Voorkennis V-1a De oppervlakte van ABC is 12 5 : 2 = 0 m 2. zijde kwadraat AB = 12 144 AC = 5 BC = 25 169 d BC = 169 = 1 m De omtrek van ABC is 5 12 1 = 0 m. BD = 12 4 = 8 m De oppervlakte van BCD is 8 5 : 2 = 20 m 2. zijde kwadraat AD = 4 16 AC = 5 25 CD = 41 CD = 41 6, 40 m De omtrek van BCD is 8 1 6,40 = 27,40 m. V-2a zijde kwadraat LP = 9 MP = LM = 5 16 25 MP = 16 = 4 m De oppervlakte van het parallellogram is 7 4 = 28 m 2. De oppervlakte van KLN is 7 4 : 2 = 14 m 2. V-a De straal is m. De oppervlakte van de irkel is π = 9π 28, m 2. De omtrek van de irkel is π 6 = 6π 18,8 m. Uit π straal straal = 20 volgt straal 2 = 20 : π = 6,66 en dus straal = 6, 66... = 2,52 en diameter = 5,046. De omtrek is π 5,046 15,85 m. V-4a zijde kwadraat 2 5,2 4 2,04 27,04 De hoogte is 2, 04 = 4,8 m. De oppervlakte van de driehoek is 4 4,8 : 2 = 9,6 m 2. De oppervlakte van de halve irkel is π 2 2 : 2 6,28 m 2. De totale oppervlakte is 9,6 6,28 = 15,88 m 2. Per jaar etaalt de eigenaar 15,88 150 = 282 euro. Voor twee jaar etaalt hij dus 282 2 = 4764 euro. 2 m 2 m 5,2 m 5,2 m 17
V-5a De inhoud is 20 8 0 = 4800 m. De lengte is 6 8 = 48 m. De reedte is 2 20 = 40 m. De hoogte is 0 m. De inhoud is 48 40 0 = 57 600 m ofwel 57,6 liter. Of: 12 4800 = 57 600 m (er zitten 12 pakken in de doos). V-6a Een rondje rond het grasveld is 75 50 75 50 = 250 meter. afstand in meters 250 5 18 000 tijd in seonden 50 1 600 Joy loopt 18 000 meter in een uur, dus zijn snelheid is 18 km per uur. De oppervlakte van het grasveld is 75 50 = 750 m 2. Hans doet 750 m 2 in een uur, dus 750 : 60 = 62,5 m 2 per minuut. De omtrek van het veld is ook twee keer zo groot geworden, dus hij doet er nu 2 50 = 100 seonden over. d De oppervlakte is 2 2 = 4 keer zo groot geworden. Hans heeft dus nu 4 1 = 4 uur nodig om het vergrote grasveld te maaien. V-7 De vijver is 45 dm lang, 25 dm reed en 11 dm diep. De inhoud van de vijver is 45 25 11 = 12 75 dm, dus 12 75 liter. Het filter is dus geshikt voor de vijver van Dirk. 1a 2a d e f 8-1 Tekenen Ja, de vorm is in werkelijkheid een rehthoek en op de foto ook. Nee, de vorm van de ovenkant is in werkelijkheid een rehthoek en op de foto niet. Kijk naar de vloertegels. De kast is twee tegels reed en drie tegels diep. E A H D F B G C S E A Zie de tekening hier linksoven. De lijnen door AD en BC zijn in werkelijkheid ook evenwijdig met EH. Zie de tekening hier linksoven. Dat zijn de lijnen door AB, EF, CD en HG en de horizontale lijn in het voorvlak. Zie de tekening hier rehtsoven. Zie punt P in de tekening hier rehtsoven. H D 18 F B P G C
a /d 4 5 6a 7a De grensvlakken ABFE en DCGH heen in de tekening dezelfde vorm als in werkelijkheid. Ja, alle lijnen die in werkelijkheid evenwijdig lopen zijn in deze tekening ook evenwijdig. Zie punt P in de tekening hiernaast. E A D H F B G C De ovenste tekening lijkt het meest op een kuus. Nee, want rien die naar ahteren lopen moet je in de tekening korter tekenen. In een tekening in parallelprojetie worden lijnstukken die naar ahteren lopen korter getekend dan ze in werkelijkheid zijn. E A H T G D F B C Punt T is het snijpunt van de diagonalen EG en FH. Zie de tekening ij opdraht a. E A H D F B P G C 19
8-2 Vergroten 8a nummer rie in m oppervlakte in m 2 inhoud in m 1 2 24 8 2 4 96 64 6 216 216 De 17e kuus heeft rien van 17 2 = 4 m. De oppervlakte van deze kuus is 4 4 6 = 696 m 2. De inhoud van deze kuus is 4 4 4 = 9 04 m. 9a De inhoud van de kleine kist is 50 45 0 = 67 500 m. Van de grote kist is de lengte 50 = 150 m, de reedte 45 = 15 m en de hoogte 0 = 90 m. De inhoud van de grote kist is 150 15 90 = 1 822 500 m. Je moet de inhoud met 1 822 500 : 67 500 = 27 vermenigvuldigen. De oppervlakte van de kleine kist is 2 50 45 2 50 0 2 45 0 = 4500 000 2700 = 10 200 m 2 1 m 2. d Alle afmetingen zijn drie keer zo groot, dan is de oppervlakte negen keer zo groot. Hij heeft dus voor ongeveer 9 m 2 verf nodig. 10a De oppervlakte is 2 2 6 2 42 6 2 2 42 = 6612 m 2. De inhoud is 2 42 6 = 4 776 m. De fator is. De oppervlakte is dus 6612 2 = 59 508 m 2. De inhoud is 4 776 = 98 952 m. De fator is 0,5. De oppervlakte is 6612 0,5 2 = 165 m 2. De inhoud 4 776 0,5 = 447 m. 11a Er is sprake van een tekening in parallelprojetie. De lijnen van het ovenvlak die naar ahteren lopen, zijn in werkelijkheid evenwijdig en in de tekening ook. De inhoud is 2 8 = 48 m. De oppervlakte is 2 8 2 2 2 2 8 = 2 12 48 = 92 m 2. d De fator is 0,5. De inhoud is 48 0,5 = 6 m. De oppervlakte is 92 0,5 2 = 2 m 2. 20
12a De fator is 1,5. De oppervlakte van het nieuwe lokje is 54,8 1,5 2 = 12, m 2. De inhoud van het nieuwe lokje is 26 1,5 = 87,75 m. 1a De maquette is 540 : 20 = 27 m hoog. De fator is 20. De inhoud is 66 000 20 = 528 000 000 m = 528 m. 65 m 2 = 650 000 m 2 In de maquette wordt 650 000 : 20 2 = 1625 m 2 glas verwerkt. 14a De fator is 0,5. Er kan 1 0,5 = 0,125 liter verf in dat lik. De fator is 0,5. De oppervlakte is 588 0,5 2 = 147 m 2. Er is 147 m 2 lik nodig. De inhoud is 5 keer zo groot. Voor de fator k geldt dus k = 5. Met je rekenmahine proeren vind je k 1,71, want 1,71 5. De diameter van het lik is 11 1,71 18,8 m. De hoogte van het lik is 11,5 1,71 19,7 m. d De oppervlakte van dit lik is 71 : 588 0,6 keer zo groot. Voor de fator k geldt dus k 2 0,6, dus k 0, 6 0,8. De inhoud van dit lik is 1 0,8 0,5 liter. 15a// d 8- Balk, prisma en ilinder De drie doorsneden zijn evenwijdig aan elkaar. 21
16a De figuren 1, 2 en 4 zijn prisma s, figuur niet. 1 2 4 17 Deze eigenshap geldt ook voor de figuren kuus, alk en ilinder. 18a De inhoud is 5 5 2 = 50 m. De inhoud van één helft is 50 : 2 = 25 m. Van één prisma is het grondvlak de helft van een vierkant met oppervlakte 5 5 = 25 m 2. De oppervlakte van het grondvlak is dus 25 : 2 = 12,5 m 2. Volgens de formule is de inhoud = 12,5 2 = 25 m en dat klopt. 19a De twee stukken vormen samen een alk van meter ij 4 meter ij 10 meter. De inhoud is 4 10 = 120 m. Oppervlakte grondvlak is 6 10 = 60 m 2. De hoogte is 4 meter. 60 4 = 240 m, maar de inhoud is 120 m. Je moet de driehoek als grondvlak nemen. De hoogte is de lengte van de zolder, dus 10 meter. 20a De straal van het grondvlak is 6 : 2 = m. De oppervlakte van het grondvlak is π 2 = 9π m 2. De inhoud van de ilinder is 9π 12 = 108π m 9 m. De oppervlakte van het grondvlak is 240 : 15 = 16 m 2. De lengte van de zijden is 16 = 4 m. 21a Linker figuur: De oppervlakte van het grondvlak (de voorkant) is 9 6 : 2 = 27 m 2. De inhoud van het prisma is 27 6 = 162 m. Rehter figuur: De oppervlakte van het grondvlak is 7,5 4,5 : 2 = 16,875 m 2. De inhoud van het prisma is 16,875 5 = 84,75 m. 8-4 Piramide en kegel 22a F.ABCD is een piramide. Het gaat telkens om een piramide met als grondvlak een vierkant met zijde 6 m, en een hoogte van 6 m. Drie van deze piramiden vormen samen preies een kuus, dus de inhoud van een zo n piramide is 1 deel van de inhoud van de kuus. d Voor de kuus geldt: inhoud = oppervlakte grondvlak hoogte en de inhoud van de piramide is 1 van de inhoud van de kuus. e De inhoud van de piramide is 1 6 6 = 72 m. 22
2a Het grondvlak van de piramide is ook een zijvlak van de kuus, dus gelijk. De hoogte van eide piramiden is gelijk aan de afstand van een zijvlak van de kuus tot het middelpunt van de kuus en die is voor elk zijvlak gelijk. De kuus is in zes piramiden opgedeeld. De inhoud van de kuus is 8 8 8 = 512 m. d De inhoud van de piramide is 512 : 6 = 85 1 m. e Ja, want de inhoud is volgens de formule 1 64 4 = 85 1 m en dat is orret. 24 De oppervlakte van het grondvlak van de piramide is 4 4 = 16 m 2. De inhoud van de piramide is 1 16 5 = 26 2 m. De straal van het grondvlak van de kegel is : 2 = 1,5 m. De oppervlakte van het grondvlak is π 1,5 2 = 2,25π m 2. De inhoud van de kegel is 1 2,25π 5 =,75π 11,8 m. 25 De oppervlakte van het grondvlak is 4 : 2 = 6 m 2. De inhoud van de piramide is 1 6 4 = 8 m. 26a De straal van het grondvlak is 0 : 2 = 15 m. De oppervlakte van het grondvlak is π 15 2 = 225π m 2. De inhoud van de kegel is 1 225π 25 = 1875π 5890 m. De straal van het grondvlak is 18 : 2 = 9 m. De oppervlakte van het grondvlak is π 9 2 = 81π m 2. Er geldt 1 81π hoogte = 1696,5 ofwel 27π hoogte = 1696,5. Dus hoogte = 1696,5 : 27π 20 m. Er geldt 1 oppervlakte grondvlak 14 = 528. De oppervlakte van het grondvlak is 528 : ( 1 14) 11,14 m2. π r 2 = 11,14 geeft r 2 = 11,14 : π 6,0 r = 6, 0 = 6, dus de straal is 6 m. De diameter is 2 6 = 12 m. 27a De inhoud is 12 12 = 42 m. De hoogte van de piramide is 10 = 7 meter. De inhoud van de piramide is 1 12 12 7 = 6 m. De totale inhoud is 42 6 = 768 m. 2
28a 8-5 Gemengde opdrahten Het is een tekening in parallelprojetie. Lijnen die naar ahteren lopen en in werkelijkheid evenwijdig zijn, zijn in de tekening ook evenwijdig. 2 m 4 m 6 m 2 m 8 m Het grondvlak is de vijfhoek. De vijfhoek is een rehthoek van 6 m ij 4 m, waarvan een driehoek van 4 m ij 2 m is afgehaald. De oppervlakte van de vijfhoek is 6 4 4 2 : 2 = 24 4 = 20 m 2. De inhoud van het prisma is 20 8 = 160 m. 29a De fator is 1 1 De inhoud van de maquette is 8775 150 De fator is 1. 150 1 De oppervlakte van de voorgevel is 540 150. ( ) = 0,0026 m = 2600 m. 2 ( 150 ) = 0,024 m 2 = 240 m 2. 0a Het grondvlak met straal 5 m heeft een oppervlakte van π 5 2 = 25 π m 2. De inhoud is π 5 2 11 86, 94 m = 86,94 ml. De oppervlakte van oven- en onderkant zijn samen 2 π 5 2 157, 1 m 2. De zijkant van het lik is een rehthoek waarvan de lengte gelijk is aan de omtrek van het deksel dus 10 π 1,4 m, en de hoogte gelijk is aan 11 m. De oppervlakte van deze rehthoek is 10 π 11 45,6 m 2. Er is 157,1 45,6 502,7 m 2 lik nodig. De fator is 0,5. De inhoud van het lik is 86,9 0,5 107,99 m. De oppervlakte is 502,7 0,5 2 125,7 m 2. d De materiaalkosten zijn afhankelijk van de oppervlakte van het lik. In het grote lik past aht keer zoveel als in het kleine lik. De oppervlakte is ehter maar vier keer zo groot. Dus de kosten zijn naar verhouding het kleinst ij het grote lik. 1a 1 liter is 1000 m. De oppervlakte van het grondvlak is 7 7 = 49 m 2. De hoogte is dus 1000 : 49 20,4 m. Voor eide pakken geldt dat de inhoud gelijk is aan oppervlakte hoogte. Als de inhoud en de hoogte gelijk zijn, moet ook de oppervlakte van het grondvlak van eide pakken gelijk zijn. De oppervlakte van het grondvlak is 49 m 2. π r 2 = 49 geeft r 2 = 49 : π 15,597 De straal van de ilinder is 15, 597, 95 m. De diameter is 2,95 7,9 m. d Voor de alk: 2 7 7 4 7 20,4 669 m 2. Voor de ilinder: 2 49 2 π,95 20,4 604 m 2. 24
2a a 4a De straal van de grondirkel is 20 : 2 = 10 m. De oppervlakte van de grondirkel is π 10 2 = 100π m 2. De inhoud van de kegel is 1 100π 15 = 500π 1570,8 m. De straal van de grondirkel is 15 : 2 = 7,5 m. De oppervlakte van de grondirkel is π 7,5 2 = 56,25π m 2. Er geldt 1 56,25π hoogte = 500π ofwel 18,75π hoogte = 500π. Dus hoogte = 500π : 18,75π 26,7 m. De straal van het grondvlak is 10 : 2 = 5 m. De oppervlakte van het grondvlak is π 5 2 = 25π m 2. De inhoud van de ilinder is 25π 40 = 1000π 142 m. zijde kwadraat 7,5 12,5 56,26 100 156,25 De hoogte is 100 = 10 m. De oppervlakte van het grondvlak is 15 10 : 2 = 75 m 2. De lengte van het prisma is tevens de hoogte van het prisma. De inhoud van het prisma is 1000π m, dus de lengte is 1000π : 75 41,9 m. Rode piramide: oppervlakte grondvlak is 6 6 = 6 m 2 inhoud is 1 6 6 = 72 m Blauwe kegel: De straal van het grondvlak is m. oppervlakte grondvlak is π = 9π m 2 inhoud is 1 9π 6 = 18π 56,5 m Groene piramide: zijde kwadraat 9 9... 18 De zijde van het grondvlak is 18 4,2 m. oppervlakte van het grondvlak is 18 18 = 18 m 2 inhoud is 1 18 6 = 6 m Nee, want het gemiddelde van 72 m en 6 m is 54 m en dat is niet gelijk aan 56,5 m. 25
T-1a / Test jezelf Er is sprake van een tekening in parallelprojetie want evenwijdige lijnen lijven in de tekening evenwijdig. M T-2a Een munt van 50 ent is 2 1,25 = 2,5 mm dik. De inhoud van een munt van 50 ent is 565 1,25 1104 mm. De oppervlakte van een munt van 10 ent is 471 : 1,25 2 01 mm 2. T-a De straal van het grondvlak is 12 : 2 = 6 m. De oppervlakte van het grondvlak π 6 2 = 6π m 2. De inhoud van dit doosje is 6π 19 2149 m. Zie de tekening hiernaast. zijde 6 kwadraat 6 6 m 6 m 6... 6 72 12 m De zijden van het vierkant zijn 72 m. De oppervlakte van het grondvlak is dan 72 72 = 72 m 2. De inhoud van het alkvormige doosje is 72 19 = 168 m. De inhoud van het ilindervormige doosje is 2149 : 168 1,57 keer zo groot. Het is dus niet eerlijk, er passen niet twee keer zoveel snoepjes in het ilindervormige doosje. T-4 Figuur 1: De straal van het grondvlak is 58 : 2 = 29 m. oppervlakte grondvlak is π 29 2 841π m 2 inhoud is 1 841π 52 45 796 m Figuur 2: oppervlakte grondvlak is 40 40 = 1600 m 2 inhoud is 1 1600 50 26 667 m Figuur : De straal van het grondvlak is 20 : 2 = 10 m. oppervlakte grondvlak is π 10 2 = 100π m 2 inhoud één kegel is 1 100π 2 51,0 m inhoud hele figuur is 2 51,0 6702 m 26
T-5a oppervlakte grondvlak is 60 60 = 600 m 2 inhoud is 1 600 40 = 48 000 m = 48 dm = 48 liter De hoogte van zo n driehoek reken je uit met de stelling van Pythagoras. zijde 0 40... kwadraat 900 1600 2500 De hoogte is h = 2500 = 50 m. De oppervlakte van één driehoek is 60 50 : 2 = 1500 m 2. De totale oppervlakte is 4 1500 = 6000 m 2. De lihtkoepel estaat uit 6000 m 2 = 0,6 m 2 plexiglas. T-6a De inhoud van de alk is 10 8 4 = 20 m. De inhoud van de piramide is 1 1 10 8 5 = 1 m. De inhoud van de maquette is 45 1 m. De fator is 75. 1 De inhoud van het huis is 75 45 = 191250 000 m oftewel 191,25 m. T-7a 60 m 40 m 0 m De inhoud van de shijventoren is π 2 1 π 2 2 1 π 1 2 1 4,98 m. In het vooraanziht zie je dat het kegelvormige doosje de shijventoren aan de randen raakt en preies één m hoger is. De hoogte van het kegelvormige doosje is 4 m. In het vooraanziht zie je verder dat de diameter van het kegelvormige doosje 8 m is. De straal van het grondvlak is 8 : 2 = 4 m. oppervlakte grondvlak is π 4 2 = 16π m 2 De inhoud van het kegelvormige doosje is 1 16π 4 67,02 m. h 60 m 27