Functies van één veranderlijke 201300130 Docent : Anton Stoorvogel E-mail: A.A.Stoorvogel@utwente.nl 1/57 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
Horizontale asymtoten Gedrag van de functie voor grote of juiste kleine waarden: lim x!1 lim x! 1 2/57 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
Verticale asymtoten Punten waar de functie in de buurt naar oneindig gaat: lim f.x/ D 1 x#a lim f.x/ D 1 lim f.x/ D 1 x#a x"a lim f.x/ D 1 x"a 3/57 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
Vindt de horizontale en verticale asymtoten van: f.x/ D 2x 2 C 1 3x 5 4/57 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
lim x!1 2x lim 2 C 1 3x 5 q 2 C 1 x 2 2 3 5 1 D 3 x x!1 5/57 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
We gebruiken omdat x > 0: 1 2x x 2 C 1 D 1 2x 2 C 1 D x 2 2x 2 C 1 x 2 D s 2x 2 C 1 x 2 6/57 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
lim x! 1 2x lim 2 C 1 3x 5 q 2 C 1 x 2 3 5 1 D x x! 1 2 3 7/57 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
We gebruiken omdat x < 0: 1 2x x 2 C 1 D 1 2x 2 C 1 D x 2 2x 2 C 1 x 2 D s 2x 2 C 1 x 2 8/57 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
lim x#5=3 2x 2 C 1 3x 5 D 1 lim x"5=3 2x 2 C 1 3x 5 D 1 9/57 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
Vindt de horizontale en verticale asymtoten van: f.x/ D x 2 C 1 x 10/57 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
lim x 2 C 1 x!1 x lim x!1. x 2 C 1 x/. x 2 C 1 C x/ x 2 C 1 C x 11/57 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
lim x 2 C 1 x!1 x lim x!1. x 2 C 1 x/. x 2 C 1 C x/ x 2 C 1 C x lim x!1.x 2 C 1/ x 2 x 2 C 1 C x lim x!1 1 x 2 C 1 C x D 0 12/57 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
lim x 2 C 1 x! 1 x lim x! 1. x 2 C 1 x/. x 2 C 1 C x/ x 2 C 1 C x 13/57 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
lim x 2 C 1 x! 1 x lim x! 1. x 2 C 1 x/. x 2 C 1 C x/ x 2 C 1 C x lim x! 1.x 2 C 1/ x 2 x 2 C 1 C x lim x! 1 1 x 2 C 1 C x D 14/57 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
Continuïteit Een functie f is continu in a als lim f.x/ D f.a/ x!a Een functie f W A! B heet continu als de functie continu is voor elke a 2 A. 15/57 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
Voor een continue functie f geldt: lim.f ı g/.x/ D f lim g.x/ x!a x!a 1 x lim arcsin x!1 1 x 16/57 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
1 x lim arcsin x!1 1 x arcsin lim x!1 1 x 1 x 17/57 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
arcsin 1 x lim arcsin x!1 1 x arcsin lim x!1 lim x!1.1 1 x 1 x 1 x x/.1 C x/ 18/57 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
1 x lim arcsin x!1 1 x arcsin arcsin lim x!1.1 arcsin lim x!1 lim x!1 1 x 1 x 1 x x/.1 C x/ 1 1 C x 19/57 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
1 x lim arcsin x!1 1 x arcsin arcsin lim x!1.1 arcsin arcsin lim x!1 lim x!1 1 2 1 x 1 x 1 x x/.1 C x/ 1 1 C x D 6 20/57 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
Tussenwaardestelling Gegeven is een functie f die continu is o het gesloten interval Œa; b. Zij N een getal tussen f.a/ en f.b/. Er bestaat een c 2.a; b/ zodanig dat f.c/ D N. Het geval N D 0 wordt de stelling van Weierstrass genoemd. 21/57 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
Toon aan dat de functie: een nulunt heeft tussen 1 en 2. 4x 3 6x 2 C 3x 2 D 0 22/57 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
Differentiatie Als een auto otrekt dan neemt de snelheid steeds toe. Kunnen we dit als volgt modelleren? v.t/ D 1 voor t 2 Œ0; 1/ v.t/ D 2 voor t 2 Œ1; 2/ v.t/ D 3 voor t 2 Œ2; 3/ v.t/ D 4 voor t 2 Œ3; 4/ Niet echt! 23/57 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
We kunnen het beter doen: v.t/ D 0:5 voor t 2 Œ0; 0:5/ v.t/ D 1:0 voor t 2 Œ0:5; 1/ v.t/ D 1:5 voor t 2 Œ1; 1:5/ v.t/ D 2 voor t 2 Œ1:5; 2/ Nog niet erfect! 24/57 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
De beste beschrijving volgt als we definiëren: v.t/ D t Wat is in dit geval het verband tussen snelheid en ositie: v.t/ D lim h!0 x.t C h/ h x.t/ 25/57 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
Voor x.t/ D 1 2 t2 krijgen we v.t/ D t. lim h!0 x.t C h/ h x.t/ lim h!0 1 2.t C h/2 1 2 t2 h lim h!0 th C 1 2 h2 h lim t C 1 2 h D t h!0 26/57 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
Gegeven een functie f W A! B. De functie f wordt differentieerbaar in a genoemd met afgeleide f 0.a/ als: f 0.a/ D lim x!a f.x/ x f.a/ a goed gedefinieerd is. De functie f wordt differentieerbaar genoemd als f differentieerbaar is voor alle a 2 A. 27/57 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
14 12 10 8 6 4 2 0 2 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 28/57 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
Raaklijn: y D f.a/ C f 0.a/ Œx a 29/57 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
Voor x klein: en dus: f 0.a/ f.x/ x f.a/ C f 0.a/ Œx a f.a/ C f.a/ a f.x/ f.a/ x a Œx a D f.x/ 30/57 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
Raaklijn: y D f.a/ C f 0.a/ Œx a y x f.a/ a D f 0.a/ 31/57 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
Voorbeeld f 1.x/ D x 1, 32/57 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
2 1.5 1 0.5 0 0.5 1 1.5 2 2 1.5 1 0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 33/57 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
Voorbeeld f 2.x/ D jxj, 34/57 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
2 1.5 1 0.5 0 0.5 1 1.5 2 2 1.5 1 0.5 0 0.5 1 1.5 2 35/57 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
2 1.5 1 0.5 0 0.5 1 1.5 2 2 1.5 1 0.5 0 0.5 1 1.5 2 36/57 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
Voorbeeld f 3.x/ D x 3, 37/57 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
8 6 4 2 0 2 4 6 8 2 1.5 1 0.5 0 0.5 1 1.5 2 38/57 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
Voorbeeld f 4.x/ D sin.x/. 39/57 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
2 1.5 1 0.5 0 0.5 1 1.5 2 4 3 2 1 0 1 2 3 4 40/57 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
Standaard afgeleiden d dx xa D ax a 1 ; d dx ex D e x ; d dx ln jxj D 1 x ; sin 0.x/ D cos.x/; cos 0.x/ D sin.x/; tan 0.x/ D 1 cos 2.x/ D 1 C tan2.x/: 41/57 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
Rekenregels Otellen.f C g/ 0 D f 0 C g 0 Vermenigvuldigen.fg/ 0 D f 0 g C fg 0 Delen f g 0 D f 0 g fg 0 g 2 42/57 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
Kettingregel Als: dan geldt: h.x/ D f.g.x// h 0.x/ D f 0.g.x//g 0.x/ 43/57 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
Voorbeeld f 1.x/ D e sin.x/ f1 0 d.x/ D esin.x/ dx sin.x/ 44/57 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
Voorbeeld f 1.x/ D e sin.x/ f1 0 d.x/ D esin.x/ dx sin.x/ f 0 1.x/ D esin.x/ cos.x/ 45/57 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
Voorbeeld f 2.x/ D sin.cos.tan.x/// f2 0 d.x/ D cos.cos.tan.x/// dx cos.tan.x// 46/57 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
Voorbeeld f 2.x/ D sin.cos.tan.x/// f2 0 d.x/ D cos.cos.tan.x/// dx cos.tan.x// f2 0 d.x/ D cos.cos.tan.x/// sin.tan.x// dx tan.x/ 47/57 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
Voorbeeld f 2.x/ D sin.cos.tan.x/// f2 0 d.x/ D cos.cos.tan.x/// dx cos.tan.x// f2 0 d.x/ D cos.cos.tan.x/// sin.tan.x// dx tan.x/ f 0 2.x/ D cos.cos.tan.x/// sin.tan.x//.1 C tan2.x// 48/57 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
Voorbeeld f 3.x/ D.2x C 1/5.x 3 x C 1/ 4 f 0 3.x/ D 10.2x C 1/4.x 3 x C 1/ 4 4.x 3 x C 1/ 3.3x 2 1/.2x C 1/ 5.x 3 x C 1/ 8 49/57 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
Voorbeeld f 3.x/ D.2x C 1/5.x 3 x C 1/ 4 f 0 3.x/ D 10.2x C 1/4.x 3 x C 1/ 4 4.x 3 x C 1/ 3.3x 2 1/.2x C 1/ 5.x 3 x C 1/ 8 f 0 3.x/ D 10.2x C 1/4.x 3 x C 1/ 4.3x 2 1/.2x C 1/ 5.x 3 x C 1/ 5 50/57 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
Voorbeeld f 3.x/ D.2x C 1/5.x 3 x C 1/ 4 f 0 3.x/ D 10.2x C 1/4.x 3 x C 1/ 4 4.x 3 x C 1/ 3.3x 2 1/.2x C 1/ 5.x 3 x C 1/ 8 f 0 3.x/ D 10.2x C 1/4.x 3 x C 1/ 4.3x 2 1/.2x C 1/ 5.x 3 x C 1/ 5 f 0 3.x/ D.2x C 1/4 10.x3 x C 1/ 4.3x 2 1/.2x C 1/.x 3 x C 1/ 5 51/57 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
Voorbeeld f 3.x/ D.2x C 1/5.x 3 x C 1/ 4 f 0 3.x/ D 10.2x C 1/4.x 3 x C 1/ 4 4.x 3 x C 1/ 3.3x 2 1/.2x C 1/ 5.x 3 x C 1/ 8 f 0 3.x/ D 10.2x C 1/4.x 3 x C 1/ 4.3x 2 1/.2x C 1/ 5.x 3 x C 1/ 5 f 0 3.x/ D.2x C 1/4 10.x3 x C 1/ 4.3x 2 1/.2x C 1/.x 3 x C 1/ 5 f 0 3.x/ D.2x C 1/4 14x 3 12x 2 2x C 14.x 3 x C 1/ 5 52/57 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
Differentiatie en inverse functies We hebben f en g zodanig dat: f.g.x// D x Dan geldt volgens de kettingregel: f 0.g.x//g 0.x/ D 1 We vinden: arcsin 0.x/ D 1 1 x 2 ; arccos0.x/ D 1 ; 1 x 2 arctan0.x/ D 1 1 C x 2 53/57 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
We hebben: arcsin.sin x/ D x; x 2 Π2 ; 2 en dus: arcsin 0.sin x/ cos x D 1 arcsin 0.y/ cos x D 1 met y D sin x. Maar dan cos x D 1 y 2 q arcsin 0.y/ 1 y 2 D 1 arcsin 0.y/ D 1 1 y 2 54/57 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
We hebben: arccos.cos x/ D x; x 2 Œ0; en dus: arccos 0.cos x/ sin x D 1 arccos 0.y/ sin x D 1 met y D cos x. Maar dan sin x D 1 y 2 q arccos 0.y/ 1 y 2 D 1 arccos 0.y/ D 1 1 y 2 55/57 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
We hebben: arctan.tan x/ D x; x 2. 2 ; 2 / en dus: arctan 0.tan x/.1 C tan 2 x/ D 1 arctan 0.y/.1 C y 2 / D 1 met y D tan x. arctan 0.y/ D 1 1 C y 2 56/57 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
Zelfstudie gaat met behul van MathXL. htt://www.utwente.mylabslus.com/ Usercode: Password: s-nummer 57/57 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI