Over rationale dynamische systemen

Over rationale dynamische systemen Michiel van Saagsvelt 2 juni 2009 Inhoudsopgave Voorwoord 3 Inleiding 4. Groei en iteratie................................... 4.2 Verhulst-proces.................................... 5.3 Fixpunten....................................... 6.4 Periodieke punten.................................. 7.5 Opgaven........................................ 8 2 Complexe functies 8 2. Complexe getallen.................................. 9 2.2 Complexe functies.................................. 0 2.5 Conforme functies.................................. 2.6 Inversie........................................ 2.7 Exponentiële functie................................. 2 2.8 Opgaven........................................ 3 3 Riemann-bol 3 3. Stereografische projectie............................... 4 3.2 Opgaven........................................ 5 4 Rationale functies 5 4. Fixpunten....................................... 6 4.2 Julia - en Fatouverzamelingen............................ 9 4.3 Möbiustransformaties................................ 9 4.4 Iteratie van Möbiustransformaties.......................... 20 4.5 Iteratie van z z 2.................................. 23 4.6 Iteratie van z z 2 + c................................ 24 4.7 Iteratie van z z + z................................ 27 4.8 Opgaven........................................ 28 5 Kwadratische rationale functies 28 5. Classificatie...................................... 29

6 Kwadratische rationale functies met drie verschillende fixpunten 30 6. Maximaal twee aantrekkende fixpunten....................... 34 7 Drie fixpunten waarvan twee met gelijke stabiliteitsfactor 36 7. Twee aantrekkers met gelijke stabiliteitsfactor en één afstoter.......... 36 7.2 Twee aantrekkers met verschillende stabiliteitsfactor en één afstoter...... 38 8 En verder... 4 Lijst van figuren Fractal......................................... 4 2 Bifurcatie-diagram................................... 9 3 z in het complexe vlak................................ 0 4 Stereografische projectie; het middelpunt van de bol ligt in het complexe vlak.. 4 5 Het beeld van α < 2 onder afbeelding α α α2................ 25 6 De schijf {c : + c < 4 }............................... 26 7 Definitiegebied van R en corresponderend definitiegebied van S.......... 28 8 Aantal aantrekkers bij reële A en B......................... 33 9 Aantal aantrekkers voor zuiver imaginaire A en B................. 34 0 Beeld van z < onder h : z z......................... 35 36 2 37 3 Naarmate p en r dichter bij liggen, wordt het gat rond groter...... 39 2 Aantrekkingsgebieden van 0 en met de grens R(z) = 2.............. Deformatie van de grens R(z) =.......................... 4 Deformatie van J. Vaste waarde voor p (0,9), r is respectievelijk 0,9;0,8;0,7 en 0,6............................................ 40 5 Plot van pqr = p + q + r 2............................. 4 2

Voorwoord Dit verslag is een weergave van onderzoek, verricht in het kader van het programma Leraar in Onderzoek (LIO). Dit programma stelt eerstegraads docenten in de gelegenheid gedurende een bepaalde tijd wetenschappelijk onderzoek te verrichten aan een universiteit. Het LIOprogramma wordt mogelijk gemaakt door de Nederlandse Organisatie voor Wetenschappelijk Onderzoek (NWO), Gebiedsbestuur Exacte Wetenschappen. Het onderzoek is uitgevoerd in de periode oktober 2007 tot en met mei 2009. Gedurende deze periode werkte ik s woensdags aan het onderzoek, veelal op het Mathematisch Instituut van de Universiteit van Utrecht. Op deze plaats wil ik prof. dr. Frits Beukers en dr. Roelof Bruggeman (Universiteit Utrecht) dank zeggen voor de geweldige hulp. Met veel geduld en enthousiasme hebben zij mij wegwijs gemaakt in de wereld van de dynamische systemen. Ik heb deze periode als enorm leerzaam ervaren. NWO in het algemeen en dr. Lex Zandee in het bijzonder wil ik danken voor het feit dat ik in de gelegenheid gesteld ben dit onderzoek uit te voeren. Michiel van Saagsvelt Utrecht, mei 2009 3

Inleiding Naar dynamische systemen is al veel onderzoek verricht. In het huidige Tweede Fase-programma van het vwo is het zelfs een onderdeel bij het vak wiskunde D. Met de opkomst van de computer in de jaren tachtig heeft onderzoek op dit vlak een enorme vlucht genomen doordat grafische voorstellingen van fractals mogelijk werden. Een voorbeeld hiervan is te zien in figuur. Figuur : Fractal. In essentie wordt bij dynamische systemen gekeken naar hoe de positie van een punt zich ontwikkelt als het aan een vaste regel (lees: functie) wordt onderworpen. Classificatie van functies en de generalisatie bij zekere startwaarden is voor een belangrijk deel nog onontgonnen gebied. In dit onderzoek wordt gekeken naar rationale kwadratische functies, waarbij punten complexe getallen zijn. Ter introductie beginnen we met het ree le analogon.. Groei en iteratie Als we kijken naar een proces dat zich volgens een zekere regelmaat ontwikkelt, bijvoorbeeld in de tijd, spreken we van groei. Een eenvoudige variant daarvan is exponentie le groei, gegeven door de formule N (t + ) = αn (t) waarin N (t) een hoeveelheid is na t stappen en α de groeifactor. Bij een dergelijk proces wordt bij elke volgende stap de actuele hoeveelheid met eenzelfde factor α vermenigvuldigd. Het principe dat output van een stap input is voor de volgende noemen we itereren. In dit geval, beginnend bij t = 0, α α α N (0) N () N (2) Klassiek voorbeeld van exponentie le groei is dat van samengestelde interest, oftewel rente op rente. Bij een (constante) rente van bijvoorbeeld 4% is een startkapitaal K0 na 8 jaar meer 4

dan verdubbeld. Stel dat we in dit model stellen dat N(0) = N 0, dan kunnen kunnen we N(t) expliciet schrijven als functie van t, namelijk N(t) = α t N 0 Bij veel varianten is het echter minder eenvoudig of zelfs onmogelijk om de waarde N na t stappen expliciet als functie van t te schrijven. Als we het model van exponentiële groei als basis nemen voor de ontwikkeling van de grootte van een populatie, dan blijkt deze, zeker wanneer een langere tijdsduur wordt bekeken, tekort te schieten. We houden hier namelijk geen rekening met een eventuele beperking van de populatie. Als we in het model veronderstellen dat een te sterke groei van de populatie tot gevolg heeft dat deze wordt afgeremd, en zich daarbij gedraagt volgens bepaalde regels, zoals we hierna zullen zien, dan spreken we van een Verhulst-proces, genoemd naar de Belgische wiskundige Pierre Verhulst (804-849)..2 Verhulst-proces We breiden het model N(t + ) = αn(t) uit door een parameter β in te voeren, welke pas bij grote waarden voor N van significante invloed op de populatiegrootte is. N(t + ) = αn(t) βn(t) 2 () In dit model is zolang β aanmerkelijk kleiner is dan α, de invloed van de term βn(t) 2 pas merkbaar als N groot wordt. Vergelijking () staat ook wel bekend als de logistische vergelijking. We mogen aannemen dat de hoeveelheid in een populatie te allen tijde groter is dan 0, dus N(t) > 0 en N(t + ) > 0. Nu volgt uit () N(t) (α βn(t)) > 0 zodat α βn(t) > 0, waarmee N(t) < α β. De grootte van de populatie blijft dus steeds onder een maximale waarde, α β. Deze waarde noemen we N max. We definiëren nu x(t) als fractie van de maximale populatiegrootte op tijdstip t. x(t) = N(t) N max De waarde van x(t) ligt daarmee tussen 0 en. Door () te delen door N max vinden we N(t + ) = α N(t) β N(t)2 N max N max N max x(t + ) = αx(t) βx(t)n(t) = αx(t) βx(t) 2 N max = αx(t) βx(t) 2 α β = αx(t) αx(t) 2 5

We kunnen bovengenoemde vergelijking schrijven in de gebruikelijke gedaante van de logistische afbeelding. We zeggen dat deze iteratie gegeven wordt door de functie f(x) = αx( x) = αx αx 2. (2) Voortaan geven we alleen de functies en schrijven de bijbehorende iteratie niet meer op. Wanneer we bovendien in dit model aan α de restrictie opleggen dat 0 < α < 4, dan geldt voor f dat definitiegebied [0, ] naar zichzelf wordt afgebeeld..3 Fixpunten We hebben nu een eerste stap gezet in de wereld van de dynamische systemen. In plaats van f in (2) kunnen we ook willekeurig andere functies f kiezen. Een belangrijk begrip hierbij zijn zogenaamde fixpunten. Dit zijn de x-waarden, behorende bij zekere functie f, die een functiewaarde opleveren, welke gelijk is aan zichzelf. Fixpunten kunnen we vinden door de vergelijking f(x) = x op te lossen. In ons model krijgen we dan αx( x) = x αx αx 2 x = 0 x(α αx ) = 0 (3) waaruit volgt dat x = 0 of α αx = 0 x = α α We vinden hier fixpunten p = 0 en p 2 = (α )/α. Zoals we later nog uitgebreid zullen bekijken, blijkt dat fixpunten stabiel of instabiel kunnen zijn. We definiëren nu de volgende classificatie: f (p) < f (p) > f (p) = fixpunt p is stabiel fixpunt p is instabiel fixpunt p is indifferent Het blijkt dat stabiele fixpunten aantrekkend zijn. Dit betekent dat punten in de buurt van een fixpunt onder f naar dit fixpunt zullen convergeren. Instabiele fixpunten zijn afstotend en het gedrag van een indifferent fixpunt is onbeslist. De aard van een fixpunt wordt dus bepaald door de absolute waarde van de afgeleide functie in dat fixpunt. We noemen dit de stabiliteitsfactor. De stabiliteitsfactoren van de fixpunten in het Verhulst-model vinden we door te kijken naar de afgeleide van f in p en p 2. De afgeleide is gelijk aan zodat f (p ) = α en f (p 2 ) = 2 α. f (x) = α 2αx Aan de hand van de waarden voor α kunnen we bij dit model de volgende indeling maken. α p p 2 0 < α < stabiel instabiel < α < 3 instabiel stabiel α > 3 instabiel instabiel 6

.4 Periodieke punten Een andere belangrijke rol binnen de dynamische systemen is weggelegd voor periodieke punten. We spreken van een periodiek punt q als voor een waarde n f f f... f(q) = f n (q) = q. }{{} n keer Het kleinste, gehele, positieve getal n noemen we de periode. Om te bepalen wat periodieke punten in het Verhulst-model zijn, richten we ons in eerste instantie op periodieke punten met graad 2. Er moet nu gelden dat f(f(x)) = x. We noteren f(f(x)) als f 2 (x). Uit (2) volgt waarmee we de oplossingen zoeken van f 2 (x) = α(αx αx 2 ) α(αx αx 2 ) 2 = α 2 x α 2 x 2 α(α 2 x 2 2α 2 x 3 + α 2 x 4 ) = α 2 x α 2 x 2 α 3 x 2 + 2α 3 x 3 α 3 x 4 = α 3 x 4 + 2α 3 x 3 (α 2 + α 3 )x 2 + α 2 x α 3 x 4 + 2α 3 x 3 (α 2 + α 3 )x 2 + α 2 x x = 0 (4) Van deze vierdegraads vergelijking weten we in ieder geval al twee nulpunten, namelijk fixpunten p en p 2. Immers, als f(x) = x dan is ook f 2 (x) = x. Vergelijking (4) kunnen we dus factorizeren waarbij de restfactor een tweedegraads polynoom is. We schrijven (4) als (x p )(x p 2 )(ax 2 + bx + c) = 0 Aangezien p en p 2 oplossingen vormen van de vergelijking f(x) = x kunnen we (4) herformuleren aan de hand van (3): x(αx α + )(ax 2 + bx + c) = 0 Door de deling uit te voeren vinden we de tweedegraads veelterm. ax 2 + bx + c = α3 x 4 + 2α 3 x 3 (α 2 + α 3 )x 2 + α 2 x x x(αx α + ) = α 2 x 2 α 2 x αx + α + = α 2 x 2 α(α + )x + + α Nulpunten van dit polynoom bepalen levert ons de gezochte waarden q en q 2. Met behulp van de abc-formule vinden we q = α + + (α 3)(α + ), q 2 = α + (α 3)(α + ) 2α 2α Berekenen we de functiewaarden van f bij x = q en x = q 2 dan blijkt dat (5) f(q ) = q 2, f(q 2 ) = q (6) 7

Uit (6) volgt dat f(q ) = f(f(q 2 )) = q 2 en f(q 2 ) = f(f(q )) = q. Of de periodieke punten (van graad twee) q en q 2 stabiel of instabiel zijn wordt bepaald door de absolute waarde van de afgeleide functie in deze waarden. We gebruiken de kettingregel om te kijken naar het gedrag van q en q 2. zodat voor q en q 2 respectievelijk geldt en [f 2 (x)] = [f(f(x))] = f (f(x)) f (x) (7) [f 2 (q )] = [f(f(q ))] = f (f(q )) f (q ) = f (q 2 ) f (q ) (8) [f 2 (q 2 )] = [f(f(q 2 ))] = f (f(q 2 )) f (q 2 ) = f (q ) f (q 2 ) (9) Uit (8) en (9) blijkt dat de stabiliteitsfactoren van q en q 2 gelijk zijn aan elkaar. We kunnen kennelijk volstaan met te kijken naar de waarde van [f 2 (q )]. [f 2 (q )] = f (q ) f (q 2 ) = (α 2αq ) (α 2αq 2 ) = (α (α + + (α 3)(α + ) )) (α (α + (α 3)(α + ) )) = (α 3)(α + ) = α 2 + 2α + 4 (0) We zagen al eerder dat voor waarden α > 3 beide fixpunten p en p 2 instabiel zijn. Nu zien we dat, wanneer α van kleiner dan 3 overgaat in groter dan 3, er naast het instabiel worden van beide fixpunten er een periodieke tweebaan ontstaat. We spreken van een tweebaan aangezien f(q ) = q 2 en f(q 2 ) = q. Zolang 3 < α < + 6 is deze tweebaan stabiel omdat bij die waarden van α geldt dat [f 2 (q )] <. Aangezien we al constateerden dat de stabiliteitsfactoren van q en q 2 gelijk zijn aan elkaar, zal deze voor beide omslaan als α > + 6. In onderstaande grafiek zien we dat bij deze waarde van α er een stabiele vierbaan ontstaat. Het blijkt dat er periodeverdubbeling optreedt voor zekere waarden van α. Dit effect staat bekend als bifurcatie. Proberen we op eenzelfde wijze na te gaan wanneer de volgende periodeverdubbeling optreedt, dan stuiten we op het probleem dat dit resulteert in het bepalen van de nulpunten van een achtstegraads vergelijking, waarvan we weten dat p, p 2, q en q 2 oplossingen vormen..5 Opgaven Opgave.5. Ga na dat in het Verhulst-model definitieverzameling [0, ] afgebeeld wordt naar zichzelf als voor α geldt: 0 α 4. 2 Complexe functies We gaan er van uit dat de lezer bekend is met complexe getallen. Volledigheidshalve wordt summier de theorie van complexe getallen hieronder gegeven. 8

Figuur 2: Bifurcatie-diagram. 2. Complexe getallen Een uitbreiding van de reële getallen (de verzameling R) is de verzameling van complexe getallen, aangeduid met C. Een complex getal is van de vorm z = x + iy, waarbij x, y R. Het reële deel van z is x, dus R(z) = x; het imaginaire deel van z is y, dus I(z) = y. De modulus of absolute waarde van z noemen we r en wordt gedefiniëerd door r = z = x 2 + y 2 De complex geconjugeerde van z noteren we met z en is gedefinieerd als z = x iy. Ten gevolge van deze afspraken geldt voor alle z, w C z + w = z + w, zw = z w, z z = z 2 R(z) = z + z z z, I(z) = 2 2i Als we ons een beeld willen vormen van een complex getal dan kunnen we ons dit voorstellen als een punt in een vlak, het complexe vlak. Horizontaal staat het reële deel van het complexe getal uitgezet, verticaal het imaginaire deel. Als we nu twee complexe getallen optellen is dit vergelijkbaar met een vectoroptelling in R 2. Bij een meetkundige interpretatie van de vermenigvuldiging van twee complexe getallen is een schrijfwijze in poolcoördinaten handig. Elk punt in het complexe vlak (met uitzondering van 0) en dus elk complex getal z 0 wordt bepaald door de hoek θ tussen de positieve reële as en de positievector van z en de afstand ρ van de oorsprong tot z. De hoek noemen we ook wel het argument van z (θ = arg(z)), terwijl de afstand ρ gelijk is aan de modulus van z, ρ = z. Omzetting naar Cartesische coördinaten gaat nu met behulp van x = ρ cos θ y = ρ sin θ zodat het complexe getal z geschreven kan worden als z = x + iy = ρ(cos θ + i sin θ). 9

Im-as iy z = x + iy ρ θ x Re-as Figuur 3: z in het complexe vlak. 2.2 Complexe functies Een complexe functie is gedefinieerd als een functie van D naar C, waarbij definitiegebied D een open deelverzameling is van C. Een complexe functie is als volgt te noteren: f(z) = f(x + iy) = u(x, y) + i v(x, y) waarbij u en v reële functies zijn van de reële variabelen x en y. De definitie van differentieerbaarheid van complexe functies is analoog aan de definitie bij reële functies. Definitie 2.3 Een complexe functie f is differentieerbaar in een punt α indien bestaat. f(z) f(α) lim z α z α Die limiet is dan de afgeleide van f in α, f (α). Als f differentieerbaar is in ieder punt van D, dan is f differentieerbaar op D. Het is niet moeilijk in te zien dat een complexe functie die differentieerbaar is in α ook continu is in α. Propositie 2.4 Als de complexe functie f : D C differentieerbaar is in het punt α D, dan is f continu in α. f(z) f(α) Bewijs. lim (f(z) f(α)) = lim z α z α z α lim (z α) = f (α) 0 = 0 z α Uit de reële analyse weten we dat een normale continue functie meestal ook (bijna) overal differentieerbaar is. Bij complexe functies is dit niet het geval. Een klassiek voorbeeld van een complexe functie welke niet differentieerbaar is, is de functie f(z) = z. Complexe differentieerbaarheid legt veel strengere eisen op aan een functie f dan dat reële differentieerbaarheid dit doet. Er valt daarentegen aan te tonen dat als een complexe functie 0

f differentieerbaar is op een gebied D, f dan oneindig vaak differentieerbaar is. We zeggen ook wel dat zo n functie f analytisch is. Om te bepalen of een complexe functie analytisch is, wordt vaak gebruik gemaakt van de vergelijkingen van Cauchy-Riemann. Voor dit verhaal spelen deze geen belangrijke rol, zodat ze hier buiten beschouwing worden gelaten. 2.5 Conforme functies Een complex differentieerbare functie f (vanaf nu spreken we eenvoudigweg van een differentieerbare functie) noemen we conform in een gebied D als f (z) 0 voor alle z D. Het is aan te tonen dat dergelijke functies lokaal hoektrouw en oriëntatiebehoudend zijn. Uit de definitie van de afgeleide van f in een punt α volgt dat als z voldoende dicht in de buurt van α ligt, geldt dat f(z) f(α) f (α) (z α). Als nu f (α) 0, dan wordt de verschilvector z α onder f vermenigvuldigd met het complexe getal f (α). Meetkundig gezien komt dit neer op een draaiing van de vector z α over een hoek die gelijk is aan het argument van f (α) en een vergroting welke gelijk is aan factor f (α). Beide genoemde transformaties zijn gelijkvormigheidstransformaties, zodat onderlinge hoeken behouden blijven. 2.6 Inversie De afbeelding f : C \ {0} C \ {0} met f(z) = z noemen we inversie. Wanneer we kijken naar het beeld van lijnen en cirkels in het complexe vlak onder f dan blijkt dat de volgende indeling te maken is: f beeldt een cirkel die niet door 0 gaat af op weer een cirkel die niet door 0 gaat. f beeldt een cirkel die door 0 gaat af op een rechte lijn die niet door 0 gaat. f beeldt een rechte lijn die niet door 0 gaat af op een cirkel die door 0 gaat. f beeldt een rechte lijn die door 0 gaat af op weer een rechte lijn die door 0 gaat. We kunnen hier feitelijk niet spreken over lijnen en cirkels die door 0 gaan, aangezien dit punt niet tot het domein of het codomein van functie f behoort. Toch geeft deze beschrijving een duidelijk beeld van het effect van f. In een later stadium zullen we gaan kijken naar de Riemann-bol en dan zal blijken dat er een praktische oplossing bestaat voor het feit dat 0 de uitzondering is van het domein en codomein van de afbeelding f : z /z. We kunnen de indeling nagaan aan de hand van de algemene gedaante van kegelsneden: Ax 2 + 2Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0 () Aangezien we kijken naar het beeld van lijnen en cirkels, is in ons geval A = C en B = 0 in (), zodat A(x 2 + y 2 ) + Dx + Ey + F = 0 (2)

Nemen we nu z = x + iy, dan is het beeld van z onder de inverse afbeelding f(z) = f(x + iy) = x + iy = x + iy x iy x iy = x iy x 2 + y 2 Het reële deel en het imaginaire deel van z worden onder f respectievelijk afgebeeld op x = Het beeld van lijnen en cirkels wordt nu x x 2 + y 2 y = y x 2 + y 2 A ( (x ) 2 + (y ) 2) + Dx + Ey + F = 0 ( ( ) x 2 ( A x 2 + y 2 + y ) ) 2 x 2 + y 2 + D ( ) ( x x 2 + y 2 + E y x 2 + y 2 ) + F = 0 A + Dx Ey + F (x 2 + y 2 ) = 0 (3) Lopen we de gemaakte classificatie nogmaals langs dan vinden we: Een cirkel die niet door 0 gaat heeft A 0 en F 0 in (2). Het beeld onder f hiervan geeft A + Dx Ey + F (x 2 + y 2 ) = 0. Dit is weer een cirkel die niet door 0 gaat. Een cirkel die door 0 gaat heeft A 0 en F = 0 in (2). Het beeld onder f hiervan geeft A + Dx Ey = 0. Dit is een rechte lijn die niet door 0 gaat. Een rechte lijn die niet door 0 gaat heeft A = 0 en F 0 in (2). Het beeld onder f hiervan geeft Dx Ey + F (x 2 + y 2 ) = 0. Dit is een cirkel die door 0 gaat. Een rechte lijn die door 0 gaat heeft A = 0 en F = 0 in (2). Het beeld onder f hiervan geeft Dx Ey = 0. Dit is een rechte lijn die door 0 gaat. 2.7 Exponentiële functie Een ander begrip dat hier niet onvermeld mag blijven is de complexe exponentiële functie, z e z. Uit de reële analyse weten we dat de exponentiële functie is te ontwikkelen in een Taylor-reeks. Complex blijft dit onverminderd van kracht. e z = + z + z2 2! + z3 3! + z4 4! + (4) Een reële eigenschap die complex eveneens geldig is, is e z+w = e z e w voor elke z, w C. Schrijven we z = x + iy uit in (4) dan vinden we e x+iy = e x e ( iy = e x + iy + (iy)2 + (iy)3 + (iy)4 + (iy)5 2! 3! 4! 5! ) = e x ( + iy y2 2! iy3 3! + y4 4! + iy5 5! + ) + (5) 2

De tweede factor in deze laatste uitdrukking komt overeen met de som van de machtreeksen van cos y en i sin y. Daarmee kunnen we e z in (5) schrijven als Een andere eigenschap is dat e z = e x (cos y + i sin y) = e x e z = e x (cos y + i sin y) (6) cos 2 y + sin 2 y = e x = e R(z) Ten gevolge van de definitie is een van de kenmerkende verschillen met de reële exponentiële functie dat de complexe e-macht periodiek is. Immers voor elke z C en k Z. 2.8 Opgaven e z = e z+2kπi Opgave 2.8. We weten dat een functie (complex) differentieerbaar is in α indien f(z) f(α) lim z α z α bestaat. Beschouw de complexe functie f(z) = z = x iy. Kijk nu naar bovenstaande limiet wanneer z de waarde van α = a+ib nadert langs een horizontale lijn. Doe vervolgens hetzelfde, maar nu langs een verticale lijn. Wat valt hieruit op te maken? Opgave 2.8.2 Beschouw de rechte lijn l : I(z) = 2. Volgens het overzicht van het beeld van lijnen en cirkels onder f(z) = /z zou deze rechte lijn over moeten gaan in een cirkel door 0. Stel een vergelijking op van het beeld van l. Opgave 2.8.3 Gegeven in R 2 de twee cirkels c : x 2 + y 2 + 2x 6y + = 0 en c 2 : x 2 + y 2 4x 4y 5 = 0.. Laat zien dat het punt P ( 4 5, 27 5 ) één van de snijpunten van c en c 2 is. 2. Bereken de hoek tussen de raaklijnen aan de cirkels in P. 3. Het beeld van c en c 2 onder de afbeelding f : z /z geeft de cirkels c en c 2. Beeldcirkels c en c 2 snijden elkaar onder andere in punt P. Bereken de hoek van de raaklijnen aan c en c 2 in het punt P. 3 Riemann-bol Het blijkt dat bij de bestudering van complexe functies de transformatie van punten in het complexe vlak naar punten op een bol een handig hulpmiddel is. Deze bol, de zogenaamde Riemann-bol is een bol waarvan wij ons voorstellen dat deze een middelpunt heeft dat samenvalt met het getal 0 in het complexe vlak. Verder heeft de Riemann-bol een straal gelijk aan 3

. De noordpool van de bol is het punt dat, wanneer we de bol zouden zien als een bol in de R 3, coördinaten (0, 0, ) heeft. Dit punt noemen we hier N. We kunnen nu elk complex getal middels stereografische projectie ten opzichte van N transformeren naar een punt op de Riemann-bol. Breiden we dit uit met de afspraak dat punten op oneindig corresponderen met N, dan hebben we het complexe vlak uitgebreid met het complexe getal. We noteren dit als C. Een andere manier om dit uitgebreide complexe vlak weer te geven is met behulp van de notatie van projectieve ruimten; het is gebruikelijk de Riemann-bol weer te geven met P (C). Belangrijk voordeel is dat we nu als een gewoon getal kunnen beschouwen. 3. Stereografische projectie Zoals gezegd correspondeert het punt (0, 0, ) met de noordpool N van de Riemann-bol. We kiezen nu een punt in het x, y-vlak (het complexe vlak). Dit punt is het complexe getal z = x + iy. Het lijnstuk dat N en z met elkaar verbindt snijdt de bol in punt P (p, p 2, p 3 ). Dit punt P is nu de stereografische projectie van z op de Riemann-bol (zie figuur 4). N C P z Figuur 4: Stereografische projectie; het middelpunt van de bol ligt in het complexe vlak. 4

We kunnen nagaan dat de coördinaten van P gelijk zijn aan p = 2x x 2 + y 2 + p 2 = 2y x 2 + y 2 + p 3 = 2 x 2 + y 2 + = x2 + y 2 x 2 + y 2 + (7) (8) (9) Punten op oneindig corresponderen nu met N op de Riemann-bol. Het blijkt dat, net als bij inversie, lijnen en cirkels in C door stereografische projectie overgaan in lijnen en cirkels op de Riemann-bol. Tevens is stereografische projectie hoektrouw. 3.2 Opgaven Opgave 3.2. Het lijnstuk dat N en z met elkaar verbindt kunnen we parametriseren door Nz = (0, 0, ) + λ(x, y, ) = (λx, λy, λ) met λ [0, ]. De Riemann-bol heeft vergelijking x 2 + y 2 + z 2 =. Leid uit deze vergelijking en de parametrisering van lijnstuk Nz de formules voor de coördinaten van punt P (p, p 2, p 3 ) (formules (7), (8) en (9)) af. Opgave 3.2.2 Gegeven zijn de lijnen l : y = 2x en m : y = 3x.. Bereken de hoek α die l en m met elkaar maken 2. Laat zien dat de beeldcirkels onder stereografische projectie van l en m elkaar ook onder een hoek α snijden. Opgave 3.2.3 Gegeven is z C en P (z) de stereografische projectie van z op de Riemannbol. Laat zien dat P (z) overgaat in P ( z ) door een draaiing van de bol over 80 om de as door en. 4 Rationale functies Een rationale, complexe functie is van de vorm waarbij z een complexe variabele is. R(z) = P (z) Q(z) = a 0 + a z + a 2 z 2 + + a n z n b 0 + b z + b 2 z 2 + + b m z m (20) Als we een startwaarde z 0 kiezen, verkrijgen we door iteratie de punten z = R(z 0 ), z 2 = R(z ) = R(R(z 0 )), z 3 = R(z 2 ) = R(R(z )) = R(R(R(z 0 ))), et cetera. Overigens zal, analoog aan de notatie bij het Verhulst-proces, voor bijvoorbeeld R(R(z)) de notatie R 2 (z) gebruikt worden. In het algemeen is z n+ = R(z n ) en gebruiken we voor de functiewaarde na n iteraties de notatie R n (z). 5

4. Fixpunten Ook bij complexe dynamische systemen is een belangrijke rol weggelegd voor fixpunten, welke we hier noteren met ζ. In een fixpunt is R(ζ) = ζ. De bij het Verhulst model gemaakte classificatie van het gedrag van fixpunten blijft van kracht. R (ζ) < R (ζ) > R (ζ) = fixpunt is stabiel fixpunt is instabiel fixpunt is indifferent De absolute waarde van de afgeleide van R in een fixpunt ( R (ζ) )noemen we (ook hier) de stabiliteitsfactor van dat fixpunt. We kunnen ons afvragen voor welke waarden z 0 (voor een zekere functie R) z n naar een fixpunt ζ convergeert. Als een waarde z dicht genoeg bij een fixpunt ζ ligt, dan is R(z) ζ = R(z) R(ζ) R (ζ) z ζ (2) Uit (2) blijkt het volgende bij de eerder gemaakte indeling: punten dicht bij een stabiel fixpunt bewegen bij elke iteratiestap dichter naar het fixpunt toe. We spreken wel van een aantrekkend fixpunt. Als z 0 voldoende dicht in de buurt van aantrekkend fixpunt ζ ligt dan zal z n ζ als n. Punten daarentegen dicht bij een instabiel fixpunt komen bij toepassen van R in eerste instantie juist verder van het fixpunt af te liggen (afstotend fixpunt), maar kunnen later in het iteratieproces in de buurt van ζ (of zelfs in ζ zelf) terecht komen. In geval van een afstotend fixpunt weten we namelijk dat R (ζ) >, zodat er een k bestaat waarvoor R (ζ) > k >. Met behulp van (2) volgt nu dat voor waarden z in de buurt van ζ R(z) ζ = R(z) R(ζ) R (ζ) z ζ > k z ζ (22) We vinden dus enerzijds dat R(z) ζ > k z ζ oftewel z n+ ζ > k z n ζ. Anderzijds houdt convergentie van z n naar ζ in dat na oneindig veel stappen n, z n+ ζ < z n ζ. (23) Dit leidt tot de conclusie dat z n alleen naar een afstotend fixpunt kan convergeren als z n = ζ vanaf zekere n. Om een uitspraak te kunnen doen over de stabiliteit van een fixpunt zagen we dat we moeten kijken naar de absolute waarde van de R (z) in dat fixpunt. Aangezien R differentieerbaar is, kunnen we R in een (eerste orde) Taylorreeks rondom steunpunt a ontwikkelen. R(z) = R(a) + R (a)(z a) + r(z, a) (24) Hierin is r(z, a) een zekere restterm; deze is klein als z dicht bij a ligt. Kiezen we nu voor a fixpunt ζ dan is R(z) = R(ζ) + R (ζ)(z ζ) + r(z, ζ) 6

zodat met z = ζ + h R(ζ + h) = ζ + R (ζ)h + r(z, ζ) waarbij h klein is. Stel nu dat bijvoorbeeld 0 fixpunt is van R. We krijgen dan R(h) = R (0)h + r(z) Uit deze laatste betrekking volgt nu dat als R (0) <, waarden in de buurt van 0 bij elke iteratiestap dichter bij 0 zullen komen te liggen en 0 derhalve aantrekkend fixpunt is. We bekijken functies in het uitgebreide complexe vlak, zodat oneindig is op te vatten als een gewoon getal. Stel nu dat fixpunt is van R. Aangezien de limiet R(z) R(α) lim z α z α ongedefinieerd is als α = kunnen we R (z) niet zonder meer gebruiken om de stabiliteitsfactor te bepalen in dit fixpunt. We kunnen echter een transformatie gebruiken die op een punt van C afbeeldt. Nemen we bijvoorbeeld U (z) = z z + dan wordt door U op afgebeeld. We definiëren vervolgens R als R (z) = U RU. (25) R U U R De Taylorreeks van R rond steunpunt a (vergelijk (24)) is zodat rond fixpunt (van R ) geldt R (z) = R (a) + R (a)(z a) + r (z, a), R ( + h) = + R ()h + r (z, a). Hieruit blijkt dat de (in)stabiliteit van fixpunt van R wordt bepaald door R (). Dit correspondeert met de (in)stabiliteit van fixpunt van R. We kunnen ons nu de vraag stellen of de keuze van U en de keuze om naar te transformeren van invloed is op dit resultaat. Stel dat we in algemenere zin een transformatie U a hebben die op a afbeeldt. We bekijken nu het verband tussen R () en R a(a). R is gedefinieerd als R = U RU, zodat R = U R U (26) 7

Analoog aan de definitie van R is R a = U a RUa. Substitueren we hierin (26), dan vinden we R a = U a RU a = U a U R U U a (27) Noemen we V = U U a dan is V = U a U en kunnen we (27) schrijven als R a = V R V (28) R U R = U RU U a V a R a = U aru a Zoals in bovenstaand diagram terug te zien is, speelt geen rol meer. Met behulp van de kettingregel bepalen we nu R a(a) in (28): R a(a) = (V ) (R V (a)) R (V (a)) V (a) = V (V R V (a)) R (V (a)) V (a) = V (a) R () V (a) = R () (29) waaruit blijkt dat de keuze van U a en de keuze om bijvoorbeeld naar te transformeren (zoals we zagen bij (25)), niet van invloed is op de bijbehorende stabiliteitsfactor! Overigens wordt hier gebruik gemaakt van de regel voor de afgeleide van een inverse functie. Stel, we hebben een functie f en een functie g, zodanig dat g de inverse functie is van f, f (x) = g(x) f(g(x)) = x. Met differentiëren aan de hand van de kettingregel volgt uit laatstgenoemde betrekking [f(g(x))] = f (g(x))g (x) = g (x) = f (g(x)) [f (x)] = f (f (x)) waarmee de overgang van (V ) in de eerste stap van (29) wordt verklaard. Voorwaarde voor het toepassen van deze regel is wel dat V differentieerbaar is in a. Hieraan wordt voldaan aangezien V een gebroken lineaire functie is die a C naar transformeert. Alle gebroken lineaire functies V a zijn (complex) differentieerbaar op C\{V ( )} zodat V (a) bestaat en volgt uit de kettingregel. 8

4.2 Julia - en Fatouverzamelingen Twee belangrijke begrippen binnen de theorie van dynamische systemen zijn de zogenaamde Julia - en Fatouverzamelingen. In een later stadium zullen we deze vaker tegenkomen. Het uitgebreide complexe vlak is bij een afbeelding R verdeeld in twee complementaire verzamelingen: de Juliaverzameling J en de Fatouverzameling F. We kiezen startwaarden z 0 en w 0. Stel dat bij elke ɛ > 0 er een δ > 0 bestaat, zó dat R n (z 0 ) R n (w 0 ) < ɛ voor alle n N en z 0 w 0 < δ, dan is z 0 F. Wordt hier niet aan voldaan dan is per definitie z 0 J. De eenvoudigste rationale functies worden gevormd door de rationale lineaire afbeeldingen, die ook onder de naam Möbiustransformaties bekend staan. Deze zullen we nu gaan bekijken. 4.3 Möbiustransformaties Möbiustransformaties zijn gedefinieerd als R(z) = az + b cz + d met ad bc 0 (30) waarbij a, b, c, d C. Eerder zagen we al dat bij inversie (z /z) lijnen en cirkels worden afgebeeld op lijnen en cirkels. Inversie is een triviale Möbiustransformatie, namelijk de Möbiustransformatie met a = d = 0 en b = c =. We zullen nu nagaan dat elke Möbiustransformatie lijnen en cirkels overvoert in lijnen en cirkels. De afbeelding z az met a C is een gelijkvormigheidstransformatie. Immers, z wordt onder deze afbeelding met a vermenigvuldigd en (linksom) over een hoek arg(a) gedraaid. Ook de afbeelding z z + b is een gelijkvormigheidstransformatie. Bij deze afbeelding wordt z getransleerd over een afstand, welke overeenstemt met vector b. We zullen zien dat een Möbiustransformatie is op te vatten als een samenstelling van bovengenoemde transformaties, in combinatie met inversie, van welke we weten dat deze lijnen en cirkels overvoert in lijnen en cirkels. We maken onderscheid tussen twee gevallen, namelijk c = 0 en c 0. Het eerste geval laat zien dat (30) overgaat in R(z) = az + b d = z a d + b d Afbeelding R bestaat hier uit de gelijkvormigheidstransformatie z z a d, gevolgd door de translatie over vector b d. Het is duidelijk dat R in dit geval cirkels en lijnen afbeeldt op cirkels en lijnen. Vervolgens kijken we naar de situatie waarbij c 0. Door de deling uit te voeren en de rest te herschrijven vinden we dat R(z) = az + b cz + d = a bc ad + c c 2 z + d c Aan de hand van de schrijfwijze van (3) kunnen we nagaan dat R kan worden samengesteld met behulp van de achtereenvolgende transformaties (3) t i v t z z + d c bc ad z+ d c 2 z+ d c c a c + bc ad c 2 z+ d c 9

In dit schema staan de letters t, i, v respectievelijk voor translatie, inversie en vermenigvuldiging. Translaties en vermenigvuldigingen zijn gelijkvormigheidstransformaties en inversie overvoert cirkels en lijnen in cirkels en lijnen. We kunnen nu concluderen dat elke Möbiustransformatie cirkels en lijnen afbeeldt op cirkels en lijnen. In de inleiding werd inversie gedefinieerd op C\{0}. Zolang we op de Riemann-bol (oftewel het uitgebreide complexe vlak) werken hoeven we geen uitzondering te maken voor het punt. We spreken af dat voor het algemene geval van een Möbiustransformatie ( ) d R c = en R( ) = lim w 0 R ( w ) = lim w 0 a + bw c + dw = a c waarmee R een bijectieve afbeelding is geworden. Voor elke z C is R (z) 0, zodat R een conforme afbeelding is. We kunnen een Möbiustransformatie ook representeren met behulp van een 2 2-matrix. We voeren daarbij meteen de conventie in dat de we de matrix normaliseren door de determinant er van gelijk aan te kiezen. De bij (30) behorende matrix is ( ) a b met ad bc =. (32) c d Merk op dat we hier andere waarden voor a, b, c en d hebben dan in (30). Deze normalisatie is geoorloofd, aangezien de matrices ( ) ( ) a b λa λb en c d λc λd dezelfde Möbiustransformatie opleveren. Ook is elke (complexe) Möbiustransformatie te normaliseren omdat voor elke a, b, c, d C er een λ C is, zodanig dat ( ) λa λb det = λ 2 (ad bc) =. λc λd 4.4 Iteratie van Möbiustransformaties Wanneer we kijken naar fixpunten van gebroken lineaire afbeeldingen, zoeken we naar oplossingen van R(z) = z We onderscheiden nu twee mogelijkheden: zodat az + b cz + d = z (33). R heeft één fixpunt. Uit (33) volgt dat cz 2 + (d a)z b = 0. Is hierin c = 0 dan is z = b/(d a). Is tevens d = a, dan heeft deze transformatie als enig fixpunt. Dit valt ook in te zien door te beseffen dat als c = 0 en d = a transformatie R van de vorm R(z) = z + b a 20

is, zodat R n (z) = z + n b a waarmee R n (z) als n voor elke waarde van z, zolang b 0. Is b hier gelijk aan 0, dan is R de triviale afbeelding R(z) = z. Indien R één fixpunt heeft en c 0, geldt dat de discriminant van gelijk moet zijn aan 0. Dit levert dat cz 2 + (d a)z b = 0 (34) (d a) 2 + 4bc = 0 waarmee (d + a) 2 = 4(ad bc). Stellen a, b, c en d complexe coëfficiënten van een genormaliseerde Möbiustransformatie voor (dus waarbij ad bc = ), dan volgt hieruit dat d + a = ±2. Als R als enig fixpunt ζ heeft, kunnen we een transformatie toepassen op R, waarmee fixpunt wordt. We verkrijgen dit met behulp van de transformatie g(z) = z ζ Vervolgens definiëren we S als S(z) = grg (z). ζ R ζ g g S S heeft als enig fixpunt. Hieruit volgt dat S een translatie is, zodat S n (z) als n. Voor S n (z) kunnen we schrijven S n (z) = ( grg ) n (z) = grg grg grg... = gr n g (z) waarmee R n (z) = g S n g(z). Aangezien S n (z) als n, geldt ook S n (g(z)) als n. De inverse van g is g (z) = z + ζ, zodat g ( ) = ζ. Daarmee krijgen we dat R n (z) = g S n g(z) ζ als n voor elke waarde van z. Voor een Möbiustransformatie met als enig fixpunt ζ convergeert dus elke waarde z naar ζ. Bij een dergelijke transformatie blijkt dat de stabiliteitsfactor van ζ steeds gelijk is aan. Immers, in (34) is de oplossing voor z (en dus fixpunt ζ) gelijk aan (d a)/(2c). Verder is R (z) = ad bc (cz + d) 2 = (cz + d) 2 (35) 2

Substitueren we nu ζ = d a 2c R (ζ) = in (35), dan vinden we (c d a 2c + d) 2 = 4 (d + a) 2 = 2. R heeft twee verschillende fixpunten. Stel dat R fixpunten 0 en heeft. Aan de hand van (33) kunnen we inzien dat b = 0 en c = 0, zodat R van de vorm R(z) = az d = kz (36) is. Hiermee is R n (z) = k n z. We kunnen nu de onderverdeling maken R n (z) 0 als k < (0 is aantrekkend fixpunt, is afstotend fixpunt) R n (z) = z als k = R n (z) als k > ( is aantrekkend fixpunt, 0 is afstotend fixpunt) Als k = dan hebben we twee mogelijkheden: (a) k is een n-de machtswortel van, waarmee R n (z) = z of (b) k is geen n-de machtswortel van. Het is na te gaan dat in dit geval de punten R n (z) dicht liggen op een cirkel met de oorsprong als middelpunt en straal z. Deze afbeelding kan nu als blauwdruk dienen voor elke Möbiustransformatie met twee verschillende fixpunten. Aan de hand van dezelfde methode als we zagen bij gebroken lineaire afbeeldingen met één fixpunt kunnen we een transformatie toepassen op een (willekeurige) R met twee verschillende (eindige) fixpunten ζ en ζ 2. We nemen g(z) = z ζ z ζ 2 (37) en definiëren S weer als S(z) = grg (z). Afbeelding S heeft nu fixpunten 0 en. ζ, ζ 2 R ζ, ζ 2 g g 0, S 0, Aangezien g zelf ook een Möbiustransformatie is, weten we dat onder g lijnen en cirkels worden afgebeeld op lijnen en cirkels. Afbeelding S is nu van de vorm (36), waarmee er drie mogelijkheden zijn: (a) R n (z) convergeert naar ζ of ζ 2 (b) R n (z) doorloopt cyclisch een eindige verzameling punten (c) R n (z) vormt een dichte deelverzameling van punten van een zekere cirkel 22

4.5 Iteratie van z z 2 Als we gaan kijken naar rationale functies van hogere graad ligt het voor de hand te beginnen bij de functie R(z) = z 2. De fixpunten van R zijn 0, en. Met behulp van de afgeleide functie, R (z) = 2z is snel na te gaan dat 0 en respectievelijk aantrekkend en afstotend zijn. Om de stabiliteit in te bepalen, maken we weer gebruik van transformatie g(z) = /z. We stellen S = grg (z). R g 0 S 0 g We kunnen S expliciet bepalen: S(z) = grg (z) = gr(z) = (g(z)) 2 = ( z )2 = z2. Differentiëren we S naar z en bepalen we de afgeleide in z = 0, dan vinden we de stabiliteitsfactor voor R in : S (0) = d dz z2 z=0 = 0. Het blijkt dat een aantrekkend fixpunt is. Nu zal z n naar gaan als z 0 > en n. Als z 0 < en n zal z n naar 0 convergeren zodat het gedrag van R interessant is als z 0 =. Waarden van z die hieraan voldoen vormen getallen op de eenheidscirkel C = {z : z = }. Getallen uit C kunnen worden geschreven als z = e iθ. Hieruit volgt dat voor getallen z C R n (z) = e 2n iθ. (38) We bekijken nu getallen op de eenheidscirkel die in de vorm ( ) 2πir z = exp 2 m (39) zijn te schrijven, waarbij m en r gehele getallen zijn. Als we (39) invullen in (38) dan krijgen we R n (z) = exp(2 n+ m πir). Stellen we k = n + m, dan is k zolang n m. We kunnen R n (z) schrijven als R n (z) = exp(2 k πir) = cos(2 k πr) + i sin(2 k πr) (40) Aangezien k in {, 2, 3,...} zit, is 2 k πr 0 (mod 2π). Hieruit volgt dat (40) gelijk is aan. Elk punt van vorm (39) zal na n iteraties in belanden. Een getal z 0 C dat niet als (39) te schrijven is kan onder R n niet convergeren. Immers, als z 0 w dan moet w een 23

fixpunt van R op C zijn, maar het enige fixpunt dat daaraan voldoet is. Aangezien een afstotend fixpunt is zal z n = voor zekere n. Dit impliceert dat z 0 van de vorm (39) moet zijn. De getallen z van vorm (39) liggen dicht in C. Ditzelfde geldt voor getallen z C die niet van deze vorm zijn. Elke boog van C bevat oneindig veel punten die uiteindelijk naar convergeren en oneindig veel punten die niet Getallen z 0 buiten de eenheidscirkel C zullen onder herhaald toepassen van R naar convergeren. Aangezien ook aantrekkend fixpunt is van R geldt hier dezelfde redenering als voor getallen binnen de eenheidscirkel. Ook getallen z > behoren tot F. We nemen nu twee arbitrair dicht bij elkaar gekozen getallen z 0 en w 0 op C. Aangezien beide op de eenheidscirkel liggen kunnen we schrijven z 0 = exp(iα) en w 0 = exp(iβ). We kunnen nu een n kiezen, zodanig dat 3 π < 2n α β 2 3π. Dit impliceert dat z2n 0 w0 2n >, waarmee we kunnen concluderen dat J = C. Deze constatering vormt een belangrijk uitgangspunt in de later te bespreken experimenten. We bekijken nu opnieuw een deelverzameling van C. Voor getallen z van de vorm ( ) 2πi z = exp 2 n geldt dat R n (z) = z. Immers, voor deze getallen volgt uit R n (z) = z dat z(z 2n ) = 0. Nulpunten zijn z = 0 (niet in C) en z 2n =. Voor z van de vorm (4) is (4) ( ) 2πi 2 n z 2n = exp 2 n = e 2πi = cos 0 + i sin 2π = (42) Daarentegen is R m (z) z als m {, 2, 3,..., n }. Hieruit volgt dat voor elk natuurlijk getal k er periodieke punten op C bestaan met een periode exact gelijk aan k. 4.6 Iteratie van z z 2 + c Als we z 0 = 0 als startwaarde kiezen bij P (z) = z 2 +c met verschillende waarden voor c, blijkt dat de rijen z 0, z, z 2, z 3,... zich zeer verschillend gedragen. Voorbeelden. P (z) = z 2 0, 0, 0, 0, P (z) = z 2 0,, 0,, P (z) = z 2 2 0, 2, 2, 2, P (z) = z 2 3 0, 3, 6, 33, We kijken nu naar hoe deze rijen zich ontwikkelen wanneer c varieert van 0 tot 3. Eerst kijken we voor welke waarden van c de functie P (z) = z 2 + c een aantrekkend fixpunt heeft. Fixpunten (afgezien van ) volgen uit de vergelijking z 2 z + c = 0, zodat voor fixpunten α en β geldt: α = 4c, β = + 4c 2 2 24

Hieruit volgt dat α + β = en αβ = c. Verder is P (α) + P (β) = 2α + 2β = 2. Stel nu dat α en β beide aantrekkend zijn, dus P (α) < en P (β) <. Dan is sowieso P (α) + P (β) 2. Het is dus niet mogelijk dat P twee aantrekkende fixpunten α en β heeft. Wèl kunnen beide fixpunten afstotend zijn. We kunnen concluderen dat hooguit één van de twee fixpunten α en β aantrekkend kan zijn, laten we aannemen α. Dan is P (α) < zodat 2α = 2 α <, dus α < 2. De waarden van c waar we naar op zoek zijn volgen uit het beeld van cirkelschijf α < 2 onder afbeelding α α α2. Immers P (α) = α 2 + c = α, zodat c = α α 2. We kunnen deze afbeelding samenstellen uit de drie afbeeldingen h(z) = z 2, g(z) = z 2 en h(z) = 4 z, waarmee f g h(z) = 4 (z 2 )2 = 4 (z2 z + 4 ) = z z2. (43) Aldus verkrijgen we de cardioïde van figuur 5. 0,6 0,4 0,2-0,6-0,4-0,2 0 0 0,2-0,2-0,4-0,6 Figuur 5: Het beeld van α < 2 onder afbeelding α α α2. Voor waarden van c binnen de cardioïde heeft P één aantrekkend fixpunt. We kijken vervolgens naar de waarden van c in P (z) waar P een aantrekkende tweebaan heeft. Daartoe moeten we kijken naar fixpunten van de tweede geïtereerde. Deze volgen uit P 2 (z) = z, dus P 2 (z) z = 0. We weten al dat α en β fixpunten zijn van P, dus zijn ze het ook van P 2. Hieruit volgt dat P (z) z deler is van P 2 (z) z. Schrijven we deze laatste veelterm uit, dan krijgen we: P 2 (z) z = (z 2 + c) 2 + c z = z 4 + 2z 2 c z + c 2 + c We zagen al dat P (z) z = z 2 z + c = (z α)(z β). Verder weten we dat P 2 (z) z = 0 vier nulpunten heeft, zodat P 2 (z) z = (z α)(z β)(z u)(z v) = (z 2 z + c)(z 2 + z + c + ). 25

Nu volgt dat (z u)(z v) = (z 2 + z + c + ), waarmee u = 2 2 3 4c, v = 2 + 2 3 4c Hieruit volgt dat u + v = en uv = + c. Aangezien we op zoek zijn naar een tweebaan moet gelden P (u) = v, P (v) = u, u v Verder eisen we dat u en v beide aantrekkende fixpunten van P 2 zijn, zodat De kettingregel zegt dat P 2 (u) <, P 2 (v) < [ P 2 (z) ] = [P (P (z))] = P (P (z)) P (z) zodat [ P 2 (u) ] = [P (P (u))] = P (P (u)) P (u) = P (v)p (u) = [ v 2 + c ] [ u 2 + c ] = 2v 2u = 4uv = 4( + c) De getallen c waarvoor P een aantrekkende tweebaan heeft, liggen binnen de schijf {c : + c < 4 }. - - 2 Figuur 6: De schijf {c : + c < 4 }. We zouden nu weer een stap verder kunnen door op zoek te gaan naar die waarden van c waarvoor P (z) een (aantrekkende) driebaan heeft, of in algemenere zin een (aantrekkende) n-baan. Probleem is echter dat er dan een polynoomvergelijking ontstaat van graad 2 n. Weliswaar is P n (z) z deelbaar door P (z) z, maar daarmee blijft bij n 3 nog altijd een polynoomvergelijking over van graad 6 of hoger. 26

4.7 Iteratie van z z + z Tot zover hebben we kennis gemaakt met rationale lineaire afbeeldingen en (eenvoudige) kwadratische afbeeldingen. Voordat we in het volgende hoofdstuk de overstap maken naar rationale kwadratische afbeeldingen in zijn algemeenheid, lichten we een bijzonder exemplaar van deze laatstgenoemde categorie er nu vast uit. De rationale afbeelding R(z) = z + z (44) is kwadratisch aangezien de hoogste graad van R(z) = z + z = z2 + z gelijk is aan 2. Deze afbeelding heeft alleen als fixpunt. Immers, uit R(z) = z volgt dat /z = 0, zodat z =. Om een uitspraak te kunnen doen over de stabiliteitsfactor in, maken we weer gebruik van een conjugatie. We definiëren g = /z en S = grg. z R z g w S w g Stabiliteit van fixpunt voor afbeelding R correspondeert nu met stabiliteit van fixpunt 0 voor afbeelding S. We krijgen S S(w) S(0) S( z (0) = lim = lim ) S(0) w 0 w z z = lim z z S( z ) = lim z z R(z) = lim z z z + z = lim z + z 2 =. Het blijkt dus dat het enige fixpunt van R indifferent is. Voor de functiewaarde R(z 0 ) van startwaarde z 0 = x 0 + iy 0 vinden we z = R(z 0 ) = z 0 + z 0 = x 0 + iy 0 + x 0 + iy 0 = x 0 + iy 0 + x 0 iy 0 x 2 0 + y2 0 = x 0 + x 0 z 0 2 + i ( y 0 y 0 z 0 2 ), 27

zodat, algemener gesteld z n+ = R(z n ) = x n + x ( n z n 2 + i y n y ) n z n 2. (45) Als nu x 0 > 0 dan blijkt uit (45) dat x 0 < x < x 2 <... < x n. Kiezen we getallen z 0 met x 0 > dan blijft dit uiteraard nog steeds geldig, maar geldt bovendien voor elke z 0 dat z 0 > en dus z 0 2 >. Dit zorgt er voor dat als y n > 0 y n > y n y n z n 2 = y n+. Voor getallen z 0 = x 0 + iy 0 met x 0 > zal R n (z 0 ), maar met een imaginair deel dat naar 0 convergeert. We zien dat z n naar oneindig convergeert in de horizontale strook {x + iy : x >, y < y 0 }. Bekijken we weer een geconjugeerde functie S van R met S = grg en g(z) = /z, dan wordt de lijn R(z) = onder g afgebeeld op een cirkel met middelpunt 2 en straal 2. Getallen z 0 = x 0 + iy 0 met definitiegebied {z C : R(z) > } worden onder g getransformeerd naar punten binnen deze cirkel, zodat het gedrag van R op het genoemde definitiegebied correspondeert met het gedrag van S ten aanzien van de punten {z C : z 2 < 2 }. g 0 0 2 Figuur 7: Definitiegebied van R en corresponderend definitiegebied van S. 4.8 Opgaven Opgave 4.8. Gegeven de Möbiustransformatie R(z) = az+b cz+d. Toon aan dat de inverse van R wordt gegeven door R (z) = dz b cz + a met ad bc 0. 2. Laat zien dat R conform is. Maak gebruik van de definitie van conformiteit. 5 Kwadratische rationale functies In het vorige hoofdstuk werden de rationale functies geïntroduceerd. Dit onderzoek concentreert zich op de kwadratische rationale functies; functies (20), waarbij deg(r) = max{deg(p ), deg(q)} = 2. 28

5. Classificatie We bekijken de fixpunten van R. Deze volgen uit P (ζ) = ζ zodat P (ζ) ζq(ζ) = 0 Q(ζ) Stellen we H(ζ) = P (ζ) ζq(ζ), dan kunnen we voor de graden van P, Q en H het volgende overzichtje maken. deg P Q H 2 0 2 2 2 2 2 0 0 2 3 2 3 2 2 3 In het eerste geval, deg(p ) = 2 en deg(q) = 0, hebben we te maken met een kwadratisch polynoom, dat we in het vorige hoofdstuk al zijn tegen gekomen. Bekijken we het geval deg(p ) = 2, deg(q) =, dan volgen de fixpunten ζ uit a 0 + a ζ + a 2 ζ 2 b 0 + b ζ = ζ. (46) Dit geeft een kwadratische vergelijking welke als discriminant D = (a b 0 ) 2 4(a 2 b )a 0 (47) heeft. Als nu geldt dat D = 0, dan heeft R precies één fixpunt. Nemen we a 2 b = 0, dan moet a b 0 = 0 en is enig fixpunt van R. Een voorbeeld hiervan zijn we tegen gekomen bij de afbeelding z z + /z. We zien dat in de gevallen dat deg(q) = 2, de vergelijking H = 0 van de derde graad wordt. Nu zijn de mogelijkheden:. er is een drievoudig fixpunt 2. er is één dubbel fixpunt en één enkel fixpunt 3. er zijn drie verschillende fixpunten Als we precies één fixpunt hebben, is de afbeelding (een transformatie van de afbeelding) z z + z. Bij precies twee fixpunten is het prototype van de afbeelding de afbeelding z z + z + a. In dit onderzoek hebben we ons met name gericht op drie verschillende fixpunten. 29

6 Kwadratische rationale functies met drie verschillende fixpunten In dit onderzoek hebben we ons met name geconcentreerd op het geval dat we een kwadratische rationale functie hebben met drie verschillende fixpunten. We kunnen een transformatie toepassen, zodanig dat 0, en fixpunten worden. De eis dat R(0) = 0 geeft Nu moet R( ) =, zodat R(z) = R(z) = p 2z 2 + p z + p 0 q 2 z 2 + q z + q 0 = p 0 q 0 = 0 p 0 = 0 Als laatste moet R() gelijk zijn aan, waarmee p 2z 2 + p z q 2 z 2 + q z + q 0 = p 2 q 2 = q 2 = 0 p 2 0 R(z) = p 2z 2 + p z q z + q 0 = p 2 + p q + q 0 = p 2 + p = q + q 0 (48) Nu kunnen we teller en noemer delen door p 2 en daarmee kunnen we een normalisatie voor R vinden. R(z) = P (z) Q(z) = p 2z 2 + p z p p 2 z = z2 + q q z + q 0 p 2 z + q = z 0 p 2 z + b cz + d (49) met b = p p 2, c = q p 2 en d = q 0 p 2. Met behulp van (48) valt nu in te zien dat waarmee c + d = q p 2 + q 0 p 2 = q 0 + q p 2 = p + p 2 p 2 = p p 2 + = b +, b = c + d. (50) Zoals we al eerder zagen wordt de stabiliteit van fixpunten bepaald door de afgeleide functie van R. Voor een fixpunt ζ onderscheiden we drie mogelijkheden.. R (ζ) > fixpunt ζ is afstotend 2. R (ζ) < fixpunt ζ is aantrekkend 3. R (ζ) = fixpunt ζ is indifferent Ten behoeve van de leesbaarheid voeren we drie parameters in, te weten p, q en r, welke de waarden zijn van de afgeleide functie in de respectievelijke fixpunten 0, en. De absolute waarden van p, q en r zijn de stabiliteitsfactoren. R (z) = (cz + d)(2z + c + d ) c(z2 + cz + dz z) (cz + d) 2 (5) 30

Hieruit vallen de volgende relaties af te leiden: p = c + d d (52) q = d + c + d (53) r = c (54) De waarden van p en q volgen direct door invulling van respectievelijk 0 en in (5). De berekening van de waarde van r verdient wat extra uitleg. Om een uitspraak te kunnen doen over de afgeleide van R in maken we weer gebruik van een conjugatie S = grg met g(z) = /z. R g 0 S 0 g We bepalen vervolgens expliciet het voorschrift van S. S(z) = = = R ( ) = z ( c ) z + d ( z c z ) + d 2 + (c + d ) z z 2 + (c + d )z cz + dz 2 + (c + d )z. Met w = z krijgen we lim z R (z) = lim S S(w) S(0) (w) = lim w 0 w 0 w 0 = lim z = lim z S ( z ) 0 z 0 ) 2 c z + d ( z + (c + d ) z c + d z = lim z + (c + d ) z = c. Tussen de parameters p, q en r blijkt nu het volgende verband te bestaan: z pqr = p + q + r 2 (55) Relatie (55) maakt duidelijk dat twee van de parameters p, q en r de derde vastleggen. Omgekeerd geldt ook dat de functie volledig bepaald is op het moment dat de stabiliteitsfactoren 3

in de drie fixpunten vastliggen. Om een beeld te krijgen van kwadratische rationale functies met drie verschillende fixpunten, richten we ons op de parameters p, q en r. Het ligt voor de hand te kijken wat er gebeurt als de parameters alle drie gelijk zijn aan elkaar. Als p = q = r gaat (55) over in en daarmee p 3 = 3p 2 (56) (p ) 2 (p + 2) = 0. Blijkbaar hebben we in dit geval te maken met drie reële nulpunten, waarvan er één multipliciteit 2 heeft. In het geval dat p = q = r = zijn alle drie de fixpunten indifferent. In het andere geval zijn 0, en allemaal afstotende fixpunten (p = q = r = 2). De vraag rijst nu of het ook mogelijk is om drie aantrekkende fixpunten te krijgen. Zou dit mogelijk zijn, dan kunnen de parameters p, q en r in ieder geval niet allemaal gelijk zijn, omdat ze anders oplossing hadden moeten zijn van (56). Verderop zal blijken dat het niet mogelijk is dat de absolute waarden van p, q en r gelijktijdig kleiner zijn dan. We kunnen p, q en r beschouwen als de nulpunten van de kubische vergelijking (X p)(x r)(x q) = 0 (57) Combinatie met (55) levert wanneer we A = p + q + r en B = pq + qr + pr nemen X 3 AX 2 + BX (A 2) = 0 (58) Wanneer we ons beperken tot reële waarden voor A en B, kunnen we kijken in het A, B-vlak. Dit laat onverlet dat de waarden voor p, q en r evengoed complex kunnen zijn. We zullen zien dat in het reële A, B-vlak de omslag naar een ander aantal aantrekkende punten verloopt via rechte lijnen. In het complexe vlak vormen de getallen waarvoor geldt z = de eenheidscirkel. Als het aantal aantrekkende punten (en daarmee het aantal afstotende punten) wijzigt, verandert de absolute waarde van één van de parameters p, q en r van kleiner dan in groter dan of omgekeerd. Op dat moment heeft (57) dus een oplossing, waarvan de absolute waarde gelijk is aan. Getallen z met z = zijn te parametriseren door z = e iφ. Substitutie van X = e iφ in (58) en deling door e iφ geeft e 2iφ Ae iφ + B (A 2)e iφ = 0 cos 2φ + i sin 2φ A(cos φ + i sin φ) + B (A 2)(cos( φ) + i sin( φ)) = 0 cos 2φ + i sin 2φ A cos φ Ai sin φ + B A cos φ + Ai sin φ + 2 cos φ 2i sin φ = 0 (59) Aangezien we ons beperken tot reële waarden voor A en B moet in deze vergelijking het imaginaire deel gelijk zijn aan 0. Deze eis levert dat sin 2φ A sin φ + A sin φ 2 sin φ = 0 2 sin φ cos φ 2 sin φ = 0 2 sin φ(cos φ ) = 0 32

De waarden die φ kan aannemen zijn hier dus 0 en π (of veelvouden hiervan). Het reële deel van vergelijking (59) moet eveneens uitkomen op 0, zodat cos 2φ A cos φ A cos φ + B + 2 cos φ = 0 Wanneer we hierin de gevonden waarden van φ verwerken, vinden we B = 2A 3 of B = 2A + Figuur 8: Aantal aantrekkers bij reële A en B. In figuur 8 is te zien hoe de omslag plaatsvindt van het aantal aantrekkende fixpunten (het aantal afstotende fixpunten verandert dan natuurlijk ook). Voor de goede orde herhalen we dat hier slechts reële waarden van A en B te zien zijn. Er is een rooster met reële punten (A, B) gekozen, waarna met behulp van de computer elk punt (A, B) van dit rooster wordt ingevuld in (58). Bij elk punt (A, B) hoort een oplossingsverzameling {p, q, r}. Er wordt vervolgens geteld hoeveel van de drie oplossingen absolute waarden hebben, groter dan. Overeenkomstig hiermee wordt het bewuste punt gekleurd. We zien aan de linkerkant een gebied met coördinaten (A, B) die corresponderen met een oplossingsverzameling {p, q, r}, waarvan twee elementen een absolute waarde groter dan hebben. Elk punt komt hier overeen met een functie R waarbij alle drie de verschillende fixpunten afstotend zijn. De donkere gebieden aan de bovenkant en onderkant horen bij functies die twee afstotende fixpunten en één aantrekkend fixpunt hebben. Aan de rechterkant zit een gebied met punten (A, B) die horen bij functies met één afstotend fixpunt en twee aantrekkende. Uit dit experiment lijkt 33

naar voren te komen dat er geen gebied is waar alle fixpunten aantrekkend zijn. In de volgende paragraaf komen we hier op terug. We hebben nu gekeken naar het reële A, B-vlak. Een voor de hand liggende volgende stap is te gaan kijken naar zuiver imaginaire waarden van A en B. We kunnen experimenteel vaststellen dat in een vergelijkbaar rooster met punten (A, B), maar nu met A = i n en B = i m, waarbij n, m R, er slechts twee gebieden te onderscheiden zijn. Figuur 9: Aantal aantrekkers voor zuiver imaginaire A en B. In figuur 9 zien we een diagonale strook waarin punten (A, B), waarbij zowel A als B zuiver imaginair zijn, corresponderen met functies R met drie afstotende fixpunten. Buiten deze baan bepalen punten (A, B) functies met twee afstotende fixpunten en één aantrekkend fixpunt. De lijnen die de gebieden scheiden kunnen we weer achterhalen aan de hand van dezelfde methode die we gebruikten bij het reële A, B-vlak. Als we dit uitvoeren blijkt dat B = 0, 73205...A ±, 7995... waarmee de grensovergangen in de figuur zijn verklaard. We krijgen op deze wijze maar een heel beperkt beeld van de samenhang van de parameters p, q en r. We zullen op een andere manier proberen hier meer inzicht in te krijgen. 6. Maximaal twee aantrekkende fixpunten Het blijkt dat er geen kwadratische rationale functies bestaan met drie aantrekkende fixpunten. We kijken naar (55) en herleiden 34

zodat waarmee r = p + q 2 pq p + q 2 (pq ) r = pq = pq p q + pq (p )(q ) = (p )(q ) + (p ) + (q ) r We vinden nu de betrekking (p )(q ) + (p ) + (q ) = (p )(q ) ( = + q + ) p Kiezen we nu drie aantrekkende fixpunten dan zijn p + q + = (60) r p <, q < en r < Elk van de getallen p, q en r moet dus binnen de eenheidscirkel liggen. Wanneer we kijken naar de afbeelding h van de getallen in dit gebied, waarbij h : z z, dan kunnen we deze opvatten als een samengestelde afbeelding h = f g, met g(z) = z en f(z) = z. g f 0-2 0 2 0 Figuur 0: Beeld van z < onder h : z z. Figuur 0 maakt duidelijk dat wanneer z <, voor h(z) = z moet gelden dat R(h) < 2. We nemen nu drie getallen p, q en r en stellen dat van elk de absolute waarde kleiner dan is. Nu is R(h(p)) < 2, R(h(q)) < 2 en R(h(r)) < 2. Hieruit volgt dat R(h(p)) + R(h(q)) + R(h(r)) < 2 35

Dit is echter strijdig met (60). We concluderen dat er geen kwadratische rationale functies bestaan met drie aantrekkende fixpunten. We gaan ons nu voornamelijk richten op reële stabiliteitsfactoren, dus p, q, r R. 7 Drie fixpunten waarvan twee met gelijke stabiliteitsfactor 7. Twee aantrekkers met gelijke stabiliteitsfactor en één afstoter We kijken naar het gedrag van rationale functies wanneer twee van de drie fixpunten aantrekkend zijn en dezelfde stabiliteitsfactor hebben. Als p < en q < dan volgt hieruit dat moet gelden dat r >. Fixpunten 0 en hebben een gelijke stabiliteitsfactor als p = q; ook in deze situatie is dus afstotend (we zagen al in (55) dat de keuze van twee van de parameters p, q en r de derde vastlegt). Figuur : Aantrekkingsgebieden van 0 en met de grens R(z) = 2. In figuur is een raster van punten gekozen rondom O. In dit geval is p = q = 2. De stabiliteitsfactor van is daarmee gelijk aan 3, wat een afstotend fixpunt maakt. Van elk punt in het raster is na 000 iteratiestappen bekeken of de functiewaarde convergeert. In de figuur is duidelijk te zien dat de getallen die door 0 en door worden aangetrokken worden verdeeld door de lijn R(z) = 2. Deze lijn lijkt te deformeren als p q, zoals te zien is in figuur 2. Hier is hetzelfde raster gekozen, maar nu met p = 5 en q = 2 (de stabiliteitsfactor van is in deze situatie gelijk aan 4 9 ). Een handige schrijfwijze voor R(z) is R(z) = z z( p) + p( r) rz( p) + ( r) (6) 36

Figuur 2: Deformatie van de grens R(z) = 2. Nemen we p = q dan volgt uit (55) dat r = 2 p + (62) waarmee (6) overgaat in R(z) = z z(p + ) p 2z (63) In (63) zien we dat z = 2 een pool van R is, dus R( 2 ) =. Aangezien 2 onder R op wordt afgebeeld, moet 2 J. In figuur ligt 2 op de grens tussen de aantrekkingsgebieden van 0 en. Voor nader onderzoek blijkt het nuttig om niet met R zoals in (63) te werken, maar met een geconjugeerde transformatie. In (63) heeft R aantrekkende fixpunten 0 en en afstotend fixpunt. Door f : z z z. (64) wordt 0 op zijn plaats gelaten worden de rollen van de fixpunten en verwisseld. Immers: f(0) = 0, f() = en f( ) =. Passen we f R toe, dan zijn 0 en aantrekkende fixpunten en is een afstotend fixpunt. We weten inmiddels dat een Möbiustransformatie lijnen en cirkels afbeeldt op lijnen en cirkels. De grens in figuur wordt door f afgebeeld op de eenheidscirkel. Overigens weten we ook dat f uniek bepaald is, aangezien bij drie punten, elk met bijbehorend beeld, slechts één Möbiustransformatie hoort ([Ahl66]). 37

Kiezen we nu p = r, dan volgt uit (6) z( p) + p( r) R(z) = z rz( p) + ( r) z( p) + p( p) = z pz( p) + ( p) z + p = z pz + We hebben nu een afbeelding die voor reële p de eenheidscirkel in zichzelf overvoert. Immers wanneer z op de eenheidscirkel ligt, dan geldt z = e iφ. Substitueren we dit samen met α = /p in vergelijking (65) dan levert dit als afbeelding Merk op dat als p R ook α R. (65) e iφ e iφ + p pe iφ + = αeiφ +. (66) + αe iφ Klein zijsprongetje: afbeelding (66) beeldt de eenheidscirkel niet op zichzelf af als α C\R. Om een afbeelding te krijgen waarbij voor alle α C de eenheidscirkel naar zichzelf wordt afgebeeld moeten we de afbeelding wijzien in Aangezien αe iφ = αe iφ, zodat αe iφ +. (67) + αe iφ αe iφ + = + αe iφ waarmee R(z) = voor complexe waarden van α. Overigens is bij deze afbeelding R het getal geen fixpunt meer. We gaan terug naar de variant met p = r met een absolute waarde kleiner dan en p, q, r R. In (65) zagen we al dat de eenheidscirkel behouden wordt. Kijkend naar getallen binnen de eenheidscirkel vinden we dat deze allemaal worden aangetrokken door 0. Getallen binnen de eenheidscirkel zijn hier dus elementen van de Fatouverzameling F. Kijken we naar de getallen buiten de eenheidscirkel ( z > 0), dan zien we dat deze getallen worden aangetrokken door. Ook deze getallen behoren derhalve tot F. De absolute waarden van p en r zijn tenslotte de stabiliteitsfactoren in respectievelijk 0 en. Reële p en r met absolute waarden kleiner dan maken dat de stabiliteitsfactor van fixpunt een absolute waarde groter dan heeft. Kortom, is een afstotend fixpunt. Startwaarden z 0 op de eenheidscirkel zullen onder R ergens anders op de eenheidscirkel terecht komen. Op een manier, analoog aan de redenering bij de afbeelding z z 2, kunnen we concluderen dat de eenheidscirkel de Juliaverzameling vormt van deze categorie rationale functies. 7.2 Twee aantrekkers met verschillende stabiliteitsfactor en één afstoter We gaan nu experimenteel op zoek gaan naar de Juliaverzameling J, in het bijzonder voor p r. Daarvoor bekijken we eerst een fundamentele eigenschap van J. We noemen de rij 38

z 0, R(z 0 ), R 2 (z 0 ), R 3 (z 0 ),... de voorwaartse baan van z 0. Dit noteren we met O + (z 0 ) ( O van het Engelse woord orbit ). Op analoge wijze definiëren we de achterwaartse baan O (z 0 ) van z 0 als de verzameling punten waarvoor geldt O (z 0 ) = {w C n N : R n (w) = z 0 } (68) Er is een stelling die zegt dat als z J dan is J de afsluiting van O (z) ([Bea9]). Dit geeft een uitgangspunt om te bepalen welke punten tot de Juliaverzameling behoren. Het enige wat hiervoor nodig is, is een startwaarde waarvan zeker is dat deze element is van J. Is van een (rationale) functie een fixpunt ζ afstotend, dan is ζ J. Als d = deg(r) worden er bij elke recursieve stap bij elk beeld in totaal d voorgangers gevonden. Na n stappen zijn dit d n inverse beelden. In ons geval hebben we te maken met kwadratische functies zodat bij elk beeld twee inverse beelden horen. Figuur 3: Naarmate p en r dichter bij liggen, wordt het gat rond groter We zijn terug gaan zoeken naar waarden van J door te starten met het bepalen van de oplossing van R(z) =. Zoals gezegd levert dit bij kwadratische R twee oplossingen, laten we zeggen z 39

en z 2. Het computerprogramma koos vervolgens één van de oplossingen, bijvoorbeeld z 2. In de tweede stap werden de oplossingen bepaald van R(z) = z 2. Dit geeft weer twee oplossingen, enzovoorts. Door de computer 000 iteratiestappen te laten nemen krijgen we een stuk van J te zien. Aangezien we weten dat J in het geval dat p = r < de eenheidscirkel is, hebben we een goeie testcase om mee te starten. We zien echter dat er een gat ontstaat rond, zodra p en q in de buurt van komen te liggen. De grootte van dit gat neemt toe naarmate de absolute waarden van genoemde parameters dichter en dichter de waarde naderen, zoals te zien is in figuur 3. We zien hier steeds een deel van J voor een kwadratische afbeelding R met absolute waarden voor p en r van achtereenvolgens 0, ; 0, 5; 0, 8 en 0, 9. Om een idee te krijgen van de Juliaverzameling op het moment dat p q en deze waarden in de buurt van liggen is de beschreven methode dus niet al te robuust. Om het gat rond te vullen werd een aantal (00) punten uit de geproduceerde lijst random geselecteerd. Vervolgens werd van elk van de geselecteerde punten zes stappen terug naar voorgangers gezocht. Figuur 4: Deformatie van J. Vaste waarde voor p (0,9), r is respectievelijk 0,9;0,8;0,7 en 0,6. 40

Experimenteel hebben we kunnen vaststellen dat de Juliaverzameling deformeert wanneer p r. Deze deformatie is groter naarmate p r toeneemt. In figuur 4 zien we een deel van J voor drietal (p, q, r) van achtereenvolgens (0, 9;, 0526... ; 0, 9), (0, 9;, 074... ; 0, 8), (0, 9;, 080... ; 0, 7) en (0, 6;, 0869... ; 0, 9). Het lijkt er sterk op dat topologisch gezien in deze gevallen de Juliaverzameling niet verandert. 8 En verder... Vele vragen zijn nog onbeantwoord. We eindigden de vorige paragraaf met het vermoeden dat topologisch gezien J een cirkel blijft. Eén van de vragen is of dit valt te bewijzen. Bij de introductie van de parameters p, q en r stelden we vast dat het lastig is de complete structuur te overzien. Ter afsluiting illustreren we dit door een (impliciete) plot van pqr = p + q + r 2 te tonen waarbij p, q en r slechts reële waarden aan kunnen nemen (figuur 5). Figuur 5: Plot van pqr = p + q + r 2 4