De Speiale Relatiiteitstheorie an Einstein Een korte behandeling an de theorie oor boenbouw HAVO/VWO door ir R.J.G. Henssen
R.Henssen, 1
Inhoudsopgae Inleiding 5 Relatiiteit an tijd en lengte 6 Tijddilatatie 6 Lengteontratie 8 Gelijktijdigheid 11 Coördinatentransformaties 1 Galileïtransformatie 1 Lorentztransformatie 13 Lorentz-snelheidstransformatie 14 Relatiistishe mehania 16 Eigentijd 16 Snelheid 16 Relatiistishe impuls en massa 17 Relatiistishe kraht 18 Relatiistishe energie 19 Samenatting relatiistishe mehania 1 Ruimtetijd Minkowskis ruimtetijd diagram Opgaen 5 Literatuur 7 3
Voorwoord Deze korte behandeling an de speiale relatiiteitstheorie an Einstein is bedoeld als extra stof oor leerlingen in de boenbouw an het hao en wo daar deze theorie niet (meer) tot de eindexamenstof behoort. Omdat deze theorie kort ter sprake komt binnen het ak ANW, kan aan de hand an het hier geboden materiaal, door de geïnteresseerd geraakte leerling/leraar, dieper op de theorie worden ingegaan. Ondanks het eeluldig gebruik an, misshien ingewikkeld lijkende, formules (iets dat onontbeerlijk is oor een kwantitatiee benadering an de stof), hoop ik dat deze publiatie bijdraagt tot een beter inziht in de relatiiteitstheorie. Omwille an de duidelijkheid zijn, ooral in het begin, de afleidingen an de betrekkingen stap oor stap weergegeen. Desondanks is er toh een flink stuk wiskunde nodig waardoor begeleiding door een doent bij het bestuderen an de stof zeer gewenst is. Men dient zih ehter wel goed te realiseren dat het niet zo is dat, door deze theorie, de hele klassieke mehania min of meer onbruikbaar wordt. De klassieke mehania blijft an toepassing daar er met snelheden wordt gewerkt die er onder de lihtsnelheid liggen. Bij deze snelheden gaan de betrekkingen uit de relatiistishe mehania oer in de betrekkingen an de klassieke mehania an Newton. De klassieke mehania is dus een speiaal geal binnen de relatiistishe mehania. Bij de behandeling an de stof is bewust geen gebruik gemaakt an de etoriële shrijfwijze an de ershillende betrekkingen omdat dit weinig inloed heeft op de behandelde stof. Zo wordt er oornamelijk uitgegaan an rehtlijnige eenparige bewegingen in één rihting. Uiteraard kunnen geen pratia, ter illustratie, plaatsinden. Een (klassikaal) gedahteexperiment kan de plaats hieran innemen (bekijk eens een SF-film en kijk of het klopt ) Aan het eind zijn enkele opgaen toegeoegd die bij kunnen dragen tot een beter begrip en inziht. Van deze opgaen zijn ook uitwerkingen gemaakt zodat deze ook (klassikaal) besproken kunnen worden. Meer (gelijksoortige) opgaen zijn te inden in de dierse leerboeken (zie literatuuropgae). Ralph Henssen Oostburg, februari. 4
De Speiale Relatiiteitstheorie an Einstein Inleiding Hoewel rijwel iedereen de naam Albert Einstein kent en de meeste mensen weten dat hij de grondlegger was an de relatiiteitstheorie, zullen slehts weinigen weten wat deze theorie inhoudt. Einstein (1879-1955) publieerde in 195 zijn Speiale Relatiiteitstheorie en in 1916 zijn Algemene Relatiiteitstheorie. Hoewel de relatiiteitstheorie theorie ergaande geolgen zou hebben oor de als unierseel beshouwde mehania an Newton, was zij ehter gebaseerd op twee eenoudige, door Einstein geponeerde, stellingen: 1 Alle natuurwetten moeten gelijk zijn oor alle waarnemers die eenparig, rehtlijnig ten opzihte an elkaar bewegen (relatiiteitsprinipe). De lihtsnelheid in auüm is oor alle eenparig bewegende waarnemers gelijk en is onafhankelijk an de beweging an de lihtbron (uniersele lihtsnelheid). De eerste stelling klinkt heel logish: alle beweging is beweging ten opzihte an iets anders. Wanneer je, bijoorbeeld, in een trein zit die met onstante snelheid (rehtdoor) rijdt, is de situatie in de trein preies hetzelfde als wanneer je thuis op een stoel zit (afgezien an oneffenheden op de rails die je oelt). Alles beweegt ten opzihte an elkaar (de aarde, ons melkwegstelsel), er is geen punt aan te wijzen dat stilstaat: alle beweging is relatief. Als alle beweging relatief is, kan de lihtsnelheid niet meer worden opgeat als natuuronstante. Dit probleem werd door Einstein opgelost door zijn tweede stelling: liht heeft oor alle waarnemers, ongeaht hun snelheid, dezelfde waarde. De tweede stelling klinkt misshien onlogish, maar de proeen waarmee de Amerikaanse fysii Mihelson (185-1931) en Morley (1838-193) in 1881 begonnen, hebben aangetoond dat de lihtsnelheid in ershillende rihtingen t.o.. de aarde onstant is. Einstein heeft dus gelijk als hij aanneemt dat de lihtsnelheid een natuuronstante is. Voorbeeld: een ruimteship liegt met zeer grote snelheid, b.. de helft an de lihtsnelheid. Stel je oor dat dit ruimteship een laserstraal naar oren afshiet. Met welke snelheid plant zih deze laserstraal oort? Oplossing: wanneer je deze situatie ergelijkt met een kogel die wordt afgeshoten anaf een rijdend oertuig, zou je denken dat de snelheid an de afgeshoten laserstraal een snelheid heeft an anderhalf keer de lihtsnelheid. Dit zou ehter in strijd zijn met Einsteins tweede stelling (de lihtsnelheid zou dan geen natuuronstante zijn). De snelheid an deze laserstraal is dus (t.o.. een stilstaande waarnemer) gelijk aan de lihtsnelheid. 5
Relatiiteit an tijd en lengte Tijddilatatie Met deze twee stellingen stond de hele natuurkunde op zijn kop: als de snelheid niet absoluut meer is, is de ruimte dat ook niet meer. Zelfs de tijd bleek niet meer absoluut. Om de relatiiteit an de tijd aan te tonen maken we gebruik an het olgende oorbeeld: Aan boord an een ruimteship beindt zih een zogenaamde lihtklok (zie figuur 1). Deze klok kan zowel door de astronauten in het ruimteship als door een waarnemer op aarde (d.m.. b.. een telesoop) worden waargenomen. De tijdklok werkt als olgt: een lihtpuls wordt door een lihtbron naar boen uitgezonden, door een spiegel weerkaatst en erolgens opgeangen door een ontanger lak naast de lihtbron. De tijd tussen het uitzenden en ontangen an de lihtpuls wordt gemeten. Voor het gemak nemen we aan dat het ruimteship zih oortbeweegt eenwijdig aan het aardopperlak waar de waarnemer zih beindt. De bewegingsrihting an de lihtpuls staat loodreht op die an het ruimteship. Figuur 1 (Uit: Cutnell & Johnson) Voor de astronaut in het ship (die relatief stilstaat t.o.. de lihtklok) legt de lihtstraal twee maal de afstand tussen bron en spiegel af ( D) in t. De relatie tussen D en t luidt: D t (: lihtsnelheid) Stel nu dat de waarnemer op aarde ook naar de klok kijkt. Hij ziet dat de lihtpuls een aftstand aflegt die een ombinatie is an een horizontale en een ertiale beweging. In horizontale rihting 6
legt de lihtpuls de afstand L af. Deze afstand is te berekenen uit de tijd en de snelheid an het ruimteship: L t Boendien legt de lihtpuls in ertiale rihting de afstand D af. De totale afstand die de lihtpuls aflegt, s, is dus: ( D) ( ) s + L s (D) + ( t ) Omdat het liht de totale afstand s aflegt in de tijd t, geldt dat s t. t ( D) + ( t ) Wanneer we deze ergelijking kwadrateren krijgen we: ( D) + ( ) t t Boendien was al bekend dat t D/ dus geldt dat D t.wanneer we dit inullen in boenstaande ergelijking krijgen we: ( t ) + ( t t ) t ( t ) + t Hieruit olgt oor de tijd oor de waarnemer op aarde (die relatief beweegt t.o.. het ruimteship): t t t t (1) t : tijd gemeten door waarnemer die meebeweegt t.o.. de gebeurtenis (op aarde) 7
t : tijd gemeten door waarnemer die stilstaat t.o.. de gebeurtenis (astronaut): de ehte tijdsduur Omdat de term regelmatig oor komt, wordt aak gebruik gemaakt an de fator γ. Hieroor geldt: γ 1 Voor t kan dan worden geshreen: t γ t (1a) Uit deze formule is af te leiden dat de waarnemer op aarde een andere, langere tijd, meet oor dezelfde gebeurtenis dan de astronaut. De tijd op aarde gaat dus sneller dan in het ruimteship! Of korter: klokken die bewegen lopen langzamer! Lengteontratie Voorwerpen die met zeer grote snelheden t.o.. een stilstaande waarnemer bewegen lijken ook korter te worden in hun oortplantingsrihting. Om dit te illustreren maken we gebruik an het olgende oorbeeld (figuur ): Figuur (met u wordt de snelheid an de trein bedoeld, in de tekst ) (uit: Young & Freedman) 8
Stel je oor dat in een (met zeer hoge snelheid rijdende) trein een lihtklok is geplaatst. De lihtpuls erplaatst zih nu in dezelfde rihting als de trein. Voor een passagier in de rijdende trein legt de lihtpuls, die door de spiegel wordt weerkaatst, een afstand l af in een tijd t. Uiteraard geldt: t l /. Een waarnemer die bijoorbeeld op een perron staat en de trein ziet langsrijden ziet het olgende: Wanneer de lihtflits ertrekt (in dezelfde rihting als de bewegingsrihting an de trein) legt deze op de heenweg (naar de spiegel) een afstand d af waaroor geldt: d l + t heen Boendien geldt dat: d (snelheid an het liht is onstant) t heen Uit deze twee ergelijkingen olgt nu: t heen l Voor de terugweg an de lihtpuls (anaf de spiegel, tegen de bewegingsrihting an de trein in) geldt: d l t terug Dus geldt: t terug l + De totale tijd tussen uitzenden an de lihtpuls en ontangen an de puls is dus (oor de waarnemer op het perron): t t heen + t terug l l t + + l Met gebruik an de eerder geonden tijddilatatie: t t en: 9
t l l t Hieruit olgt oor de lengte l (gemeten door de waarnemer die relatief beweegt t.o.. de gebeurtenis, de persoon op het perron): l l l l l 1 l 1 l l 1 l l () l l (a) γ l : de lengte gemeten door een waarnemer die stilstaat t.o.. de gebeurtenis (treinreiziger) Uit deze formule olgt dat de waarnemer, die relatief beweegt t.o.. de gebeurtenis (de persoon op het perron), een kleinere lengte meet dan de werkelijke lengte. De trein wordt dus een stuk korter maar de doorsnede loodreht op de bewegingsrihting blijft een groot (in deze rihting heeft de trein n.l. geen relatiee snelheid t.o.. de waarnemer op het perron). Of: bewegende oorwerpen woorden korter! Boenstaande ershijnselen lijken in strijd met onze eigen beleingswereld. Maar omdat de snelheden waarmee we dagelijks te maken hebben ele malen kleiner zijn dan de lihtsnelheid 1
hebben we geen last an tijddilatatie en lengteontratie (de fator is dan praktish gezien gelijk aan 1, want ). Uit boenstaande formules is nog iets heel belangrijks af te leiden: de snelheid kan nooit groter of gelijk zijn aan de lihtsnelheid. < Gelijktijdigheid Wanneer twee waarnemers, de één in stelsel A en de ander in stelsel B eenparig rehtlijnig t.o.. elkaar bewegen lijken oor een waarnemer in stelsel A de klokken in stelsel B langzamer te lopen. Maar dit betekent ook dat oor een waarnemer in stelsel B de klokken in stelsel A langzamer te lijken te lopen (ze hebben immers beide immers dezelfde relatiee snelheid t.o.. elkaar). Sterker nog: waarnemers in elk an de twee stelsel nemen waar dat de klokken in het andere systeem onderling ook niet gelijk lopen. Dit is nu nog onbegrijpelijk, daarom staan we nog een stil bij het oorbeeld an de rijdende trein. Voor de treinreiziger is de tijd die lihtpuls op de heenweg aflegt (naar de spiegel toe) een groot als de tijd die de lihtpuls oer de terugweg doet. De lihtpuls raakt de spiegel preies op de helft an de totale tijd an de gebeurtenis. Voor de persoon op het perron doet de lihtpuls langer oer de heenweg dan oer de terugweg (op de terugweg rijdt de trein de lihtpuls tegemoet). De lihtpuls wordt dus later teruggekaatst dan op de helft an de totale tijd an de gebeurtenis. Wanneer nu twee lihtpulsen tegelijk worden uitgezonden anuit het midden an de trein in tegenoergestelde rihting (één naar de oorkant an de trein en één naar de ahterkant), zal de persoon in de trein waarnemen dat beide lihtpulsen tegelijk de trein erlaten. De waarnemer op het perron zal deze lihtpulsen ehter niet tegelijk de trein zien erlaten: oor hem erlaat de lihtpuls die zih naar de ahterkant erplaatst eerder de trein dan de lihtpuls die zih naar de oorkant erplaatst. Conlusie: Gebeurtenissen die oor één waarnemer gelijktijdig plaatsinden hoeen oor een andere waarnemer niet gelijktijdig plaats te inden. Terug naar de waarnemers in de stelsels A en B: oor een waarnemer in stelsel A, die stelsel B met een snelheid ziet passeren, zullen twee in stelsel B gesynhroniseerde klokken, die op een afstand an elkaar staan, niet gelijk lopen. De klok in B die een waarnemer in A als eerste passeert loopt olgens deze waarnemer ahter op een klok in B die de waarnemer later passeert. Dit ershijnsel wordt desynhronisatie genoemd. In A spreekt men oer de desynhronisatie an de klokken in B (en omgekeerd). Conlusie: Absolute tijd bestaat niet. Maak nu opgaen 5 tot en met 1. 11
Coördinatentransformaties Ieder natuurkundig ershijnsel bestaat uit één of meer gebeurtenissen. Een dergelijke gebeurtenis indt plaats op een zeker tijdstip en op een zekere plaats in de ruimte. De plaats in de ruimte waar een gebeurtenis plaatsindt kunnen we als waarnemer bepalen door de afstand te meten tot een oor ons ast punt in bijoorbeeld de x-, y- en z-rihting. De waarde an de oördinaten hangt uiteraard af an wat als ast punt (oorsprong) wordt gekozen. Kijken we weer naar een treinreiziger en een waarnemer op het perron: De plaats an een gebeurtenis (bijoorbeeld an waar de lihtflits wordt uitgezonden)in de trein zal door de treinreiziger t.o.. een ander punt (bijoorbeeld de plek waar de reiziger zit) worden gemeten dan door de waarnemer op het perron. De treinreiziger zal een plaats in de trein als oorsprong kiezen daar de trein oor hem stilstaat (d.w.z. de reiziger en de trein hebben geen relatiee snelheid t.o.. elkaar). De waarnemer zal een plaats op het perron als oorsprong kiezen (b.. de plaats waar hij/zij staat). Omdat het in beide geallen om dezelfde gebeurtenis gaat, ehter waargenomen anuit ershillende oördinatenstelsels, is het handig wanneer op een eenoudige manier de oördinaten uit het ene stelsel kunnen worden omgerekend naar de waarden an de oördinaten uit het andere stelsel. Deze omrekening wordt oördinatentransformatie genoemd. Galileïtransformatie Wanneer we te maken hebben met snelheden die eel kleiner zijn dan de lihtsnelheid en lengteontratie en tijddilatatie buiten beshouwing kunnen worden gelaten, kunnen gebeurtenissen die in een bepaald stelsel plaatsinden beshreen worden t.o.. een ander stelsel d.m.. de zogenaamde Galileïtransformatie (figuur 3). Figuur 3 De Galileïtransformatie 1
Stel je hebt te maken met twee oördinatenstelsels S (x, y, z)en S (x, y, z ). Stelsel S beweegt met een snelheid in x-rihting t.o.. stelsel S. De oördinaten an S kunnen nu worden uitgedrukt in de oördinaten an S : ' x x t x dx /dt x y y y y z z z z Uiteraard geldt dat t t (dtdt ) daar er, zoals gezegd, geen tijddilatatie optreedt. Lorentztransformatie Wanneer we nu wel te maken hebben met lengteontratie en tijddilatatie ten geolge an zeer hoge snelheden, kan de galileïtransformatie niet meer worden toegepast. M.a.w. wanneer een gebeurtenis plaatsindt in punt (x, y, z) op tijdstip t als waargenomen in oördinatenstelsel S, wat zijn dan de oördinaten (x, y, z ) en het tijdstip t an de gebeurtenis, wanneer deze wordt waargenomen anuit oördinatenstelsel S dat met een (zeer hoge) onstante snelheid in x- rihting beweegt t.o.. stelsel S? Hieroor is de Lorentztransformatie ontwikkeld (figuur 4). Figuur 4 De Lorentztransformatie x t + x' (door beweging an S ondergaat x een lengteontratie, in S gemeten) x t x' (3) Ook moet gelden (an S naar S): 13
x' t' + x (beshouw S als bewegend t.o.. S ) Hieruit olgt: x t t' (4) S beweegt alleen in x-rihting t.o.. S. Derhale geldt: y y z z Voor oördinatentransformatie an S naar S geldt: ( x' + t' ) x γ y y' z z' x' t γ t' + Lorentz-snelheidstransformatie (relatiistishe optelling an snelheden) Bij de behandeling an de lorentztransformatie an snelheden beperken we ons tot snelheden in x-rihting (d.w.z. dat zowel het oorwerp als het bewegende oördinatenstelsel S alleen in x- rihting bewegen). Stel een oorwerp beweegt t.o.. S oer een afstand dx in x-rihting, dy in y-rihting en dz in z- rihting in een tijd dt, dan geldt oor de oördinaten in stelsel S dat alleen in x-rihting beweegt met snelheid t.o.. stelsel S: dx' dt' dx dt dt dx Hieruit olgt oor de omponent an de snelheid an het oorwerp in x-rihting t.o.. S : 14
dt dx dt dx dt dx 1 ' ' 1 ' x x x De uitdrukking oor de snelheidsomponent in x-rihting, x, t.o.. stelsel S wordt dan: ' 1 ' x x x + + Stel dat een oorwerp nog andere snelheidsomponenten bezit, dan kan op dezelfde manier worden afgeleid oor de snelheidsomponenten in y- en z-rihting: + ' 1 ' dt dy x y y γ + ' 1 ' dt dz x z z γ De totale snelheid an het oorwerp is t.o.. S is dan: z y x s + + Een bijzonderheid doet zih oor, wanneer een oorwerp in stelsel S zih oortbeweegt in een rihting loodreht op de x-as en dus ook loodreht op de snelheidsrihting. In dat geal geldt: x en x Maak nu opgae 11 en 1 15
Relatiistishe mehania Eigentijd Zoals uit (1) blijkt loopt de klok die meebeweegt met een gebeurtenis (de klok aan boord an het ruimteship staat relatief stil oor de astronaut aan boord) langzamer dan een klok die relatief in beweging is t.o.. de gebeurtenis (de klok die op aarde blijft). M.a.w. wanneer aan boord an het ruimteship de tijd t erloopt, erloopt op aarde de tijd t. Vergelijking (1) kan ook worden geshreen als. t t Hierin wordt t de eigentijd ( proper time ) genoemd waarmee wordt bedoeld dat het de tijd is die hoort bij de gebeurtenis (wordt gemeten bij de gebeurtenis). De reden waarom deze eigentijd wordt gebruikt is dat deze tijd onafhankelijk is an de snelheid an de gebeurtenis (je beweegt immers mee dus de relatiee snelheid t.o.. de gebeurtenis is nul). Snelheid De normale snelheid an bijoorbeeld een ruimteship kan worden bepaald door de afgelegde weg te delen door de tijd die daaroor nodig was. Deze twee grootheden worden gemeten relatief t.o.. een plaats op aarde: dl dt Iemand aan boord an het ruimteship (dat een snelheid heeft in de buurt an ) is waarshijnlijk meer geïnteresseerd in de afstand die het liegtuig aflegt per eenheid ehte tijd (de tijd die door de persoon aan boord wordt gemeten): η dl dt Deze hybride eenheid (afstand gemeten t.o.. de aarde, tijd aan boord an het liegtuig) wordt de eigensnelheid ( proper eloity ) genoemd. Uit boenstaande ergelijkingen en ergelijking (1) olgt oor de relatie tussen η en : dt dt dl dt η (5) 16
Wederom zal duidelijk zijn dat oor snelheden die eel kleiner zijn dan de lihtsnelheid beide snelheden praktish gelijk zullen zijn. Relatiistishe impuls en massa In de klassieke mehania is de impuls (aart) gedefinieerd als het produt an massa en snelheid. Wanneer we te maken hebben met zeer hoge snelheden in de buurt an de lihtsnelheid, blijkt de definitie an impuls (p m ) niet meer te kloppen: wanneer in een bepaald oördinatenstelsel is oldaan aan de wet an behoud an impuls blijkt hieraan niet te worden oldaan in een ander stelsel wanneer we de Lorentztransformatie toepassen. Omdat aan Einsteins eerste stelling moet worden oldaan blijkt de relatiistishe impuls als olgt te moeten worden gedefinieerd: p m η p m Deze ergelijking kan ook anders worden gelezen: de impuls an een deeltje is het produt an zijn snelheid en zijn relatiistishe massa. Waarbij de relatiistishe massa is gedefinieerd als: m rel m Hierbij wordt m de rustmassa genoemd (d.w.z. de massa an het deeltje wanneer het in rust is). Als we de rustmassa shrijen als m en de relatiistishe massa als m luidt boenstaande formule: m m (6a) Hiermee kan de impuls worden gedefinieerd als: p m (7a) Aan ergelijking (6) is te zien dat de massa an een deeltje een funtie is an de snelheid waarmee het deeltje zih oorplant: 17
m( ) m (6b) Figuur 5 Experimentele beestiging an de massaerandering met de snelheid bij elektronen. De experimentele resultaten zijn weergegeen door punten, kruisjes en rondjes terwijl de getrokken lijn is gebaseerd op betrekking (6b). Opdraht: Teken de grafiek an figuur 5 m.b.. je grafishe rekenmahine. Het geolg hieran is dat de massa an een deeltje toeneemt naarmate de snelheid an het deeltje toeneemt en oneindig groot zou worden wanneer het deeltje zih met de lihtsnelheid zou oortplanten. Experimenten hebben de juistheid hieran aangetoond (figuur 5). De impuls kan nu worden geshreen als: p m( ) (7b) Relatiistishe kraht De tweede wet an Newton luidt: d d F m a m ( m ) dt dt dp dt D.w.z. de resulterende kraht op een deeltje is de erandering an impuls gedurende een bepaalde tijd. (Deze betrekking blijft geldig binnen de relatiiteitsleer.) 18
Daar ook oor deze wet moet worden oldaan aan Einstein s eerste stelling, geldt oor de relatiistishe kraht: F dp d ) dt dt ( m( ) d m F (8) dt Relatiistishe energie De relatiistishe energie kan worden afgeleid uit het feit dat de energietoename (arbeid) gelijk is aan het produt an kraht en afgelegde weg: de F dt Hieruit kan oor de relatiistishe energie worden afgeleid: E m (9) Uit deze ergelijking olgt dat de energie die het deeltje heeft wanneer het stilstaat ( ) gelijk is aan m. Deze energie wordt de rustenergie genoemd. E rust m (1) Daar de totale energie gelijk is aan de in (9) gegeen ergelijking, is het ershil te wijten aan beweging en is dus kinetishe energie: m 1 Ekin E Erust E m m m 1 (11) Voor ieder gesloten systeem moet worden oldaan aan de wetten an behoud an energie en an behoud an impuls. Een zeer belangrijke formule (die we niet afleiden) die het erband weergeeft tussen de totale energie, de rustenergie en de impuls luidt: E ( m ) + ( p ) (1) 19
Uit deze ergelijking olgt een heel belangrijk gegeen: een deeltje dat geen rustmassa heeft (m ) heeft toh energie en impuls! Voor een dergelijk deeltje geldt: E p Dergelijke deeltjes met rustmassa nul zijn bijoorbeeld fotonen: ze bewegen zih oort in auüm met de lihtsnelheid. Indien de rustmassa an een foton niet nul zou zijn zou het deeltje, wanneer het zih oortbeweegt met de lihtsnelheid, olgens (6b) een oneindig grote massa hebben (een lampje zou een leensgeaarlijk wapen zijn!). Maak nu opgae 13 tot en met 17.
Samenatting relatiistishe mehania We kunnen boenstaande ergelijkingen ook korter noteren wanneer we gebruik maken an de bij de Lorentztransformatie gebruikte genoemde grootheid γ die gedefinieerd is als: γ 1 Hierdoor kunnen we ergelijkingen (5) t/m (11) shrijen als: η γ m( ) γ m p γ m F 3 γ m a E γ m E rust m E kin ( γ 1) m Opmerking Boenstaande ergelijkingen lijken in strijd te zijn met de betrekkingen uit de klassieke mehania. Wanneer er ehter gewerkt wordt met snelheden die eel kleiner zijn dan de lihtsnelheid gaan deze ergelijkingen oer in de meer bekendere klassieke ergelijkingen. Voor << geldt: t t l l m() m p m F m a E kin 1 m 1
Ruimtetijd Iedere gebeurtenis wordt, zoals gezegd, gekenmerkt door de plaats waar deze gebeurtenis plaatsindt en de tijd waarop deze plaatsindt. Zoals we hebben gezien, kan de plaats en de tijd worden weergegeen t.o.. ershillende oördinatenstelsels (stilstaand t.o.. gebeurtenis of juist meebewegend met de gebeurtenis). Er zijn dus ier oördinaten nodig om een gebeurtenis te beshrijen t.o.. een bepaald referentiepunt (oorsprong): drie arthesishe oördinaten oor de plaats waar, en een oördinaat oor de tijd wanneer de gebeurtenis plaatsindt. Zoals is aangetoond zijn bij zeer hoge snelheden zowel de plaats als de tijd afhankelijk an het gekozen oördinatenstelsel. Met behulp an de Lorentztransformaties kunnen de oördinaten an het ene systeem worden omgezet in de oördinaten an een ander systeem: x' γ ( x t) y ' y z ' t ' z x γ t en γ 1 Hierbij zijn (x, y, z, t) de oördinaten oor een stilstaande waarnemer (relatief in beweging t.o.. de gebeurtenis, b.. waarnemer op aarde, kijkend naar een ruimteship) en (x, y, z, t ) de oördinaten oor een met de gebeurtenis meebewegende waarnemer (astronaut aan boord an het ruimteship). Er hierbij alleen beweging in x-rihting. Minkowskis ruimtetijd diagram De beweging an een deeltje kan in de klassieke mehania (bij snelheden eel kleiner dan de lihtsnelheid) worden weergegeen in een x-t-diagram (we beshouwen ooralsnog deeltjes die alleen in x-rihting bewegen). De snelheid kan dan worden bepaald uit de helling an de erkregen grafiek. In de relatiiteitstheorie wordt gebruik gemaakt an het zogenaamde Minkowski-diagram. Hierbij is de positie (x) horizontaal uitgezet en de tijd, of lieer t, ertiaal. De snelheid an een deeltje kan worden bepaald uit het omgekeerde an de helling an de grafiek. Een deeltje in rust wordt weergegeen door een ertiale lijn (x onstant), een foton, oortbewegend met snelheid, wordt weergegeen door een lijn met rihtingsoëffiiënt 1 of door een lijn met rihtingsoëffiiënt 1 wanneer het zih in negatiee x-rihting beweegt (zie figuur 6a). Daar niets sneller kan gaan dan met een snelheid, beinden alle gebeurtenissen zih binnen de wig geormd door de twee lijnen met rihtingsoëffiiënt 1 en 1 (figuur 6b).
Figuur 6a Figuur 6b De weg an een deeltje weergegeen in een Minkowski-diagram heet een wereld-lijn (zie ook figuur 7). Zo een wereldlijn an een deeltje is een opeenolging an gebeurtenissen die het meemaakt tijdens zijn leen. Wanneer dezelfde gebeurtenis plaatsindt oor twee deeltjes tegelijk (b.. een botsing tussen de twee deeltjes) snijden de wereldlijnen an de deeltjes elkaar. Figuur 7 een ontmoeting tussen Peter en Paul Stel nu dat je zelf een deeltje bent dat nu begint in de oorsprong op t (figuur 6). Omdat je snelheid beperkt is tot waarden kleiner dan de lihtsnelheid, kan de helling an je wereldlijn nooit een waarde aannemen tussen de 1 en 1. Je bewegingsrijheid is dus beperkt tot het wigormige (geareerde) gebied boen de horizontale as dat we de toekomst noemen (alle punten die je zou kunnen bereiken in de komende tijd). Als de tijd erstrijkt zal het gebied dat binnen je bereik ligt ersmallen (de wig erplaatst met je mee). De wig onder de ertiale as geeft het erleden weer (alle punten die je had kunnen bereiken). Het gebied buiten de beide wiggen wordt de gegeneraliseerde tegenwoordige tijd genoemd: je kunt er niet komen in de toekomst en je komt er niet andaan. Je kunt gebeurtenissen die in dit gebied liggen, zowel in de toekomst als in het erleden, beïnloeden of beïnloed hebben: ze liggen buiten je bereik. 3
Tot nu toe zij de y- en z-rihting buiten beshouwing gebleen. Wanneer we naast de x-rihting ook de y-rihting toeoegen, krijgt het minkowski-diagram de orm an een kegel (onus). Het zal duidelijk zijn dat er geen tekening kan worden gemaakt wanneer we ook de z-as willen toeoegen: we krijgen dan een ierdimensionaal figuur dat een hyperonus wordt genoemd. Figuur 8 Een onus 4
Opgaen Algemeen begripsmatig 1. Waarom heeft men, óór Einstein zijn theorie laneerde, nooit iets gemerkt an tijddilatatie of lengteontratie?. Waarom kan de snelheid an een oorwerp nooit groter worden dan de lihtsnelheid? 3. Waarom kan een deeltje dat een bepaalde rustmassa bezit, nooit de lihtsnelheid bereiken? 4. Waarom hebben fotonen geen rustmassa Relatiiteit an tijd en lengte 5. Een ruimteship liegt lak langs de aarde met een onstante snelheid an,9. De astronaut meet oor het tijdsinteral tussen twee tikken an een klok aan boord een tijd an 1, s. Hoe groot is het tijdsinteral tussen de twee tikken an deze klok oor een waarnemer op aarde? 6. Stel dat het ruimteship uit de orige opgae 75m lang is en een diameter heeft an 5m. Wat zijn de afmetingen oor een waarnemer die het ruimteship ziet oorbij komen? 7. Een ruimteship passeert, op weg naar de maan, de aarde met een snelheid an,8. De afstand an de aarde naar de maan is 3,844 1 8 m. a. Hoelang duurt deze toht an de aarde naar de maan oor de waarnemer op aarde? b. Wat is de afstand an de aarde naar de maan olgens de astronaut aan boord an het ruimteship?. Hoe lang duurt deze toht olgens de astronaut? 8. De dihtstbijzijnde ster (na de zon) is Proxima Centauri. Deze ster staat op een afstand an 4,8 lihtjaren an ons andaan. D.w.z. dat het liht an deze ster er 4,8 jaar oer doet om de aarde te bereiken, gemeten door een waarnemer op aarde. Stel nu dat een raket met een snelheid an.95 t.o.. de aarde op weg is naar deze ster, hoeeel ouder zou een passagier aan boord an deze raket zijn geworden (olgens de klok aan boord) wanneer de raket de ster bereikt? 9. De gemiddelde leensduur an een muon in rust is, 1-6 s. Een dergelijk deeltje krijgt, in een laboratorium, een snelheid krijgt an,9. a. Wat is dan de gemiddelde leensduur die in het laboratorium oor het deeltje wordt gemeten? b. Welke afstand kan het deeltje afleggen oordat het eralt? 1. Met welke snelheid moet een pion (een elementair deeltje met een gemiddelde leensduur in rust an,6 1-8 s) bewegen, om een afstand an 5 m af te kunnen leggen, oordat het eralt? 5
Coördinatentransformatie 11. Een UFO beweegt met een snelheid an,8 (relatief t.o.. de aarde) naar de aarde. De UFO uurt een projetiel af naar de aarde met een snelheid an,5 t.o.. de UFO. Met welke snelheid ziet een waarnemer op aarde het projetiel op zih afkomen? 1. Twee ruimteshepen erlaten de aarde in tegenoergestelde rihting, elk met een snelheid an,5 t.o.. de aarde. a. Hoe groot is de snelheid an ruimteship 1 t.o.. ruimteship? b. Hoe groot is de snelheid an ruimteship t.o.. ruimteship 1? Op de terugreis ziet een waarnemer op aarde de twee ruimteshepen, uit tegenoergestelde rihting, naderen. Beide ruimteshepen hebben een snelheid an,5.. Bereken de relatiee snelheid waarmee de twee ruimteshepen elkaar naderen. Relatiistishe mehania 13. Een gummetje heeft een massa an 1 gram. a. Bepaal de rustenergie an dit gummetje. b. Als je deze rustenergie zou kunnen gebruiken om een lamp an 6 W te laten branden, hoe lang zou deze lamp dan blijen branden? 14. Het ermogen dat door de zon, in de orm an elektromagnetishe straling, wordt uitgezonden is 3,9 1 6 W. Voor de massa a de zon mag 1,99 1 3 kg worden genomen. a. Bereken de erandering an de massa an de zon per seonde. b. Welk peentage an de totale massa gaat erloren gedurende 1 jaar? 15. a. Welke snelheid moet een deeltje krijgen om een 5% grotere massa te krijgen dan zijn rustmassa? b. Welke snelheid oor een erdubbeling an de massa? 16. Vergelijk de waarden oor de kinetishe energie an een elektron met een massa an 9,11 1-31 kg, in geal an de niet-relatiistishe en an de relatiistishe benadering bij een snelheid an a. 1, 1 8 m/s b., 1 8 m/s 17. Stel dat een elektron in een deeltjesersneller, anuit rust, een snelheid krijgt an,99. a. Bepaal de rustenergie an het elektron. b. Bepaal de totale energie.. Bepaal de kinetishe energie. 6
Literatuur Cutnell, J.D. & Johnson, K.W. Physis, Volume. Wiley, New York, 1998. Einstein, A. Feynman, R. Flink, R.J. Griffiths, D.J. Shweers, J. & Vianen, P. an Young, H.D. & Freedman, R.A. Relatiiteit, speiale en algemene theorie. Aula, 1986. Six no-so-easy piees, Einstein s Relatiity, Symmetry and Spae-Time. Addison-Wesley, 1997. Atoomtheorie, Natuurkunde oor het HBO. Intro, Baarn, 1998. Introdution to Eletrodynamis. Prentie Hall, Upper Sadlde Rier, 1999. Natuurkunde op orpusulaire grondslag deel 5V Malmberg, Den Bosh, 1974. Uniersity Physis. Addison-Wesley, 1996. 7
De Speiale Relatiiteitstheorie an Einstein Een korte behandeling an de theorie oor boenbouw HAVO/VWO Uitwerkingen an de opgaen door ir R.J.G. Henssen 8
Uitwerkingen opgaen uit De Speiale Relatiiteitstheorie an Einstein 5 Gegeen:, 9 t 1, s Geraagd: Oplossing: t t 1, t, 6s (,9) 6 Gegeen: l 75m d 5,m Geraagd: l, d d d 5, m ( d ) Oplossing: l l 75 (,9) 9m 7 Gegeen:, 8 l 3,844 1 8 m Geraagd: a) t (aarde beweegt t.o.. ruimteship) b) l (astronaut beweegt t.o.. de afstand) ) t 8 l 3,844 1 Oplossing: a) t 1, 6s 8,8 3, 1 8 8 b) l l 3,944 1 (,8),3 m 1 ) t t 1,6 (,8), 96s 9
8 Gegeen:, 95 l 4,3lihtjaar Geraagd: t Oplossing: l 4,3 t 4, 5 jaar,95 t t 4,5 4 (,95) 1, jaar 9 Gegeen: t, 1, 9 6 s Geraagd: a) t b) s (afstand afgelegd door deeltje) Oplossing: a) t t, 1 6 (,9) 5, 1 6 s 6 3 b) s t,9 5, 1 1,4 1 m 1 Gegeen: 8 t,6 1 s l 5m Geraagd: Oplossing: l (alles t.o.. stilstaande waarnemer) t t t 3
l l 1 l l t l t t t + l 5 8,95,9 1 m / s l 8 5 t (,6 1 ) + + l 11 Gegeen:, 8 (t.o.. stilstaand stelsel), 5 (anuit bewegend stelsel) ' x Geraagd: x Oplossing: x x ' + + ' x 1,5 +,8 1+ (,5,8),9 1 Gegeen: 1, 5, 5 Geraagd: a) 1 b) 1 ) oor waarnemer wanneer ruimteshepen elkaar naderen Oplossing: 1 1 x x' x x' + + x 1,5 +,5 1+ (,5,5),8 1,8, 8 1 1 In een ruimteship lijkt het andere ruimteship te naderen met een snelheid an,8. Voor een waarnemer op aarde geldt: De ehte snelheid an een ruimteship: 31
dl η, 5 dt de snelheid t.o.. de aarde: dl dt η, 43 De ruimteshepen lijken elkaar te naderen (oor een waarnemer op aarde) met:,43 +,43, 87 13 Gegeen: m 1g 1, 1 kg Geraagd: a) E rust b) de tijd dat een gloeilamp an 6 Watt zou kunnen branden op. E rust 14 Oplossing: a) E rust m 1, 1 9, 1 J 14 Erust 9, 1 13 5 b) t 1,5 1 s 4,8 1 jaar P 6 6 14 Gegeen: P 3,9 1 W m 1,99 1 3 kg Geraagd: a) massaerandering per seonde b) perentage an de massa dat erloren gaat in 1 jaar 6 E m E P 3,9 1 9 Oplossing: a) m 4,33 1 kg / s t t b) P t 6 1 E 3,9 1 3,16 1 1,3 1 1 t 1 jaar 3,16 1 s E m 11 9 m 1,37 1 kg 6,87 1 6,87 1 % m E 37 J 3
15 Geraagd: a) bij massatoename an 5% t.o.. de rustmassa b) bij massaerdubbeling t.o.. de rustmassa Oplossing: a) m m( ) m 1,5 m 1,5 1,6 b) m m( ) m m 1,87 31 16 Gegeen: m 9,11 1 kg a) 1, 1 8 b), 1 m / s 8 m / s Geraagd: De kinetishe energie bij de relatiistishe benadering De kinetishe energie bij de niet-relatiistishe benadering Oplossing: Relatiistish: E kin m 1 1 a) E 4,97 1 kin b) E,8 1 kin 15 14 J J Niet-relatiistish: E kin 1 m a) E 4,56 1 kin b) E 1,8 1 kin 15 14 J J Conlusie: naarmate de snelheid groter is, is er een groter ershil in relatiistishe en niet-relatiistishe kinetishe energie. 33
17 Gegeen: 31 m 9,11 1 kg, 99 Geraagd: a) E rust b) E totaal ) E kin 31 14 5 Oplossing: a) E m 9,11 1 8, 1 J 5,1 1 ev rust m 13 6 b) E totaal 5,8 1 J 3,6 1 ev 13 ) E E 5, 1 J 3,1 1 ev 6 kin totaal E rust 34