pl r Philip ogert Filip Geeurikx Mr Muylert Roger Vn Nieuwenhuyze Erik Willokx Pr oe leerpln D fex em MEETKUNDE M.m.v. jörn rreyn rtoons Dve Vnroye
ook ls volgt formuleren: D '' 'D' D 5 ) ij een evenredigheid mg je Gelijkvormige driehoeken inderdd de middelste termen vn plts verwisselen. pl r In de stelling vn Thles spreekt men vn de verhouding vn evenwijdige lijnstukken. 1 gelijkvormige driehoeken Volgende tekening mkt duidelijk wrom dit 1 Definities vind je op een Y rode htergrond, twee driehoeken zijn gelijkvormig ls en slehts ls hun overeenkomstige hoeken even groot P zijn en methodes stn in een X overeenkomstige zijden dezelfde verhouding heen. ornje kder. woorden: niet opgt ij niet-evenwijdige lijnstukken. in PQ P'Q' Δ ''' F Δ XY wnt )U De eroemd ( st ) e stelling Eigenshppen vind je op W, V W, U W fex em XY X'Y' in symolen: PQ * en stelling Pythgors 1 omdt XY PQ '' vn '' '' in woorden: k een groene htergrond. X Y P Q Geshiedenis vn de wiskunde vn en herkomst vn In een rehthoekige driehoek is het kwdrt de X'Y' 1 omdt X'Y' P'Q' en Vooreeld: shuine zijde gelijk n de som vn deegrippen. kwdrten vn de P'Q' In deze voorstelling zijn de zijden [] en [''] overeenkomstige rehthoekszijden. zijden, net ls [] en [''] en ook [] en ['']. We stimuleren het geruik Thles vn Milete (Turkije. 6 v.hr. -. 55 v.hr.) vn wiskundesoftwre in symolen: GeoGer. Thles vn Milete leefde vn (.) 6 tot zols + ΔW is W rehthoekig in W V U U We(.) noemen en, en, en overeenkomstige hoeken. 57 v.hr. n de kust vn Klein-zië, dt nu of: 5+ Turkije heet. Omdt hij hndelr in oliën ws, reisde D n het einde vn elke prgrf vind je een eshvingen. Z Z Z smenvtting. kenmerk Gegeven: Δ rehthoekig ( Z Z Z ) shlmodellen We zeggen ook dt Δ ''' en Δ: zijn vn elkr. in Δ Δ ''' hij veel en mkte kennis veel niet-europese Wemet ewijzen deze stelling: Ps op oudere leeftijd strtte hij met de studie vn + Te ewijzen: projetievoorstelling volgt: wetenshppen en filosofie.ewijs: ij zorgde voor eenuit de eerste opmerkingen: Pr oe Twee driehoeken zijn gelijkvormig ls de overeenkomstige zijden een evenredigheid eplen. mnier verhouding vn denken tussen en trhtte de wiskunde te verklren. - nieuwe de onstnte der egelijkvormigheidsftor hde o oovereenkomstige f d s t u k d r i e hzijden o e k s mnoemen e t i n g i nwe een hthoekige driehoek Erofwordt gezegd dt hij in stt ws een zonsverduistering voorspellen, kortweg ftor. te D wrshijnlijk deze vn 585 v. 5 uitsprk: lles is wter. immers dt de oerstof wter Thles meende D pitogrmmen + - uit de definitie volgt dt ongruente driehoeken ook gelijkvormige driehoeken zijn. krijg je wter, ls duidelijkst fsevernderingen ondergt. ls ijs smelt TE ONTOUDEN + D + D de verhouding vn de overeenkomstige is dn 1. stoom. Dezijden Grieken geloofden ook dt ls je stoom verder verdunt, je lu ( D + D ) Overstnde hoeken die even groot zijn, ETEKENIS gelijkenige driehoeken die eve D [] Prktishe fsprk: heen, een dimeter die de irkel in twee gelijke verdeelt, GESIEDENIS Je kent de etekenis vn sinus, osinus en tngens (de goniometrishe wrden )vn een delen sherpe hoek inhet o om de overeenkomstige zijden vn gelijkvormige driehoeken gemkkelijk terug te vinden, spreken we f een rehthoekige driehoek. het zijn lleml vooreelden vn eigenshppen die n Thles toeges REKENMINE 6 ) Smenvtting sin V hoeken zodnig dt de hoekpunten vn de overeenkomstige hoeken in dezelfdevolgorde stn overstnde te noteren rehthoekszijde over de stelling vn Thles zijn er twijfels. Geshiedkundigen heen g IT shuine zijde lgemeen: stelling ddwerkelijk vn Thles fkomstig is. '' '' '' nliggende ls: rehthoekszijde In symolen: Opmerking: os V vn de Mr hndig is die stelling wel. ij erekende zo de hoogte F pirm shuine zijde W U V, W en W Dn: U Δ Δ def V tn U Vd V UE Uit de formule + ( met U 90 in Δ ) kunnen we fleiden: ook de fstnd tussen twee shepen mee vinden. overstndeerrehthoekszijde '' '' '' nliggende rehthoekszijde esluit:
mide te erekenen. ij nm de uitdging n en werkte ls volgt. Op de lijn die het midden vn één vn de zijden met de shduw vn de top () vn de pir pltste hij een pltje [DE] zodt de shduw vn de top vn dit pltje preies smenv vn de top vn de pirmide. ij mt de fstnden K, M, D, DE en erekende de pl r Teken de twee gelijkvormige driehoeken wrmee Thles gewerkt heeft. ereken de hoogte vn de V O OR WOORD 6 16 ij sommige sis oefeningen vind je een of twee sterretjes. Dit duidt de moeilijkheidsgrd n. pirmide ls je weet dt K 11 m M 96 m D m en DE m. K M D 6 In D is PQ // en P []; Q []. ereken PQ en ls P 6 m; P m en PQ + 15 m. fex em 18 htern in het oek vind je een trefwoordenregister en de oplossingen vn de oefeningen. Oppervlkte- en inhoudsprolemen. Oplossingen Een foto heeft een lengte vn 1 m en een reedte vn 8 m. ls we deze foto op het inzoomen tot 10 %, wt wordt dn de omtrek en de oppervlkte? En ls we uitzoomen Een ruit met zijde 6 m heeft een oppervlkte vn 18 m². Deze ruit is gelijkvormig me m. epl de oppervlkte vn deze ruit. 8 8 onstrutie vn een Pythgorsoom Een prllellogrm met zijden 6 m en m heeft een Elk hoofdstuk eindigt met een vrdigheid. oppervlkte vn 18 m² en is gelijkvormig 1.1 Evenwijdige projetie (lz. 16) met een prllellogrm met een oppervlkte vn 8 m². ereken de zijden vn dit prllellogrm. [] [] - {} [D] Je herinnert je misshienvnog de onstrutie vn een Pythgorsoom. Zo n oom krijg je door, vertrekkend kleinste kegel en het volume vn de kleinste kegel. d ereken vn een vierknt, een gelijkenige rehthoekige driehoek te onstrueren met depzijde vn het ls pshuine p pzijde p of Vgrootste kegel vierknt. Vervolgens onstrueer je een vierknt op elke rehthoekszijde vn de driehoek. Op de zijde vn het vierknt teken je opnieuw een gelijkenige, rehthoekige driehoek, en zo g je nog een tijdje door. T 1 d mi[] De figuur die je krijgt is eigenlijk een frtl. Dt is een meetkundige figuur wrin eenzelfde motief zih op 6m [DG] e [E] een kleinere shl steeds herhlt. In gedhten kun je dt proes oneindig vk voortzetten. dn mi[dg] f D DElk klein tkje kn immers weer opgevt worden ls een stmmetje dt een omplete oom drgt. g D GF G F x x ten we vertrekken vn een vierknt met zijde. 1 (, 5); (0, ); (, 1); e hierop Vn de regelmtige pirmide TD is gegeven: wordt, heeft ls shuine zijde. De gelijkenige driehoek die geouwd E, ), E( 5, 5), F(0, ) D( krijgen: De rehthoekszijde x kunnen weii 6 m en ITPI 15 m. ls volgt x + x De pirmide wordt gesneden door het vlk EFG 15 7; D 5; EF 6; G 10; IJ 9 Pr oe ier wordt uitgelegd hoe een rekenmhine je kn helpen. 19 ISN: 978 90 860 95 Kon. i.: D/011/017/06 estelnr.: 9 505 008 NUR: 16 Druk: die Keure 7 17 Gegeven is een prllellogrm D wrij m en D m. De fstnd tuss m. ereken de fstnd tussen de zijden [D] en []. 7 y-out en opmk: die Keure E 56 P x vn de opstnde zijden gt en evenwijdig loopt x D 9 16 6 ereken de inhoud vn eide delen. 1 x 5 D '''D en de gelijkvormigheidsftor is. d x ls de omtrek vn D gelijk is n 0 m, wt is dn de omtrek vn '''D'? 17 (0,8) m, wt is dn de oppervlkte vn '''D ls de oppervlkte vn D gelijk is n 60m ls we onze oom wt lten groeien Foto s: Shutterstok, fotostok die Keure Niets uit deze uitgve mg verveelvoudigd en/of openr gemkt We erekenen de nieuwe rehthoekszijde x. x worden door middel vn druk, fotokopie, mirofilm of op welke wijze x + x d n opyright y die Keure rugge ook zonder voorfgnde shriftelijke toestemming vn de uitgever. 1. Stelling vn Thles (lz. 8) No prt of this ook my e reprodued in ny form y print, Verntwoordelijke uitgever: N.V. die Keure, photoprint, mirofilm or ny other mens without written permission x 1 8 Kleine Pthoekeweg - 8000 rugge - elgië from the pulisher. 7.R. rugge 1.5 5 x 6 5 9 5 5 10 5 5 x Druk: 011 Er komt opnieuw een tkje ij. 15 7 5 9 x x + x k 6 0 8 10 6 16 x 6 6 6 6 x 5, 6 8
eeld je even in wt de wereld zou zijn zonder meetkunde. Ingenieurs zouden niet kunnen erekenen hoeveel deze etonnen onstrutie kn drgen. De ouwheer vn deze shns in Noorwegen zou mr gokken hoeveel hout hij zou nodig heen ij het pirmidevormige dk en hij zou niet weten hoeveel gelijkvormige elementen nodig zijn voor de lustrde. En jij, op je skiltten, zou niet weten hoelng je op de shns lijft en onder welke hoek je gelneerd wordt. In dit oek glijden we doorheen de meetkunde en estuderen er de eroemdste wiskundige eigenshp: De stelling vn Pythgors. O j, de skishns is ls toeristishe ttrtie te ezoeken ten noorden vn Oslo. Proefexemplr
Inhoud 1 Stelling vn Pythgors 1.1 Een rokje geshiedenis > 8 1. De stelling vn Pythgors: meetkundige voorstelling > 10 1. Een meetkundig ewijs > 11 1. Grfield en Pythgors > 1 1.5 Pythgorsomen > 1 1.6 Vierkntswortel > 1 1.7 Rtionle en irrtionle getllen > 15 1.8 onstrutie vn irrtionle lengten > 16 1.9 Toepssingen op de stelling vn Pythgors > 17 1.10 Toepssingen op de stelling vn Pythgors in de ruimte > 0 Vrdigheden: Een Pythgorsoom tekenen > 6 fstnd in het vlk.1 Inleiding > 0. fstnd tussen twee punten: ijzondere gevllen > 1. fstnd tussen twee punten: lgemeen > Vrdigheden: Driehoeken, vierhoeken en rekenen met oördinten > 5 ongruentie.1 ongruente figuren > 58. ongruente driehoeken > 60. ongruentiekenmerken voor driehoeken > 61. ewijzen > 6.5 Toepssingen > 6 Vrdigheden: Ptronen ontwerpen > 77 Omtrek, oppervlkte en inhoud.1 Omtrek vn een vlkke figuur > 80. engtemten > 81. Oppervlkte vn een vlkke figuur > 81. Oppervlktemten > 8.5 Inhoudsformules voor ruimtefiguren > 8.6 Inhoudsmten > 8.7 Vooreelden > 85.8 derdemhtswortel vn een reëel getl > 86 Vrdigheden: Werken met formules > 105 5 Driehoeksmeting 5.1 Driehoeksmeting > 110 5. Sinus vn een sherpe hoek > 111 5. osinus vn een sherpe hoek > 111 5. Tngens vn een sherpe hoek > 11 5.5 Vernd tussen sinus, osinus en tngens vn een hoek > 11 5.6 erekening vn goniometrishe getllen met de GRM > 11 5.7 elling en tngens > 116 5.8 Grondformule vn de goniometrie > 116 5.9 Oplossen vn rehthoekige driehoeken > 117 5.10 Toepssingen > 10 Vrdigheden: Proleemoplossend denken > 16 Oplossingen > 18 Trefwoordenregister > 18 Proefexemplr
Wiskunde vind je ook in de groentenfdeling vn je pltselijke supermrkt. Deze Romneso, genoemd nr de Itlinse omshrijving vn rooli uit Rome is inderdd fmilie vn de rooli en de loemkool. Voor je het verorert, moet je eerst nuwgezet kijken nr de prhtige opouw. et is immers een vooreeld vn een frtl, een meetkundige figuur die estt uit kleinere, ongeveer gelijkvormige figuurtjes met veel detils. Dnkzij de stelling vn Pythgors mk je kennis met een Pythgorsoom die zl leiden tot zo n frtl. Proefexemplr
Stelling vn Pythgors 6 Omzetting reuken - kommgetllen > 1 Een rokje geshiedenis > 8 De stelling vn Pythgors: meetkundige voorstelling > 10 Een meetkundig ewijs > 11 Grfield en Pythgors > 1 5 Pythgorsomen > 1 6 Vierkntswortel > 1 7 Rtionle en irrtionle getllen > 15 8 onstrutie vn irrtionle lengten > 16 9 Toepssingen op de stelling vn Pythgors > 17 10 Toepssingen op de stelling vn Pythgors in de ruimte > 0 11 Smenvtting > 1 Oefeningen > Vrdigheden Een Pythgorsoom tekenen > 6 Proefexemplr 1
Pythgors vn Smos pl r 1 ) Een rokje geshiedenis Pythgors werd georen op het Griekse eilnd Smos (rond 57 voor hristus). Omdt Smos op dt moment geregeerd werd door de tirn Polyrtes, hield hij het dr vlug voor ekeken en week hij uit nr Egypte. ter elndde hij vi ylonië in Zuid-Itlië, in roton, wr hij een 'shool' stihtte. Deze shool ws een soort klooster wr de voornmste intelletuelen vn die tijd smenkwmen. Ze hdden hun eigen regels (onder ndere gehoorzmheid, stilzwijgen, eenvoud in kleding en ezittingen), eigen geheimen, inwijdingen en symolen. et is dus te egrijpen dt de inwoners vn roton het genootshp niet eht goed gezind wren. Er wordt zelfs verteld dt Pythgors de dood vond toen de evolking, rond 500 voor hristus, het huis vn een leerling en vriend vn fex em Pythgors in rnd stk, ls protest tegen de nwezigheid vn het geheimzinnige roedershp. Pythgors verdeelde de wiskunde in vkken: rekenkunde, meetkunde, sterrenkunde en muziek! Een indeling die het meer dn 000 jr zou uithouden. Muziek ws dus heel elngrijk voor hem en zijn leerlingen. Ze estudeerden de wiskundige verhoudingen tussen klnken en ontdekten dt tegelijk klinkende noten lleen een welluidende klnk gven ls de lengte vn hun snren in een eplde wiskundige verhouding stond, zols tot (kwint) en tot 1 (otf). Mensen zijn ltijd ouwers geweest. Duizenden jren geleden heeft men immense pirmiden en tempels geouwd. Eén vn de eerste prolemen die men moest oplossen ws: hoe zetten we op het terrein een rehte hoek uit? In de tijd vn de Griekse filosoof en wiskundige Pythgors vn Smos geruikten Egyptishe lndmeters (zogenmde hrpedonpti of touwspnners) een lng touw wr op gelijke fstnden vn elkr 1 knopen werden in gemkt. et touw werd verdeeld in + + 5 knopen. Dit touw werd ij de knopen en vstgemkt n de grond. Vervolgens spnt men de delen en ' op en ls Pr oe en ' smenvllen, dn is de hoek in gelijk n 90. Men noemt dit ook een Egyptishe driehoek. 5 De Egyptishe driehoek is een prktishe toepssing vn de omgekeerde stelling vn Pythgors: de som vn de kwdrten vn de kortste zijden is gelijk n het kwdrt vn de lngste zijde ( + 5 ) en dus is het een rehthoekige driehoek. 8
Er geldt + 5 Inderdd: 16 + 9 5 hoofdstuk 1 Deze eroemde stelling die de nm stelling vn Pythgors drgt, is welliht niet door Pythgors zelf gevonden. In ylonië, Egypte, Indië en zelfs hin ws de stelling l lnger gekend. stelling vn Pythgors STEllING vn PyTGORS In een rehthoekige driehoek is het kwdrt vn de shuine zijde gelijk n de som vn de kwdrten vn de rehthoekszijden. Een driehoek met zijden wrvn de lengten zih verhouden ls : : 5 wordt een Egyptishe driehoek genoemd. De hoek ten opzihte vn de lngste zijde is reht. Er geldt: + 5. ij een rehthoekige driehoek is de oppervlkte vn het vierknt met de shuine zijde ls zijde, gelijk n de som vn de oppervlkten vn de vierknten met de rehthoekszijden ls zijde. Dit geldt ook ls je op de zijden hlve irkels onstrueert of gelijkzijdige driehoeken. Deze eigenshp geldt ook ls je op de zijden vn de driehoek ndere gelijkvormige figuren dn vierknten onstrueert. Een driehoek wrvn de zijden zih verhouden ls 5 : 1 : 1 wordt een Indishe driehoek genoemd. Er geldt: 1 5 + 1. De hoek ten opzihte vn de lngste zijde is reht. Dergelijke drietllen noemt men ook Pythgorishe drietllen. Een ntl vn deze getllen zijn: 5 wnt + 5 5 1 1 wnt 5 + 1 1 6 8 10 wnt 6 + 8 10 7 5 wnt 7 + 5 8 15 17 wnt 8 + 15 17 9 1 15 wnt 9 + 1 15 10 6 wnt 10 + 6 // // // / / /// /// / + /// + Proefexemplr 5 5 9
10 ) De stelling vn Pythgors: meetkundige voorstelling stelling vn Pythgors In woorden: 5 + De oppervlkte vn het vierknt op de shuine zijde vn een rehthoekige driehoek is gelijk n de som vn de oppervlkten vn de vierknten op de twee rehthoekszijden. In een rehthoekige driehoek is het kwdrt vn de shuine zijde gelijk n de som vn de kwdrten vn de rehthoekszijden. In symolen: + of + We illustreren met GeoGer dt deze uitsprk steeds geldt. 5 oppervlkte vn het rode vierknt oppervlkte vn het ornje vierknt oppervlkte vn het grootste vierknt Proefexemplr
Opmerking: Ook het omgekeerde geldt: omgekeerde stelling vn Pythgors hoofdstuk 1 STEllING vn PyTGORS ls in een driehoek het kwdrt vn een zijde gelijk is n de som vn de kwdrten vn de twee ndere zijden, dn is deze driehoek rehthoekig. Vooreelden: Een driehoek met zijden m, 5 m en 6 m is niet rehthoekig wnt: + 5 Y 6 immers: 16 + 5 Y 6 Een driehoek met zijden 16 m, 0 m en m is wel rehthoekig wnt: 16 + 0 immers: 56 + 900 1156 Een driehoek met zijden 1,8 m;, m en m is wel rehthoekig wnt: 1, 8 +, immers:, + 5, 76 9 Toepssing: Een vliegtuigmtshppij onderzoekt of de mogelijkheid estt om stnpltsen in te rihten in het vliegtuig. Men denkt er ook n om uitklpre zitvlkken te voorzien. Op de shets vind je de fmetingen terug. Stt het plnkje loodreht op de leuning? Oplossing: Er is een driehoek gevormd met zijden vn 1 m, 16 m en 0 m. omdt 1 + 16 0 is de driehoek rehthoekig. De plnk stt loodreht op de leuning. ) Een meetkundig ewijs ^ + h en + D Dus: ^ + h. +. + +. +. +. D $ $ D $ $ 1 Proefexemplr? 0 16 1 m 0 m 16 m 11
1 ) Grfield en Pythgors Jmes. Grfield (181-1881) Wrom geen politius ls wiskundige? De repulikein Jmes Grfield ws immers de 0ste president vn merik. ij rht het vn rme jongen uit de uitenwijken vn Ohio tot oorlogsheld en president. ij museerde zijn vrienden door simultn te noteren: met zijn linkerhnd shreef hij in het tijn, terwijl zijn rehterhnd in het Grieks shreef. Zijn suesverhl kende ehter een rupt einde toen één vn zijn politieke medestnders hem doodshoot. ➀ ➀ onstrueer een rehthoekige driehoek met zijden, en. ➁ Verleng met en onstrueer een ongruente driehoek. Z ➂ X Y ➁ + + Z ➂ Door het onstrueren vn 6 XY@ontstt een trpezium met sissen en en ls hoogte +. DXYZ is rehthoekig in Z omdt VZ y + VZ y 90 1 ➃ De oppervlkte vn het trpezium: $ $ ^ + h ^ + h + ^ + h + + + + + De stelling vn Pythgors werd door veel ndere personen ewezen zols onder ndere hskr en eonrdo D Vini. Zoek op het internet nog ndere ewijzen vn de stelling vn Pythgors. ➃ Proefexemplr X Y
5 ) Pythgorsomen hoofdstuk 1 Een Pythgorsoom verkrijg je door, vertrekkend vn een vierknt, een gelijkenige rehthoekige driehoek te onstrueren, met ls shuine zijde de zijde vn het vierknt. Vervolgens onstrueer je een vierknt op elke rehthoekszijde vn de driehoek. Op de zijden vn het vierknt teken je opnieuw een gelijkenige, rehthoekige driehoek. G zo nog een tijdje door. Pythgorishe drietllen en de ltste stelling vn Fermt STEllING vn PyTGORS Je kn je Pythgorsoom ook retief nkleden. ls je hndig ent kun je er zelfss een D-versie vn mken. Op pgin 8 leren we je hoe je zo n oom met GeoGer kun tekenen. Pythgorishe drietllen zijn drie ntuurlijke getllen die voldoen n de stelling vn Pythgors. Zo is, en 5 een pythgorish drietl omdt + + 5. De 'primitieve pythgorishe drietllen' kleiner dn 100 zijn: 5 11 60 61 5 1 1 16 6 65 8 15 17 56 65 7 5 8 55 7 0 1 9 1 8 85 1 5 7 6 77 85 9 0 1 9 80 89 8 5 5 65 7 97 ovendien krijg je een nieuw pythgorish drietl ls je een pythgorish drietl met een ntuurlijk getl vermenigvuldigt. Vooreelden: 5 5 1 1 0 1 9 6 8 10 10 6 0 58 9 1 15 15 6 9 60 6 87 1 16 0 0 8 5 Er lijken oneindig veel ntuurlijke getllen, en te estn die voldoen n +. Ntuurlijke getllen vinden die n de voorwrde + voldoen, lijkt ehter niet zo eenvoudig te zijn. Meer zelfs: er estn gewoonweg geen getllen die ern voldoen. Er is zelfs een stelling die zegt dt er voor elk ntuurlijk getl n geen n n n oplossingen zijn voor + `,, N 0j. Dit noteerde de Frnse wiskundige Pierre de Fermt rond 167 in de kntlijn vn één vn zijn oeken. Een ewijs vn deze Proefexemplr stelling heeft men ij hem ehter nooit gevonden. Deze uitsprk werd ekend ls 'het vermoeden vn Fermt' en er werd eeuwenlng gezoht nr een ewijs vn dit vermoeden. et is ps in 199 dt de Engelse wiskundige ndrew Wiles, n zeven jr ononderroken en hrdnekkig zoeken, deze stelling heeft kunnen ewijzen. 1
1 6 ) Vierkntswortel 100 10 omdt 10 100 9 omdt m 9 vierkntswortel In woorden: is een vierkntswortel vn ls en slehts ls het kwdrt vn gelijk is n. In symolen: F en zijn positieve reële getllen. Opmerkingen: - estt niet. ij het erekenen met het rekentoestel vershijnt de vermelding ERROR ^ 9 h 9 ^ 81 h 9 81 Dus: ^ h Om vierkntswortels te erekenen geruiken we een rekenmhine. We geruiken hiervoor de toets. 81 9 1, 5, 5 1, 705080... Deze ltste kunnen we niet ls een reuk shrijven. We noemen een irrtionl getl. We kunnen fgerond tot op deimlen shrijven ls 1,7. Toepssing: Een zijde vn een rehthoekige driehoek erekenen Vooreeld 1: Vooreeld : Gegeven: D, W 90 8, 10 Gegeven: D, W 90 6, Gevrgd: x? Gevrgd: x? Oplossing: We pssen de stelling vn Pythgors toe in D + x x x 8 + 6 6 + 6 100 x x 10 100 x 8 de lengte vn een zijde is positief 6 Oplossing: We pssen de stelling vn Pythgors toe in D + + x 6 x x 6-6 - 16 0 x 0 5 5 Proefexemplr ntwoord: De lengte vn 5? is 10. ntwoord: De lengte vn 5? is 5. $ 6 x
7 ) Rtionle en irrtionle getllen 0, 666... hoofdstuk 1 STEllING vn PyTGORS In deze deimle voorstelling komt een repeterend gedeelte voor, nmelijk 6. Dit noemen we de periode. 0, 66... ier is de periode 6. 11 We noemen en rtionle getllen. 11 1, 1156... In deze deimle voorstelling komt geen repeterend gedeelte voor, hoever we de nuwkeurigheid ook (met omputers) opdrijven. p, 11596... Dit getl evt geen periode. 7, 657511... Dit getl evt geen periode. We noemen, p en 7 irrtionle getllen. esluit: 1,7 Deimle voorstellingen vn rtionle getllen evtten een periode. Deimle voorstellingen vn irrtionle getllen evtten geen periode. De rtionle en de irrtionle getllen smen noemt men de reële getllen (symool R). Z ] rtionl getl: 7; 11 ; - ; 11 ; - ; 0, ; 0, 1515... reëel getl: [ 7 8 ] \ irrtionl getl: ; ; - 7; p omputers kunnen heel veel deimlen weergeven vn rtionle en irrtionle getllen: 7 0,1515-11 1,5 p - 7 Proefexemplr Q R 15
16 8 ) onstrutie vn irrtionle lengten 1 1 1 D 1 We pssen de stelling vn Pythgors toe in volgende driehoeken in D: 1 + 1 1 + 1 P in DD: D 1 + ^ h 1 + P in DDE: E 1 + ^ h 1 + P D E E 5 1 6 oewel,, irrtionle getllen zijn, kunnen we toh nuwkeurig een lijnstuk tekenen wrvn de lengte,, is. Om nuwkeurig een lijnstuk te tekenen met lengte rehthoekszijden m en 5 m zijn, wnt: + 5 9 ^ 9 h m F 1 G 9 m onstrueer je een rehthoekige driehoek wrvn de 5 m 9 m Proefexemplr 10 11 1 9 8 7 1 6 1 5 1
hoofdstuk 1 9 ) Toepssingen op de stelling vn Pythgors Toepssing 1: De wslijn 9 m m,5 m STEllING vn PyTGORS De plen vn een wslijn stn 9 m vn elkr verwijderd en zijn zelf,5 m hoog. In het midden vn de wslijn wordt een mndje met wsspelden gehngen. ierdoor rekt de drd uit en komt het diepste punt tot op m vn de grond. oe lng is de drd nu geworden? Oplossing: In D:, 5;, 5-0, 5; W 90 We pssen de stelling vn Pythgors toe in deze driehoek: +, 5 + 0, 5 0, 5 + 0, 5 0, 5 ntwoord: 0, 5, 5 De wslijn is $ 0, 5 m of ongeveer 9,06 m lng. Proefexemplr,5 m 17
18 Toepssing : De tent ij de strt vn het zomerkmp vn hun jeugdeweging willen en en Stijn hun tent optrekken. ls je weet dt de shuin gepltste zeilen vn de tent een lengte heen vn,5 m en dt het grondzeil 6 m reed is, ereken dn de hoogte vn de tent. et proleem egrijpen: Mk een shets vn het voorvlk vn de tent. Duid de gegevens erop n. Welke lengte wordt er gezoht? Oplossing: et voorvlk vn de tent is een gelijkenige driehoek. We weten dt de hoogtelijn uit de top ook de middelloodlijn vn de sis is. ijgevolg: In D ^X 90h pssen de stelling vn Pythgors toe +,5 + 1,5 + 9 1,5-9,5, 5 1, 80 ntwoord: De tent is ongeveer 1,80 m hoog. Proefexemplr 6,5
Toepssing : Dethride hoofdstuk 1 STEllING vn PyTGORS ij een dethride komen twee stuntmnnen Koen en Wouter n elkr lngs een kel nr eneden. Ilke doet volgende vststellingen: 70 m 50 m J E 0 m 15 m (Wouter) F 80 m 10 m (Koen) op welke fstnd evinden Koen en Wouter zih vn elkr op het moment dt Ilke de vststellingen doet? ereken tot op 1 m nuwkeurig. et proleem egrijpen: Oplossing: Welke lengte moet je zoeken? In D ^X 90h geldt: In welke driehoek zul je werken? 50 m - 0 m 0 m 80 m - 15 m 65 m ntwoord: Wouter en Koen evinden zih op 71,59 m vn elkr. ereken de lengte vn de keln tot op 1 m nuwkeurig. et proleem egrijpen: G + Oplossing: 0 + 65 515 515. 71, 59 Welke fstnden he je nodig om de lengte De totle lengte is: D + + D vn de keln te erekenen? In welke driehoeken zl je dn werken? In DJ ^V J 90h: In DGD ^W G 90h: ntwoord: De totle lengte vn de keln is ^5 + 71, 59 +, 7hm 11,1 m. D J + J 0 + 15 65 dus: 65 5 dus: D G + GD D 0 + 0 00 + 1600 000 Proefexemplr 000.,7 19
0 10 ) Toepssingen op de stelling vn Pythgors in de ruimte Toepssing 1: Gegeven: De kuus De kuus EFG m met een rie vn m. D op 6 D@nemen we M zodt M 1 m. Gevrgd: ereken M, M en. Oplossing: Welk soort driehoek isdm? In DM D: M MD D stelling vn Pythgors met DM Y + 90 + 9 + 16 5 dus: M 5 m In DD M: M D DM stelling vn Pythgors met MD Y + 90 + 16 + 9 5 dus: M 5 m In D D : D + D dus: + 16 + 16 m 16 m m DM is gelijkenig wnt M M 5 m $ stelling vn Pythgors met D Y 90 Proefexemplr E F 1 M D G
Toepssing : Gegeven: De lk In een lk EFG m zijn de fmetingen 10 m, 8 m en 6 m. D Gevrgd: ereken FD. et proleem egrijpen: epl een driehoek wrvn 6 FD@ een zijde is. G n of je voldoende elementen het om in die driehoek 6 FD@ te erekenen. Moet je nog op zoek nr een tweede rehthoekige driehoek om het proleem op te lossen? Oplossing: DFD is rehthoekig in FD F + D FD 6 + D (1) We erekenen nu D in D. hoofdstuk 1 Omdt deze driehoek rehthoekig is in pssen we de stelling vn Pythgors toe. DD is rehthoekig in D D + D 6 + 100 16 We vervngen () in (1): FD FD FD 6 + D 6 + 16 00 00 10 ntwoord: 6 FD@ is 00 m of ongeveer 1, 1 m lng. () E 6 F STEllING vn PyTGORS Proefexemplr 10 D 8 G 1
Toepssing : De pirmide TD is een regelmtige pirmide met een vierknt ls grondvlk. De zijde vn het vierknt meet 16 m en de opstnde rie vn de pirmide meet m. ereken de hoogte vn de pirmide. Gegeven: Gevrgd: Oplossing: TD is een regelmtige pirmide, D is het grondvlk D 16 m; T m de hoogte T DT is rehthoekig in. We erekenen eerst. Dit doen we in vierknt D. DD is rehthoekig en gelijkenig (in een vierknt stn de digonlen loodreht op elkr en snijden elkr middendoor) D D + 56 $ 18 18 6 8 In DT : $ $ stelling vn Pythgors in D T T + stelling vn Pythgors in T ^ h T + 18 T - 18 56 T 56 ntwoord: De hoogte is 56 m of ongeveer 18, 87 m. Tk: epl met GeoGer de hoogte vn deze pirmide door de situties met pssende fmetingen in het vlk te tekenen. Teken het vierknt D. Teken T. epl de lengte vn 6 T@. D Proefexemplr 16? T D 16 T 16 16 16 16
11 ) Smenvtting hoofdstuk 1 Je kent de stelling vn Pythgors en je kunt ze meetkundig voorstellen. STEllING vn PyTGORS In een rehthoekige driehoek is het kwdrt vn de shuine zijde gelijk n de som vn de kwdrten vn de twee rehthoekszijden. Je kent de omgekeerde stelling vn Pythgors + of + ls in een driehoek het kwdrt vn een zijde gelijk is n de som vn de kwdrten vn de twee ndere zijden, dn is deze driehoek rehthoekig. Je kunt een Pythgorsoom tekenen. Je weet dt elk positief reëel getl een positieve en een negtieve vierkntswortel heeft. Je kunt de vierkntswortel vn een positief getl erekenen met een rekenmhine. Je weet dt rtionle getllen in hun deimle voorstelling een periode heen en dt deimle getllen zonder periode irrtionle getllen genoemd worden. Je weet dt de rtionle en de irrtionle getllen smen de verzmeling vn de reële getllen vormen. Je kunt lijnstukken met irrtionle lengten onstrueren. Je kunt de stelling vn Pythgors toepssen in vlkke figuren en ruimtefiguren. Proefexemplr
1 ) Oefeningen 1 ereken met je rekenmhine tot op deimlen nuwkeurig. 7 + d 5 + 6 5 e 195 5 f 7 + 5 Vul in met, of. d 7 5 e 5 10 7 7 f 5 7 Welke vn volgende driehoeken MNP zijn rehthoekig? Welke hoek is reht? Kruis het pssende vkje n. MN MP NP RETOEKIG NIET RETOEKIG 90 1 8 17 15 5 8 91 5, 9 7, 100 60 80 5 68 60 6,8 9,6 10 7 5 6 6 8 9 7 11 Zijn volgende getllen Pythgorishe drietllen? 1 55 15 9 1 97 65 7 5 0 8 J Proefexemplr 5 0 1 NEE
5 Vul n met een getl zodt je een Pythgorish drietl krijgt. 15 6 16 65 5 7 d 7 5 e 75 1 hoofdstuk 1 6 onstrueer 6 @, 6D@ en 6EF@ zodt 1 m, D 18 m en EF 5 m. STEllING vn PyTGORS Proefexemplr 5
6 7 ereken x ls je over de volgende gegevens eshikt. Rond je uitkomst f tot op deimlen nuwkeurig. x K 1 x 5 9 1 M d T Proefexemplr 18 5,7 x R x G F 7,6 5 S
hoofdstuk 1 STEllING vn PyTGORS 8 et poppenhuis vn Julie heeft onderstnde fmetingen. ereken in m de totle oppervlkte vn het dk. 9 In een gelijkzijdige driehoek is de hoogte 9 m. oe lng zijn de zijden? Werk tot op 1 m nuwkeurtig. 10 Een 8 m hoge oom is door de liksem getroffen en is geknkt. De top vn de oom rkt de grond op preies 5,5 m vn de stm. Op welke hoogte (op 1 m nuwkeurig) is de oom geknkt? 5 m m Proefexemplr m 6 m 7
8 11 De lengte vn de digonlen vn een ruit edrgen 8 m en 6 m. ereken de lengte vn de zijde vn de ruit. 1 Een ldder vn,8 m stt tegen een muur. De voet vn de ldder is 1,6 m vn de muur verwijderd. oe hoog rust de ldder tegen de muur? Werk tot op 1 m nuwkeurig. 1 De zijde vn een gelijkzijdige driehoek meet 1 m. ereken de hoogte vn die driehoek. Werk tot op 0,01 m nuwkeurtig. Proefexemplr
1 De VRT-rdiomst in Grimergen is 165 m hoog. hoofdstuk 1 6 m onder de top is een kel evestigd die nr een punt op de grond loopt, dt 0 m vn de zendmst fligt. ereken de lengte vn deze kel. STEllING vn PyTGORS 15 Een mn wil ij wijze vn stunt een touw spnnen tussen torens, vn 0 m en m hoog en die 5 m vn elkr stn. oe lng moet het touw minstens zijn? 0 m Proefexemplr 5 m m 9
0 16 We kunnen de stelling vn Pythgors ook toepssen in ruimtefiguren. We gn op zoek nr rehthoekige driehoeken. d Noteer de stelling vn Pythgors voor driehoek EG. Noteer de stelling vn Pythgors voor driehoek G. Noteer de stelling vn Pythgors voor driehoek EI. Noteer de stelling vn Pythgors voor driehoek DJ. E F I 17 In deze lk is M het midden vn 6 D@. ereken EM. J 18 Een keukeninstllteur wil ngn of de muren reht tegen elkr stn. Vnf het hoekpunt meet hij op eide muren 15 m f. Nu meet hij tussen de twee punten 1,90 m. Stn deze muren loodreht tegen elkr? D G d 6 m E F 1 m 15 m 15 m 190 m Proefexemplr D M v v G 8 m
19 Stef zwemt een m rede rivier over. n de over- knt stelt hij vst dt hij 5 m stroomfwrts is gedreven. Duid op de tekening de fmetingen n. oeveel meter heeft Stef gezwommen? hoofdstuk 1 STEllING vn PyTGORS 0 Een heel oude opgve, uit ongeveer 1800 voor hristus, is te vinden op een ylonish kleitlet (in het ezit vn het ritish Museum te onden). De vertling luidt: Een lk met de lengte stond heleml tegen een muur n. ij is weggeshoven, wrij het oveneind 0,6 omlg is geshoven. oe ver is hij eneden vn de muur weggeshoven? 1 Twee even hoge plen stn 10 meter vn elkr verwijderd. Er is een touw strk gespnnen tussen de twee toppen vn de plen. Wnneer een koorddnser in het midden vn het touw komt, is het touw 50 m doorgezkt. oeveel m is het touw uitgerekt door het gewiht vn de koorddnser? Proefexemplr 1
Gegeven: Een lk wrij M het midden is vn 6 FG@. D 9 m D m G m Gevrgd: ereken. Werk in. ereken G. ereken M ereken de lengte vn de digonl 5 G? vn een kuus met zijde 1 m. ereken de lengte vn de digonl 5? vn een lk met l 6 m; m en h 1 m. E 1 6 F D G Proefexemplr E 1 E F F 1 9 M D D 1 G G
5 Is het mogelijk om een stok met lengte 1 meter in deze gesloten lkvormige doos te krijgen? 6 ereken de hoogte h vn deze kegel. hoofdstuk 1 STEllING vn PyTGORS 7 Vn een pirmide is het grondvlk een vierknt met zijde 6 m en de hoogte 18 m. ereken de lengte vn de opstnde zijde. Werk tot op 0,1 m nuwkeurig. D 6 18 T 6 80 m m 0 m 50 m 1 m Proefexemplr h
8 Een kuusvormig stuk hout met zijde 0 m wordt in twee stukken gesneden. ereken de oppervlkte vn de doorsnede. 9 De ruimtedigonl vn een kuus is. De oppervlkte vn deze kuus is 18 d 6 e 5 JWO 009, de ronde, proleem 6 Vlmse Wiskunde Olympide vzw 0 Welke rehthoekige driehoek heeft een omtrek met hetzelfde mtgetl ls zijn oppervlkte (v. 7 m en 7 m )? Een driehoek met rehthoekszijden m en m 6 m en 8 m 9 m en 1 m d 1 m en 16 m e 15 m en 0 m JWO 005, de ronde, oefening 17 Vlmse Wiskunde Olympide vzw Proefexemplr 0 0
1 Nst de gekende pirmides vn heops en hefren stt ook de minder indrukwekkende pirmide vn Mykerinos. et grondvlk is een vierknt met zijde 108 m en elke opstnde zijde vn deze pirmide is 97 m lng. ereken de hoogte vn deze pirmide. Werk tot op 1 m nuwkeurig. hoofdstuk 1 STEllING vn PyTGORS Proefexemplr 5
pl r Een Pythgorsoom tekenen Teken zelf (met of zonder omputer) een Pythgorsoom. t je retiviteit werken! Pr oe fex em ieronder een ntl vooreelden een Pythgorsoom tekenen 6
hoofdstuk 1 Een Pythgorsoom tekenen met GeoGer een Pythgorsoom tekenen STEllING vn PyTGORS In GeoGer kunnen we met mro s werken. Mro s zijn erg nuttig ls we eplde hndelingen meerdere keren moeten herhlen. ngezien het tekenen vn de Pythgorsoom uit twee vershillende meetkundige onstruties estt, leren we hoe we deze moeten uitvoeren. Tekenen vn een vierknt Dit kunnen we eenvoudig vi het ioontje regelmtige veelhoek. Tekenen vn een gelijkenige rehthoekige driehoek Sluit het lgervenster (hierdoor krijgen de getekende ojeten geen nm mee) en vererg de ssen. Teken een willekeurig lijnstuk 6 @. Teken de middelloodlijn vn het lijnstuk 6 @. Duid het midden vn 6 @ n. Teken de irkel met ls middelpunt en die gt door en. Zoek het snijpunt D vn de irkel met de getekende middelloodlijn. Teken de driehoek D. Door ojet tonen uit te vinken kun je de hulponstruties onzihtr mken. Zorg ervoor dt lleen de getekende driehoek lijft stn. We mken hier nu een mro vn: Teken met de linkermuisknop ingedrukt een rehthoek rond de getekende driehoek. Klik dn op mro s en kies voor Nieuwe mro nmken. Kies ls eindojeten lles wt er vermeld stt en voeg er driehoek veelhoek 1 n toe. Kies ls eginojeten: en. Klik dn op volgende en ndien op eëindigen. Klik op Mro s eheren en kies ls nm voor de mro: gelijkenige rehthoekige driehoek. Vergeet niet de mro op te sln. Tekenen vn een Pythgorsoom Teken een vierknt. Geruik de mro Gelijkenige rehthoekige driehoek om op de zijde vn het vierknt ovenn een gelijkenige rehthoekige driehoek te onstrueren. Vervolgens teken we twee vierknten, een op elke rehthoekszijde vn de getekende rehthoekige driehoek. Deze stppen lijf je voortdurend herhlen tot je een mooie oom krijgt. Doe het nu zelf 1 Mk een Pythgorsoom en wees retief. Doe het met ehulp vn IT (zols hieroven werd eshreven) of doe het op een mooi tekenld. Proeer ook een sheve Pythgorsoom te mken. Je geruikt dn niet een gelijkenige rehthoekige driehoek, mr wel een niet-gelijkenige rehthoekige driehoek. reëer een D-Pythgorsoom. Geruik piepshuim, krton, hout en ntuurlijk een gezonde portie retiviteit. Zorg voor een originele titel en vergeet je hndtekening niet te pltsen. Proefexemplr 7 vrdigheden