Regeltechniek. Les 2: Signaaltransformaties. Prof. dr. ir. Toon van Waterschoot

Regeltechniek Les 2: Signaaltransformaties Prof. dr. ir. Toon van Waterschoot Faculteit Industriële Ingenieurswetenschappen ESAT Departement Elektrotechniek KU Leuven, Belgium

Regeltechniek: Tijdschema Hoorcolleges Hoorcolleges: maandag 8:25 :25 29/9: Les 6/: Les 2 3/: Les 3 2/: geen les 27/: Les 4 3/: Les 5 /: geen les 7/: Les 6 24/: Les 7 /2: Les 8 & 8/2: Les 9 5/2: Les

Regeltechniek: Vakinhoud Deel : Systeemtheorie Les : Inleiding en modelvorming Les 2: Signaaltransformaties Les 3: Systemen van eerste orde Les 4: Systemen van tweede & hogere orde en met dode tijd Deel 2: Analoge regeltechniek Les 5: De regelkring Les 6: Het wortellijnendiagram Les 7: De klassieke regelaars Les 8: Voorbeelden en toepassingen Les 9: Systeemidentificatie en regelaarsinstelling Les : Speciale regelstructuren Les : Niet-lineaire regeltechniek & aan-uit regelaars

Les 2: Signaaltransformaties De Laplace-transformatie [Baeten, SYST, Hoofdstuk 2] Inleiding Definitie Voorbeelden Eigenschappen De inverse Laplace-transformatie Laplace-transformatie bij analyse van continue systemen Transformatietabel Fourier-transformatie en -reeksontwikkeling [Baeten, SYST, Hoofdstuk 6] Fourier-transformatie Fourier-reeksontwikkeling

Inleiding () Differentiaalvergelijkingen klassieke beschrijving gedrag/evolutie van systeem (in tijd) verband tussen ingangs- en uitgangssignalen van systeem voorbeeld: elektrische capaciteit V (t) =V () + C Z t i(t)dt. Transfertfunctie (TF) beknopte beschrijving van systeemgedrag algebraisch verband tussen ingangs- en uitgangssignalen van systeem (= zonder afgeleiden of integralen)

Inleiding (2) Differentiaalvergelijking Laplace-transformatie Transfertfunctie Laplace-transformatie = integraaltransformatie zet differentiaalvergelijking om in transfertfunctie kan gebruikt worden om differentiaalvergelijkingen op te lossen geeft inzicht in frequentie-gedrag van systeem

Definitie () Laplace-transformatie Laplace-getransformeerde van functie f(t) F (p) =L {f(t)} = Z f(t)e pt dt p = Laplace-variabele f(t)e pt enkel gedefinieerd als convergeert eenzijdige Laplace-transformatie veronderstelt f(t) causaal: f(t) =, t <

Z Definitie (2) Inverse Laplace-transformatie invers Laplace-getransformeerde van functie f(t) =L {F (p)} = 2 j a Z a+j j F (p)e pt dp F (p) integraal langs verticale lijn ( Re(p) =a) in complexe vlak enkel gedefinieerd als F (p)e pt dtweezijdig convergeert Laplace-transformatiepaar f(t) $ F (p)

Voorbeelden () ( Dirac-impuls definitie Dirac-impuls: (t) = ( voor t =, voor t 6=. (t) $ oppervlak onder functie kan niet worden berekend (resultaat is onbepaald) en wordt daarom gedefinieerd als Z Z Z (t)dt = (t)dt Z + Laplace-getransformeerde: L{ (t)} = Z (t)e pt dt = Z + (t)e p dt + Z + e pt dt = +

Voorbeelden (2) Stapfunctie definitie stapfunctie: f(t) = a voor t, voor t<. a $ a p bij eenzijdige Laplace-transformatie kunnen we stapfunctie als constante functie beschouwen: Z apple e L{f(t)} = L{a} = ae pt pt dt = a = a Z p p Laplace-getransformeerde is enkel gedefinieerd voor p>.

Voorbeelden (3) Exponentiële functie definitie: f(t) =e at met a constant reëel getal Laplace-transformatie: Z L{e at } = Z e at e pt dt = Z e (a p)t dt = apple e (a Laplace-getransformeerde is enkel gedefinieerd voor a p)t p e at $ p = p a a p>a.

Voorbeelden (4) Z Z apple Talud- of rampfunctie definitie: f(t) =t Laplace-transformatie: Z Z L{t} = Z Z apple e te pt pt dt = td = Z Z p Laplace-getransformeerde is enkel gedefinieerd voor Veeltermfunctie definitie: f(t) =t n Laplace-transformatie: Z L{t n } = n! p n Z enkel gedefinieerd voor e pt dt = n! p n+ t p e pt p>. + p Z e pt dt =+ p t $ p 2 apple e pt p Z = p 2 p>. t n $ n! p n+

Voorbeelden (5) Z Sinusoidale functie definities: f(t) = cos at f(t) = sinz at t} volgt echte Laplace-getransformeerden kunnen berekend worden via dubbele partiële integratie L{cos at} = p L{sin at} = Z a 2 p 2 L{cos at} = p p 2 + a 2 sin at e pt dt = a a L{cos at} = p cos at $ sin at $ p 2 + a 2. p p 2 + a 2 a p 2 + a 2

Eigenschappen () Lineariteit Laplace-getransformeerde van gescaleerde functie = gescaleerde Laplace-getransformeerde Laplace-getransformeerde van som van functies = som van Laplace-getransformeerden met a, b willekeurige constanten lineariteit kan gebruikt worden om Laplace-transformatie te berekenen voor functies waar Laplace-integraal moeilijk te berekenen is, bv. met Z L {a.f (t)+b.g (t)} = a.l {f (t)} + b.l {g (t)} = af (p)+bg(p) { L{cosh at} = L{ eat + e at } = 2 2 L{eat } + 2 L{e at } = 2 p> a. { } =(e at apple p a + p + a = p p 2 a 2

Eigenschappen (2) Differentiatietheorema Laplace-getransformeerde van afgeleide functie = vermenigvuldiging met p in Laplace-domein: Indien f(t) $ F (p) dan Bewijs: zie cursustekst df (t) dt $ pf (p) f(o). Voorbeeld: Laplace-getransformeerde van sinus berekenen op basis van Laplace-transformatie van cosinus, d cos at = a sin at of sin at = dt a L{sin at} = d cos at a L = p dt a d cos at dt p p 2 + a 2 = a p 2 + a 2

Eigenschappen (3) Integratietheorema Laplace-getransformeerde van geïntegreerde functie = deling door p in Laplace-domein: Z Indien f(t) $ F (p) dan f(t)dt $ F (p) p. Bewijs: zie cursustekst

Z Eigenschappen (4) Eindwaardetheorema eindwaarde (= steady-state waarde, evenwichtswaarde) van functie = limiet p x @ Laplace-getransformeerde A voor p Indien f(t) $ F (p) dan lim f(t) = lim pf (p). Z t! p! Bewijs: zie cursustekst Beginwaardetheorema beginwaarde van functie = limiet p x Laplace-getransformeerde voor p Indien f(t) $ F (p) dan lim p! pf (p) =f().

Eigenschappen (5) Schaalfactortheorema laat toe om tijdbasis om te rekenen naar andere tijdseenheid Indien f(t) $ F (p) dan f(at) $ p a F a Eerste verschuivingstheorema = theorema van complexe translatie = modulatie-theorema Indien f(t) $ F (p) dan e at f(t) $ F (p a). Tweede verschuivingstheorema = theorema van reële translatie (enkel indien causaal!) Indien f(t) $ F (p) dan f(t a) $ e ap F (p).

Eigenschappen (5) Vermenigvuldiging met t = theorema van complexe differentiatie Indien f(t) $ F (p) dan tf(t) Z $ Deling door t = theorema van complexe integratie Convolutie df (p) dp Indien f(t) $ F (p) dan t n f(t) $ ( ) n d n F (p) dp n Indien f(t) $ F (p) dan f(t) t $ Z p F (u)du. Indien f(t) $ F (p) en g(t) $ G(p) dan f(t) g(t) $ F (p) G(p)

Inverse Laplace-transformatie () Berekening inverse Laplace-transformatie definitie: L {F (p)} = f(t) tie F (p) is voor de berekeningswijze: deel functie F(p) op in som van elementaire Laplace-getransformeerden en gebruik lineariteit L {c F (p)+c 2 G(p)} = c L {F (p)} + c 2 L {G(p)} = c f(t)+c 2 g(t) Laplace-getransformeerde = rationele functie van p F (p) = T (p) N(p) rationele functie opdelen in som van elementaire breuken = splitsing in partieelbreuken

Inverse Laplace-transformatie (2) Splitsing in partieelbreuken partieelbreuksplitsing voor enkelvoudige pool p i A i p p i met A i = lim p!pi (p p i )F (p). partieelbreuksplitsing voor r-voudige pool p i A (p p i ) r + A (p p i ) r + + A r p p i met A j = j! lim p!p j (berekening coëfficiënten A j : noemers elimineren en veeltermcoëfficiënten linker- en rechterlid gelijk stellen) partieelbreuksplitsing voor complex toegevoegde polen Bp + C (p a) 2 + b 2 Voorbeelden: zie cursustekst d j dp j [(p p i) r F (p)] a ± jb (berekening coëfficiënten B, C: coëfficiënten (co)sinusterm linker- en rechterlid gelijk stellen)

Analyse van continue systemen Differentiaalvgl. algebraïsche vgl. differentiaalvergelijking: D y y(t) = D x x(t) D y = b n d n dt n + + b Laplace-transformatie: algebraïsche vergelijking: en D x = a n d n dt n + + a b n [p n Y (p) y()p n y ()p n 2 y n ()] +b n [p n Y (p) y()p n 2 y ()p n 3 y n 2 ()] + + b [py (p) y()] + b Y (p) = a n [p n X(p) x()p n x ()p n 2 x n ()] +a n [p n X(p) x()p n x ()p n 2 x n 2 ()] + + a [px(p) x()] + a X(p). Y (p) =H(p)X(p)+E(p) met H(p) = a np n + a n p n + + a b n p n + b n p n + + b

Transformatietabel Theorie f(t) (grafisch) f(t) (formule) F(p). δ(t) 2. f(t) δ(t nt) e ntp 3. u(t) p f(t) 4. tu(t) 5. f(t) f(t) f(t) nt tijd tijd tijd tijd tijd p 2 2 t2 u(t) p 3 f(t) 6. t n u(t) n! tijd p n+ f(t) 7. e at u(t) p + a tijd 8. f(t) te at u(t) (p + a) 2 tijd 9. f(t) (grafisch) f(t) (formule) F(p) f(t) 2 t2 e at u(t) (p + a) 3. f(t) t n e at u(t) n! (p + a) n+ f(t) tijd tijd tijd. ( e at )u(t) tijd a p(p + a) f(t) 2. sin (ωt)u(t) ω tijd p 2 + ω 2 f(t) 3. cos (ωt)u(t) tijd p p 2 + ω 2 f(t) 4. e at sin (ωt)u(t) ω tijd (p + a) 2 + ω 2 5. f(t) e at cos (ωt)u(t) p + a (p + a) 2 + ω 2 tijd

Fourier-transformatie () Z Definitie Fourier-getransformeerde van signaal f(t) F (!) =z{f(t)} = Z f(t)e j!t dt. =<(!)+j=(!) =A(!)e j'(!) ω = frequentievariabele geeft inzicht in frequentie-inhoud van signalen en frequentie-gedrag van systemen tweezijdige transformatie verband met Laplace-transformatie (voor causale signalen): F (!) =F (p) p=j!

Fourier-transformatie (2) Inverse definitie: f(t) =z {F (!)} = 2 berekeningswijze: partieelbreuksplitsing lineariteit transformatietabel Lineariteit: Z F (!)e j!t d!. z {a.f (t)+b.g (t)} = a.z {f (t)} + b.z {g (t)}

Fourier-transformatie (3) Voorbeeld : Dirac-puls berekening: Z z{ (t)} = (t)e j!t dt = = Z + Z + (t)e j! dt (t)dt = besluit: Dirac-puls bevat alle frequenties met amplitude ( vlak frequentiespectrum)

Fourier-transformatie (4) Voorbeeld 2: Stap definitie stap: 8 < E(t) = 8 < :, voor t> /2, : voor t =, voor t< berekening: z{e(t)} = Z E(t)e j!t dt = Z e j!t dt = e j!t j! = [ j! ]= j! besluit: stap bevat alle frequenties met afnemende amplitude

Fourier-transformatie (5) Voorbeeld 3: Exponentiële functie definitie exponentiële functie: f(t) = 8 < : 8 e at <, voor t> /2, voor t = :, voor t< berekening: Z z{f(t)} = Z Z f(t)e j!t dt = Z e (a j!)t dt = e(a j!)t a j! = [ a j! ]= j! a

Fourier-transformatie (6) 8 7 6 Puls Voorbeeld 4: Puls definitie pulsfunctie: 8 < A, 8 voor t <a < f(t) = A/2, voor t = a :, : voor t >a berekening: z{f(t)} = Z a a Ae ( j!)t j!)t e( dt = A j! a a = A e( j!)a e (j!)a j! besluit: spectrum puls = sinc-functie = 2A sin(!a).! Amplitude Amplitude 5 4 3 2 - -2-8 -6-4 -2 2 4 6 8 Tijd [s] 8 7 6 5 4 3 2 - Fourier-getransformeerde -2-8 -6-4 -2 2 4 6 8 Pulsatie [r/s]

Fourier-reeksontwikkeling () Definitie Fourier-reeksontwikkeling Z geeft frequentie-inhoud periodische signalen (Fouriertransformatie = onbepaald) Z coëfficiënten Fourier-reeks worden berekend uit periode T a k = 2 T ZT/2 T/2 f(t) cos(k! t)dt b k = 2 XT ZT/2 T/2 f(t) sin(k! t)dt voor k =, 2, 3,... Fourier-reeks: f(t) = a 2 + X [a k cos(k! t)+b k sin(k! t)]. Fourier-som: k= f n (t) = a nx 2 + [a k cos(k! t)+b k sin(k! t)] k=! =2 /T

Z Fourier-reeksontwikkeling (2) Afleiding zie cursustekst belangrijke eigenschap: integraal over periode van product van verschillende sinussen en cosinussen = ZT/2 cos(k! t) sin(l! t)dt = voor k, l =, 2,... T/2.8.8 Amplitude.6.4.2 -.2 Amplitude.6.4.2 -.2 + + - - vb. cos(2 t) sin(2 t) -.4 -.6 -.8 -.4 -.6 -.8 -.2.4.6.8 Tijd [sec] -.2.4.6.8 Tijd [sec]

Z Fourier-reeksontwikkeling (3) Afleiding zie cursustekst belangrijke eigenschap: integraal over periode van product van verschillende sinussen en cosinussen = ZT/2 T/2 cos(k! t) sin(l! t)dt = voor k, l =, 2,... Amplitude.8.6.4.2 -.2 -.4 Amplitude.8.6.4.2 -.2 -.4 + + - - vb. cos(2 t) sin(4 t) -.6 -.6 -.8 -.8 -.2.4.6.8 Tijd [sec] -.2.4.6.8 Tijd [sec]

Z Fourier-reeksontwikkeling (4) Afleiding zie cursustekst belangrijke eigenschap: integraal over periode van product van verschillende sinussen en cosinussen = ZT/2 T/2 cos(k! t) sin(l! t)dt = voor k, l =, 2,....8.8 Amplitude.6.4.2 -.2 -.4 Amplitude.6.4.2 -.2 -.4 + - + - vb. cos(2 t) cos(4 t) -.6 -.6 -.8 -.8 -.2.4.6.8 Tijd [sec] -.2.4.6.8 Tijd [sec]

Z Z Fourier-reeksontwikkeling (5) Voorbeeld : Blokgolf definitie blokgolf (met periode ):, voor <t</2 Stel f(t) =, voor /2 <t< Fourier-reekscoëfficiënten (bereken zelf!): a =, a,2,3,... =, b 2,4,6,... =, b = 2, b 3 = 2 3, b 5 = 2 5,... besluit: blokgolf (oneven functie) is som van DC-component en oneindig veel sinus-functies

Fourier-reeksontwikkeling (6) Voorbeeld : Blokgolf Fourier-sommen blokgolf (n =, 3, 5) 2 2.5.5 Amplitdue.5 Amplitdue.5 -.5 -.5 - -2 -.5 - -.5.5.5 2 Tijd [sec] - -2 -.5 - -.5.5.5 2 Tijd [sec] 2 2.5.5 Amplitdue.5 Amplitdue.5 -.5 -.5 - -2 -.5 - -.5.5.5 2 Tijd [sec] - -2 -.5 - -.5.5.5 2 Tijd [sec]

Fourier-reeksontwikkeling (7) Voorbeeld 2: Zaagtand definitie zaagtand (met periode ): f(t) =t, voor <t< Fourier-reekscoëfficiënten (bereken zelf!): a =, a,2,3,... =, b =, b 2 = 2, b 3 = 3,... besluit: zaagtand (oneven functie) is verschil van DCcomponent en oneindig veel sinus-functies

Fourier-reeksontwikkeling (8) Voorbeeld 2: Zaagtand Fourier-sommen zaagtand (n =, 2, 3, 4).5.5 Amplitdue.5 Amplitdue.5 -.5-2 -.5 - -.5.5.5 2 Tijd [sec] -.5-2 -.5 - -.5.5.5 2 Tijd [sec].5.5 Amplitdue.5 Amplitdue.5 -.5-2 -.5 - -.5.5.5 2 Tijd [sec] -.5-2 -.5 - -.5.5.5 2 Tijd [sec]

Fourier-reeksontwikkeling (9) Voorbeeld 3: Driehoek definitie driehoek (met periode 2): 2t, voor <t< f(t) = 2t +, voor <t< Fourier-reekscoëfficiënten (bereken zelf!): b,2,3,... =, a,2,4,... =, a = 8 2, a 3 = 8 (3 ) 2, a 5 = 8 (5 ) 2,... besluit: zaagtand (even functie) is som van DC-component en oneindig veel cosinus-functies Fourier-sommen driehoek (n = 3, 5).5.5 Amplitdue.5 Amplitdue.5 -.5 - -.5 - -.5-2 -.5 - -.5.5.5 2 Tijd [sec] -.5-2 -.5 - -.5.5.5 2 Tijd [sec]

Fourier-reeksontwikkeling () Beschouwingen Fourier-reeksontwikkeling over het algemeen neemt bijdrage van hogere harmonischen in Fourier-reeks af: Fourier-som is dan goede benadering voor even functies zijn sinus-coëfficiënten gelijk aan, voor oneven functies zijn cosinus-coëfficiënten gelijk aan willekeurig signaal kan worden ontbonden in som van even en oneven functie: even functie = som van cosinussen (+ DC-component) oneven functie = som van sinussen