1 Continuïteit en differentieerbaarheid.

1 1 Continuïteit en differentieerbaarheid. In dit hoofdstuk bekijken we continuiteit en differentieerbaarheid voor functies van meerdere variabelen. Ter orientatie repeteren we eerst hoe het zat met functies van een variabele. 1.1 Continuïteit. Zij f : R R een functie. We noemen f continu in het punt p R als de waarde f(p) een goede benadering is voor de waardes q in alle punten die voldoende dicht bij p liggen. Zo is de functie f gegeven door f(x) = x 2 continu in 2 want In het gebied 1.9 < x < 2.1 wijkt de waarde minder dan 0.41 af van de waarde in x = 2. In het gebied 1.99 < x < 2.01 wijkt de waarde minder dan 0.0401 af van de waarde in x = 2. In het gebied 1.999 < x < 2.001 wijkt de waarde minder dan 0.004001 af van de waarde in x = 2. Enzovoorts. Bekijk nu de Heaviside functe H gededefinieerd door 1 als x > 0 H(x) = 1 2 als x = 0 0 als x < 0 Deze functie is wel continu in p voor p 0 maar hij is niet continu in 0. Immers de waarde in q 0 wijkt 0.5 af van de waarde in 0, hoe dicht q ook bij 0 ligt. Dit is trouwens niet te redden door H(0) een andere waarde te geven, want als het voor positieve q goed gaat dan gaat het fout voor negatieve q en omgekeerd. Voor functies van meerdere variabelen gebruiken we hetzelfde idee: We noemen f continu in het punt p R als de waarde f(p) een goede benadering is voor de waardes q in alle punten die voldoende dicht bij p liggen. Echter: Het punt p wordt gegeven door twee coördinaten (a, b). Het punt q wordt ook gegeven door twee coördinaten (s, t). We vinden dat q dicht bij p ligt als s a en t b allebei klein zijn. Zo is de functie f gegeven door x 3 y 2 continu in het punt p = (2, 1) want

2 1 CONTINUÏTEIT EN DIFFERENTIEERBAARHEID. Als 1.9 < x < 2.1 en 0.9 < y < 1.1 dan wijkt de waarde in q = (s, t) minder dan 1.451 af van de waarde in p. Als 1.99 < x < 2.01 en 0.99 < y < 1.01 dan wijkt de waarde in q = (s, t) minder dan 0.140501 af van de waarde in p. Als 1.999 < x < 2.001 en 0.999 < y < 1.001 dan wijkt de waarde minder dan 0.014005001 af van de waarde in p. Enzovoorts. Bekijk nu de functie g gedefinieerd door g(x, y) = { 2x 2 y 2 2x 2 +y 2 als (x, y) (0, 0) 0 als (x, y) = (0, 0) Als het punt q = (s, t) op de horizontale as ligt maar niet in de oorsprong (dat wil zeggen t = 0 en s 0) dan is g(q) = 1, wat sterk afwijkt van de waarde die g in de oorsprong heeft, ook als q vlak bij de oorsprong ligt. Als het punt q = (s, t) op de verticale as ligt maar niet in de oorsprong (dat wil zeggen s = 0 en t 0) dan is g(q) = 1, wat ook sterk afwijkt van de waarde die g in de oorsprong heeft, ook als q vlak bij de oorsprong ligt. Ook hier is het niet te repareren door g in de oorsprong een andere waarde te geven: als het op de horizontale as goed gaat dan gaat het op de verticale as fout, en andersom. De situatie is hier nog ernstiger dan bij de Heaviside functie, want voor punten q = (s, t) die op de diagonaal liggen (dat wil zeggen t = s) is de functie steeds 1/3, dus nog weer anders dan op de bovengenoemde assen. De formele definitie van continuïteit is als volgt. Zij f : R n R een functie van n variabelen en zij p = (a 1, a 2,..., a n ) een punt. Dan heet f continu in p als er voor elke ɛ > 0 een δ > 0 te verzinnen valt zó dat f(x 1, x 2,..., x n ) f(a 1, a 2,..., a n ) kleiner dan ɛ is zodra x 1 a 1,..., x n a n allemaal kleiner dan δ zijn. Het is natuurlijk noodzakelijk om het begrip continu een precieze definitie te geven. Bovenstaande definitie is echter vrij gecompliceerd, en dus willen we hem graag zo weinig mogelijk gebruiken. Gelukkig kunnen we al heel ver komen met behulp van de nu volgende feiten, welke men kan bewijzen uitgaande van bovenstaande definitie. De elementaire functies (x, y) x en (x, y) y zijn overal continu. Als f en g continu zijn dan is f + g dat ook. Als f en g continu zijn dan is f g dat ook.

1.1 Continuïteit. 3 Als f : R n R een continue functie is van n variabelen en g : R R een continue functie is van 1 variabele, dan is de samenstelling g f weer een continue functie. Dat geldt in het bijzonder als g een van de standaard functies sin, cos, exp... is. En ook voor log mits hij alleen op positieve dingen wordt toegepast. Als f en g continu zijn dan is f g de waarde 0 aanneemt. dat ook zolang de noemer g maar niet Met behulp van deze observaties zien we meteen dat de functie (x, y) (x 2 3x)e y 2y sin(x) 2 + cos(y) continu is in alle punten van het vlak R 2. Hij is namelijk op bovenstaande manier opgebouwd uit elementaire continue functies. Ook in meer pathologische situaties kunnen we vaak voor vele punten gebruiken maken van bovenstaande observaties, en moeten we slechts voor uitzonderlijke punten teruggrijpen naar de formele definities. Hier volgt een voorbeeld. Zij f de functie van twee variabelen gedefinieerd door { x 2 y als (x, y) (0, 0) f(x, y) = x 2 +y 4 0 als (x, y) = (0, 0) Dan is f continu in alle punten buiten de oorsprong omdat de noemer daar positief is en de functie dus op de goede manier is opgebouwd. Om te zien dat f ook in de oorsprong continu is merken we op dat uit x 2 x 2 + y 4 volgt dat f(x, y) y voor alle (x, y). Dus ligt f(x, y) dicht bij f(0, 0) als (x, y) dicht bij (0, 0) ligt, wat betekent dat f ook in de oorsprong continu is. In meer gecompliceerde gevallen vereist het nog meer oefening om een effectieve afschatting te vinden. De bedoeling van deze cursus, hier en in de volgende hoodstukken, is niet dat U leert alle situaties aan te kunnen, maar om te leren herkennen wanneer de situatie gunstig en U hem zelf aan kunt, of gecompliceerd en U specialistische hulp nodig heeft.

4 1 CONTINUÏTEIT EN DIFFERENTIEERBAARHEID. 1.2 Differentieerbaarheid. Een functie a van één variabele noemen we affien als er getallen b, c zijn zó dat a(x) = bx + c voor alle x. In dat geval is de grafiek van a een rechte lijn, en b is een maat voor de steilheid van die lijn. Zij nu f een willekeurige functie van één variabele. We noemen f differentieerbaar in het punt p R als er een affiene functie a bestaat zó dat a(q) een zeer goede benadering is van f(q) voor q dicht bij p. De grafiek van a is dan de raaklijn aan de grafiek van f in het punt p. Het steilte-getal b van de raaklijn heet de afgeleide van f in p, genoteerd f (p). Zo is de functie f gedefinieerd door f(x) = x 3 differentieerbaar in 2 met afgeleide 12. Voor de affiene functie a gegeven door a(x) = 12x 16 geldt namelijk 0 < f(x) a(x) < 0.061 als 1.9 < x < 2.1. 0 < f(x) a(x) < 0.000601 als 1.99 < x < 2.01. 0 < f(x) a(x) < 0.000006001 als 1.999 < x < 2.001. Enzovoorts. De absolute-waarde-functie is wel continu, maar niet differentieerbaar in 0: de affiene functie die hem voor positieve getallen zeer goed benadert doet het niet voor negatieve getallen, en omgekeerd. Ook de derde-machtswortel is wel continu, maar niet differentieerbaar in 0. De grafiek heeft wel een raaklijn in de oorsprong, maar die loopt verticaal, en wordt dus niet beschreven door een affiene functie a. Voor praktisch omgaan met differentieerbaarheid en afgeleides maken we gebruik van de volgende feiten: Als f en g differentieerbaar zijn in p dan is f + g het ook met afgeleide f (p) + g (p). Als f en g differentieerbaar zijn in p dan is f g het ook met afgeleide f (p)g(p) + f(p)g (p). Als f en g differentieerbaar zijn in p dan is f g f (p)g(p) f(p)g (p) g(p) 2. het ook met afgeleide Als f differentieerbaar is in p en g differenttieerbar is in f(p) dan is de samenstelling g f differentieerbaar in p met afgeleide g (f(p)) f (p). De elementaire functies sin, cos, exp... zijn differentieerbaar in elke punt.

1.2 Differentieerbaarheid. 5 Een functie a van twee variabelen noemen we affien als er getallen b 1, b 2 en c zijn zó dat a(x, y) = b 1 x + b 2 y + c voor alle x, y. In dat geval is de grafiek van a een recht vlak, en de getallen b 1 en b 2 zijn een maat voor de steilheid én de stand van dat vlak. Zij nu f een willekeurige functie van twee variabelen. We noemen f totaal differentieerbaar in het punt p als er een affiene functie a bestaat zó dat a(q) een zeer goede benadering is van f(q) voor q dicht bij p. De grafiek van a is dan een raakvlak aan de grafiek van f in het punt p. Zo is de functie f gedefinieerd door f(x, y) = x 2 + y 2 niet totaal differentieerbaar in het punt (0, 0). De grafiek van f is namelijk een kegel die op zijn punt staat, en dus niet zeer goed te benaderen door enig vlak. Hoewel bovenstaand begrip van differentieerbaarheid fundamenteel is, is het niet erg praktisch werkbaar. We gaan het daarom insluiten tussen twee andere netheids-eisen op f die wel werkbaar zijn. De ene eis is een beetje zwakker, en de andere juist een beetje sterker dan de eis van totale differentieerbaarheid. Zij f een functie van n variabelen, en p = (p 1, p 2,..., p n ) een punt in de buurt waarvan we de functie f willen bestuderen. Dan kunnen we daaruit een aantal hulpfuncties h 1,..., h n van één variabele destilleren als volgt h k (t) = f(p 1, p 2,..., p k 1, t, p k+1,..., p n ) In woorden: je houdt alle variabelen op één na vast op de waarden die ze in het punt p hebben, en je laat de ene overblijvende variabele varieren. Als voor elke k geldt dat deze functie h k differentieerbaar is in t = p k dan noemen we de functie f partieel differentieerbaar in het punt p. Je kijkt dus alleen hoe de functiewaarde verandert wanneer je vanuit p loopt in een richting evenwijdig aan een coordinaat-as, en niet wat die functiewaarde is in andere punten vlak bij p. We noteren voortaan f x k (p 1,..., p n ) of ook wel (D k f)(p 1, p 2,..., p n ) voor de waarde van die afgeleide h k (p k), en we noemen dat de k-de partiële afgeleide van f in het punt p. Dit wat betreft de notie partieel differentieerbaar in het punt p. Als het voor elk punt p goed gaat dan noemen we onze functie (zonder meer) partieel differentieerbaar. Het prettige aan deze definitie is dat we nuttig gebruik kunnen maken van al onze kennis over differentiatie van functies van één variabele, met name de rekenregels op pagina 4. We lezen uit die regels direct af dat een som of product van partieel differentieerbare functies er weer een is, en een quotiënt ook, zolang de noemer maar ongelijk nul blijft. Kortom we kunnen in vele gevallen direct aan de beschrijving van een functie aflezen dat hij de gewenste kwaliteiten bezit.

6 1 CONTINUÏTEIT EN DIFFERENTIEERBAARHEID. Bekijk als voorbeeld de zotte functie f gegeven door f(x, y) = sin(x) + log(1 + y2 ) e x + cos 2 (y) Deze functie is partieel differentieerbaar omdat hij is samengesteld vanuit elementaire differentieerbare functies (sinus, logaritme, e-macht) van één variabele, met gebruikmaking van onschuldige bewerkingen (optellen, vermenigvuldigen, delen). Er zijn hier twee gevaren waar we op moeten testen: De logaritme is alleen gedefinieerd (en dan ook differentieerbaar) voor positieve waarden van zijn input. Hier gaat het goed omdat die input 1 + y 2 bedraagt, wat 1 is. Deling gaat alleen goed wanneer de noemer ongelijk nul is. Hier is dat het geval omdat e x > 0 en cos 2 (y) 0. Niet alleen zien we aan de algemene opbouw van f meteen dat hij partieel differentieerbaar is in elk punt, we kunnen met behulp van de rekenregels voor differentiëren ook vlot bepalen wat de partiële afgeleides zijn in een willekeurig punt: (D 1 f)(x, y) = cos(x)(ex + cos 2 (y)) (sin(x) + log(1 + y 2 ))e x (e x + cos 2 (y)) 2 en (D 2 f)(x, y) = 2y 1+y 2 (e x + cos 2 (y)) (sin(x) + log(1 + y 2 ))( 2 cos(y) sin(y)) (e x + cos 2 (y)) 2 (reken dit na!). Zij f een functie van n variabelen die in elk punt p partieel differentieerbaar is. De waarde (D k f)(p) van de k-de partiële afgeleide in p is uiteraard afhankelijk van p en beschrijft op die manier zelf ook weer een functie van n variabelen. Als dit voor elke k een continue functie oplevert, dan noemen we de oorspronkelijke functie f continu differentieerbaar. Het belangrijke feit is nu: een functie die continu differentieerbaar is, is totaal differentieerbaar. Anders gezegd: als we de partiële afgeleides uitrekenen en ze blijken continu te zijn dan is onze functie zó fatsoenlijk dat zijn grafiek vloeiend verloopt: in elk punt van de grafiek bestaat een raakvlak. Over de steilte en stand van dat raakvlak straks meer. In bovenstaand voorbeeld zien we dat elk van beide partiële afgeleides niet alleen bestaat, maar zelf ook weer is opgebouwd uit elementaire goede functies door middel van onschuldige bewerkingen. We concluderen dat onze voorbeeld-functie f continu differentieerbaar is en dus een vloeiende grafiek heeft. In feite lees je uit de rekenregels voor differentiëren af dat een functie die is samengesteld uit de elementaire bouwstenen door middel van onschuldige

1.3 Richtingsafgeleide en gradiënt. 7 bewerkingen automatisch continu differentieerbaar is. Immers bijvoorbeeld de rekenregel voor de afgeleide van f/g zegt dat die afgeleide is opgebouwd uit f en g zelf en hun afgeleides, met gebruikmaking van vermenigvuldiging, aftrekking en deling, met een noemer die verondersteld wordt ongelijk nul te zijn. 1.3 Richtingsafgeleide en gradiënt. Zij f een continu differentieerbare functie van n variabelen. Zoals eerder opgemerkt is f dan zeker totaal differentieerbaar in een willekeurig punt p = (p 1,..., p n ). Dat betekent dat f zich zeer goed laat benaderen door een affiene functie a, die we kunnen schrijven als a(x 1,..., x n ) = b 1 (x 1 p 1 ) + b 2 (x 2 p 2 ) + + b n (x n p n ) + c en het is duidelijk dat c precies a(p 1,..., p n ) moet zijn. Elke vector (v 1,..., v n ) bepaalt een lijn l door het punt p en wel door de formule l(t) = p + tv = (p 1 + tv 1, p 2 + tv 2,..., p n + tv n ) We kunnen ons afvragen hoe de functie f langs die lijn verandert. Dat betekent dat we f(p + tv) als functie van de ene variabele t bestuderen en vragen naar de afgeleide naar t in 0. Dat heet de richtings-afgeleide van f in het punt p in de richting v. Notatie (D v f)(p). De aanname dat f totaal differentieerbaar is zorgt er voor dat deze afgeleide gelijk is aan de afgeleide van a(p + tv) = tb 1 v 1 + tb 2 v 2 + + tb n v n naar t in 0, en die is gelijk aan b 1 v 1 + + b n v n. Een probleempje is dat we nog niet weten wat de getallen b 1,..., b n zijn. Maar daar komen we achter door het speciale geval te bekijken dat v een basisvector e k = (0, 0,..., 0, 1, 0,..., 0) is. Enerzijds krijg je dan namelijk b 1 v 1 + + b n v n = b k. En anderzijds is de richtings-afgeleide van f in p in de richting e k precies wat we eerder de k-de partiële afgeleide (D k f)(p) noemden van f in p. We vinden dus: (D v f)(p) = (D 1 f)(p)v 1 + (Df 2 f)(p)v 2 + + (Df n )(p)v n Herinner je nu het volgende uit de vector-rekening. Het scalair product ofwel inproduct (w, v) tussen twee vectoren w en v is de som van producten van componenten: (w, v) = w 1 v 1 + w 2 v 2 +... w n v n

8 1 CONTINUÏTEIT EN DIFFERENTIEERBAARHEID. De formule uit de vorige alinea zegt dus dat de richtings-afgeleide van f in het punt p in de richting v gelijk is aan het scalaire product van v en de vector bestaande uit het rijtje partiële afgeleiden: ((D 1 f)(p), (D 2 f)(p),..., (D n f)(p)) Deze vector speelt dus een bijzondere rol en heet de gradiënt van f in het punt p. Hij wordt vaak als ( f)(p) genoteerd. Het wordt tijd om een onnauwkeurigheid in bovenstaand verhaal te corrigeren, met name in de terminologie. Elke vector v bepaalt weliswaar een lijn l door het punt p als boven, maar als we die vector v met een factor α vermenigvuldigen dan wordt die lijn α maal zo snel doorlopen, en de grootheid (D v )(p) wordt ook α keer zo groot. Als we willen bestuderen in hoeverre de verandering in f van de richting vanuit p afhangt, dan doen we er goed aan om de snelheid waarmee l doorlopen wordt een vaste waarde 1 te geven. We noemen een vector v = (v 1,..., v n ) daarom voortaan een richtings-vector wanneer zijn lengte v = (v, v) = (v 1 ) 2 + (v 2 ) 2 + + (v n ) 2 gelijk is aan 1. En we reserveren de term richtingsafgeleide voortaan voor het geval v = 1. Nu hebben we nog een feit nodig uit de vector-rekening. Als de vector w vast is, dan is het scalair product (w, v) onder alle vectoren v van lengte 1 maximaal als v dezelfde richting heeft als w, dus als v = w w = (w 1,..., w n ) (w1 ) 2 + + (w n ) 2 In het bijzonder is (D v f)(p) = (( f)(p), v) onder alle vectoren v van lengte 1 maximaal als v = ( f)(p) ( f)(p) In woorden: als we de van de gradiënt van f in p een richtings-vector maken door hem te delen door zijn lengte dan vinden we de richting waarin f het snelste toeneemt. Dit levert ons het basis-principe voor een algoritme om plaatselijke maxima van een functie f te vinden: doe telkens een klein stapje in de richting gegeven door de gradiënt: p j+1 = p j + ɛ j ( f)(p j ) Je moet dan nog een geschikte strategie bedenken om de stap-grootte ɛ j steeds aan te passen.