Discrete dynamische systemen

Cahiers T 3 Europe Vlaadere r. 19 Discrete dyamische systeme Recursievergelijkige met de TI-84 Joha Deprez

Discrete dyamische systeme Joha Deprez HUBrussel, Uiversiteit Atwerpe, Katholieke Uiversiteit Leuve Ihoud 1. Ileidig. Met adere oge kijke aar ee klassieker 3. Medicijspiegel a. Evolutie va de hoeveelheid medicij i het bloed b. Evewicht e limietwaarde c. Expliciete vergelijkig d. Algemee oplossig va de recursievergelijkig e. Ee alteratieve grafische voorstellig 4. Ee discreet, dyamisch marktmodel 5. Lieaire recursievergelijkige va de eerste orde met costate coëfficiëte e costat rechterlid 6. Oefeige 7. Matrixmodelle e stelsels va gekoppelde homogee lieaire recursievergelijkige va de eerste orde 8. Ee lieaire recursievergelijkig va de tweede orde met costate coëfficiëte e costat rechterlid 9. Groei va de bevolkig va de VS a. Opstelle va ee model b. Logistische groei: verloop 10. Limietgedrag bij iet-lieaire recursievergelijkige a. Limietgedrag bij de recursievergelijkig t = a t 1 (1 t 1 ) b. Limietgedrag bij de logistische recursievergelijkig 1

1. Ileidig Discrete dyamische systeme I de afgelope dertig jaar heeft het wiskudeoderwijs i Vlaadere grodige veraderige odergaa. Eé va die veraderige is de grotere aadacht voor toepassige va wiskude i adere domeie. Ee situatie die daarbij vaak voorkomt, is het beschrijve va ee grootheid, zeg x, die tijdsafhakelijk is. Wiskudige modelle die dergelijke tijdsafhakelijke feomee beschrijve, zij dyamische modelle. Bij discrete dyamische modelle wordt de tijd opgevat als ee discrete veraderlijke, d.w.z. dat de tijd allee gehele waarde aaeemt, bv. 0, 1,, 3,... De grootheid x eemt da waarde x 0, x 1, x, x 3,... aa, m.a.w. de evolutie va de grootheid wordt beschreve door ee rij va getalle. Bij het opstelle va wiskudige modelle vertrekt me vaak iet va de veraderlijke grootheid zelf, maar va iformatie over de maier waarop die grootheid veradert, d.w.z. va x1 x0, x x1, x3 x,... Op basis va deze iformatie moet me da achteraf de gepaste rij probere te vide. Bij de groei va ee populatie ka me bijvoorbeeld vertrekke va de hyposthese dat de groei everedig is met de grootte va de populatie, d.w.z. dat x x 1 = kx 1 voor alle 1, waarbij k ee (al da iet geked) getal is. Ee equivalete vorm is x = ( 1+ k) x 1. We zie dat de hypothese wiskudig uitgedrukt wordt door ee recursievergelijkig. De rije die voldoe aa deze recursievergelijkig zij de meetkudige rije met rede 1 + k. Wiskudig modellere komt i het discrete geval vaak eer op het opstelle va ee gepaste recursievergelijkig, het oplosse va deze recursievergelijkig e het bestudere va het verloop va de oplossig. Dat is wat we i dit cahier zulle doe. We zulle voor ee aatal feomee uit de realiteit ee recursievergelijkig opstelle, oplosse e het verloop va de oplossig(e) bestudere. Nu e da zulle we ook recursievergelijkige e het verloop va hu oplossige bestudere zoder verwijzig aar ee cocreet feomee uit de realiteit. Daarom hebbe we i de titel va dit cahier de eutralere term discrete dyamische systeme gebruikt i.p.v. discrete dyamische modelle. We zulle i dit cahier merke dat de TI-84 bijzoder goed overweg ka met recursievergelijkige e rije. Ook als we de recursievergelijkig aalytisch iet kue oplosse, kue we de oplossig bestudere m.b.v. de rekemachie. Vooral i de tweede helft va het cahier lere we de rekemachie als ee omisbare bodgeoot kee. We kome hier bij ee tweede grote veraderig i het wiskudeoderwijs, amelijk de groeiede rol va elektroische hulpmiddele i de hade va de leerlige. Het feit dat computers e rekemachies goed met recursievergelijkige overweg kue, is ee va de redee waarom dit oderwerp (iet allee i het oderwijs, maar ook i het weteschappelijk oderzoek) de laatste deceia meer aadacht krijgt. Bij cotiue dyamische modelle worde gewoe fucties x (t) gebruikt i.p.v. rije e worde de recursievergelijkige vervage door differetiaalvergelijkige. Die drukke ee verbad uit tusse ee gewoe fuctie e haar afgeleide(). Voor leerlige uit het secudair oderwijs zij differetiaalvergelijkige coceptueel ee stuk moeilijker da recursievergelijkige. Ook het oplosse is moeilijker, althas i het begi. Daarom is het mider evidet om leerlige uit het secudair oderwijs keis te late make met wiskudig modellere i het cotiue geval. Eidterme e leerplae Eé va de eidterme wiskude voor aso (decretale specifieke eidterm ummer 18 om precies te zij; allee va toepassig voor studierichtige met pool wiskude) draagt als titel discrete wiskude e luidt als volgt: De leerlige kue telprobleme of probleme met betrekkig tot discrete veraderigsprocesse wiskudig modellere e oplosse. 3

Telprobleme worde va oudsher behadeld i os oderwijs. Het adere oderwerp uit de eidterm, discrete veraderigsprocesse, was ieuw. I de leerplae voor het gemeeschapsoderwijs e die va het oderwijs va de stede e gemeete blijft de discrete wiskude beperkt tot de telprobleme (wat perfect ka weges de of i de eidterm). I het vrij oderwijs heeft me er voor geopteerd om het ieuwe oderwerp discrete veraderigsprocesse op te eme bij de verplichte leerstof voor de 6-urecursus. De doelstellige i dat verbad zij: De leerlige kue de covergetie of divergetie va ee rij met voorbeelde illustrere. (DI1) De leerlige kue limiete va eevoudige rije bepale. (DI) De leerlige kue probleme met betrekkig tot discrete veraderigsprocesse wiskudig modellere e oplosse. (DI3) Er is i de 6-urecursus daaraast ook ee keuzeoderwerp iteratie voorzie dat hier heel auw bij aaleut. Discrete veraderigsprocesse e/of iteratie kome ook voor als keuzeoderwerp i adere leerplae voor het vrij oderwijs (4-uurscursus, sommige leerplae uit tso/kso). Het oderwerp is bovedie ook bruikbaar voor vrije-ruimte-doeleide of als facultatieve uitbreidig. Basis e uitbreidig De ker va dit cahier bestaat uit de paragrafe t.e.m. 6. Hieri behadele we de meest eevoudige discrete dyamische systeme, amelijk deze die beschreve worde door lieaire recursievergelijkige va de eerste orde met costate coëfficiëte e costat rechterlid, d.w.z. recursievergelijkige va de vorm x = ax 1 + b, met a e b reële getalle. I de paragrafe, 3 e 4 behadele we alle basisbegrippe e -eigeschappe a.d.h.v. ee aatal voorbeelde. I paragraaf 5 vatte we al oze bevidige same e formulere we ze i algemee terme. Paragraaf 6 sluit dit deel af met oefeige waarmee het geleerde verwerkt ka worde. De volgede paragrafe vorme uitbreidige va dit basismateriaal. Ze staa los va elkaar e kue dus oafhakelijk va elkaar gebruikt worde. I paragraaf 7 verhoge we de dimesie va éé aar twee (of meer): we gaa over va éé recursievergelijkig (die éé rij beschrijft) aar ee stelsel va twee (of meer) gekoppelde recursievergelijkige (dat twee of meer rije tegelijk beschrijft). Hoewel dit beteket dat de materie igewikkelder wordt, kome we hiermee vreemd geoeg toch op terrei dat relatief beked is i het secudair oderwijs. Bij matrices worde dergelijke meerdimesioale discrete dyamische systeme immers vaak behadeld, zoder evewel die aam te gebruike. Ee voorbeeld zij de zogeaamde Lesliemodelle, waarbij de evolutie va ee populatie bestudeerd wordt, gestructureerd volges leeftijd. I paragraaf 7 werke we dit verder uit, maar da wel a.d.h.v. ee voorbeeld waarbij de overgagsmatrix ee migratiematrix is. I paragraaf 8 kere we terug aar dimesie éé, maar verhoge we de orde va de recursievergelijkig. Dat beteket dat we os i het rechterlid iet beperke tot de omiddellijk voorafgaade term, maar dat ook terme voorkome die verder teruggaa i de rij. We bespreke ee voorbeeld, amelijk de recursievergelijkig t = t 1 + t, die de rij va Fiboacci beschrijft. Deze paragraaf is los va de voorgaade paragraaf te behadele (op ee klei oderdeeltje a, dat je da weg kut late). I paragraaf 9 late we het lieaire karakter va de recursievergelijkig los. Ook hier behadele we éé voorbeeld, amelijk de recursievergelijkig die (discrete) logistische groei beschrijft. We stelle i deze paragraaf ee wiskudig model op voor de groei va de bevolkig va de Vereigde State. Paragraaf 9 staat volledig los va de voorgaade twee paragrafe. Paragraaf 10.b ka gezie worde als ee vervolg op paragraaf 9. Het limietgedrag va lieaire recursievergelijkige is zeer overzichtelijk, maar daardoor wat saai. Nietlieaire recursievergelijkige hebbe wat dat betreft veel meer verrassige i petto. Deze opwidede wereld verkee we i paragraaf 10. We doe dat voor twee voorbeelde (die ogal gelijkloped zij). I deze paragraaf zie we hoe de typische oderwerpe die met iteratie verbode zij (aatrekkede e afstotede vaste pute,...) opduike bij discrete dyamische systeme. Paragraaf 10.a staat volledig los va de voorgaade paragrafe. I paragraaf 10.b wordt het limietgedrag oderzocht va de logistische 4

recursievergelijkig. Ook deze paragraaf staat los va de voorgaade paragrafe, al is het atuurlijk wel leuker als je de leerlige eerst verteld hebt waar deze recursievergelijkig vadaa komt (bijvoorbeeld a.d.h.v. paragraaf 9). Ee compilatie Veel T 3 -cahiers worde a hu otstaa als cursustekst bij T 3 -sessies gebruikt. Met dit cahier is het eerder omgekeerd gegaa. Ik heb i de afgelope jare les gegeve over dit oderwerp aa studete, er verschillede workshops, lezige,... voor wiskudelerare over gegeve, e er (soms same met adere) tekste rod geschreve. Het T 3 -cahier is ee compilatie va het materiaal dat bij die gelegehede gemaakt is. I de bibliografie vid je ee overzicht va dit materiaal, dat i tekstvorm of oder de vorm va slides beschikbaar is ([], [4-13]). Je zal i dit cahier dus materiaal aatreffe dat i het verlede al verspreid is. Nu is het verwerkt tot éé samehaged geheel. E atuurlijk zij sommige dele toch og ieuw uitgewerkt voor dit cahier. I.v.m. het gebruik va de TI-84 We make i dit cahier gebruik va de TI-84 Plus. We veroderstelle dat het basisgebruik va de rekemachie geked is. Wat specifiek is voor het werke met rije e recursievergelijkige legge wel uit. We zij uitgegaa va ee machie die aa het begi va het cahier ee reset odergaa heeft.. Met adere oge kijke aar ee klassieker De klassieker... I het Vlaamse wiskudeoderwijs is het volgede probleem (of variate hierva) beked: Voor de aaleg va ee brug over ee spoorweg moet zad aagevoerd worde. Op de plaats waar het zad gewoe wordt, is er ee kleie vijver va 900 m, die door de graafwerke vergroot wordt. Me wil er ee grote vijver va make die diest zal doe voor waterrecreatie. Elke week wordt de vijver 150 m groter. Bij het begi va de werke merkt ee arbeider va de graaffirma op dat ee bepaalde soort waterplate 8 m va de oppervlakte va de vijver ieemt. Tijdes de volgede weke blijkt deze oppervlakte elke week met ee kwart (va de oppervlakte die op dat ogeblik reeds igeome is) toe te eme. De arbeider maakt zich ogerust e merkt op dat hier iets aa gedaa moet worde. De vijver zal aders vlug volledig overdekt zij met waterplate. Maar zij baas ziet voorlopig gee gevaar: "De vijver wordt toch elke week 150 m groter." Wie heeft gelijk: de arbeider of zij baas? Het probleem wordt gewoolijk opgelost m.b.v. fucties. Als we de oppervlakte va de vijver (i m ) voorstelle door V e de tijd (i weke, vaaf het ogeblik dat de vijver 900 m groot is) door t, da wordt de groei va de oppervlakte va de vijver beschreve door de eerstegraadsfuctie met vergelijkig V = 900 + t 150. De groei va de waterplate wordt beschreve door de expoetiële fuctie met t vergelijkig W = 8 1. 5, waarbij W de oppervlakte voorstelt die igeome is door de waterplate. Met behulp va ee tabel of de grafieke va deze fucties vide we da al sel dat de arbeider gelijk heeft. 5

I deze aapak bekijke we de tijd als ee cotiue veraderlijke, d.w.z. dat de tijd hier alle (positieve) reële waarde ka aaeme, iet allee gehele waarde. We gebruike het woord cotiu hier zoals dat i de toegepaste wiskude e de statistiek gebruikelijk is. Het gaat over de cotiuïteit va ee veraderlijke, iet over de cotiuïteit va ee fuctie.... met adere oge bekeke Bij ader izie is het toch iet helemaal evidet dat we dit doe. I de opgave staat bijvoorbeeld dat de vijver elke week 150 m groter wordt. We krijge dus allee iformatie over de toeame over ee gehele week. Hoe de groei i de loop va de week verloopt, vide we iet terug i de opgave. De eerstegraadsfuctie die we gebruike om de groei va de vijver te modellere, doet daaretege uitschije dat de groei volkome regelmatig verloopt: elke dag, elk uur, elke miuut,... groeit de oppervlakte va de vijver eve sel. Dat zal i de realiteit atuurlijk iet het geval zij. Dek maar aa het verschil tusse weekdage e weeked, aa dag e acht, aa luchpauzes,... De eerstegraadsfuctie geeft dus gee volledig correcte weergave va wat i de realiteit gebeurt. Nu is dat atuurlijk eige aa het gebruik va ee wiskudig model, dat omwille va de eevoud de realiteit steeds slechts bij beaderig weergeeft. Maar de kwestie wijst os i dit geval wel de weg aar discrete modelle voor de groei va de vijver e de waterplate. Groei va de vijver We beschouwe de tijd u als ee discrete veraderlijke. We late de tijd u dus allee (positieve) gehele waarde aaeme. Om dat te beadrukke, gebruike we de letter i.p.v. t. Dus: is het aatal weke a het begitijdstip. Met V geve we de oppervlakte va de vijver (i m ) weer weke a het begitijdstip. Het gegeve dat de oppervlakte i het begi 900 m bedraagt, geve we i formulevorm weer als ee begivoorwaarde V 0 = 900. Het gegeve dat de oppervlakte elke week met 150 m recursievergelijkig toeeemt, ka vertaald worde i de V = V 1 +150, die geldt voor alle 1 i N. De begivoorwaarde e recursievergelijkig bepale de rekekudige rij met algemee term V = 900 + 150 of, i meer gebruikelijke schrijfwijze: V = 900 + 150. De rekekudige rij is ee discreet wiskudig model va de groei va de vijver. Berekeige op het basisscherm Met behulp va de grafische rekemachie kue we de opeevolgede waarde voor de oppervlakte va de vijver gemakkelijk geerere op het basischerm door te steue op de begiwaarde e de recursievergelijkig. We begie met het igeve va de begiwaarde V 0 : 6

Het lijkt op het eerste gezicht wat vreemd om dit te doe, maar dadelijk zal blijke dat deze start wel degelijk erg uttig is. Nu late we de rekemachie 150 optelle bij de begiwaarde, wat os V 1 geeft. De As hoeve we iet zelf i te type. De rekemachie voegt dit i zodra we het plusteke itoetse. Bij de berekeig wordt As vervage door het laatst berekede atwoord, dat hier 900 is. Als we u [ENTER] drukke zoder ee ieuwe ivoer op te geve, wordt het laatst igegeve commado opieuw uitgevoerd. We telle dus 150 op bij het laatst berekede atwoord (u 1050, e iet meer 900!). Zo vide we dus V. Als og herhaaldelijk [ENTER] drukke, wordt het commado steeds opieuw uitgevoerd, met telkes het resultaat va de vorige berekeig i de rol va As. Zo krijge we dus V 3, V 4, V 5,... Groei va de waterplate De gegeves over de groei va de waterplate kue we vertale i de begivoorwaarde e recursievergelijkig W 0 = 8 e W = W 1 1. 5, die de meetkudige rij met algemee term W = 8 1. 5 bepale. Hierbij stelt W de oppervlakte (i m ) voor die igeome wordt door de waterplate weke a het begitijdstip. Tabel e grafiek Ook va deze discrete modelle kue we m.b.v. de grafische rekemachie ee tabel e grafiek make. We moete de machie daarvoor eerst i SEQ-modus zette: druk [MODE], verplaats de cursor met de pijltjes aar SEQ op de vierde lij e druk [ENTER] om de istellig va FUNC te veradere i SEQ. 7

I SEQ-modus ziet het Y=-scherm er aders uit: i plaats va ruimte voor 10 fucties, is er ruimte voor drie rije, met stadaardbeamige u, v e w. Omdat de v e w passe bij de beamige die we de veraderlijke gegeve hebbe, make we gebruik va deze twee rije. We geve aa dat de begiterm va de rij ragummer 0 heeft door Mi gelijk te stelle aa 1. Bij v e w geve we de algemee term i, zoals op oderstaade schermafdruk te zie is. Het symbool krijg je door de toets [X,T,θ,] te gebruike. Deze toets heeft dus ee ader effect i SEQ-modus da i FUNC-modus! Bemerk de schrijfwijze die door de rekemachie gehateerd wordt: V e W worde geoteerd als v() e w(), dus met haakjes i.p.v. met ee oderidex. Voor de begiwaarde v(mi) e w(mi) mag je iets ivulle. We make ee tabel door via [d] [TBL SET] goede istellige i te geve e [d] [TABLE] te drukke. Nu wille we de grafieke late make. We merke dat ook het WINDOW-vester gewijzigd is. Aagezie het ragummer uitgezet wordt op de horizotale as geve we voor Mi e Max mi of meer hetzelfde i als voor XMi e XMax (we zulle i ee va de volgede paragrafe ee grafische voorstellig va ee rij zie waarbij het va belag is dat we wel iets verschilleds kue ivulle). We zie beide grafieke op de oderstaade schermafdruk rechts. 8

Recursievergelijkig e grafiek We hebbe de grafiek gemaakt door i het Y=-scherm de algemee term i te geve. Het ka ook door gebruik te make va de recursievergelijkig e begivoorwaarde. Dat zie je i de oderstaade schermafdrukke (de accolades rod de begiwaarde worde automatisch door de rekemachie geplaatst e hoef je dus iet i te geve). De symbole v e w moet je igeve m.b.v. de kleie letter v e w die je vidt liksbove de toetse [8] e [9], dus via [d] [v] e [d] [w] e iet via [ALPHA] [V] e [ALPHA] [W]. Gelijkmatig e verseld stijge Tot slot va deze paragraaf staa we er og eve bij stil hoe we de uitkomst va dit vraagstukje kue begrijpe e i verbad kue brege met het verloop va beide rije. Beide oppervlaktes eme toe, wat beteket dat beide rije stijged zij. De oppervlakte va de vijver eemt gelijkmatig toe, elke week eve veel. De rij die de evolutie va de oppervlakte va de vijver beschrijft, is gelijkmatig stijged. De adere rij eemt iet gelijkmatig toe. De verschille tusse opeevolgede terme worde steeds groter. De oppervlakte va de waterplate eemt dus steeds seller toe. Het gaat over ee verseld stijgede rij. Dat verklaart waarom de oppervlakte va de waterplate de oppervlakte va de vijver uiteidelijk ihaalt, ook al loopt de oppervlakte va de waterplate aavakelijk meer e meer achterstad oploopt. 3. Medicijspiegel a. Evolutie va de hoeveelheid medicij i het bloed I het voorgaade voorbeeld werde rekekudige e meetkudige rije herhaald i de cotext va lieaire e expoetiële groei. Teves werd aagegeve hoe je met rije omgaat met de grafische rekemachie. We leerde de [ANS]-toets gebruike i combiatie met de recursieve vergelijkig om terme va de rij te berekee op het basisscherm. We toode hoe je ee tabel e grafiek va ee rij kut make vertrekked va de algemee term of va de recursievergelijkig e begivoorwaarde. Nu werke we met ee voorbeeld waari de recursievergelijkig wat igewikkelder is. We doe dit a.d.h.v. ee werktekst. De atwoorde op de vrage vid je i cursief tusse de vrage. De werktekst zoder de atwoorde vid je i WORD-formaat op de T 3 -website. Natuurlijk hoef je deze leerstof iet per se i de vorm va ee werktekst te behadele e ka je de werktekst ook gerust gebruike als ispiratie voor ee oderwijsleergesprek hierover. 9

Medicijspiegel Bij Jelle wordt ee lagdurige ziekte vastgesteld. Hij moet hiervoor ee bepaald medicij ieme. Eé dosis bevat 1500 mg va de werkzame stof. Kort a de iame is de werkzame stof volledig opgeome i het bloed. Gedurede de volgede dage verdwijt ze lagzaam uit het bloed: elke dag vermidert de hoeveelheid werkzame stof i het bloed met 5%. 1. Noem h de hoeveelheid werkzame stof i het bloed dage a de iame. Geef ee recursievergelijkig met begivoorwaarde voor de rij h 0, h 1, h,... Over welk type va rij gaat het? Bereke de hoeveelheid werkzame stof i het bloed a 1,, 3,..., 10 dage. Maak ook ee grafiek va de rij. Geef tot slot de algemee term. (De begivoorwaarde is h 0 = 1500 e de recursievergelijkig is h = 0.75h 1. Het gaat over ee meetkudige rij. De hoeveelheid werkzame stof i het bloed a 1,, 3,..., 10 dage wordt getood i de oderstaade schermafdrukke: De oderstaade schermafdrukke toe de grafiek. De algemee term va de rij is h = 1500 0. 75.) Natuurlijk volstaat het iet dat Jelle éé keer ee dosis va het medicij ieemt. Hij zal gedurede ee aatal maade elke dag ee dosis moete ieme. Nu worde er dus twee feomee met elkaar gecombieerd: tusse twee iames door verdwijt ee gedeelte va de werkzame stof geleidelijk uit het bloed e bij de iame va ee ieuwe dosis loopt de hoeveelheid werkzame stof i het bloed op korte tijd zeer sel op. Noem H de hoeveelheid werkzame stof i het bloed dage a de eerste iame, et a de iame va ee ieuwe dosis. 10

. Bepaal H 0, H 1 e H. (Het is duidelijk dat H 0 = 1500. Tijdes de dag die volgt op de eerste iame eemt de hoeveelheid werkzame stof i het bloed af tot 0.75 1500 mg = 115 mg. Da eemt Jelle ee ieuwe dosis va het medicij, waardoor de hoeveelheid werkzame stof i zij bloed op zeer korte tijd met 1500 mg toeeemt tot 65 mg. Zo vide we dat H 1 = 65. De tweede dag evolueert de hoeveelheid werkzame stof i het bloed op dezelfde maier: eerst ee geleidelijke afame tot 75% va de oorsprokelijke hoeveelheid e daara ee zeer selle toeame met 1500 mg zodat H = 0.75 65 + 1500 3468. 75.) = 3. Geef ee recursievergelijkig va de rij H 0, H 1, H,... (De recursievergelijkig is H = 0.75 H 1 + 1500. Bemerk dat deze recursievergelijkig gezie ka worde als ee combiatie va de recursievergelijkig va ee rekekudige rij e die va ee meetkudige rij: we vermeigvuldige de voorgaade term steeds met eezelfde getal e telle er daara telkes eezelfde getal bij op.) 4. Oderzoek de evolutie va de hoeveelheid werkzame stof i het bloed. (We toe verschillede maiere om de evolutie te oderzoeke. Je ka bijvoorbeeld terme va de rij geerere op het basisscherm. De likse schermafdruk toot de start. De rechtse toot de hoeveelheid werkzame stof i het bloed a ogeveer ee maad. Ee adere mogelijkheid is het make va ee tabel: De oderstaade schermafdrukke toe de grafiek: We stelle vast dat de rij stijged is. De toeames eme echter stelselmatig af. Daarom spreke we over ee vertraagd stijgede rij. Op lagere termij blijkt de hoeveelheid werkzame stof i het bloed te stabilisere rod 6000 mg. De rij heeft dus limietwaarde 6000.) 5. We hebbe Jelle bij het begi va de kuur éé dosis va het medicij late ieme. Hoe evolueert de hoeveelheid werkzame stof als Jelle bij het begi va de kuur iees twee, drie, 11

vier, vijf,... dosisse ieemt? Allee de dosis op de eerste dag veradert; de volgede dage eemt hij gewoo éé dosis i. (De oderstaade schermafdruk toot het verloop als Jelle bij het begi of 3 dosisse ieemt: We stelle vast dat het verloop iet drastisch wijzigt: de rij is og steeds vertraagd stijged e de limietwaarde blijft 6000. Allee de begiwaarde veradert i 3000, respectievelijk 4500. De limietwaarde lijkt oafhakelijk te zij va de begiwaarde. Hieroder zie we het verloop waeer Jelle de eerste dag 5 dosisse ieemt: Het verloop is u vertraagd daled. Ook u blijft de limietwaarde 6000. De laatste schermafdruk toot het verloop waeer Jelle de eerste dag 4 dosisse ieemt: I dit geval blijft de hoeveelheid werkzame stof i het bloed costat. We kue dit ook gemakkelijk begrijpe: op éé dag verdwijt er 5% va de 6000 mg werkzame stof uit het bloed e dat is precies gelijk aa de hoeveelheid die er op het eide va de dag bijkomt door de iame va ee ieuwe dosis. Er is hier m.a.w. sprake va ee evewicht tusse de twee processe. We kue u ook beter het verloop begrijpe i de adere gevalle. Zolag de hoeveelheid werkzame stof i het bloed kleier is da 6000 mg, verdwijt er i de loop va de dag mider medicij uit het bloed da er bijkomt door de ieuwe iame. De hoeveelheid werkzame stof i het bloed eemt daardoor dag a dag toe. Naarmate de hoeveelheid medicij i het bloed echter 1

dichter adert tot 6000 mg, wordt het verschil kleier tusse wat uit het bloed verdwijt e wat igeome wordt. Als de hoeveelheid werkzame stof i het bloed groter is da 6000 mg, verdwijt er i de loop va de dag meer medicij uit het bloed da er bijkomt door de ieuwe iame, waardoor de hoeveelheid werkzame stof i het bloed dus kleier wordt.) b. Evewicht e limietwaarde Evewicht e limietwaarde, rol va de begiwaarde I de werktekst stelde we vast dat, wat de begiwaarde ook is, de hoeveelheid werkzame stof i het bloed a verloop va tijd ageoeg gelijk wordt aa de evewichtswaarde. Als de begiwaarde iet gelijk is aa 6000, zal gee ekele term i de rij exact gelijk zij aa 6000, maar het verschil wordt zo klei dat het i de praktijk gee belag meer heeft. Daarom zegge we dat de hoeveelheid werkzame stof i het bloed aar ee evewicht evolueert. Stabiel evewicht Veroderstel dat iemad het medicij al heel lag ieemt. We moge er m.a.w. va uitgaa dat de evewichtssituatie bereikt is. Neem aa dat hij op ee bepaalde dag vergeet het medicij i te eme. Of dat hij ee bepaalde dag twee dosisse ieemt. Vaaf de volgede dag eemt hij opieuw getrouw de dagelijkse portie i. Da zal de hoeveelheid werkzame stof i het bloed terug evoluere aar het evewicht. Met adere woorde: als het systeem eerst i evewicht is e daara uit evewicht gebracht wordt, da keert het terug aar de evewichtssituatie. We spreke daarom over ee stabiel evewicht. Dyamisch evewicht We zoude kue deke dat er i de evewichtssituatie iets meer veradert. Dat is echter iet het geval. Itegedeel, i de loop va de dag verdwijt er og altijd ee gedeelte va de werkzame stof uit het bloed e bij de iame va de volgede dosis schiet de hoeveelheid werkzame stof i het bloed plots weer omhoog. Allee is het zo dat er eveveel bijkomt als er verdwijt, amelijk 1500 mg. Het zij dus iet dezelfde molecule werkzame stof die i het bloed blijve, maar allee de hoeveelheid medicij i het bloed blijft gelijk (temiste i het discrete model, zie verder). We zegge daarom dat er sprake is va ee dyamisch evewicht. Berekee va het evewicht (e de limietwaarde) Het evewicht ka op de volgede maier sel bereked worde. We zoeke ee getal E waarvoor geldt dat de (costate) rij met algemee term H = E voldoet aa de recursievergelijkig H = 0.75H 1 + 1500. Ivulle geeft dat E moet voldoe aa de evewichtsvergelijkig E = 0.75E + 1500. Hieruit vide we gemakkelijk dat E = 6000. Veroderstel u dat het evewicht bij ee adere (bv. zwaardere) persoo op 7500 mg moet ligge. We kue dat probere te bereike door de dagelijkse dosis aa te passe. De evewichtsvergelijkig wordt u E = 0. 75E + d, waarbij d de dagelijkse dosis is. Met E = 7500 vide we d = 1875. Ee adere mogelijkheid zou er i kue bestaa te zorge voor ee vertraagde uitscheidig. Da kue we de dagelijkse dosis evetueel behoude. Met p het percetage werkzame stof dat dagelijks uit het bloed verdwijt, wordt de evewichtsvergelijkig da Met E = 7500 geeft dit p = 0. p E = 1 E + 1500. 100 13

Limietwaarde oafhakelijk va de begiwaarde I het voorbeeld va de medicijspiegel stelle we vast dat de limietwaarde gelijk is aa de evewichtswaarde. De evewichtswaarde kue we berekee uit de evewichtsvergelijkig. I de evewichtsvergelijkig speelt de begiwaarde va de rij gee rol. De evewichtsvergelijkig is uitsluited gebaseerd op de recursievergelijkig. Dat verklaart waarom de limietwaarde oafhakelijk is va de begiwaarde. Evewicht? I het geval va begiwaarde 6000 hebbe we vastgesteld e beredeeerd dat er ee evewicht optreedt. Dat is echter allee het geval i het discrete model. I dat discrete model beschrijve we de hoeveelheid werkzame stof i het bloed omiddellijk a de iame (e opame i het bloed) va ee ieuwe dosis. Tusse twee iames door daalt de hoeveelheid werkzame stof i het bloed telkes. I het oderstaade cotiue model va de situatie bij evewicht is deze tussetijdse dalig mee opgeome: 6000 0.75 6000 0.75 f ( t) = 6000 0.75... t t 1 t als 0 t < 1 als1 t < als t < 3 We geve eerst wat techische uitleg i.v.m. het igeve va de vergelijkig va de fuctie. Je merkt dat er iet met éé fuctie gewerkt wordt maar met verschillede fucties. Dat is iet zo essetieel, maar wel hadig. Zo hoeve we de ogelijkhede immers slechts éé keer i te type. Late we u kijke aar de eerste fuctie die igegeve is. Je merkt dat er twee keer gedeeld wordt door ee ogelijkheid. Het itype va het ogelijkheidsteke gebeurt via [d] [TEST] TEST. Ee dergelijke ogelijkheid ka op de TI-84 twee waarde aaeme, afhakelijk va de waarde va t. Voor t-waarde waarvoor de ogelijkheid klopt, wordt de ogelijkheid vervage door 1 e voor t-waarde waarvoor de ogelijkheid iet klopt door 0. Het resultaat is dat we dele door 1 voor t-waarde met 0 t < 1 e door 0 aders. Voor t-waarde met 0 t < 1 krijge we dus gewoo de fuctiewaarde. Voor adere t-waarde is de fuctiewaarde iet bepaald. Herier je dat het woord cotiu i de cotext va wiskudige modelle op ee adere maier gebruikt wordt da bij de studie va fucties: het cotiue wiskudige model f is gee cotiue fuctie! De afame tijdes de dag wordt gemodelleerd a.d.h.v. ee dalede exapoetiële fuctie e de zeer selle opame va de ieuwe dosis i het bloed door ee sprog i de grafiek. I de oderstaade schermafdrukke is de zeer selle opame aders gemodelleerd, amelijk door ee zeer steil lijstuk. De resulterede fuctie is u wel cotiu. 14

Als we de dalig mee wille modellere, hoeve we iet per se ee beroep te doe op ee cotiu model. We kue atuurlijk ook werke met ee discreet model met ee kleiere tijdstap. c. Expliciete vergelijkig Expliciete vergelijkig We zoeke ee expliciete vergelijkig voor de rij uit i fuctie va H 0 : H 1 = 0.75 H 0 + 1500 H H 3 = 0.75 H = 0.75 (0.75 H = 0.75 = 0.75 1 H = 0.75 H + 1500 0 = 0.75 (0.75 3 H H. De volgede uitdrukkige drukke de eerste terme va 0 + 1500) + 1500 + (0.75 + 1) 1500 + 1500 0 H 0 + (0.75 + (0.75 + 1) 1500) + 1500 + 0.75 + 1) 1500 Het patroo i deze uitdrukkige leidt tot de volgede formule voor H : 1 H = 0.75 H + (0.75 + 0.75 +... + 0.75 + 1) 1500. 0 Met behulp va de formule voor de som va ee meetkudige rij kue we de som tusse de haakjes eevoudiger schrijve: Uitwerkig hierva geeft: Met H 0 = 1500 vide we tot slot: 1 0.75 H = 0.75 H 0 + 1500. 1 0.75 H = ( H 0 6000) 0.75 + 6000. H = 4500 0.75 + 6000. De grafiek verklaard I de voorgaade paragrafe hebbe we het verloop va deze rij kue vaststelle a.d.h.v. de grafiek. Met behulp va de uitdrukkig die we u gevode hebbe, kue we het verloop va de rij u ook begrijpe: De rij t = 0. 75 ket ee vertraagd daled verloop, met begiwaarde 1 e limietwaarde 0. 15

Toevoege va de factor 4500 beteket dat we de grafiek eerst moete spiegele t.o.v. de horizotale as e daara verticaal moete uitrekke met factor 4500 (waarbij we atuurlijk de schaal op de verticale as aapasse). De begiwaarde is 4500, de limietwaarde blijft 0 e de rij verloopt u vertraagd stijged. Als we te slotte de term 6000 toevoege, moet de grafiek over 6000 eehede omhoog schuive. Begiwaarde e limietwaarde verhoge met 6000 tot 1500 e, respectievelijk, 6000. Het vertraagd stijgede verloop blijft behoude. d. Algemee oplossig va de recursievergelijkig Algemee oplossig Om de evolutie va de hoeveelheid medicij i het bloed te kee waeer de begiwaarde ee ader getal da 1500 is, hoeve we i H = ( H 0 6000) 0.75 + 6000 voor H 0 ekel dat adere getal i te vulle. Voor elke begiwaarde krijge we ee adere rij. Het eige wat veradert, is de coëfficiët va 0.75. Alle rije die we op deze maier vide, hebbe ee expliciete vergelijkig va de vorm H = C 0.75 + 6000, waarbij C ee getal voorstelt. De waarde va C hagt af va de begiwaarde: C = H 0 6000. Sommige waarde va C correspodere met ee egatieve begiwaarde of met ee orealistisch hoge begiwaarde e kue dus iet de evolutie va de hoeveelheid medicij i het bloed voorstelle. Maar puur wiskudig gezie voldoe al deze rije aa de recursievergelijkig, wat ook de waarde va C is. Het zij m.a.w. allemaal oplossige va de recursievergelijkig. De recursievergelijkig heeft dus oeidig veel oplossige. Omdat we al deze oplossige kue voorstelle d.m.v. éé formule spreke we over de algemee oplossig (i het ekelvoud!) va de recursievergelijkig. Elke oplossig met ee cocrete waarde va C oeme we ee particuliere oplossig va de recursievergelijkig. 16

Verloop va de algemee oplossig Het verloop va de algemee oplossig kue we op ee gelijkaardige maier vide als dat va de particuliere oplossig i de vorige paragraaf. Het startput va de redeerig is hetzelfde: de rij begiwaarde 1 e limietwaarde 0. t = 0. 75 ket ee vertraagd daled verloop, met Nu voege we de factor C toe. Het effect daarva hagt af va de waarde va C. We moete de grafiek verticaal vermeigvuldige met factor C. Naargelag va de waarde va C wordt de grafiek uitgerekt ( C > 1) of samegedrukt ( C < 1) i meerdere of midere mate. De oderstaade schermafdruk toot de grafieke voor C = 3000, C = 6000 e C = 9000. Als C egatief is, moete we de grafiek bovedie ook spiegele t.o.v. de horizotale as. De oderstaade schermafdruk toot de grafieke voor C = 3000, C = 6000 e C = 9000. Het geval C = 0 is ee uitzoderig. De grafiek bestaat da uit pute op de horizotale as. Als C > 0 verloopt de rij vertraagd daled, als C < 0 vertraagd stijged e als C = 0 is de rij costat. De limietwaarde is 0, ogeacht de waarde va C. Als we te slotte de term 6000 toevoege, moet de grafiek over 6000 eehede omhoog schuive. De oderstaade schermafdrukke toe de grafiek voor C = 3000, C = 6000 e C = 9000 (liks) e C = 3000, C = 6000 e C = 9000 (rechts). Als C = 0 zij alle terme va de rij gelijk aa 6000. 17

Als C > 0 verloopt de rij vertraagd daled, als C < 0 vertraagd stijged e als C = 0 is de rij costat. De limietwaarde is 6000, ogeacht de waarde va C. e. Ee alteratieve grafische voorstellig Webdiagram Naast de gewoe grafische voorstellig uit de voorgaade paragraaf wordt voor (sommige) rije ook ee adere grafische voorstellig gebruikt, die gebaseerd is op de recursievergelijkig va de rij. Het gaat over ee zogeaamd webdiagram. We make zo webdiagram m.b.v. de grafische rekemachie. De rekemachie moet (uiteraard) i SEQ-modus staa. Verder stelle we via [d] [FORMAT] de machie i op webdiagram (zie de likse schermafdruk boveaa). I het Y=-scherm geve we de recursievergelijkig e begivoorwaarde i. Het tekevester stelle we i zoals aagegeve i de oderstaade schermafdrukke. Als we op [GRAPH] drukke, krijge we de oderstaade grafiek te zie. I feite is de grafiek og iet afgewerkt. Voorlopig zie we allee twee rechte. De rechte die door de oorsprog gaat, is de eerste bissectrice (met vergelijkig y = x ). De adere rechte heeft vergelijkig 18

y = 0.75x + 1500. Bemerk dat deze vergelijkig afgeleid is va de recursievergelijkig H = 0.75H 1 + 1500, waarbij H vervage is door y e H 1 door x. Met behulp va [TRACE] begie we de webgrafiek verder op te bouwe. Na éé keer drukke, ziet het scherm er als volgt uit. Boveaa is de recursievergelijkig verschee. Oderaa wordt ee waarde voor, x e y gegeve e op de horizotale as duidt de cursor het put met coördiate ( 1500, 0) aa, correspodered met de getoode x- e y-waarde. De begiwaarde H 0 = 1500 correspodeert hier dus met de x-coördiaat va het put dat door de cursor aageduid wordt. Als we u op het pijltje aar rechts drukke, wordt de grafiek verder opgebouwd. Vauit het put op de horizotale as is ee verticaal lijstukje geteked tot aa de rechte die gebaseerd is op de recursievergelijkig. De x- e y-waarde die oderaa getood worde, zij de coördiate va het sijput va dit verticale lijstuk e de rechte, dat door de cursor aageduid wordt. We cotrolere dit door 1500 i te vulle voor x i de vergelijkig y = 0.75x + 1500. Deze y-coördiaat is echter ook gelijk aa H 1! De berekeig die we moete make om H 1 te vide, is immers et dezelfde: i de recursievergelijkig H = 0.75H 1 + 1500 vulle we 1 i voor e 1500 voor H 0. Als we ogmaals op het pijltje aar rechts drukke, wordt ee horizotaal lijstukje toegevoegd vauit het put uit de vorige stap tot aa de eerste bissectrice. De y-coördiaat va de cursor veradert iet e omdat de cursor zich op de eerste bissectrice bevidt is de x- coördiaat gelijk aa de y-coördiaat. I deze stap wordt dus og iet H bereked, maar wordt H 1 overgebracht aar de x-coördiaat. Dat verklaart waarom de getoode waarde va gelijk blijft aa 1. Nogmaals op het pijltje aar rechts drukke, voegt ee ieuw verticaal lijtje toe, va de eerst bissectrice tot aa de rechte die met de recursievergelijkig correspodeert. 19

De y-coördiaat va de cursor is u gelijk aa H. Als we op het pijltje aar rechts blijve drukke worde er afwisseled horizotale e verticale lijstukjes toegevoegd die va de ee aar de adere rechte gaa. De grafische voorstellig die op deze maier otstaat wordt ee webdiagram geoemd. I de volgede paragraaf zulle we merke waar de aam vadaag komt. Nu zou trapdiagram ee betere beamig zij... De trap waarva sprake heeft trede die steeds kleier worde e die obeperkt adere tot het sijput va de twee rechte zoder het te overschrijde. De terme va de rij correspodere met de positie va de opeevolgede verticale lije i het diagram. Je ka ook kijke aar de hoogte va de horizotale lije. Elke term va de rij correspodeert amelijk ook met ee horizotale lij, behalve de begiterm. Verloop va de rij, limietwaarde, evewichtswaarde e webdiagram Het stijgede karakter va de rij wordt weerspiegeld i het omhoog lope va de trap. De kleier wordede trede toe dat de rij steeds trager stijgt. Op de figuur stelle we vast dat de trede va de trap obeperkt adere tot het sijput va de twee rechte. Dat sijput kue we eevoudig berekee door het stelsel y = 0.75x + 1500 y = x op te losse. Via gelijkstellig va de rechterlede vide we ee vergelijkig met x als eige obekede: x = 0.75x + 1500. Op de aam va de obekede a is dat de evewichtsvergelijkig uit paragraaf 3.b. De oplossig voor x is 6000, de limietwaarde of evewichtswaarde va de rij. Het sijput va de twee rechte is bijgevolg ( 6000, 6000). We vide hier dus ee ieuwe maier om de evewichtswaarde te berekee, amelijk via het sijput va de twee rechte i het webdiagram (of trapdiagram). Adere begiwaarde Als we de begivoorwaarde veradere, krijge we ee ader web- of trapdiagram. Als H 0 = 3000 of H 0 = 4500, veradert het trapdiagram heel weiig. Ook da loopt de trap omhoog, worde de trede kleier e kleier e adere ze obeperkt tot het sijput va de twee rechte. Het eige verschil is dat de trap wat verder aar rechts start. Omdat het trapdiagram voor H 0 = 7500 gee duidelijke figuur geeft, make we het 0

trapdriagram voor H 0 =1 000 (i ee aagepast tekevester). We stelle vast dat de trap u aar oder loopt e kleier wordede trede heeft die obeperkt adere tot het sijput va de twee rechte. Dat is i overeestemmig met wat we verwachte: ee vertraagd dalede rij met limietwaarde 6000. Het trapdiagram voor H 7500 verschilt hier allee va doordat het dichter bij het sijput start. 0 = Als H 0 = 6000 krijge we ee heel adere figuur. Voor de oderstaade schermafdrukke hebbe we gebruik gemaakt va het oorsprokelijke tekevester. I dit geval herleidt de trap zich tot éé put, het sijput va de twee rechte. Dat is i overeestemmig met wat we wete: als H 6000, is de rij costat. 0 = Iteratie; limietwaarde, evewichtswaarde e vast put va ee fuctie Voor het webdiagram make we gebruik va twee rechte, de eerste bissectrice (met vergelijkig y = x ) e de rechte met vergelijkig y = 0.75x + 1500 (gebaseerd op de recursievergelijkig H = 0.75H 1 + 1500 ). Deze tweede rechte kue we opvatte als de grafiek va de eerstegraadsfuctie f met vergelijkig f ( x) = 0.75x + 1500. De recursievergelijkig kue we u schrijve als H = f ( H 1 ). De terme va de rij vide we da door de fuctie f herhaaldelijk toe te passe op de begiwaarde: H 1 = f ( H 0 ) H = f ( f ( H 0 )) H 3 = f ( f ( f ( H 0 )))... Het geerere va de terme va de rij is dus ee iteratief proces (zie bv. [14, p. 47]). De limietwaarde (of de evewichtswaarde) is de oplossig va de vergelijkig x = f (x), d.w.z. dat de limietwaarde of evewichtswaarde dus ee getal is dat door de fuctie f op zichzelf afgebeeld wordt. We zegge dat de limietwaarde of evewichtswaarde ee vast put, ee dekput of ee statioair put va de fuctie f is. We merkte eerder op dat het hier gaat over ee stabiel evewicht: als we de hoeveelheid werkzame stof i het bloed uit evewicht brege, keert de hoeveelheid a verloop va tijd terug aar het evewicht. Daarom oeme we het vaste put ee aatrekked vast put. 1

4. Ee discreet, dyamisch marktmodel Ee statisch marktmodel Bij ee ecoomie die steut op het pricipe va de vrije markt, wordt de prijs va ee product bepaald door vraag e aabod. Bij ee hoge prijs zulle veel producete bereid gevode worde om het goed te fabricere, maar zulle slechts weiig cosumete het product wille aakope. De aagebode hoeveelheid zal da groter zij da de gevraagde hoeveelheid. Als de prijs laag is, da zal het aabod laag zij e de vraag hoog. I dit geval otstaat er ee tekort op de markt. De prijs die voor het product gevraagd wordt, is daarom de prijs waarbij de gevraagde hoeveelheid e de aagebode hoeveelheid aa elkaar gelijk zij. Deze prijs wordt de evewichtsprijs geoemd. De hoeveelheid die verkocht wordt, is de evewichtshoeveelheid. Het verbad tusse de prijs p va ee zeker product e de hoeveelheid v die va dat product verkocht ka worde, wordt beschreve door de vraagfuctie. We zulle i deze paragraaf veroderstelle dat de vraagfuctie v = 360 0. 5p 1 als vergelijkig heeft. Het verbad tusse de hoeveelheid a die aagebode wordt e de prijs p wordt beschreve door de aabodfuctie. I deze paragraaf heeft de aabodfuctie a = 0 + 0. 45p als vergelijkig. De evewichtsprijs is de prijs waarbij de gevraagde hoeveelheid v e de aagebode hoeveelheid a aa elkaar gelijk zij e is dus de oplossig va de vergelijkig 360 0.5p = 0 + 0. 45p 3. Zo vide we dat de evewichtsprijs i dit voorbeeld gelijk is aa 400 geldeehede. Bij wijze va cotrole berekee we de gevraagde e de aagebode hoeveelheid bij deze prijs. We vide i beide gevalle ee hoeveelheid va 160 eehede. Het marktmodel uit de vorige aliea's geeft ee 'ideale' prijs va het product. Uitgaade va allerlei gegeves hebbe we ee vergelijkig opgesteld met als oplossig ee getal, amelijk de evewichtsprijs. I dit model is de tijd buite beschouwig gelate. We krijge dus gee zicht op ee evetuele evolutie die de prijs doormaakt. We hebbe te make met ee statisch marktmodel. I de realiteit speelt de tijd om verschillede redee echter vaak wel ee rol e zal de prijs evoluere. Ee marktmodel waarbij dit i rekeig gebracht wordt, is ee dyamisch marktmodel. I ee dyamisch marktmodel hagt de prijs af va de tijd. We kue de tijd hierbij als ee discrete of als ee cotiue veraderlijke opvatte. I het eerste geval wordt de prijsevolutie beschreve door ee rij e spreke we over ee discreet dyamisch marktmodel. Dit is het stadput dat we hier ieme. I deze paragraaf werke we ee discreet dyamisch marktmodel uit: uitgaade va allerlei gegeves stelle we ee recursievergelijkig met begivoorwaarde op e losse we deze op. De oplossig hierva is ee rij die de evolutie va de prijs beschrijft. Gegeves va het discrete dyamische marktmodel I het statische marktmodel uit de vorige paragraaf zochte we ee obeked getal, amelijk de (evewichts)prijs va het goed. I ee discreet dyamisch model is de obekede ee rij va prijze (we wille amelijk wete hoe de prijs i de tijd evolueert). Daarom passe we de otatie voor de prijs aa. We otere de prijs a verloop va tijdseehede als p. De begiterm va de rij geeft de prijs weer die u, d.w.z. a verloop va 0 tijdseehede, va kracht is. De begiterm is dus de term met ragummer 0. Ook de gevraagde e de aagebode hoeveelheid variëre. De gevraagde hoeveelheid a verloop va tijdseehede otere we als v e de aagebode hoeveelheid a verloop va tijdseehede als a. We passe het verbad tusse de vraag e de prijs da ook als volgt aa: v = 360 0. 5 4 p voor elk atuurlijk getal. Deze vergelijkig drukt ee verbad uit tusse de vraag e de prijs, beide a verloop va weke. Voor het aabod gaa we er va uit dat het aabod op ee bepaald ogeblik iet afhagt va de prijs op hetzelfde ogeblik, maar va de prijs éé tijdseeheid vroeger. I os model reageert

het aabod dus met ee zekere 'vertragig' op de prijs. Bij veel producte moet de beslissig om iets te producere immers reeds geome worde eige tijd vóór het product te koop aagebode wordt. We kue hier bijvoorbeeld deke aa het verbouwe va ee ladbouwgewas: de ladbouwer eemt de beslissig om ee bepaald gewas te tele immers éé jaar vóór hij het product op de markt bregt. Als we uitgaa va deze hypothese, wordt het verbad tusse aabod e prijs gegeve door: a 5 = 0 + 0.45p 1 voor elk atuurlijk getal 1. We veroderstelle u dat de evewichtsvoorwaarde uit het statische marktmodel (de aagebode e de gevraagde hoeveelheid zij aa elkaar gelijk, a = v ) op elk ogeblik voldaa is, dit wil zegge a = v 6 voor elke waarde va. Dit beteket dat we aaeme dat de aagebode hoeveelheid volledig va de had gedaa wordt, desoods aa ee lagere prijs da voorzie. De producet bewaart dus gee deel va zij productie om pas later te verkope (bijvoorbeeld omdat het ee bederfbaar product betreft). Tot slot veroderstelle we dat het product aavakelijk aagebode wordt tege ee prijs va 00 geldeehede, d.w.z. p 0 = 00. A.d.h.v. de volgede werktekst oderzoeke we hoe de prijze evoluere. We zoeke de rij va prijze waarvoor alle bovestaade oderstellige geldig zij e oderzoeke het verloop va deze rij. Ee discreet, dyamisch marktmodel I ee discreet, dyamisch marktmodel oderzoeke we hoe de prijs, de gevraagde e de aagebode hoeveelheid evoluere i de tijd. We vatte de tijd hierbij op als ee discrete grootheid, d.w.z. dat we de tijdstippe voorstelle door atuurlijke getalle e gee rekeig houde met tusseliggede tijdstippe. De prijs, de gevraagde hoeveelheid e de aagebode hoeveelheid op tijdstip otere we door p, respectievelijk v e a. Het product dat we oderzoeke heeft ee lage productietijd. Daardoor is het aabod op tijdstip gebaseerd op de prijs op tijdstip 1. Het gaat bovedie over ee bederfbaar product zodat er gee voorrade opgebouwd worde. Meer bepaald worde de verbade tusse p, v e a beschreve door de volgede vergelijkige: (1) vraagvergelijkig: v = 360 0. 5p voor alle atuurlijke getalle. () aabodvergelijkig: a = 0 + 0.45p 1 voor alle atuurlijke getalle 1. (3) evewichtsvergelijkig: a = v voor alle atuurlijke getalle. (4) begiwaarde: p 0 = 00. 1. Stel met behulp va deze vergelijkige ee recursievergelijkig op voor de rij va de prijze, d.w.z. druk p uit i terme va p 1 door de vraagvergelijkig, aabodvergelijkig e evewichtsvergelijkig met elkaar te combiere. (Door (1) e () i te vulle i (3) e uit te werke, vide we: p = 0.9 p 1 + 760 7.). Oderzoek de evolutie va de prijs via berekeige op het basisscherm. Probeer de prijsevolutie i woorde te beschrijve. (De oderstaade schermafdrukke toe de berekeige op het basisscherm. 3

We stelle vast dat de prijs afwisseled stijgt e daalt. De prijs ket dus ee schommeled verloop. Verder stelle we vast dat de schommelige steeds kleier worde. Daarom zegge we dat de prijs gedempt schommelt. Tot slot merke we dat de prijs a verloop va tijd stabiliseert rod 400 geldeehede. Daarom kue we vermoede dat de rij va de prijze covergeert aar 400.) 3. Maak ee tabel e ee gewoe grafiek va de evolutie va de prijze. (De oderstaade schermafdrukke toe de tabel. Voor het make va de grafiek moete we de rekemachie terug istelle op het tekee va de gewoe grafiek, i rekemachietermiologie: de TIME-grafiek. Dat doe we m.b.v. [d] [FORMAT]. Het schommelede verloop va de rij komt iet goed aar voor i deze grafiek. Daarom late we opeevolgede pute va de grafiek verbide met ee lijstukje. Dat doe we door i het Y=-scherm de cursor vóór u() te plaatse e met [ENTER] de drie putjes te wijzige i ee lijstukje. Op deze maier komt het schommelede verloop veel duidelijker aar voor.) 4. Gebruik de recursievergelijkig om de evewichtswaarde exact te berekee. Cotroleer je berekeig door de evolutie va de prijs te oderzoeke waeer de begiwaarde gelijk is aa de evewichtswaarde. Zie je ee verbad met het overeekomstige statische marktmodel? 4

(De evewichtswaarde E voldoet aa de vergelijkig E = 0.9E + 760. Zo vide we dat de evewichtswaarde gelijk is aa 400, de vermoedelijke limietwaarde. Als we de begiwaarde gelijk eme aa 400, stelle we vast dat de prijs iderdaad costat blijft. De evewichtswaarde uit het dyamische marktmodel is dezelfde als de evewichtsprijs uit het statische marktmodel.) 5. Oderzoek experimeteel of het hier over ee stabiel evewicht gaat. (We vulle voor de begiwaarde ekele adere waarde da 400 i e stelle vast dat de prijs telkes aar de evewichtswaarde terugkeert.) 6. Bepaal de expliciete vergelijkig voor de prijs. Ga daarvoor tewerk zoals i paragraaf 3.c. (Eerst drukke we de eerste terme va de rij uit i fuctie va p 0 : p 1 = 0.9 p0 + 760 p p 3 = 0.9 p = 0.9 ( 0.9 p = ( 0.9) = ( 0.9) 1 = 0.9 p + 760 p 0 = 0.9 (( 0.9) 3 0 + 760) + 760 + ( 0.9 + 1) 760 + 760 p 0 p 0 + (( 0.9) + ( 0.9 + 1) 760) + 760 + ( 0.9) + 1) 760 Op basis va het patroo i deze uitdrukkige vide we de volgede formule voor 1 p = ( 0.9) p + (( 0.9) + ( 0.9) +... + ( 0.9) + 1) 760. 0 De som tusse de haakjes is ee partieelsom va ee meetkudige rij e kue we eevoudiger schrijve, wat tot de volgede uitdrukkig leidt: p : Uitwerkig hierva geeft: 1 ( 0.9) p = ( 0.9) p0 + 760. 1 ( 0.9) Met p 0 = 00 vide we tot slot: H = ( p0 400) ( 0.9) + 400. p = 00 ( 0.9) + 400.) 7. Bouw de grafiek op i stappe zoals i paragraaf 3.c. (We starte va ee eevoudige rij e bouwe de expliciete vergelijkig stap voor stap op: De rij t = ( 0.9) ket ee gedempt schommeled verloop (omdat het grodtal egatief is e i absolute waarde kleier da 1). De begiwaarde is 1 e de limietwaarde is 0. Als we de factor 00 toevoege, moete we de grafiek eerst spiegele t.o.v. de horizotale as e daara verticaal uitrekke met factor 00. De begiwaarde is u 00, de 5

limietwaarde blijft 0 e de rij blijft gedempt schommeled verlope. De oderstaade figuur toot de grafiek (waarbij we atuurlijk de schaal op de verticale as aagepast hebbe). Tot slot voege we de term 400 toe. De grafiek moet u over 400 eehede omhoog schuive. De begiwaarde e de limietwaarde verhoge met 400 tot 00 e, respectievelijk 400. Het gedempt schommelede verloop blijft behoude. Op deze maier kue we het verloop va de grafiek goed begrijpe.) 8. Maak ee webdiagram. (De oderstaade schermafdrukke toe het resultaat. Vergeet de machie iet terug i te stelle op het tekee va WEB-diagramme m.b.v. [d] [FORMAT]. Let er ook op dat je gebruik maakt va de recursievergelijkig e begivoorwaarde e iet va de expliciete vergelijkig. Het webdiagram eemt u iet de vorm aa va ee trap, maar wel degelijk va ee web. I dit webdiagram ligge opeevolgede horizotale lijstukjes afwisseled hoger e lager. Opeevolgede verticale lijstukjes ligge afwisseled verder e mider ver aar rechts. De horizotale e verticale lijstukjes vorme ee spiraal die aar bie toe draait rod het sijput va de twee rechte.) 9. Geef de algemee oplossig va de recursievergelijkig e bespreek het verloop erva. (I H = ( p0 400) ( 0.9) + 400 vervage we p 0 400 door C zodat we krijge: H = C ( 0.9) + 400. Als C 0, gaat het over ee gedempt schommelede rij met limietwaarde 400. Als C = 0, is de rij costat.) 10. Veroderstel dat de coëfficiët 0.45 i de aabodvergelijkig veradert i 0.5. Hoe evolueert de prijs da? (De recursievergelijkig wordt p = p 1 + 760. De oderstaade schermafdrukke toe de TIME-grafiek e het webdiagram. 6