B 0 = 3000. b. Maak ee webdiagram. c. Bepaal de particuliere oplossig e beschrijf het verloop erva i woorde. d. De achterkleizoo eemt de zaak over. Hij heeft bedekige bij de hadelswijze va zij voorvadere. Niet het hele perceel wordt beut. Er is immers plaats voor 5000 bome. Ku je er voor zorge dat het evewicht op 5000 komt te ligge door 30

i. ee veraderig aa te brege i het aatal ieuwe bome dat aageplat wordt (e verder alles ogewijzigd te late) ii. ee veraderig aa te brege i het percetage dat gekapt wordt (e verder alles ogewijzigd te late). e. Door ee ogeval ka de achterkleizoo i ee bepaald jaar slechts 400 ieuwe bome aaplate. Daardoor raakt het systeem tijdelijk uit evewicht. De kleizoo blijft echter bij zij werkwijze. Hoe evolueert het aatal bome? 3. Sjarel gaat met pesioe. Hij heeft zij hele leve hard gewerkt e geregeld wat geld opzij gelegd. Op de dag dat hij met pesioe gaat, staat er op zij spaarrekeig 100 000 EUR. Deze rekeig bregt maadelijks 0.5% itrest op (die bij het bedrag op de rekeig gevoegd wordt). Elke maad (omiddellijk a het toekee va de itrest e voor de eerste keer adat hij ee maad op pesioe is) haalt Sjarel 1000 EUR va de rekeig. Noem B het bedrag dat op de rekeig staat adat Sjarel voor de -de maal geld va de rekeig afgehaald heeft. a. Welk bedrag staat er op de rekeig adat Sjarel voor de derde maal geld va de rekeig gehaald heeft? b. Too aa dat B = 300 000 1.005 + 400 000. c. Geef ee beschrijvig i woorde va de evolutie va het bedrag dat op de rekeig staat. d. Waeer ka Sjarel voor het laatst 1000 EUR va de rekeig hale? e. Hoeveel zou Sjarel miimaal gespaard moete hebbe (i.p.v. de opgegeve 100 000 EUR) opdat de rekeig ooit leeg zou rake? 4. Ee relatief ieuw product wordt verkocht op ee markt met 50 000 potetiële klate. We werke met ee discreet model voor de evolutie va het aatal effectieve klate e werke met tijdseehede va ee maad. Het aatal effectieve klate bie maade stelle we voor door a. We gaa erva uit dat het aatal ieuwe klate dat er i de loop va ee maad bijkomt, everedig is met het aatal potetiële klate die het product og iet bezate i het begi va die maad. Op dit ogeblik zij er 6 50 klate die het product bezitte e bie maade verwachte we dat er 000 klate zulle zij. a. Druk a uit i fuctie va. b. Maak ee grafiek va de rij die de evolutie va het aatal klate beschrijft. c. Het aatal ieuwe klate i de -de maad stelle we voor door b (de eerste maad loopt va tijdstip 0 tot tijdstip 1, de tweede va tijdstip 1 tot tijdstip,...). Druk b uit i fuctie va. 5. We beschrijve het verbad tusse het atioale ikome e het bedrag dat gespedeerd wordt aa cosumptie i ee bepaald lad. We gaa uit va ee heel eevoudige (e orealistische) situatie, amelijk dat er gee hadel is met het buitelad. We vertrekke va ee statisch model, d.w.z. ee model waari het ikome Y e de cosumptie C iet afhakelijk zij va de tijd: Y = C + 50 e C = 0.4Y + 100. De eerste vergelijkig drukt uit dat het cosumere va de iwoers ikome oplevert voor adere iwoers va het lad. Er is ook ee bijkomede term, die bijvoorbeeld ka verwijze aar overheidsivesterige. De tweede vergelijkig drukt uit dat iwoers ee deel va hu ikome uitgeve aa cosumptie (e de rest bijvoorbeeld spare). Het bijbehorede discrete dyamische model, waarbij ikome e cosumptie wél afhage va de tijd, wordt gegeve door Y C + 50, C = 0.4Y 100, C 300. t = t t+ 1 t + Bemerk dat de tweede vergelijkig uitdrukt dat de cosumptie bepaald wordt door het ikome i het voorgaade jaar! a. Stel ee recursievergelijkig met begivoorwaarde op voor het ikome. 0 = 31

b. Bepaal de oplossig hierva e beschrijf het verloop erva i woorde. c. Maak ee webdiagram. d. Stel ee formule op voor de evolutie va de cosumptie. 6. Va ee zeker product gaat 5% va de exemplare die i het begi va het jaar i gebruik zij defiitief kapot i de loop va het jaar. De helft hierva wordt vervage door ee ieuw exemplaar. Daarboveop worde i de loop va éé jaar og 50 ieuwe exemplare va het product i gebruik geome. Op dit ogeblik zij er 440 exemplare va het product i gebruik. a. Waeer zulle er voor het eerst mistes 800 exemplare va het product i gebruik zij? b. Hoeveel exemplare zulle er op heel lage termij i gebruik zij? c. Maak ee grafiek va het aatal exemplare dat i gebruik is i fuctie va de tijd. Met x stelle we het aatal exemplare voor dat i het -de jaar gefabriceerd moet worde (het eerste jaar loopt va u tot bie 1 jaar, het tweede jaar loopt va bie 1 jaar tot bie jaar, ). d. Geef ee formule voor x. e. Hoeveel exemplare moete er i het totaal i de loop va de eerste 0 jaar gefabriceerd worde? 7. I ee zeker lad worde goude mute gebruikt. Me wil deze mute vervage door mute i zilver. De Natioale Bak krijgt de opdracht om al haar betalige te doe i zilvere mutstukke e alle biekomede goude mute te behoude. Veroderstel dat er i het totaal 1 000 000 mutstukke i omloop zij e veroderstel dat er elke dag i het totaal 10 000 mutstukke biekome op de Natioale Bak e dat de Bak ook elke dag 10 000 mutstukke uitgeeft. Neem aa dat i die 10 000 biekomede mutstukke procetueel gezie eveveel zilvere mutstukke zitte als i de totale hoeveelheid mutstukke die i omloop zij. a. Hoeveel zilvere mutstukke zij er i omloop éé dag a de uitgifte? b. Hoeveel zilvere mutstukke zij er i omloop a twee e a drie dage? Noem z het aatal zilvere mutstukke dat i omloop is a dage. c. Stel ee recursievergelijkig op voor z (d.w.z. druk z uit i fuctie va z 1 ). d. Geef de begivoorwaarde. e. Los deze recursievergelijkig met begivoorwaarde op. f. Hoe lag duurt het eer de helft va de mute vervage is? g. Waeer zulle alle mute vervage zij? 8. Aa ee oude boeddhistische moik werd het volgede probleem voorgelegd. Ee plakje is voorzie va drie verticale pie. Verder zij er 5 rode schijve, oploped i grootte, met ee gaatje i het midde. Op éé va de pie is ee tore gebouwd met deze schijve, waarbij de grootte va de schijve afeemt aarmate de schijf hoger ligt. Deze tore moet u verplaatst worde i zo weiig mogelijk zette aar éé va de adere pie. Daarbij mag per zet maar éé schijf verplaatst worde e mag ee grotere schijf ooit bove ee kleiere schijf geplaatst worde. a. Voer de opdracht uit met schijve i.p.v. 5. Hoeveel zette zij er odig? b. Doe hetzelfde voor 3 e voor 4 schijve. Noem a het aatal zette dat odig is om ee tore va schijve te verplaatse. c. Too aa dat het aatal zette voldoet aa de volgede recursievergelijkig met begivoorwaarde: a = a 1 +1, a = 3. d. Gebruik dit om het aatal zette te bepale voor het oorsprokelijke probleem. 3

Oplossige = 1. a. B 0.84B 1 b. Het gaat om ee homogee lieaire recursievergelijkig va de eerste orde met costate coëfficiëte. c. Toepasse va de formule uit de voorgaade paragraaf geeft B = C 0.84 + 3 437 500 voor de algemee oplossig. Gebruik va de begivoorwaarde geeft dat C = 6 84 500. d. zie oderstaade schermafdrukke e. De rij verloopt vertraagd daled met limietwaarde 3 437 500. f. Als je de term 550 000 i de recursievergelijkig door x vervagt e oplost, krijg je als particuliere oplossig B = ( 10 80 000 x 0.16) 0.84 + x 0. 16. Deze rij is costat als x / 0.16 = 10 80 000, d.w.z. als x = 1 644 800.. a. b. zie oderstaade schermafdrukke c. Met behulp va de formule uit de voorgaade paragraaf vide we B = C 0.9 + 4500 voor de algemee oplossig. M.b.v. de begivoorwaarde vide we B = 1500 0.9 + 4500 voor de particuliere oplossig. De rij verloopt vertraagd stijged met limietwaarde 4500. d. i. Vervag 450 door x e druk uit dat B = 5000 ee (costate) oplossig va de recursievergelijkig moet zij. Je vidt: 5000 = 0.9 5000 + x, waaruit x = 500. De achterkleizoo moet dus jaarlijks 500 bome plate. ii. Vervag 0.1 (10%) door x e druk uit dat B = 5000 ee (costate) oplossig va de recursievergelijkig moet zij. Je vidt: 5000 = (1 x ) 5000 + 450, waaruit x = 0. 09. De achterkleizoo mag jaarlijks dus slechts 9% va de bome kappe. e. Het evolueert opieuw aar het evewicht. 3. a. Er is gegeve dat B 0 = 100 000. Op het eide va de eerste maad wordt eerst itrest toegevoegd e daara haalt Sjarel geld va zij rekeig, zodat Op dezelfde maier vide we dat B = B 1.005 1000 99 50. 1 0 = 33

e B = B1 1.005 1000 = 98 498.15 B = B 1.005 1000 = 97 744.3703... 97 744.37. 3 b. De rij voldoet aa de recursievergelijkig B = B 1 1.005 1000. Met behulp va de formule uit de voorgaade paragraaf vide we de algemee oplossig. B = C 1.005 + 400 000. De begivoorwaarde B 0 = 100 000 laat toe om de costate te bepale: C = 300 000. c. De rij is verseld daled met limiet mi oeidig (maar zover zal de bak het atuurlijk iet late kome...). d. De vergelijkig B = 0 heeft als oplossig = 115.1.... Dat beteket dat er a de 115-de afhalig og ee licht positief saldo is, maar ovoldoede om a 116 maade og ee afhalig te doe. e. Allee als de rij costat is (of stijged, maar dat is hier iet aa de orde) raakt de rekeig ooit leeg. I de algemee oplossig moet da C = 0. Dat beteket dat de begiwaarde 400 000 EUR moet bedrage. I de praktijk zal het atuurlijk iet odig zij om zoveel geld op de rekeig te hebbe staa. Sjarel heeft immers iet het eeuwige leve... 4. a. De zi die stelt dat het aatal ieuwe klate dat er i de loop va de maad bijkomt, everedig is met het aatal potetiële klate die het product og iet bezate i het begi va die maad, ka i formulevorm vertaald worde als a a 1 = k( 50 000 a 1 ), met k ee (positief) getal. We herschrijve dit als a = ( 1 k) a 1 + 50 000k. De algemee oplossig va deze recursievergelijkig is a = C( 1 k) + 50 000. Met het gegeve dat a 0 = 650, bepale we C: C = 43 750. Met het gegeve dat a = 000, bepale we da k: k = 0.. Bijgevolg: a = 43 750 0.8 + 50 000. b. zie oderstaade schermafdrukke c. Het aatal ieuwe klate is het verschil tusse het aatal klate op het eide e i het begi va de maad: 1 1 1 = k(50 000 a 1) = 0. 43 750 0.8 = 8750 0.8 = 10 937.5 b = a a 0. 8 5. a. Herschrijf de tweede vergelijkig als C t = 0.4Y t 1 + 100 e combieer ze met de eerste vergelijkig. Dit geeft: Y t = 0.4Y t 1 + 150. De begivoorwaarde vid je door de eerste e de derde vergelijkig te combiere: Y 0 = 350. t b. Maak gebruik va de werkwijze uit de voorgaade paragraaf. Dat geeft: Y t = 100 0.4 + 50. Het ikome daalt vertraagd e bedraagt op lage termij ogeveer 50 eehede. c. zie oderstaade schermafdrukke 34

d. Combieer de gegeve vergelijkig Y t = C t + 50 met de uitdrukkig voor het ikome uit oplossig t b): C t = 100 0.4 + 00. 6. a. We otere met y het aatal exemplare va het product dat i gebruik is. De recursievergelijkig is da y = 0.975y 1 + 50 e de begiwaarde is y 0 = 440. De particuliere oplossig is y = 1560 0.975 + 000. Oplosse va de vergelijkig 1560 0.975 + 000 = 800 geeft = 10.36... Omdat de rij stijged is, is y 800 als 11. Het aatal exemplare i gebruik, is dus voor het eerst mistes 800 bie 11 jaar. b. 000 c. zie oderstaade schermafdrukke d. Het aatal gefabriceerde exemplare bestaat uit twee dele: ee vast aatal va 50 exemplare e ee veraderlijk aatal, amelijk.5% va het aatal dat i het begi va het jaar i gebruik was. Het begi va het -de jaar is tijdstip 1. We vide dus: 0 x = 50 + 0.05y 1 1 = 50 + 0.05 ( 1560 0.975 + 000) = 40 0.975 + e. ( 40 0.975 + 100) = 40 0.975 + 0 100 1380 = 1 = 1 0 100. 7. a. De eerste dag geeft de bak 10 000 zilvere mutstukke uit e zij alle mute die bij de bak biekome va goud. Er zij op het eid va de eerste dag dus 10 000 zilvere mutstukke i omloop. b. Ook de tweede dag geeft de bak 10 000 zilvere mutstukke uit. Bij de mutstukke die bij de bak biekome zij er u echter ook ee klei aatal zilvere mute. Elke dag wordt 1% va de mute die i omloop zij biegebracht bij de bak. Weges de gemaakte veroderstellig worde die dag da ook 1% va de zilvere mute die aa het begi va de dag i omloop ware op de bak biegebracht. Dat beteket dat 100 va de biegebrachte mute va zilver zij. Er kome per saldo dus slechts 9900 ieuwe zilvere mute i omloop, wat het totaal a de tweede dag op 19 900 bregt. Ee aaloge redeerig leert dat er a de derde dag 9 701 zilvere mute i omloop zij. c. De bak geeft 10 000 zilvere mute uit, maar krijgt 1% va de zilvere mute die reeds i omloop ware terug bie: z = z 1 + 10 000 0.01z 1 = 0.99z 1 + 10 000. d. z 0 = 0 e. z = 1 000 000( 1 0. 99 ) 35

f. 69 dage g. I theorie zulle de mute ooit allemaal vervage zij. Voor praktisch gebruik ka me bijvoorbeeld berekee waeer 99% va de mute vervage zulle zij. Dat is a 459 dage. 8. a. Veroderstel dat je de twee schijve moet verplaatse va pi A aar pi B. De overblijvede pi oeme we pi C. Verplaats eerst de kleiste schijf aar pi C. Breg daara de grootste schijf over aar pi B. Verplaats tot slot de kleiste schijf aar pi B. Er zij dus 3 zette odig. b. Voor de tore va 3 schijve ka je als volgt tewerk gaa. Breg de boveste twee schijve eerst over aar pi C. Uit het atwoord op vraag a) wete we dat dit 3 zette vergt. Verplaats u de grootste schijf aar pi B. Breg tot slot de kleiste twee schijve over va pi C aar pi B. Dat vergt weer 3 zette. I het totaal hebbe we dus 3 + 1+ 3 = 7 zette odig. Voor de tore met 4 schijve gaa we op ee gelijkaardige maier tewerk. Eerst verplaatse we de tore met de kleiste 3 schijve aar pi C, da verplaatse we de grootste schijf aar pi B e tot slot brege we de tore met de kleiste 3 schijve over aar pi B. Dat vergt 7 + 1+ 7 = 15 zette. c. We gaa tewerk zoals i vraag b. Eerst verplaatse we de tore met de kleiste 1 schijve aar pi C, da verplaatse we de grootste schijf aar pi B e tot slot brege we de tore met de kleiste 1 schijve over aar pi B. Dat vergt a 1 + 1+ a 1 zette. Dit geeft de recursievergelijkig. De begivoorwaarde volgt omiddellijk uit het atwoord op vraag a. d. De particuliere oplossig va de recursievergelijkig is a = 1. Het vereiste aatal zette is da a = 5 1 33 554 431. 5 = 7. Matrixmodelle e stelsels va gekoppelde homogee lieaire recursievergelijkige va de eerste orde I deze paragraaf wille we late zie dat het oderwerp recursievergelijkige raakpute heeft met ee thema dat i veel klasse odertusse ee vaste stek verworve heeft: matrixmodelle voor migratie, groei va ee populatie met leeftijdsklasse, I de oderstaade werktekst starte we met ee -matrixmodel voor migratie e merke we dat we dit kue opvatte als ee stelsel va twee gekoppelde recursievergelijkige dat twee rije tegelijk beschrijft. Werke met ee matrixmodel beteket m.a.w. dat we de dimesie va het model opdrijve va éé aar twee (of meer). We gaa er i de oderstaade werktekst va uit dat de leerlige (e de lezers dus ook) reeds vroeger met overgagsmatrices hebbe lere werke. Recursief migrere I ee zeker gebied woe 3 000 000 mese. Het gebied bestaat uit ee cetraal gelege grote stad met daaromhee ee uitgestrekt plattelad. Op dit ogeblik woe er 1 000 000 mese i de stad e 000 000 op het plattelad. We geve deze begisituatie weer m.b.v. de kolommatrix X 0 s0 1 000 000 s = = p 0 000 000 p Mese verhuize va de stad aar het plattelad e omgekeerd. De verhuisbewegige, gemete over periodes va 10 jaar, worde weergegeve door de oderstaade migratiematrix P: 36

s 0.9 0.1 va p 0. 0.8 s p aar De bevolkig i stad e plattelad a periodes va 10 jaar geve we weer door s X =. p 1. Laat aa de had va ee matrixberekeig zie dat s p = 0.9 s = 0.1 s 1 1 + 0. p + 0.8 p (Schrijf X = P X 1 voluit.) De uitdrukkig hierbove is ee stelsel va twee (gekoppelde) recursievergelijkige: de waarde va s e p a ee aatal periodes wordt uitgedrukt i fuctie va de waarde va s e p éé periode eerder. Om de waarde va s a periodes te kee, heb je zowel de waarde va s als die va p a 1 periodes odig.. Voer de twee recursieve voorschrifte uit de vorige vraag i je rekemachie i. Laat ee tabel e ee grafiek make die de evolutie va de bevolkig va de stad e het plattelad weergeve. Beschrijf de evolutie va de bevolkig i stad e plattelad i woorde. (De oderstaade schermafdrukke toe hoe het met de rekemachie i zij werk gaat. Vergeet iet te cotrolere of de grafiekoptie TIME igesteld is. We zie dat de bevolkig i de stad vertraagd toeeemt va 1 000 000 i het begi aar 000 000 op lage termij. De bevolkig op het plattelad daalt vertraagd va 000 000 i het begi aar 1 000 000 op lage termij.) 1 1 3. Waag, op basis va het atwoord op de vorige vraag, ee gefudeerde gok voor ee expliciet voorschrift voor s. I je voorstel moge og parameters voorkome. (Op basis va de limietwaarde ( 000 000), de begiwaarde (1 000 000) e het vertraagd stijgede verloop (e de ervarig die opgedaa is met recursievergelijkige), lijkt s = 1 000 000 g + 000 000, met g ee getal tusse 0 e 1, ee veratwoorde gok.) 4. Geef, gebruik maked va je atwoord op de vorige vraag, ee expliciet voorschrift voor p. 37

(Maak gebruik va het feit dat de totale bevolkig steeds uit 3 000 000 persoe bestaat. Je vidt p = 1 000 000 g + 1 000 000.) 5. Bepaal de waarde va de obekede parameter(s) i de uitdrukkige uit vraag 3 e 4 door je gefudeerde gok i te vulle i het stelsel recursievergelijkige. (Als je de uitdrukkige ivult i de eerste recursievergelijkig, vid je 1000 000g + 000 000 = 1 1 = 0.9 ( 1 000 000g + 000 000) + 0. (1 000 000g + 1 000 000). 1 Na vereevoudigig geeft dit g = 0.7g, waaruit we afleide dat g = 0. 7. De tweede recursievergelijkig klopt daarmee metee ook.) 6. Bepaal op dezelfde maier ee expliciete formule voor de evolutie va de bevolkig i stad e plattelad voor ee gebied waarva de begipopulatie e de overgagsmatrix gegeve worde door 500 000 0.8 0.3 X 0 = e P = 1 500 000. 0. 0.7 ( s = 100 000 0.5 + 400 000 e p = 100 000 0.5 + 1 600 000 ) I de werktekst hebbe we voor het bepale va de expliciete voorschrifte sterk gesteud op de grafiek die door de rekemachie geteked werd. Voor -migratiematrices volstaat dat. I dat speciale geval krijg je amelijk altijd expliciete voorschrifte waarva het rechterlid de vorm c g + b aaeemt. De waarde va de parameters ku je eevoudig bepale. Voor adere -matrixmodelle e voor grotere matrixmodelle is het i het algemee iet meer mogelijk op basis va de grafiek de vorm va het expliciete voorschrift te rade. Me ka aatoe dat bij - Lesliematrices e bij de matrix uit de volgede paragraaf het rechterlid va het expliciete voorschrift va de vorm c1 g1 + c g is, waarbij de grodtalle g 1 e g de eigewaarde va de matrix zij. Bij - migratiematrices is g ee va de eigewaarde e is de adere eigewaarde steeds gelijk aa 1. Maar je hebt i de werktekst gemerkt dat je g ook kut bepale zoder dat te wete. Je kut de bad met recursieve voorschrifte og op ee adere maier legge da i de werktekst. De gekede formule X = P X 1 drukt de bevolkig i stad e plattelad op ee zeker tijdstip uit i fuctie va de bevolkig i stad e plattelad éé periode eerder. We hebbe dus te make met ee recursief voorschrift. Het verschil met de recursieve voorschrifte die we vroeger bekeke, is dat het recursieve voorschrift u iet ee rij va getalle beschrijft, maar ee rij va kolomvectore. We wille og ee opmerkig kwijt over deze meerdimesioale recursievergelijkig. Ze is amelijk het meerdimesioale equivalet va de éédimesioale recursievergelijkig x = p x 1 die de meetkudige rije beschrijft. De matrixmodelle die we i het secudair oderwijs bestudere zij m.a.w. meerdimesioale veralgemeige va meetkudige rije. Of og: Lesliemodelle zij meerdimesioale versies va expoetiële groei. Voor ee stelsel va twee gekoppelde recursievergelijkige biedt de rekemachie og ee ader type grafiek. Kies via [d] [FORMAT] de istellig uv. Voor elke waarde va teket de machie da het put ( s, p ) (i machietaal : ( u ( ), v ( )) ; vadaar de aam). Met TRACE ku je de evolutie va de bevolkig volge. Het hoeft iet te verwodere dat de pute op ee rechte ligge: het gaat om de rechte met vergelijkig x + y = 4 000 000, die uitdrukt dat de totale bevolkig costat blijft. 38

We hebbe i deze paragraaf ekel ee tip va de sluier opgelicht. Voor meer iformatie over deze matrixmodelle verwijze we je aar [4], [7], [9] e [13]. 8. Ee lieaire recursievergelijkig va de tweede orde met costate coëfficiëte e costat rechterlid De recursievergelijkig e begiwoorwaarde I deze paragraaf bekijke we de rij va Fiboacci als ee oplossig va ee recursievergelijkig. I de rij va Fiboacci is elke term gelijk aa de som va de voorgaade twee. Als we dit i symbole vertale, krijge we x = x 1+ x, ee recursievergelijkig va de tweede orde (omdat ee term uitgedrukt wordt i fuctie va de voorgaade twee terme). De recursievergelijkige die we i de vorige paragrafe otmoette, ware va de eerste orde. We kue de vergelijkig ook i de vorm x x 1 x = 0 schrijve. Omdat het likerlid u ee lieaire combiatie va x, x 1 e x is, gaat het om ee lieaire recursievergelijkig. De coëfficiëte va deze lieaire combiatie zij costat. Omdat het rechterlid 0 is, is de vergelijkig homogee. Voluit gaat het dus over ee homogee lieaire recursievergelijkig va de tweede orde met costate coëfficiëte. Ook ee recursievergelijkig va de tweede orde ku je i de grafische rekemachie ivoere. Dek er wel aa dat er twee begivoorwaarde odig zij: x 1 = 1 e x = 1. De accolades e de komma moet je u zelf igeve. Opstelle va de expliciete vergelijkig eerste methode We zoeke u ee expliciet voorschrift voor de rij va Fiboacci. We toe daarvoor twee maiere. Bij de eerste maier begie we met os af te vrage of er meetkudige rije zij die aa de recursievergelijkig voldoe. Dat is iet zo gekke vraag, wat meetkudige rije spele ee belagrijke rol bij het oplosse va de lieaire recursievergelijkige va de eerste orde die we i de voorgaade paragrafe bestudeerde. We vrage os meer bepaald af of er va 0 verschillede getalle k bestaa waarvoor x = k aa de recursievergelijkig voldoet. Ivulle geeft dat da 1 k k k = 0 moet gelde voor elke waarde va. Als we het likerlid otbide i factore, zie we dat 39

k ( k k 1) = 0 moet gelde voor elke waarde va, of (omdat k iet 0 is): k k 1 = 0. Deze vergelijkig wordt de karakteristieke vergelijkig va de recursievergelijkig geoemd. Ze heeft twee oplossige, amelijk 1+ 5 e 1 5 Er zij dus wel degelijk meetkudige rije die oplossig zij va de recursievergelijkig: x 1+ 5 = e x 1 5 =. Het is eevoudig om i te zie dat alle lieaire combiaties va deze twee rije ook oplossige zij va de recursievergelijkig. Dat komt omdat de recursievergelijkig lieair e homogee is. Met adere woorde: alle rije waarva de algemee term i de vorm x = C 1 1+ 5 + C. 1 geschreve ka worde (met C 1 e C willekeurige getalle), zij oplossig va de recursievergelijkig. Het zij bovedie de eige oplossige va de recursievergelijkig (maar dat is mider gemakkelijk aa te toe). M.b.v. de begivoorwaarde x 1 = 1 e x = 1 bepale we de waarde va C 1 e C. Uit 5 vide we dat 1+ 5 1 5 eis 1 5 1 5 eis x 1 = C1 + C = 1 e x C + 1 C = + = 1 5 5 C 1 = e C =. 5 5 Zo vide we de volgede uitdrukkig voor de -de term va de rij va Fiboacci: x 5 1+ 5 5 1 5 =. 5 5 Opstelle va de expliciete vergelijkig tweede methode Bij de tweede methode make we gebruik va wat we i de vorige paragraaf leerde. Met behulp va de hulprij y = x 1 kue we de recursievergelijkig va de tweede orde omzette i ee stelsel va twee recursievergelijkige: x = x + y y = x 1 1 1, 40

of i matrixvorm: x 1 1 x 1 y = 1 0 y. 1 De eigewaarde va de -matrix zij 1 + 5 e 1 5 is het expliciete voorschrift voor x da va de vorm. Zoals we i de voorgaade paragraaf aagave, x = C 1 1+ 5 + C 1 Zoals bij de eerste methode ka je u gebruik make va de begivoorwaarde om de waarde va C 1 e C te vide. 5 Limietgedrag Ee gekede eigeschap va de rij va Fiboacci is de volgede limieteigeschap : waarbij lim + x x 1 1+ 5 =, 1+ 5 = 1.61803398... de gulde sede is. Dit getal wordt vaak als ϕ geoteerd. De oderstaade schermafdrukke illustrere deze limieteigeschap. Voor de rij u voerde we de rij va Fiboacci i via het recursieve voorschrift e de begivoorwaarde. I de rij v voerde we het quotiët va opeevolgede terme i (we werke met het quotiët x 1 x i.p.v. x x 1 omdat we i het Y=-scherm i het rechterlid de idex iet moge gebruike). Met behulp va de expliciete vergelijkig ka je deze eigeschap gemakkelijk begrijpe. De uitdrukkig 5 1+ 5 5 1 5 x = 5 5 toot dat de rij va Fiboacci de som is va twee meetkudige rije. De rede va de eerste meetkudige rij is groter da 1 e dat is dus ee stijgede meetkudige rij. De rede va de tweede meetkudige rij is 1 5 = 0.618 033 98.... 41

Omdat de rede tusse 1 e 0 ligt, is deze meetkudige rij gedempt schommeled. I de oderstaade schermafdruk zie we de waarde va beide terme afzoderlijk (de eerste term is igevoerd voor u e de tweede term voor v). We merke dat de tweede term algauw ogeveer gelijk is aa 0. Met adere woorde: x = 5 1+ 5 5 5 1 5 5 5 1+ 5 5 va zodra wat groter wordt. De getalle uit de rij va Fiboacci (op de eerste getalle uit de rij a) worde dus zeer goed beaderd door de terme va de meetkudige rij u = 5 5 1+ 5. Bijgevolg: lim + x x 1 = lim + u u 1 1+ = 5. 9. Groei va de bevolkig va de VS a. Opstelle va ee model De gegeves De oderstaade tabel geeft de bevolkigsaatalle voor de Vereigde State va Amerika va 1790 t.e.m. 1910 (data va het Amerikaase Cesus Bureau). We hebbe de evolutie va de Amerikaase bevolkig ook grafisch voorgesteld met de rekemachie. We gebruike hierbij de mogelijkhede va de rekemachie op het vlak va beschrijvede statistiek. We slaa de gegeves op i lijste J (de jaartalle), P (va populatie, de bijbehorede bevolkigsaatalle) e T (het ragummer va de jaartalle) e we make ee spreidigsdiagram. ummer jaar bevolkig ummer jaar bevolkig 0 1790 3 99 14 7 1860 31 443 31 1 1800 5 308 483 8 1870 38 558 371 1810 7 39 881 9 1880 50 189 09 3 180 9 638 453 10 1890 6 979 766 4 1830 1 866 00 11 1900 76 1 168 5 1840 17 069 453 1 1910 9 8 496 6 1850 3 191 876 4

Expoetiële groei? We zoeke ee gepast wiskudig model voor de groei va de Amerikaase bevolkig. De grafiek laat os duidelijk zie dat de groei alleszis iet goed beschreve ka worde door ee lieair model. Expoetiële groei lijkt daaretege wel i aamerkig te kome. Met de rekemachie zoeke we ee geschikt expoetieel model via expoetiële regressie. Het voorschrift va de fuctie beware we als de fuctie Y1. De waarde die het expoetiële model voorspelt voor de bevolkig beware we i de lijst PE (populatie voorspeld door het expoetiële model). De relatieve fout (error) of relatieve afwijkig va de voorspelde waarde t.o.v. de werkelijke waarde beware we i de lijst EPE. I de oderstaade schermafdrukke zie we de lijst EPE va de relatieve foute e de grafiek va de werkelijke bevolkig tezame met het expoetiële model. Op het eerste gezicht lijkt de overeestemmig vrij goed te zij. Als we ader toekijke, zie we echter systematische afwijkige. Aa de uiteide overschat het model de werkelijke bevolkig e i het middegebied is het model ee oderschattig. De afwijkige zij ook vrij groot (+10% i het begi, 11% i het midde e +16% aa het eide). I het begi groeit de bevolkig i realiteit seller da het expoetiële model aageeft, terwijl de groei op het eide mider sel is da het model aageeft. Op weg aar ee beter wiskudig model Veroderstel dat p de grootte va ee populatie weergeeft op tijdstip. Als de populatie expoetieel groeit, da is de recursievergelijkig va de vorm p = g p 1, met g de groeifactor. We schrijve deze recursievergelijkig u i ee adere vorm. Noem p = p+1 p. Da is p = ( g 1) p, of og: p p = g 1. Hieri is p p de relatieve groeiselheid va de populatie, d.w.z. de aagroei va de populatie gedeeld door de populatie. De recursievergelijkig voor expoetiële drukt dus uit dat de relatieve 43

groeiselheid costat is. I het voorbeeld va de populatie va de Vereigde State kue we de relatieve groeiselheid iterpretere als het percetage (eigelijk: peruage) waarmee de bevolkig toeeemt over ee periode va 10 jaar. De overwegige die we gemaakt hebbe bij het beoordele va het expoetiële model leide tot de coclusie dat de relatieve groeiselheid va de Amerikaase bevolkig iet costat is: de relatieve groeiselheid is rod 1790 groter da rod 1910. De rechtse schermafdruk hieroder is ee spreidigsdiagram met op de horizotale as de populatiegrootte (dus iet de tijd!) e op de verticale as de relatieve groeiselheid. We zie dat de relatieve groeiselheid iderdaad iet costat is, itegedeel: de relatieve groeiselheid eemt af als de populatie toeeemt. I de likse schermafdrukke toe we hoe we het spreidigsdiagram gemaakt hebbe. We hebbe eerst ee lijst DP gemaakt met de absolute groeiselhede (het verschil tusse opeevolgede terme va de rij va de populatiegroottes; het commado List vide we via [d] [LIST] OPS). De lijst DP bevat éé elemet mider da de lijst P. Daarom make we voor de populatie ee ieuwe lijst, die éé elemet mider bevat e die we PA oeme (ook het commado seq( vide we via [d] [LIST] OPS). De relatieve groeiselhede vide we u door de elemete va de lijst DP te dele door de overeekomstige elemete va de lijst P. De lijst met relatieve groeiselhede oeme we DPOP. Het verbad tusse groeiselheid e populatiegrootte Het spreidigsdiagram toot dat het redelijk is om uit te gaa va ee (daled) lieair verbad tusse de relatieve groeiselheid e de populatiegrootte. We late de rekemachie via lieaire regressie ee passede vergelijkig opstelle. We slaa de coëfficiëte op voor later gebruik. Othoud (ook voor later gebruik) dat de coëfficiët a egatief e i absolute waarde zeer klei is. 44

Ee beter wiskudig model: ee recursievergelijkig voor de populatiegrootte We hebbe ee model gezocht voor het verbad tusse de relatieve groeiselheid e de populatiegrootte. Nu zulle we de populatiegrootte uitdrukke i fuctie va de tijd. De veroderstellig uit de vorige aliea kue we formeel vertale als volgt: we hebbe aageome dat p p = ap met a ee egatief e b ee positief getal. We kue deze betrekkig herschrijve i de vorm va ee recursievergelijkig: p + 1 = ap + (1 + b) p, of equivalet: p = ap 1 + ( 1+ b) p 1. Het gaat om ee ietlieaire recursievergelijkig va de eerste orde. We voere de recursievergelijkig e ee passede begiwaarde (we gebruike hier de populatiegrootte va 1790 als begiwaarde) i de rekemachie i. De rij die we op die maier krijge, wordt ee (discreet) logistisch groeimodel geoemd. Evaluatie va het logistische groeimodel Net zoals bij het expoetiële model oderzoeke we i welke mate er afwijkige zij tusse het logistische groeimodel e de reële bevolkigsaatalle. De grafiek (rechtse schermafdruk) toot alvast gee zichtbare afwijkige. I de likse schermafdruk zie je dat we gebruik make va de coëfficiëte die we i het geheuge opgeslage hebbe. Je ziet ook dat we de grafiek va de rij oder de vorm va ee ooderbroke lij late tekee. + b, We merke dat de relatieve afwijkige tusse het logistische model e de werkelijke bevolkigsaatalle veel kleier zij da bij het expoetiële model e dat er gee systematiek i de afwijkige te zie is. E de verdere evolutie va de bevolkig va de Vereigde State? Het model dat we hier besproke hebbe, is geïspireerd op het model dat de Amerikaase weteschappers Pearl e Reed i 190 opstelde voor de bevolkig va de Vereigde State va 1790 tot 1910 (hu model is ee cotiu logistisch model, zie bv. [3]). Achteraf bleek hu model ee vrij accurate voorspellig te geve va de bevolkig tot 1950. Ook voor os model is dat het geval. Dat zie we i de oderstaade schermafdruk (we hebbe de uitgebreide lijst met bevolkigsaatalle PU geoemd; de bevolkigsaatalle tot het jaar 000 vid je i de tabel). Nadie ostode zeer grote afwijkige tusse model e realiteit. 45

ummer jaar bevolkig ummer jaar bevolkig 13 190 106 01 537 18 1970 03 30 031 14 1930 13 0 64 19 1980 6 54 199 15 1940 13 164 569 0 1990 48 709 873 16 1950 151 35 798 1 000 81 41 906 17 1960 179 33 175 b. Logistische groei: verloop I de oderstaade figuur hebbe we de werkelijke bevolkigsaatalle weggelate e zie we allee de grafiek va het logistische groeimodel (i ee aagepast tekevester). We zie dat het model eerst ee verseld stijgede bevolkig voorspelt maar dat deze faze gevolgd wordt door ee faze waari de bevolkig vertraagd stijgt. Volges het logistische groeimodel stabiliseert de bevolkig uiteidelijk. Met de rekemachie stelle we vast dat de limietwaarde ogeveer 166 miljoe bedraagt. I het begi bij beaderig expoetiële groei We kue ee e ader ook uit de recursievergelijkig p = ap 1 + ( 1+ b) p 1 afleide. We gaa eerst i op de begifaze. We heriere os dat de coëfficiët a i absolute waarde zeer klei is. Zolag p 1 iet groot is, zal de term ap 1 zeer klei zij i vergelijkig met de adere term. Dus: i het begi is p ( 1+ b) p 1. Deze beaderede recursievergelijkig drukt uit dat de populatie i het begi bij beaderig expoetieel groeit met groeifactor 1 + b. I de middelste figuur hieroder zie we de grafiek va de logistische groeirij tezame met de grafiek va de bijbehorede meetkudige rij. We zie dat beide grafieke i het begi iderdaad gelijk lope, maar dat de grafiek va de logistische groeirij vaaf ee zeker ogeblik duidelijk oder de grafiek va de meetkudige rij blijft. Dat heeft atuurlijk te make met het feit dat de term ap 1, die egatief is, gaadeweg meer doorweegt i de berekeig e er voor zorgt dat de groei a verloop va tijd merkbaar mider sel verloopt da bij expoetiële groei. I de rechtse figuur hieroder zij ook de werkelijke bevolkigsaatalle aagegeve. Het gaat om de oorsprokelijke aatalle, d.w.z. tot 1910. We beadrukke dat het expoetiële model dat we u gebruike iet hetzelfde is als het expoetiële model uit paragraaf 9.a dat we via regressie bepaalde. Tusse 1790 e 46

1910 bevod de Amerikaase bevolkig zich og i de verseld stijgede faze, maar we zie toch duidelijk dat de groei a verloop va tijd mider sterk verselt da op grod va het expoetiële model verwacht mag worde. Limietwaarde Als we de recursievergelijkig i de vorm p = ap + bp schrijve, da zie we dat het verschil tusse twee opeevolgede waarde voor de bevolkig zeer klei wordt als de twee terme i het rechterlid (de ee positief e de adere egatief) elkaar ogeveer i evewicht houde. Dat is het geval waeer de populatie b ogeveer gelijk is aa. Dat is i overeestemmig met de vaststellig die we eerder dede (zie de a schermafdruk hieroder). Dit aspect va het verloop laat ee wezelijk kemerk va logistische groei zie, amelijk dat het gaat over groei met greze. Dit groeimodel houdt er m.a.w. rekeig mee dat de omgevig ee beperkte draagkracht heeft. We zoude hier bijvoorbeeld kue deke aa de oppervlakte die beschikbaar is voor ladbouw, wat ee beperkig oplegt aa het aatal mese dat gevoed ka worde. We moete vaststelle dat het bevolkigsaatal odertusse sterk bove de voorspelde maximale draagkracht uitgestege is. We kue dit als volgt begrijpe. De maximale draagkracht hoeft iet costat te zij i de tijd. Efficiëtere ladbouw bijvoorbeeld zorgt er voor dat méér mese gevoed kue worde met eezelfde oppervlakte aa ladbouwgrod. Dat is ook wat effectief gebeurd is: sids 1910 is de draagkracht va de Amerikaase bevolkig sterk toegeome door efficiëtere ladbouw, ecoomische expasie,... De waarde va de coëfficiëte a e b is hierdoor sterk veraderd. 47

Webdiagram va logistische groei We make u ee webdiagram va het logistische groeimodel voor de Amerikaase bevolkig. Als we i de recursievergelijkig p vervage door y e p 1 door x, da krijge we y = ax + (1 + b) x. Het webdiagram zal u m.a.w. gebaseerd zij op de eerste bissectrice e ee (berg)parabool. We kue het verloop beter volge als we izoome op oderdele va het webdiagram. I de begifaze (zie de boveste twee schermafdrukke hieroder) heeft de parabool ee (positieve) hellig die sterker is da die va de eerste bissectrice. Coform oze eerdere bevidige moet de rij da verseld stijge. Op de lage termij daaretege kome we terecht i ee gebied waar de parabool mider sterk helt da de eerste bissectrice. Daar verloopt de groei vertraagd stijged. Bemerk dat we op deze schaal auwelijks og iets merke va de krommig va de parabool. Als we werke i ee gebied dat voldoede klei is, kue we de parabool vervage door ee gepaste raaklij! I de begifaze kue we werke met de raaklij i de oorsprog. De hellig va deze raaklij is 1 + b, wat iderdaad groter da 1 is. Op de tweede situatie kome we verderop og terug. Evewicht We gaa ook og eve i op de limietwaarde. Eerder hebbe we geleerd dat de limietwaarde verbad houdt met evewichtswaarde e met sijpute va de eerste bissectrice e de kromme die de recursievergelijkig voorstelt. De parabool sijdt de eerste bissectrice hier i twee pute, amelijk ( 0, 0) e ( b b, ). a a b Het getal herkee we als de limietwaarde die we eerder vode. Daaraast is er dus og ee adere a evewichtswaarde. Als we 0 als begiwaarde eme, da is de rij costat gelijk aa 0. Hierbove hebbe 48

we er op geweze dat de hellig va de raaklij aa de parabool i 0 gelijk is aa 1 + b, d.w.z. groter da 1. Dat leert os dat het over ee labiel evewicht gaat: als we het evewicht ee heel klei beetje verstore, da zulle de terme va de rij zich verder e verder verwijdere va de evewichtswaarde 0. b b Met de evewichtswaarde is het aders gesteld. De hellig va de raaklij aa de parabool i is a a 1 b. Dat is ee getal tusse 0 e 1. Hieruit kue we eevoudig afleide dat het evewicht stabiel is. 10. Limietgedrag bij iet-lieaire recursievergelijkige I deze paragraaf oderzoeke we twee recursievergelijkige die iet lieair zij e late we zie dat de wereld va de iet-lieaire recursieve voorschrifte veel gevarieerder is da die va de lieaire. Wat we hier bespreke, vid je voor ee deel terug i het keuzeoderwerp iteratie i het leerpla voor de 6-urecursus uit het vrij oderwijs. a. Limietgedrag bij de recursievergelijkig t = a t 1 (1 t 1 ) De wodere wereld va de recursievergelijkig t = a t 1 (1 t 1 ) We oderzoeke recursieve voorschrifte va de vorm t = a t 1 (1 t 1 ), waarbij a ee getal voorstelt. Nieuw bij deze recursievergelijkig is dat i het rechterlid ee product staat va twee factore die t 1 bevatte. 1. Welke lije zul je te zie krijge op ee webdiagram? (De rechte y = x (zoals steeds) e de parabool y = ax(1 x).) Neem a =. 5 e oem f ( x) =.5x(1 x). Maak ee webdiagram va de rij met begiwaarde 0.1 e beschrijf het verloop erva i woorde. Verklaar wat je vaststelt zoveel mogelijk op basis va het recursieve voorschrift. (Helemaal i het begi stijgt de rij, daara schommelt de rij. De schommelige worde steeds kleier e de limietwaarde is 0.6. Om dit vast te stelle, ku je gebruik make va ee tabel e/of ee webdiagram (izoome om het verloop te zie voor terme met ee groter ragummer!). De limietwaarde ku je vide door het sijput te bepale va de parabool (grafiek va f) met de eerste bissectrice. Het feit dat de rij (a ee aaloopperiode) gedempt schommeled verloopt, houdt verbad met het feit dat de raaklij i het sijput richtigscoëfficiët 0. 5 heeft. Als de terme zeer dicht bij de limietwaarde geaderd zij, kue we de parabool vervage door de raaklij. E ee rechte met richtigscoëfficiët tusse 1 e 0 zorgt voor ee gedempt schommeled verloop.) 49

3. Oderzoek de stabiliteit va de twee (!) evewichtsposities. (De parabool e de eerste bissectrice hebbe twee sijpute, die dus twee evewichtswaarde, of twee vaste pute va f, oplevere: 0 e 0.6. Als we ee begiwaarde eme i de omiddellijke omgevig va 0.6, da covergeert de rij (gedempt schommeled) aar 0.6 (verklarig: dek aa de redeerig met de raaklij bij de vorige vraag!). Dit evewicht is stabiel (of: het vaste put is aatrekked). Als de begiwaarde exact gelijk is aa 0, da zij alle terme va de rij gelijk aa 0. Neme we echter ee begiwaarde i de omiddellijke omgevig va 0 maar iet exact gelijk aa 0, da covergeert de rij iet aar 0. Als het systeem uit evewicht gebracht wordt, keert het dus iet terug aar zij evewicht. Dit evewichtsput is iet stabiel (of: het vaste put is afstoted).) We eme u a = 3. 5. 4. Bereke met de had het verloop va de rij met begiwaarde 5 7. (De rij is costat.) 5. De oderstaade schermafdruk toot het webdiagram va de rij met begiwaarde 5. Geef ee 7 verklarig voor wat er misloopt. (De machie werkt met ee decimale beaderig va de breuk e start bijgevolg met ee begiwaarde die iet exact gelijk is aa 5. Omdat het evewicht iet stabiel is, rake de terme 7 die de machie bereket steeds verder va de echte (evewichts)waarde verwijderd. Het webdiagram spiraliseert aar buite. Na ee groot aatal stappe levert dit zichtbare verschille op.) 6. Oderzoek met de had e met de rekemachie het verloop va de rij met begiwaarde 3 7. (De terme va de rij eme afwisseled de waarde 3 7 e 6 7 aa. We zegge dat zo rij periode heeft. Nu doe er zich gee probleme voor bij de berekeig met de rekemachie.) Noem f ( x) = 3.5x(1 x) e f ( x) = f( f( x)). 7. De oderstaade figuur toot de grafiek va f e de eerste bissectrice. Je kut arekee dat de sijpute optrede bij de x-waarde 0, 3 7, 5 7 e 6. Het is gee toeval dat dit de getalle 7 zij uit de vrage 5 e 6. Geef ee goede verklarig! 50

(De recursievergelijkig die we bestudere, kue we schrijve als t = f( t 1). De x-waarde waarvoor f ( x) = x geve aa welke begiwaarde ee costate rij oplevere. Dat hebbe we hierbove geregeld gebruikt om evewichtspute te bepale. De fuctie f komt tevoorschij waeer we t uitdrukke i fuctie va de term die twee plaatse voordie staat: t = f( t ) = f( f( t )) = f ( t ). 1 De x-waarde waarvoor f ( x) = x geve os dus de begiwaarde va de rije waarvoor t0 = t = t4 = t6 =... Vazelfspreked geldt da ook t 1 = t 3 = t 5 = t 7 =... We krijge da m.a.w. ee rij met periode (of ee costate rij: als t 0 = t1 ). Dat verklaart waarom 3 7 e 6 7 va de partij zij. Als de begiwaarde 0 of 5 7 is, zij alle terme va de rij aa elkaar gelijk. Da klopt de voorwaarde hierbove atuurlijk ook.) 8. Oderzoek e verklaar het verloop va de rij met begiwaarde 0.1. Je moet ver geoeg i de rij gaa (ogeveer tot ragummer 40) om te zie wat er te zie is. (Na ee aaloopperiode kome dezelfde vier getalle steeds terug: (afgerod) 0.87500, 0.388, 0.8694 e 0.50088. Het klopt iet helemaal, wat ee aatal decimale veradere og. Maar aarmate je verder gaat i de rij blijve meer e meer decimale gelijk. De rij covergeert als het ware aar ee stel limietgetalle met periode 4. We kue dit stel terugvide op de maier va vraag 7. Noem f 4 ( x) = f( f( f( f( x)))) (ee veeltermfuctie va graad 16!). De sijpute va de eerste bissectrice met de grafiek va f 4 bepale de rije met periode (hoogstes) 4. De oderstaade figuur (liks) toot de grafiek. Als we de gepaste dele uitvergrote (zie bijvoorbeeld de middelste e de rechtse figuur), zie we dat er i het totaal 8 sijpute zij. 51

We kee reeds vier va deze sijpute, amelijk deze met x-coördiaat 0, 3 7, 5 7 e 6 7. E voor de overige vier verwachte we de periodiek terugkerede waarde uit de rij hierbove te zie. Dat klopt effectief. De oderstaade figuur toot dat voor éé va deze vier. Wat experimetere leert dat er gee rije zij die op de lage duur steeds meer lijke op de rij met periode uit vraag 6, terwijl heel veel rije op de lage duur steeds meer lijke op de rij met periode 4. De verklarig daarvoor is dezelfde als die voor het al da iet stabiel zij va ee evewicht. De raaklije aa de grafiek va f 4 i de bewuste vier sijpute met de eerste bissectrice hebbe allemaal dezelfde richtigscoëfficiët, amelijk (afgerod) 0. 03, i absolute waarde kleier da 1. Daarom is dit stel va 4 aatrekked. De raaklije aa de grafiek va f i de pute met eerste coördiaat 3 7 e 6 hebbe (beide) richtigscoëfficiët 7 1.5, i absolute waarde groter da 1. Het stel va is daarom afstoted. Het is overiges iet moeilijk om aalytisch aa te toe dat de vier (resp. twee) raaklije dezelfde richtigscoëfficiët hebbe e om de richtigscoëfficiët va de twee raaklije aalytisch uit te rekee.) b. Limietgedrag bij de logistische recursievergelijkig I deze paragraaf make we ee combiatie va paragraaf 9 e 10.a. Ook bij de logistische recursievergelijkig p = ap 1 + ( 1+ b) p 1, die i paragraaf 9 geïtroduceerd werd, is het immers iteressat het limietgedrag te bestudere e we doe dat op de maier va paragraaf 10.a. We hebbe er echter voor gezorgd dat deze paragraaf oafhakelijk is va de geoemde paragrafe. Voor ee deel hebbe we het limietgedrag reeds bestudeerd i paragraaf 9: i het geval va het discrete, logistische model voor de groei va de Amerikaase bevolkig is er ee limietwaarde b a (met de waarde va a e b die daar gegeve zij) die overeekomt met ee stabiel evewicht. Nu late we de cotext va de Amerikaase bevolkig dus los e bekijke we de logistische recursievergelijkig i haar abstracte vorm. Voor de meeste waarde va a e b is er gee expliciete formule beked voor de oplossige va de logistische recursievergelijkig. Daar zulle we dus gee gebruik va kue make. 5

Vereevoudige va de recursievergelijkig De eerste stap die we zette, is het eevoudiger schrijve va de recursievergelijkig. We kue de eeheid waari we de populatiegrootte mete veradere. I plaats va te werke met het absolute aatal idividue p, zulle we relatief werke t.o.v. de evewichtswaarde b a. We zette de recursievergelijkig voor p dus om i ee recursievergelijkig voor z, waarbij We vide: z p ap = =. b b a z a = p b a = ( ap 1 + (1 + b) p 1 ) b a p 1 a(1 + b) p 1 = b b ap 1 = ap b + (1 + b) b b = bz + (1 + b) z 1 De recursievergelijkig die we zulle bestudere, is dus: 1 1 waarbij b ee positief getal is. = ( 1 + b) z 1 bz 1 z, Limietgedrag als b 1 Het webdiagram is gebaseerd op de eerste bissectrice e de parabool met vergelijkig y = ( 1+ b) x bx. De eerste bissectrice e de parabool sijde elkaar i twee pute, amelijk de oorsprog e ( 1,1). Er zij dus twee evewichtswaarde: 0 e 1. De richtigscoëfficiët va de raaklij aa de parabool i de oorsprog is 1 + b, ee getal groter da 1. Het gaat dus om ee labiel evewicht. De richtigscoëfficiët va de raaklij i ( 1,1) is 1 b. Nu moete we verschillede gevalle oderscheide. I het geval b 1 is de richtigscoëfficiët va de raaklij gelege tusse 0 e 1. I de omiddellijke omgevig va 1 moge we de parabool vervage door de raaklij. Als p voor ee zekere waarde va i die omgevig terecht komt, kee we het verdere verloop va de rij: ze zal vertraagd stijge aar 1. Het evewicht is stabiel. 1 is ee aatrekked vast put. De oderstaade schermafdrukke toe het webdiagram e de gewoe grafiek voor het geval b = 0. 75 (e begiwaarde 0.05). I het webdiagram ligt het sijput tusse de eerste bissectrice e de parabool vóór de top. 53

Limietgedrag als 1 < b < I het geval 1 < b < is de richtigscoëfficiët va de raaklij gelege tusse 1 e 0. Ook u kue we het verloop va de rij gemakkelijk afleide. I de omiddellijke omgevig va 1 moge we de parabool vervage door de raaklij. Als p voor ee zekere waarde va i die omgevig terecht komt, zulle de volgede terme i de rij gedempt schommeled covergere aar 1. Ook i dat geval is 1 ee stabiel evewicht. De oderstaade schermafdrukke toe het webdiagram e de gewoe grafiek voor het geval b = 1.75 (e met begiwaarde 0.05). I het webdiagram ligt het sijput va de eerste bissectrice e de parabool u voorbij de top. Ook deze vorm va limietgedrag werd effectief vastgesteld bij biologische populaties (zie hiervoor bv. [1]). Limietgedrag als b =.5 We bestudere u het geval dat b >. I dat geval is de richtigscoëfficiët va de raaklij strikt kleier da 1. Het evewicht i 1 is da labiel. 1 is ee afstoted vast put. Het is u veel moeilijker om het limietgedrag te voorspelle. I de omiddellijke omgevig va 1 kue we de parabool og wel vervage door de raaklij, maar dat helpt os iet veel meer. Als p i deze omgevig terecht komt, zal p + 1 verder va 1 ligge da p. De terme va de rij verlate de omgevig dus opieuw e we kue het verdere verloop iet lager afleide door te redeere m.b.v. de raaklij. De oderstaade schermafdrukke toe ee tabel e ee grafiek voor b =. 5. 54

Er zij a.h.w. twee limietwaarde. I de wiskude oemt me deze limietwaarde ophopigspute. De terme met oeve ragummer covergere aar c 1 =1.17... terwijl de terme met eve ragummer aar c = 0.71... covergere. Zoals we dat voorhee dede, associëre we aa de recursievergelijkig ee fuctie f zo dat de recursievergelijkig geschreve ka worde als z f z ). I dit geval is de vergelijkig va f dus = ( 1 f ( x) = (1 + b) x bx. We gebruike deze fuctie u om meer izicht te krijge i het feomee dat we vaststelde. We hebbe dat c1 lim + = z e c lim z + oeve eve =. Als we de fuctie f toepasse op beide lede i de eerste gelijkheid, vide we f ( c z = c. 1) = f ( lim z ) = lim f ( z ) = lim z 1 = lim + + + + + oeve oeve oeve eve Dus: f ( c1) = c. Op dezelfde maier vide we dat f ( c ) = c1. Als we op beide lede va deze gelijkheid u ogmaals f toepasse, vide we f ( f ( c = = c. 1 )) f ( c ) Dat beteket dat c 1 ee vast put is va de fuctie f, gedefiieerd door f ( x) = f ( f ( x)). Hetzelfde geldt voor c. Dat beteket dat we c 1 e c moete kue terugvide als oplossige va de vergelijkig x = f ( x). We oderzoeke dat met de rekemachie. De rechtse schermafdruk hieroder toot de grafiek va f e de eerste bissectrice. 1 Er lijke vier gemeeschappelijke pute te zij: de oorsprog e drie adere pute. I de oderstaade schermafdrukke worde deze pute bepaald. 55

Dat 0 e 1 vaste pute va f zij, hoeft os iet te verwodere. Vaste pute va f zij immers automatisch ook vaste pute va f. De adere twee vaste pute zij iderdaad c 1 e c. Met wat extra ispaig kue we de richtigscoëfficiët va de raaklij aa de grafiek va f i de pute c 1 e c bepale. We werke dit uit voor c, het vaste put dat we het laatst bepaalde. De x- coördiaat va het sijput is tijdelijk opgeslage i de variabele X. De oderstaade schermafdruk boveaa liks toot dat we deze waarde opslaa i de variabele C. De afgeleide kue we da berekee op het basisscherm via [MATH] 8:Deriv( (zie de schermafdruk boveaa rechts) of op het grafiekscherm via [d] [CALC] 6:dy/dx (zie de schermafdrukke oderaa). Omdat de afgeleide i absolute waarde kleier da 1 is, is c ee aatrekked vast put va f. Op dezelfde maier kue we ook de afgeleide i c 1 berekee (we moge iet vergete eerst het sijput opieuw te bepale zodat de goede waarde i de variabele X opgeslage wordt). Die blijkt gelijk te zij aa de afgeleide i c. c 1 is dus ook ee aatrekked vast put. Dat verklaart het limietgedrag dat we vastgesteld hebbe. Limietgedrag als b =.5 Ook i het geval dat b =. 5 heeft f vier vaste pute: 0, 1 e de twee vaste pute die hieroder getood worde. Nu blijkt de afgeleide i deze twee pute i absolute waarde echter groter te zij da 1 zodat het over afstotede vaste pute gaat. 56

De tabel e de grafiek late zie dat het feomee va de twee ophopigspute hier iderdaad iet optreedt. Nu blijkt het te gaa over vier ophopigspute waar telkes ee deel va de terme aar toe covergeert i ee cyclisch patroo. We verwachte deze vier ophopigspute terug te vide bij de vaste pute va de fuctie f 4 bepaald door f 4 ( x) = f ( f ( f ( f ( x)))). Het oderstaade stripverhaal va schermafdrukke toot dat dat iderdaad het geval is. Er zij 8 vaste pute: 0 e 1 (de afstotede vaste pute va f), 0.6 e 1. (de twee bijkomede vaste pute va f, die ook afstoted zij) e de vier ophopigspute. Deze vier ophopigspute zij aatrekkede vaste pute. Ter illustratie hebbe we de afgeleide i éé va deze vier bereked. 57

Overzicht va het limietgedrag We zij dus gestart met éé limietwaarde, daara hadde we ee geval waari er twee ophopigspute ware e daara ee geval waari er vier ophopigspute ware. We bepreke hieroder ee programma voor de TI84 dat ee figuur geereert met ee overzicht va het limietgedrag va de rij voor waarde va b va 1.65 tot.85. Eerst bekijke we de figuur. 58

b=1.75 b=.5 b=.5 Op de horizotale as wordt b uitgezet. Op de verticale as worde de limietwaarde of de ophopigspute uitgezet. I het geval dat b = 1. 75 zie we dus dat er ee limietwaarde is (i overeestemmig met wat voorafgig). Dat is zo tot b =. Daara zij er twee ophopigspute (zoals het geval b =. 5, dat we besproke hebbe), die steeds verder uit elkaar gaa. Da volgt ee gebied waari er vier ophopigspute zij. Daara zij er waarde va b waarvoor er 8, 16, 3,... ophopigspute zij. Dat is iet meer goed te zie op de figuur weges de beperkte resolutie va het scherm. Vaaf ee bepaalde waarde va b ( b >.69... ) wordt het limietgedrag zelfs og igewikkelder. I de wiskude wordt het da chaotisch gedrag geoemd (waarbij dat soort gedrag i de wiskude precies gedefiieerd wordt, maar dat zou os te ver voere). De oderstaade schermafdrukke toe het programma waarmee de figuur gemaakt werd. We overlope het programma. Eerst worde de tekevestervariabele igesteld. Vervolges worde de recursievergelijkig e de begiwaarde va de rij igevoerd. Daara wordt de horizotale as doorlope: b krijgt waarde va 1.65 tot 3 i stappe va 0.015. Voor elke waarde va b worde de terme va de rij met ragummer 51 t.e.m. 100 bereked e uitgezet. De berekede waarde valle ageoeg same met de limietwaarde of de ophopigspute va de rij voor deze waarde va b. Voor b = 1. 75 bijvoorbeeld zulle al deze terme ageoeg gelijk zij aa 1. Voor b =. 5 zij de terme afwisseled ogeveer gelijk aa c 1 e c. Ezovoort. De berekede terme worde uitgezet op de verticale rechte correspodered met de waarde va b. Voor b = 1. 75 bijvoorbeeld valle de uitgezette pute allemaal ogeveer (e i de praktijk zelfs helemaal) same met het put ( 1.75, 1). Voor b =. 5 valle de uitgezette pute afwisseled (ogeveer) same met.5, c ) e.5, c ). ( 1 ( Bibliografie [1] E.S. Allma, J.A. Rhodes, Mathematical models i biology. A itroductio, Cambridge (Cambridge Uiversity Press), 004. [] C. Birot, J. Deprez, Wiskudige begrippe e methode deel 3, Deure (Wolters Platy), 1998, ISBN 90-309- 8855-X. [3] M. Brau, Differetial Equatios ad Their Applicatios, 4thEd. New York (Spriger Verlag), 1993. [4] J. Deprez, H. Eggermot, Migratie- e Lesliematrices, Uitwiskelig 19/1 (december 00), 15-59. 59

[5] J. Deprez, J. Roels, Discrete dyamische processe, Uitwiskelig 3/3 (mei 004), 14-50. [6] J. Deprez, Rije e differetievergelijkige met de TI-83/84-familie, workshop T 3 -symposium, Oostede, augustus 004, www.ua.ac.be/joha.deprez (slides) e http://www.t3vlaadere.be/symposia/idex.html (werktekste). [7] J. Deprez, De Belg: ee bedreigde diersoort? Ee matrixmodel voor de groei va de Belgische bevolkig, lessepakket Faculteit Weteschappe KULeuve 005 http://wet.kuleuve.be/leerkrachte/lessepakket005/wiskunde/idex.html [8] J. Deprez, Rije e differetievergelijkige/recursieve vergelijkige met de TI-83/84-familie, ascholig PEDIC Get, februari 005, www.ua.ac.be/joha.deprez [9] J. Deprez, D. Jasses, Discrete dyamische systeme: wiskudige modelle met rije, vectore e matrices, ascholig Vliebergh-Secie Cetrum, Leuve, april 005, www.ua.ac.be/joha.deprez [10] J. Deprez, Discreet e dyamisch, lezig T 3 -symposium, Oostede, augustus 005, www.ua.ac.be/joha.deprez (slides) e http://www.t3vlaadere.be/symposia/idex.html (tekst). [11] J. Deprez, Discrete dyamische systeme, workshop Dag va de Wiskude, Kortrijk, ovember 005, www.ua.ac.be/joha.deprez [1] J. Deprez, G. Verbeeck, Logistische groei, Uitwiskelig / (maart 006), 14-48. [13] J. Deprez, Lesliematrices e discrete dyamische systeme, workshop T 3 -symposium, Oostede, augustus 006, www.ua.ac.be/joha.deprez e http://www.t3vlaadere.be/symposia/idex.html (slides). [14] Leerpla secudair oderwijs Wiskude Leerpla A derde graad aso studierichtige met compoet wiskude, Brussel (LICAP), september 004, D/004/079/019 60

Wiskudige modelle die tijdsafhakelijke feomee beschrijve, zij dyamische modelle. Bij discrete dyamische modelle wordt de tijd opgevat als ee discrete veraderlijke, d.w.z. dat de tijd allee gehele waarde aaeemt, bv. 0, 1,, 3,... Dergelijke discrete dyamische modelle beschrijve de tijdsafhakelijke grootheid door ee rij va getalle. Bij het opstelle va wiskudige modelle vertrekt me vaak iet va de veraderlijke grootheid zelf, maar va iformatie over de maier waarop die grootheid veradert. Bij cotiue dyamische modelle wordt die iformatie vertaald i ee differetiaalvergelijkig, bij discrete dyamische modelle i ee recursievergelijkig. Wiskudig modellere komt da eer op het opstelle va ee gepaste recursievergelijkig, het oplosse erva e het bestudere va het verloop va de oplossig. Dat is wat we i dit cahier doe. Nu e da bestudere we ook recursievergelijkige zoder verwijzig aar ee feomee uit de realiteit. Daarom hebbe we i de titel de eutralere term discrete dyamische systeme gebruikt i.p.v. discrete dyamische modelle. De TI-84 ka bijzoder goed overweg met recursievergelijkige e rije. Ook als we de recursievergelijkig aalytisch iet kue oplosse, kue we de oplossig bestudere m.b.v. de rekemachie. Vooral i de tweede helft va het cahier lere we de rekemachie als ee omisbare bodgeoot kee. Niet allee i de wiskude zelf, maar ook i het oderwijs is de aadacht voor discrete dyamische systeme de laatste jare gegroeid. Eé va de eidterme wiskude voor de studierichtige met pool wiskude uit de derde graad aso verwijst da ook terecht aar wiskudig modellere e oplosse va probleme met betrekkig tot discrete veraderigsprocesse. Het cahier biedt ook ispiratie voor het keuzeoderwerp iteratie uit diverse leerplae. I het eerste deel va dit cahier behadele we de meest eevoudige discrete dyamische systeme. Na ee aatal uitgebreide voorbeelde, formulere we oze bevidige i algemee terme e sluite we af met ee reeks oefeige. I het tweede deel kome uitbreidige aa bod. Ze staa los va elkaar e kue dus oafhakelijk va elkaar gebruikt worde. JOHAN DEPREZ doceert wiskude i de opleidig Hadelsweteschappe aa de HUBrussel e didactiek wiskude i de Specifieke Lerareopleidig aa de Uiversiteit Atwerpe. Hij is exter lector wiskude voor de Specifieke Lerareopleidig aa de K.U.Leuve, medewerker va T 3 Vlaadere e redactielid va het tijdschrift Uitwiskelig. 009 Dit cahier is bedoeld als lesmateriaal, mag hiervoor vrij gekopieerd worde e ka gedowload worde via de website www.t3vlaadere.be.