leeftijd sterftekans overlevenden sterfgevallen 0 0, ,58 1 0, ,88 2 0,

Transcriptie

1 Ineiing Sterftetafe: van verstreken eeftijen naar eacte eeftijen Tussen 994 en 6 maakte e Begische bevoking een enkbeeige verjongingskuur oor! Deze nota wi een eenvouige methoe geven om tafes tussen verstreken eeftijen, zoas voortaan gepubiceer oor e ADSEI, het voormaige NIS, om te zetten in tafes tussen eacte eeftijen, ie interessant kunnen zijn voor verschiene gebruikers zoas actuarissen, verzekeraars, emografen enz. De nota wort gevog oor e voeige reeks Begische tafes tussen eacte eeftijen. De sterftetafe ie het NIS pubiceere voor e jaren , betekent immers een methooogische breuk. De voorgaane tafes tot en met ie van e jaren weren opgemaakt tussen eacte eeftijen terwij at aarna gebeure tussen verstreken eeftijen. De voorsteing van e tafes en vogene is echter niet gewijzig ten aanzien van e voorgaane tafes. Ze bevat met name e vogene rubrieken, met e cijfers van tafe Mannen as voorbee: eeftij sterftekans overevenen sterfgevaen evensverwachting, ,5, ,, ,9 In e tafes en vogene geen e eeftijen as verstreken, terwij e eeftijen van e voorgaane tafes eact zijn. Zoas men kan vaststeen, staat eze essentiëe informatie niet in e tafes zef, wat heaas tot verwarring kan eien. Bovenien ient te woren opgemerkt at afhankeijk van e uitgave e op e eerste rege vermee eeftij of een mysterieuze < is. En at is nog niet aes: met betrekking tot e verstreken eeftijen zijn e cijfers van e tafes en 3vogene onjuist: e cijfers ie op e rege van e eeftij in e tafe staan, stemmen niet overeen met e verstreken eeftij. Bovenien stemt e evensverwachting van 75,5 jaar niet overeen met e eacte eeftij (it wi zeggen met e geboorte), noch met e verstreken eeftij. e cijfers ie overeenstemmen met e vogene eeftijen zijn een rege verschoven: - e cijfers ie op e rege van e eeftij van e tafe staan, stemmen in werkeijkhei overeen met e verstreken eeftij ; - e cijfers ie op e rege van e eeftij van e tafe staan, stemmen in werkeijkhei overeen met e verstreken eeftij enzovoort. De ADSEI corrigeere at geukkig bij e pubicatie van e tafes van 7 en op haar website 3 staan nu e tafes van ae jaren van 99 tot 9. Voor e tafe woren bijvoorbee e vogene cijfers verme waarvan e vergeijking met ie van e eerste tabe verheeren is: verstreken eeftij sterftekans overevenen sterfgevaen evensverwachting birth, ,, ,, ,9 Agemene Directie Statistiek en Economische Informatie. Nationaa Instituut voor e Statistiek. 3 Zie /

2 Men vint er e hierboven aangehaae fouten terug. In het bijzoner wort e evensverwachting bij e geboorte, een meiatieke inicator van e evensuur, overschat met een haf jaar in e tafes en vogene, terwij bij e aarna vogene eeftijen e evensverwachting te maken kreeg met een verjonging van een jaar. Geurene meer an een ecennium maakte e Begische bevoking zo onbewust een verjongingskuur oor, ie heaas enkbeeig was.. Terminoogie inzake eeftij In e emografie woren e vogene eeftijen onerscheien: De eacte eeftij berekent e precieze uur ie is verstreken sins e geboorte en veranert us op ieer ogenbik. Hij wort uitgerukt in jaren, maanen en agen of in tienen en honersten van jaren. Behave inien aners verme zijn e eacte eeftijen ie hier woren beoe e gehee eacte eeftijen. De verstreken eeftij is e eeftij op e aatste verjaarag, it wi zeggen het gehee aanta jaren at e persoon op een gegeven ogenbik heeft geeef. De verstreken eeftij op 3 januari van een persoon ie op 3 september 939 geboren is, beraagt 7 jaar en zijn eacte eeftij is 7 jaar en 4 maanen. De (in e oop van het kaenerjaar) bereikte eeftij is het verschi tussen het jaar waarin een gebeurtenis (overijen, huweijk, geboorte ) paatsvint en het geboortejaar van e betrokken persoon. Ae personen ie weren geboren in 939 en overeen in, zijn gestorven op e bereikte eeftij van 73 jaar, it is Sterftetafe tussen verstreken eeftijen Sins 9 pubiceert e ADSEI e sterftetafes ie ze uitrukkeijk tafes in verstreken eeftij noemt. Figuur geeft het begin van een ergeijke voeig fictieve tafe weer met een begincijfer van. (en niet van.. zoas e ADSEI oet). In it voorbee (cfr. figuur.a): ) beraagt het aanta overevenen bij e geboorte, it is op eact jaar (en oor e ADSEI birth genoem).: ) Het aanta overevenen op verstreken jaar (it is op het eine van het eerste evensjaar (kaenerjaar)) beraagt. En us: zijn er tussen e geboorte en verstreken jaar sterfgevaen, ie in riehoek A (cfr. figuur.b) iggen; beraagt e sterftekans tussen e geboorte en verstreken jaar /. = %. Dat uotiënt betreft e personen ie tussen en jaar zuen even tijens hun geboortejaar. 3 ) Het aanta overevenen op verstreken jaar (it is op het eine van het e evensjaar) beraagt 7. En us: zijn er tussen verstreken jaar en verstreken jaar sterfgevaen, ie in e riehoeken B en C (cfr. figuur.b) iggen; beraagt e sterftekans op verstreken jaar / = %. Die sterftekans heeft, net as e aarna vogene, betrekking op jaar; 4 ) De sterftekans op verstreken jaar beraagt op ezefe wijze 36/76 = 5% enzovoort. De eeftijen van verstreken jaar, verstreken jaar enz. zuen woren genoteer as, enz. /

3 Figuur. Voorsteing op Leisiagram van het begin van e begintafe tussen verstreken eeftijen A. De cijfergegevens B. De riehoeken eact eact. eact 7 3 eact A B C 7 D 3 E 6 4 Tabe geeft e opeenvoging van e gebeurtenissen weer. Zo hebben e sterfgevaen van e tussenrege tussen e rege van e geboorte en e rege van verstreken jaar bijvoorbee paatsgevonen tussen e geboorte en verstreken jaar, e eeftijen ie e riehoek A afbakenen. Zo ook hebben e sterfgevaen zich voorgeaan tussen verstreken jaar en verstreken jaar, e eeftijen ie het paraeogram afbakenen at samengeste is uit e riehoeken B en C enzovoort. Tabe. Begin van e tafe tussen verstreken jaren eeftij overevenen sterftekans sterfgevaen eact geboorte. % 3/ van het geboortejaar % 3/ van het jaar van e ste 76 5% verjaarag 3/ van het jaar van e e verjaarag Deze wijze van opschuiven van e functies van e tafe in e tabe aat uieijk zien at e aantaen van sterfgevaen niet ezefe tijsreferentie hebben as e aantaen van overevenen of e sterfterisco s ie ze hebben geopen. Het is bij e geboorte at e. overevenen woren gete en een sterfterisico open vóór e eeftij van verstreken jaar van %. De. overevenen en e sterftekans van % bevinen zich us op ezefe rege van e tabe. De sterfgevaen oner e. overevenen oen zich aarentegen voor tussen e geboorte en e eeftij van verstreken jaar. Die sterfgevaen vint men us terug op een tussenrege tussen ie van e geboorte en ie van verstreken jaar. Op ezefe manier woren e overevenen op e eeftij van verstreken jaar gete en open ze een sterfterisico vóór e eeftij van verstreken jaar van %. De overevenen en e sterftekans van % bevinen zich us op ezefe rege van e tabe. De sterfgevaen oner e overevenen oen zich aarentegen voor tussen e eeftij van verstreken jaar en e eeftij van verstreken jaar. Die sterfgevaen vint men us terug op een tussenrege tussen ie van verstreken jaar en ie van verstreken jaar enz /

4 3. Sterftetafe tussen eacte eeftijen Hoe kan men op basis van ie gegevens een tafe tussen eacte eeftijen berekenen? As we uitgaan van een geijke vereing van e sterfgevaen, woren e sterfgevaen tussen verstreken jaar en verstreken jaar veree tussen e twee riehoeken B en C van figuur, met 4 sterfgevaen per riehoek. Bijgevog beraagt het aanta overevenen op eact jaar 4 = 76. Het aanta overevenen op eact jaar verkrijgt men op ezefe wijze: 7 = 7. De eeftijen van eact jaar, eact jaar enz. zuen woren genoteer as, enz. Figuur. Voorsteing op een Leisiagram van e wijziging van e tafe Tabe. Vereing van e sterfgevaen per riehoek en berekening van het aanta sterfgevaen op eacte eeftijen eeftij overevenen sterfgevaen eact (). verstreken () 4 eact () 76 4 verstreken () 7 eact () 7 verstreken () 64 Tabe 3 vermet sechts wat nuttig is voor e tafe tussen eacte eeftijen, nameijk: ) e aantaen van overevenen op eacte eeftijen, hierboven verkregen; ) e aantaen sterfgevaen tussen eacte eeftijen verkregen oor opteing van e sterfgevaen in e paraeogrammen ie afgebaken woren oor opeenvogene eacte eeftijen. In het bijzoner zijn er tussen eact jaar (e geboorte) en eact jaar 4 sterfgevaen, it is van riehoek A pus 4 van riehoek B (cfr. figuur.b). Die sterfgevaen vint men terug op een tussenrege tussen ie van e geboorte en ie van eact jaar. Zo zijn er ook tussen eact jaar en eact jaar 4 = 5 sterfgevaen; 3 ) e sterftekansen op eacte eeftijen, bereken oor eing van het aanta sterfgevaen tussen twee opeenvogene eacte eeftijen oor het aanta overevenen op e eerste van ie twee eeftijen. In het bijzoner beraagt e sterftekans bij e geboorte 4/. = 4%. Het is bij e geboorte at e. overevenen vóór e eeftij van eact jaar een sterfterisico van 4% open. Het aanta van. 4/

5 overevenen en e sterftekans van 4% bevinen zich us op ezefe rege van e tabe. Op ezefe wijze beraagt e sterftekans op e eacte eeftij van jaar 5/76 =,763%. Tabe 3. Begin van e tafe tussen eacte jaren eacte eeftij overevenen sterfgevaen sterftekans geboorte. 4% 4 ste verjaarag 76 7,63% 5 e verjaarag 7 De gevoge proceure om e sterftekans op eact jaar te verkrijgen, kan woren toegepast op ae hogere eeftijen 4. In e vogene paragrafen zuen we zien hoe men een tafe tussen eacte eeftijen kan uitwerken op basis van een tafe tussen verstreken eeftijen, wat e beoeing van eze nota is. 4. Aanta sterfgevaen en aanta overevenen 4.. Aanta sterfgevaen tussen e eacte eeftijen en. We hebben, met eviente notaties: 4.. Aanta sterfgevaen tussen eacte eeftijen > en 5 = () = () 4.3. Aanta overevenen op eacte eeftijen > op basis van een beginpopuatie 5. Sterftekans = ou = (3) 5.. Sterftekans bij e geboorte = = (4) waaruit vogt: = 4 Vanuit zuiver methooogisch stanpunt en zoner noemenswaarig gevog voor e resutaten moet woren benarukt at e hypothese van een geijke vereing van e sterfgevaen tussen eacte eeftijen, een hypothese ie noozakeijk is voor e berekening van e sterftetafe en in het bijzoner van e evensverwachtingen, op een tegenstrijighei stuit. De aantaen van sterfgevaen tussen e eacte eeftijen en woren verkregen oor e opteing te maken van e heft van e waargenomen sterfgevaen enerzijs tussen - verstreken en verstreken en anerzijs tussen verstreken en verstreken. Tenzij e aantaen van sterfgevaen tussen verstreken eeftijen stabie zijn, zuen e riehoeken ie het paraeogram tussen twee eacte eeftijen vormen, niet hetzefe aanta sterfgevaen bevatten, wat in tegenspraak is met e hypothese van een geijke vereing, ie nochtans wort gebruikt bij onze verere berekeningen. 5 Door e actuarissen as genoteer. 5/

6 6/ = ) ( = (5) Met ie formue kan e waare van het ste uotiënt van e tafe tussen eacte eeftijen (tussen en eact jaar) woren bereken op basis van e uotiënten van e tafe tussen verstreken eeftijen enerzijs tussen eact jaar en verstreken jaar en anerzijs tussen verstreken jaar en verstreken jaar. Inien verwaaroosbaar is: (6) 5.. Sterftekans op eacte eeftijen > = (7) ofwe: = () 5.3. Benaerene waaren voor e eacte eeftijen >. Uit e aatste reatie eit men, met gebruik van e notatie = af: = = ofwe oor te steen: = ) ( ) )( ( = =. Wenu : = 4 ) ( Dus as e termen in 3 ) ( verwaaroosbaar zijn, wat het geva is behouens bij e uitersten van e tafe: ). ( ( 4 ) ( ) (benaerene waare) = Er is compensatie tussen e 3 aatste termen ie in ieer geva meesta verwaaroosbaar zijn as termen in ) (. Tot sot: (9) In het bijzoner as = verkrijgt men: = 5% % = 7,5% terwij = 7,63%.

7 As = en =,7, wat het geva is ron 3 jaar, heeft men =,35 en benaeren =,35. As = % en =,7%, wat het geva is ron 3 jaar, heeft men =,34% en benaeren =,35%. As = % en =,7%, wat het geva is ron 3 jaar, heeft men =,33% en benaeren =,35% Concreet voorbee. Tabe 4 hieroner geeft e cijfers van een tafe tussen verstreken eeftijen opgemaakt oor e ADSEI (het betreft e tafe 9 Mannen). We eien er e cijfers van e tafe tussen eacte eeftijen uit af. Tabe 4a. Concreet voorbee: van e geboorte tot 4 jaar eeftij Tafe tussen verstreken eeftijen Tafe tussen eacte eeftijen sterftekans overevenen sterfgevaen sterfgevaen overevenen Sterftekans sterftekans eact,36....,3643, verstr., eact ,634,634 verstr., ,5 eact ,5,36,36 verstr., eact ,5,99,99 3 verstr., eact 995.9,5 De aantaen sterfgevaen van e tafe tussen eacte eeftijen woren as vogt verkregen: = / 63,5 = (966 97)/ 35 = (97 73)/ enzovoort. De aantaen van overevenen woren as vogt verkregen: = ,5 = , ,5 = ,5 35 enzovoort. De sterftekansen woren as vogt verkregen:,3643 = 3.643/..,634 = 63,5/ ,36 = 35/995.75,5 enzovoort. Die waaren vaen samen met e waaren ie men verkrijgt via e formues (6) en (). De benaerene waaren ie men verkrijgt via e formue (9) zijn:,634 = (,969,9)/,36 = (,9,73)/,99 = (,73,4)/ enzovoort. De verschien met e waaren ie woren verkregen via e formues (6) en () zijn keiner an,. Naat we, zoas we zojuist een, e ubbezinnigheen met betrekking tot e intervaen van het zich vooroen van sterfgevaen weggenomen hebben, nemen we e vogene vereenvouige en gebruikeijke voorsteingen aan. 7/

8 Tabe 4a(bis). Concreet voorbee: van e geboorte tot 4 jaar Tafe tussen verstreken eeftijen Tafe tussen eacte eeftijen sterfte- over- sterf- eacte sterf- overkans evenen geva. eeft. geva. evenen verstr. eeftij eact*, , , , , , sterftesterftekans kans ,3643, , ,634, ,5,36, ,5,99,99 4 9, ,5,93,93 * Souignons ambiguïté es notations e cette première igne : e uotient e mortaité et e nombre e écès sont reatifs à a périoe et ne peuvent être assimiés avec eurs homoogues e a tabe entre âges eacts, ui sont reatifs à a périoe. verstr. eeftij Tabe 4b. Concreet voorbee: van 79 tot 4 jaar Tafe tussen verstreken eeftijen Tafe tussen eacte eeftijen sterfte- over- sterf- eacte sterf- overkans evenen geva. eeft. geva. evenen 79, , , , , , sterftekans sterftekans ,6433, ,7, ,45, ,9359, ,44,4699 We zien at e kwaiteit van e benaerene waaren uitsteken bijft aangezien e reatieve afwijking keiner is an 3. Tabe 4c. Concreet voorbee: van 99 tot 5 jaar verstr. eeftij Tafe tussen verstreken eeftijen sterfte- overkans evenen sterfgeva. 99, , , , , , eacte eeft. sterfgeva. Tafe tussen eacte eeftijen overevenen sterftekans sterftekans.6 5.5,45, ,353979, ,36795, ,4469, ,6, ,, De kwaiteit van e benaerene waaren bijft bevreigen. De aatste rege van e tafe ie oor e ADSEI wer uitgewerkt, heeft betrekking op ae verstreken eeftijen boven of geijk aan 4 jaar (genoteer as 4). We zuen e tafe op 4 verstreken jaren afsuiten (oor te steen at 4 = ). De tafe tussen eacte eeftijen ie aaruit voortvoeit, is afgesoten op 5 eacte jaren (oor te steen at 5 = ) /

9 6. Levensverwachting 6.. Definitie en berekening. De evensverwachting is in een (probabiistische) efinitie e gemiee resterene evensuur. De evensverwachting op e eeftij wort genoteer as e. Voor e personen met verstreken eeftij > of eacte eeftij : ) ie zuen sterven vóór e eeftij van, is e resterene evensuur geijk aan,5 met een waarschijnijkhei van ; ) ie niet binnen een jaar zuen sterven, is e resterene evensuur geijk aan e, met een waarschijnijkhei van. We krijgen us: e =,5 ( e )( ) () We moeten eraan herinneren at ie formue e geijke vereing veronerstet van e sterfgevaen binnen het jaar at twee opeenvogene, afhankeijk van het geva verstreken of eacte, eeftijen scheit. Ze is niet as usanig van toepassing op e geboorte in het geva van e tafe tussen verstreken eeftijen. In at geva wort het gemiee van e resterene evensuur: e = θ (,5 e )( ) () waarbij θ e gemiee eeftij bij overijen is tussen e geboorte en e verstreken eeftij. In e hypothese van e geijke vereing van e sterfgevaen tijens ie perioe, θ =,33, wat overeenstemt met e eeftij van het zwaartepunt van e ste riehoek. Die hypothese wort tegengesproken oor e waarneming, ie ertoe geei heeft at e ADSEI θ =, in acht neemt voor e recente tafes. Het resutaat wort echter nauweijks beïnvoe oor ie keuze. 6.. Benaerene waaren voor >. De formues (9) en () steen e vogene benaerene waare voor, ie rechtstreeks op basis van e tafe tussen verstreken eeftijen wer bereken en ie we vervogens numeriek zuen testen: e e e 6.3. Concreet voorbee. We nemen terug het bovenstaane voorbee (zie paragraaf 5.4). Tabe 5 hieroner geeft e evensverwachtingen: ) van e tafe tussen verstreken eeftijen, bereken vogens formues () en (); ) van e tafe tussen eacte eeftijen, bereken op basis van e eacte sterfteuotiënten (zie formue ), vogens formue (); 3 ) van e tafe tussen eacte eeftijen, bereken op basis van e benaerene sterfteuotiënten (zie formue 9), vogens formue (); 4 ) van e tafe tussen verstreken eeftijen, bereken vogens formue (). Tabe 5a. Concreet voorbee: van e geboorte tot 4 jaar Tafe tussen verstreken eeftijen verstr. eeftij eacte eeft. Tafe tussen eacte eeftijen verschi evensverwachting vogens () en () eact 77,5 76,9 75,97 74, , 4 73, evensverwachting vogens () et () evensverwachting vog. (9) et () evensverwachting vog. () () verschi 77,5 77,4 -, ,44 76,4 -, 76,43 -, 75,4 75,47, 75,4 -, 3 74,5 74,49, 74,5, 4 73,5 73,5, 73,5 -, 9/

10 De kwaiteit van e benaerene waaren, in het bijzoner e waare op basis van formue (), is uitsteken. Ze verminert wanneer e eeftij verhoogt maar bijft bevreigen tot e uiterste eeftijen, zoas men kan zien in e vogene tabeen. Tafe tussen verstreken eeftijen verstr. evenseeftij verwachting vogens () en () 79 7, 7, 6,77 6,9 3 5,5 4 5,44 Tafe tussen verstreken eeftijen verstr. evenseeftij verwachting vogens () en () 99,,99,7,5 3,97 4,7 Tabe 5b. Concreet voorbee: van 79 tot 4 jaar eacte eeft. evensverwachting vogens () et () Tafe tussen eacte eeftijen evensverwachting vog. (9) et () verschi evensverwachting vog. () verschi 7,55 7,53, 7,54 -,3 7,4 7,, 7,3 -,9 6,54 6,53, 6,53 -,96 3 6, 6,7, 6,7 -, 4 5,66 5,64, 5,65 -,7 Tabe 5c. Concreet voorbee: van 99 tot 5 jaar eacte eeft. evensverwachting vogens () et () Tafe tussen eacte eeftijen evensverwachting vog. (9) et () verschi evensverwachting vog. () verschi,9,94 -,,9 -,73,,5,3, -,,64,6,3,53 -,4 3,9,,, -, 4,,73,,49 -,36 5,5,5, - - De ADSEI stet zoner verantwooring tot op vanaag at e 4 =,7, terwij formue (9) eit tot e 4 =,5; e 3 =,97; e =,5; enz. De waare ie oor e ADSEI wort aangenomen (e 4 =,7) ha moeten eien tot e 3 =,; e =,4 enz. Oner 95 jaar is het effect echter niet waarneembaar zoat e weersag van e waare 4 sechts betrekking heeft op e uiterste waaren. /

11 6. Samenvatting en concusie Bij e uitgave 994 van e Begische sterftetafes wer een methooogische wijziging oorgevoer: terwij e tafes vóór 994 tussen eacte eeftijen weren opgemaakt, woren ze van an af tussen verstreken eeftijen opgemaakt. Deze nota wi een methoe aanreiken om een tafe tussen verstreken eeftijen om te zetten naar een tafe tussen eacte eeftijen. Tabe 6 vat e formues samen ie aarbij gebruikt moeten woren. Tabe 6. Methoe waarmee men een tafe tussen verstreken eeftijen kan omzetten naar een tafe tussen eacte eeftijen. eeftij eeftij > = () = () - = = (3) = = = ( ) (4, 5) (6) = () (9) e = θ (,5 e )( ) e oor e tabe tussen verstreken eeftijen weergegeven () e =,5 ( e )( ) e e e () () In e sterfteomstanigheen ie op it ogenbik geen in Begië: is e sterftekans op e eacte eeftij > ongeveer geijk aan het gemiee tussen e sterftekansen op e eeftijen van - en verstreken jaren; is e evensverwachting op e eacte eeftij > ongeveer geijk aan het gemiee tussen e evensverwachtingen op e eeftijen van - en verstreken jaren. Het is mogeijk om een fijnere methoe te gebruiken, via e berekening van e aantaen van sterfgevaen maar, zoas in e tekst wer getoon, zorgt at niet voor grote verschien in e resutaten. Grosso moo vat voor > e tafe tussen verstreken eeftijen samen met e overeenstemmene tafe tussen eacte eeftijen, verouer met 6 maanen. Ae functies van e tafe zijn 6 maanen opgeschoven: zo is e evensverwachting in tabe 5b op e rege van verstreken jaren, it is 6,9 jaar, eveneens e evensverwachting op e eacte eeftij,5 jaar. Wanneer men e evensverwachting op e verstreken eeftij verwart met e evensverwachting op e eacte eeftij, eit een onaanachtige ezing van e tafe tussen verstreken eeftijen us tot een onerschatting van e evensuur. Christian JAUMAIN, actuaris, emeritus professor van e UCL Christophe VANDESCHRICK, onerzoeker, Centre e recherche en émographie et sociétés van e UCL /

12 Beknopte bibiografie LEBRUN L. (996), Sterftetafes 994. Agemene voorsteing; methooogie; resutaten, Wekeijks Communiué van het Nationaa Instituut voor e Statistiek, n 67, pp PETAUTON P. (4), Théorie et pratiue e 'assurance vie, Duno, 3 ème éition. (Actuariëe presentatie van e sterftetafes). VALLIN J. et CASELLI G. (), «Chapitre. La tabe e mortaité une génération», in G. CASELLI, J. VALLIN et G. WUNSCH, Démographie : anayse et synthèse. Tome I. La ynamiue es popuations, Paris, Éitions e Institut Nationa Étues Démographiues (INED), pp (Demografische presentatie van e sterftetafes). VALLIN J. et CASELLI G. (), «Chapitre 4. L artifice e a cohorte fictive», in G. CASELLI, J. VALLIN et G. WUNSCH, Démographie : anayse et synthèse. Tome I. La ynamiue es popuations, Paris, Éitions e Institut Nationa Étues Démographiues (INED), pp (Demografische presentatie van e sterftetafes). /