Sterftetafe: van verstreken eeftijden naar eacte eeftijden Update /9/ Ineiding Deze nota wi een eenvoudige methode geven om tafes tussen verstreken eeftijden, zoas voortaan gepubiceerd door de ADSEI, het voormaige NIS, om te zetten in tafes tussen eacte eeftijden, die interessant kunnen zijn voor verschiende gebruikers zoas actuarissen, verzekeraars, demografen enz. De nota wordt gevogd door de voedige reeks Begische tafes tussen eacte eeftijden. De sterftetafe die het NIS pubiceerde voor de jaren 99-996, betekent immers een methodoogische breuk. De voorgaande tafes tot en met die van de jaren 99-993 werden opgemaakt tussen eacte eeftijden terwij dat daarna gebeurde tussen verstreken eeftijden. De voorsteing van de tafes 99-996 en vogende is echter niet gewijzigd ten aanzien van de voorgaande tafes. Ze bevat met name de vogende rubrieken, met de cijfers van tafe Mannen as voorbeed: eeftijd overevenden sterfgevaen evensverwachting,3...3 75,5, 995.96.75 7,, 99.693 73,9 In de tafes 99-996 en vogende geden de eeftijden as verstreken, terwij de eeftijden van de voorgaande tafes eact zijn. Zoas men kan vaststeen, staat deze essentiëe informatie niet in de tafes zef, wat heaas tot verwarring kan eiden. Bovendien dient te worden opgemerkt dat afhankeijk van de uitgave de op de eerste rege vermede eeftijd of een mysterieuze < is. En dat is nog niet aes: met betrekking tot de verstreken eeftijden zijn de cijfers van de tafes 99-996 en 3vogende onjuist: de cijfers die op de rege van de eeftijd in de tafe staan, stemmen niet overeen met de verstreken eeftijd. Bovendien stemt de evensverwachting van 75,5 jaar niet overeen met de eacte eeftijd (dit wi zeggen met de geboorte, noch met de verstreken eeftijd. de cijfers die overeenstemmen met de vogende eeftijden zijn een rege verschoven: - de cijfers die op de rege van de eeftijd van de tafe staan, stemmen in werkeijkheid overeen met de verstreken eeftijd ; - de cijfers die op de rege van de eeftijd van de tafe staan, stemmen in werkeijkheid overeen met de verstreken eeftijd enzovoort. De ADSEI corrigeerde dat geukkig bij de pubicatie van de tafes van 7 en op haar website 3 staan nu de tafes van ae jaren van 99 tot 9. Voor de tafe worden bijvoorbeed de vogende cijfers vermed waarvan de vergeijking met die van de eerste tabe verhederend is: verstreken eeftijd overevenden sterfgevaen evensverwachting birth,3...3 75,, 995.96.75 7,, 99.693 73,9 Agemene Directie Statistiek en Economische Informatie. Nationaa Instituut voor de Statistiek. 3 Zie http://statbe.fgov.be/n/modues/pubications/statistiues/bevoking/bevoking_sterftetafes.jsp
Men vindt er de hierboven aangehaade fouten terug. In het bijzonder wordt de evensverwachting bij de geboorte, een mediatieke indicator van de evensduur, overschat met een haf jaar in de tafes 99-996 en vogende, terwij bij de daarna vogende eeftijden de evensverwachting te maken kreeg met een verjonging van een jaar.. Terminoogie inzake eeftijd In de demografie worden de vogende eeftijden onderscheiden: De eacte eeftijd berekent de precieze duur die is verstreken sinds de geboorte en verandert dus op ieder ogenbik. Hij wordt uitgedrukt in jaren, maanden en dagen of in tienden en honderdsten van jaren. Behave indien anders vermed zijn de eacte eeftijden die hier worden bedoed de gehee eacte eeftijden. De verstreken eeftijd is de eeftijd op de aatste verjaardag, dit wi zeggen het gehee aanta jaren dat de persoon op een gegeven ogenbik heeft geeefd. De verstreken eeftijd op 3 januari van een persoon die op 3 september 939 geboren is, bedraagt 7 jaar en zijn eacte eeftijd is 7 jaar en maanden. De (in de oop van het kaenderjaar bereikte eeftijd is het verschi tussen het jaar waarin een gebeurtenis (overijden, huweijk, geboorte paatsvindt en het geboortejaar van de betrokken persoon. Ae personen die werden geboren in 939 en overeden in, zijn gestorven op de bereikte eeftijd van 73 jaar, dit is - 939.. Sterftetafe tussen verstreken eeftijden Sinds 9 pubiceert de ADSEI de sterftetafes die ze uitdrukkeijk tafes in verstreken eeftijd noemt. Figuur geeft het begin van een dergeijke voedig fictieve tafe weer met een begincijfer van. (en niet van.. zoas de ADSEI doet. In dit voorbeed (cfr. figuur.a: bedraagt het aanta overevenden bij de geboorte, dit is op eact jaar (en door de ADSEI birth genoemd.: Het aanta overevenden op verstreken jaar (dit is op het einde van het eerste evensjaar (kaenderjaar bedraagt. En dus: zijn er tussen de geboorte en verstreken jaar sterfgevaen, die in driehoek A (cfr. figuur.b iggen; bedraagt de tussen de geboorte en verstreken jaar /. %. Dat uotiënt betreft de personen die tussen en jaar zuen even tijdens hun geboortejaar. 3 Het aanta overevenden op verstreken jaar (dit is op het einde van het e evensjaar bedraagt 7. En dus: zijn er tussen verstreken jaar en verstreken jaar sterfgevaen, die in de driehoeken B en C (cfr. figuur.b iggen; bedraagt de op verstreken jaar / %. Die heeft, net as de daarna vogende, betrekking op jaar; De op verstreken jaar bedraagt op dezefde wijze 36/76 5% enzovoort. De eeftijden van verstreken jaar, verstreken jaar enz. zuen worden genoteerd as, enz.
Figuur. Voorsteing op Leisdiagram van het begin van de begintafe tussen verstreken eeftijden A. De cijfergegevens B. De driehoeken eact eact. eact 7 3 eact 36 6. A B C 7 D 3 E 6 Tabe geeft de opeenvoging van de gebeurtenissen weer. Zo hebben de sterfgevaen van de tussenrege tussen de rege van de geboorte en de rege van verstreken jaar bijvoorbeed paatsgevonden tussen de geboorte en verstreken jaar, de eeftijden die de driehoek A afbakenen. Zo ook hebben de sterfgevaen zich voorgedaan tussen verstreken jaar en verstreken jaar, de eeftijden die het paraeogram afbakenen dat samengested is uit de driehoeken B en C enzovoort. Tabe. Begin van de tafe tussen verstreken jaren eeftijd overevenden sterfgevaen birth of geboorte. % 3/ van het geboortejaar % 3/ van het jaar van de ste 76 5% verjaardag 3/ van het jaar van de de verjaardag Deze wijze van opschuiven van de functies van de tafe in de tabe aat duideijk zien dat de aantaen van sterfgevaen niet dezefde tijdsreferentie hebben as de aantaen van overevenden of de sterfterisco s die ze hebben geopen. Het is bij de geboorte dat de. overevenden worden geted en een sterfterisico open vóór de eeftijd van verstreken jaar van %. De. overevenden en de van % bevinden zich dus op dezefde rege van de tabe. De sterfgevaen onder de. overevenden doen zich daarentegen voor tussen de geboorte en de eeftijd van verstreken jaar. Die sterfgevaen vindt men dus terug op een tussenrege tussen die van de geboorte en die van verstreken jaar. Op dezefde manier worden de overevenden op de eeftijd van verstreken jaar geted en open ze een sterfterisico vóór de eeftijd van verstreken jaar van %. De overevenden en de van % bevinden zich dus op dezefde rege van de tabe. De sterfgevaen onder de overevenden doen zich daarentegen voor tussen de eeftijd van verstreken jaar en de eeftijd van verstreken jaar. Die sterfgevaen vindt men dus terug op een tussenrege tussen die van verstreken jaar en die van verstreken jaar enz. 6 36 3
3. Sterftetafe tussen eacte eeftijden Hoe kan men op basis van die gegevens een tafe tussen eacte eeftijden berekenen? As we uitgaan van een geijke verdeing van de sterfgevaen, worden de sterfgevaen tussen verstreken jaar en verstreken jaar verdeed tussen de twee driehoeken B en C van figuur, met sterfgevaen per driehoek. Bijgevog bedraagt het aanta overevenden op eact jaar 76. Het aanta overevenden op eact jaar verkrijgt men op dezefde wijze: 7 7. De eeftijden van eact jaar, eact jaar enz. zuen worden genoteerd as, enz. Figuur. Voorsteing op een Leisdiagram van de wijziging van de tafe 3 7 7 6. 76 Tabe. Verdeing van de sterfgevaen per driehoek en berekening van het aanta sterfgevaen op eacte eeftijden eeftijd overevenden sterfgevaen eact ( of birth. verstreken ( eact ( 76 verstreken ( 7 eact ( 7 verstreken ( 6 Tabe 3 vermedt sechts wat nuttig is voor de tafe tussen eacte eeftijden, nameijk: de aantaen van overevenden op eacte eeftijden, hierboven verkregen; de aantaen sterfgevaen tussen eacte eeftijden verkregen door opteing van de sterfgevaen in de paraeogrammen die afgebakend worden door opeenvogende eacte eeftijden. In het bijzonder zijn er tussen eact jaar (de geboorte en eact jaar sterfgevaen, dit is van driehoek A pus van driehoek B (cfr. figuur.b. Die sterfgevaen vindt men terug op een tussenrege tussen die van de geboorte en die van eact jaar. Zo zijn er ook tussen eact jaar en eact jaar 5 sterfgevaen; 3 de en op eacte eeftijden, berekend door deing van het aanta sterfgevaen tussen twee opeenvogende eacte eeftijden door het aanta overevenden op de eerste van die twee eeftijden. In het bijzonder bedraagt de bij de geboorte /. %. Het is bij de geboorte dat de. overevenden vóór de eeftijd van eact jaar een sterfterisico van % open. Het aanta van.
overevenden en de van % bevinden zich dus op dezefde rege van de tabe. Op dezefde wijze bedraagt de op de eacte eeftijd van jaar 5/76,763%. Tabe 3. Begin van de tafe tussen eacte jaren eacte eeftijd overevenden sterfgevaen geboorte. % ste verjaardag 76 7,63% 5 de verjaardag 7 De gevogde procedure om de op eact jaar te verkrijgen, kan worden toegepast op ae hogere eeftijden. In de vogende paragrafen zuen we zien hoe men een tafe tussen eacte eeftijden kan uitwerken op basis van een tafe tussen verstreken eeftijden, wat de bedoeing van deze nota is.. Aanta sterfgevaen en aanta overevenden.. Aanta sterfgevaen tussen de eacte eeftijden en. We hebben, met evidente notaties:.. Aanta sterfgevaen tussen eacte eeftijden > en 5 d d d ( d d d (.3. Aanta overevenden op eacte eeftijden > op basis van een beginpopuatie 5. Sterftekans d ou d (3 5.. Sterftekans bij de geboorte d d d ( waaruit vogt: Vanuit zuiver methodoogisch standpunt en zonder noemenswaardig gevog voor de resutaten moet worden benadrukt dat de hypothese van een geijke verdeing van de sterfgevaen tussen eacte eeftijden, een hypothese die noodzakeijk is voor de berekening van de sterftetafe en in het bijzonder van de evensverwachtingen, op een tegenstrijdigheid stuit. De aantaen van sterfgevaen tussen de eacte eeftijden en worden verkregen door de opteing te maken van de heft van de waargenomen sterfgevaen enerzijds tussen - verstreken en verstreken en anderzijds tussen verstreken en verstreken. Tenzij de aantaen van sterfgevaen tussen verstreken eeftijden stabie zijn, zuen de driehoeken die het paraeogram tussen twee eacte eeftijden vormen, niet hetzefde aanta sterfgevaen bevatten, wat in tegenspraak is met de hypothese van een geijke verdeing, die nochtans wordt gebruikt bij onze verdere berekeningen. 5 Door de actuarissen as d genoteerd. 5
6 ( (5 d.w.z., met gebruik van de notatie birth en : birth ( birth (6 Met die formue kan de waarde van het ste uotiënt van de tafe tussen eacte eeftijden (tussen en eact jaar worden berekend op basis van de uotiënten van de tafe tussen verstreken eeftijden enerzijds tussen eact jaar en verstreken jaar en anderzijds tussen verstreken jaar en verstreken jaar. 5.. Sterftekans op eacte eeftijden > d d d (7 ofwe: d ( Uit de aatste reatie eidt men af, met gebruik van de notatie (die ook gedt voor : Ofwe, aangezien: ( ( (. (9 5.3. Benaderende waarden voor de eacte eeftijden >. Wenu : ( Dus as de termen in 3 ( verwaaroosbaar zijn, wat het geva is behoudens bij de uitersten van de tafe:. ( ( ( (benaderende waarde... Er is compensatie tussen de 3 aatste termen die in ieder geva meesta verwaaroosbaar zijn as termen in (. Tot sot: ( In het bijzonder as verkrijgt men: 5% % 7,5% terwij 7,63%.
As en,7, wat het geva is rond 3 jaar, heeft men,35 en benaderend,35. As % en,7%, wat het geva is rond 3 jaar, heeft men,3% en benaderend,35%. As % en,7%, wat het geva is rond 3 jaar, heeft men,33% en benaderend,35%. 5.. Concreet voorbeed. Tabe hieronder geeft de cijfers van een tafe tussen verstreken eeftijden opgemaakt door de ADSEI (het betreft de tafe 9 Mannen. We eiden er de cijfers van de tafe tussen eacte eeftijden uit af. Tabe a. Concreet voorbeed: van de geboorte tot jaar Tafe tussen verstreken eeftijden Tafe tussen eacte eeftijden eeftijd overevenden sterfgevaen eeftijd overevenden birth*,36.. eact*..,363-3.6 révou,969 996. 3.63 966 eact 996.357,63,63 révou,9 995.7 63,5 révous,73 995.577 35 3 révous, 995. 9 97 eacts 995.75,5,36,36 73 3 eacts 995.9,5,99,99 3 eacts 995.9,5,93,93 * Laten we eraan herinneren dat de eacte eeftijd van de tafe tussen eacte eeftijden samenvat met de eeftijd birth van de tafe tussen verstreken eeftijden. De aantaen sterfgevaen van de tafe tussen eacte eeftijden worden as vogt verkregen: 3.63 3.6 966/ 63,5 (966 97/ 35 (97 73/ enzovoort. De aantaen van overevenden worden as vogt verkregen: 996.357.. 3.63 995.75,5 996.357 63,5 995.9,5 995.75,5 35 enzovoort. De en worden as vogt verkregen:,363 3.63/..,63 63,5/996.357,36 35/995.75,5 enzovoort. Die waarden vaen samen met de waarden die men verkrijgt via de formues (6 en (9. De benaderende waarden die men verkrijgt via de formue ( zijn:,63 (,969,9/,36 (,9,73/,99 (,73,/ enzovoort. De verschien met de waarden die worden verkregen via de formue (9 is keiner dan,. 7
Nadat we, zoas we zojuist deden, de dubbezinnigheden met betrekking tot de intervaen van het zich voordoen van sterfgevaen weggenomen hebben, nemen we de vogende vereenvoudigde en gebruikeijke voorsteingen aan. Tabe a(bis. Concreet voorbeed: van de geboorte tot jaar Tafe tussen verstreken eeftijden verstr. eeftijd overevenden sterfgeva. eact*,36.. 3.6,969 996. 966,9 995.7 97,73 995.577 73 3, 995. 3,63 995. 6 Tafe tussen eacte eeftijden eacte eeft. sterfgeva. overevenden * 3.63..,363-63,5 996.357,63,63 35 995.75,5,36,36 3 9 995.9,5,99,99 9,5 995.9,5,93,93 * Souignons ambiguïté des notations de cette première igne : e uotient de mortaité et e nombre de décès sont reatifs à a période et ne peuvent être assimiés avec eurs homoogues de a tabe entre âges eacts, ui sont reatifs à a période. Tabe b. Concreet voorbeed: van 79 tot jaar Tafe tussen verstreken eeftijden Tafe tussen eacte eeftijden verstr. eeftijd overevenden sterfgeva. eacte eeft. sterfgeva. overevenden 79,6995 53.59 33.3,675 99.55 33.95,76 65.6 35.,36 3.5 3.6 3,9957 39.9 3., 353.3 3.9 33.5 56.,633,696 3.69.557,7,73 36.75 7.6,5,6 3 3..,9359,93759 3.9 37.67,,699 We zien dat de kwaiteit van de benaderende waarden uitstekend bijft aangezien de reatieve afwijking keiner is dan 3. Tabe c. Concreet voorbeed: van 99 tot 5 jaar Tafe tussen verstreken eeftijden verstr. eeftijd overevenden sterfgeva. 99,69 6.5.96,3967 3.63.9,39. 9,35. 63 3,533333. 53, 75 75 eacte eeft. Tafe tussen eacte eeftijden sterf- over- sterftegeva. evenden kans.6 5.5,5,339.7 3.5,353979,359957 75.95,36795,3537 3 53.9,69,97 59 77,6,766667 5 3 3,, De kwaiteit van de benaderende waarden bijft bevredigend. De aatste rege van de tafe die door de ADSEI werd uitgewerkt, heeft betrekking op ae verstreken eeftijden boven of geijk aan jaar (genoteerd as. We zuen de tafe op verstreken jaren afsuiten (door te steen dat. De tafe tussen eacte eeftijden die daaruit voortvoeit, is afgesoten op 5 eacte jaren (door te steen dat 5.
6. Levensverwachting 6.. Definitie en berekening. De evensverwachting is in een (probabiistische definitie de gemiddede resterende evensduur. De evensverwachting op de eeftijd wordt genoteerd as e. Voor de personen met eacte eeftijd : die zuen sterven vóór de eeftijd van, is de resterende evensduur geijk aan,5 met een waarschijnijkheid van ; die niet binnen een jaar zuen sterven, is de resterende evensduur geijk aan e, met een waarschijnijkheid van. We krijgen dus: e,5 ( e ( ( De zefde formue is van toepassing voor de personen met verstreken eeftijd : e,5 ( e ( ( We moeten eraan herinneren dat de formues ( en ( de geijke verdeing veronderstet van de sterfgevaen binnen het jaar dat twee opeenvogende, afhankeijk van het geva verstreken of eacte, eeftijden scheidt. Ze is niet as dusdanig van toepassing op de geboorte in het geva van de tafe tussen verstreken eeftijden. In dat geva wordt het gemiddede van de resterende evensduur: e birth θ birth (,5 e ( birth (3 waarbij θ de gemiddede eeftijd bij overijden is tussen de geboorte en de verstreken eeftijd. In de hypothese van de geijke verdeing van de sterfgevaen tijdens die periode, θ,33 wat overeenstemt met de eeftijd van het zwaartepunt van de ste driehoek. Die hypothese wordt tegengesproken door de waarneming, die ertoe geeid heeft dat de ADSEI θ, in acht neemt voor de recente tafes. Het resutaat wordt echter nauweijks beïnvoed door die keuze. N.B. De waarde van e birth berekend vogens (3 moet overeenstemmen met die van e berekend vogens (. 6.. Benaderende waarden voor >. De formues ( tot ( steen de vogende benaderende waarde voor, die rechtstreeks op basis van de tafe tussen verstreken eeftijden werd berekend en die we vervogens numeriek zuen testen: e e e 6.3. Concreet voorbeed. We nemen terug het bovenstaande voorbeed (zie paragraaf 5.. Tabe 5 hieronder geeft de evensverwachtingen: van de tafe tussen verstreken eeftijden, berekend vogens formues (3 en (; van de tafe tussen eacte eeftijden, berekend op basis van de eacte sterfteuotiënten (zie formue 9, vogens formue (; 3 van de tafe tussen eacte eeftijden, berekend op basis van de benaderende sterfteuotiënten (zie formue, vogens formue (; van de tafe tussen verstreken eeftijden, berekend vogens formue (. ( 9
Tabe 5a. Concreet voorbeed: van de geboorte tot jaar Tafe tussen verstreken eeftijden verstr. eeftijd eacte eeft. Tafe tussen eacte eeftijden verschi evensverwachting vogens (3 en ( eact 77,5 76,9 75,97 7,99 3 7, 73, evensverwachting vogens (9 en ( evensverwachting vog. ( en ( evensverwachting vog. ( verschi 77,5 - - - - 76, 76, -, 76,3 -, 75, 75,7, 75, -, 3 7,5 7,9, 7,5, 73,5 73,5, 73,5 -, De kwaiteit van de benaderende waarden, in het bijzonder de waarde op basis van formue (, is uitstekend. Ze vermindert wanneer de eeftijd verhoogt maar bijft bevredigend tot de uiterste eeftijden, zoas men kan zien in de vogende tabeen. Tafe tussen verstreken eeftijden verstr. evenseeftijd verwachting vogens (3 en ( 79 7, 7, 6,77 6,9 3 5,5 5, Tafe tussen verstreken eeftijden verstr. evenseeftijd verwachting vogens (3 en ( 99,,99,7,5 3,97,7 Tabe 5b. Concreet voorbeed: van 79 tot jaar eacte eeft. evensverwachting vogens (9 en ( Tafe tussen eacte eeftijden evensverwachting vog. ( en ( verschi evensverwachting vog. ( verschi 7,55 7,53, 7,5 -, 7, 7,, 7,3 -, 6,5 6,53, 6,53 -, 3 6, 6,7, 6,7 -, 5,66 5,6, 5,65 -, Tabe 5c. Concreet voorbeed: van 99 tot 5 jaar eacte eeft. evensverwachting vogens (9 en ( Tafe tussen eacte eeftijden evensverwachting vog. ( en ( verschi evensverwachting vog. ( verschi,9,9 -,,9 -,,,5,3, -,3,6,6,3,53 -,3 3,9,,, -,5,,73,,9 -, 5,5,5, - - De ADSEI stet zonder verantwoording tot op vandaag dat e,7, terwij formue ( eidt tot e,5; e 3,97; e,5; enz. De waarde die door de ADSEI wordt aangenomen (e,7 had moeten eiden tot e 3,; e, enz. Onder 95 jaar is het effect echter niet waarneembaar zodat de weersag van de waarde sechts betrekking heeft op de uiterste waarden.
6. Samenvatting en concusie Bij de uitgave 99 van de Begische sterftetafes werd een methodoogische wijziging doorgevoerd: terwij de tafes vóór 99 tussen eacte eeftijden werden opgemaakt, worden ze van dan af tussen verstreken eeftijden opgemaakt. Deze nota wi een methode aanreiken om een tafe tussen verstreken eeftijden om te zetten naar een tafe tussen eacte eeftijden. Tabe 6 vat de formues samen die daarbij gebruikt moeten worden. Tabe 6. Methode waarmee men een tafe tussen verstreken eeftijden kan omzetten naar een tafe tussen eacte eeftijden. eeftijd eeftijd >. birth ( birth (6 (9 ( e birth, birth (,5 e ( birth N.B. De waarde van e birth berekend vogens (3 overeenstemt met die van e berekend vogens (. (3 e,5 ( e ( e e > ( ( In de sterfteomstandigheden die op dit ogenbik geden in Begië: is de op de eacte eeftijd > ongeveer geijk aan het gemiddede tussen de en op de eeftijden van - en verstreken jaren; is de evensverwachting op de eacte eeftijd > ongeveer geijk aan het gemiddede tussen de evensverwachtingen op de eeftijden van - en verstreken jaren. Grosso modo vat voor > de tafe tussen verstreken eeftijden samen met de overeenstemmende tafe tussen eacte eeftijden, verouderd met 6 maanden. Ae functies van de tafe zijn 6 maanden opgeschoven: zo is de evensverwachting in tabe 5b op de rege van verstreken jaren, dit is 6,9 jaar, eveneens de evensverwachting op de eacte eeftijd,5 jaar. Wanneer men de evensverwachting op de verstreken eeftijd verwart met de evensverwachting op de eacte eeftijd, eidt een onaandachtige ezing van de tafe tussen verstreken eeftijden dus tot een onderschatting van de evensduur. Christian JAUMAIN, actuaris, emeritus professor van de UCL Christophe VANDESCHRICK, onderzoeker, Centre de recherche en démographie et sociétés van de UCL Beknopte bibiografie LEBRUN L. (996, Sterftetafes 99. Agemene voorsteing; methodoogie; resutaten, Wekeijks Communiué van het Nationaa Instituut voor de Statistiek, n 67, pp.6-7. PETAUTON P. (, Théorie et pratiue de 'assurance vie, Dunod, 3 ème édition. (Actuariëe presentatie van de sterftetafes. VALLIN J. et CASELLI G. (, «Chapitre. La tabe de mortaité d une génération», in G. CASELLI, J. VALLIN et G. WUNSCH, Démographie : anayse et synthèse. Tome I. La dynamiue des popuations, Paris, Éditions de Institut Nationa d Études Démographiues (INED, pp. 65-. (Demografische presentatie van de sterftetafes. VALLIN J. et CASELLI G. (, «Chapitre. L artifice de a cohorte fictive», in G. CASELLI, J. VALLIN et G. WUNSCH, Démographie : anayse et synthèse. Tome I. La dynamiue des popuations, Paris, Éditions de Institut Nationa d Études Démographiues (INED, pp. 7-37. (Demografische presentatie van de sterftetafes.