Toepassingen op differentievergelijkingen

Toepassingen op differentievergelijkingen We beschouwen lineaire differentievergelijkingen of lineaire recurrente betrekkingen van de vorm a 0 y k+n + a y k+n + + a n y k+ + a n y k = z k, k = 0,,, Hierbij zijn de coëfficiënten a 0,, a n reële getallen, is de rij getallen {z k } k=0 gegeven en is de rij getallen {y k } k=0 onbekend Het gaat hierbij is dus om het vinden van deze rij getallen {y k } k=0 Als a 0 0 en a n 0 dan spreekt men van een differentievergelijking van de orde n Als z k = 0 voor alle k = 0,,, dan noemt men de differentievergelijking homogeen en anders inhomogeen Voorbeeld Beschouw de lineaire differentievergelijking van de orde gegeven door y k+ 3y k+ + y k = 0, k = 0,,, Stel dat y k = r k, dan volgt : r k+ 3r k+ + r k = 0 r k (r 3r + = 0 Hieruit volgt dat r 3r + = 0 oftewel (r (r = 0 Dus : y k = k = en y k = k met k = 0,,, zijn oplossingen Dus : y k = c + c k, k = 0,,, Voorbeeld Beschouw de lineaire differentievergelijking van de orde 3 gegeven door y k+3 y k+ y k+ + 0y k = 0, k = 0,,, Stel dat y k = r k, dan volgt : r k+3 r k+ r k+ + 0r k = 0 r k (r 3 r r + 0 = 0 Hieruit volgt dat r 3 r r + 0 = 0 Enkele waarden van r proberen leert dat r = voldoet Dus : r 3 r r + 0 = (r (r 3r 0 en r 3r 0 = (r (r + Dus : r 3 r r + 0 = (r (r (r + Hieruit volgt dat : y k = c k + c k + c 3 ( k, k = 0,,, Net als bij differentiaalvergelijkingen proberen we op deze manier n lineair onafhankelijke oplossingen te vinden voor zo n differentievergelijking van de orde n Hierbij kunnen zich allerlei problemen voordoen Wat te doen in het geval van meervoudige nulpunten? En wat als er niet-reële nulpunten optreden? Deze problemen zullen we hier buiten beschouwing laten Voorbeeld 3 Ga na dat y k = k(k + een oplossing is van de inhomogene differentievergelijking y k+ y k+ + y k = 6k, k = 0,,, van de orde en bepaal vervolgens de algemene oplossing Door invullen van y k = k(k + vinden we y k+ y k+ + y k = (k + (k + 3 (k + (k + + k(k + Dus : y k = k(k + is inderdaad een oplossing = k + k + 6 k k 0 + k + k = 6k

Vervolgens beschouwen we homogene differentievergelijking y k+ y k+ + y k = 0, k = 0,,, en bepalen hiervan de algemene oplossing Invullen van r k leidt tot r r + = 0 oftewel (r (r = 0 Dus : y k = c + c k, k = 0,,, De algemene oplossing van de inhomogene differentievergelijking is dan y k = k(k + + c + c k, k = 0,,, Een homogene lineaire differentievergelijking kunnen we altijd schrijven in de vorm van een stelsel van eerste orde lineaire differentievergelijkingen Voorbeeld Beschouw de lineaire differentievergelijking van de orde uit voorbeeld Definieer nu ( yk x k = y k+ Uit de differentievergelijking volgt dat y k+ = y k + 3y k+ en dus : ( ( ( ( yk+ y x k+ = = k+ 0 yk = y k+ y k + 3y k+ 3 met A = ( 0 3 y k+ = Ax k Voorbeeld Beschouw de lineaire differentievergelijking van de orde 3 uit voorbeeld Definieer nu y k x k = y k+ y k+ Uit de differentievergelijking volgt dat y k+3 = 0y k + y k+ + y k+ en dus : y k+ y k+ 0 0 y k x k+ = y k+ = y k+ = 0 0 y k+ y k+3 0y k + y k+ + y k+ 0 y k+ met A = 0 0 0 0 0 = Ax k Het oplossen van een homogene lineaire differentievergelijking van de orde n is dus equivalent met het oplossen van een differentievergelijking van de vorm x k+ = Ax k, k = 0,,, met A een (n n-matrix Als A een diagonaliseerbare matrix is, dan kunnen we zo n differentievergelijking van de vorm x k+ = Ax k, k = 0,,, eenvoudig oplossen Merk op, dat x = Ax 0, x = Ax = A x 0, enzovoorts De oplossing kan dus geschreven worden in de vorm x k = A k x 0, k = 0,,,

Nu is A = P DP voor zekere inverteerbare matrix P = v v n en diagonaalmatrix D = diag(λ,, λ n en dus is A k = P D k P met D k = diag(λ k,, λk n voor k = 0,,, Als A diagonaliseerbaar is dan bestaat er dus een basis {v,, v n } van R n bestaande uit eigenvectoren van A, zeg : Av i = λ i v i, i =,,, n Elke beginvector x 0 R n kan dus geschreven worden als x 0 = c v + + c n v n Dan volgt : enzovoorts Dus : x = Ax 0 = c Av + + c n Av n = c λ v + + c n λ n v n, x = Ax = c λ Av + + c n λ n Av n = c λ v + + c n λ nv n, x k = c λ k v + + c n λ k nv n, waarbij de coëfficiënten c,, c n uniek bepaald kunnen worden uit x 0 = c v + + c n v n Voorbeeld 6 In voorbeeld vonden we : x k+ = Ax k, k = 0,,, met A = Nu volgt : Verder volgt : en A λi = λ 3 λ = λ 3λ + = (λ (λ λ = : λ = : ( ( = v = = v = ( ( ( 0 3 De oplossing van x k+ = Ax k, k = 0,,, is dus ( ( x k = c λ k v + c λ k v = c + c k, k = 0,,, ( yk Uit de twee coördinaten van x k = volgt nu dat y k = c + c k en dat y k+ = y k+ c + c k+ voor k = 0,,, Vergelijk met voorbeeld De oplossing kan ook geschreven worden als ( x k = A k 0 x 0 = P 0 k Uitgeschreven is dat ( ( ( 0 x k = 0 k ( k + = k k+ + k+ P x 0 met P = ( x 0 = x 0, k = 0,,, 3 ( ( k k x 0

Voorbeeld 7 In voorbeeld vonden we : x k+ = Ax k met A = volgt : A λi = Verder volgt : en λ = : λ 0 0 λ 0 λ λ λ = ( λ λ = : λ 3 = : 0 0 0 0 0 0 0 3 De oplossing van x k+ = Ax k, x k = c k 0 0 0 7 0 0 0 0 0 = λ 0 0 λ 0 + λ 0 λ = = ( λ(λ = ( λ(λ (λ + 0 0 0 0 0 0 k = 0,,, is dus + c k Uit de eerste coördinaat van x k = y k y k+ y k+ k = 0,,, Vergelijk met voorbeeld + c 3 ( k = v = λ 0 λ 0 0 λ = v = = v 3 = Merk op dat uit de tweede en derde coördinaat van x k volgt dat,, k = 0,,, Dan volgt nu dat y k = c k + c k + c 3 ( k voor y k+ = c k+ + c k+ + c 3 ( k+ en y k+ = c k+ + c k+ + c 3 ( k+ De oplossing kan ook weer geschreven worden als k 0 0 x k = A k x 0 = P 0 k 0 P x 0 met P = 0 0 ( k Een differentievergelijking van de vorm x k+ = Ax k, k = 0,,, wordt ook wel een discreet dynamisch systeem genoemd Een differentiaalvergelijking van de vorm x (t = Ax(t noemt men ook wel een continu dynamisch systeem

Aan de hand van de eigenwaarden van de ( -matrix A konden we de banen van een continu dynamisch systeem in R classificeren In het geval van een discreet dynamisch systeem x k+ = Ax k, k = 0,,, met A een ( -matrix kan dit ook De oplossing kan immers geschreven worden in de vorm x k = c λ k v + c λ k v, k = 0,,,, waarbij λ en λ de twee eigenwaarden van A zijn De oplossing is in dit geval een rij punten (vectoren in R : x 0, x, x, De grafiek van deze punten (vectoren noemt men ook een baan van het (discrete dynamische systeem Als de eigenwaarden λ en λ reëel zijn en λ < en λ <, dan heet de oorsprong O een aantrekker of attractor van het (discrete dynamische systeem Alle banen worden dan immers naar de oorsprong O toe getrokken Als de eigenwaarden λ en λ reëel zijn en λ > en λ >, dan heet de oorsprong O een afstoter van het (discrete dynamische systeem Alle oplossingen gaan dan immers naar oneindig (van de oorsprong O af Als de eigenwaarden λ en λ reëel zijn en λ > en λ <, dan heet de oorsprong O een zadelpunt van het (discrete dynamische systeem In dat geval worden sommige oplossingen naar de oorsprong toe getrokken, terwijl andere naar oneindig (van de oorsprong af gaan In het geval van niet-reële eigenwaarden zijn de banen weer spiraalvormig rond de oorsprong Als de absolute waarde van de beide (complex geconjugeerde eigenwaarden kleiner is dan, dan worden alle banen naar de oorsprong O toe getrokken en als de absolute waarde groter dan is dan draaien de banen in zo n spiraalvorm van de oorsprong O af Toepassingen op Markov ketens Een Markov keten is een rij vectoren x 0, x, x, die voldoet aan een differentievergelijking van de vorm x k+ = P x k, k = 0,,,, waarbij P een zogenaamde Markov matrix of stochastische matrix is : Definitie Een vector in R n heet een kansvector of stochastische vector als alle coördinaten groter dan of gelijk aan nul zijn en de som van alle coördinaten gelijk aan is Een vierkante matrix P heet een Markov matrix of stochastische matrix als alle kolommen van P kansvectoren (of stochastische vectoren zijn Een voorbeeld van een Markov matrix is de migratiematrix in voorbeeld van 9 in Lay Een vector x k in een Markov keten heet ook wel een toestand(svector Een typische eigenschap is dat de som van de coördinaten van elke toestand(svector steeds gelijk is Zo blijft in voorbeeld van 9 het totaal aantal inwoners (000000 constant Stelling Elke Markov matrix of stochastische matrix P heeft een eigenwaarde λ = Een bijbehorende eigenvector x, die bovendien een kansvector of stochastische vector is, heet wel een evenwichtstoestand(svector Bewijs Als P een Markov matrix is, dan is de som van alle elementen in elke kolom gelijk aan Beschouw nu P λi, het karakteristieke polynoom van P Als we in die determinant

P λi alle rijen onder de eerste optellen bij de eerste rij, dan zijn alle elementen in die eerste rij gelijk aan λ De determinant is dus deelbaar door λ Daaruit volgt dat de matrix P een eigenwaarde λ = heeft Uit de bijbehorende eigenruimte E kan men natuurlijk altijd een vector kiezen waarvan de som van alle coördinaten is Dat alle coördinaten van die eigenvector dan ook groter dan of gelijk aan nul zijn is wat lastiger te beredeneren Dat laten we buiten beschouwing Definitie Een Markov matrix of stochastische matrix P heet regulier als een zekere macht van P alleen positieve elementen heeft (dus geen nullen Stelling Als P een reguliere Markov matrix is, dan heeft P een unieke evenwichtstoestand(svector x Verder geldt dat voor iedere kansvector x 0 de Markov keten bepaald door x k+ = P x k, k = 0,,, convergeert naar die evenwichtstoestand(svector x Merk op dat als het proces convergeert, dus als de limiet lim k x k = x bestaat, dan geldt dat x = P x Het bewijs dat het proces ook daadwerkelijk convergeert als P regulier is, laten we buiten beschouwing Voorbeeld 8 Stel dat P = vinden nu : ( 0, 3 0, 0, 7 0, 8, dan is P een reguliere Markov matrix We P λi = 0, 3 λ 0, 0, 7 0, 8 λ = λ λ 0, 7 0, 8 λ = ( λ 0, 7 0, 8 λ = ( λ(0, λ De eigenwaarden van P zijn dus λ = en λ = 0, Verder volgt : ( ( ( 0, 7 0, 7 λ = : = E 0, 7 0, 0 0 = Span{ 7 } Dus : als x k+ = P x k, k = 0,,, dan volgt voor iedere kansvector x 0 dat lim x k = x = ( k 9 7 ( Als bijvoorbeeld x 0 =, dan geldt dat lim x k = ( k 3 7 ( Als bijvoorbeeld x 0 =, dan geldt dat lim x k = ( k 3 7 ( ( 60 0 Als bijvoorbeeld x 0 =, dan geldt dat lim 30 x k = k 70 6

Voorbeeld 9 Stel dat P = want P = 0, 0, 0, 7 0 0, 8 0, 0, 0 0, 0, 0, 0, 7 0 0, 8 0, 0, 0 0, 0, 0, 0, 7 0 0, 8 0, 0, 0 0, Dan is P een reguliere Markov matrix, = 0, 60 0, 6 0, 8 0, 0 0, 6 0, 0, 0 0, 0 0, Hoewel de eigenwaarden niet zo mooi zijn, zijn ze in principe wel eenvoudig te berekenen : 0, λ 0, 0, 7 P λi = 0 0, 8 λ 0, 0, 0 0, λ = λ λ λ 0 0, 8 λ 0, 0, 0 0, λ 0 0 = ( λ 0 0, 8 λ 0, = ( λ 0 0, 8 λ 0, 0, 0 0, λ 0, 0, 0, 3 λ = ( λ 0, 8 λ 0, 0, 0, 3 λ = ( λ(λ 0, λ 0, 9 De nulpunten van dit polynoom zijn nu eenvoudig te vinden We onderzoeken alleen de eigenwaarde λ = : 0, 0, 0, 7 0, 0, 0, 7 λ = : 0 0, 0, 0 0, 0, 0, 0 0, 8 0 0, 0, 0, 0 0, 8 0 0, 0, 0 8 0 = E = Span{ Uit stelling volgt dus dat de Markov keten bepaald door x k+ = P x k, k = 0,,, convergeert voor iedere kansvector x 0 R 3 Dat geldt dan natuurlijk ook voor ieder veelvoud van zo n kansvector Als bijvoorbeeld x 0 = Als bijvoorbeeld x 0 = Als bijvoorbeeld x 0 = 0, 3 0, 6 0, 0 6 30 38, dan is lim x k = 6 k 3 0, dan is lim x k = k, dan is lim k x k = 6 0 8 30 6 0 } 7