ENGLISH VERSION: SEE PAGE 7 TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Calculus B (WBB) op maandag 8 januari 03, 4:00 7:00 uur Maak dit vel los van de rest van het tentamen. Vul uw naam etc. in op dit vel en op alle gelinieerde bladen die u inlevert. Dit vel moet samen met uw uitwerkingen aan het einde van het tentamen worden ingeleverd. Het tentamen bevat 5 kort-antwoord-vragen en 7 open vragen. De achterkant van dit vel bevat 5 kort-antwoord-vragen. Bij deze kort-antwoord-vragen hoeft u alleen het antwoord te geven in het daarvoor bestemde kader. Uitwerkingen spelen geen rol bij de beoordeling van dit type vragen. De uitwerkingen van de open opgaven dienen duidelijk geformuleerd en geordend opgeschreven te worden. Ieder antwoord dient onderbouwd te worden. In totaal kunt u 50 punten halen. Het aantal punten dat u voor een onderdeel kunt halen, staat tussen rechte haken voor het betreffende onderdeel vermeld. Het cijfer voor dit tentamen wordt bepaald door het aantal behaalde punten door 5 te delen en tot één cijfer achter de komma af te ronden. Het eindcijfer voor het vak WBB0 wordt vastgesteld aan de hand van de procedure beschreven in de studiehandleiding. U mag geen gebruik maken van laptop, rekenmachine, boek of schriftelijk materiaal. Achternaam en initialen Identiteitsnummer Opleiding zie volgende pagina
Tentamen Calculus B (WBB) op maandag 8 januari 03, 4:00 7:00 uur Kort-antwoord-vragen. Zij V het vlak in R 3 door de punten P = (,, ), Q = (, 3, 5), en R = (0, 0, ). Bepaal een vergelijking voor vlak V (dus niet een parametervoorstelling).. Bepaal de afgeleide van f() = (3). 3. Bereken cos(arctan(3)). 4. Bereken de volgende limiet: lim 4 + 4 + ln( 4 ) + 4 + 4. 5. Zij ( a b ) een vector in de R, met a en b niet beide gelijk aan 0. Bepaal een vector met lengte die loodrecht op deze vector staat. zie volgende pagina
Tentamen Calculus B (WBB) op maandag 8 januari 03, 4:00 7:00 uur Open vragen 6. Geef een vector (, y, z) in R 3, waarvoor geldt ( betekent uitprodukt): y =. z 3 0 7. Zij f : R R de functie gegeven door f() = e e +. (a) Bepaal de afgeleide f () en laat zien dat f () > 0 voor alle R. (b) Uit (a) volgt dat f inverteerbaar is. Bepaal de inverse f van f. 8. Bereken lim 0 3 arctan() sin(3) 3. 9. Bepaal het Taylorpolynoom van graad rond = 4 van de functie f() = 3 + 4. 0. Bepaal de volgende integralen: (a) sin() cos() ln(sin()) d. (b) 0 + 3 + d.. Bepaal een vergelijking van de raaklijn door het punt (, 0) aan de kromme, gegeven door de vergelijking + tan(y) = 4. [ 5 ]. Bepaal de oplossing y van de differentiaalvergelijking dy d + y = 63, met beginwaarde y() =. Tabellen staan op laatste pagina s. 3
Tentamen Calculus B (WBB) op maandag 8 januari 03, 4:00 7:00 uur 4
Tentamen Calculus B (WBB) op maandag 8 januari 03, 4:00 7:00 uur g() n, n n+ n+ f () f() e a, a > 0, a sin() cos() sin () cos () tan() Primitieven g() d ln( ) ln( f() ) e a ln(a) cos() sin() cos() sin() tan() ln( cos() ) ln( tan( ) ) sin() ln( tan( + π) ) cos() 4 e a sin(b), a + b > 0 e a cos(b), a + b > 0, a > 0 arctan( ) a + a a, a > 0 ln( a+ a a a a, a > 0 arcsin( ) a e a a +b (a sin(b) b cos(b)) e a a +b (a cos(b) + b sin(b)) ) a, a > 0 ln( + + a ) +, a > 0 ln( a + a ) a, a > 0 a +, a > 0 a, a > 0 a + a arcsin( ) a a + + a ln( + + a ) a + a ln( + a ) Opmerkingen Alle parameters zijn reële getallen. De constanten zijn weggelaten. 5
Tentamen Calculus B (WBB) op maandag 8 januari 03, 4:00 7:00 uur Function Taylorpolynomen Taylor polynomial plus O-term e + + + + n! n + O( n+ ) cos() + 4 4 + + ( )n ( n)! n + O( n+ ) sin() 6 3 + 0 5 + + ( )n n+ + O( n+ ) ( n + )! + ln( + ) + + + ( ) n n + O( n+ ) + 3 3 + + ( )n n + n+ + O( n+ ) + + 4 + + ( ) n n + O( n+ ) arctan() 3 3 + 5 5 + + ( )n ( n + ) n+ + O( n+ ) ( ) ( ) ( ) α α α ( + ) α + + + + n + O( n+ ) n Alle Taylorpolynomen zijn polynomen rond het punt 0. De binomiaalcoëfficiënten zijn gedefinieerd door ( ) α α (α ) (α ) (α (k )) = k 3 k ( ) α = 0, k =,, 3,... Goniometrische identiteiten cos( + y) = cos() cos(y) sin() sin(y) sin( + y) = sin() cos(y) + cos() sin(y) cos () = + cos() sin () = cos() 6
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Department of Mathematics and Computer Science Eam Calculus, WBB, Monday 8 January 03, 4:00 7:00 Please detach this sheet from the rest of the eam. Make sure to fill out your name etc. on this sheet and on all other sheets that you hand in. Scratch paper need not be handed in. The eam consists of 5 short-answer questions and 7 open questions. You can give your solutions in English (preferred) or in Dutch. The backside of this sheet contains the short-answer questions. You are required to give only the answer (and nothing else) in the indicated bo. Argumentations are not needed. The solutions to the open problems should be motivated, formulated clearly and arranged orderly. The maimum score for the eam is 50 points. The maimal number of points you can get for a (sub)part, is indicated in front of the part between brackets. The final grade for the eam is obtained by dividing the total score by 5, rounding to one decimal place. The final grade of the course WBB0 is determined according to the rules stated in the study guide. Use of laptop, calculator, books, or written material is not allowed. Last name and initials Identity number Program see net page 7
Eam Calculus, WBB, Monday 8 January 03, 4:00 7:00 Short answer problems. Let V be the plane in R 3 containing the three points P = (,, ), Q = (, 3, 5), en R = (0, 0, ). Find an equation of the plane V (not a parameterisation).. Determine the derivative of f() = (3). 3. Determine cos(arctan(3)). 4. Compute the limit: lim 4 + 4 + ln( 4 ) + 4 + 4. 5. Let a b be a vector in R, with a and b not both equal to 0. Determine a vector with length perpendicular to this vector. see net page 8
Eam Calculus, WBB, Monday 8 January 03, 4:00 7:00 Open questions 6. Give a vector (, y, z) in R 3, such that ( means cross product): y =. z 3 0 7. Let f : R R be the function given by f() = e e +. (a) Determine the derivative f () and show that f () > 0 for all R. (b) From (a) it follows that f is invertible. Determine the inverse f of f. 8. Compute lim 0 3 arctan() sin(3) 3. 9. Give the Taylor polynomial of degree around = 4 of the function f() = 3 + 4. 0. Compute the following integrals: (a) sin() cos() ln(sin()) d. (b) 0 + 3 + d. [ 5 ]. Determine an equation of the tangent line at the point (, 0) to the curve, given by the equation + tan(y) = 4.. Determine the solution y of the differential equation dy d + y = 63, with initial value y() =. You can find tables on the last pages. 9
Eam Calculus, WBB, Monday 8 January 03, 4:00 7:00 0
Eam Calculus, WBB, Monday 8 January 03, 4:00 7:00 g() n, n n+ n+ f () f() e a, a > 0, a sin() cos() sin () cos () tan() Antiderivatives g() d ln( ) ln( f() ) e a ln(a) cos() sin() cos() sin() tan() ln( cos() ) ln( tan( ) ) sin() ln( tan( + π) ) cos() 4 e a sin(b), a + b > 0 e a cos(b), a + b > 0, a > 0 arctan( ) a + a a, a > 0 ln( a+ a a a a, a > 0 arcsin( ) a e a a +b (a sin(b) b cos(b)) e a a +b (a cos(b) + b sin(b)) ) a, a > 0 ln( + + a ) +, a > 0 ln( a + a ) a, a > 0 a +, a > 0 a, a > 0 a + a arcsin( ) a a + + a ln( + + a ) a + a ln( + a ) Remarks All parameters are real numbers. The constants have been omitted.
Tentamen Calculus B (WBB) op maandag 8 januari 03, 4:00 7:00 uur Function Taylor polynomials Taylor polynomial plus O-term e + + + + n! n + O( n+ ) cos() + 4 4 + + ( )n ( n)! n + O( n+ ) sin() 6 3 + 0 5 + + ( )n n+ + O( n+ ) ( n + )! + ln( + ) + + + ( ) n n + O( n+ ) + 3 3 + + ( )n n + n+ + O( n+ ) + + 4 + + ( ) n n + O( n+ ) arctan() 3 3 + 5 5 + + ( )n ( n + ) n+ + O( n+ ) ( ) ( ) ( ) α α α ( + ) α + + + + n + O( n+ ) n All Taylor polynomials are polynomials about the point 0. The binomial coefficients are defined by ( ) α α (α ) (α ) (α (k )) = k 3 k ( ) α = 0, k =,, 3,... Trigonometric Identities cos( + y) = cos() cos(y) sin() sin(y) sin( + y) = sin() cos(y) + cos() sin(y) cos () = + cos() sin () = cos()