Meetkune 1 Ruimtemeetkune M1 Ruimtelijke situties voorstellen in een vlk 180 M2 De pirmie, e kegel en e ol 18 M Het volume vn een pirmie, een kegel en een ol 190 179
M1 1 Titel Ruimtelijke situties voorstellen in een vlk 54 B Teken het vluhtpunt (of vluhtpunten) ij e ntuurlijke perspetieven. Het is verstnig om zo nu en n een vrgteken te pltsen ij e ingen ie je lng voor vnzelfspreken het gezien. Russel P P1 P2 55 V* Onerstne tekening stelt een huisje in ntuurlijk perspetief voor. Teken in e lngste gevel twee rmen en in e nere gevel een eur en een rm eroven. 5 B Welk soort perspetief wort geruikt in eze vlkke voorstellingen? isometrish perspetief ntuurlijk perspetief of ntuurperspetief 57 B Welk soort perspetief of nziht herken je in eze vlkke voorstellingen? ntuurlijk perspetief of ntuurperspetief ntuurperspetief isometrish perspetief vlièreperspetief 180 M1 Ruimtelijke situties voorstellen in een vlk
e f isometrish perspetief voornziht ntuurperspetief 58 B Geef e nm vn e voorstellingswijze. e f g kenmerken De fmetingen lijven ehouen, mr hoekgrootten lijven niet ehouen De fmetingen lijven ehouen en lle hoekgrootten lijven ehouen De evenwijighei lijft soms ehouen De hoekgrootten wijzigen lleml Rehthoeken woren voorgestel oor trpeziums Alle vierknten lijven vierknten Rehthoeken woren prllellogrmmen perspetief isometrish perspetief nzihten ntuurlijk perspetief isometrish perspetief ntuurlijk perspetief nzihten isometrish perspetief 59 B Kun je ij volgene tekeningen ij e ngeuie mten e werkelijke lengte flezen? Inien j, geef e werkelijke lengte. Inien neen, verklr wrom niet. h h h l l h 2, m 1, m,2 m l 2, m h 1,1 m 1,1 m Neen in een ntuurperspetief lijven e lengten niet ltij ehouen. 570 B Vn welk perspetief wort in e volgene grp geruik gemkt? Denk je t e stuenten hun jo kunnen ehouen? Twee stuenten oen een vkntiejo ij e Belgishe Spoorwegen. De ploegs wil ze even testen en neemt ze mee nr een stuk spoorlijn ie uiten geruik is. Smen gn ze mien tussen e rils stn en e ploegs zegt: Mnnen, kijk goe in e verte, wt stellen jullie vst? Smen turen ze nr e verre horizon tot wr e rils in één punt smen lijken te komen. Zegt e ploegs: Mnnen, jullie egrijpen t it een heel gevrlijke toestn is. G onmiellijk nr het punt wr e rils smen komen en herstel e situtie. De twee stuenten gn op stp. Vele kilometers en uren lter heen ze het gevrlijke punt nog stees niet ereikt. Plots rit één vn eien zih om, shrikt en roept: 'Verorie, t kn toh niet, we zijn te ver, we zijn t punt voorij!' ntuurlijk perspetief Ruimtelijke situties voorstellen in een vlk M1 181
571 V* Teken e figuur in vlièreperspetief. 572 B De eerste kuus is in vlièreperspetief geteken, e tweee in isometrish perspetief met ls ovenvlk MNOP. O Geef e werkelijke onerlinge ligging vn onerstne rehten Kies e meest pssene oplossing uit:,,, kruist N P F G E H K M B C J L A D kruist EH GC // EA GC kruist AD EF FC FD /// kruist e FH AB ^ f FB AB // g NM KL kruist h PL JK I kruist i OM NJ kruist j OI PL ^ k MI IL l NK OK /// 57 B In e volgene kuus zijn e punten M, N, K, L e respetievelijke miens vn e rien [EH], [FG], [EF] en [HG]. Zet een kruisje in e pssene kolom(men) zot je wre uitsprken krijgt over e werkelijkhei. E A K B F M N H D L G C e f g h i j Δ ABC Δ CDL Δ EKA Δ LDH Δ BGD Δ KGH Δ AEM Δ NGL Δ KLE Δ FGB rehthoekig gelijkenig gelijkzijig 182 M1 Ruimtelijke situties voorstellen in een vlk
574 B De volgene ruimtefiguren zijn opgeouw uit even grote kuussen. Bij welk(e) nziht(en) zie je e grijs gekleure kuus niet? e f rehterzijnziht voornziht rehterzijnziht e 575 V* Op e voorstelling vn e kuus zijn rie rehten geteken. Welke rehte stt op eze tekening looreht op e rehte? Wrom is it misleien? linkerzijnziht hternziht voornziht ovennziht linkerzijnziht De kuus is geteken in isometrish perspetief. De rehte is evenwijig met e opstne rie en e rehte is evenwijig met e rie vn het gronvlk. In werkelijkhei : ^. Als je e kuus wegneemt: ^ f voornziht, ovennziht onernziht rehterzijnziht linkerzijnziht 57 V* De tuinpen woren voorgestel oor lijnstukken. Welk lijnstuk is op eze tekening het lngste lijnstuk: lijnstuk AB of lijnstuk AC? De lijnstukken zijn even lng. Wrom is it misleien? We zien e lijnstukken in e tekening in ntuurperspetief. De lijnstukken stellen rnen vn e wegen voor. De weg AC is lnger in het ntuurperspetief, wnt e wegen komen eie in hetzelfe punt toe mr e weg AC vertrekt meer voorn, us verer f vn A in e ontet. Ruimtelijke situties voorstellen in een vlk M1 18
577 V* Een onmogelijke onstrutie vn Jos De Mey. Deze tekening kn onmogelijk in e werkelijkhei Wt is fout? Bovenn zie je een muur en stn e zuilen nst elkr, mr ls je onern kijkt zie je t 1 zuil voor e nere stt, e fluitspeler zit tussen e zuilen. Wrom kn it geteken woren? Omt een tekening mr 2 imensies heeft, er is geen iepte. De wtervl vn Esher. Beshrijf wt je ziet Begin links ovenn: je ziet het wter nr eneen vllen; r rengt het een r in eweging. Drn stroomt het weg in een gemetsele fvoergeul. Volg e loop vn het wter en het loopt onmiskenr telkens lger en het verwijert zih vn ons. Plots lijkt het verste en lgste punt ientiek te zijn met het hoogste punt ihtij. Weetje Murits Cornelis Esher (1898 1972) is een Neerlnse kunstenr ie vk speele met wiskunige prinipes Hij ws nohtns geen ijster goee stuent Toh getuigen zijn werken vn een gewelig ruimtelijk en wiskunig inziht 578 V* Dit shilerij uit e Mieleeuwen vn Jn Vn Eyk voloet niet n lle regels vn het perspetieftekenen. Je kunt it ntonen ls je enkele vluhtpunten tekent. Wt klopt niet? De vluhtpunten komen niet smen op e horizon Jn vn Eyk ( 190-1441) Vlms kunstshiler Huwelijk vn Arnofini (144) 184 M1 Ruimtelijke situties voorstellen in een vlk
579 V** Deze prent toont een ioon (De heilige Drievulighei (ron 1410)) vn e grootste Russishe ioonshiler Anrey Roeljov (10-140). Wr ligt hier het verwijnpunt? Het verwijnpunt ligt hier voor het shilerij. Het verwijnpunt is hier e toeshouwer. 580 V* Bekijk het shilerij De vrijrief vn René Mgritte. Wt is hier fout? De vrouw en het pr zijn eels onzihtr oor e omen. Mr je ziet e verkeere elen. Er zijn meerere fouten. Bv. e stm vn e unnere oom nst e prrijster is: hter het pr geteken op e gron mr is voor het pr en e prrijster geteken ter hoogte vn e flnk vn het pr. Bv. e lege ruimte tussen e omen kn in e werkelijkhei het pr niet onzihtr mken. Weetje René Mgritte (1898 197) ws een vn e elngrijkste surrelisten vn e vorige eeuw en een vn e ekenste Belgishe shilers tot op heen In het Mgritte Museum in Brussel kn je tl vn zijn werken ewoneren 581 V* Hiernst zie je Terr suterrne vn Roger Shepr. Welk perspetief wort hier geruikt? Het ntuurlijk perspetief. Welke feeling is het grootst? Ze zijn eie even groot. Meet e monsters Wrom is it misleien? Een voorwerp t zih vererf evint, neem je kleiner wr en wort kleiner geteken in een ntuurlijk perspetief. Door e htergron en het perspetief wort gesuggereer t het grote monster zih hter in e tunnel evint en us verer weg is, wroor ons rein hem interpreteert ls groter n het monster op e voorgron. Zelfs e uitrukking vn e monsters lijkt ners te zijn oor e situtie wr ze zih in evinen. Het lijkt wel of het kleine monster ompleet in pniek is Ruimtelijke situties voorstellen in een vlk M1 185
M2 De pirmie, e kegel en e ol 582 B Vul het shem in. e nm vn e pirmie riezijige pirmie vierzijige pirmie zeszijige pirmie het ntl grensvlkken 4 5 7 het ntl opstne grensvlkken 4 het ntl rien 8 12 het ntl opstne rien 4 e vorm vn e opstne grensvlkken riehoek riehoek (gelijkenige) riehoek het ntl hoekpunten 4 5 7 58 B Vul in (geef het orrete ntl of geef e meest pssene enming). vierhoek vijfhoek riehoeken 24 Hoeveel grensvlkken heeft een vijfzijige pirmie? Welke vorm heeft het gronvlk vn een vierzijige pirmie? Welke vorm heeft het gronvlk vn een vijfzijige pirmie? Welke vorm heen e opstne grensvlkken vn een htzijige pirmie? e Hoeveel rien heeft een twlfzijige pirmie? f Hoeveel hoekpunten heeft een pirmie met 10 rien? g Hoeveel opstne grensvlkken heeft een pirmie met 12 rien? 18 M2 De pirmie, e kegel en e ol
584 V* Shrijf in wiskunetl (n is een ntuurlijk getl groter n 2). ntl zijen gronvlk 4 5 n ntl grensvlkken ntl hoekpunten ntl rien ntl opstne grensvlkken Een n zijige pirmie heeft grensvlkken Een n-zijige pirmie heeft hoekpunten Een n-zijige pirmie heeft rien 4 4 n + 1 n + 1 2n n Een n-zijige pirmie heeft opstne grensvlkken 5 5 8 4 10 5 7 7 12 n + 1 n + 1 2n n 585 V** Shrijf in wiskunetl (n is een ntuurlijk getl groter n 2). (n 1) 2(n 1) n + 1 2 Een pirmie met n grensvlkken is een - zijige pirmie Een pirmie met n hoekpunten heeft rien Een pirmie met n rien heeft grensvlkken 58 V** In e vlkke meetkune is een regelmtige veelhoek een veelhoek wrvn lle zijen even lng zijn en lle hoeken even groot. In e ruimtemeetkune is een regelmtig veelvlk een veelvlk wrvn lle grensvlkken regelmtige veelhoeken zijn en wrij in elk hoekpunt evenveel zijvlkken smenkomen. Er estn slehts 5 regelmtige veelvlkken. Vul e tel n. Nm Antl grensvlkken Antl hoekpunten Antl rien tetrëer of regelmtig 4 vlk 4 4 kuus of regelmtig vlk 8 12 otëer of regelmtig 8 vlk 8 12 De pirmie, e kegel en e ol M2 187
oeëer of regelmtig 12 vlk 12 20 0 iosëer of regelmtig 20 vlk 20 12 0 In elk regelmtig veelvlk estt er een vern tussen het ntl grensvlkken, het ntl hoekpunten en het ntl rien. Noteer it vern. Antl grensvlkken ntl hoekpunten 587 B Welke ontwikkelingen stellen een pirmie voor?, e, g + ntl rien + 2 Weetje Regelmtige veelvlkken woren ook wel eens Pltonishe veelvlkken genoem, nr Plto e grote Griekse filosoof (428-48 voor Christus) Deze veelvlkken stonen symool voor het vuur (regelmtig viervlk); e re (kuus); e luht (regelmtig htvlk); het universum (regelmtig twlfvlk) en het wter (regelmtig twintigvlk) e f g 588 B Welke vn onerstne figuren zijn voorstellingen vn een kegel? e f, en f 188 M2 De pirmie, e kegel en e ol
589 B Wrom is e re geen ol? De strl vn e re is niet overl even lng. De fstn vn het mielpunt vn e re tot e evenr is groter (ongeveer 21 km) n e fstn vn het mielpunt vn e re tot e polen. 590 B Vn een ruimtelihm krijg je het voornziht en het ovennziht. Omirkel e nm vn e ruimtelihmen ie ij het voornziht en het ovennziht kunnen horen. VAZ BAZ VAZ BAZ VAZ BAZ kuus pirmie lk kegel iliner ol prism kuus pirmie lk kegel iliner ol prism kuus pirmie lk kegel iliner ol prism e f VAZ BAZ VAZ BAZ VAZ BAZ kuus pirmie lk kegel iliner ol prism kuus pirmie lk kegel iliner ol prism 591 B Vn 2 ruimtelihmen krijg je e ovennzihten. Omirkel e voornzihten ie ij eze ovennzihten kunnen horen. kuus pirmie lk kegel iliner ol prism geen oplossing De pirmie, e kegel en e ol M2 189
M Het volume vn een pirmie, een kegel en een ol (uitreiing) 592 U(B) Vul e tel n. Noteer je erekeningen oner e tel. nm vn e ruimtefiguur hoogte oppervlkte gronvlk Ahtzijig pirmie 9 m 2 m² Vierzijige pirmie met een vierknt ls gronvlk 0,0 m en een zije vn het gronvlk is 4 m 1 m² Kegel, e strl vn het gronvlk is 1,2 m m 4,529 m² Kegel, e imeter vn het gronvlk is 40 m 24 m 1 257 m² e Bol, e strl is 5 m / / f Bol, e imeter is 7,4 m / / V h ( 2 m² 9 m V ) V 9 m³ z² 4 m 4 m 1 m² V S h G V 1 m³ m V 2 m³ r² ( 1,2 m)² 4,521 m² V S h G 4,52 9 m² m V V 4,52 m³ r² (20 m)² 1 25,4 m² V S h G 125,4 m² 24 m V V 10 05,12 m³ e f V 4 r³ volume 9 m³ 2 m³ 4,52 m³ 10 05 m³ 52,0 m³ 212,17 m³ V 4 (5 m)³ V 52, m³ V 4 r³ V 4 (,7 m)³ V 212,07 m³ 59 U (B) Bereken volgene volumes. Het k vn een huis is een pirmie Bereken het volume vn e zoler l 12 m 8 m 9 m² 2 m V h V 9 m² 2 m V 4 m³ Het volume vn e zoler is 4 m³ 12 m 8 m 190 M Het volume vn een pirmie, een kegel en een ol (uitreiing)
De nieuwste ijshoorntjes heen een imeter vn m en een hoogte vn 10 m Bereken het volume vn een hoorntje r². (m)² 28,2 m² h V 28,2 m² 10 m V V 94,2 m³ Het volume vn een hoorntje is 94,2 m³ De strl vn een sketl is 12,5 m Bereken het volume vn e l Ron f tot op 1 m³ V 4 r³ V 4 (12,5 m)³ V 8 181 m³ Het volume vn e l is 8 181 m³. 594 U(V*) Bereken e hoogte en e oppervlkte vn het gronvlk ij e ruimtefiguren. Vul e tel n Noteer je erekeningen oner e tel nm vn e ruimtefiguur hoogte vn e ruimtefiguur oppervlkte vn het gronvlk volume Zeszijige pirmie 9 m 540 m³ 0 m Driezijige pirmie 1,920 m² 8,4 m³ V h 18 m Kegel 78,5 m² 471 m³ Kegel 20 m 22,08 l 540 m³ S 9 m G 540 m³ 9 m 180 m² 180 m² 9,12 m² V S h G 78,5 m² h 471 m³ 471 m³ h 78,5 m² h 18 m V S h G 1,920 m² h 8,4 m³ 8,4 m³ h 1,920 m² h 0 m V h 22,08 m³ S 2 m G 22,08 m³ 2 m 9,12 m² Het volume vn een pirmie, een kegel en een ol (uitreiing) M 191
595 U(V*) Een ekene frisrnkfriknt heeft voor zijn nieuwe rnk een kegelvormig gls ontworpen voor kleuters. Er kn miml 15 l in. De imeter vn het gronvlk vn e kegel ergt 8 m. Ron f tot op 1 m. Hoe hoog is het gls? 15 l 150 ml 150 m³ r² (4 m)² 1 m² 50,27 m² V S h G 150 m³ 50,27 m² h h 150 m³ 50,27 m² h 8,952 m 9m Het gls is 9 m hoog. 59 U(V*) Een mteker heeft e vorm vn een fgeknotte kegel. Bereken het volume vn e mteker. Volume vn e volleige kegel r² (7,5 m)² 17,715 m² V volleige kegel S h G 17,715 m² 0 m V volleige kegel V volleige kegel 1 77,15 m³ Volume vn het onerste eel, het verwenen eel r² (2,5 m)² 19,5 m² V verwenen geeelte S h G 19,5 m² 10 m V verwenen geeelte V verwenen geeelte 5,44 m³ Weetje Een fgeknotte kegel is een kegel ie ontstt oor een kegel te snijen met een vlk evenwijig n het gronvlk Volume vn e mteker V mteker V hele kegel V verwenen geeelte V mteker 1 77,15 m³ 5,44 m³ 1 701,71 m³ Het volume vn e mteker is 1 701,71 m³ 192 M Het volume vn een pirmie, een kegel en een ol (uitreiing)
597 U(V*) Op e ierenoererij heen e ieren leuke huisjes. Bereken het volume vn het kippenhok. Je vereelt het huisje in rie elen en je erekent e rie volumes. Deel 1 is een lk: V eel 1 l h V eel 1 1,4 m 0,8 m 1, m V eel 1 1,792 m³ 1,2 m 1, m fig fig 1 0,5 m 1 m fig 2 Deel 2 is een lk: V eel 2 l h V eel 2 1 m 0,8 m 1,1 m 0,8 m 2,4 m 1,12 m² V eel 2 0,88 m³ Deel is een pirmie met ls gronvlk een rehthoek. Je erekent eerst e oppervlkte vn eze rehthoek. l 1,4 m 0,8 m V eel S h G 1,12 m² 1,2 m V eel V eel 0,448 m³ V kippenverlijf V eel 1 + V eel 2 + V eel V kippenverlijf 1,792 m³ + 0,88 m³ + 0,448 m³ V kippenverlijf,12 m³ 598 U(V*) Bereken het volume vn e kooi vn e wergppegien. Je vereelt e kooi in 4 figuren. Figuur 1 is een iliner. Je erekent eerst e oppervlkte vn e irkel. r² V figuur 1 h (1,2m)² V figuur 1 4,529 m². 1, m 4,529 m² V figuur 1 7,28 m³ Figuur 2 is een fgeknotte kegel met hetzelfe gronvlk ls figuur 1. V kegel S h G 4,521 m² 1,8 m V kegel V kegel 2,712 m³ h V verwenen eel (0,5 m)² 0, m V verwenen eel 0,157 m V figuur2 V kegel V verwenen eel 1,2 m 1,4 m 0,5 m fig fig 5 fig 2 fig 1 fig 4 1,2 m 0, m 1,8 m 1, m 2,712 m³ 0,157 m³ 2,555 m³ Figuur is een iliner. Je erekent eerst e oppervlkte vn e irkelshijf r² ( 0,5²) m² 0,785 m² V figuur h V figuur 0,785 m² 1,4 m V figuur 1,099 m³ Figuur 4 is een kegel met hetzelfe gronvlk ls figuur V figuur 4 S h G 0,785 m² 1,2 m V figuur 4 V figuur 4 0,14 m³ V kooi V figuur 1 + V figuur 2 + V figuur + V figuur 4 V kooi 7,28 m³ + 2,555 m³ + 1,099 m³ + 0,14 m³ V kooi 11,20 m³ Het volume vn een pirmie, een kegel en een ol (uitreiing) M 19
599 U(V*) Het tomium is een stlen onstrutie ie estt uit 9 ollen met elk een imeter vn 18 meter. Bereken het volume vn één ol V 4 r³ V 4 (9 m)³ 05,28 m³ In het Minimunus in Klgenfurt (Oostenrijk) wer het tomium ngeouw op shl 1/25 Wt is het volume vn één ol op shl? V 4 r³ V 4 ( 9 m 25 ) ³ 0,195 m³ Hoeveel keer is het volume vn het moel in Minimunus kleiner n het tomium in Brussel? 05, m³ : 0,195 m³ 15 25 (15 25 25³) 00 U(B) In Lummen heen e leerlingen tijens e lessen WW ruisllen gemkt met een imeter vn 2 m. Leerlingen vn Beringen heen eveneens ruisllen gemkt mr met een imeter vn m. Bereken e volumes vn eie ruisllen Ron f tot op 2 eimlen Shool Lummen Shool Beringen V ruisl Lummen 4 r³ V ruisl Beringen 4 r³ V ruisl Lummen 4 (1 m)³ V ruisl Beringen 4 ( m)³ V ruisl Lummen 4,19 m³ V ruisl Beringen 11,10 m³ Hoe verhouen e strlen vn eie ruisllen zih tot elkr? De strl vn e ruisl vn Beringen is keer groter. Hoe verhouen e volumes zih tov elkr? Het volume vn e ruisl vn Beringen is ³ 27 keer groter. 01 U(V*) Tom perst sinsppels. 0 % vn het volume vn een sinsppel is sp. Een gemiele sinsppel heeft een omtrek vn 27,5 m. Hoeveel sinsppels heeft hij noig om 1 liter sp te ekomen? Ron je einresultt zinvol f Stp 1: Berekening vn volume vn één sinsppel O 2 r 27,5 m 2 r 27,5 m r r 4,8 m 2 194 M Het volume vn een pirmie, een kegel en een ol (uitreiing)
V 4 r³ V 4 (4,8 m)³ V 51,19 m³ Stp 2: Berekening vn e hoeveelhei sp vn één sinsppel 0 % vn 51,19 m³ 0 51,80 m³ 105, m³ 100 Stp : Berekening vn het ntl sinsppels t noig is om 1 liter sp te ekomen 1 l 1 m³ 1000 m³ 1000 : 105, 9,49 10 Tom heeft 10 sinsppels noig. 02 U(V*) Het klsseresturnt Hof vn Goossens kiest voor kwliteit. De hefkok Peter Cleve heeft kleine soepowls lten ontwerpen. De kommetjes heen e vorm vn een hlve ol met een innenimeter vn 9 m. Wt is het volume vn 1 soepowl? Ron je resultt f tot op 1 m V ( 4 r³ ) : 2 V 2 r³ V 2 (4,5 m)³ V 190,852 m³ 191 m² Het volume vn 1 soepowl is 191m³ Mr Cleve mkt 8 liter soep Hoeveel klnten kunnen vn eze soep eten ls je weet t e owls voor 85 % gevul woren? 85 % vn 191 m³ 85 191 m³ 12,5 m³ 100 8 liter 8000 m³ 8000 : 12,5 49,27 49 0 U(B) Nik koopt een kegelvormige rieten mn. Hij wil e mn tot e rn vullen en hij heeft een zk met tien liter potgron gekoht. Is it voloene? r² (12,5 m)² 490,874 m² V S h G 49 klnten kunnen vn eze soep eten. Het volume vn een pirmie, een kegel en een ol (uitreiing) M 195
490,874 m² 50 m V V 8181 m³ 8181 m³ 8,181 l 8,2 l 10 liter potgron is voloene. 04 U(V*) Hoeveel olletjes ijs kun je sheppen uit een oos vn 2,5 liter. De imeter vn e olvormige ijslepel is 4,5 m. Ron zinvol f. V 1olletje 4 r³ V 1olletje 4 (2,25 m)³ V 1olletje 47,712 9 48 m³ 2,5 liter 2,5 m³ 2 500 m³ 2500 m³ : 48 m³ 52,08 52 05 U(V**) Op een geenksteen ij het grf vn Arhimees is een figuur geeitel ie hiernst geshetst is. Ze illustreert een stelling vn Arhimees: Als e imeter vn een ol, e imeter vn het gronvlk vn een iliner, e imeter vn het gronvlk vn een kegel, e hoogte vn ie iliner, e hoogte vn ie kegel llen even lng zijn, n verhouen e volumes vn kegel, ol en iliner zih zols e getllen 1,2,. Wt etekent it? Tip: ereken eerst het volume vn e kegel, rn het volume vn e ol en tenslotte het volume vn e iliner V kegel S h G r² Je kunt ongeveer 52 olletjes sheppen. De hoogte is het uel vn e strl: h 2r V kegel r² 2 r 2 r³ V ol 4 r³ 2 2 r³ Vergelijk het volume vn e ol met het volume vn e kegel V kegel 2 r³ en V ol 2 2 r³ us het volume vn e ol is het uel vn het volume vn e kegel V iliner h Nu is: r² e hoogte is het uel vn e strl: h 2r Dus V iliner r² 2 r 2 r³ 19 M Het volume vn een pirmie, een kegel en een ol (uitreiing)
12 m Vergelijk het volume vn e kegel met het volume vn e iliner V kegel 2 r³ en V iliner 2 r³ Het volume vn e iliner is het rievou vn het volume vn e kegel met ezelfe hoogte. 0 U(V**) Bereken het volume vn e vogelkooi. V onerste eel V iliner V iliner h V iliner r² h V iliner (21 m)² 58 m V iliner 80 55,5 m³ 80 55, m² V hlve ol 2 (21 m)³ V hlve ol 19 9,19 m³ V vogelkooi 80 55, m³ + 19 9, m³ V vogelkooi 99 751,85 m³ 58 m V ovenste eel V hlve ol V hlve ol 1 4 r³ 2 r³ 2 42 m 07 U(V**) Bij e uitreiking vn De gouen tennisl krijgt e winnr een gouen tennisl wrvn e omtrek 21,98 m is. De ikte vn e lg gou is 1,5 m. Wt is e mss vn e tennisl ls je weet t 1 m³ gou 19, kg weegt. De mss vn e luht in e tennisl is verwrloosr. Berekening vn e strl vn e tennisl O 2 r 21,98 m 2 r 2 r 21,98 m 21,98 m r 2 r,5 m Berekening mss gou met verhouingstel Volume (in m ³) 1000 14,08 Mss (in kg) 19, 2,819 De mss vn e tennisl is 2,819 kg. 08 U(V***) Een regelmtige zeszijige pirmie heeft een hoogte vn 12 m. De lengte vn 1 rie vn het gronvlk is m en e fstn vn een rie tot het mielpunt vn e (omgeshreven) irkel is 2,4 m. Bereken het volume vn e pirmie Tip: ereken eerst e oppervlkte vn het gronvlk Vereel e zeshoek in even grote riehoeken één riehoek h 2 m 2,4 m één riehoek 2 één riehoek, m² regelmtige zeshoek één riehoek V hele tennisl 4 r³ V hele tennisl 4 (,5 m)³ V hele tennisl 179,59 m³ V luht 4 r³ V luht 4 (2 m)³ V luht,51 m³ V gou V hele tennisl V luht V gou 179,59 m³,51 m³ 14,08 m³ D E C T F M A 2,4 m m B Weetje Het lijnstuk MV wort in e vlkke meetkune het pothem vn e koore AB genoem Het volume vn een pirmie, een kegel en een ol (uitreiing) M 197
2,7 m regelmtige zeshoek, m² regelmtige zeshoek 21, m² E F V pirmie h 21, m² 12 m V pirmie V pirmie 8,4 m³ Het volume vn e pirmie is 8,4 m Vinent en Esr oen in het lo een eperiment. Ze willen weten wt er geeurt met het volume vn een vloeistof ls ze n eze vloeistof ijslokjes in e vorm vn htzijige pirmies toevoegen. Hiernst zie je e fmetingen vn e ijslokjes. Hoeveel milliliters neemt het volume vn e vloeistof toe ls ze ijslokjes toevoegen? Bereken eerst e oppervlkte vn het gronvlk vn e ijslokjes Je erekent eerst e oppervlkte vn het gronvlk, us vn e regelmtige hthoek. Hiervoor vereel je e hthoek in 8 riehoekjes. ( 2,4 m 1,2 m 2 ) 8 11,52 m² V één ijslokje S h G 11,52 m² 2,7 m V één ijslokje V één ijslokje 10,8 m³ V zes ijslokjes 10,8 m³ V zes ijslokjes 2,208 m³ Het volume stijgt 2 ml D C M M 2,4 m 1,2 m 1,2 m 2,4 m m B 2,4 m V Weetje Een regelmtige pirmie is een pirmie met ls gronvlk een regelmtige veelhoek De hoogtelijn uit e top gt oor het mielpunt vn het gronvlk ( mielpunt vn e omgeshreven irkel ie oor e hoekpunten vn het gronvlk gt A 198 M Het volume vn een pirmie, een kegel en een ol (uitreiing)