Extra oefening hoofdstuk a Voor punten op lijn l geldt: heen coördinaten x + λ en y + λ. Invullen in de vergelijking x + y 5 van cirkel c geeft ( + λ) + ( + λ) + 6λ+ 9λ + + λ+ λ 5 λ + λ λ + λ ( λ+ )( λ ) λ of λ. De snijpunten zijn dus ( +, ) ( 5, ) en ( +, + ) (, ). De afstand van de snijpunten tot het middelpunt (, ) is gelijk aan de straal r van cirkel c. Punten op lijn m heen coördinaten ( + λ, λ ). De afstand tot het middelpunt (, ) is ( + λ ) + ( + λ ) λ λ of λ. De snijpunten zijn dus ( +, ) (, ) en (, + ) (, 5). De afstand tussen de punten is ( ) + ( 5) 6 + 6 7 6. c De snijpunten van de cirkels zijn de oplossingen van het stelsel x + y 5 ( x ) + ( y ) + ( y ) geeft x x+ + y y+. Omwerken van ( x ) Invullen van x + y 5 y 5 x hierin geeft x x+ + 5 x y+ x y y x+ Punten die op deze lijn en eide cirkels liggen voldoen aan het stelsel. De vergelijking van de snijlijn is dus y x+. d Het middelpunt van c is het punt M (, ). De afstand van (, ) tot de lijn y x+ x+ y 6 is d + 6 5 + 5 5. a Als de lijnen l, m en n door één punt gaan is het snijpunt van twee lijnen tevens het snijpunt met de derde lijn. Voor het snijpunt tussen l en m geldt x y + + λ m λ m + + λ 6m optellen λ m 6+ 9λ 9+ 6m x 6+ 5λ λ, dus het snijpunt tussen l en m is y. x Lijn n gaat door dit snijpunt als y + τ τ voldoet. Alle drie lijnen gaan door (, ), dus gaan de lijnen door één punt. Schrijf de vergelijking voor lijn l in de vorm x+ y en voor lijn m in de vorm x+ y. Voor een punt P(x, y) op een issectrice geldt d( Pl, ) d( P, m) dus x+ y x+ y + + x+ y x+ y x+ y x+ y of x+ y ( x+ y ) x y + y x of 5y 5x+ 5 y x+ De lijn met vergelijking y x komt overeen met de vergelijking van lijn n dus is de lijn een issectrice. c De andere issectrice staat loodrecht op lijn n en heeft vergelijking y x+, zoals ij opdracht erekend is. a Invullen van O(,, ) levert ( ) + ( 5) + ( ) r r + 5 + 6 5. Extra oefening hoofdstuk Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen vwo D deel
Extra oefening hoofdstuk Als r 5 voldoet het punt (,, ) dus aan de vergelijking en gaat de ol door dat punt. Het middelpunt van de ol heeft coördinaten (, 5, ). De y-coördinaat speelt geen rol voor de afstand van het middelpunt tot de y-as. Met de stelling van Pythagoras volgt dan als afstand + 6, dus r 6 r 6. c Schrijf de vergelijking van het vlak in de standaardvorm x+ y+. De afstand van het middelpunt van de ol met coördinaten (, 5, ) tot het vlak is ax + y + cz + d d + 5 + + a + + c + + De ol raakt het vlak als de straal deze afstand heeft, dus r r, 9. d Vector is een normaalvector van het vlak x+ y+. De lijn loodrecht op het vlak en door het middelpunt (, 5, ) van de ol is x + λ dus y 5 + λ 5 + λ. Het raakpunt is het snijpunt van z de lijn met het vlak. Invullen van de coördinaten ( + λ, 5+ λ, ) van een punt op de lijn in de vergelijking x+ y+ van het vlak geeft ( + λ) + ( 5+ λ) + 6+ 9λ+ 5+ λ+ λ λ. 9 7 Het raakpunt heeft dus coördinaten ( +, 5, ) (,, ). a Punten die voldoen liggen op de lijn en heen afstand r tot het middelpunt (,, ) van de ol. Punten op de lijn heen coördinaten ( λ, λ, + λ ). Er geldt dus ( λ ) + ( λ ) + ( + λ ) ( λ) + ( λ) + ( + λ ) 6λ+ 9λ + λ + 9+ 6λ+ λ λ λ λ of λ Bij λ hoort het snijpunt (,, + ) (,, ). Bij λ hoort het snijpunt (,, + ) (, 5, ). De afstand van lijn l tot het middelpunt M is de afstand van het middelpunt tot het punt dat midden tussen de snijpunten ligt. Het punt tussen de snijpunten heeft coördinaten ( ( + 5), ( + ), ( + )) (,, ). De afstand hiervan tot het middelpunt (,, ) is ( ) + ( ) + ( ) +. De afstand van M tot l is dus. 5a x + y + z x+ y+ z 6 omwerken tot ( x a) + ( y ) + ( z c) r : x x + y + y + z + z 6 ( x x+ ) + ( y + y+ ) + ( z + z+ ) 6 ( x ) + ( y+ ) + ( z + ) 6 ( x ) + ( y+ ) + ( z + ) 5 De coördinaten van het middelpunt M van de ol zijn (,, ). De afstand van M(,, ) tot het vlak V met vergelijking x y z worden erekend met de formule ax + y + cz + d + + + + + + d 9. a + + c + ( ) + ( ) + + 9 Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen vwo D deel
c d De afstand van het middelpunt M tot het vlak is, maar de straal van de ol is volgens ( x ) + ( y+ ) + ( z + ) 5 gelijk aan 5. De afstand is kleiner dan de straal dus moet het vlak V voor een deel innen de ol liggen en dus snijdt V de ol. De normaalvector van vlak V die door middelpunt M gaat snijdt V in het midden van cirkel N. Een normaalvector van vlak x y z is. De normaalvector die door x λ middelpunt M(,, ) gaat is y λ λ. Invullen in de vlakvergelijking z λ geeft ( λ) ( λ) ( λ) λ+ λ+ λ 9λ λ. Het snijpunt van de normaalvector met het vlak is dus (,, ) en dit zijn de coördinaten van het middelpunt N van deze cirkel. De middelpunten M en N en elk punt P op de cirkelrand vormen een rechthoekige driehoek met N 9. De lengte MN is de afstand van M tot het vlak V, dus. De lengte MP is de straal van de ol, dus 5. De straal van de cirkel volgt uit de stelling van Pythagoras: NP MP MN 5 6. Extra oefening hoofdstuk Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen vwo D deel 5
6 Extra oefening hoofdstuk a y x y + 6 heeft alleen voor y een kwadratische term, dus werk dit om naar de vergelijking voor een paraool met vergelijking cx ( p) ( y q), waarna top (p, q), richtlijn x p c en randpunt F( p+ cq, ) af te lezen zijn. Dat geeft y x y + 6 x+ 6 y + y x 6 y y, kwadraat afsplitsen voor y geeft x 6 ( y y+ 6) 6 ( y ) 6 x ( y ) ( x ) ( y ) ( x ) ( y ) Aflezen tegen het ouwschema cx ( p) ( y q) geeft c, p en q. De richtlijn x p c geeft x, de top (p, q) geeft (, ) en het randpunt F( p+ cq, ) geeft F( +, ) F( 5, ). x + y x y+ heeft een positieve term voor x en y, dus werk dit om naar de vergelijking voor een ellips verschoven naar het punt (p, q) met ouwschema ( x p) ( y q) +, waarna de toppen (p + a, q), (p a, q), (p, q + ) en (p, q ) a en de randpunten (p + c, q) en (p c, q) met c a af te lezen zijn. Dat geeft x + y x y+ x x+ y y+ x x+ ( y y) +, kwadraat afsplitsen geeft ( x x+ ) + (( y y+ ) ) + ( x ) + (( y ) ) + ( x ) + ( y ) + + 9 ( x ) ( y ) + 9 ( 7) Aflezen tegen het ouwschema ( x p) ( y q ) + geeft p, q, a 9 en a 7. Met c a 7 5 6 volgen de coördinaten voor de toppen: (p + a, q) (9, ), (p a, q) (, ), (p, q + ) (, + ) (; 7,) en (p, q ) (, ) (;,). de randpunten: (p + c, q) ( + 6,) (7,5; ) en (p c, q) ( 6,) (,65; ). c x y heeft een positieve term voor x en een negatieve term voor y, dus werk dit om naar de vergelijking voor een hyperool met ouwschema x y ±, a waarna de asymptoten y a x en y a x en de randpunten F ( c, ) en F (, c ) met c a + af te lezen zijn. Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen vwo D deel
Dat geeft x y x y 5 x y ( 5) ( ) Aflezen tegen het ouwschema x a y geeft a 5 en 5. De asymptoten zijn y a x 5 x 5 x en y a x 5 x 5 x. Met c a + 5+ 5 5 volgen de coördinaten voor de randpunten: F ( c, ) F ( 5, ) en F (, c ) F (, 5). a Voor een paraool met top (p, q) en randpunt F( p+ cq, ) gelden de vergelijkingen cy ( q) ( x p) of cx ( p) ( y q). De paraool met top (p, q) (, ) en randpunt F( p+ cq, ) F(, ) heeft volgens dit schema p, q, p+ c c p. Invullen in het ouwschema voor de vergelijking geeft cy ( q) ( x p) ( y ) ( x ) ( y ) ( x ) of cx ( p) ( y q) ( x ) ( y ) ( x ) ( y ) Voor een ellips met randpunten F ( c, ) en F (, c ) op de x-as (, ) en (, ) c geldt x y + met a>, c en a + c + + 9. a Invullen van het punt (, ) in de vergelijking geeft ( ) + a + 9 +. Oplossen geeft ( + 9) + ( + 9) ( + 9) + ( + 9) ( + 9) + + + 9 + ( )( + 6) of 6 (voldoet niet want een kwadraat is nooit negatief) Uit a + c + + 9 volgt a + 9. De vergelijking van de ellips wordt dus x y +. Voor een hyperool met asymptoten y a x en y a x geldt x y. a Uit y± x volgt a. Dit invullen en het punt (, ) geeft a a ( a) 9 6 a a a a a a a Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen vwo D deel 7
Daaruit volgt a. Invullen in x y geeft x y als vergelijking van de hyperool. a d Voor een hyperool met randpunten F( ± c, ) geldt a + c en x y. a Voor de hyperool met randpunten ( ±6, ) geldt c 6, dus a + 6 6 6 a. a Dit invullen en het punt (, ) in x y geeft a a 6 a 6( 6 a ) a 6a a a 6 6a a ( 6 a ) a ( 6 a ) a ( 6 a ) a ( 6 a ) a ( 6 a ) 6 6 a a ( a ) a a + ( a )( a 7) a of a 7 invullen van a 7 in 6 a 6 7 6 geeft een negatief kwadraat wat niet kan, dus a 7 voldoet niet. Invullen van a geeft 6 a 6. Invullen in x a y geeft x y als vergelijking van de hyperool. In de eerste paraool staat x en in de tweede paraool y. Alleen door verwisseling van x en y kan dit ereikt worden. Er is dus een spiegeling in de lijn y x nodig. De tweede paraool wordt dan x y. Omwerken van de eerste afeelding x x y + 6 door kwadraat afsplitsen naar deze vorm met x geeft ( x x+ ) y 6 ( x ) y ( x ) ( y ) Dit is een verschuiving van de grafiek van x y met naar rechts en omhoog. Terugschuiven met naar links en omlaag van de grafiek van ( x ) ( y ), dus met translatievector, geeft x y. Spiegelen in de lijn y x verwisselt x en y zodat de vergelijking y x wordt. De afeeldingen die y x als eeld geven van x x y + 6 zijn dus x x y + 6 translatie met vector - - spiegelen in de lijn y x x y y x Omwerken van de tweede afeelding x + 6x y + door kwadraat afsplitsen naar de vorm van de eerste paraool geeft: x + 6x y + ( x + 6x+ 9) 9 y ( x+ ) y ( x+ ) y Vervanging van x door x + in x y en y door y en daarna door y geeft de tweede paraool. De vervanging van y door y is een lijnvermenigvuldiging met een factor ten opzichte van de x-as (ga na dat x y overeenkomt met y x en dat gx ( ) a f( x) verkregen wordt uit de grafiek van f door een lijnvermenigvuldiging met factor a ten opzichte van de x-as). Daarna moet y nog verschoven worden met omhoog. De vervanging van x door x + is een verschuiving van x met naar links. Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen vwo D deel
c De afeeldingen zijn dus t.o.v. de x-as translatie met vector x y x y y x + 6x y + De eerste paraool omwerken naar de tweede paraool geeft y x y x (spiegelen in de x-as) y ( x ) ( naar rechts verschuiven) y ( x ) ( omhoog verschuiven) y ( x) (algeraïsch identiek want ( a ) ( a) ) De afeeldingen zijn dus spiegelen in de x -as y x y x translatie met vector y ( x) a Invullen van y x+6 in de hyperoolvergelijking x y 7 en oplossen geeft x ( x+ 6) x x x 6 dus x x 6 waaruit volgt x x ( x+ )( x 7) dus x of x 7. De ijehorende y-waarden zijn y en y De snijpunten zijn P(, ) en Q( 7, ). Schrijf de hyperool x y 7 eerst om tot de standaardvorm: x y. 6 7 De parameters zijn dus a 6 en 7 dus a 7 6 De asymptoten zijn y x en y x. De snijpunten van de lijn met de asymptoten erekenen: x+ 6 x x 6 x en y x, dus R(, ) x+ 6 x x 6 en y x, dus S( 6, ). c PR ( ) + ( ) + en QS ( 6 7) + ( ) + dus PR en QS heen dezelfde lengte. d Een vergelijking van m of n is y x+ p. Vul dit in ij de vergelijking van de hyperool: x ( x+ p) x 6x px p x px p 7 Hieruit volgt x + px+ p + 7. Als m de hyperool raakt moet deze vergelijking één oplossing heen dus is de discriminant gelijk aan : ( p) ( p + 7) 6p p 96 6p 96, waaruit volgt p 96 : 6 dus p 9 of p 9. De vergelijkingen van m en n zijn y x 9 resp. y x+ 9. e De x-coördinaten van M en N worden gevonden uit x + px+ p + 7 met p 9 of p 9 dus x 7x+ of x + 7x+ De eerste vergelijking geeft ( x 6x+ 9) ( x ) dus x en M(, ) De tweede vergelijking geeft ( x + 6x+ 9) ( x + ) dus x en N(, ). f Bereken de snijpunten van de rechter raaklijn met de asymptoten: 9 9 x x x x dus U(, 9) en 9 6 9 x x x x dus V(, ) MU ( ) + ( 9 ) + 6 en MV ( ) + ( ) + 6 dus is M het midden van UV. Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen vwo D deel 9
5a 9 De vergelijking van een cirkel met de oorsprong als middelpunt is x y r x y + +. r r De vergelijking van een ellips met de oorsprong als middelpunt is x y +. a De vergelijking van de ellips gaat over in die van een cirkel als de noemers in de termen gelijk zijn. Voor x y p + moet dus gelden p 7 p p p 5. 7 p De vergelijking kan worden geschreven als x y + of x + y. Het middelpunt is (, ) en de straal is. Als a> dan liggen de randpunten F ( c, ) en F (, c ) op de x-as waarij geldt a + c. Als de ellips een cirkel is dan vallen de randpunten samen en liggen op de oorsprong in het midden van de cirkel. De cirkel markeert de overgang tussen een ellips met randpunten op de x-as en een ellips met randpunten op de y-as. In de vergelijking lees je af a p en 7 p. Voor p 5 is a. Voor p > 5 is a > en < dus a>. De eis dat de noemers niet mogen zijn eperkt de waarde van p tot 7, dus als p op het open interval 57, ligt dan liggen de randpunten op de x-as. Uit a + c volgt c a p ( 7 p) p 7+ p p De randpunten zijn dus F ( p, ) en F ( p, ). c Als a< dan liggen de randpunten F (, c ) en F (, c ) op de y-as waarij geldt a + c. Voor p < 5 is a < en > dus a<. De eis dat de noemers niet mogen zijn eperkt de waarde van p tot, dus als p op het open interval 5, ligt liggen de randpunten op de y-as. Uit a + c volgt c a 7 p ( p ) 7 p p+ p De randpunten zijn dus F (, p ) en F (, p). d De vergelijking van de ellips gaat over in die van een hyperool als de noemers van e teken verschillen. Voor x y p moet dus gelden 7 p p > en 7 p< p > 7 of p < en 7 p> p <. y Voor p > 7 is de term negatief dus heeft de paraool de vergelijking 7 p x y met a p en p 7 en liggen de randpunten op de a x-as met coördinaten F ( c, ) en F (, c ) waarij a + c. Uit a + c volgt c p + p 7 p. De randpunten zijn dus F ( p, ) en F ( p, ). Voor p < is de term x negatief dus heeft de paraool de vergelijking p x y met a p en 7 p en liggen de randpunten op de a y-as met coördinaten F c c +. Uit a + c volgt c p+ 7 p p. De randpunten zijn dus F p p). Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen vwo D deel
a Oefentoets hoofdstuk en x + λ Voor de lijn geldt y + λ λ. z + λ Vul ( + λλ,, + λ ) in ij de vergelijking x y+ z : + λ λ+ ( + λ) + λ λ + 9λ λ λ x + 5 Het snijpunt tussen vlak en lijn is dus y (, 5, ). z + + λ Punten λ op lijn l invullen geeft tot vlak x y+ z de afstand + λ d ( + λ) λ + ( + λ) + λ λ + 9λ + ( ) + λ 5 λ 5 λ 5 of λ 5 λ 7 7 of λ. P Q De punten zijn dus 7 7 7 7 P( +,, + ) P( 9,, ) en 5 7 7 7 7 Q( +,, + ) Q(,, ). 5 De afstand van een lijn tot een vlak is ongelijk als de lijn evenwijdig aan het vlak loopt. De lijn loopt evenwijdig aan het vlak als de richtingsvector van de lijn loodrecht op de normaalvector van het vlak staat. Een normaalvector van het vlak x y+ z is. De richtingsvector van de lijn staat hier loodrecht op als het inproduct a + a a +. De coördinaten van een punt op de lijn zijn dus ( + λλ,, λ ). De afstand van punt Px (, y, z ) tot vlak ax + y + cz + d is ax + y + cz + d d. a + + c Invullen van de gegevens en oplossen geeft ( + λ) λ + λ + λ λ + λ + ( ) + () 6 6 6 of 6 of Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen vwo D deel 9
a 9 Cirkel c heeft middelpunt M. Omdat de cirkel raakt aan de lijn in A ligt het middelpunt op de loodlijn van l door A. De loodlijn is de normaalvector van lijn l door A(, ). Een normaalvector van lijn l heeft richtingsvector want het inproduct met is. De normaalvector van lijn l door A(, ) is x y + m. De afstand van het middelpunt tot A is gelijk aan de afstand tot P( 6, 5) en gelijk aan de straal van de cirkel. Het middelpunt ligt dus ook op de middelloodlijn van AP. De middelloodlijn van A en P gaat door het punt in het midden van AP met coördinaten ( ( + 6), ( + 5)) (, ). Een richtingsvector van A naar P is 6 5 dus heeft richting. De lijn door AP is x y + ρ. x De middelloodlijn is de normaalvector hierop door (, ), dus y + τ. Het middelpunt van c is het snijpunt van de loodlijn en de middelloodlijn, dus de oplossing van x y + + m τ m + τ + + m + τ m τ 9 + m + τ optellen + 5τ τ. x De coördinaten van M zijn dus y + (, ). De straal r van c is de afstand dam (, ) ( ) + ( ) 6 +. De vergelijking van cirkel c is dus ( x ) + ( y ). x Voor punten op l geldt y + λ ofwel coördinaten ( +λ, λ ). Voor een punt op l met afstand tot A(, ) geldt dus 9 ( + λ ) + ( λ ) λ λ+ + λ λ+ 9 λ λ+ Oplossen geeft λ λ+ λ λ ( λ )( λ+ ) λ of λ,. er zijn dus twee cirkels die aan de voorwaarden voldoen: voor λ gaat cirkel c door punt B( + λ, λ ) B( 9, ), A(, ) en P( 6, 5). De afstand van M tot A en P is gelijk (aan de straal van c ) dus M ligt weer op x de middelloodlijn y + τ zoals ij opdracht a. De afstand van M tot A en B is eveneens gelijk aan de straal, dus M ligt ook op de middelloodlijn van AB. De middelloodlijn van A en B gaat door het punt in het midden van AB met coördinaten ( ( + ), ( + 9)) ( 6, ). Een richtingsvector van A naar B is 9 6 dus heeft richting. De lijn door AB is x y + ρ. Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen vwo D deel
x De middelloodlijn is de normaalvector hierop door (, 6 ), dus y + σ 6. Het middelpunt van c is het snijpunt van de twee middelloodlijnen, dus de oplossing van x y + + τ σ 6 + τ + σ + + τ + σ τ 6 σ + τ σ optellen + 5τ τ. x De coördinaten van M zijn dus y + (,). De straal r van c is de afstand dam (, ) ( ) + ( ) +. De vergelijking van cirkel c is dus ( x ) + ( y ). voor λ gaat cirkel c door punt B( + λ, λ ) B(, ), A(, ) en P( 6, 5). x De tweede middelloodlijn is nu y + σ, en de twee middelloodlijnen snijden elkaar voor τ. De coördinaten van M zijn nu (, ). De straal r van c is de afstand dam (, ) ( ) + ( ) +. De vergelijking van cirkel c is dus ( x ) + ( y+ ). a x + y + x y omwerken naar de algemene cirkelvergelijking ( x p) + ( y q) r met middelpunt M( p, q) en straal r geeft ( x + x+ ) + ( y y+ ) (kwadraatafsplitsen) ( x+ ) + ( y ) + + 6 Vergelijking met de algemene cirkelvergelijking geeft het middelpunt M(, ) en straal. De afstand tussen P(, ) en het middelpunt M(, ) is dpm (, ) ( ) + ( ) 9+ Dat is kleiner dan straal dus P ligt innen de cirkel. c Manier : Het middelpunt M(, ) en punt P(, ) liggen op de middelloodlijn van A en B, x dus op de lijn y + λ + λ. Door A en B gaat de normaalvector van de middelloodlijn door P, dus x y + τ. Manier : Het lijnstuk AB staat loodrecht op de middellijn van de cirkel door P. Opstellen van de vergelijking van de lijn door M en P: de lijn heeft helling y x de lijn gaat door P dus geldt y x+ + de vergelijking van de lijn is y x+ Pas de regel toe dat voor vergelijkingen y m x+ n en y m x+ n geldt l l m m mits m en m. Dit geeft de loodlijn door P de vergelijking y x+. De lijn door P laten gaan geeft +, dus de lijn door AB is y x. Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen vwo D deel 9
9 d Manier : Als de lijn y x+ de cirkel raakt gaat een loodlijn van de lijn door het middelpunt M(, ). De loodlijn heeft richtingscoëfficiënt. Lijn y x+ B door M laten gaan geeft + B B y x. Snijpunten van y x met de cirkel zijn de raakpunten voor de lijnen y x+. Invullen van y x in de middelpuntsvergelijking van de cirkel ( x+ ) + ( y ) geeft ( x+ ) + ( x ) x + x+ + x + x+ 6 x + x+ 6 x + x x + + + of x. De ijehorende y-waarden zijn y ( + ) en y ( ) +. Om de raaklijn y x+ door een van deze punten te laten gaan moet voor gelden: y x+ + + + of y x+ + + + + + +. Manier : Vul y x+ in ij de middelpuntsvergelijking van de cirkel en ereken zodat de lijn en de cirkel één snijpunt heen. Het snijpunt is dan een raakpunt en de lijn is een raaklijn. Invullen van y x+ in ( x+ ) + ( y ) geeft ( x+ ) + ( x+ ) x + x+ + x + ( ) x+ ( ) 6 x + ( + ) x+ ( ) De kwadratische vergelijking heeft één oplossing als de discriminant B AC nul is: ( ( + )) (( ) ) ( + + ) ( ) + + 9 6 6 6 + ( ) 6 + + of. 5a Een punten op lijn l heeft coördinaten ( λ, λ, + λ). Invullen in de vergelijking van de ol geeft x + y + z 6x y ( λ) + ( λ) + ( + λ) 6( λ) ( λ ) λ + + λ+ λ + + 6λ+ 9λ λ+ + λ λ + λ +. Deze tweedegraadsvergelijking heeft discriminant, dus een negatieve waarde, dus er is geen oplossing. Omdat er geen waarde van λ is die voldoet, heen de lijn en de ol geen gemeenschappelijke punten. De olvergelijking x + y + z 6x y omwerken naar een middelpuntsvergelijking: ( x x ) ( y y ) z ( x ) 6 + 9 9 + + + 9 + ( y ) + z ( x ) + ( y ) + z. De ol heeft middelpunt M(,, ) en straal. De lijn OP ligt in het vlak dat de ol raakt in (,, ). Het raakvlak staat loodrecht op de middellijn van de ol door de oorsprong, oftewel: de vector door (,, ) en middelpunt M(,, ) is een normaalvector van het raakvlak. Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen vwo D deel
x De vector door (,, ) en middelpunt M(,, ) is y, dus de x vergelijking van het raakvlak is x+ y. Punten op lijn l heen coördinaten ( λ, λ, + λ). Punt P is het snijpunt van lijn l met het raakvlak, er geldt dus λ+ ( λ) 6λ λ λ. De coördinaten van P zijn (,, + ) (,, ). 6 Stel Axy (, ) (met y > ) dan is Bx (, y). De afstand van A en B tot O is x + y x + x. De afstand tussen A en B is y x 6x. OA OB AB dus x + x 6x x + x 6x x x xx ( ) x of x. Alleen x voldoet. Bij punten op de paraool horen de y-waarden ± x. Bij x zijn de coördinaten dus (, ± ) A(, ) A ( ; 6,9 ) en B(, ) B( ; 6,9). 7 Voor Pxy (, ) is de afstand tot de oorsprong dop (, ) x + y. De afstand van P tot lijn l is dpl (, ) ( x ). Invullen in do (, P) d( P, l) geeft x + y ( x ) x + y ( x ) ( x 6x+ 6) x x + x x y ( x x+ 56) 56 y ( x 6) y a ( x 6) y De coördinaten voldoen aan de vergelijking ( x ) 6 y. Een hyperool met vergelijking x y heeft asymptoten y a a x en y a x en toppen op de verticale as op (, ) en (, ) en de randpunten op F (, c ) en F (, c ) met a c +. De asymptoten zijn y x en y x dus a dus a en ij toppen (, p ) en (, p ) hoort p en dus geldt a p of a p. Invullen in x y geeft x y x y x y p a ( p) p p p + Invullen van het punt (, 9) in de vergelijking geeft 9 + p p 6 7 p ± 7. c Uit a + c volgt c ( p) + p p 7 De randpunten zijn dus F (, ) en F (, ) x y x y 9a + + a en 6 9 a + c c a 6 9 7 c ± 7 De randpunten zijn F ( 7, ) en F ( 7, ). De lijn x 7 gaat door het rechter randpunt en snijdt de ellips: 7 y y 9 9 + y y± ± 6 6 6 9 9 De afstand tussen de snijpunten ( 7, ) en ( 7, ) is. Voor de snijpunten ij het linker randpunt geldt hetzelfde. Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen vwo D deel 95
a 96 c Vierkant ABCD wordt gevormd door de snijpunten van de lijnen y x en y x met de ellips. De epaling van één snijpunt is voldoende. De andere volgen direct uit de lijn- en puntsymmetrie van de ellips. Het snijpunt van de ellips met y x geeft a x x x x 9 6 + + 5x 9 6 5x x 6 9 96 96 5 5 De coordinaten van de hoekpunten zijn dus A(, ), B(, ), C(, ) en 5 5 5 5 5 5 D(, ) 5 5. 6 y Een koorde van op de horizontale as etekent dat het middelpunt van de cirkel een x-coördinaat heeft die halverwege de koorde ligt. Het middelpunt vormt een hoekpunt van de rechthoekige driehoek met zijde : en schuine zijde met de lengte van de straal 5. Met de stelling van Pythagoras volgt x + ( 5 ) 5 x 5 x ± 5. Een koorde van 6 op de verticale as etekent dat het middelpunt van de cirkel een y-coördinaat heeft die halverwege de koorde ligt. Het middelpunt vormt een hoekpunt van de rechthoekige driehoek met zijde 6 : en schuine zijde met de lengte van de straal 5. Met de stelling van Pythagoras volgt y + ( 5 ) 5 y y ±. Er zijn dus vier cirkels die voldoen. De middelpunten zijn (, 5), (, 5), (, 5) en (, 5). Herleid de vergelijking van de kegelsnede: x + y 6x+ 6y+ 9 x 6x+ 9+ ( y + y) x 6x+ 9+ ( y + y+ 6) ( x ) + ( y+ ) dus ( x ) ( y+ ) + 6 Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen vwo D deel x
Dit is een ellips met middelpunt (, ), horizontale lange as en verticale korte as. Bij spiegelen in de lijn x wordt hert middelpunt (5, ) en de vergelijking wordt ( x 5) ( y+ ) + of ( x 5) + ( y+ ) 6 Bij spiegelen in de lijn y x wordt het middelpunt (, 5), en de horizontale as en verticale as worden verwisseld. De vergelijking wordt: ( x ) + ( y + 5 ) 6 ( x ) + ( y 5). c Het middelpunt wordt (, ) en de assen worden gehalveerd, dus en. De vergelijking wordt ( x ) + ( y + ) of ( x ) + ( y+ ). d Het middelpunt wordt (, ) en de assen lijven hetzelfde. De vergelijking wordt x ( y + ) + 6 of x + ( y+ ) of Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen vwo D deel 97
9 Extra oefening hoofdstuk a X is het aantal gecontroleerde automoilisten dat te snel rijdt; X is dan inomiaal verdeeld met parameters n 5 en p,. P( X ),,, 5 (of met inompdf(5;,;) ) c x 5 P(X x),77,96,,5,6, d P( X ) P( X ), 67 a X is het aantal gemiste vrije worpen in deze wedstrijd. X is dan inomiaal verdeeld met parameters n en p,. P( X ),,, 9 97 (of met inompdf(;,;) ) c P( X ) inomcdf ( ;, ; ), 97 a P( X > ) P( X ) inomcdf( ;, 6; ), 9679 P( X 6) inompdf( ; 66, ; ), c P( < X < ) inomcdf( ; 67, ; ) inomcdf( 6 ;, ; ), 56,, 95 d P( X < 7) inomcdf( ; 66, ; ) inomcdf( 6 ;, ; ),,, 7 e P( X < ) inomcdf( ;, 6; 9), f P( X > ) P( X ), 67, a X is het aantal vrouwen in de steekproef die roken. Dan is X inomiaal verdeeld met parameters n en p,. P( X < 9) inomcdf( ;, ; ), 67 c P( X > ) P( X ) inomcdf( ;, ; ), 75, 765 d P( < X < 9) inomcdf( ;, ; ) inomcdf( ;, ; ), 67, 75, 69 e Stel Y is het aantal rokende vrouwen in dit edrijf. Dan is Y inomiaal verdeeld met n en p,. De kans op een extra kantine is dan P( Y 5) P( Y ) inomcdf( ;, ; ), 6, 6 5a Stel X is het aantal kopers van een rode paraplu die dag. Dan is X inomiaal verdeeld met n en p 6,. Dan is EX ( ) np, 6 6. P( X 6) inompdf( ; 66,, ), c Dan worden er hoogstens 9 rode paraplu s verkocht. P( X 9) inomcdf( ;, 6; 9), 6 d Dan moeten er 5 of meer rode worden verkocht. P( X 5) P( X 5) inomcdf( ;, 6; 5), 7, 979 Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen vwo D deel
Extra oefening hoofdstuk a De modale klasse van B is te vinden ij de grootste stijging dus de klasse van tot 6. De modale klasse van A is de klasse van 6 tot. De stijging ij A is groter dan de stijging ij B. De mediaan lees je af ij 5%. Daar vind je ij A ongeveer,5 cm en ij B cm. c Lees de verschillen tussen 75% en 5% af. Dan vind je voor A, 5 6,, cm en voor B 6,,, cm. Dus heeft B de grootste kwartielafstand a Na zes uur. 75% van renners, dus 9. c 5% van 7 rensters, dus. d Het verschil tussen de mediaan en het derde kwartiel is vrij klein dus is daar een grote groep gefinisht. Waarschijnlijk is de groep van 5 iets voor 5 uur en minuten gefinisht. e Nummer 6 is iets later dan de mediaan innengekomen. De mediaan hoort ij 5 uur en 5 minuten. Dus zal de achterstand zo n 5 minuten geweest zijn. a vetgehalte in % klassemidden in % frequentie somfrequentie [, ;,, [, 6 ;,,5 [, 66 ;,,75 9 [, 6 ;,,97 6 [, ;,,9 6 [, 5 ;,, 9 [, 57 ;,,6 somfrequentie 5 5 5 5,,,6,6,,,5,7 vetgehalte in % c Aflezen ij 5% geeftq, %. Aflezen ij 75% geeftq, %. Kwartielafstand is dus,%. d Voer de waarden in als List of L en ereken de waarden die je nodig het voor een oxplot. Je krijgt dan: kleinste waarde,% eerste kwartiel Q 7, % mediaan,9% derde kwartiel Q 6, % grootste waarde,6% Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen vwo D deel 99
a,,5,5,75,,5,5,75 5, vetgehalte in % De schattingen komen hiermee goed overeen. Invoeren in de rekenmachine als List of L en het gemiddelde x en de standaardafwijking σ laten erekenen geeft: Rij A: x 6 en σ, 7 Rij B: x 5, 7 en σ, 96 Rij C: x 6 en σ, 6 Rij C heeft de grootste waarde van σ en dus de grootste spreiding. Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen vwo D deel
Oefentoets hoofdstuk en a Omdat de kans op een rode knikker verandert door het niet terugleggen. P( Y 5 ) P( r, r, r, r, r, w, w, w) 5 5 9 5 5 9, c P( Y < 7) P( Y ) P( Y 7) 5 9 5 9 9, 6 5 9 5 9 d Omdat nu de kans op een rode knikker steeds 5 6, is. 5 e X is het aantal rode knikkers in de trekking. X is dan inomiaal verdeeld met parameters n en p, 6. f P( X 6) P( X 5), 66, 5 g P( X 5) P( X 5) P( X ), 66, 9, 6 a X is het aantal linkshandigen onder de restaurateurs. X is Bin( ;,) verdeeld. P( X 6 ),,, 6 6 9 9 6 Dan is het aantal linkshandigen kleiner dan zes. P( X < 6) P( X 5), Geruik inomcdf(;,;5) c P( X > a) < 5, P( X a) >, 95 Definieer de functie inomcdf(;,; X) en laat een tael maken. Bij X is deze kans voor het eerst groter dan,95. Dus moeten er linkshandige kurkentrekkers worden esteld. a Maak eerst de volgende tael voor het aantal verdiende punten. rood lauw 5 6 5 5 5 5 5 5 6 5 7 9 aantal punten x 5 P( X x) 5 6 5 5 E( X ) + 5 +, 7 7 7 7 7 c keer de verwachtingswaarde dus, 6,. Ze mag verwachten zo n 6 punten te verdienen. 5 7 a De eroepsevolking is in 99 zo n 6 7 personen. Ook kun je aflezen dat 6,5% werkloos is. Dus zijn er, 65 6 7 9 werklozen. Herhaal de erekening van de vorige opdracht voor 995 en 996. 995:, 7 6 556 996:, 77 6 7 99 De daling is dus 556 99 5 6 personen. 6 7 5 7 Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen vwo D deel
c Maak de volgende tael op de manier van opdracht a. jaar 99 99 99 99 99 99 995 996 997 eroepsevolking 59 599 67 67 67 6 6 67 655 werkloosheid 7,7% 6,9% 6,5% 6,7% 7,7%,%,6% 7,% 7,% aantal werklozen 5 95 556 55 55 65 stijging - daling daling 7 7 daling daling daling Dus van 99 naar 99 is de stijging in aantallen het grootst geweest. 5a 9, van de is,9%. c d e f 6a leeftijdsklasse in jaren klassenreedte in jaren klassemidden percentage in 99 percentage in 995-5 7,5,9, 5-9 5 7,5,6, - 5,5,9,97 5-9 5 7,5, 9,57-9 5,,9 5, -9 5,,5, 5-6 5 57,5,5,7 65-79 5 7,5,5, > - -,7, percentage 9 7 6 5 999 99 5 5 5 5 5 5 55 6 65 7 75 leeftijd Veel mannen ronden als ze tussen en jaar zijn hun studie af en vinden elders werk. Ook gaan dan veel mannen ij hun partner wonen en verhuizen daarom. In de andere klassen komt dit minder vaak voor. Verhuizing naar een ejaardenhuis of ejaardenwoning of kleiner gaan wonen. De asolute grootte van de leeftijdsklassen weet je niet. Dus is het gemiddelde van de percentages nemen fout. In 5A want daar komen zowel hoge als lage cijfers voor. Invoeren in de cijfers als List of L en de frequenties als List of L geeft: klas 5A: gemiddelde 6, en standaardafwijking,5 klas 5B: gemiddelde 5,6 en standaardafwijking, Dus 5A heeft de grootste spreiding. Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen vwo D deel
Extra oefening hoofdstuk 5 9 5 a B A 5 5 6 5 7 B is het totaal aantal fietsen, A zijn de verhuurde fietsen op een epaalde dag, dus B-A zijn de niet verhuurde fietsen op de epaalde dag. 5 76 5 576 76 is de oprengst van de verhuurde herenfietsen en 576 van de damesfietsen. 76 c ( ) 9 576 ( ) d B P C heeft als resultaat de oprengst als alle eschikare fietsen op een dag verhuurd zijn. a c d P,,7 R,,,,,6 7,,, 9 Op okt.:,,,,, 6, 7 7,,, 9 96 Op nov.:,,, 9,, 6, 7 65 7,,, 96 9 Op dec.:,,, 9,, 6, 65 6, 7,,, Op aug.:,,,,, 6, 7,,, Op juli:,,,,, 6, 7,,,,,,,, 6, Q dus de verdeling wordt staiel., 9 67 9 7,,, 9 9 5 en,,, 5 5 6,, 6, 6 6 Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen vwo D deel
a a, a, a + a + a c,, + + c, c, c + c + c a a a c c c x y y x + voor punten die op zichzelf worden afgeeeld moet dus gelden: x y y x+ Los dit op met sustitutie: x ( x+ ) 6x 6 7x 6 dus x 6 7 en y 6 + 7 7 6 De coördinaten van A zijn (,, ). 7 7 Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen vwo D deel
a Extra oefening hoofdstuk 6 De sterfte van de volwassen vogels is % per jaar dus 96% overleeft dus,96 keer het aantal volwassen vogels overleeft. 7% van de volwassen vogels vormen een paar dat één ei legt, van de kuikens overleeft %. Dus 7,,,. c Na 5 jaar leeft nog 9% van de jonge vogels, dus p 5 9, waarij p staat voor de overlevingskans per jaar. Oplossen van de vergelijking geeft p,. Dus overleeft het, ste deel van de jonge vogels per jaar. d 96, 9 er moeten dus nieuwe vijfjarige vogels ijkomen om op te lijven. e, 56,, Na het eerste jaar:,,,, 96 9, 56 57, 6, Na het tweede jaar:,,,, 96 9 Na het derde jaar:, 57 56, 6 5, 5,,,, 96 769 Na het vierde jaar:, 56 95, 5, 5 69, 9,,, 96 769 69 Na het vijfde jaar:, 95 75,, 69 55, 9 6, 6,, 96 69 6 Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen vwo D deel 5
6 Na het zesde jaar:, 75 56, 9, 55, 6 9, 6 5,, 96 6 7 Na het zevende jaar:, 56 99, 9 7, 7, 9, 5,, 96 7 9 Na het achtste jaar:, 99 57, 7, 7, 7,,, 96 9 6 Na het negende jaar:, 57 57, 5,, 7 59,,, 96 6 5 na het tiende jaar:, 57 6, 5 7, 69, 59,,, 96 5 57 ( ) f 6 7 69 57 ( ) Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen vwo D deel
c x+ z x+ y+ z oplossen naar x van de eerste vergelijking en vervolgens x+ y z x z sustitueren in de derde geeft: x+ y+ z ( z) + y z x z Dus: x+ y+ z y z 5 x z Nu x en y sustitueren in de middelste vergelijking: ( z) + ( z 5) + z y z 5 x z x Dit geeft: z Met de waarde voor z kan je nu x en y erekenen: z y z 5 y x z Het stelsel wordt: x+ y+ z x+ y z x z+ De eerste vergelijking oplossen naar x geeft: x+ y+ z x+ y z x z+ De x sustitueren in de derde vergelijking: x+ y+ z 6z+ + y z x z+ De derde vergelijking oplossen naar y: x+ y+ z y 5z 9 x z+ Sustitutie van x en y in de tweede vergelijking: ( z+ ) + ( 5z 9) + z y 5z 9 x z+ Vereenvoudiging van de derde vergelijking levert nu 6 dus het stelsel is strijdig. y 5z 9 x z x z x+ y+ z of x+ y+ z x+ y z y z x x z sustitutie van de derde vergelijking in de middelste geeft x+ ( z x ) + z y z x x z z z of x z en verdere sustitutie levert x z of x z y z x y z x y z x dus voor heeft het stelsel oneindig veel oplossingen. Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen vwo D deel 7
a Een rotatie om O over 5 (tegen de klok in). c A een negatieve rotatie om O over 7. d A een positieve rotatie om O over 5. e A k voor alle k k Z. Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen vwo D deel
Oefentoets hoofdstuk 5 en 6 7 9 5 55 a 59 7 655 55 is de oprengst als alle huisjes één week 7 95 56 in het laagseizoen zijn verhuurd, 65 5 hetzelfde in het middenseizoen en 56 het hoogseizoen. 55 ( 5,, 9, ) 655 56 99 ( ) 56 c 7 56 99 66 c a ( ) ( ) 7,,,, 7,, 5,, 9 75 7% dus 5 zieken en 75 gezonde mensen na een week. 7,, 5 5,, 75 675 dus 5 zieken en 675 gezonde mensen na twee weken. Er verdwijnen geen mensen, dus van de oorspronkelijke zieken lijft een gedeelte ziek en de overigen worden eter, samen dus. Hetzelfde geldt voor de gezonde mensen.,, 6 9, 9 Na één jaar:, 5,, 5 57,, 6 9, 9 67 Na twee jaar:, 77 5,, 5 57 6,, 57 9, 67 Na drie jaar:, 77 7 5,, 5 6,, 57 995 9, 7 Na vier jaar:, 7 5,, 5 65 Na één jaar leven er nog 9 van de nuljarige dieren. Zij krijgen 9, 7 nakomelingen. Na nog een jaar leven er nog 9,, 77 dieren. Deze krijgen 77, 96, dus 96 nakomelingen. De jaren hierna krijgen de dieren geen nakomelingen meer. Gemiddeld krijgen zij dus 7 + 96, nakomelingen. Z % % Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen vwo D deel G % 9
c De populatie zal stailiseren als het gemiddeld aantal nakomelingen is. 7 + 77 p Dus als Dit geeft p,. a De afeelding spiegelen in de lijn y x. 9 9 ; 9 ; 9 7 9 c Neem een punt ( uv, ) en vermenigvuldig dit punt met de matrix A 9 9 u u+ v v u+ v Hieraan kan je eenvoudig zien dat de x-coördinaat van het eeldpunt drie keer zo groot is als de y-coördinaat. Dus ligt het eeldpunt op de lijn y x. 9 9 d. Ook hier geldt dat de x-coördinaat van het eeldpunt drie keer zo groot is als de y-coördinaat. Dus ligt het eeldpunt ook op de lijn y x. p 9 9p p e p p p ; 9p p u 9pu pv p p v + pu + pv 9pu + pv p( u+ v) voor alle p pu + pv p( u+ v) 5a De matrix A hoort ij een meetkundige afeelding die vermenigvuldigt met de factor en spiegelt in het vlak door de y- en de z-as. De matrix B hoort ij een spiegeling in het vlak y z. a a c C A B en c c a a Als het punt ( ac,, ) op zichzelf wordt afgeeeld dan moet gelden: c c Dit kan alleen als a c a a d D A+ B + en + c c + c a a Als het punt ( ac,, ) op zichzelf wordt afgeeeld dan moet gelden: + c c + c a a a a Dus: c en dus: c c c+ c c c Dus de lijn y z x wordt op zichzelf afgeeeld. Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen vwo D deel
6 x+ y+ z x+ y z vermenigvuldig de eerste vergelijking met de factor en tel de x y+ z x+ y+ z 6 eerste twee vergelijkingen op: x+ y z 5x+ y 6 vermenigvuldig de derde vergelijking met de factor en tel de tweede er ij op: x y+ z x+ y z x dus x. Deze waarde voor x invullen in: 5 x+ y 6 geeft: y. De waarden voor x en y invullen in een van de eerste vergelijkingen geeft: z. De vlakken U, V en W zijn dus niet evenwijdig. c De normaalvectoren zijn, en. De eerste vector is de optelling van de tweede en de derde, dus de drie normaalvectoren liggen in één vlak. Dit is alleen mogelijk als de vlakken door één lijn gaan (het stelsel is afhankelijk) of drie evenwijdige snijlijnen heen (het stelsel is strijdig). d Nu moet een punt dat in de vlakken V en W ligt ook in U liggen. x+ y z q x+ y z Trek de tweede en de derde vergelijking van elkaar af: y z x y+ z Hieraan voldoet ijvooreeld y en z, waaruit volgt x. Vul dit in ij de eerste vergelijking: + q dus q. e Dan heen de drie vlakken drie evenwijdige snijlijnen. Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen vwo D deel
a Extra oefening hoofdstuk 7 z + i ( i ) + i + i ( + i )( i ) i z i i( + i) i i i i ( i)( + i) i c z ( i) i + i i + i a ( i ) ( i )( i ) i + ( i ) i, dus Arg (z) π, want z komt overeen met een vector in het derde kwadrant en tanϕ. c a + i ( + i)( i) i i dus Arg(z) i ( i)( i) i+ i i π. + i ( + i)( + i) + i + i + i ( + i)( + 6i) + 5i+ i i ( i)( i) 9 6i+ i 6i ( 6i)( + 6i) 6 6i dus Arg( z ) π. a lm-as i O i a a a Re-as 5i Als geldt z, dan ligt het punt dat ij het getal z hoort op de eenheidscirkel in het complexe vlak en dus is dan z x+ yi met x + y. x yi Je krijgt z + x+ yi + x yi x+ yi + x+ yi + z x + yi ( x+ yi)( x yi) x + y x+ yi+ x yi x [, ], omdat x. Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen vwo D deel i
a De punten in het complexe vlak die ij de getallen z horen die aan de vergelijking voldoen, heen gelijke afstand tot en i. Je krijgt dus de middenloodlijn van het lijnstuk dat en i verindt. lm-as i O i z i z + De vergelijking kun je ook schrijven als z, dus z. Dit is een vergelijking van de cirkel met middelpunt en straal. lm-as i O i zz c Als je schrijft z x+ yi, dan wordt de ongelijkheid < x< y. Het geied dat hierij hoort zie je hieronder. lm-as O Re(z) Im(z) Re-as Re-as Re-as Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen vwo D deel
d In de ongelijkheid vervang je z door x+ yi. Je krijgt dan x+ yi+ x yi >, dus x > en x >. Dus Re( z ) >. e lm-as z + z > O Re-as Bij de vergelijking van opdracht hoort een cirkel en ij de ongelijkheid hoort het geied uiten die cirkel. lm-as i O i zz > f De ongelijkheid kun je dan schrijven als ( x+ yi) ( x yi), dus als yi. Daaruit volgt y of y Im( z), dus Im( z ). lm-as i i O i i Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen vwo D deel Re-as Re-as
5a Er geldt dat z+ w a+ i+ c+ di ( a+ c) + ( c+ d) i, dus z+ w ( a+ c) + ( + d). z a +, w c + d en z w ( a c) + ( d) i, dus z w ( a c) + ( d). c Uit de opdrachten 5a en 5 volgt nu dat z+ w + z w ( a+ c) + ( + d) + ( a c) + ( d) a + ac+ c + + d+ d + a ac+ c + d+ d a + + c + d ( a + ) + ( c + d ) ( z + w ). 6a De zijden AB en BC heen gelijke lengten want AB heeft lengte ( + i) ( i) + 5i + 5 6 en BC heeft lengte ( + i) ( + i) 5+ i ( 5) + 6. De driehoek is ook rechthoekig met B 9, want de stelling van Pythagoras klopt: AB + BC ( 6) + ( 6) 6 + 6 5 en AC ( + i) ( i) + 6i ( ) + 6 5 Dus AB + BC AC. Het middelpunt van de cirkel is het midden van de schuine zijde AC. Bij dat punt ( i) + ( + i) hoort het getal z. De straal van de cirkel is gelijk aan, dus de gevraagde vergelijking is z. 7 z iz ( z i) +, dus ( z i). Daaruit volgt z i i De eide oplossingen zijn dus z + i en z + i Beide oplossingen heen verder de eigenschap dat z ( ) + ( ) + en dus liggen ze op de eenheidscirkel. Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen vwo D deel. 5
6 Extra oefening hoofdstuk a Uit de vergelijking volgt z dus z. De oplossingen liggen dus op de eenheidscirkel en zijn van de vorm z cosa + i sin a. Er geldt dat z cosa+ i sin a + i, dus cosa en sina. Je vindt drie waarden voor a : a π, a 5 π en a π. 6 6 De oplossingen van de vergelijking zijn dus : z cos π+ i sin π + i, 6 6 5 5 z cos π+ i sin π + i en z i. 6 6 De vergelijking kun je schrijven als z + i. Er geldt dat z + i, dus z. Arg( z ) Arg() z Arg( + i) π, dus Arg( z ) π. De oplossingen zijn dus : z (cos π+ i sin π ) en z (cos π+ i sin π ). c De vergelijking is te schrijven als ( z+ i) ( i ), dus z+ i i of z+ i i. De oplossingen zijn dus z i( ) en z i( + ). a Im-as i i i Re-as O i i i B A De getallen die horen ij de punten van lijnstuk OB zijn van de vorm z a+ ai met a [, ]. Dus z ( a+ ai) a + a i a ai. Deze getallen liggen op de imaginaire as, waarij Im( z ). c Op de zijde AB liggen de punten die horen ij de getallen z + i met. Dus z i ( + ) ( ) + i. Als je stelt x Re( z ) en y Im( z ), dan geldt voor het eeld van AB dat x en y. Als je vervangt door y, krijg je de vergelijking x ( y) of y x, dus y 6( x). Dit is de vergelijking van een 6 paraool. Het eeld van AB is dus een deel van deze paraool met de eperking dat y. Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen vwo D deel
d i i lm-as i i O Re-as a a + i en Arg( z ) π. lm-as i i i * * O z i i z Re-as c Voor een oplossing z van de vergelijking geldt dat z, want z i a en verder dat Arg() z Arg( a) π. De oplossingen van de vergelijking zijn dus: z (cos π+ isin π ) en z (cos π+ isin π) d Als je z+ i aangeeft met de variaele w, dan geldt dus dat de vergelijking w a als oplossingen heeft w (cos π+ isin π ) en w (cos π+ isin π ). Dus er geldt z+ i (cos π+ i sin π ) of z+ i (cos π+ i sin π ). De oplossingen zijn dus z (cos π+ isin π ) i en z (cos π+ isin π ) i. Vermenigvuldiging met i geeft een draaiing over 9 om in het complexe vlak met de wijzers van de klok mee. a Het eeld van de lijn Re( z) Im( z) is dan de lijn met vergelijking Re( z) Im( z). Het eeld van de imaginaire as is de reële as. c Het eeld van de lijn door en i is de lijn door i en. Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen vwo D deel 7
5a Als je de gegeven z invult in de vergelijking krijg je 5 5 6 (cos π+ isin π) i. Het linkerlid is gelijk aan cos π+ isin π cos π+ isin π + i i. Dus het gegeven complexe getal is inderdaad een oplossing van de vergelijking. 6 Uit de vergelijking volgt dat z i, dus z en z cosϕ+ isin ϕ. Arg( z 6 ) π, dus ϕ π+ k π 9 9 De andere oplossingen zijn:dus : z cos π+ isin π z cos π+ isin π, 7 7 z cos π+ isin π, z cos π+ isin π en z cos π+ isin π. c z z lm-as i O z p z 6 z i 5 z 6a Stel dat de ontinding is ( x )( x + ax + 5) met a. Als je in dit product de haakjes wegwerkt krijg je het linkerlid van de vergelijking. Dus x + ( a ) x + ( 5 a) x 5 x x + 7x 5. Daaruit volgt dat a en 5 a 7. Beide vergelijkingen geven a. De ontinding is dus ( x )( x x + 5). De andere oplossingen van de vergelijking volgen uit x x+ 5. Je kunt het linkerlid schrijven als ( x ) + en dus wordt de vergelijking ( x ) ( i) Daaruit volgt dat x i of x i, dus x + i of x i. p Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen vwo D deel Re-as.
Oefentoets hoofdstuk 7 en Uit de vergelijking volgt dat γ i. + i Vermenigvuldig nu de teller en de noemer van de reuk met het getal i. a Je krijgt dan γ + + ( i)( i) i i i 5 i i. ( + i)( i) i γ ( ) + ( ) 6 en als Arg( γ ) ϕ, dan is tan 5, ϕ en 5, 5 ϕ Arg( γ)., z lm-as i O i i lm-as i p p O z Re-as Re-as Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen vwo D deel 9
a, Het eeld van is i, het eeld van + i is i, het eeld van + i is i, het eeld van i is i en het eeld van i is i. lm-as Re z O f(+ι) f(+ ι) i i i f(ι) lm f(z) f( ι) c De getallen op de lijn Re( z ) heen de vorm z + yi. Het eeld onder de functie f is iz i( yi) i+ yi y i. Al deze getallen liggen op de lijn Im( z ) d Op deze lijn liggen de getallen x+ xi. Onder de functie f heen deze getallen als eeld ix ( xi) x xi. Al deze getallen heen de eigenschap Re( z) Im( z). Dus dit is vergelijking van de eeldlijn. a i lm-as O Q R + i P Re-as Elk punt van de middenloodlijn van PQ heeft gelijke afstand tot de punten P en Q. Dus moet gelden dat z z i. c De middenloodlijn van PR heeft vergelijking Im( z ). De middenloodlijn van QR heeft vergelijking Re( z ). d Het middelpunt M van die cirkel is het midden van het lijnstuk PQ. Bij dat punt hoort het complexe getal + i. De straal van de cirkel heeft de lengte, dus een vergelijking van de cirkel is z ( + i) Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen vwo D deel Re-as
5a, c d Re(z) Re(z) O lm-as i i i i O lm-as O Im(z) Im(z) z Re-as z Re-as p 6a Vul z i in ij de vergelijking. Je krijgt i + i + 6i + i+ 5 i 6+ i+ 5. Dus het getal i voldoet aan de vergelijking. Omdat het linkerlid van de vergelijking reële coëfficiënten heeft is ook i i een oplossing..het linkerlid van de vergelijking is dus deelaar door ( z i)( z+ i) z +. c Er geldt dat ( z + )( z + az + 5) z + az + 6z + az + 5. Als je a kiest he je het linkerlid ontonden in twee kwadratische factoren. De oplossingen van de vergelijking volgen uit z + of z + z+ 5. De eerste vergelijking heeft als oplossingen z i en z i en de tweede vergelijking kun je schrijven als ( z+ ) ( i), dus z+ i of z+ i en z + i en z i. Er zijn dus vier oplossingen: i, i, + i en i. 7a Uit z + volgt ( z i)( z + i) dus z + i of z i. Je lost dus twee vergelijkingen op: z i en z i. Re-as Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen vwo D deel
Er geldt ( + i) i dus de vergelijking z i kun je ook schrijven als z ( + i) en dus vind je de oplossingen z + i en z i. De vergelijking z i kun je schrijven als z i ( + i) ( i ). Daaruit volgen de oplossingen z i en z + i. Er zijn dus vier oplossingen: + i, i, + i en i. Het linkerlid van de vergelijking z + 5z + kun je ontinden: ( z + )( z + ). Je krijgt z + of z +, dus z ( i) of z i. Verder oplossen geeft een viertal oplossingen: i, i, i en i. c z + i geeft z i. Als je in de vergelijking z vervangt door de uitdrukking re iϕ iϕ πi k πi gaat de vergelijking over in re e +. Er volgt r en ϕ π+ k π dus ϕ π+ k π. De drie oplossingen van de vergelijking horen ij ϕ π, ϕ π 6 6 en ϕ π. Dus die oplossingen zijn: 6 z cos( π) + i sin( π) i 6 6 z cos( π) + i sin( π) i z cos( π) + i sin( π) i 6 6 a De vergelijking gaat over in ix ( + yi) ix ( yi), dus xi y xi y of y. De complexe getallen liggen dus op de lijn met vergelijking Im( z ). Als je z weer vervangt door x+ yi krijg je ix ( + yi) + ( i)( x yi). Door de haakjes uit te werken, vind je de vergelijking xi y+ x yi xi y of ook x y yi. Dit geeft x y en y. Oplossen geeft y en x. De vergelijking hoort dus niet ij een lijn maar ij een punt in het complexe vlak. Dit punt hoort ij het getal. 9a Een vermenigvuldiging met i heeft in het complexe vlak het effect van een rotatie over een hoek van negentig graden met de wijzerrichting van de klok mee. Daarij is Q het eeldpunt van A. Dus ij het punt Q hoort het getal i a. Denk nu aan het optellen van vectoren: OA + OQ OP. Op dezelfde manier geldt dat het complexe getal dat ij P hoort gelijk is aan de som van de complexe getallen die ij de punten A en Q horen. Dus ij P hoort het getal a+ i a ( i) a Bij Q hoort het getal i a (zie opdracht a). Het punt S is het rotatieeeld van punt B ij een rotatie om O over negentig graden tegen de wijzerrichting van de klok in. Dit etekent dat ij punt S het getal i hoort, want vermenigvuldiging met i heeft het effect van een dergelijke rotatie. Bij het punt R hoort het complexe getal + i ( + i). c Er geldt dat AS OS OA. De lengte van AS in het complexe vlak is gelijk aan i a. Op dezelfde manier vind je de lengte van BQ. Bedenk dat BQ OQ OB. De lengte van BQ is gelijk aan i a. Er geldt : i a i( i a) i i a i a. d AS en BQ staan loodrecht op elkaar omdat ii ( a) i a en vermenigvuldiging met het getal i geeft in het complexe vlak een rotatie over negentig graden. Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen vwo D deel
Vul in z en je krijgt ( + i ) + a + ( i ). Je kunt dit schrijven als ( + a+ ) + i( ) + i. Als je het reële deel en het imaginaire deel van linker- en rechterlid met elkaar vergelijkt, vind je + a + en. Dit geeft, en dus geldt of. Als je elk van deze waarden in de eerste vergelijking invult vind je a. Bij hoort a 5 en ij hoort a 5. Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen vwo D deel