V-1a Voorkennis C A m B C = 10 = 9 ABC is geen rehthoekige driehoek. V-a K m L d M = 10 = 90 L 0 M De rehthoekszijden zijn de zijden LM en KM. De langste zijde is zijde KL. d zijde kwadraat LM = 0 KL = 1 KL = 900 11 Zijde KL is 11 =. V-a zijde kwadraat AB = 1 BC = 9 AC = AC = = 1 1 zijde kwadraat GH = GI = HI = GI = 1 K? 1 A 1 I? C 9 B M H G
V-a zijde kwadraat KM = 0 KL = 1 LM = LM = 0 In ADC: zijde AD = CD = AC = 10 CD = 0 0 kwadraat 100 M Ze geruikt CD =,, maar dat is een afgerond getal, want,0 Als ze CD = geruikt, krijgt ze wel een nauwkeurig antwoord. d zijde kwadraat BD = 1 CD = BC = 19 BD = 19, V-a zijden van ABC AB = 1 BC = 10 AC = 11 zijden van DEF DE = DF = EF =, Je moet met 0, vermenigvuldigen. De overeenkomstige hoeken zijn gelijk. V-a ABC is gelijkvormig met HIG, want B = 10 0 = en G = 10 = 0, dus de overeenkomstige hoeken zijn gelijk. DEF is gelijkvormig met KLM, want de overeenkomstige zijden zijn met dezelfde fator vermenigvuldigd, namelijk 1,. zijden van ABC AB = BC = AC = zijden van HIG HI =,1 GI = GH = De zijden van ABC zijn met fator : = vermenigvuldigd. AB =,1 : =, GI = = B = (zie opdraht a) K = D (overeenkomstige hoeken) dus K = M = 10 101 =, F = M (overeenkomstige hoeken), dus F = 1a -1 Tangens Bij drie treden hoort een afstand van 0 = 10 m en een hoogte van 1 = m. Nee, de helling lijft gelijk. Bij 1 treden hoort een afstand van 1 0 = 0 m en een hoogte van 1 1 = 19 m.? 0 L 1 K
d e Bij één trede hoort een afstand van 0 m en een hoogte van 1 m. Bij opdraht a is hoogte afstand = 10 = 0,, ij opdraht hoogte afstand = 19 0 = 0, en ij opdraht d hoogte afstand = 1 0 = 0,. De deling levert telkens dezelfde uitkomst op. f De hoek is 1. 0 a = 0, geeft afstand = 0 = 0. afstand 0, De treden zijn 0 m diep. De hellingshoek is. Nee, dat is niet van elang. d Hoe groter het hellingsgetal, hoe groter de hellingshoek. a De zonnestraal loopt steil naar eneden, dus de zon staat hoog. Dat is het geval in de zomer. hoogte in meters 0 1 shaduw in meters 0 9, 1 Uit de deling komt telkens. d De hoek is ongeveer. a De zon staat laag, dus deze tekening past ij de winter. De zon staat half hoog. Dat kan in de herfst of in de lente zijn. In tekening komt uit de deling 1. d De hoek is. e In tekening komt uit de deling 0,. De hoek is. f Nee, want ijvooreeld het hellingsgetal in tekening 1 is twee keer zo groot als dat in tekening, maar de hellingshoek is niet twee keer zo groot. a In tekening 1 is het hellingsgetal 100 00 = 0,. In tekening is hoogte = 0, dus is hoogte = 0, 00 = 0 meter. 00 Van eide hellingen is het hellingsgetal 0,, dus de hellingen zijn even steil. 0 0 afstand =, dus afstand = 0 = 10 meter 0, d zijde kwadraat 00 100 0 000 09,9 0 000 10 000 0 000 Hij heeft ongeveer 10 meter afgelegd. hellingsgetal = 0, m 0 m 0 m 0 m
- Tangens a hellingsgetal = 0 = 0, 0 Zie de tekening hiernaast. De hellingshoek is 1. 0 m d Het hellingsgetal is = 0,, en dus gelijk aan dat van de andere kaelaan. 10 Bij gelijke hellingsgetallen horen gelijke hellingshoeken. A 1 B tan = tan = a zijde 1... 1 kwadraat 19 De ontrekende zijde heeft lengte =. tan C = 1 Zie de tekening hiernaast. De lengte van BC is,9 m. tan A =, 9 = 0, tan 0 0, dus het klopt. A m B 9a tan D = = 0, D D d klopt m 10a Zie de shets hiernaast. tan H = 11 Ranita vindt,. Divya vindt. Jonny vindt. d Divya vindt de juiste hellingshoek. H 0 0 m 11 m F m E m C
11a Shets: tan H = 0 1 0 tan ( ), 0 De hellingshoek is. Shets: H 0 m tan H = 00 1 10 tan ( ), 00 De hellingshoek is 9. H 00 m 1a Het hellingsgetal van de eerste vluht is 1 = 0, 1, 10 de hellingshoek is tan 1 (0,1) Het hellingsgetal van de derde vluht is ook 0,1, dus ij vluht vloog hij met dezelfde hellingshoek. 1a vluht hoogte afstand hellingsgetal hellingshoek 1 1 1 0 10 10 - De tangens geruiken? P P 10 tan = P Q 10 R 0,1 0, 0,1 a tan 1 ( ),9 dus A =. Zijde AC is de overstaande rehthoekszijde van hoek B. Zijde BC is de aanliggende rehthoekszijde van hoek B. d tan B = B e B = 10 90 = 1 tan A = tan = A B zijde 1... 1 kwadraat 9 B 11 11 zijde... kwadraat De aanliggende rehthoekszijde van hoek C is. De overstaande rehthoekszijde van hoek D is. tan C = 1 tan D = C D 0 9 1 0 m 10 m
1a Je meet geen lengtes of hoeken in de tekening, je erekent ze. h = tan h 0, De hoogte is ongeveer 0, km. 1a tan 1 = 110 a a = 110 tan1 a m Op een afstand van meter spelen enkele entimeters geen rol van etekenis. Ook is het waarshijnlijk dat de hoogte van 110 meter en de hoek van 1 al zijn afgerond. 1a tan = h geeft h = tan 0, De hoogte is dan ongeveer 0, km. tan 9 = h geeft h = tan 9 0, De hoogte is dan ongeveer 0, km. 19a tan = 0 a a = 0 tan a m De afstand van het ship tot de vuurtoren is ongeveer meter. tan = h 0 h = 0 tan, De toren is ongeveer meter hoog. 0a tan A = tan B = A 9 B 1 In driehoek ABC zijn de hoeken samen 10, dus C = 10 9 1 = 0. 0 m a h 0 m 9
- sinus en osinus 1a De zijden van ABC zijn allemaal met dezelfde fator vermenigvuldigd, namelijk. A = D, B = E en C = F EF DE = = EF 0, DF = 0 = 0, BC AB = 1 = BC 0, AC = 1 0 = 0, d Bijvooreeld met fator 1,: e f g K mm mm M mm L DE DF = 0 = 0, AB AC = 0 = 0, LM KL = = LM 0, KM = = KL 0, KM = = 0, Iets nauwkeuriger: de delingen van de overeenkomstige zijden geven dezelfde uitkomst. Bij de delingen EF BC, en LM krijg je de tangens. DE AB KL sin A = os A = sin B = os B = a tan P = sin P = os = 1 1 P 1 1 sin 1 ( ) = 1 os 1 ( 1 ) = 1 tan 1 ( ) = 1 P a zijde kwadraat AB = 11 BC = AC = AC = 1 1, 11 1 Stephan vindt het juiste antwoord. Harold heeft de lengte van AC teveel afgerond. Ja, want voor de tangens he je de lengten van AB en BC nodig en die zijn al gegeven. De zijden die je nodig het voor de sinus zijn in de tekening al gegeven. a sin P = dus P Om hoek Q te erekenen kan ik het este de tangens geruiken. d tan Q = 10 dus Q 0 1 e os R = dus R 9 os S = dus S 11 10
a os A = dus A 1 1 sin B 1 = dus B 0 1 a Zie de tekening hiernaast. tan K = LN geeft tan = KL K dus K tan L = MN geeft tan = LN L dus L 1 d tan M = LN geeft tan = MN M dus M e N = 10 90 dus N - Rekenen in rehthoekige driehoeken a AC is de langste zijde. De lengte is gegeven van de aanliggende rehthoekszijde van A. Voor sin en os he je de lengte van de overstaande rehthoekszijde nodig en die is niet gegeven. d os = AC e Uit os = volgt AC = dus AC 9,0. AC os 9 Uit os9 = volgt BC = dus BC, BC os9 Uit tan = EF volgt EF = tan dus EF, Uit sin 1 = LM volgt LM = 10 sin 1 dus LM, 10 Uit sin 0 = volgt YZ = dus YZ 9, YZ sin 0 0 0 Uit tan = volgt IG = dus IG 1,0 IG tan Uit os = QR volgt QR = 10 os dus QR, 10 0a zijde kwadraat KM = 0 00 LM = 1 KL = 1 O 1 1 De erekening met de stelling van Pythagoras klopt, dus de driehoek is rehthoekig. tan K = 1 dus K 0 L = 10 90 1 M N L K 11
1a Uit tan = CD volgt CD = tan dus CD,., sin B = dus B 0 a, zijde kwadraat BD = CD =, BC =, BD = 1, 1, 1,1 1, 0, d AB = AD DB dus AB =, = 9, e oppervlakte ABC = 9,, : = 0,1 De driehoek heeft geen rehte hoek. Zie de tekening hiernaast. DGF heeft een rehte hoek. Verder is in deze driehoek een zijde en een hoek gegeven. d Uit os = DG volgt DG = os dus DG,. e DE =, 9, a Zie de tekening hiernaast. Driehoek ABC is een gelijkenige driehoek, want de zijden AC en BC zijn even lang. Zie de tekening ij opdraht a. d CD = e AD = f Uit tan A = CD volgt tan = AD A dus A (in één deimaal:, ) g B = A (asishoeken in een gelijkenige driehoek) dus B, C = 10, dus C a R = 10 0 0 = 0, dus geen rehte hoek. Zie de tekening hiernaast. sin P = RS RP geeft sin 0 = RS dus RS = sin 0,9 d os P = PS PR geeft os 0 = PS dus PS = os 0 1,0 e tan Q = RS QS geeft tan, 9 0 = QS dus QS =, 9 tan 0 19,0 D 1 B D F 1 1 O 1 1 A P G R 0 0 S C E Q
- Gemende opdrahten a Uit tan = AD volgt AD = tan dus AD = meter. De lengte van het rugdek tussen A en G is = meter. Uit tan 0 = BD volgt BD = tan 0 dus BD,1 meter. De lengte van het rugdek tussen A en B is,1 =,9 meter. Uit tan1 = CD volgt CD = tan 1 dus CD, meter. De lengte van het rugdek tussen B en C is,1, =, meter. d Uit os = volgt k = dus k 19, m. k os De kael van de mast naar punt A is ongeveer 19, meter lang. e a De uitenste kaels zijn ongeveer 19, meter lang. Uit os 0 = volgt k = dus k 1, m. k os 0 De middelste kaels zijn ongeveer 1, meter lang. Uit os1 = volgt k = dus k, m. k os1 De innenste kaels zijn ongeveer, meter lang. 100 Bij een helling van % hoort een tangens van, dus 100 een hellingshoek van tan 1 ( ). 100 Bij een helling van 100% stijg je 100 m over een horizontale afstand van 100 m. De tangens is dan 100, en de hellingshoek is 100 tan 1 (1) =. a tan 9, tan 9, 9, 0 tan 9, 99 9, Zie de shets hiernaast. Met P = 90 is er geen rehthoekige driehoek meer te maken. Als P ijna 90 is, is de overstaande rehthoekszijde heel groot. tan 0, tan 0 0, Onno heeft geen gelijk. P 1
a Zie tekening hiernaast. F 1 = 10 90 = F = 10 90 =, Uit os = volgt DF = DF, dus DF 1, os Uit tan = FG volgt FG =, tan dus FG 10,, 10, 10, Uit tan = volgt GE = dus GE, GE tan DE = DG GE dus DE,, = 19,9 10, Uit sin = volgt EF = EF 9a zijde kwadraat AB = BC = AC = 10 BC = = 1 1 10 10, dus EF 1,1 sin Uit tan A = volgt tan = AB dus A. BM = 1 : = Uit tan A 1 = 1. d A = A A 1 1 e M 1 = 10 90 dus M 1 f M = 10 M 1 dus M 0 Uit tan 0 = 10 volgt AC = 10 dus AC 109 m. AC tan 0 Uit tan = 10 volgt BC = 10 dus BC 1 m. BC tan De tunnel zal ongeveer 109 1 = 90 meter lang worden. 1a De kaelaan van Coq naar Ballon gaat omhoog want Coq ligt op 10 meter hoogte en Ballon ligt op 0 meter hoogte. De horizontale afstand is, m. Dat is in werkelijkheid, 0 000 = 10 000 m en dat is 100 meter. Voor de kaelaan van Coq naar Ballon is het hoogtevershil 0 10 = 90 m. tan C = 90 100 C 1 d Voor de kaelaan van Doue naar Azur is het hoogtevershil 0 10 = 0 m. De horizontale afstand is 1, m, dat is in werkelijkheid 00 m. tan A = 0 00 A Voor de kaelaan van Doue naar Ballon is het hoogtevershil 0 10 = 00 m. De horizontale afstand is,1 m, dat is in werkelijkheid 10 m. tan B = 00 10 B De kaelaan van Doue naar Azur heeft de grootste hellingshoek. D, F 1 G E
a Uit os 0 = h volgt h = os 0 dus h 1, m De hoogte van het zitje is,0 1, = 0,9 meter. Uit os 0 = h volgt, h =, os 0 dus h 1, m De hoogte van het zitje is, 1, = 1,0 meter. shommel 1:, 1, = 0,9 meter, Uit os W = 0 9 volgt W. Bij shommel 1 is de maximale wijkhoek. shommel :, 1, = 1,1 meter, Uit os W = 1 1 volgt W 9., Bij shommel is de maximale wijkhoek 9. Test jezelf T-1a Van helling 1 is het hellingsgetal 00 0,. 00 Van helling is het hellingsgetal 00 0,. 100 De hellingsgetallen zijn even groot, dus de hellingen zijn even steil. De hoek is 1. d Het hellingsgetal ij is ongeveer 0,. T-a tan A = 1 1000 A 1 Dit sportvliegtuig vertrekt onder een hoek van ongeveer 1. tan 1 0,, dus dit sportvliegtuig is na 1000 m op een hoogte van meter. Dat is ongeveer 10 meter hoger dan het eerste sportvliegtuig. T-a Uit tan 11 = volgt a = dus a 1, m. a tan11 De shipper is ongeveer 1 meter van de vuurtoren af. Uit tan = volgt = 0 tan dus 99 m. 0 Het ootje is ongeveer 99 meter van de vuurtoren af. h W 1,1 m 0, m, m m m W 0,9 m 0 h 1
T- sin A = sin B = os C = sin D = sin E = sin F = 10, A B = 0 C D E = 0 F 9 1 T-a tan B 1 = dus B 1 1 1 E 1 = 10 90 1 = 9 zijde kwadraat AB = 1 AE = 1 BE = BE = d tan = 9 e zijde BE = 9 BC = 9 CE = 9 19, CE = 0 1, E 9 T-a/ 0 mm K dus E 9 f sin C = M N mm Uit sin = MN volgt MN = 0 sin dus MN, mm. 0 d Uit os = KN volgt KN = 0 os dus KN,9 mm. 0 e, Uit sin L = volgt L 9 f Uit os 9 = NL volgt NL = os 9, dus NL,1 mm T-a lengte shaduw in m hellingsgetal hellingshoek 00 10 0 0,1 0, 1,19 1, De shaduw was op dat moment 0 = 0 m. 1, De hoek is tan 1 (1,). L 1 0 1 kwadraat 1 9 1 0 19 dus C 0