1a a Keuzemenu - Wiskunde en eonomie ladzijde 6 TK( 00) GTK( 00) = = 300 = 71 euro per ezoeker 00 00 TK( 600) 800 = = 71, 33 euro per ezoeker 600 600 TK( 800) 9 00 GTK( 800) = = = 7 euro per ezoeker 800 800 TK( ) 3, 00 ezoekers: =, dus GTK( ) = = = 7, 1 duizend euro per 100 ezoekers. Dit komt neer op 71 euro per ezoeker. Dit klopt met het antwoord van opdraht 1a. TK( ) 3, = = 7, 1 Het antwoord van opdraht is in duizenden euro s per 100 ezoekers. Het antwoord moet dus vermenigvuldig worden met duizend en dan gedeeld worden door 100. Dit is hetzelfde als vermenigvuldigen met 10. ladzijde 7 TK( 1) 3 GTK( 1) = = =, dus 00 euro per produt 1 1 TK( ) GTK( ) = = 7 = 3,, dus 30 euro per produt y TK a r OP = x = ( 1) 0 = 0 y TK =, r 1 0 1 OQ = x = ( ) 0 = 7 0 = 3, 0 Als je de antwoorden van opdraht a vermenigvuldig met 100 (zie de geruikte eenheden: kosten in duizenden euro s en produtie in tientallen) krijg je de antwoorden van opdraht 3. Bij het punt Q hoort de produtie = 0 en ij het punt R hoort de produtie = 0. Verder geldt r = r, dus de gemiddelde totale kosten ij de produtie van 0 OQ OR stuks is gelijk aan die van 0 stuks. d De lijn OP doortrekken en kijken of deze lijn de grafiek van de totale kosten ergens snijdt. Conlusie: de gemiddelde totale kosten zijn ij de produtie van 80 stuks gelijk aan die van 10 stuks.
6 a De gemiddelde totale kosten ij = 10 en = 0 komen overeen met de rihtingsoëffiiënten van de lijnen OP en OQ. De rihtingsoëffiiënt van OQ is kleiner dan die van OP, dus de gemiddelde totale kosten ij een produtieaantal van 0 zijn kleiner dan ij een produtieaantal van 10. Vanuit de oorsprong een rehte lijn trekken die de grafiek van de totale kosten snijdt/raakt, zó dat helling van die rehte lijn zo klein mogelijk is. Dit levert 3, dus ij de produtie van 30 stuks zijn de gemiddelde totale kosten zo laag mogelijk. GTK = 0 + 0 + = 0 + 0 + 1,,,,, GTK = 0, + 1 = 0, De vergelijking GTK = 0 oplossen levert 0, =, waaruit volgt = 8 en dus = 8, 8. (De oplossing = 8 is in deze situatie niet van toepassing.) Dus ij de produtie van 8 stuks zijn de gemiddelde totale kosten zo laag mogelijk. Dit komt goed overeen met het antwoord ij opdraht. 6a TK( 0) = 3, 31, TK( 30) =, 9, dus de extra kosten zijn, 9 3, 31 = 1, 63 euro TK( 0) = 3, 31, TK( 1) = 3, 63, dus de extra kosten zijn 3, 63 3, 31 = 0, 3 euro TK ( ) = 0, 000 3 ( 3) = 0, 001 ( 3), TK ( 0) = 0, 001 ( 0 3) = 0, 3 d Een enadering van TK ( 0 ) is y op het interval [ 0 1 x, ]. Dus de antwoorden van de opdrahten en vershillen niet veel van elkaar. ladzijde 8 7a TK ( 100) = 6, 3 TK( 100) 13, 31 GK( 100) = = = 1, 3 100 100 Als de diretie esluit de weekprodutie op te voeren, gaan de gemiddelde kosten omhoog. 8a TK ( ) = 0, 001( ( + 0)( + 30) + ( + 0) 1) TK ( 0) = 0, 7 MK( 0) = TK ( 0) = 0, 7 duizend euro per 10 stuks. Dit komt neer op 070 euro per stuk. Bij opdraht a zijn de eenheden verwerkt in de assen van de grafiek, ij opdraht moet je die eenheden in je eindantwoord verwerken. d De grafiek van de totale kosten is toenemend stijgend, dat wil zeggen dat de helling van de grafiek van de totale kosten steeds groter wordt. Dit etekent dat de marginale kosten toenemen (want MK = TK ). 7, e GTK = 0, 001 + 0, 13 + 3, +. Plotten van de grafiek van GTK laat zien dat voor 0 < < 7 de gemiddelde totale kosten afnemen en dat voor 7 < < 80 de gemiddelde totale kosten toenemen.
9a De gemiddelde totale kosten zijn groter dan de marginale kosten. De gemiddelde totale kosten zijn groter dan de marginale kosten. De marginale kosten en de gemiddelde totale kosten zijn gelijk ij het produtieaantal waar de gemiddelde totale kosten het laagst zijn, want wanneer de gemiddelde totale kosten stijgen, zijn de marginale kosten (de kosten voor één extra produt) hoger dan het gemiddelde en wanneer de gemiddelde totale kosten dalen zijn de marginale kosten lager dan het gemiddelde. De grafiek van de marginale kosten ligt dus onder het dalende deel van de GTK en oven het stijgende deel van de GTK. De grafiek van de marginale kosten snijdt de grafiek van de GTK in het laagste punt. 10a TK ( ) = 0, 0003 0, 30 + 7, MK( 1000) = TK ( 1000) = 7 TO ( ) = 0, 16, MO( 1000) = TO ( 1000) = 160 Als de produtie met 1 stuk wordt verhoogd, stijgt de oprengst meer dan de kosten, dat wil zeggen: de winst wordt groter als de produtie met 1 stuk wordt verhoogd. De winst is dus maximaal ij een produtie van meer dan 1000 stuks. MK = MO oplossen met ehulp van de rekenmahine ( Y1 = 0, 0003 0, 30 + 7 en Y = 0, 16 ) geeft = 136 of = 177 d De winst is maximaal als het vershil TO TK maximaal is. Dat is het geval als de raaklijnen aan TO en TK evenwijdig zijn, dat wil zeggen als MO = MK. ladzijde 9 3 11a TW = TO TK = 0, 08 ( 0, 0001 0, 1 + 7 + 00) 3 3 = 0, 08 0, 0001 + 0, 1 7 00 = 0, 0001 + 0, 3 7 00 TW ( ) = 0, 0003 + 0, 6 7, TW = 0 oplossen met de rekenmahine levert = 177 en = 136. Bij = 177 gaat het om een minimum en ij = 136 gaat het om een maximum. 1a Twee grootheden zijn reht evenredig als hun verhouding onstant is, dat wil zeggen dat de ene grootheid een onstant veelvoud is van de andere grootheid. Dat is hier het geval: de kosten TK zijn een onstant veelvoud van het aantal werknemers a. TW = TO TK is zo groot mogelijk als a = 70. TK en TO in honderdduizendtallen 18 16 1 1 10 8 6 TO 0 0 100 00 300 00 TK 7
8 166 000 11 00 d TO = a + met a = = 00, dus TO = 00 +. Invullen van 370 ( 11 00, ) geeft 11 00 = 00 + en dus = 0, waaruit volgt TO = 00. MK = TO = 00, dat wil zeggen: de marginale oprengst is onstant. e TK (tael) TK (funtie) 10 000 99 86 60 0 000 00 66 110 30 000 300 181 180 0 000 03 9 30 0 000 9 377 70 60 000 600 133 300 70 000 709 70 30 80 000 799 918 30 90 000 907 17 3 100 000 999 699 370 110 000 1 103 03 De funtiewaarden komen goed overeen met de waarden in de tael. f MO = 00 en MK = 0, 13 37, + 0. MO = MK oplossen met ehulp van de grafishe rekenmahine levert = 309. g Bij een produtie = 309 zullen er tussen de 70 en 80 werknemers aangesteld worden. 3 3 h TW = 00 0, 01 + 18, 6 0 70 = 0, 01 + 18, 6 + 60 70 plotten en het maximum erekenen levert inderdaad = 309.
1a ladzijde 63 t in se 0 0 30 0 10 190 190 1960 1970 1980 1990 J in jaren Het verinden van de punten heeft geen etekenis, omdat de wereldreords met stapjes veranderen. Het voordeel van het verinden van de punten is dat je een shatting kunt maken van wat het wereldreord in de tussenliggende perioden zou kunnen zijn, moht er dan een wereldreord gelopen worden. d - a Het verand tussen de tijd van het wereldreord en het jaartal kan niet lineair zijn, omdat dat etekent dat de tijd na verloop van tijd nul of zelfs negatief wordt. De veranden die in aanmerking komen zijn veranden waarvan de grafiek een horizontale asymptoot heeft. Dit omdat je ervan uit gaat dat er een grens is aan het wereldreord op de mijl. Dat zijn ijvooreeld mahtsfunties met een negatieve exponent en exponentiële funties. ladzijde 6 3a Voor a = 0 707 en = 1, 87 komt de grafiek goed overeen met de getekende grafiek. Keuzemenu - Wereldreords t in se 0 0 0 30 0 10 190 190 1960 1970 1980 1990 J in jaren De variaele geeft aan wat de grens van het wereldreord op de mijl is. 9
0 ladzijde 3 a Invullen van J = 1930 in t a = ( 1930 1880) + = a 0 + laat zien dat de formule voor N = 0 oplevert. N = 0 komt overeen met J = 1880. = 0, de grens van het wereldreord op de mijl is 0 seonden. a De parameter epaalt de horizontale asymptoot, de parameter a epaalt waar de grafiek egint en de parameter epaalt hoe steil de grafiek naar eneden loopt. J 1880 t = 110. 87 0, 97 + De grens van opdraht vershilt seonden met de grens van opdraht.