Lessen Wiskunde uitgewerkt Lessen in fase 1. De Oriëntatie. Les 1. De eenheidscirkel. In deze les gaan we kijken hoe we de sinus en de cosinus van een hoek kunnen uitrekenen door gebruik te maken van de eenheidscirkel. Dit vormt het begin van het onderwerp goniometrische functies dat we niet alleen in de wiskundelessen, maar ook in de natuurkundelessen zullen behandelen. Onderdelen van de stof die je in de wiskunde tegenkomt, kom je ook tegen in de natuurkunde en andersom. De leerstof en de bijbehorende vragen staan in de leerboeken van wiskunde en natuurkunde, deze beschrijving is een studiewijzer voor het onderwerp de Eenheidscirkel. Uit boek: Opgave 1. Je kunt de sinus en cosinus ook uitrekenen m.b.v. de eenheidscirkel. De sinus is de projectie van het punt op de eenheidscirkel op de y-as, de cosinus is de projectie van het punt op de eenheidscirkel op de x-as. Voor hoeken in het eerste kwadrant ken je natuurlijk ook een andere manier om deze verhoudingen te bepalen, denk maar eens aan soscastoa. Laat zien dat beide methoden (uiteraard) tot hetzelfde resultaat leiden. Opgave 2. sinus hoek cosinus ½ 30 ½ 3 ½ 2 45 ½ 2 ½ 3 60 ½ Hierboven staat een kleine tabel met exacte uitkomsten van enkele goniometrische verhoudingen. Ga na hoe je deze exacte uitkomsten zelf kunt vinden. Experiment Voer het volgende experiment uit. Teken een cirkelboog (mét je passer!) in je schrift. Knip een touwtje zó dat de lengte gelijk is aan de straal van de cirkel. Leg het touwtje langs de cirkelboog en meet de middelpuntshoek. Doe dit een aantal keren met verschillende cirkels. Resultaat: meting middelpuntshoek 1 2 3 4 Deze methode heeft een nauwkeurigheid van:... graden Pagina 2 van 12
Les 2. Rekenen met radialen. In deze les leren we een andere hoekmaat kennen, in plaats van graden. Die hebben we op dit moment binnen de wiskunde niet echt nodig, maar in een later stadium is deze hoekmaat (de radiaal) onmisbaar. De beschrijving van deze les betreft het de radiaal. Uit boek: Opgave 1. Je rekenmachine kent drie hoekmaten, DEG, RAD en GRAD. Onderzoek welke betekenis deze hoekmaten hebben. Leg uit wat het (grote) verschil is tussen RAD en de andere twee hoekmaten. Opgave 2. a. Voor welke waarden van α (met 0 α 2π) geldt dat sin α positief is? b. Voor welke waarden van α (met 0 α 2π) geldt dat cos α positief is? c. Voor welke waarden van α (met 0 α 2π) geldt dat tan α positief is? Opgave 3. a. Leg uit waarom het minimum van sin α gelijk is aan 1. b. Leg uit waarom het maximum van sin α gelijk is aan 1. Grafiek Maak de volgende opdracht Vul de volgende tabel in (het wordt een heel lange tabel met voor de sinus en cosinus elk 17 uitkomsten. Maak natuurlijk gebruik van de symmetrie in de eenheidscirkel. α 0 1/6π 1/4π 11/6π 2π sin α 0 1/2 cos α 1 1/2 3 Teken nu een assenstelsel met langs de x-as van 0 t/m 2π en langs de y-as van 1 t/m 1. Neem voor het gemak bij het tekenen π gelijk aan 3 cm. Teken in dit assenstelsel de grafiek van de sinus door gebruik te maken van de uitkomsten in de tabel. Maak zo ook de grafiek van de cosinus. Pagina 3 van 12
Les 3. De beweging langs de omtrek van een cirkel. De beweging van een trillend voorwerp is een moeilijke beweging: omdat de snelheid niet elke sekonde evenveel groter of kleiner wordt. Meestal gebruiken we een hulpmiddel: een punt dat langs de omtrek van een cirkel beweegt. Dit punt beweegt dan met constante snelheid en voert dus een eenparige beweging uit. De projectie van dat punt op de vertikale as voert dan een (harmonische) trilling uit. De grafiek, als functie van de afgelegde hoek in radialen, is een sinusoïde. Dit geldt ook voor de projectie van het punt op de horizontale as. Uit boek: Bestudeer de volgende applet http://www.virtueelpracticumlokaal.nl/shm_nl/shm_nl.html Opgave 1. Er zijn veel verschillende grafieken die de vorm van een sinusoïde hebben. Daarvan is de sinus, die ontstaat uit de eenheidscirkel, de eenvoudigste. We noemen dat dan ook een standaardfunctie. Elke sinuoïde kenmerkt zich door vier parameters: de periode, dat is de afstand op de horizontale as, totdat de grafiek zich herhaalt; de evenwichtsstand, de horizontale lijn midden tussen maximum en minimum; de amplitudo; de grootste uitwijking t.o.v. de evenwichtsstand; het beginpunt, dat is de x-coördinaat van het punt waar de grafiek stijgend door de evenwichtsstand gaat. Geef aan hoe groot deze vier kenmerken zijn voor de standaardfunctie sin x. Applet Kijk naar de applet: http://www.walter-fendt.de/ph14nl/circmotion_nl.htm In deze applet zie je een punt bewegen langs de omtrek van een cirkel. De projectie van dat punt stelt het trillende punt voor. Het uitwijking-tijd diagram wordt meteen weergegeven. Als je kijkt naar de snelheid van deze projectie, dan zie je in de applet dat we ook hier kijken naar de (vertikale) projectie van de snelheid. Voer deze simulatie ook uit. Zo ook met de versnelling en kracht: voer ook deze simulaties uit. Veronderstel nu dat we een blokje hebben dat aan een veer hangt. We trekken het blokje 2,0 cm naar beneden en laten het los. Het gaat dan harmonisch trillen met een trillingstijd van 0,60 s. Maak drie grafieken onder elkaar op dezelfde (horizontale) schaal: 1. het uitwijking-tijd diagram van het voorwerp 2. het snelheid-tijd diagram van het voorwerp 3. het versnelling-tijd diagram van het voorwerp Pagina 4 van 12
Fase 2. Verdieping. Les 4. Oplossen van vergelijkingen (1). Wanneer is de uitwijking van een trillend voorwerp de helft van de amplitudo? Wanneer is de waterstand in Scheveningen de helft van de uiterste stand? Op deze vragen krijg je antwoord als je je verdiept in het maken van opgaven van het type: sin(a)= c en cos (A)=c Uit boek: Experiment Bij natuurkunde heb je een experiment uitgevoerd; een trillend voorwerp aan een veer. Waarschijnlijk start je de meting van de trillingstijd op het moment dat het voorwerp zich in één van de twee uiterste standen bevindt (waarom zou je dat zó doen?). Kun je het functievoorschrift voor de uitwijking als functie van de tijd opschrijven? Doe dat hieronder en leg uit hoe je dat moet doen. Pagina 5 van 12
Les 5. Oplossen van vergelijkingen (2). Stel je voor: je zit op een schommel en gaat heen en weer. Dan komt er iemand naast je zitten op de andere schommel. Deze schommel heeft iets kortere touwen. Je buurman zal sneller heen en weer bewegen. Als je nu samen begint, wanneer heb je daarna weer dezelfde uitwijking en beweeg je weer in dezelfde richting? En als je nu tegen elkaar inbeweegt, wanneer beweeg je weer naast elkaar in dezelfde richting? Je gaat in deze les kijken naar problemen in de trant van: sin A = sin B en cos A = cos B. Uit boek:... Experiment Bij natuurkunde heb je een experiment uitgevoerd; een trillend voorwerp aan een veer. Waarschijnlijk start je de meting van de trillingstijd op het moment dat het voorwerp zich in één van de twee uiterste standen bevindt (waarom zou je dat zó doen?). Kun je het functievoorschrift voor de uitwijking als functie van de tijd opschrijven? Doe dat hieronder en leg uit hoe je dat moet doen. Pagina 6 van 12
Les 6. Translatie. Stel je voor: een reuzenrad staat op het marktplein in de stad. De omliggende huizen zijn gemiddeld 14 m hoog. De straal van het reuzenrad is 10 m en draait in 20 seconden één keer rond. Kun jij uitrekenen hoelang je een mooi uitzicht hebt over de stad? Uit boek:... Pagina 7 van 12
Les 7. De afgeleide (1). Als je de plaatsfunctie van een voorwerp hebt, kun je de snelheid van het voorwerp op een bepaald moment bepalen. Kun je deze ook uitrekenen i.p.v. bepalen? In les 3 van de natuurkunde heb je de snelheid van een trillend voorwerp als functie van de tijd al grafisch kunnen bepalen. In deze lessen leer je hoe je de snelheid kunt uitrekenen m.b.v. de afgeleide van de plaatsfunctie. Eerst kijken we naar eenvoudige toepassingen, in de tweede les (les 7) kijken we hoe je dit kunt toepassen op trillingen. Uit boek:... Pagina 8 van 12
Les 8. De afgeleide (2). Nu je helemaal op de hoogte bent hoe je de afgeleide kunt bepalen van een eerste- en tweedegraads functie, gaan we kijken hoe je de afgeleide kunt bepalen van een goniometrische functie. Dus: kijken naar de snelheid van een trillend voorwerp, en daarna kijken naar de versnelling van dat voorwerp. Uit boek:... Pagina 9 van 12
Les 9. Tekenen van grafieken met de grafische rekenmachine (de GR). In deze les gaan we kijken hoe je periodieke functies kunt tekenen met de GR. Ook kun je met de GR vergelijkingen oplossen, niet exact, wel benaderen. In de natuurkunde is dit het verschil tussen 'berekenen' en 'bepalen'. Met de GR krijg je een idee van de oplossingen en zie je dat er, bij periodieke functies, meerdere oplossingen mogelijk zijn. Uit boek:... Pagina 10 van 12
Les 9. Terugkijken op de lessen wiskunde en natuurkunde. Lesidee: In de lessen wiskunde en natuurkunde heb je gezien hoe je trillingen, golven, goniometrische functies, zwevingen, uitwijking-tijddiagrammen, energie en nog een aantal zaken kunt beschrijven. Soms zie je in één oogopslag hoe je zaken kunt koppelen, soms zie je géén verband. Om overzicht te krijgen over een vrij groot onderwerp kun je een 'mindmap' maken. De techniek van het maken van een 'mindmap' vind je in het vaklokaal NLT op: http://vaklokaal-nlt.nl/wp-content/uploads/2009/01/werkinstructie_mindmap.doc Hieronder staan (op de volgende bladzijde de onderwerpen van de verschillende wiskunde- en natuurkundelessen met soms een korte beschrijving erbij. Neem deze onderwerpen over (of knip ze uit) en rangschik ze zó, dat je duidelijk overeenkomsten ziet. Probeer daarna de onderwerpen te koppelen (met strepen of pijlen) door aan te geven op welke manier deze onderwerpen bij elkaar horen. Een voorbeeld: Les 3. Trilling als beweging. het uitwijking-tijd diagram het snelheid-tijd diagram Les 8. De afgeleide (2). goniometrische functies de snelheid is de afgeleide van de plaats Maak nu in een groep van 3, een mindmap van het onderwerp 'Muziek'. Overleg met elkaar waarom je bepaalde keuzes maakt. Voeg ook zelf onderdelen toe aan de mindmap en probeer de relaties tussen de onderdelen zo goed mogelijk weer te geven. De mindmap kan een middel zijn om anderen een overzicht te geven van wat je in de lessen hebt geleerd en hoe je dit in nieuwe situaties kunt toepassen. Pagina 11 van 12
Les 1. De eenheidscirkel sinus, cosinus, tangens rekenen met de eenheidscirkel Les 1. Trillingen. verschillende diagrammen Les 2. Rekenen met radialen Les 2. Golven. lopende golven transversaal en longitudinaal Les 3. De beweging langs de omtrek van een cirkel. projectie op de vertikale (of horizontale) as. Les 3. Trilling als beweging. het uitwijking-tijd diagram het snelheid-tijd diagram Les 4. Oplossen van vergelijkingen (1). sin(a)=c en cos(a)=c Les 4. Energie van een trillend voorwerp. het energie-tijd diagram Les 5. Oplossen van vergelijkingen (2). sin A= sin B en cos A = cos B Les 5. Voortplantingssnelheid. Les 6. Translatie. Les 6. Muziek: staande golven in snaren. Les 7. De afgeleide (1). eerste- en tweedegraadsfuncties Les 7. Muziek: staande golven in luchtkolommen Les 8. De afgeleide (2). goniometrische functies Les 8. De snelheid van golven. Les 9. Tekenen van grafieken met de grafische rekenmachine (de GR). Les 9. Geluidsintensiteit. trillingsenergie, vermogen, intensiteit geluidsniveau Les 10. Zwevingen. Pagina 12 van 12