De tweede wet van Newton

5 De tweede wet an Newton De eeste wet an Newton zegt ons wat e gebeut als e op een ssteem geen (esulteende) kacht wekt: het ssteem is dan in ust of oet een ERB uit ( is constant). De tweede wet zegt ons wat e gebeut als e op een ssteem wel een (esulteende) kacht wekt. Wie denk je dat e gelijk heeft in ondestaande conceptcatoon? CNO (Centum Nascholing Ondewijs) Soms kunnen die twee effecten ook tegelijketijd opteden, b. een auto die tegen een boom botst, wodt eomd en komt tot stilstand. In het dede jaa zag je dat een kacht een statisch of een dnamisch effect kan hebben. Voobeeld Effect Plooien an een staaf. Statisch effect: de staaf wodt eomd. Vetek an een Space Shuttle. Dnamisch effect: de aket esnelt. Inteactie_6._Lb.indb 46

47 Zijwind. Dnamisch effect: de steke zijwind kan een wagen an zijn ijichting doen afwijken. K INE M ATICA E N DY NA M ICA Een zwaan die landt op het wate. Dnamisch effect: de zwaan etaagt en komt tot stilstand. De tweede wet an Newton gaat oe het dnamisch effect an een kacht, het esnellen, etagen en/of afbuigen an een ssteem doo een kacht. In elk an die geallen eandet de snelheidsecto - esnellen: wodt gote - etagen: wodt kleine - afbuigen: eandet an ichting. E is een snelheidseandeing en dus een esnelling a! Kacht eoozaakt esnelling! Dat leidt tot olgende ondezoeksaag: AG SVRA OEK Z R DE ON Inteactie_6._Lb.indb 47 Welke eband bestaat e tussen de (esulteende) kacht op een ssteem en de esnelling a an het ssteem? We ondezoeken de aag aan de hand an olgende twee oobeelden.

48 ] Kinematica en dnamica Voobeeld 1: de paachutespong an eli Baumgatne. eli Baumgatne is een Oostenijkse basejumpe die in 01 als eeste doo de geluidsmuu ging bij een ije al. Hij spong daaoo uit een heliumballon anop 39 km hoogte en haalde na ongeee 40 s een snelheid an 100 km/h, de geluidssnelheid. Zijn snelheid liep daana nog op tot 1357 km/h! Op 39 km hoogte is e nagenoeg geen lucht mee aanwezig. Daaom doeg hij een speciaal pak. E is geen luchtweestand: de zwaatekacht z is de enige kacht die op hem wekte. Die kacht is eticaal en naa beneden geicht. z Omdat hij uit een ballon spong, was zijn baan echtlijnig en eticaal. De figuu toont zijn snelheid op twee eschillende tijdstippen bij het begin an zijn spong. 1 is de snelheid op ogenblik t1. is de snelheid op (het iets latee) ogenblik t. Zijn gemiddelde esnelling in dat tijdsinteal is 1-1 (- 1) ag t - 1 a g t t Als je de ecto ag bepaalt, zie je dat die eticaal en naa beneden geicht is zoals de zwaatekacht. Dat geldt ook oo de ogenblikkelijke esnelling a. 001_IA6._Lb_Deel1_Kinematica_GC.indd 48 5/08/15 11:48

49 Voobeeld : het doppen an een oedselpakket. K INE M ATICA E N DY NA M ICA In conflictgebieden woden oedselpakketten gedopt om de bugebeolking te helpen. w We bekijken de esulteende kacht op zo n pakket in punt P. Op het pakket weken twee kachten: de zwaatekacht z en de luchtweestand w. De som an die twee ectoen geeft de esulteende kacht zoals in de figuu. P z Het pakket alt niet echt naa beneden maa olgt een komlijnige baan. De figuu toont de snelheid an het pakket op twee eschillende tijdstippen ond punt P. 1 is de snelheid op ogenblik t1. is de snelheid op ogenblik t. 1 P De gemiddelde esnelling in dat tijdsinteal is - 1 1 (- 1) ag t 1 t Als je de ecto ag constueet, zie je dat die dezelfde ichting en zin heeft als de esulteende kacht! Dat geldt ook oo de ogenblikkelijke esnelling a. P a g Inteactie_6._Lb.indb 49 t

50 ] Kinematica en dnamica Uit deze twee oobeelden blijkt dat de (esulteende) kacht op een ssteem en de esnelling a an het ssteem (eoozaakt doo die kacht) dezelfde ichting en zin hebben. Dat geldt algemeen: De (esulteende) kacht op een ssteem en de esnelling a an het ssteem hebben dezelfde ichting en zin. (1) Daamee weten we nog niet welk eband e bestaat tussen de gootte an de kacht en gootte an de esnelling. 7 a m cte Epeimenteel blijkt dat: - de esnelling an een ssteem echt eenedig is met de kacht die op het ssteem wekt: hoe hade je duwt bij het etek met de fiets, hoe gote je esnelling. a~ - de esnelling an een ssteem omgekeed eenedig is met de massa an het ssteem: met twee zwae fietszakken op je fiets, is je esnelling kleine dan zonde (als je dezelfde kacht uitoefent!). a~ a cte 1 m Daauit olgt a~ of m a m~ 1/m cte a m cte m a Doo de keuze an de newton als eenheid an kacht in het SI-stelsel is de cte in deze fomule gelijk aan 1 en onbenoemd. Als een ssteem met massa m een esnelling heeft met gootte a, wekt op het ssteem een (esulteende) kacht met gootte m a () Kacht wodt uitgedukt in newton, smbool N: 1 N 1 kg m/s De eigenschappen (1) en () kunnen samengeoegd woden: WET Als op een ssteem een (esulteende) kacht wekt, heeft het ssteem een esnelling a en geldt m a Dat is de tweede wet an Newton. Inteactie_6._Lb.indb 50

51 ls e op een oowep eschillende kachten inweken, moet je alle kachten ectoieel samentellen. A De kacht is dan de esulteende kacht op het ssteem. i m a 7 De tweede wet an Newton geldt enkel oo puntmassa s. Reële oowepen kunnen als geolg an de esulteende kacht ook een otatieesnelling kijgen. 3 a 5 4 K INE M ATICA E N DY NA M ICA 1 Als op een ssteem meedee kachten inweken, behouden die elk hun eigen uitweking, onafhankelijk an elkaa. Dat staat bekend als het onafhankelijkheidsbeginsel. Volgende gedachtepoef illusteet dat: hoog boen het aadoppelak wodt anuit een ballon in ust een speelgoedliegtuigje gelanceed. Het mototje oefent een constante en hoizontale kacht m uit. De zwaatekacht z is eticaal en naa beneden geicht. Elk an die kachten heeft zijn effect: het liegtuigje zal hoizontaal esnellen doo de motokacht en eticaal naa beneden esnellen doo de zwaatekacht. De figuu toont het esultaat. De baan is echt en het is alsof e één enkele kacht op het ssteem wekt, de esulteende kacht. 7 We laten de wijingskacht buiten beschouwing. 30 7 0 1 10 m 3 0 0 4,9 z 10 19,6 0 30 40 44, 50 Bekijk nu eens teug de conceptcatoon an p. 46. Wie heeft e gelijk? Ben je an mening eanded? Zo ja, waa zat dan de fout in je edeneing? Inteactie_6._Lb.indb 51

5 ] Kinematica en dnamica Paktische toepassing: de oploopem an een aanhangwagen Aanhangwagens waaan de maimale massa mee dan 750 kg mag bedagen, moeten oozien zijn an een eigen emssteem. Dat zegt het Koninklijk Besluit (K.B.) an 15 maat 1968 At. 47. Met de tweede wet an Newton is dat te begijpen: hoe gote de massa, hoe kleine de etaging bij een gegeen emkacht. Bij een lichte aanhangwagen olstaat de emkacht an de auto om het hele ssteem af te emmen, bij een zwae aanhangwagen niet. Meestal is de aanhangwagen in dat geal oozien an een oploopem. Het in weking teden daaan steunt op de wet an de taagheid: als de auto emt, behoudt de aanhangwagen zijn snelheid (eeste wet an Newton) en dukt zo een as in; daadoo woden de emmen an de aanhangwagen in weking gezet. Om te emijden dat de oploopem bij het achteuitijden wodt ingedukt, is e een staafje oozien waadoo de afstand tussen aanhangwagen en auto gefieed kan woden. Bij het oouitijden zogt een ee eoo dat het staafje automatisch teugspingt. In de ambtelijke taal an het K.B. dat dit ooschijft, klinkt het als olgt: Wannee om het achteuitijden an de sleep toe te laten een aanhangwagen uitgeust is met een inichting waadoo de bedijfs em an het oplooptpe buiten weking kan woden gesteld, moet deze inichting zodanig zijn opgeat en uitgeoed dat bij het oouitbewegen an het oetuig de em in bedijfsaadige toestand teugkeet WAT JE NA DIT HOODSTUK MOET KENNEN EN KUNNEN: de e wet an Newton fomuleen, toelichten en illusteen met oobeelden uit het dagelijkse leen het onafhankelijkheidsbeginsel uitleggen en illusteen met een oobeeld Inteactie_6._Lb.indb 5

6 Kacht en beweging 6.1 Kacht als de beweging gekend is De beweging kan bescheen woden doo een (t)- en (t)-tabel, doo de bewegings egelijkingen of doo de (t)- en (t)-gafiek. In dit oobeeld weken we met de bewegingsegelijkingen. De foto toont één beeld uit een ideo-opname an een cashtest. Doo de positie an b. het hoofd in elk fame te egisteen, kun je de beweging daaan astleggen. Met die gegeens kun je de kacht op het hoofd en de inloed an b. de keukelzone, de godel enz ondezoeken. In deze paagaaf lee je hoe je de kacht op een ssteem kunt bepalen als je de beweging an het ssteem kent. We olgen daabij Stefanie die een petpak bezoekt. 6.1.1 Stefanie op de achtbaan P Stefanie (massa 53,4 kg) doet een it op de achtbaan (ollecoaste). We bekijken een deel an de baan dat in een eticaal lak ligt ond een top. We kiezen het (, )-assenstelsel zoals in de figuu. De positie ( en -coödinaat) an Stefanie wed gemeten om de 0,1 s. De tabel geeft de esultaten ond de top. Ga na hoe,,, a, a en a beekend weden. Rond oo de eenoud af op decimalen. Intepetee het teken (wat betekent het b. dat a negatief is?). Op welk ogenblik oeschijdt Stefanie de top? Punt P Inteactie_6._Lb.indb 53 t (s) (m) (m) (m/s) (m/s) (m/s),80 13,77 6,17,90 14,6 3,00 a (m/s) a (m/s) a (m/s) 6,1 4,93 0,3 4,94 14,76 6, 5,01-0,03 5,01 0,84 -,5,66 3,10 15,7 6,0 5,10-0,8 5,11 0,9 -,45,6 3,0 15,78 6,16 5,19-0,5 5, 1,00 -,39,59 3,30 16,30 6,10 5,30-0,76 5,35 1,07 -,3,56 3,40 16,84 6,01 5,41-0,98 5,50 1,15 -,6,53 3,50 17,39 5,90 5,53-1,1 5,66 1,3 -,19,51 3,60 17,95 5,77 5,66-1,4 5,83 1,31 -,1,49 3,70 18,5 5,6 5,79-1,63 6,0 3,80 19,10 5,45

54 ] Kinematica en dnamica We beekenen de kacht op Stefanie op 3,60 s. Ze beindt zich dan in punt P juist na de top. De kacht is de esulteende kacht! m a 53,4 kg 1,31 m/s² 70,0 N m a 53,4 kg (-,1 m/s) -113 N 133 N De tangentiële component an de kacht kun je gafisch bepalen of beekenen: De tangentiële component is positief. Dat betekent dat de snelheid an Stefanie ond dat punt toeneemt. Vemits t n ind je oo de nomaalcomponent n - t ^133 N h - ^95, 5 N h 9, 6 N Dat deel an de esulteende kacht zogt oo de afbuiging. 6,5 (m) 6,5 (m) P P 5,5 5,5 t t n n 4,5 17,0 (m) 18,0, en Inteactie_6._Lb.indb 54 19,0 4,5 17,0 (m) 18,0 19,0, t en n

55 In het Engels speekt men ook an een gaiton. DEINITIE Stefanie wil de daaiende ton doen. In dat cilindeomig toestel moet ze zich samen met de andee deelnemes tegen de wand plaatsen. Het toestel begint dan ond te daaien. Bij een bepaalde daaisnelheid laat men de bodem naa beneden zakken en blijft iedeeen tegen de wand hangen! Ze oet dan een cikelomige beweging uit waabij de gootte an de snelheid constant is. Zo n beweging noemt men een eenpaige cikelomige beweging. Definitie Een ssteem oet een eenpaige cikelomige beweging (ECB) uit als - de baan cikelomig is; - de gootte an de snelheid constant is. K INE M ATICA E N DY NA M ICA 6.1. Stefanie in daaiende ton (ECB) Andee oobeelden: een cd in een cd-leze, een band an een auto die een EB uitoet, de beweging an de aade ond de zon Omdat het ssteem geen ERB uitoet, is e een esulteende kacht. Dat leidt tot olgende ondezoeksaag. RAAG KSV E O RZ DE ON Welke kenmeken (gootte, ichting, zin) heeft de (esulteende) kacht op een ssteem dat een ECB uitoet? We bepalen die kacht anuit de beweging an het ssteem. Hoeksnelheid We kiezen het (, )-lak zo, dat de baan an het ssteem in dat lak ligt en het in tegenwijzezin beweegt. De oospong kiezen we in het middelpunt an de cikel. De positiehoek θ is de hoek tussen de -as en de ecto. Die hoek meten we in tegenwijzezin. Op t1 is de positiehoek θ1. Op t is de positiehoek θ. De afgelegde of doolopen hoek in het tijdsinteal [t1; t] is Δθ θ θ1 Vemits het oowep beweegt in tegenwijzezin, is θ gote dan θ1 en is Δθ positief. Vemits Δθ en Δt allebei positief zijn, zijn ωg en ω positief. De gemiddelde hoeksnelheid ωg in het inteal Δt is ωg θ t De ogenblikkelijke hoeksnelheid ω (t) is gelijk aan ω (t) lim t0 θ dθ t dt De hoeksnelheid kan uitgedukt woden in /s of ad/s. Inteactie_6._Lb.indb 55

56 ] Kinematica en dnamica De peiode T is de tijd nodig oo één omwenteling. De fequentie f is het aantal omwentelingen pe seconde. Eén cclus pe seconde noemt men een hetz (Hz). Tussen peiode en fequentie bestaat het olgende eband: f In het dagelijkse leen gebuikt men meestal het toeental i.p.. de hoeksnelheid. Dat geeft het aantal toeen pe minuut wee waamee b. een automoto onddaait. Voobeeld: Een boomachine doet 600 toeen pe minuut. 600 toeen/1 min 600 toeen/60 s 10 toeen pe s 10 Hz De peiode T bedaagt T 1 T 1 1 0,10 s f 10 Hz Positie Van een oowep dat een ECB uitoet, eandet de - en de -coödinaat ootduend. Voo de -coödinaat geldt We schijen (t) en θ (t) om duidelijk te maken dat en θ eandeen met de tijd. (t) cos θ (t) want cos θ θ Deze fomule geldt in elk kwadant. Ga dat na (let op het teken!). Voo de -coödinaat geldt (t) sin θ(t) Snelheid Voo de -component an de snelheid geldt d dt d dθ [ cos θ(t)] [-sin θ(t)] - sin θ ω dt dt We gebuiken hie de kettingegel die je in de lessen wiskunde leede. Voo de -component geldt d dt d dθ [ sin θ(t)] [cos θ(t)] cos θ ω dt dt Inteactie_6._Lb.indb 56

57 De gootte an de snelheid is (- ω sin θ ) ( ω cos θ ) ω (sin θ cos θ ) ω De snelheidsecto aakt in elk punt aan de cikel. Dat zie je ook aan de onken die wegliegen bij een slijpschijf. K INE M ATICA E N DY NA M ICA De oplossing - ω, die wiskundig ook mogelijk is, kan fsisch niet omdat, en ω positief zijn. Eenheden an ω In de fomule ω kloppen de eenheden niet. In feite moet e staan ω ad /s m m... (1) ad (1) ad s Die 1 ad is afkomstig an de afgeleide an sin of cos en schijft men meestal niet. (zie lessen wiskunde) Als je de hoeksnelheid ω uitdukt in ad/s kloppen de eenheden wel: ω ad /s m m... (1) ad (1) ad s Voo een oowep dat een ECB uitoet, geldt oo de gootte an de snelheid ω als je ω uitdukt in ad/s. Vemits w, hangt de snelheid af an de afstand tot het middelpunt: hoe gote, hoe gote. Dat mek je op een paadenmolen: hoe ede je aan de buitenkant zit, hoe snelle je beweegt. De hoeksnelheid ω is wel gelijk oo iedeeen die op de paadenmolen zit! Inteactie_6._Lb.indb 57

58 ] Kinematica en dnamica Uit de fomule ω leiden we nog olgende eigenschappen oo de ECB af: ω is constant Uit ω olgt ω. Vemits en constant zijn (definitie ECB), is ω ook constant. Wiskundig kan dat op dezelfde manie bewezen woden zoals b. bij de EB bewezen wed dat,g. ωg is constant en gelijk aan ω Als de hoeksnelheid op elk ogenblik dezelfde waade heeft, is de gemiddelde hoeksnelheid daaaan gelijk. ω π T ω ωg (zie oige eigenschap) Δθ (definitie) t Als het oowep éénmaal de cikelomige baan dooloopt, is de afgelegde hoek Δθ π (ad) en Δt T. Dus: ω We gebuiken hie opnieuw de kettingegel. π T Vesnelling Voo de -component an de esnelling a geldt d dt d [- w sin θ(t)] dt dθ - w [cos θ(t) ] dt - w cos θ a Voo de -component geldt d dt d [ w cos θ(t)] dt dθ w [-sin θ(t) ] dt - ω sin θ a De gootte an de esnelling is De oplossing a - ω, die wiskundig ook mogelijk is, kan niet omdat a, en ω positief zijn. Inteactie_6._Lb.indb 58 a a a (- ω cos θ ) ( ω sin θ ) ω

59 Voo de esnelling bij een ECB gelden nog olgende eigenschappen: Dat olgt onmiddellijk uit a ω emits ω en constant zijn. Alhoewel de snelheid constant is, is e toch een esnelling! De oozaak hiean is dat esnelling de eandeing an de snelheidsecto geeft (pe s): de gootte an is weliswaa constant, maa de ichting an eandet ootduend! K INE M ATICA E N DY NA M ICA De esnelling a is constant. D e esnellingsecto a is altijd geicht naa het middelpunt an de cikel. at a De esnelling bij een ECB noemt men daaom ook de middelpuntzoekende of centipetale esnelling. n a S tel dat a niet naa het middelpunt zou geicht zijn, dan heeft a een tangentiële component at eschillend an nul. Maa als at eschilt an nul, eandet de gootte an de snelheid en dat is niet het geal. a an Vemits a De oplossing a -an, is wiskundig ook mogelijk, maa kan fsisch niet omdat a en an positief zijn. an t a at an en at 0, is an an en ρ de staal an de cikel is, is ρ a an Vemits an Je kunt de fomule ook afleiden als olgt: ω en dus ω Inullen in a ω geeft a Inteactie_6._Lb.indb 59 Voo een oowep dat een ECB uitoet, is a ω

60 ] Kinematica en dnamica Kacht bij een ECB Bij een ECB is de esnelling op elk ogenblik naa het middelpunt an de cikel geicht. Omdat de esulteende kacht en de esnelling dezelfde ichting en zin hebben, is de kacht op het ssteem op elk ogenblik ook naa het middelpunt geicht. Daaom noemt men die kacht de middelpuntzoekende (of centipetale) kacht, smbool c. Voo de gootte an de esnelling geldt a Daauit olgt m am c Op een ssteem dat een ECB uitoet, wekt een kacht die steeds naa het middelpunt geicht is, de middelpuntzoekende of centipetale kacht. De gootte an die kacht is c m / Voobeeld 1: een wagen die een bocht neemt Een wagen die op een hoizontaal wegdek een cikelomige bocht neemt met constante snelheid oet een ECB uit. De esulteende kacht is de middelpuntzoekende kacht: die is hoizontaal, geicht naa de binnenkant an de bocht en heeft als gootte m. De kacht die daaoo zogt, is de wijingskacht w. Vemits m geldt: hoe gote de snelheid, hoe gote de kacht die nodig is. Vemits de wijingskacht echte begensd is, is e een maimale snelheid waamee je een bocht kunt nemen. Die snelheid hangt ook af an de komtestaal an de bocht: hoe schepe de bocht, hoe kleine en hoe gote moet zijn. Daanaast speelt ook het wegdek een ol: bij ijzel is de wijingskacht zo klein dat je de bocht slechts met een zee kleine snelheid kunt nemen. Als de wijingskacht nul is, kun je de bocht niet nemen en gaat de wagen echtdoo (eeste wet an Newton). w w w Inteactie_6._Lb.indb 60

61 K INE M ATICA E N DY NA M ICA Voobeeld : hameslingeen Na enkele omwentelingen kun je de beweging an de bol bij het hameslingeen beschouwen als een ECB in een hoizontaal lak. De esulteende kacht is de middelpuntzoekende kacht: die is hoizontaal, geicht naa het middelpunt en heeft als gootte m. Als we de luchtweestand buiten beschouwing laten, is die kacht het geolg an twee kachten: de zwaatekacht z en de kacht a die de atleet ia het touw uitoefent. Hoe snelle de bol wodt ondgezwied, hoe gote de kacht an de atleet moet zijn. Als hij het touw loslaat, liegt de bol weg akend aan de cikel (eeste wet an Newton). m a z - OEENING ECB an een uimteee Een uimteee beweegt op een hoogte an 300 km eenpaig cikelomig ond de aade in 90 minuten. Beeken de hoeksnelheid, de gootte an de snelheid en an de esnelling. Oplossing a) De hoeksnelheid is π ω T π π 1, 10-3 (ad)/s 90 min 90 60 s Maak een tekening. Dan zie je zo dat de afstand is tot het middelpunt an de aade! 300 km A b) De snelheid is ω De afstand is de hoogte de aadstaal: h A 300 km 6371 km 6671 km 6671 103 m Dus 1, 10-3 (ad)/s 6671 103 m 80 10 m/s ( 8,0 km/s 9 103 km/h) c) De esnelling is a ω (1, 10-3 (ad)/s) 6671 103 m 9,6 m/s Inteactie_6._Lb.indb 61

6 ] Kinematica en dnamica 6. Beweging als de kacht gekend is Reusachtige planetoïde zet koes ichting aade op dit moeen eusachtige planetoïde zet laat uimdat ment koes ichting de aade. hemelhet en. teaatoganisatie NASA wet (015) ai janu lichaam zal op maandag 6. een akelings onze planeet pass te geen Volgens NASA hoeen we ons ech 4 BL86 00 de, zogen te maken. De planetoï wed) ekt ontd 4 genaamd (omdat hij in 00 and afst ige eil ( ) zal onze planeet op een nog n, me tete passeen, al blijft het, in uim uim dat m, haa steeds dichtbij: het hemellic ft, zal op een hale kilomete diamete hee ons e slechts 1, miljoen kilomete an Dat is onwijded langs de aade scheen. e tot de geee 3 kee de afstand an de aad maan. bon: De Standaad 0/01/015, National Geogaphic, NASA Planetoïden (ook asteoïden genoemd) zijn kleine stukken mateie die - eenals de planeten - ond de Zon bewegen. De meeste beinden zich tussen de planeten Mas en Jupite. De gootste zijn bijna 1000 km goot, maa de oegote meedeheid is minuscuul klein. Op zo n planetoïde wekt de gaitatiekacht (zie ede). De kacht die op de planetoïde wekt, bepaalt de baan en de beweging ean. Zo kan op oohand beekend woden wannee en op welke afstand een planetoïde oobij de aade zal liegen. In deze paagaaf lee je hoe je de baan en de beweging op de baan kunt bepalen als de kacht gekend is. We bekijken eest het geal waabij de kacht op het ssteem constant is, waabij de gootte en de ichting an de kacht dus niet eandeen. Een oobeeld daaan is de albeweging. 6..1 Val in acuüm Een alschemspinge bedoelt met een ije al niet een al in acuüm, maa de tijd óó het openen an het alschem. De zwaatekacht is op die hoogte ietsje kleine, maa dat laten we buiten beschouwing. In 01 spong eli Baumgatne uit een ballon op 39 km hoogte. Op die hoogte is nagenoeg geen lucht aanwezig (acuüm) en kunnen we de luchtweestand ewaalozen. Een al in acuüm noemt men een ije al. De esulteende kacht is dan de zwaatekacht. Die is constant en eticaal naa beneden geicht. We kiezen het (, )-assenstelsel zoals in de figuu. De oospong ligt waa zijn al begint. Zijn beginsnelheid is 0. z Inteactie_6._Lb.indb 6

63 Pojecteen an die wet geeft op de -as: m a op de -as: m a In dit geal geldt 0 en dus a 0. Het ssteem esnelt niet t.o.. de -as en oet dus een EB uit t.o.. de -as. Omdat de beginsnelheid nul is, eandet zijn positie niet t.o.. de -as en alt hij echt naa beneden. K INE M ATICA E N DY NA M ICA Volgens de tweede wet an Newton geldt m a z constant en dus a cte. Het ssteem heeft een constante esnelling t.o.. de -as en oet dus een EVB uit t.o.. de -as. De alesnelling en de zwaateeldstekte woden doo hetzelfde smbool g oogesteld. Vede zullen we aantonen dat die twee gootheden identiek zijn. De snelheid an het ssteem neemt lineai toe. De esnelling is constant en noemt men de alesnelling g. a g t Op de maan is e geen atmosfee en allen b. een hame en een pluimpje een snel. Dat wed in 1971 doo astonaut Daid Scott gedemonsteed tijdens één an de maanlandingen. t Epeimenteel blijkt: De alesnelling in acuüm is onafhankelijk an de massa of an de om an het oowep: alle oowepen allen in acuüm een snel. De alesnelling is afhankelijk an de plaats op aade en an de hoogte (zie p. 9). Meestal neemt men oo de alesnelling dicht bij het aadoppelak de gemiddelde waade 9,81 m/s. Dat is ook de waade in onze steken. Ook op andee planeten is e een alesnelling. Inteactie_6._Lb.indb 63 Bij een al in acuüm oet het ssteem een EVRB uit. De alesnelling g is onafhankelijk an het oowep en bedaagt in onze steken 9,81 m/s.

64 ] Kinematica en dnamica 6.. Val in een fluïdum Wijings- en weestandskachten bekijken we in detail in hoofdstuk 10. Vloeistoffen en aste stoffen noemen we fluïda, omdat die kunnen loeien. Een oowep dat boen het aadoppelak wodt losgelaten, alt doo de zwaatekacht z naa beneden. Doo wijing met de lucht wekt op het ssteem ook een weestandskacht w. Weestandskacht wekt ook op b. een steen die in wate naa beneden alt. Wannee een oowep alt in een gas of een loeistof, is e wijing met die stof en speekt men an een al in een fluïdum. w z aade aade z en w esulteende kacht Dat leidt tot olgende ondezoeksaag. RAAG KSV E O RZ DE ON Hoe ziet de beweging ((t)- en a(t)-gafiek) euit oo een ssteem dat een al in een fluïdum uitoet? De weestandskacht is tegengesteld aan de snelheid en is dus eticaal naa boen geicht. De esulte ende kacht is z w Voo de gootte an geldt z - w Zoals bij een al in acuüm alt het oowep echt naa beneden en esnelt, maa de esnelling neemt geleidelijk aan af. Die eindsnelheid hangt af an de massa an het ssteem, de fontale oppelakte en de middenstof. Voo een alschemspinge ligt de eindsnelheid ond 00 km/h. Voo een egenduppel ligt de eindsnelheid ond 0 km/h. Inteactie_6._Lb.indb 64 Veklaing: In het begin an de al is de weestandskacht nul en is de esnelling an het ssteem gelijk aan alesnelling g (9,81 m/s). Naamate het ssteem snelle beweegt, wodt de weestandskacht gote en de esulteende kacht kleine. De esnelling an het ssteem wodt dus kleine: de snelheid neemt nog wel toe, maa minde snel. Op een bepaald moment is de snelheid zo goot dat de weestandskacht gelijk wodt aan de zwaatekacht: de esulteende kacht is dan nul en het ssteem esnelt niet mee. Het ssteem beeikt zijn eindsnelheid en oet anaf dat ogenblik een EB uit.

65 a (m/s), e w t t K INE M ATICA E N DY NA M ICA 9,81 z Bij een al in een fluïdum neemt de snelheid toe tot een bepaalde eindsnelheid. Het ssteem oet anaf dat ogenblik een EB uit. 6..3 De hoizontale wop We bekijken de beweging an de pijl na de lanceing. Waaom is het belangijk het assenstelsel goed te kiezen? Inteactie_6._Lb.indb 65 Bewegingsegelijking Een pijl die hoizontaal wodt weggeschoten, beschijft een hoizontale wop. Laten we de luchtweestand buiten be schouwing, dan is de zwaatekacht z de esulteende kacht. Die is constant en eticaal naa beneden geicht (fig.a). We kiezen het (,)-assenstelsel zoals in de figuu. De oospong ligt op de aade en eticaal onde het etekpunt an de pijl. De beginhoogte an de pijl is h, de beginsnelheid 0 (fig. b).

66 ] Kinematica en dnamica 0 h z aade fig b fig a Volgens de tweede wet an Newton geldt m a Pojecteen geeft: op de -as: m a op de -as: m a Z Vemits 0, is a 0 en oet het ssteem een EB uit t.o.. de -as. Vemits cte 0, is a cte 0 en oet het ssteem een EVB uit t.o.. de -as. z z EB t.o.. de -as Inteactie_6._Lb.indb 66 EVB t.o.. de -as Een kacht zogt enkel oo een esnelling in de ichting en zin waain ze wekt. Een ssteem dat een hoizontale wop uitoet en waaop enkel de zwaatekacht wekt, oet hoizontaal een EB uit en eticaal een EVB. 5/08/15 11:18

67 0 (0 ) h Inullen an de begingegeens o 0 m (het ssteem etekt boen de oospong) o to 0 s (we staten de chonomete als het ssteem etekt) a geeft 0 m o (t 0 s) 0 ( 0) Voo de (t)-functie bij een hoizontale wop geldt o t (1) Dat is een eestegaadsfunctie. De (t)-gafiek is een schuine echte. K INE M ATICA E N DY NA M ICA Voo de (t)-functie geldt dan o (t to) Voo de (t)-functie geldt o o (t to) T.o.. de -as oet het ssteem een EVB uit. De esnelling a is dan constant. Die esnelling is gelijk aan de alesnelling g. De component a is negatief omdat het ssteem esnelt in de negatiee zin an de -as. Dus a -g -9,81 m/s a (t to) t Inullen an de begingegeens o h (het ssteem etekt op hoogte h) o 0 m/s to 0 s a -g geeft (-g) h 0 m/s (t 0 s) (t 0 s) Voo de (t)-functie bij een hoizontale wop geldt h h g t () Dat is een tweedegaadsfunctie. De (t)-gafiek is dus een paabool. Het nulpunt an de (t)-paabool geeft het tijdstip waaop het oowep op de gond teecht komt. t De baan De baan is de ()-functie. Die functie kijg je doo t te elimineen uit de egelijkingen (1) en (). Uit (1) olgt t o Inullen in () geeft h Inteactie_6._Lb.indb 67 () g o 5/08/15 11:18

68 ] Kinematica en dnamica Voo de baan bij een hoizontale wop geldt h g o (3) Dat is een tweedegaadsfunctie. -g o c b a h 0 Vewa de ()-functie niet met de (t)-functie. De ()-paabool geeft de baan an het ssteem wee, de (t)-paabool geeft de beweging an het ssteem wee t.o.. de -as. Een ssteem dat een hoizontale wop uitoet, olgt dus een paabolische baan. Het nulpunt an de ()paabool geeft de plaats aan waa het ssteem op de gond teecht komt. De -coödinaat an de top an de paabool wodt gegeen doo -b a 0 0 h top Het etekpunt an het ssteem is de top an de paabool. o In de functie h g o g aan hoeeel hoogte het o ssteem eloen heeft als de (hoizontale) hoogteelies h geeft de tem g o positie is. Dat hoogteelies hangt af an de beginsnelheid o en an de afstand. Hoe gote de beginsnelheid, hoe kleine het hoogteelies. Hoe gote de afstand die je beschouwt, hoe gote het hoogteelies. Om het hoogteelies bij het boogschieten zo klein mogelijk te maken, moet je de boog goed opspannen, zodat de pijl een gote beginsnelheid heeft. Het beeik Het beeik of de dacht d is de hoizontale afstand die het ssteem aflegt tijdens de hoizontale wop, tot het op de gond teecht komt: d e o h en emits o 0 m d e o e is een nulpunt an de paabool: h o Inteactie_6._Lb.indb 68 d e h g e 0 o g e o 5/08/15 11:18

69 e o h g e o h g (e is positief) Voo het beeik (de dacht) bij een hoizontale wop geldt d o h g K INE M ATICA E N DY NA M ICA Dus Het beeik hangt af an de beginsnelheid o en an de etekhoogte h. Hoe gote de beginsnelheid, hoe gote het beeik. Hoe gote de etekhoogte, hoe gote het beeik. Snelheid De snelheid t.o.. de -as is constant en is gelijk aan o: o Voo de snelheid t.o.. de -as geldt o a (t to) Inullen an de gegeens o 0 m/s, to 0 s en a - g geeft 0 m/s g (t 0 s) - g t De gootte an de snelheid t.o.. de -as neemt toe met de tijd. h o De gootte an de snelheidsecto wodt gegeen doo o (- g t ) De snelheid neemt toe met de tijd. Voo de gootte an de snelheid bij een hoizontale wop geldt o g t Inteactie_6._Lb.indb 69 5/08/15 11:18

70 ] Kinematica en dnamica - OEENING Een C-130 liegt met een snelheid an 90 km/h en dopt een oedselpakket op een hoogte an 50 m. Hoe e komt het pakket teecht en met welke snelheid? 90 km/h 50 m Oplossing Het oedselpakket beschijft een hoizontale wop. a) Voo de dacht geldt d o h g 90 km/h 50 m 9,81 m/s 80,6 m/s 7,14 s 575 m b) De snelheid an het pakket is o g t (*) We beekenen het tijdstip waaop het pakket op de gond komt met de (t)-functie: h g t 50 m 9,81 m/s t Op dat tijdstip is 0 m. Dus 0 m 50 m 9,81 m/s t Daauit olgt Mek op dat je het tijdstip t 7,14 s ook al in a) ekeeg. Kun je dat eklaen? t 50 m 7,14 s 9,81 m/s Inullen in (*) geeft Let op de eenheden. (90 km/h) (9, 81 m/s ) (7,14 s) 107 m/s 385 km/h Inteactie_6._Lb.indb 70 5/08/15 11:18

71 6..4 Niet-constante kacht K INE M ATICA E N DY NA M ICA Meestal wekt op een ssteem een kacht die niet constant is, maa waaan zowel de gootte en/of de ichting eandet. Wiskundig is die situatie eel moeilijke (en soms onmogelijk) om op te lossen. Benadeend kan in dat geal de baan en de beweging op de baan bepaald woden doo de iteatiee methode. Daabij weken we met kleine tijdsintealletjes Δt. In zo n inteal kun je de kacht als constant beschouwen. Dan kun je de kachtcomponenten en bepalen, de esnelling a en a, de eandeing an de snelheid Δ en Δ in het tijdsinteal Δt, de nieuwe positie an het oowep bij het begin an het olgende tijdsinteal Op die manie kan de baan an het oowep bij benadeing bepaald woden. 1 Een kacht waaoo geldt oldoet aan de omgekeede kwadatische wet. Een oobeeld an zo n kacht is de gaitatiekacht die de zon op de planeten uitoefent (zie p. 84). Voobeeld: Een oowep met massa,00 kg beindt zich op t 0 s in het punt 100 m, 0 m. Het heeft op dat ogenblik snelheid 0 m/s en 7,00 m/s. Het beindt zich op een afstand an de oospong. Op het oowep wekt een kacht die altijd naa de oospong 1 geicht is en waaoo geldt. (7, 00 m/s) (100 m; 0 m) We nemen hieoo de eenedigheidsconstante 0,0 103 Nm. Dus 3 0,0 10 Nm Voo de eenoud laten we de eenheden weg. Doe de beekeningen oo het punt (100; 0). Voo de afstand geldt (100) (0) (100) 100 De gootte an de kacht is 3 0,0 103 0,0 10,00 (100) De kacht is naa de oospong geicht. Dus is -,00 0 De esnelling is -, 00 a -1, 00 m, 00 0 a 0 m, 00 We beschouwen een tijdsinteal Δt 1,00 (s). Waaom bij benadeing? Inteactie_6._Lb.indb 71 De eandeing an de snelheid in dat tijdsinteal is bij benadeing Δ a Δt -1,00 1,00-1,00 Δ a Δt 0 1,00 0 5/08/15 11:18

7 ] Kinematica en dnamica De nieuwe snelheid wodt o Δ 0 (-1,00) -1,00 o Δ 7,00 0 7,00 Waaom bij benadeing? De eplaatsing is bij benadeing Δ Δt -1,00 1,00-1,00 Δ Δt 7,00 1,00 7,00 De nieuwe positie wodt o Δ 100 (-1,00) 99 o Δ 0 7,00 7,00 Hehaal nu de beekeningen als het oowep zich in het punt (99; 7,00) beindt. Voo de afstand geldt (99) (7,00) 99, De gootte an de kacht is 0, 0 10 00, 10 (99,) 3 3 03, De kacht is naa de oospong geicht. Daauit kan je en bepalen In een ekenblad zoals Ecel kun je zo n iteatie snel laten uitoeen. Je ekijgt dan olgende tabel: t a a 0 0,00 7,00 100 0 100,00,00 -,00 0,00-1,00 0,00 1-1,00 7,00 99 7 99,5,03 -,03-0,14-1,01-0,07 -,01 6,93 97 13,9 97,98,08 (m) Uit deze oefening blijkt dat een oowep waaop een omgekeed kwadatische kacht wekt, een ellipsomige baan kan olgen. Dat is b. het geal oo de beweging an de planeten ond de zon. Zet je de - en -waaden uit dan ekijg je de baan an het oowep: de punten lijken op een ellips te liggen. Hoe kleine het tijdsinteal Δt, hoe bete de ellips benaded wodt en hoe bete de aansluiting met het beginpunt. 50,00 30,00 10,00 40,00 0,00 0,00 40,00 60,00 80,00 100,00 10,00 (m) 10,00 30,00 50,00 70,00 WAT JE NA DIT HOODSTUK MOET KENNEN EN KUNNEN: de esulteende kacht en het effect ean op een ssteem bepalen als de beweging an het ssteem gekend is de definitie geen an een ECB, de geziene eigenschappen bewijzen en de kenmeken an de kacht geen de al an een ssteem in acuüm en in fluïdum beschijen en eklaen met de kacht(en) de definitie geen an de hoizontale wop, de geziene eigenschappen bewijzen en de beweging eklaen met de kacht op het ssteem oefeningen en denkagen m.b.t. de ECB, de albeweging en de hoizontale wop oplossen Inteactie_6._Lb.indb 7 5/08/15 11:18