Complex houdt dan weer in dat we op het complexe vlak werken, met complexe getallen.

Transcriptie

1 The Fractal Project Inleiding: De opzet van dit project is het onderzoeken van de eigenschappen van de mandelbrot-fractal, meer bepaald de eigenschappen van de bollen die aan de buitenkant ervan zitten. Voordat we ons daarop kunnen richten, moeten enkele basisbegrippen verduidelijkt worden. Ten eerste bijvoorbeeld: wat zijn fractalen en is de Mandelbrot-fractal eigenlijk? Over fractals: enkele basisbegrippen Een fractal is een meetkundige figuur die zelfgelijkend is. Ze is namelijk opgebouwd uit allemaal delen die zichzelf herhalen en gelijkvormig zijn met de figuur die ze uiteindelijk samenstellen. Ze hebben een oneindige hoeveelheid details, telkens als je gedetailleerder gaat kijken, komen weer dezelfde vormen terug met een even grote hoeveelheid aan details. Fractalen kunnen zeer onregelmatig van structuur zijn. Fractalen worden bijvoorbeeld gevormd door complexe iteratie toe te passen. Iteratie houdt in dat we een vergelijking hebben en dat het resultaat van deze vergelijking telkens weer opnieuw in de vergelijking ingevuld wordt, zoals in deze formule te zien: Complex houdt dan weer in dat we op het complexe vlak werken, met complexe getallen. De vergelijking waarop wij deze iteratie gaan toepassen en welke voor ons belangrijk is, is de volgende: In het algemeen geeft iteratie met de functie voor elk complex getal z een baan: Deze baan heeft twee mogelijkheden: De baan is onbegrensd, beter gezegd, bij iteratie zal het punt z naar oneindig gaan. Met iedere iteratie verplaatst het zich verder en verder in het vlak zonder ergens naar toe te gaan. De baan is begrensd, anders gezegd gaat het punt bij iteratie steeds in een bepaald gebied blijven. Bij elke nieuwe iteratie zullen deze punten verder aangetrokken worden tot één bepaald punt. Dit punt wordt de attractor genoemd.

2 De verzameling van complexe getallen die voldoen aan deze tweede mogelijkheid vormen een verzameling. Deze verzameling is de uitgebreide Julia-verzameling van. De Julia-verzameling is dan de rand van de uitgebreide Juliaverzameling, anders gezegd is deze verzameling de grens tussen de punten die aan de eerste mogelijkheid en de punten die aan de tweede mogelijkheid voldoen. Een voorbeeld van een Juliaverzameling staat hier rechts op de tekening: Er zijn twee mogelijkheden voor een Julia-verzameling: De verzameling is een samenhangend geheel, een aaneensluitende figuur. In de verzameling zijn er geen punten die met elkaar in verbinding staan, alle punten liggen verspreid in het vlak. Om nu te weten wanneer de Julia-verzameling een aaneensluitende figuur vormt bestaat er een andere verzameling, de Mandelbrot-verzameling. Je zou de Mandelbrot-verzameling kunnen zien als een soort van kaart om mooie Julia-verzamelingen te vinden. Deze is namelijk de verzameling van alle punten die niet weglopen naar oneindig en dus een samenhangende (oftewel convergente) Julia verzameling geven voor. Alle punten binnen en op de rand van de Mandelbrot-Fractal geven dus een samenhangende Julia verzameling wanneer ze worden ingevuld in de vergelijking. De punten daarbuiten niet. Of anders gezegd bestaat de Mandelbrot-verzameling uit de c-waarden waarvoor de baan van z begrensd is, waarvoor de bijbehorende Julia-verzameling samenhangend is.

3 Over de Cardioide Het meest opvallende deel van de Mandelbrot-fractal is het hartvormige middendeel. Een vorm zoals deze noemen we een cardioide. Voor de Mandelbrot-fractal is dit het gebied waarin een punt op zichzelf wordt afgebeeld tijdens de iteratie: het heeft een 1-cyclus, periodiciteit 1. Hier hebben we dus te maken met zogenaamde dekpunten. Een dekpunt van een functie is een punt waar de functie de rechte y = x snijdt, een punt waar de functiewaarde gelijk is aan de invoerwaarde en de invoerwaarde dus op zichzelf wordt afgebeeld. We kunnen complexe functies, evenals reële functies benaderen met volgende Taylor-veelterm: Een dekpunt is stabiel (het loopt niet weg naar oneindig) als de absolute waarde van de afgeleide in dat punt kleiner is dan 1. Dit klopt ook voor complexe functies, maar dan wordt de absolute waarde vervangen door de modulus van het complexe getal. De dekpunten van de complexe functie zijn als volgt te vinden: We passen de discriminant-methode toe om de nulpunten te vinden: De afgeleide is gelijk aan, dit volgt uit de rekenregels voor afgeleiden. We kunnen dan eens kijken wat de waarden zijn wanneer we en invoeren. Het eerste punt kan nooit stabiel zijn, want dat is nooit kleiner dan 1. Enkel dekpunt zijn. kan dus een stabiel

4 Voor elk complex getal geeft de bovenstaande functie een waarde die de afgeleide is van in het dekpunt. We noemen deze functie m(c) de multiplier van. Zolang m(c) binnen de eenheidscirkel ligt, is het dekpunt stabiel. We zagen dat onze dekpuntvergelijking twee complexe wortels heeft. Wanneer we deze optellen, bekomen we 1 Het midden van het lijnstuk tussen de beide wortels is dus het punt (½ ; 0). We zouden uit dit en uit de vorige berekeningen kunnen afleiden dat het gebied van de Mandelbrotfractal met 1-cyclus de vorm heeft van een cirkel met middelpunt 0 en straal. Dit is namelijk het hele gebied in het complexe vlak waarvoor de modulus kleiner is dan. Hierboven vonden we dat de waarde aanleiding gaf tot stabiliteit. Op de rand van de Mandelbrot-fractal geldt dus:. Aangezien evengoed een complex getal is, kunnen we evengoed zeggen: Wanneer we dit substitueren in verkrijgen we het volgende: Voor waarden van bekende cardioide. tussen 0 en 2 krijgen we niet de eerder voorspelde cirkel te zien, maar de

5 Binnen de cardioide kunnen we twee speciale punten markeren: één punt, dat we het centrum zullen noemen, is het punt waarop de multiplier m(c) gelijk is aan 0, en een ander, dat we het wortelpunt zullen noemen, is het punt waarop de multiplier 1 is. Met behulp van de multiplier kan men een ander nieuw begrip definiëren: de interne hoek binnen de cardioide. Waarom we expliciet binnen de cardioide zeggen, wordt later nog duidelijk. De interne hoek van een punt c op de buitenrand van de cardioide is gelijk aan de hoek die rond de eenheidscirkel wordt gemaakt door de waarde van de multiplier m(c) in tegenwijzerzin. Een tekening verduidelijkt dit. In deze tekening zijn het centrum en het wortelpunt respectievelijk het zwarte en het rode bolletje. Hieronder vind je een tabel met de interne hoeken die bij de verschillende kleuren horen. Kleur bolletje Interne hoek (fractie van 2 ) rood 0 Wit 1/5 Donkerblauw 1/4 Geel 1/3 Lichtblauw 2/5 Groen 1/2 Deze interne hoek geven we ook wel weer als of. Men noemt dit dan het rotatiegetal. De interne hoek in radialen is dan.

6 Periodiciteit n: de bollen van de Mandelbrot-fractal We hebben de cardioide van dichterbij bekeken, wat in feite niets anders is dan het gebied van de Mandelbrot-fractal waar een punt een 1-cyclus aflegt. Maar de cardioide is niet het enige gebied van de Mandelbrot-fractal. Aan de buitenkant ervan zitten verschillende bolvormige decoraties. Deze bollen hebben een andere periodiciteit, een andere cyclus, dan de cardioide. We kunnen voor alle cycli uitrekenen welk gebied van de Mandelbrot-fractal erbij hoort, maar dat is tijdrovend en ingewikkeld. Eenvoudiger zou zijn dat er een algemene regel zou zijn, waarmee we de verschillende bollen en hun cyclus kunnen vinden. Benoit Mandelbrot had een vermoeden van een dergelijke regel. Hij dacht dat de waarde van samenhing met de straal van een bol volgens de volgende formule. Wanneer we de bollen echter aan een nauwkeurigere observatie onderwerpen, zien we dat dit niet mogelijk is: de linkerbol met 5-cyclus is namelijk groter dan de rechterbol met 5-cyclus. Toch moeten we het idee van een handige formule niet afschrijven. Om het vermoeden van Mandelbrot te nuanceren, moeten we beroep doen op enkele eerder gedefinieerde begrippen. Ten eerste moeten we eens kijken naar wat we bedoelen met de straal van een Mandelbrot bol. Zo een bol is namelijk zelden een perfecte cirkel. Net als binnen de cardioide, zien we in de bollen ook een centrum en een wortelpunt. Het wortelpunt is het punt waarmee de bol vastzit aan de cardioide, en waar de multiplier gelijk is aan 1. Het centrum is het punt waar de multiplier gelijk is aan 0. Als straal nemen we de afstand tussen deze twee punten. Een ander begrip waar we op terugkomen, is de interne hoek. Daarnet hadden we het expliciet over de interne hoek binnen de cardioide, omdat deze op een andere manier wordt bepaald dan de interne hoek van een mandelbrot bol. De interne hoek is hier gelijk aan de hoek tussen de straal en de normaal, de rechte loodrecht op de raaklijn aan het wortelpunt.

7 De juiste formule voor het verband tussen de straal en de waarde van n, gebruik makende van het begrip interne hoek is dan: is dan opnieuw het rotatiegetal. Verderop zullen we nog manieren zien om dit rotatiegetal uit de mandelbrot-fractal en uit de bijbehorende Juliaverzamelingen te halen. De juistheid van deze formule werd in 1984 bewezen door Guckenheimer en McGehee. Bollen aan bollen: een klein extraatje De periodiciteit van de verschillende gebieden van de Mandelbrot-fractal is nauw met elkaar verbonden. Om de periodiciteit van de bollen die vastzitten aan de cardioide te kennen, vermenigvuldigen we de hoek waaronder ze te vinden zijn aan de cardioide (de interne hoek) met de periodiciteit van de cardioide, in dit geval 1. Ook voor de kleinere bollen, die aan de primaire decoraties vastzitten, en bollen die daar aan vastzitten, et cetera, geldt hetzelfde: de noemer van de hoek waaronder de nieuwe bol vastzit aan de oude, vermenigvuldigd met het periodecijfer van de oude bol, geeft het periodecijfer van de nieuwe bol. Met de noemer van de hoek bedoelen we het cijfer n in interne hoek, dat gewoonlijk zelf het periodecijfer is, maar dat in dit geval vermenigvuldigd moet worden met het oude periodecijfer. Zo kunnen we tot in het oneindige de waarde van n voor steeds kleinere mandelbrotbollen bepalen

8 Waar vinden we de bollen: De Formule van Euler et cetera Er zijn oneindig veel verschillende mandelbrotbollen, dat is namelijk een eigenschap van fractals. Oneindig veel details. Voor ieder rationaal getal dat niet verder vereenvoudigd kan worden, is er een mandelbrotbol. In de volgende formule wordt dit getal weergegeven als. Het punt c waarmee een bol vastzit aan een andere bol of aan de cardioide, wordt weergegeven door de volgende formule. Deze formule roept opnieuw vragen op, want houdt de uitdrukking in? is een wiskundige constante, het grondtal van de natuurlijke logaritmen. Wat de betekenis van e precies is in die context, is niet zo belangrijk voor ons. Interessante is dat je met behulp van e complexe getallen kan definiëren. We doen dit aan de hand van de Formule van Euler. Wanneer we ons dan de interne hoeken weer voor de geest halen, die gelijk waren aan weten we meteen waarom de uitdrukking er zo uitziet. Door deze hoek in te vullen in de formule van Euler, verkrijgen we een complex getal dat we in de eerste formule kunnen ingeven. Even herhalen: We kunnen in de bollen en in de cardioide interne hoeken bepalen. Deze interne hoeken bepalen mee de grootte van de bol in functie van het periodecijfer n. De plaats waar een bol vastzit aan het oppervlak van de fractal kunnen we eveneens met een formule met behulp van interne hoeken bepalen. We weten nu al van alles over de bouw van ons studieobject, maar nog niet zoveel over de implicaties die de iteratie van het punt nu precies heeft. Toch is ook hierover het een en het ander te vertellen., dan

9 Konijnen en het rotatiegetal Helemaal in het begin van onze tekst hadden we het over de Julia-verzamelingen, en over hoe de mandelbrot-fractal fungeert als een kaart om convergente Julia-verzamelingen te vinden. Voor ieder punt van de mandelbrot-fractal vinden we een Julia-verzameling. Nu kunnen we ons afvragen of er ook een verband bestaat tussen de Julia-verzamelingen en de mandelbrot-bollen. We gebruiken een fractalgenerator, waarmee we door te klikken op een bepaalde plaats in de mandelbrot-fractal meteen de bijbehorende Juliaverzameling verkrijgen. Zo kunnen we enkele Juliaverzamelingen vergelijken. Hieronder zijn een paar voorbeelden te zien.

10 Laten we nu eens dieper ingaan op het verband tussen de Mandelbrot-verzameling, meer bepaald de bollen die hiervoor zo typisch zijn, en de eigenschappen van de bijbehorende Julia-verzameling. Hiervoor volgt eerst nog een beetje informatie over de Mandelbrot-verzameling. Cardioide, primaire bollen De grote hartvormige bol in het midden van de Mandelbrotverzameling is zoals eerder gezegd de cardioide, welke nu niet zo van belang is. Laten we even wat dieper ingaan op de uitstulpingen aan de rand van de cardioide. Alle uitstulpingen die direct aan de cardioide vastzitten noemt men primaire bollen, deze bollen hebben enkele bijzondere eigenschappen. Indien een punt c in zo n primaire bol ligt, dan zal de baan van het punt 0 (de oorsprong) bij iteratie aangetrokken worden tot een telkens herhalende cyclus van n stappen waarbij. Dit getal wordt de periode van een primaire bol genoemd. Uit dit volgt dat we elke primaire bol een waarde kunnen geven. Als we nu naar de bijbehorende Julia-verzamelingen gaan kijken, dan kunnen we heel gemakkelijk de periode van de primaire bollen gaan bepalen want overal in dezelfde bol zal een Julia-verzameling gelijkaardige eigenschappen hebben. Elke Julia-verzameling bestaat namelijk uit een centraal lichaam waaraan in aanhechtingspunten andere lichamen zijn bevestigd. Het aantal lichamen dat een aanhechtingspunt bevat bepaalt de periode van de bol in de Mandelbrot-verzameling. De Juliaverzameling heeft oneindig veel aanhechtingspunten waar elke keer opnieuw evenveel lichamen aan vast zitten. Deze structuur wordt het konijn van Douady genoemd, wat in volgend punt uitgelegd wordt. De konijnen van Douady De reden voor de vreemde naam van deze structuur wordt duidelijker als je weet dat één van de figuren (rechts op de afbeelding) die onder die naam bekend staan een centraal middendeel heeft en twee uitsteeksels aan iedere kant: de kop en de oren... Tijdens de een iteratiecyclus kunnen we ons punt volgen en dan kunnen we vaststellen dat het stappen zet per iteratie. Gedurende de iteratie cyclus springt ons punt langs alle oren van het konijn, van klein naar groot, beginnende in het centrale deel. Bij sommige konijnen liggen de oren niet op volgorde van grootte; Dit is het geval bij de linker bol met 5-cyclus, die als rotatiegetal heeft. Het punt moet daar systematisch één oor overslaan om de volgorde aan te houden: hij zet dus twee stappen per iteratie. Hier komt het verschil vandaan met de andere bol met 5-cyclus, waar de oren wel op volgorde van grootte zijn gerangschikt.

11 Rotatiegetal Het rotatiegetal van een bol uit de Mandelbrotverzameling is een rationaal getal dat bestaat uit. Met andere woorden de periode van de bol gedeeld door de grootte van de sprong die een punt maakt per iteratie. Zoals rechts op de tekening te zien, staan de rotatiegetallen bij de bollen. Een andere manier om het rotatiegetal te vinden is aan de hand van de Mandelbrot-bol zelf: aan het uiteinde van een mandelbrotbol kunnen we een zogenaamde antenne vinden. Deze bestaat altijd uit een aantal spaken. Het aantal spaken is gelijk aan het periodecijfer n van die bol, en wanneer we de kleinste spaak in tegenwijzerzin draaien, is het aantal andere spaken dat onderweg wordt tegengekomen gelijk aan. Een voorbeeld hiervan is te zien op de figuur hieronder, links een bol met periode 3, de antenne heeft ook 3 spaken. De laatste manier die we hier bespreken om het rotatiegetal te vinden, is die aan de hand van de regel van Farey. Deze houdt in dat je de tellers en noemers van de rotatiegetallen van twee bollen optelt, om het rotatiegetal te vinden van de bol die precies tussen de die twee in ligt. Zo vinden we bijvoorbeeld: En we weten dat dit klopt: het rotatiegetal van de bol tussen die met rotatiegetal en is gelijk aan Aan het einde Aan iedere tekst komt vroeg of laat een einde, en deze vergaat het niet anders We zijn begonnen met het definiëren van fractals in het algemeen en de Mandelbrot-fractal in het bijzonder. Toen die begrippen duidelijk waren, hebben we de verschillende delen van de Mandelbrot-fractal uitgediept, en ten slotte hun verband met de Juliaverzamelingen bekeken. En nu zijn we daar dus klaar mee. Lang niet alles is gezegd geweest, maar we hopen toch dat we er in geslaagd zijn om op een begrijpelijke manier enkele bijzondere aspecten van deze bijzondere figuur te verduidelijken.