Inleiding Wiskundige Systeemtheorie 156056

Inleiding Wiskundige Systeemtheorie 156056 Docent : Anton Stoorvogel E-mail: A.A.Stoorvogel@utwente.nl 1/28 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

Evenwichtspunt.x 0 ; y 0 ; u 0 / heet een evenwichtspunt van het stelsel: Tx.t/ D f.x.t/; u.t/; t/ y.t/ D h.x.t/; u.t/; t/ als f.x 0 ; u 0 ; t/ D 0; h.x 0 ; u 0 ; t/ D y 0 voor alle t > 0. 2/28 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

Taylor approximatie We kunnen de functies f en h benaderen via de Taylor approximatie: en f.x; u/ D f.x 0 ; u 0 / C @f.x 0;u 0 / @x.x x 0 / C @f.x 0;u 0 / @u.u u 0 / C o.x x 0 ; u u 0 / h.x; u/ D h.x 0 ; u 0 / C @h.x 0;u 0 / @x.x x 0 / C @h.x 0;u 0 / @u.u u 0 / C o.x x 0 ; u u 0 / 3/28 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

Linearisatie Zij zx, zu en zy een oplossing van: Tzx.t/ D f.zx.t/; zu.t//; zx.0/ D x 0 zy.t/ D h.zx.t/; zu.t// Dan voldoen yx D x zx, yu D u zu en y D y zy bij benadering aan: Tyx.t/ D A.t/yx.t/ C B.t/yu.t/; yx.0/ D x 0 y.t/ D C.t/yx.t/ C D.t/yu.t/ 4/28 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

met: A.t/ D @f.zx.t/; zu.t//; @x C.t/ D @h.zx.t/; zu.t//; @x @f B.t/ D.zx.t/; zu.t//; @u @h D.t/ D.zx.t/; zu.t//; @u 5/28 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

Linearisatie van een sateliet Ur D r. T / 2 Een linearisatie rond g r 2 C u 1; U 2 T Tr D r C 1 r u 2 met 3! 2 D g. u 1.t/ D u 2.t/ D 0 r.t/ D ;.t/ D!t 6/28 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

Beschouw het volgende niet-lineaire systeem: Tx 1.t/ D 2x 2.t/u.t/ C 2tx2 2.t/ 2tu2.t/ Tx 2.t/ D u.t/ y.t/ D x 1.t/ 2tx 2.t/u.t/ Een linearisatie rond u.t/ D sin t; x 1.t/ D t sin.2t/; x 2.t/ D cos t 7/28 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

Een evenwichtspunt x 0 van een nietlineair system is asymptotisch stabiel als de linearisatie van het systeem rond het evenwichtspunt asymptotisch stabiel is. De omkering van deze bewering is niet correct! 8/28 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

Een evenwichtspunt x 0 van een nietlineair system is niet stabiel als de linearisatie van het systeem rond het evenwichtspunt een eigenwaarde in het open rechter half vlak heeft. De omkering van deze bewering is niet correct! 9/28 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

Tx 1 D x 2 Tx 2 D x 1 x 2 1 x 2 Evenwichtspunten. 1; 0/ en.0; 0/. Stabiel?? 10/28 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

Tx D x 3.1 x/ 3 : Evenwichtspunten 0 en 1. Stabiel?? 11/28 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

Lyapunov stabiliteit Tx D f.x/ Stel we hebben een functie V zodanig dat: d dt V.x.t// D @V @x voor alle x 0 met x.t/ D x 0 en V.x/ > 0.x.t//f.x/ < 0; voor alle x 2 R n met x 0. Dan is het systeem asymptotisch stabiel. Zo n functie wordt een Lyapunov functie genoemd. 12/28 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

Tx D x 3 Systeem (asymptotisch) stabiel? De linearisatie is Tx D 0 is stabiel maar niet asymptotisch stabiel. De functie V.x/ D x 2 is een Lyapunov functie. 13/28 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

Tx D x 2 Systeem (asymptotisch) stabiel? De linearisatie is Tx D 0 is stabiel maar niet asymptotisch stabiel. We kunnen geen Lyapunov functie vinden. 14/28 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

Tx D Ax We zoeken een Lyapunov functie van de vorm V.x/ D x T P x. V is een Lyapunov functie als: P > 0 en A T P C PA < 0 15/28 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

Gegeven Q > 0. Een systeem Tx D Ax is asymptotisch stabiel dan en slechts dan als A T P C PA C Q D 0 een oplossing P > 0 heeft. 16/28 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

BIBO stabiliteit Als voor alle m er een M bestaat zodanig dat uit ku.t/k < m voor alle t volgt dat ky.t/k < M voor alle t dan wordt het systeem BIBO (begrensde ingang, begrensde uitgang) stabiel genoemd. 17/28 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

Tx D Ax C Bu; x.0/ D 0 y D Cx C Du Als alle eigenwaarden van A in het open linker halfvlak liggen dan is het systeem BIBO stabiel. Dit is een voldoende voorwaarde maar niet noodzakelijk. Bijvoorbeeld: Als C D 0 is het systeem BIBO stabiel, Als B D 0 is het systeem BIBO stabiel. 18/28 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

Definitie In een continue-tijdsysteem met gedrag B w W R! R n ucn y met partitie w D.u; y/ is u een ingang en y een uitgang, indien: voor alle u 2 L lok 1.R;Rn u / is er een y 2 L lok 1.R;Rn y / waarvoor.u; y/ 2 B. voor geen enkele component y k van y geldt: voor alle.u; y k / 2 L lok 1.R;Rn uc1 / zijn er componenten y j 2 L lok 1.R;Rn y/ voor j k van y waarvoor.u; y/ 2 B. 19/28 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

We hebben: L lok 1.R;Rq / WD 8 < : f W R! Rq j Z b a 9 = kf.t/k dt < 1 voor all a; b 2 R ; 20/28 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

Massa-veer-demper systeem k q.t/ m F.t/ r Variabelen: w D.F; q/. 21/28 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

Beschouw het systeem in toestandsrepresentatie: Tx D Ax C Bu y D Cx C Du Dan geldt dat voor elke x 0 2 R n, de oplossing x.t/ D e A.t t 0/ x 0 C Z t t 0 e A.t / Bu./ d goed gedefinieerd en continu is. 22/28 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

Beschouw het systeem in toestandsrepresentatie: Tx D Ax C Bu y D Cx C Du Dan geldt dat voor elke x 0 2 R n, de oplossing y.t/ D Ce A.t t 0/ x 0 C Z t t 0 Ce A.t / Bu./ d C Du.t/ goed gedefinieerd en lokaal integreerbaar is. 23/28 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

Beschouw het systeem in toestandsrepresentatie: Tx D Ax C Bu y D Cx C Du (?) In het systeen met gedrag: B WD 8 < : u y W R! R n ucn y ˇ 9 = (?) geldt voor zekere x ; is het signaal u een ingang en y een uitgang. 24/28 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

Beschouw het systeem: Tw 1 D w 2 Op zijn hoogst 4 mogelijkheden: ingang u D.w 1 ; w 2 / en geen uitgang ingang u D w 1 en uitgang y D w 2 ingang u D w 2 en uitgang y D w 1 geen ingang en uitgang y D.w 1 ; w 2 /. Alleen de derde mogelijkheid werkt! 25/28 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

Hogere-orde differentiaalvergelijkingen p n y.n/ C p n 1 y.n 1/ C p n 2 y.n 2/ C C p 1 y.1/ C p 0 y D q n u.n/ C q n 1 u.n 1/ C q n 2 u.n 2/ C C q 1 u.1/ C q 0 u 26/28 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

Voorbeeld Uy C 5 Ty C 6y D 7 Tu C 8u 27/28 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

Algemeen geval p n y.n/ C p n 1 y.n 1/ C p n 2 y.n 2/ C C p 1 y.1/ C p 0 y D q n u.n/ C q n 1 u.n 1/ C q n 2 u.n 2/ C C q 1 u.1/ C q 0 u 28/28 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI