TWEEDE DEELTENTAMEN CONTINUE WISKUNDE donderdag 1 december 007, 14.00-16.00 Het gebruik van grafische of programmeerbare rekenmachines is niet toegestaan. Motiveer elk antwoord dat je geeft d.m.v. een berekening of beredenering. 1. Gegeven is de functie f(, y) = 6y 1 + y. a. Laat zien dat f twee stationaire punten heeft en bepaal deze. (7 pt) b. Ga van elk van de stationaire punten na of het een (locaal) maimum, minimum dan wel een zadelpunt van f is. (7 pt) c. Wat is de richting van de grootste afname van f in het punt (1, 1)? ( pt) d. En in welke richting (vanaf het punt (1, 1) gerekend) blijft de functiewaarde gelijk? ( pt). Bewijs m.b.v. volledige inductie dat n k=1 k(k + 1)(k + ) = 1 1, (n 1). (10 pt) (n + 1)(n + ). Bepaal de oplossing van de volgende recurrente betrekking: { un+ 6u n+1 + 8u n = n 1 voor n 0. (10 pt) u 0 =, u 1 = 8. 4. Leid de volgende benaderingsformule (voor grote waarden van N) af : N k= ln k k Er mag worden gebruikt dat de functie 5. Gegeven is de functie g() = 1 +. = 1 (ln N) + O(1). a. Bepaal het e orde Taylorpolynoom p () rond = 0. (6 pt) monotoon dalend is voor. (10 pt) b. Geef een uitdrukking voor de foutterm g() p () en laat aan de hand hiervan zien dat 1 1, 09 < 0, 00. (7 pt) 10
ANTWOORDEN. 1. De partiële afgeleiden zijn: f (, y) = 6y 1, f y (, y) = 6 + 4y. (, y) is een stationair punt als beide partiële afgeleiden nul zijn in (, y). Uit f y (, y) = 6 + 4y = 0 volgt dat y =. Als we dit invullen in f (, y) = 0, dan vinden we 9 1 = 0 dus = 1 of = 4. De stationaire punten zijn dus ( 1, /) en (4, 6). b. Om de aard van de stationaire punten te bepalen, bekijken we de Hessiaan H = f f yy f y. Nu is f (, y) = 6, f yy (, y) = 4, f y (, y) = 6 en dus is H(, y) = 4 6. H( 1, /) = 60 < 0 dus is ( 1, /) een zadelpunt. (4, 6) is een (locaal) minimum omdat H(4, 6) = 60 > 0 en f (4, 6) = 4 positief is. c. De gradiënt f = ( 6y 1, 6 + 4y) in het punt (1, 1) is gelijk aan ( 15, ). De afname is dus het grootst in de (hieraan tegengestelde) richting (15, ). d. De functiewaarde blijft gelijk in de richting loodrecht op de gradiënt, dus (, 15) (of in de tegengestelde richting (, 15)).. Voor n = 1 staat aan beide zijden van het =-teken 1/, dus voor n = 1 is de bewering juist. Neem nu aan dat de bewering juist is voor n 1, dus dat Dan is n k=1 n 1 k=1 k(k + 1)(k + ) = 1 1 n(n + 1). k(k + 1)(k + ) = 1 1 n(n + 1) + n(n + 1)(n + ) = = 1 n + n(n + 1)(n + ) + n(n + 1)(n + ) = 1 n n(n + 1)(n + ) = 1 1 (n + 1)(n + ). De bewering is dus ook juist voor n. Hiermee is de bewering bewezen voor alle n 1.. De karakteristieke vergelijking is X 6X + 8 = 0; oplossingen zijn X = en X = 4. De oplossing van de homogene recurrentie is dus A n + B 4 n. We zoeken een particuliere oplossing in de vorm v n = Cn+D. Invullen geeft C = 1, D = 1. De algemene oplossing van de recurrente betrekking is dus u n = A n +B 4 n +n+1. Invullen van de beginvoorwaarden u 0 =, u 1 = 8 geeft dat A = 1, B =. De oplossing is dus u n = n + 4 n + n + 1.
4. De functie f() = is monotoon dalend voor. Dus is f(4) + f(5) +... + f(n) < N d < f() + f(4) +... + f(n 1). Hieruit volgt dat f(n) + N N d < f() + f(4) +... + f(n) < d + f(). ( ) Nu is N d = 1 () N = 1 (ln N) + O(1), en dus volgt uit ( ) en het feit dat f(), f(n) begrensd (en dus O(1)) zijn dat N f(k) = k= N k= ln k k = 1 (ln N) + O(1). 5a. Er geldt g () = 1 (1 + ) /, g () = 9 (1 + ) 5/, g () = 10 7 (1 + ) 8/. Nu is p () = g(0) + g (0) + 1 g (0) = 1 + 1 1 9. b. De foutterm is waarbij y in ligt tussen 0 en. Voor = 10 g() p () = 1 6 g (y) = 5 81 (1 + y) 8/, vinden we dus g( 10 ) p ( 1 10 ) = 5 1, 09 = 10 81 waarbij 0 < y < 10. Dan is (1 + y) 8/ < 1 en dus is 7 1000 (1 + y) 8/, 1 5 1, 09 < 10 81 7 1000 = 5 10 < 0, 00.
EERSTE DEELTENTAMEN CONTINUE WISKUNDE donderdag 5 oktober 007, 14.00-16.00 Het gebruik van grafische of programmeerbare rekenmachines is niet toegestaan. Motiveer elk antwoord dat je geeft d.m.v. een berekening of beredenering. 1. Bereken de volgende ieten: a. b. c. + 10 + 6 18. (5 pt) + 6 + 9 + + 1 +. (5 pt) e () 6. (5 pt). Bepaal de afgeleide van de volgende functies: a. sin + 1. (5 pt) b.. (5 pt). Bepaal van de volgende functies een primitieve: a. + 1. (5 pt) + 5 b. ( + )e. (5 pt) 4. Onderzoek en teken de grafiek van de volgende functies. Betrek hierbij in elk geval de volgende kenmerken, indien van toepassing: de snijpunten met de assen, etreme waarden en tekenschema van de afgeleide, asymptoten en gedrag van de functie voor grote waarden van en rond discontinuïteiten. a. f() = e +. (10 pt) b. g() = 6 +. (10 pt) Op de ommezijde staat een overzicht met formules die je mag gebruiken.
Goniometrie: sin( + y) = sin cos y + cos sin y; cos( + y) = cos cos y sin sin y; cos = sin( π ); sin π 6 = 1 ; sin π 4 = 1 π ; sin = 1 ; Standaardieten voor functies: sin 0 = 1; ( 1 + a = e ) a ; p e = 0; () p q = 0, als q > 0; Afgeleiden: [tan ] = 1 cos ; [arcsin ] = 1 1 ; [arccos ] 1 = ; 1 [arctan ] = 1 1 + ;
ANTWOORDEN. 1a. Tweemaal de regel van de l Hôpital toepassen geeft: + 10 + 6 18 + 6 + 9 6 + 0 + 6 = + 6 b. Invullen geeft. We gebruiken de worteltruc: + + 1 + = + + 1 + + 1 = = = 1. 1 + 0 = = 8. + 1 + + 1 = De dominante termen in de teller en de noemer zijn resp. =. c. e () 6 = een standaardiet. e () 6 = 1 0 = 0. De tweede factor is het rechterlid is a. De kettingregel toepassen op de samengestelde functie sin = u u + 1 = v v = y geeft [ sin + 1] = [sin ] [u + 1] [v 1/ ] = cos u 1 v / = cos sin (sin + 1) /. b. Schrijf = e. De kettingregel geeft dan [e ] = e [ln ] = e = 1. a. + 1 + 5 d = 1 1 + 5 [ + 5] d = + 5 + C. De integratieconstante mag worden weggelaten omdat slechts naar een enkele primitieve wordt gevraagd. b. Herhaald partieel integreren geeft ( + )e d = 1 ( + )e 1 ( + 1)e d = = 1 ( + )e 1 4 ( + 1)e + 1 4 e d = 1 1 4 e + 1 4 e + C = 1 e + C.
4a. Het enige snijpunt met de coördinaatassen is (0, 0). f () = ( + + 1)e +. Deze is nul voor = 1 en = 1/. Het tekenschema van de afgeleide is ( 1/) ++ (1) en er is dus een minimum in = 1/ ter waarde 1 e /4 en een maimum in = 1 ter waarde 1. Tenslotte is f() = f() = 0 dus voor ± is er een horizontale asymptoot y = 0. Met behulp van deze gegevens kan de grafiek worden getekend. b. Snijpunten met de -as zijn: (, 0) en (, 0); met de y-as (0, ). Staartdelen geeft g() = 1 + 4. De afgeleide is 4 g () = 1 ( ). Dus is g () < 0 voor alle (behalve = ). De functie is dus overal dalend. Er is een verticale asymptoot bij = (waar de noemer 0 is maar de teller niet, zodat g() = ± ). Tenslotte is g() + + 1 = ± ± 4 = 0 dus er is een scheve asymptoot y = 1 voor ±. Met behulp van deze gegevens kan de grafiek worden getekend. (Merk nog op dat de grafiek puntsymmetrisch is t.o.v. het snijpunt van de asymptoten (, ).)